PODOBNOSŤ TROJUHOLNÍKOV

Základná škola9. ročník

Ing. Peter Greguš

Obsah• Zhodnosť trojuholníkov• Veta sss• Veta sus• Veta usu• Desatinné číslo a zlomok• Pomer• Príklad na pomer• Podobnosť geometr.

útvarov• Podobnosť trojuholníkov• Veta sss• Príklad na vetu sss• Veta sus• Príklad na vetu sus• Veta uu• Príklad na vetu uu

• Príklady na podobnosť• Príklad 1 (zistiť podobnosť)• Príklad 2 (zmeniť trojuholník)• Príklad 3 (obvod, obsah)• Koeficient pri obvode a obsahu• Príklad 4 (obvod, obsah)• Príklad 5 (obvod, obsah)• Príklad 6 (strom)• Príklad 7 (rybník)• Príklad 8 (komíny)• Príklad 9 (obdĺžnik)• Príklad 10 (štvorec)• Geom.útvary jedným údajom• Test• Úoha

Opakovanie (netreba opisovať) Nové učivo (treba opisaovať)

Definícia Zhodnosti trojuholníkov

Dva trojuhoníky sa zhodujú, ak sa zhodujú - vo všetkých odpovedajúcich si stránach - vo všetkých odpovedajúcich si uhlov.

VETA (sss)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách sú zhodné.

C

BA

C’

A’ B’

ab

c

a’b’

c’

''' CBAABC

''

''

''

ACCA

CBBC

BAAB

VETA (sus)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné.

C

BA

C’

A’ B’

α

b

c

α’

b’

c’

'''

''

''

BACCAB

CAAC

BAAB

''' CBAABC

VETA (usu)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.

C

BA

C’

A’ B’

α β

c

α’ β’

c’

'''

'''

''

CBAABC

BACCAB

BAAB

''' CBAABC

Desatinné číslo a zlomokDesatinné čísla <1

Desatinné čísla >1

Desatinné čísla =1

Zlomky <1

Zlomky >1

Zlomky =1

0,2 ; 0,8 ; 0,12; 0,93

1,4 ; 2,5 ; 18,1; 20,0

1 ; 1,0 ; 1,00; 1,000

15

13;

11

2;5

1;4

3

17

19;

7

12;5

6;2

5

25

25;

16

16;7

7;2

2

čitateľ < menovateľ

čitateľ > menovateľ

čitateľ = menovateľ

Pomer

3:2k

7:4k

5:1k

3:4k

2:7k

1:2k

3

2

7

4

5

1

3

4

2

7

1

2 2

1

1

1 1

1

1

Zmenšenie

k<1

Zväčšeniek>1

k = 2 : 3

Počet dielov novej

veľkosti

Počet dielov

pôvodnejveľkosti

Príklad na pomer1.) Úsečku |AB| = 24 cm

zmeňte v pomere k = 3:4

2.) Úsečku |KL| = 35 cm zmeňte v pomere k = 6:5

4 diely...pôvodná úsečka 24 cm

1 diely...24 : 4 = 6 cm

3 diely...nová úsečka 3.6=18 cm

|A’B’| = 18 cm

alebo

4

34:3 k

cmz 244

3cm24

4

3 cm18

5 diely...pôvodná úsečka 35 cm

1 diely...35 : 5 = 7 cm

6 diely...nová úsečka 6.7=42 cm

|K’L’| = 42 cm

alebo

5

65:6 k

cmz 355

6cm35

5

6 cm42

Podobnosť geometr.útvarov

C A

P

BQ

R

c=5cm

b=4cm

a=3cm r=10cm

q=8cm

p=6cm

zväčšenie

zmenšenie

Porovnávame strany:

najdlhšiu (c) z ΔABC s najdlhšou (r) z ΔPQR

strednú (b) z ΔABC so strednou (q) z ΔPQR

najkratšiu (a) z ΔABC s najkratšou (p) z ΔPQR

25

10k

24

8k

23

6k

Vzor Obraz

k – koeficient podobnosti

vzor

obrazk

Ak k>1, potom ide o zväčšenie.Ak k<1, potom ide o zmenšenie.Ak k=1, potom ide o zhodnosť.

Podobnosť je zväčšenie alebo zmenšenie.

Každá strana musí byť rovnako krát zväčšená (zmenšená).

Definícia Podobnosti trojuholníkov

a

a

b

b

c

ck

''' '''

Dva trojuholníky sa podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a zhodné odpovedajúce si uhly.

C A

B

c

b

a

B’

C’

c’

b’

a’

A’

'''~ CBAABC

Znak podobnosti

Znak zhodnosti

VETA (sss)

Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dĺžok každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú.

C

BA

C’

A’ B’

ab

c

a’b’

c’ '''~ CBAABC

||

|''|

||

|''|

||

|''|

CA

AC

BC

CB

AB

BA

Príklad na vetu (sss)

12 cm

15 cm9 cm

4 cm

5 cm3 cm

S

T

U

O

P

R

3

1

15

5

r

u3

1

12

4

p

t

3

1

9

3

q

s sss

STUPQR ~

3

1k

Poznámka: Koeficienty musia byť všetky tri rovnaké. Ak by boli len dva rovnaké, tak by trojuholníky neboli podobné.

VETA (sus)

Každé dva trojuholníky, ktoré majú ten istý pomer dĺžok dvoch dvojíc odpovedajúcich si strán a zhodujú sa v uhle nimi určenom sú podobné.

C

BA

C’

A’ B’

b

c

b’

c’

'''~ CBAABC

'''

||

|''|

||

|''|

CABBAC

AC

CA

AB

BA

α

α’

Príklad na vetu (sus)

120°2 cm4 cm

4 cm

8 cm

120°Y

Z

X

F

D E

24

8

e

y2

2

4

d

x

120120

' sus

XYZDEF ~

2kPoznámka: Koeficienty musia byť obidva rovnaké a uhly rovnaké. Inak by trojuholníky neboli podobné.

VETA (uu)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch vnútorných uhloch sú podobné.

C

BA

C’

A’ B’β

c

β’

c’'''~ CBAABC

'''

'''

CBAABC

CABBAC

α

α’

Príklad na vetu (uu)

80°

60°40°

40°

60°

80°

U

V

W

N

LM

4040

'

6060

'

8080

' uu

UVWLMN ~

?kPoznámka: Stačí zistiť dve dvojice uhlov. Ak sú dve dvojice rovnaké, tak potom bude aj tretia dvojica rovnaká. Pri tejto vete nevieme určiť koeficient.

Príklady na podobnosť trojuholníkov

1) Zisťovanie, či sú dané trojuholníky podobné.

2) Zväčšovanie alebo zmenšovanie trojuholníka daným koeficientom.

3) Slovné úlohy na podobnosť

Príklad 1Zistite, či trojuholník GHJ so stranami g=16cm, h=24cm, j=14cm je podobný s trojuholníkom MNO so stranami m=7cm, n=8cm, o=12cm.

najdlhšie strany:

h

ok

24

12

2

1

stredné strany:

g

nk

16

8

2

1

najkratšie strany:

j

mk

14

7

2

1

sss

MNOGHK ~

2

1k

Príklad 2

4

3k

Daný je trojuholník ABC, ktorého strany majú dĺžky a=6cm, b=4cm, c=8cm. Vypočítajte dĺžky strán trojuholníka DEF, ktorý je podobný s trojuholníkom ABC, ak koeficient

podobnosti je

cmc

cmb

cma

8

4

6

4

3k

akd

bke

fkc

64

3

44

3

84

3

4

18

4

12

4

24

cm5,4

cm3

cm6

Príklad 3Daný je trojuholník PQR, ktorého strany majú dĺžky p=3cm, q=4cm, r=5cm. Vypočítajte dĺžky strán, obvod a obsah trojuholníka STU, ktorý je podobný s trojuholníkom PQR, ak koeficient podobnosti je k=3.

cmr

cmq

cmp

5

4

3

cmo

o

12

543

26

2

43

cmS

S

3k

cmu

cmt

cms

1553

1243

933

cmo

o

36

15129

236

2

129

cmS

S

3k

92 k

Podobnosť obvodov trojuholníkov

oko 'o – obvod vzoru o’ – obvod obrazu

Podobnosť obsahov trojuholníkov

SkS 2'S – obsah vzoru S’ – obsah obrazu

Príklad 4Strany trojuholníka ABC majú veľkosť 6 m, 7 m, 8 m. Akú veľkosť majú strany trojuholníka A’B’C’ podobného s trojuholníkom ABC, keď obvod trojuholníka A’B’C’ je 84 m.

mc

mb

ma

8

7

6

'

'

'

c

b

a

mo 84'

?k?

?

?

cbao

876 o

mo 21oko '2184 k21:84k

4k

m2464

m2874

m3284

4k

Príklad 5Vypočítajte obvod a obsah trojuholníka, ak trojuholník vzniknutý zo stredných priečok tohto trojuholníka ma obvod 13cm a obsah 10 cm2.

o = 13 cmS = 10 cm2

stredná priečkamá polovičnú dĺžku z protiľahlej strany

A

B

C

A’

C’

B’

2

~'''

k

ABCCBA

cmo

o

oko

26'

132'

'

2

2

2

40'

102'

'

cmS

S

SkS

Príklad 6Pod stromom stojí chlapec a pozoruje svoj tieň a tieň stromu. Chlapec je vysoký 180 cm a jeho tieň má dĺžku 1,5 m. Tieň stromu má dĺžku 4,5 m. Aký vysoký je strom?

180 cm

1,5 m

4,5 m

x cm

Podľa vety (uu) sú trojuholníky podobné

5,1

5,4k 3

1803xcmx 540

mx 4,5

Strom je vysoký 5,4 m.

Príklad 7Na obrázku je znázornený rybník a na jeho brehu sú vyznačené dva body A, B, Vypočítajte vzdialenosť bodov A, B z údajov vyznačených na obrázku.

160 m

240 m

560 m

x

Podľa vety (uu) sú trojuholníky podobné

240

560k

3

7

1603

7x

3

1120 m3,373

Vzdialenosť medzi bodmi A, B je približne 373 m.

Príklad 8Pozorovateľ vidí dva komíny K1, K2 v rovnakom zornom uhle α . Od komína K1 je vzdialený 90 m a od komína K2 72 m. Komín K1 má výšku 45 m. Akú výšku má komín K2?

72 m

K2

K1

90 m

45 m

x

Podľa vety (uu) sú trojuholníky podobné

72

90k 25,1

4525,1 x

25,1:45x

mx 36

Komín K2 je vysoký 34 m.

Príklad 9Rám obrazu je zhotovený z lišty širokej 6 cm. Rozmery obrazu sú 74 cm a 57 cm. Sú vnútorné a vonkajšie okraje rámu dva podobné obdĺžniky?

74 cm

57 cm

62 cm

45 cm

62

74ak

31

37

45

57bk

15

19

19,1

27,1

Vnútorné a vonkajšie okraje rámu nie sú dva podobné obdĺžniky.

Príklad 10Je štvorec so stranou dlhou 10 cm podobný so štvorcom so stranou dlhou 17 cm ?

10 cm

10 cm

10 cm

10 cm

17 cm

17 cm

17 cm

17 cm

7,110

17k Geometrické útvary, ktoré sú

dané jedným údajom sú vždy podobné.

Podobné geometrické útvary sú každé dva:

Rovnostranné trojuholníky

Štvorce

Pravidelné päťuholníky

Pravidelné šesťuholníky

Pravidelné n-uholníky

Kruhy

TEST1) Každé dva rovnostranné trojuholníky sú zhodné. (A-N) 2) Ak sú dva trojuholníky zhodné, potom platia všetky

vety o zhodnosti trojuholníkoch. (A-N) 3) Každý zlomok, ktorý je väčší ako jedna, je väčší ako

každé desatinné číslo, ktoré je menšie ako jedna. (A-N)

4) Ak v pomere prvá číslica nie je väčšia ako druhá, potom ide o zmenšenie. (A-N)

5) Každý pomer sa dá vyjadriť ako zlomok. (A-N)6) Koeficient podobnosti je vždy kladné číslo. (A-N)7) Ak sú dva trojuholníky podobné podľa vety (uu),

potom sa zhodujú vo všetkých troch uhloch a koeficient podobnosti nepoznáme. (A-N)

8) Ak je trojuholník x-krát zmenšení, potom má aj x-krát menší obvod. (A-N)

9) Žiadne dva obdĺžniky nie sú podobné. (A-N)10)Každé dva 8-uholníky sú podobné. (A-N)

Odpovede:

1)N;

2)A;

3)A;

4)N;

5)N;

6)A;

7)A;

8)A;

9)N;

10)N.

Vyskúšajte si test sami, o každom tvrdení uveďte, či je pravdivé (A) alebo nepravdivé (N).

Zväčšenie geometrických útvarov s koeficientom k=2na štvorcovej sieti

Úloha: Na milimetrovom papieri zrobte: str.60/cv.2 (farebne).

Túto úlohu budem známkovať.

Toto je moderný spôsob vzdelávania E-learning.

Takto sa bude vzdelávať v blízkej budúcnosti už aj na stredných

školách.

Už nebudete musieť vidieť „učiteľov “. Alebo „učiteľov “ ???