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LaherenciadeGdel:revisitandolaLgicaARTICLEJANUARY2012

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La herencia de Gdel: revisitando laLgica

Dr. Giuseppe Ragun Universidad UCAM de Murcia, Espaa - graguni@ucam.edu

May 3, 2013

Original publicado en Nexofa - La Torre del Virrey (mayo 2012)http://www.latorredelvirrey.es/libros/libros_2012_10/pdf/364.pdf

1. Prlogo

2. El lastre de una frase

3. Licencias de Chaitin

4. Una clasificacin caduca

5. La interpretacin del Segundo Teorema de incompletitud

Abstract

Se exponen algunas equivocaciones sobre temas fundamentales de Lg-ica frecuentemente difundidas: la interpretacin de los dos Teoremas deincompletitud, algunos desaciertos de Chaitin y la clasificacin corrientede los Sistemas axiomticos segn el orden expresivo del lenguaje.

Some common fallacies about fundamental themes of Logic are ex-posed: the First and Second incompleteness Theorem interpretations,Chaitins various superficialities and the usual classification of the ax-iomatic Theories en function of its language order.

PALABRAS CLAVE: Incompletitud, indecidibilidad, completitud semntica,casualidad, categoricidad, constante de Chaitin, lenguajes del se-gundo orden, consistencia.

KEYWORDS: Incompleteness, undecidability, semantic completeness, categoric-ity, randomness, Chaitins constant, first and second order languages,consistency.

1. PrlogoDesde siempre, despus de haber gozado de los frutos del genio de algunos hom-bres extraordinarios, tenemos que expiar la indiscutibilidad de cualquiera de sus

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conclusiones: todo aquello que han afirmado es oro. En Fsica, un experimentopuede acabar con la ms obstinada de las persuasiones, pero si la materia esten relacin con la Filosofa pura, las cosas son mucho ms complicadas y casinunca solucionables de manera perentoria.

Sin embargo en algunos sectores aplicados de la Filosofa, como en la Lgicamatemtica, desde hace algn tiempo es posible - e imperioso - exigir exactitudy rigor. El formalismo introducido por Hilbert a finales del XIX, de hecho, hadotado a las Disciplinas matemticas de una sistematizacin simblica estable,privada de la ambigedad de intervenciones intuitivas y susceptible de un rig-uroso anlisis epistemolgico. Consecuencia de ello han sido los admirables - yasombrosos - resultados de la Lgica moderna, encabezados por las demostra-ciones de Gdel.

A pesar de lo dicho, hoy en da todava son muy habituales no pocos erroresgraves y equivocaciones incluso sobre temas de importancia fundamental. Estosdeslices, junto al uso de una terminologa que ya desde tiempo se ha reveladocomo insidiosa e insuficiente, obstaculizan la difusin - y no slo en mbitohumanstico - de este inestimable y fascinante saber.

Aclararemos brevemente algunas de estas confusiones, conscientes de nopoder exigir, en esta sede, el adecuado grado de profundidad que los argumentosmereceran.

2. El lastre de una fraseEl primer apunte concierne al mbito de aplicacin del Primer Teorema de in-completitud de Gdel. Omitiremos, aqu, tanto la enunciacin como las impor-tantsimas consecuencias de este famoso Teorema, que el lector podr encontraren un cualquier buen libro de Lgica. Lo que hay que subrayar es que las propiashiptesis del Teorema exigen la numerabilidad del conjunto de los teoremas y delas demostraciones de la Teora a la cual puede aplicarse1. Como operacin pre-via a la demostracin, Gdel establece un particular cdigo numrico (llamadobrevemente gdeliano) tanto para los enunciados como para las demostraciones.Cuando se aplica a la Teora formal2 de los nmeros naturales (o Aritmtica dePeano, desde ahora PA), esta codificacin hace que a cada enunciado y a cadademostracin resulte asignado un cdigo numrico, nico y exclusivo. Pero,qu pasa si se hace lo mismo con una Teora aritmtica que posee un nmerono numerable de teoremas? Esta Teora existe y se llama normalmente Arit-mtica del segundo orden. En sus premisas se halla un esquema axiomticometamatemtico que, generalizando el principio de induccin de PA, introduceun axioma para cada elemento de P(N), el conjunto de todos los subconjuntos denmeros naturales. Puesto que este conjunto, como es bien sabido, no es numer-able, se sigue que tambin los conjuntos de los teoremas y de las demostraciones

1Un conjunto se dice numerable si existe una correspondencia biunvoca de sus elementoscon los nmeros naturales.

2En todo el artculo, con el adjetivo formal entenderemos "privado de significado explcito",o bien simblico, sintctico, codificado.

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son innumerables. Por lo tanto, en esta Teora, no todas las demostracionespueden poseer un distinto gdeliano: o seran numerables. La no numerabilidadde las demostraciones revela el uso imprescindible de una estrategia intrnseca-mente semntica (o sea con empleo de significados no enteramente codificables)para la deduccin de los teoremas. Aun queriendo considerar el principio deinduccin completa como un solo enunciado simblico, se constituye un axiomasemntico que no es decidible (ni efectivamente numerable), en cuanto su seman-ticidad no es eliminable. A esta conclusin se llega, por ejemplo, representandoel Sistema en la Teora formal de los conjuntos3: el axioma se traduce en un es-quema axiomtico conjuntista que genera una cantidad innumerable de axiomasinductivos4.

La simple consecuencia es que el Primer Teorema de incompletitud no puedeaplicarse a la Aritmtica del segundo orden5. Sin embargo este equvoco ha sidolarga y escandalosamente difundido en todas partes, hasta en mbitos espec-ficamente tcnicos6. A menudo se percibe un tpico e inesperado abandono derigor terminolgico sobre la cuestin (quizs indicio de dudas mal escondidas);una frase reiterada, por ejemplo es: tambin la Aritmtica de segundo orden,puesto que contiene los axiomas de PA, es sojuzgada por Teorema de incom-pletitud. Olvidando que tambin debe conservarse la efectiva axiomatizabilidad.Emblemtico es el caso de la Teora que se obtiene desde PA aadiendo comoaxiomas todos los enunciados de PA verdaderos en el modelo estndar : statambin contiene todos los axiomas de PA, pero es completa.

Para decirlo todo, incluso es posible que la Aritmtica del segundo orden seasintacticamente completa, aunque su lenguaje sea semanticamente incompleto.Tratndose de un Sistema no formal, la respuesta a esta interesante preguntano puede que ser obra de la Metamatemtica7.

Quedan bien pocas dudas de que esta situacin se deba a excesiva reve-rencia por la figura de Gdel. En la presentacin del Teorema de incompleti-tud en el congreso de Knigsberg del 1930, Gdel anunci su resultado como. Se habla, sin duda, de la Aritmtica del segundo orden, la cual, a

3Una cualquiera entre NBG, ZF o MK.4G. Ragun, Confines lgicos de la Matemtica, revista cultural La Torre del Vir-

rey - Nexofa, en la Web: http://www.latorredelvirrey.es/nexofia/pdf/Confines-logicos-de-la-matematica.pdf (2011), p. 153-158. Tambin disponible en Bubok, Lulu y Scribd.

5De hecho en esta Teora, el enunciado de Gdel, cuya interpretacin estndar es noexiste cdigo de una demostracin de este mismo enunciado ya no equivale a yo no soydemostrable en esta Teora, como sucede en PA.

6Dos ejemplos: , E. Moriconi, I teoremi di Gdel, SWIF (2006), en la Web:http://lgxserve.ciseca.uniba.it/lei/biblioteca/lr/public/moriconi-1.0.pdf, p. 32; C. Wright,On Quantifying into Predicate Position: Steps towards a New(tralist) Perspective (2007),p. 22. En este ltimo trabajo quizs es significativo que el autor comente esta propiedadcon una serie de delicadas cuestiones epistemolgicas. De todas formas, en ambos casos lapropiedad es considerada como obvia, sin ninguna explicacin.

7G. Ragun, op. cit. (nota n. 4), p. 296-297.8K. Gdel, Collected Works I: publications 1929-1936, eds. S. Feferman et al., Oxford

University Press (1986), p. 26-29.

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diferencia de PA, es categrica9. Gdel, por lo tanto, funda su afirmacin apli-cando - equivocadamente - el Primer Teorema de incompletitud a la Aritmticadel segundo orden: de la incompletitud sintctica y de la categoricidad se sigue,efectivamente, tambin la incompletitud semntica. A pesar del error, la con-clusin es correcta: como consecuencia del Teorema de Lwenheim-Skolem10,la categoricidad y la infinidad de un modelo son suficientes para garantizar laincompletitud semntica del lenguaje de una Teora cualquiera. Sin embargo,antes del 1936, cuando se hizo popular la generalizacin de Malcev, ningn lgicodel tiempo (incluidos Skolem y Gdel) se dio cuenta de todas las desconcertantesconsecuencias de este ltimo fundamental Teorema.

Ahora bien, tratndose del lgico ms grande de todos los tiempos, cabepreguntarse no slo qu lo indujo a error, sino sobre todo por qu su afirmacinnunca ha sido corregida posteriormente. Contestar a la primera cuestin noparece fcil. Habra que observar que Gdel, por lo menos hasta el 1930, muyraramente distingue los dos tipos de Aritmtica, tan diferentes desde el puntode vista lgico. Por otra parte en aquel perodo, ni l ni ningn otro lgicoevidencia nunca la intrnseca semanticidad de las Teoras con un nmero nonumerable de enunciados. Y sus consecuencias.

Se puede bien comprender, sin embargo, porque no nos haya llegado ningntipo de correccin sobre la mencionada afirmacin. La razn es que sta involu-cra un argumento - la completitud / incompletitud semntica y su relacin conla categoricidad - que en el fondo, como se entendi sucesivamente, tiene pocoque ver con la completitud sintctica y por consiguiente con el Primer Teoremade incompletitud. En el curso de los aos 30, dicho tema era de mucha actual-idad, sobre todo a causa de las preocupaciones de Hilbert acerca del problemade la categoricidad. Gdel empez demostrando que el lenguaje formal clsico11es semnticamente completo: si es consistente, siempre tiene por lo menos unmodelo12. De ello segua que una Teora formal sintacticamente incompleta, esdecir, con al menos un enunciado indecidible I, no poda ser categrica. Porquesta admite al menos dos modelos no isomorfos: uno para el cual I es verdaderoy otro para el cual es falso. Adems de esto, Gdel sigui conjeturando - comotcitamente supuso Hilbert y todos los lgicos de aquel tiempo - que la completi-tud sintctica de una Teora formal (o, ms en general, de una Teora con unlenguaje semnticamente completo) implicaba su categoricidad. En consecuen-cia, justo despus de su aceptacin, el Primer Teorema de incompletitud se viocomo un instrumento capaz de discriminar la categoricidad y/o la completitudsemntica de los Sistemas. Por ejemplo, se juzg que la Teora formal PA erano categrica porque era sintacticamente incompleta.

Como ya sealamos, la comprensin completa del Teorema de Lwenheim-9Una Teora se dice categrica si admite un nico modelo a menos de isomorfismo. En

palabras ms sencillas (pero tambin ms inexactas), si admite una nica interpretacin cor-recta.

10Se incluye, aqu, tanto la versin para arriba como para abajo del Teorema.11Preferimos emplear esta expresin en lugar de la ms habitual Lgica clsica del Primer

orden, por razones que aclararemos en el prrafo 4.12Teorema de completitud semntica, 1929.

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Skolem puso de manifiesto, despus de algunos aos, que la categoricidad esimposible para todo Sistema formal (o, ms en general, con un lenguaje semn-ticamente completo) dotado de un modelo infinito (que es el caso de las Dis-ciplinas de ordinario inters); ya sea el mismo sintacticamente completo o no.De esta manera, el tema en cuestin se descifraba finalmente gracias a las con-secuencias del Teorema de completitud (de donde, en efecto, deriva el mismoTeorema de Lwenheim-Skolem). Ni Gdel, ni otros lgicos enterados tuvieronbuenas razones para volver sobre una frase que, en definitiva, se haba reveladopor lo menos desviadora a cerca de las consecuencias del Primer Teorema deincompletitud. Las cuales eran s, muy profundas, pero concernan aspectos denaturaleza fundamentalmente distinta. Los ms significativos relacionados conel concepto, nuevo y arrollador, de mquina, como fue aclarado principalmentepor Church, Turing y luego Chaitin.

El triste eplogo es que, an hoy, resultan frecuentes afirmaciones que, ensustancia, ratifican la desafortunada frase de Gdel sin ningn tipo de correc-cin. Por ejemplo: 13.Pasando por alto la terminologa del orden expresivo (que en efecto, comomostraremos ms adelante, es ambigua), de nuevo parece que, en primer lu-gar, se quiera sugerir la transmisin automtica de la incompletitud sintcticaal Sistema ampliado, o sea, al de segundo orden (primera equivocacin); y,a continuacin, a partir de la incompletitud sintctica y de la categoricidad,deducir la incompletitud semntica (cuando bastara la categoricidad ms lainfinidad de un modelo). Por lo dems, la afirmacin se desmiente literalmentecon la simple observacin de que tampoco para el lenguaje de la Teora integralde los reales (de segundo orden, en su versin original), informal y categrica,vale el Teorema de completitud semntica; y esto a pesar de que su versin for-mal de primer orden sea sintcticamente completa (como mostrado por Tarski).Evidentemente, la incompletitud semntica del lenguaje de esta Teora la pro-duce slo su categoricidad, junto a la infinidad del modelo. Cul sera aqu elpapel jugado por la incompletitud sintctica de PA?

Tambin en un libro ms reciente se pretende concluir la incompletitudsemntica de la "lgica del segundo orden" bien empleando el Primer Teoremade incompletitud, bien el Teorema de Church-Turing14. En el primer caso, elTeorema se aplica ilegtimamente a la Aritmtica del segundo orden. En el se-gundo caso el autor - en lnea con otros autores - funda la demostracin sobreel hecho de que 15. Se entiende una efectiva numerabili-dad. Sin embargo esta consecuencia admite que todas las frmulas del segundoorden sean numerables. Pero si con la expresin "lgica del segundo orden" sequiere indicar un Sistema numerable, resulta que la Aritmtica categrica se

13E. Moriconi, ibidem (nota n. 5). Una frase muy similar se repite en el abstract di F.Berto, Gdels first theorem, ed. Tilgher Genova, fasc. Epistemologia 27, n.1 (2004).

14C. L. De Florio, Categoricit e modelli intesi, ed. Franco Angeli (2007).15C. L. De Florio, op. cit., p. 54. Traduccin del autor.

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quedara fuera de ella!En realidad, hasta que la incompletitud (o completitud) sintctica de la Arit-

mtica del segundo orden quede indemostrada, no se desvelan alternativas al usodel Teorema de Lwenheim-Skolem para demostrar la incompletitud semnticade su lenguaje.

Finalmente, se repite a menudo incluso el viejo tropiezo de que la no cate-goricidad de la Aritmtica formal se debe a su incompletitud sintctica. Algoparecido a decir que la infinidad de los polgonos se debe al hecho de que lostringulos issceles sean infinitos.

3. Licencias de ChaitinEn el 1970, Gregory Chaitin formul una interesante versin informtica delPrimer Teorema de incompletitud. En su exposicin ms simple, sta prescribeque cualquier mquina que verifica la Tesis de Church-Turing16 puede establecerla casualidad de un nmero necesariamente finito de cadenas de smbolos. Lacasualidad de una cadena simblica, se define mediante la imposibilidad, parala mquina misma, de comprimirla ms all de un cierto grado (che deber fi-jarse antes). Para toda mquina, existe un nmero infinito y preponderante decadenas casuales: de hecho, se puede fcilmente concluir que, fijada arbitrari-amente una cadena finita de smbolos, la probabilidad de que una preestable-cida mquina pueda comprimirla es siempre bastante baja (excepto de quererconsiderar un grado de compresin realmente irrisorio). A pesar de esto lascadenas comprimibles son, ciertamente, infinitas; adems hay que subrayar quelos ordinarios productos humanos, codificados en smbolos, casi siempre no soncasuales17. Gracias a la interpretacin de Chaitin, sabemos que una mquinacualquiera puede indicarnos slo un nmero finito de las cadenas que no puedecomprimir. Como consecuencia, ningn programa de compresin, que terminesiempre, puede ser establecido con certeza como ideal, o sea no mejorable: porabsurdo, sera capaz de establecer la casualidad de cualquier cadena casual,por el hecho de no conseguir comprimirla; en violacin de dicha versin de laincompletitud18.

Desgraciadamente Chaitin ha difundido afirmaciones superficiales, a menudoincorrectas, que producen peligrosas confusiones sobre el tema de la incompleti-tud, de por s ya no tan fcil. El hecho de que las mencionadas conclusionesvalgan tambin para mquinas universales19, lo ha inducido, en primer lugar, a

16Esta famosa Tesis, no es ms que la hiptesis de que todas las mquinas sean repro-ducibles lgicamente mediante las funciones recursivas y viceversa. Las funciones recursivasrepresentan todo el posible mbito de calculabilidad aritmtico. Explicaciones ms exactas ydetalladas pueden hallarse en un cualquier buen libro de Lgica.

17De all el xito de las tcnicas de compresin de archivos del tipo loss-less, o sea, sinprdida o alteracin de datos, como zip, tar, etc. Sin embargo, para los productos conmayor casualidad, como vdeos y msica, se puede comprimir eficazmente slo con prdida oalteracin de datos, como en los formatos jpeg, mp3, etc.

18G. Ragun, op. cit., p. 273.19Una mquina se dice universal si es capaz de reproducir lgicamente el comportamiento de

cualquier otra mquina. Su existencia deriva por la Tesis de Church-Turing y por la existencia

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desatender que la definicin de casualidad se refiere siempre y en todo caso a unaconcreta mquina particular. Adems, por el hecho obvio de que los nmerosnaturales, en todo ordenador corriente, se representan con cadenas simblicas,l ha asignado precipitosamente la propiedad de la casualidad a los nmerosnaturales. Como resultado de esta ligereza, Chaitin se ha proclamado variasveces descubridor de la casualidad en Aritmtica20.

Reiteramos que la definida casualidad es una propiedad que slo conciernea las cadenas de caracteres y repercute sobre los nmeros naturales solamentepor la codificacin para ellos elegida. La cual es totalmente arbitraria desde elpunto de vista lgico. De hecho es posible que una determinada mquina hagauso de una codificacin (aunque incuestionablemente incmoda y dispendiosade bits) que hace finito el nmero de naturales casuales (o, mejor dicho, de lascadenas que los representan)21. Adems, como se ha dicho, la misma casualidadde las cadenas simblicas es relativa al funcionamiento y al cdigo de la mquinaprefijada. Dada una cadena casual para una determinada mquina, arbitrariay suficientemente larga, nada impide que exista otra mquina, posiblementeconcebida ad hoc, que consiga comprimirla. Para ella, previsiblemente, sernsin embargo casuales algunas cadenas compresibles en las mquinas que empleanlos cdigos ordinarios.

En el mismo artculo de Le Scienze citado en la penltima nota, Chaitinescribe:

La mayor parte de los matemticos no ha dado mucha importan-cia [a la incompletitud]... [en cambio] quiz sera necesario buscarnuevos axiomas vlidos para los nmeros enteros. La cantidad deproblemas matemticos que han quedado sin resolver durante cientoso miles de aos tiende a reafirmar mi tesis. No podra ser que al-guno de estos enunciados fuese indemostrable? Si as fuera, quizslos matemticos deberan aceptarlo como axioma. Esta propuestapodra parecer ridcula a muchos matemticos... pero no a los cien-tficos empricos... En realidad, en algunos casos, los matemticosya han asumido como fundamento conjeturas no demostradas perotiles.

Estas palabras parecen proponer la revolucin gdeliana de una nueva Matemtica,de carcter emprico, que en realidad existe desde siempre: aquella que hace usode conjeturas. Considerar stas ltimas como axiomas sin justificacin meta-matemtica sera, evidentemente, intil adems de imprudente. Y no suena a

de funciones recursivas universales. Un ejemplo de mquina universal es cualquier PC, aunquesea modesto, pero con una memoria ampliable sin lmite.

20Dos ejemplos: Recientemente he demostrado que existe una casualidad en la teora delos nmeros. Mi trabajo demuestra que - para usar una metfora de Einstein - Dios aveces juega a dados con los nmeros enteros! , La casualit in Aritmetica, revista Le Scienzen. 241, septiembre (1988); En pocas palabras, Gdel descubri la incompletitud, Turingla incomputabilidad e yo la casualidad, prefacio al libro The unknowable, ed. Springer-Verlag, Singapur (1999). Frases de este tipo, de todas formas, se repiten en casi todas suspublicaciones, incluidas las ms recientes.

21Dos ejemplos en: G. Ragun, op. cit., p. 276 y 281-282.

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progreso sino a presuncin renunciataria: se desiste, a priori, de buscar metade-mostraciones de indecidibilidad que a menudo se han revelado ser fuentes pre-ciosas de desarrollo tanto de la Lgica como de la Matemtica. Ms an si seconsidera que el Teorema de incompletitud no obstaculiza para ningn enunci-ado indecidible la posibilidad de un reconocimiento puramente metamatemtico.Este errneo punto de vista se repite, con entusiasmo, en casi todos sus trabajosms recientes: de hecho l, sobre la base (epidrmica, ciertamente no lgica) delTeorema de incompletitud, incluso llega a cuestionar la misma oportunidad delos Sistemas axiomticos22!

El lgico sueco Torkel Franzn, desaparecido recientemente, ha sealado en2005 otras equivocaciones de Chaitin23. Referimos, aqu, nicamente aquellarelativa al abstract de un artculo donde se afirma: 24. La frase mezcla incorrectamente lapropiedad de que para cada mquina existen siempre infinitas cadenas casuales,con la capacidad demostrativa de la mquina misma (sujeta al Teorema de in-completitud). Franzn confuta dicha afirmacin de manera simple e irrebatible:desde el solo axioma x (x=x ), de complejidad constante, se puede obtener unteorema, n=n, de complejidad arbitrariamente grande al aumentar el nmeron. En efecto, esto est garatizado si se codifican los nmeros naturales medianteun habitual cdigo de tipo exponencial.

La constante , introducida por Chaitin en referencia a una predetermi-nada mquina universal, representa la probabilidad de que un programa de lamquina, elegido al azar, se pare. Su indiscutible inters radica en el hecho deque representa una especie de mxima compresin del saber matemtico: a par-tir del conocimiento de los primeros n bits de se puede resolver el problema dela parada para todos los programas de longitud menor o igual a n. No obstante,Chaitin exagera sobremanera su importancia, hasta describir al nmero comoel medio para obtener el saber matemtico25. Naturalmente, las cifras de sloson el inmejorable modo de resumir dicho conocimiento, tras haberlo obtenidomediante los tradicionales teoremas y metateoremas.

Estas crticas no tienen el objetivo de arremeter contra la figura de este granlgico-informtico, sino de aclarar un panorama que todava se muestra bastanteconfundido, no slo para los no expertos.

22G. Chaitin, The halting probability : irreducible complexity en pure mathematics, MilanJournal of Mathematics n. 75 (2007), p. 2 y ss.

23T. Franzn, Gdels Theorem: an incomplete guide to its use and abuse, A.K. Peters(2005).

24G. Chaitin, Gdels Theorem and Information, International Journal of TheoreticalPhysics, n. 22 (1982). Traduccin del autor.

25Por ejemplo, en el artculo: Meta-mathematics and the foundations of Mathematics,EATCS Bulletin, vol. 77, pp. 167-179 (2002), expone un mtodo que, en principio, de-bera ser capaz de resolver la hiptesis de Riemann a partir del conocer un nmero suficientede cifras de . Pero el razonamiento es un manifiesto crculo vicioso!

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4. Una clasificacin caducaQueremos ahora criticar la clasificacin corriente de las Teoras axiomticasclsicas segn el orden expresivo: primer orden, segundo orden, etc.26. Des-graciadamente se ha consolidado con los aos la opinin de que la formalidaddel lenguaje (o, ms en general, su completitud semntica) es una prerrogativadel primer orden expresivo y por otra parte que los lenguajes de orden superiorson todos necesariamente semnticos (tpicamente, no numerables). El error sedebe principalmente a dos malentendidos.

El primero est ligado al significado de la expresin Lgica clsica del Primerorden. Con esta locucin se entiende normalmente la coleccin de todos losClculos predicativos clsicos. Cada Clculo predicativo clsico es una Teoraformal del primer orden que consiste: a) en algunos axiomas de base, del primerorden, especificados por primera vez por Russell y Whitehead, que formalizanlos conceptos no, o y existe27; b) en otros eventuales axiomas propios, nu-merables y del primer orden, que formalizan algunos conceptos particulares quese quieren emplear en la Teora (por ejemplo: igual, mayor de, ortogonal,etc.); c) en las cuatro reglas deductivas clsicas: sustitucin, particularizacin,generalizacin y modus ponens. Puesto que estas reglas se componen de op-eraciones puramente sintcticas sobre los axiomas y/o los teoremas que se vandeduciendo (o sea se aplican, maquinalmente, al solo cdigo simblico de estosenunciados), en todo Clculo predicativo - as pues en la entera Lgica clsicadel primer orden - resulta siempre verificada la formalidad. Sin embargo, estono significa que cada Teora del primer orden, fundada sobre un particular Cl-culo predicativo clsico y que deduzca slo con las cuatro reglas clsicas debade ser formal. Nada impide, por ejemplo, que la Teora aada un nmero nonumerable de axiomas propios a este Clculo, aunque todos expresados en elprimer orden: resultara un lenguaje intrnsecamente semntico y por lo tantono formal. La Lgica clsica del primer orden, en otras palabras, no incluye atodos los Sistemas clsicos del primer orden. Infinitos de ellos usan un lenguajeinformal y/o semnticamente incompleto28.

La segunda equivocacin est relacionada con el Teorema de Lindstrm.ste afirma que toda Teora clsica expresada en un lenguaje semnticamentecompleto puede ser formulada con un lenguaje del primer orden. La confusinderiva por confundir el puede con un debe. El Teorema no veta la completitudsemntica, ni la formalidad, de los lenguajes de orden superior al primero. Slo

26Un lenguaje se dice del primer orden si los cuantificadores y pueden referirse sloa variables (como pasa en la expresin cada recta paralela a r tambin es paralela a t).Al segundo orden, se puede cuantificar tambin sobre los predicados (y traducir frases como:cada relacin que hay entre las rectas r y t la hay tambin entre las rectas r y s). En el tercerorden se puede cuantificar tambin sobre relaciones todava ms generales (super-relaciones)y as hasta el infinito.

27Los otros conceptos clsicos usuales, como y, implica y cualquier sea, se definenmediante stos. En realidad tambin no y o pueden ser derivados del nico conectivoNAND (o NOR) como demostrado por H. Sheffer en 1913.

28En apoyo: M. Rossberg, First-Order Logic, Second-Order Logic, and Completeness, Hen-dricks et al. (eds.) Logos Verlag Berlin (2004), en la Web:

http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/RossbergCompleteness.pdf

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afirma que, cuando se tiene este caso, la Teora puede ser re-expresada en unlenguaje - ms simple - del primer orden. Ciertamente, esta propiedad distinguela particular importancia del primer orden expresivo. Una propiedad, por otraparte, que puede ya evidenciarse gracias a las capacidades expresivas de la Teoraformal de los conjuntos: cada Sistema formal, de hecho, en cuanto totalmenterepresentable en esta Teora - que es del primer orden - es expresable con elprimer orden. Sin embargo, esta importancia no debe radicalizarse.

Seguramente, el hecho indudable de que los lenguajes del segundo orden sean,en el caso tpico, no numerables y por consiguiente intrnsecamente semnticos,agrava la situacin. Ello se debe a que, si el modelo es infinito, los predicadosvaran, en el caso ms general, dentro de un conjunto ciertamente no numerable.Pero nada impide que los axiomas limiten esta variabilidad a un subconjuntonumerable; y, en particular, que est respetada tambin la formalidad29. Unejemplo concreto es el Sistema obtenido a partir de PA, expresando su princi-pio de induccin parcial, es decir limitado a los enunciados con al menos unavariable libre, con un nico enunciado simblico (en vez de con un esquemaaxiomtico metamatemtico) . Se forma un axioma del segundo orden que andebe interpretarse semnticamente, ya que las premisas del Sistema no especifi-can ninguna deduccin sintctica con frmulas del segundo orden. No obstante,dicha semntica no es intrnseca, es decir ineliminable: representando el Sis-tema en la Teora formal de conjuntos, este axioma se traduce en un esquemaaxiomtico conjuntista que genera una cantidad numerable de axiomas induc-tivos formales. Por consiguiente, en la misma Teora originaria la formalidadpodra restablecerse aadiendo las oportunas premisas con las cuales operar sin-tacticamente a partir del axioma inductivo del segundo orden, de manera quese produzcan los exigidos teoremas sobre las propiedades enunciables simblica-mente. Aunque, claramente, existen estrategias ms sencillas para reconstituirdicha formalidad30.

Como resultado de esta confusin, a menudo se critica el carcter no formalde las Teoras del segundo (o ms) orden, sobre la base de la intrnseca seman-ticidad de algunas de stas. Y otros, en lugar de evidenciar que el problemano reside en el tipo de orden expresivo, sino en la particular fisonoma de laspremisas de la Teora, replican que tambin algunos Sistemas del segundo ordenposeen una apariencia formal como aquellos del primero. En todo caso, comoalgunos del primero.

En conclusin, la agrupacin de las Teoras axiomticas clsicas en base alorden expresivo despista, en general, sobre sus propiedades lgicas fundamen-tales. stas son consiguientes a la estructura de las premisas, donde el ordenexpresivo no juega siempre un papel decisivo. El principal instrumento de clasi-ficacin sigue siendo el respeto de la formalidad hilbertiana o, ms en general,de la completitud semntica.

29Lase por ejemplo: H. B. Enderton, Second order and Higher order Logic, Standford En-cyclopedia of Philosophy (2007), en la Web: http://plato.standford.edu/entries/logic-higher-order/.

30G. Ragun, op. cit., p. 160-161.

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5. La interpretacin del Segundo Teorema de in-completitudFinalmente, hay que desbaratar la errnea interpretacin habitual del SegundoTeorema de incompletitud. En referencia a una Teora que satisface las mis-mas hiptesis del Primero, el Segundo Teorema de incompletitud generalizala indecidibilidad a una clase de enunciados que, interpretados en el modeloestndar significan este Sistema es consistente. Su compleja demostracin,slo esbozada por Gdel, fue publicada por Hilbert y Bernays en 1939.

La usual interpretacin de este Teorema, objeto de nuestras crticas, es quecada Teora que satisface las hiptesis del Primer Teorema de incompletitudno puede demostrar su propia consistencia. Nos parece evidente, sin embargo,que la conclusin de que una Teora no pueda demostrar su propia consistenciasea vlida para todo Sistema clsico, incluso no formal. Adems, dicha con-clusin no corresponde al Segundo Teorema de incompletitud, sino a un nuevoMetateorema.

Consideremos un arbitrario Sistema clsico. Si es inconsistente, est pri-vado de modelos y por lo tanto de cualquier sensata interpretacin de todaproposicin suya31. Por consiguiente, slo admitir que un enunciado dado deuna Teora signifique algo, implica convenir su consistencia. Esto, en particular,vale tambin si la interpretacin del enunciado es este Sistema es consistente.Por ende, si no hay certeza de la consistencia de la Teora (lo cual, a querer pro-fundizar lo suficiente, vale para toda Disciplina matemtica), tampoco la habrsobre una interpretacin cualquiera de su lenguaje. Por ejemplo, en el caso dela habitual Geometra, cuando se demuestra el teorema de Pitgoras, lo que seconcluye en realidad es lo siguiente: si el Sistema admite el modelo euclideo (ypor lo tanto es consistente), entonces en cada tringulo rectngulo c12+c22=I2.Indudablemente, una deduccin de firme valor epistemolgico, incluso ante lacatastrfica posibilidad de que el Sistema se desvele como inconsistente. Sin em-bargo, pongamos que a un determinado teorema T de una cierta Teora vengaatribuido el significado: este Sistema es consistente en una dada interpretacinM. Anlogamente, lo que se concluye a travs dicho teorema es en realidad: si elSistema admite el modelo M (y por lo tanto es consistente), entonces el Sistemaes consistente. Algo que ya sabamos y, sobre todo, que no demuestra en abso-luto la consistencia del Sistema. En definitiva, para un enunciado de este tipose tiene una situacin peculiar que lo diferencia de cualquier otro enunciado sig-nificativo en M : preocuparse de demostrarlo dentro de la Teora es ininfluyentesobre el mbito epistemolgico relativo a la interpretacin M. En palabras mssimples, el enunciado en cuestin puede ser un teorema o ser indecidible sin quehaya ninguna diferencia desde el punto de vista epistemolgico. Slo, no puedeser el negado de un teorema, si M es de verdad un modelo. En todo caso, elproblema de deducir la consistencia de la Teora no est al alcance de la Teoramisma. Proponemos llamar a esta conclusin del todo general Metateorema de

31Ms en profundidad: de cualquier interpretacin que respete los principios de no con-tradiccin y del tercer excluido.

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la indemostrabilidad interna de la consistencia.Luego, el hecho de que en un particular Sistema supuestamente consistente,

un enunciado de este tipo sea un teorema o sea indecidible, depende del Sistemay de la propia forma del enunciado. Para las Teoras que satisfacen las hipte-sis del Primero, el Segundo Teorema de incompletitud garantiza que normal-mente estos enunciados son indecidibles. Hemos dicho normalmente porqueal parecer existen tambin otros enunciados, del mismo modo formulantes laconsistencia del Sistema en otros peculiares modelos, que, al contrario, resultanser teoremas de la Teora32. Como el mismo Lolli afirma, parece que tampocouna demostracin zanja las discusiones33. Pero en ningn caso, como se haconcluido, este debate puede debilitar la validez del propuesto Metateorema dela indemostrabilidad interna de la consistencia.

En conclusin, el Segundo Teorema de incompletitud individua otra clase deenunciados esencialmente indecidibles en toda Teora que satisface las hiptesisdel Primero. Mientras el Primer Teorema de incompletitud determina slo elenunciado de Gdel, el Segundo extiende la indecidibilidad a una categoramucho ms amplia de proposiciones. Pero, a parte de tal drstica generalizacin,este Teorema no introduce ningn espectacular concepto epistemolgico nuevoacerca de la consistencia del Sistema, en contra de lo que habitualmente se cree.Tampoco lo hara si fuera vlido para cada enunciado interpretable como esteSistema es consistente (lo cual, ratificamos, parece ser falso). Porque, en todocaso, de ello no puede concluirse que el Sistema no puede demostrar su propiaconsistencia: esta sentencia compete a un Metateorema del todo general quenunca ha sido puesto en evidencia, a pesar de su inmediatez e indiscutibilidad34.

A menudo el error se agrava con un tipo de demostraciones intuitivas, in-correctas, del Segundo Teorema de incompletitud, del siguiente estilo: Sea Sun Sistema que satisface las hiptesis del Teorema de incompletitud y C unenunciado suyo que afirma la consistencia del mismo S. El primer Teorema deincompletitud demuestra que si S es consistente, el enunciado de Gdel, G, esindecidible. Entonces si C fuese demostrable, podra deducirse que G es inde-cidible y por lo tanto indemostrable. Pero como G afirma ser indemostrable,esto significara demostrar G, lo cual es absurdo. Por lo tanto, C es inde-mostrable35. El error es manifiesto: en el razonamiento, se da a C y a G unvalor semntico que slo se puede otorgar suponiendo que el Sistema admita unmodelo con dichas interpretaciones y, por lo tanto, que ya sea consistente. En

32G. Lolli, Da Euclide a Gdel, ed. Il Mulino (2004), p. 140 y 142. A. Martini, No-tazioni ordinali e progressioni transfinite di teorie, Tesis de Licenciatura, Universidad dePisa (2006), p. 11-15, en la Web: http://etd.adm.unipi.it/theses/available/etd-11082006-161824/unrestricted/tesi.pdf.

33G. Lolli, op. cit., p. 142.34La consistencia de un Sistema puede ser demostrada slo por otro Sistema, externo al

primero. Para el cual, a su vez, se vuelve a plantear el problema de la consistencia. La ul-tima conclusin de consistencia, para poder salir de esta cadena interminable, tiene que serpuramente metamatemtica. Actualmente, la Teora ms general (que demuestra la consis-tencias de las ordinarias Disciplinas matemticas) es la Teora axiomtica de los conjuntos yla conclusin metamatemtica de su consistencia se difumina en una sensata conviccin.

35As, por ejemplo, en: P. Odifreddi, Metamorfosi di un Teorema, 1994, en la Web:http://www.vialattea.net/odifreddi/godel.htm

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este modelo es indiscutible que la verdad de C implica la verdad de G, pero laimplicacin sintctica CG es una cuestin totalmente distinta. En general,no deriva ningn absurdo de la posibilidad de que C sea un teorema porquede ello, como hemos observado, de ninguna manera se sigue que el Sistema esconsistente (por otro lado: acaso no se verifica, en inconsistencia, que cadaenunciado es un teorema?). En realidad, demostrar la implicacin sintcticaCG no es nada trivial y, adems, parece no valer siempre sino que dependede la estructura simblica del enunciado C.

El nico resultado de importancia epistemolgica relevante sobre la consis-tencia se debe al Metateorema de su indemostrabilidad interna. Y destacamosque la metademostracin de ste, al referirse a un Sistema clsico cualquiera,debe consistir en un razonamiento puramente metamatemtico (como el nue-stro); o sea, no puede formalizarse.

En el libro, ya citado, Confines Lgicos de la Matemtica proponemos otrasrevisiones y algunas propuestas de actualizacin en la terminologa de estosargumentos, que continua inalterada desde los tiempos de Hilbert.

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