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FORMA E DIMENSÕES DA TERRA

1. Introdução

A Cartografia é uma técnica que se preocupa fundamentalmente em

representar os elementos da superfície da terra mostrando-os em escala

reduzida no mapa ou na carta. A importância do estudo das dimensões do

planeta terra resulta do fato de que toda a Cartografia é basicamente

terrestre, embora possamos falar em mapeamentos realizados sobre a

superfície de outros astros do sistema solar e obtenção de informações

importantes sobre as suas superfícies.

A Terra já foi considerada como uma superfície plana. Os filósofos gregos e

os primeiros cartógrafos a descreveram de modo variado: como um disco

plano circundado por água; um disco flutuando na água à semelhança de

um barco; um cilindro suspenso no espaço; um triângulo acolchoado de ar

comprimido, etc. Todas as teorizações primitivas eram fundamentadas em

algum mito ou folclore.

Porquanto seja hoje um fato comprovado que a teoria pitagórica de uma

Terra de forma esférica é a mais aproximadamente correta, a idéia da Terra

plana também é aceitável para levantamento de pequenas áreas.

Levantamentos planos executados com prancheta em áreas relativamente

pequenas, em que não se leva em conta a curvatura da Terra, são aceitáveis.

A área de uma cidade seria semelhantemente considerada como superfície

plana se o seu tamanho não for considerável. Para pequenas áreas as exatas

posições dos seus diferentes pontos podem ser determinadas sem que

sejam considerados a forma e o tamanho do restante da superfície

terrestre.

A expressão “Forma da Terra” tem vários significados para a determinação

do formato e das dimensões da terra de acordo com o sentido e a precisão

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com que estes são definidos. A superfície topográfica real é bastante

evidente com as variedades de forma de terreno e de áreas cobertas de

água. Esta é de fato a superfície sobre a qual as medidas reais são

realizadas. Não é adequada, entretanto, para os cálculos matemáticos

exatos, porque as fórmulas que seriam necessárias para levar em conta as

irregularidades do terreno exigiriam uma quantidade quase impossível de

cálculos. A superfície topográfica é geralmente de interesse dos topógrafos.

O conceito pitagórico da esfericidade oferece uma superfície simples, que

pode ser facilmente tratada matematicamente. Muitos cálculos

astronômicos e de navegação utilizam a esfera como representativa da

forma da Terra. Enquanto a esfera é uma sensível aproximação da

verdadeira forma da Terra, satisfatória para muitos fins, para os

geodesistas interessados na medida de longas distâncias – abrangendo

continentes e oceanos – torna-se necessária uma forma mais exata.

Se não considerarmos as irregularidades relativas da crosta terrestre como

os continentes e sua forma na superfície, a forma da Terra pode ser

definida como aproximadamente esférica. A forma plástica do nosso

planeta que gira em seu eixo através do espaço é resultante da interação de

muitas forças internas e externas como a gravidade, a força centrífuga de

rotação e variação na densidade de rochas constituintes. A interação de

forças tectônicas diversas, por exemplo, produz outras irregularidades

como montanhas, planícies e bacias oceânicas. Essas irregularidades

bastante visíveis ao olho humano, são significantes apenas para o processo

cartográfico de delineação da forma da Terra. Por exemplo, num globo com

um diâmetro de 30 cm, as montanhas e bacias oceânicas quase não são

visíveis.

Na Cartografia os mapas representam a forma complexa da Terra sobre um

plano e transfere sistematicamente as relações geométricas de uma forma

para outra; isto é, representa a forma redonda ou arredondada da terra

para a forma plana, em escala reduzida. O mapeamento de outros corpos

celestes de um modo geral utiliza os métodos básicos envolvidos na

localização e representação sobre um plano, das posições planimétricas

(horizontal) e hipsométricas (verticais) numa escala reduzida e são

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essencialmente os mesmos, independente do objeto que está sendo

mapeado, pelo fato dos corpos celestes serem esféricos. Um processo de

mapeamento portanto envolve 3 pontos: (a) a determinação da figura

geométrica (elipsóide) que mais se aproxima do tamanho e forma irregular

da terra; (b) a transferência sistemática de posições da forma irregular da

terra para a superfície da forma aproximada; (c) a transformação da

superfície tridimensional para uma superfície plana. Outros problemas

envolvidos na apresentação da superfície terrestre e as transformações

para aproximar a terra e o plano, são desenvolvidos matematicamente.

2. O Geóide e o Elipsóide

O geóide é a superfície ao longo da qual o potencial gravitacional é

constante e a direção da gravidade é perpendicular. Esta última

propriedade é particularmente significativa porque os instrumentos óticos

contendo dispositivos de nivelação são comumente utilizados nas medições

geodésicas. Estes instrumentos quando adequadamente estacionados faz

com que o seu eixo vertical coincida com a direção da gravidade e fique

perpendicular ao geóide. O ângulo entre a perpendicular ao geóide (fio de

prumo) e a perpendicular ao elipsóide é definido como a deflexão ou desvio

da vertical.

As medidas para execução de mapeamentos devem ser efetuadas sobre a

superfície aparente ou topográfica da Terra, e os cálculos sobre o elipsóide

de referência adotado. Em levantamentos geodésicos os cálculos das

coordenadas geodésicas de pontos são realizados sobre um elipsóide que se

aproxima o máximo possível do tamanho e da forma da Terra, no local em

que se processam as medições. As medidas realizadas desta maneira são

transferidas ao geóide. A figura 46 mostra o geóide.

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Figura 46. O geóide. Na sua superfície o potencial gravitacional é constante e a direção da gravidade é perpendicular. Fonte: http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.ma.fc.up.pt/licenciaturas/geografica/geodesia_files/lumpyEarth.gif&imgrefurl Modificado.

O elipsóide é uma superfície regular, matematicamente definida, com

dimensões específicas. O geóide, por sua vez, coincide com a superfície dos

oceanos se estes se estendessem livremente através dos continentes e à

rotação da Terra. Como resultado de uma desigual distribuição de massa, a

superfície do geóide é irregular. Desde que o elipsóide seja uma superfície

regular, elas não coincidirão. As áreas de separação entre o geóide e o

elipsóide são denominadas como ondulações do geóide, alturas do geóide

ou separação do geóide. A figura 47 mostra as áreas de separação entre o

geóide e o elipsóide.

Figura 47. Superfície da Terra e as áreas de separação entre o geoide e o elipsoide.

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Somando-se às irregularidades causadas pelas variações na densidade e

distribuição dos constituintes da terra o geóide é deformado de uma esfera

aproximada pelo movimento de rotação. Por causa do movimento giratório

sobre os eixos a terra é inchada no equador e achatada um pouco na região

polar. O total do achatamento atualmente é cerca de 21,5 km de diferença

entre o raio equatorial e o polar. O raio equatorial obviamente é maior. A

figura 48 mostra alguns parâmetros elipsoidais.

Figura 48. Parâmetros Elipsoidais. Imagem do autor.

O total de achatamento polar (elipsóide) é dado pela razão f=(a-b)/a, onde

a é o semi-eixo equatorial e b é o semi-eixo polar. Isto é expresso como 1/f,

e para a maioria dos esferóides o valor de 1/f é próximo de

1/298,257223563.

3. Dimensões da Terra

Com base nas observações da sombra da Terra sobre a Lua durante os

eclipses os gregos antigos já conheciam a forma esférica do nosso planeta.

Eratóstenes bibliotecário que viveu no Egito entre os anos 276 e 194 antes

de Cristo observou e mediu o ângulo formado pelos raios solares com um

fio de prumo em Alexandria na mesma hora em que os raios atingiam o

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fundo de um poço em Siena (atual Aswan) ao meio-dia, no dia mais longo do

ano. Em Siena os raios solares eram paralelos ao fio de prumo. O ângulo

medido em Alexandria correspondia ao arco relativo à distância entre as

duas cidades. Sabendo-se que a distância entre as duas cidades é de 5.000

estádios (1E=185m) e admitindo-se a Terra como tendo a forma esférica, a

sua circunferência é igual à distância multiplicada por 360°, dividida pelo

ângulo medido em Alexandria. Esta cidade deveria estar a 1/50 da

circunferência da Terra ao norte de Siena. Eratóstenes mediu o ângulo q=7°

12', ou seja: 1/50 dos 360° de uma circunferência e encontrou como

resultado 40.000 km aproximadamente. A figura 49 representa as medidas

feitas por Erastóstenes.

Figura 49. Medidas feitas por Eratóstenes entre Alexandria e Siena (atual Aswan) para calcular a circunferência da Terra. Fonte: http: //www.google.com.br/images. Modificado

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Atualmente as dimensões do elipsóide são calculadas com precisão

geodésica. Entre os vários elipsóides alguns podem ser citados.

Semi-eixo Equatorial a (m) Semi-eixo polar b (m)

Clark 1866 6.37.206,000 6.356.584,000

Internacional 6.378.388,000 6.356.912,000

UGG167 SAD/69 6.378.160,000 6.358.774,719

Bessel 6.377.397,155 6.356.078,963

Krassouwsky 6.378.245,000 6.356.683,019

Clarke 1866 6.378.206,400 6.356.583,800

Airy 6.377.563,400 6.356.255,136

GRS 1980 6.378.137,000 6.356.752,298

WGS/72 6.378.135,000 6.356.750,520

WGS/84 6.378.137,000 6.356.752,314

Dimensões da Terra KM

Diâmetro equatorial 12.756,4

Diâmetro polar 12.713,2

Raio de uma esfera de igual área 6.370,9

Área aproximada 510.900.000,000

Dimensões de Hayford

Circunferência equatorial 40.102,840 Km

Circunferência meridiana 40.035,640 Km

Circunferência equatorial 40.102,840/360° = 111,396 Km

Circunferência meridiana 40.035,640/360° = 110,573 Km

Comprimento de 1° de longitude medido no equador = 111,321 Km

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Comprimento de 1° de latitude medido no equador = 110,573 Km

Raio da Terra medido no equador = 6.378,370 Km

Raio da Terra medido nos pólos = 6.359,900 Km

Raio médio da Terra = 6.370,000 Km

Medida da circunferência = 360°

Um dia terrestre = 24 horas

Então 360° : 24 = 15° de longitude ou um fuso de 1 hora

1 hora a W ou E de Greenwich = 15°

1° de latitude mede por convenção 110,000 Km

1’ de latitude 1,840 Km

1” de latitude 0,0305 Km ou 30,5 m

1° de longitude mede por convenção 111,000 Km

1’ de longitude 1,850 Km

1” de longitude 0,031 Km ou 31,00 m

Uma das conseqüências interessantes do fato da terra ser achatada na

região dos pólos e arredondada na região equatorial é que o ponto mais

distante do centro da Terra é na verdade o Pico Chimborazo no Equador

que fica a 6.267 metros de altura mas é muito próximo do Equador

enquanto o Monte Everest embora mais alto, fica mais distante do Equador.

A distancia do Pico Chimborazo do centro da terra é 6.384.4 km enquanto a

do Everest é apenas 6.381.7 km. Portanto o Pico Chimborazo é cerca de 3

km mais longe do centro da Terra do que o Monte Everest. A figura 50

mostra o Pico Chimborazo no Equador.

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Figura 50. Pico Chimborazo que fica a 6.267 metros de altura é mais distante do centro da Terra do que o Monte Everest. Fonte: http://www.google.com.br/ images

4. Determinação dos Fusos Horários

Os fusos horários são zonas horárias onde cada uma das vinte e quatro

áreas centradas nos meridianos das longitudes que são múltiplos de 15°

divide a Terra e seguem a mesma definição de tempo. Por volta de 1300 dC

usava-se o tempo solar aparente ou passagem meridiana do sol, de forma

que a hora do meio dia se diferenciava de uma cidade para outra. O sistema

de fusos horários corrigiu em parte o problema ao colocar os relógios de

cada região no mesmo tempo solar médio.

O formato dos fusos horários pode ser bastante irregular devido às

fronteiras nacionais dos vários países ou devido às questões políticas; caso

do Brasil que abrange 4 fusos horários, mas obriga todo o país a utilizar o

horário de Brasília. O território brasileiro está localizado a oeste do

meridiano inicial de Greenwich e, em virtude de sua grande extensão

longitudinal, compreende quatro fusos horários ou zonas horárias, entre

duas a cinco horas a menos que a hora do meridiano de Greenwich (GMT).

O primeiro fuso (30° W) tem duas horas a menos que a GMT. O segundo

fuso (45° W) horário oficial de Brasília é três horas atrasado em relação à

GMT. O terceiro fuso (60° W) tem quatro horas a menos que a GMT. O

quarto e último possui cinco horas a menos em relação à GMT.

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Todos os fusos horários são definidos em relação ao Tempo Universal

Coordenado (UTC). O fuso horário do meridiano inicial de Greenwich

também divide a terra em Hemisfério Ocidental e Hemisfério oriental.

Na Grã-Bretanha em 1883 foi criada uma única hora legal para todo o país

(Inglaterra, Escócia e País de Gales) por idéia do Dr. William Hyde

Wollaston, sendo anos mais tarde adotada em todo mundo. A Great

Western Railway foi a primeira companhia a utilizar a hora Greenwich

Mean Time (GMT) ou Tempo Médio de Greenwich. Em 1878, Sanford

Fleming, senador do Canadá, sugeriu um sistema internacional de fusos

horários. Sua idéia era dividir a Terra em 24 faixas verticais, onde cada uma

delas representava a abertura de ângulo de 15° ou um fuso de uma hora. O

planeta Terra possui 360° de circunferência. Dividindo-se 360° por 15°

tem-se as 24 aberturas de ângulos ou 24 horas que é o tempo que a Terra

leva para dar uma volta completa em torno do seu próprio eixo.

Em 1894 foi realizada a Conferência Internacional do Primeiro Meridiano

em Washington Capital dos Estados Unidos para se padronizar a nível

mundial a utilização da hora legal. Acabou-se por aceitar a proposta de

Sanford Fleming. Dessa forma a longitude 0° passaria pelo Observatório

Real de Greenwich e os outros fusos seriam contados positivamente para

leste, e negativamente para oeste, até ao Antimeridiano de 180° situado no

Oceano Pacífico, que passou a ser considerado a Linha Internacional de

mudança de Data. Dessa forma, de quinze em quinze graus à leste, os fusos

são numerados positivamente (+1, +2, +3...+12) e a oeste negativamente (-

1, -2, -3...-12). Na figura 51 encontram-se as 24 zonas horárias sobre a

superfície da Terra mostrada numa projeção plana.

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Figura 51. As 24 zonas horárias sobre a superfície da Terra mostrada numa projeção plana. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fuso_hor%C3%A1rio#cite_note-Ci.C3. AAnciaJ-1 Modificado.

4.1. Correspondência entre Tempo, Ângulos e Distâncias

1 hora (tempo) é igual a 15° 00’ 00” (ângulo) e corresponde a uma distância

percorrida pela terra em torno de seu próprio eixo de 1.665,000 Km

(distância).

1 minuto (tempo) é igual 4´ (ângulo) e corresponde a uma distância

percorrida pela terra em torno de seu próprio eixo de 27,750 Km

(distância).

1 segundo (tempo) é igual 4´´ (ângulo) e corresponde a uma distância

percorrida pela terra em torno de seu próprio eixo de 0,462 Km

(distância).

5. Medida do Metro

O metro é um sistema de medida universalmente adotado e se origina na

dimensão de um dos quadrantes da esfera terrestre cuja circunferência

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mede por convenção 40.000.000m. Nesse caso cada um dos quadrantes que

vai de um dos Pólos até o Equador ou do Equador a cada um dos Pólos,

mede 10.000.000m. Tomando-se a razão 1/10.000.000m tem-se então o

valor do metro. Isto equivale, por exemplo, a um décimo de milionésimo da

distância entre o Pólo Norte e o Equador terrestre.

A medida do metro foi criada na França pelos astrônomos Jean Baptiste

Joseph Delambre e Pierre François André Méchain que tentaram definir

uma medida partindo de Paris em 1792 em sentidos diferentes, um para o

sul e outro para o norte, com o objetivo de medir a porção do meridiano que

ia de Dunquerque (França) até Montjuich (Espanha) e dessa forma, fazer a

projeção da distância correta. Como resultado dessa missão ocorreu a

padronização dos sistemas de medidas que variavam entre as nações e até

dentro dos países. Com o desenvolvimento da ciência houve uma nova

definição para o metro, que hoje se refere ao comprimento do trajeto

percorrido pela luz no vácuo em um intervalo de tempo de 1/299 792 458

de segundo. Como já dissemos o valor do metro foi tomado sobre uma

circunferência convencionada de 40.000.000m e atualmente levantamentos

por satélite mostram que a distância entre o pólo e o Equador é de

10.002.290 metros, e não 10 milhões. Ou seja, o metro calculado por

Delambre e Méchain é cerca de 0,2 milímetro mais curto.

5.1. Medida da Milha Náutica e Milha Terrestre

A milha náutica decorre do tamanho da linha do Equador por convenção

40.000 km, dividida por 360° e depois multiplicado por 60. O resultado é

1.851,9m ou 1 milha marítima, arredondada para 1.852m, que equivale a

um arco de 1’ do círculo máximo da terra. Desse modo um grau de

longitude, quando medido ao longo da linha imaginária do equador,

corresponde aproximadamente a 60 milhas náuticas. A definição

convencional da milha náutica foi adotada pela I Conferência Hidrográfica

Internacional Extraordinária, realizada em Mônaco em 1929. Quanto a

milha terrestre, sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e Estados

Unidos teve sua origem no Mille Passus, uma unidade de comprimento

utilizada pelo exército romano que correspondia a 1.000 passos dados por

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um centurião, comandante de uma milícia. Os passos do centurião tomados

como base eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada

foi o equivalente a 63.360 polegadas ou 1609,3 metros.

5.2. Fórmulas para o Cálculo do Raio, da Circunferência, do Diâmetro,

da Área e do Volume da Terra

Raio da esfera terrestre: 40.000 km = 6.366,199 km 2

Circunferência terrestre: C = .D ou C= 2 . R =

Diâmetro terrestre: D = C : (3,141592) = C : D ou C : 2r

Área da esfera Terrestre. A = 4 * π * r2

Como a esfera terrestre possui um raio médio de 6.370.900m sua área é

aproximadamente:

A = 4 * 3,141592 * 40.588.366.810.000

A = 509.789.887.133.600m2 ou aproximadamente 509.789.887,1336 km2.

Volume da esfera terrestre:

O volume da esfera terrestre depende do tamanho do raio, que é à distância

do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade. A fórmula

matemática utilizada para determinar o volume da esfera é a seguinte:

Raio médio da esfera terrestre: 6.370.900m

166

V ≅ 1.082.606.797.313.150.746.666,6666666667 m3

Ou 1.082.606.797.313,150.746.6666666666667 km3.