PM zijn de Principia Mathematica.Deze vormen een formeel systeem voor de wiskunde.Ze zijn beschreven door A.N. Whitehead and B. Russell.

Gödel bepaalt het formele systeem

R is een formule in PM.

Gödel benoemt R

Rn is de n-de formule R in PM.

Gödel benoemt R

( n behoort tot de natuurlijke getallen: n )

Rn(n) is de n-de formule R met variabele n in PM.

Gödel benoemt R

( n behoort tot de natuurlijke getallen: n )

Gödel noemt Rn(n) een klasseteken.

Gödel benoemt R

K = { n }

K is de verzameling van natuurlijke getallen n ...

Gödel definieert K

K = { n | }

K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar ...

Gödel definieert K

K = { n | Rn(n)}

K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) ...

Gödel definieert K

K = { n | (Rn(n))}

K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet ...

Gödel definieert K

K = { n | Bewijsbaar(Rn(n))}

K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet bewijsbaar is ...

Gödel definieert K

K = { n | Bewijsbaar(Rn(n))} (1)

Volledig: K is de verzameling van natuurlijke getallen n, waar de formule Rn(n) niet bewijsbaar is in het systeem PM.

Gödel definieert K

Er is een klasseteken S.

Gödel benoemt S

De formule S(n) stelt dat een natuurlijk getal n behoort tot K.

Gödel benoemt S

S(n) n K

En meer specifiek voor een natuurlijk getal q:

S(q) q K

Als klasseteken is S identiek met een specifieke Rq

voor een bepaald natuurlijk getal q, in formule:

Gödel benoemt S en Rq

S Rq

S(q) Rq (q)

En S(q) is identiek met Rq (q), in formule:

Gödel benoemt S en Rq

De propositie Rq(q) is onbeslisbaar in PM.

Gödels stelling

(Een propositie is een bewering)

Stel dat de propositie Rq(q) bewijsbaar is, dan zou hij ook waar zijn; maar dat betekent dat q tot K behoort, en dus Bewijsbaar(Rq(q)) waar zou zijn, in tegenstelling tot onze beginaanname.

In formule:

Uitwerking van Gödels stelling

Bewijsbaar(Rq(q)) Rq(q) S(q) q K Bewijsbaar(Rq(q))

Als echter de ontkenning van Rq(q) bewijsbaar zou zijn, dan zou q niet behoren tot K, dat wil zeggen Bewijsbaar(Rq(q)) waar zijn.

In formule:

Bewijsbaar(Rq(q)) (Rq(q)) (S(q)) q K Bewijsbaar(Rq(q))

Uitwerking van Gödels stelling

Rq(q) zou dan dus bewijsbaar zijn tegelijkertijd met zijn ontkenning, wat onmogelijk is.

Uitwerking van Gödels stelling

De analogie van dit resultaat en Richard's paradox is opvallend; er is ook een nauwe verwantschap met de paradox van de leugenaar, aangezien de onbeslisbare propositie Rq(q) precies stelt dat q tot K behoort, ofwel overeenkomstig (1), dat Rq(q) niet bewijsbaar is.

Reflexie over Gödels stelling

We hebben dus een theorie, die zijn eigen onbewijsbaarheid stelt.De bewijsmethode, die we zojuist toepasten is klaarblijkelijk toepasbaar voor elk formeel systeem dat enerzijds voldoende expressief is om de definiëring van de bovengenoemde concepten toe te staan (in het bijzonder het concept "bewijsbare formule") en waarin aan de andere kant alle bewijsbare formules ook waar zijn.

Reflexie over Gödels stelling

Vanuit de opmerking dat Rq(q) zijn eigen onbewijsbaarheid stelt volgt onmiddellijk dat Rq(q) correct is, aangezien Rq(q) in feite onbewijsbaar is (omdat hij onbeslisbaar is).De stelling die onbeslisbaar is in het systeem PM wordt dus beslist door metawiskundige overwegingen. De exacte analyse van dit vreemde feit leidt tot het verrassende resultaat over consistentiebewijzen voor formele systemen.

Reflexie over Gödels stelling