Podstawy Fizyki

Wykład 3

Dynamika punktu materialnego

2

Pęd

Wielkością charakteryzującą ruch ciała jest prędkość. Zmiana ruchu, tzn. zmiana prędkości, wymaga pokonania oporu bezwładności. Miarą bezwładności jest masa. Iloczyn masy cząsteczki i jej prędkości nosi nazwę pędu

vmp

Pęd jest wielkością wektorową o kierunku zgodnym z kierunkiem wektora prędkości. Wektor pędu pełniej charakteryzuje ruch niż wektor prędkości.

v

p

m

3

Korzystając z definicji prędkości możemy zapisać

dt

rdmvmp

W dowolnym układzie odniesienia pęd możemy rozłożyć na składowe, np. dla układu kartezjańskiego

zzyyxxzzyyxx imvimvimvipipipp

więc

dt

dxmpx

dt

dympy

dt

dzmpz

222zyx pppp

4

Zasada bezwładności (I zasada dynamiki Newtona)

Sir Isaac Newton (1642 - 1727)

Jeśli cząstka nie oddziałuje z innymi cząstkami, to można znaleźć taki inercjalny układ odniesienia, w którym przyspieszenie cząstki jest równe zeru.

Najlepszym przybliżeniem inercjalnego układu odniesienia jest układ związany z „gwiazdami stałymi”.

5

6

II Zasada dynamiki Newtona

W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie cząstki jest proporcjonalne do wypadkowej siły (sumy sił) działającej na cząstkę i odwrotnie proporcjonalne do masy cząstki.

Fwyp

F2

F1

aJednostką siły jest niuton (N)

221111

s

mkg

s

mkgN

1

n

wyp ii

m

F F a

gdzie n – liczba sił.

7

Jeżeli poszukujemy równania opisującego ruch cząstki, czyli zależności wektora wodzącego od czasu , to musimy rozwiązać równanie:

),,()(

2

2

tdt

rdrF

dt

trdm

Równanie to nazywamy równaniem ruchu Newtona. Jest ono równoważne trzem równaniom dla poszczególnych składowych.

),,,,,,()(

),,,,,,()(

),,,,,,()(

2

2

2

2

2

2

tdt

dz

dt

dy

dt

dxzyxF

dt

tzdm

tdt

dz

dt

dy

dt

dxzyxF

dt

tydm

tdt

dz

dt

dy

dt

dxzyxF

dt

txdm

z

y

x

)(tr

gdzie

zzyyxx iFiFiFF

zyx idt

zdi

dt

ydi

dt

xda

2

2

2

2

2

2

8

Rozwiązaniem równania ruchu Newtona jest wektor wodzący

zyx itzityitxtrr

)()()()(

Rozwiązanie to zależy od warunków początkowych, a mianowicie od położenia i prędkości cząstki w chwili początkowej t0

0r

0v

Znajomość siły działającej na cząstkę, oraz położenia i prędkości tej cząstki w chwili t0 pozwala na jednoznaczne znalezienie funkcji wektora położenia , czyli pozwala określić położenie tej cząsteczki w dowolnej chwili późniejszej (t>t0) lub wcześniejszej (t<t0).

Jest to zasada przyczynowości (determinizmu) mechaniki klasycznej

0r

0v

)(tr

F

9

Załóżmy, że masa bezwładna cząstki jest wielkością stałą, czyli m = const. Możemy wtedy równanie ruchu Newtona zapisać:

Fdt

pdtvm

dt

d

dt

tvdm

dt

trdm

))((

)()(2

2

Ogólne równanie ruchu Newtona

czyli

Fdt

pd

Ostatnie równanie jest ogólniejsze niż poprzednie równanie, gdyż pozwala opisać ruch ciała o zmiennej masie.

Szybkość zmian pędu ciała jest równa sile zewnętrznej działającej na cząstkę.

10

Całkując ostatnie równanie w przedziale t = t –t0 , otrzymujemy:

t

t

t

t

dtFdtdt

pd

00

czyli

t

t

IdtFtptpp0

)()( 0

nazywamy popędem siły (impulsem siły).I

Jednostką popędu siły jest 1 niutonosekunda=1N·1s=1N·s

Zmiana pędu cząstki w przedziale czasu t jest równa popędowi siły w tym przedziale czasu

p

I

11

Tę samą zmianę pędu możemy osiągnąć albo działając siłą o małej wartości w dużym przedziale czasu, albo też działając siłą o dużej wartości w małym przedziale czasu.Siła o dużej wartości działająca w małym przedziale czasu nazywana jest siłą impulsową lub zderzeniową.

t

F t

t

dtFp0

12

III zasada dynamiki Newtona, Zasada akcji i reakcji

Gdy dwa ciała o masach m1 i m2 oddziałują wzajemnie, to siła F12

wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły F21, jaką ciało pierwsze działa na drugie

021122112 FFFF

13

Jeśli mamy większą liczbę n ciał oddziałujących wzajemnie, to:

, 1

0n

iki ki k

F

14

Przyczyny ograniczające ruch cząstki nazywamy więzami.Istnienie więzów powoduje, że w równaniach ruchu należy uwzględnić dodatkową siłę nazywaną siłą reakcji lub reakcją więzów.

Równanie ruchu cząstki poddanej więzom zapiszemy następująco:

RFtvrFdt

trdm

),,(

)(2

2

Siły reakcji mają kierunek prostopadły do krzywej lub powierzchni definiującej więzy.

Q

FR

Fwyp

Siła reakcji

15

Opory ruchu

Przykłady występowania oporów ruchu:

• Klocek przesuwający się po płaskiej powierzchni porusza się z malejącą prędkością. Jest to przykład tarcia poślizgowego

• Walec toczący się po płaskiej powierzchni także porusza się z malejącą prędkością. Przykład tarcia tocznego • Spadanie pod wpływem siły ciężkości kulki metalowej w cieczy odbywa się ze stałą prędkością. Przykład tarcia wewnętrznego w ośrodku (lepkości cieczy)

16

Równanie ruchu ciała w przypadku działania oporów ośrodka ma postać:

TFFam

TF

- siła tarcia

Siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do wektora prędkości ciała TF

vTT iFF

gdzie

v

viv

- wersor o kierunku

i zwrocie prędkości

vT iFFam

Fn

FFT

17

Pełne równanie ruchu wymaga uwzględnienia również siły reakcji więzów RF

RT FFFam

RF

F

TF

Tarcie poślizgowe i tarcie toczne nazywamy tarciem zewnętrznym

PRAWA TARCIA

„I prawo tarcia” Siła tarcia między dwoma ciałami jest proporcjonalna do siły normalnej utrzymującej te ciała w zetknięciu.

NT FF - współczynnik tarcia

W postaci wektorowej: vNT iFF

18

Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie elektromagnetyczne cząstek stykających się ciał. Powierzchnie nigdy nie są idealnie równe. Na poziomie mikroskopowym cząstki jednego ciała „blokują drogę” cząstkom drugiego ciała.

Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego) styku ciał jest w normalnych warunkach wiele rzędów wielkości mniejsza niż powierzchnia geometryczna

Interpretacja mikroskopowa tarcia

19

„II prawo tarcia” Przy danej sile nacisku FN siła tarcia poślizgowego nie zależy od wielkości powierzchni zetknięcia między dwoma ciałami.

Wyróżniamy dwa rodzaje współczynników tarcia:-Współczynnik tarcia statycznego - który pomnożony przez siłę nacisku daje minimalną wartość siły (zwanej siłą tarcia statycznego), którą trzeba przezwyciężyć, aby wprowadzić w ruch ciało spoczywające na powierzchni. -Współczynnik tarcia kinetycznego - który pomnożony przez siłę nacisku daje siłę tarcia kinetycznego, czyli siłę którą należy zrównoważyć aby ciało ślizgające się po powierzchni mogło utrzymać się w ruchu jednostajnym.

SK

K

S

Przeważnie

20

Przykładowe współczynniki tarcia dla wybranych materiałów:

21

„III prawo tarcia” Dla niedużych prędkości współczynnik tarcia kinetycznego nie zależy od prędkości ślizgającego się ciała.

Dla dużych prędkości współczynnik tarcia kinetycznego maleje wraz ze wzrostem prędkości.

22

Tarcie toczne

Poza tarciem statycznym i kinetycznym (poślizgowym) wyróżniamy tarcie toczne:

FN

TT ir

FF

Współczynnik tarcia tocznego jest zwykle bardzo mały

T

Przykładowo: drewno + drewno = 0,0005 m stal hartowana + stal = 0,00001 mT

T

23

Opis ruchu w nieinercjalnym układzie odniesienia

(materiały uzupełniające)

24

Załóżmy, że mamy inercjalny (U) i nieinercjalny (U’) układ odniesienia.Jeżeli w układzie U’ cząstka P porusza się z przyspieszeniem a’, a układ U’ porusza się względem U z przyspieszeniem a0, to cząstka P w układzie U porusza się z przyspieszeniem

0' aaa

Przyspieszenie a0 jest sumą przyspieszenia translacyjnego i rotacyjnego

rottr aaa

0

Rozważmy przypadek, że układy U i U’ poruszają się względem siebie ruchem obrotowym z prędkością kątową

Dla wektorów wodzących punktu P istnieje zależność

'rr

25

Transformacja prędkości między tymi układami ma postać

'' rvv

Różniczkując po czasie otrzymujemy

''2'' rvrdt

daa

Człon jest związany z przyspieszeniem kątowym układu U’'rdt

d

Wektor jest przyspieszeniem Coriolisa'2 v

Wektor jest przyspieszeniem dośrodkowym 'r

''2'0 rvrdt

da

Przyspieszenie

względne układów:

26

Załóżmy, że obserwator O’ chce zastosować w swoim nieinercjalnym układzie odniesienia następującą definicje siły

BFFamamamF

0''

'' Fam

Wykorzystując transformacje przyspieszenia otrzymujemy

F

- Siła zmierzona w inercjalnym układzie odniesienia

0amFB

- siła bezwładności.

Siła bezwładności jest nazywana siłą pozorną. Uwzględnienie tej siły jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady dynamiki w układach nieinercjalnych.

Siła bezwładności nie jest związana z oddziaływaniem otoczenia na cząstkę P. Wiąże się ona wyłącznie z tym, że układ U’ nie jest układem inercjalnym.

27

Siłę bezwładności możemy zapisać

''2' rmvmrdt

dmamF trB

'2 vmFBC

- Siła Coriolisa

rmrmFBO

2' - Siła odśrodkowa

Ruch ciała możemy opisywać albo w układzie inercjalnym korzystając z rzeczywistych sił, lub w układzie nieinercjalnym uwzględniając siłę bezwładności. Oba opisy są prawidłowe. Szczególnie układ nieinercjalny można dobrać tak, by zagadnienie dynamiczne sprowadzić do problemu statycznego.

0 BFF

28

Siła bezwładności na ZiemiZiemia nie jest inercjalnym układem odniesienia przede wszystkim ze względu na jej dzienny ruch obrotowy. W układzie związanym z Ziemią występuje zatem siła bezwładności Coriolisa i odśrodkowa

( ) 2 ( )ma F m r m v

Skutkiem działania tych sił są następujące efekty;

1. Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej,2. Odchylenie kierunku pionu ciała wiszącego nad Ziemią na pewnej wysokości,3. Wpływ sił Coriolisa na kierunek wiatrów,4. Obrót płaszczyzny wahań wahadła Foucault,5. Odchylenie toru przy spadku swobodnym,6. Przyjęcie przez Ziemię kształtu geoidy.

29

Siła odśrodkowa jest największa na równiku, a na biegunie wynosi 0.Wypadkowe przyspieszenie ziemskie będzie równe

aOd

gg0

r

R

aOd

g

g0

Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej

rgRgg 2

00

Wpływ przyspieszenia odśrodkowego:

cos)1034.3(

cos

22

22

s

m

Rr

30

Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu wahadła obraca się z prędkością kątową

Wahadło Foucault'a 1851 r.

w Warszawie ( = 52º):

sin1

h/121

Dla startu z położenia równowagi

Dla startu z położenia maksymalnego wychylenia

31

Odchylenie toru przy spadku swobodnym

32