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MATEMÁTICA BÁSICA MARZO - JULIO 2014

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PLANIFICACIÓN N° 10

Fecha: 2 de junio de 2014

Módulo / Ciclo: Primero

Paralelo: C

Tema: 2.2 Aplicación de ecuaciones y desigualdades 2.2.1 Algunos casos de aplicación para Ecuaciones y Desigualdades

2.2.1.1 Aplicación de ecuaciones 2.2.1.1.1 Pasos para resolver una aplicación de ecuaciones

2.2.1.2 Aplicación de desigualdades Objetivo: 1. Comprender los conceptos de ecuaciones.

2. Usa el método adecuado para resolver ecuaciones y

desigualdades.

3. Diferencia los tipos de ecuaciones y aplica las reglas para

resolverlos. Técnica: 1. Exposición Oral

2. Trabajo Coordinado 3. Clase Magistral

2.2 Aplicación de ecuaciones y desigualdades

2.2.1 Algunos casos de aplicación para Ecuaciones y Desigualdades

Diferentes son las situaciones en las que usted podrá aplicar tanto ecuaciones como

desigualdades. Su utilización le permitirá resolver problemas prácticos, para lo cual será

necesario que usted traduzca estas situaciones y/o problemas a símbolos matemáticos.

Analizaremos a continuación solo algunos casos de estos, referentes a su formación profesional.

Iniciaremos con la aplicación de ecuaciones:

2.2.1.1 Aplicación de ecuaciones

Seguramente recordará aquellos problemas en los que mediante la utilización de ecuaciones se

pedía encontrar las edades particulares de ciertas personas, veamos uno de estos ejemplos antes

de iniciar con las aplicaciones relacionadas a su formación profesional.

Ejemplo:

Jorge tiene 6 años más que Claudia, hace 12 años la edad de Claudia era ½ de la edad actual de Jorge. ¿Cuántos años tiene cada uno?

En base a los datos iniciales tenemos:


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Entonces, tomando como referencia la explicación del problema, podemos plantear la

ecuación de la siguiente manera:

E inferir en los resultados:

2.2.1.1.1 Pasos para resolver una aplicación de ecuaciones

Como no es posible contar con un procedimiento general para la resolución de problemas

mediante la aplicación de ecuaciones, a continuación se resumen seis pasos básicos para la

resolución de este tipo de ejercicios:

1. Lea y analice el problema planteado cuidadosamente y cuantas veces sea necesario con

el fin de lograr comprender el objeto de análisis.

2. Identifique la o las incógnitas, es decir el valor desconocido. Además separe y anote

los datos, variables y cantidades conocidas planteadas en el problema y determine la

relación de estas con la incógnita.

3. Represente la incógnita mediante variables, para ello generalmente se utilizan las

últimas letras del abecedario: x, y, z; pero en función a su conveniencia puede

representarlo con letras que impliquen el significado de la variable, por ejemplo:

p=precio, q= cantidad, t=tiempo, etc.

4. Escriba una ecuación que refleje exactamente las condiciones del problema, para

ello puede utilizar técnicas que faciliten su planteamiento como por ejemplo

preguntarse: ¿A qué es igual el precio? O simplemente enunciados que revelen un

concepto, como: la utilidad total es igual a los ingresos totales menos los costos totales.


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5. Desarrolle las operaciones indicadas en la ecuación, para ello tome como referencia los

contenidos analizados a lo largo de la unidad 2 descritos en las planificaciones que

preceden.

6. Finalmente es recomendable que verifique la solución final, esta debe corresponder

también a la realidad que intenta resolver, por ejemplo: si analizamos una ecuación

sobre la variable “tiempo” la respuesta jamás podrá corresponder a un valor negativo. Ejemplo:

Ventas.- Por temporada cierto almacén liquida su mercadería con un 40% de descuento para

todos sus productos. Si el precio de uno de sus artículos es de 86 dólares, ¿cuál era su precio antes

de la liquidación?

Al leer el problema claramente podemos identificar que la variable incógnita es el precio del

artículo antes de la liquidación, para representarlo vamos a utilizar la variable x; otros datos

generados en el problema indican que existe un descuento del 40% y que el precio actual es de

86 dólares; traducimos estos datos matemáticamente:

Es decir, el precio inicial del artículo era de 143,33 dólares, el cual luego de liquidarlo con una rebaja del 40%, se vende actualmente en 86 dólares:

Dólares Ejemplo:

Inversión.- Un inversionista coloca 25000 dólares en dos partes. Una parte la coloca en una

institución A, con una ganancia del 9%, y el resto en una institución B, con una ganancia del

15%. ¿Cuánto debe invertir en cada institución para obtener una ganancia de 3500 dólares

después de un año?

Es claro que la pregunta a resolver equivale a decidir cómo debe el inversionista colocar su

dinero en las instituciones de modo tal que al final del año se genere 3500 dólares.

Para representar a la incógnita supondremos que al valor a invertir en la institución A se la

denotará con la variable x, y la diferencia, es decir, corresponderá a la inversión a

realizar en la institución B.


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Una vez identificadas las variables para cada institución será necesario incluir la ganancia que

cada una generará, es decir: 1

Institución A:

Institución B:

Si sabemos que la suma de las ganancias de ambas instituciones al final debe ser 3500

dólares, la ecuación será:

Resolvemos la ecuación:

Como representa la cantidad de dinero invertida en la institución A, quiere decir que se invertirá 4166,67 dólares mientras que en la institución B, se invertirá un total de 20833,33 dólares. Al comprobar estos datos tenemos que:

Ejemplo:

Inversiones.- Un persona desea invertir $100000 y desea recibir un ingreso anual de $10000.

Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 5% o con mayor riesgo al 9% con bonos

hipotecarios.

¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $8000?

1 Igual que en el caso anterior, tome en cuenta que es necesario dividir los porcentajes por 100.


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Traducimos el problema a símbolos matemáticos, planteamos primero la ecuación para

bonos del gobierno, asumimos que es la cantidad invertida.2

Planteamos la segunda ecuación para bonos hipotecarios:

Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser $8.000,00, unificamos

las ecuaciones anteriores y las igualamos a este valor.

Resolvemos la ecuación:

Esta persona deberá invertir $25.000,00 en bonos del gobierno y $ 7 5 . 0 0 0 , 0 0

( 1 0 0 . 0 0 0 , 0 0 – 2 5 . 0 0 0 , 0 0 ) en bonos hipotecarios para obtener $8.000,00 y minimizar

sus riesgos.

Ahora es importante reflexionar sobre los valores obtenidos, ¿debe distribuirse de esa

manera las inversiones? Resolveremos esta interrogante con una breve y simple

comprobación:

Ejemplo:

Precios.- Un comerciante sabe que si cobra p dólares por docena de huevos, el número de

huevos vendidos por semana será de x millones de docenas, donde p=2-x. Entonces su ingreso

semanal total será IT = xp = x (2-x) millones de dólares. El costo para la industria de producir x

millones de docenas de huevos por semana está dado por CT = 0,25 + 0,5x millones de

2 ¿Por qué dividimos a 5 y 9 para 100? Lo hacemos porque, como recordará, estos valores dados en el ejercicio son porcentajes.


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dólares. ¿A qué precio debe vender los huevos este comerciante para obtener una utilidad de

$0,25 millones?

El problema ya nos ha indicado las ecuaciones tanto para el ingreso como para los costos;

recordará usted que la utilidad o beneficio3 es lo que nos queda luego de haber restado los

costos a los ingresos, para lo que plantearemos la siguiente ecuación:

Recuerde que el comerciante desea saber el precio x al que deberá vender los huevos para

obtener una utilidad de $0,25 millones, entonces reemplacemos este valor en la ecuación:

Igualamos a cero y resolvemos la ecuación utilizando la fórmula cuadrática.

ó

Para interpretar los resultados, partimos de las condiciones iniciales, en que p=2+ x; con lo que,

cuando x =1, tenemos que p=1, mientras que cuando x =0,5, p=1,5. Esto nos permite concluir

3 Esta ecuación es básica en el estudio y aplicación de su formación profesional, donde UT representa la utilidad total, la misma que se encuentra al restar el ingreso total (IT) del costo total (CT). Tenga presente que el ingreso total (IT) , es el que se obtiene por cada unidad vendida y se expresa en términos monetarios al igual que la utilidad y el costo, para calcularlo simplemente se multiplica la cantidad vendida (q) y el precio (p) , así: IT=pq. Por el lado contrario, el costo total (CT), es aquel costo en el que se incurre para la venta de un producto, existen dos costos que deben ser sumados: el costo fijo (CF) y el costo variable (CV); el primero, como su nombre lo indica, es fijo y por lo tanto permanece constante, el segundo varía en función a la cantidad de productos que se venden, quedando la fórmula así: CT=CF+CVq


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que el comerciante tiene dos opciones; la primera es cobrar $1 por docena, y vender 1 millón

de docenas, o en la segunda que cobrará 1,50 por docena, y venderá 0,5 millones de docenas;

cualquiera que fuese la decisión del comerciante en ambos casos el obtendrá una utilidad de

$0,25 millones por semana.

2.2.1.2 Aplicación de desigualdades

Al igual que las ecuaciones las desigualdades nos permiten solucionar problemas y/o

situaciones, utilizando símbolos matemáticos solo que, en este caso y partiendo del concepto

de desigualdad, los planteamientos se elaborarán en torno a condiciones diferentes entre los

elementos, es decir establecen que uno es menor a otro o viceversa.

Se han planteado el siguiente ejemplo con la finalidad de una mejor comprensión del tema:

Ejemplo:

Utilidades.- Una compañía que fabrica televisores, gasta en mano de obra y materiales

$180 por televisor. Los costos fijos por otro lado son de $80000. El precio de venta al público

es de $500 por televisor, ¿cuántos televisores deberá vender para que la compañía obtenga

utilidades?

Un ejemplo anterior referente a aplicación de ecuaciones, ya nos permitió conocer cómo está

compuesta la utilidad y/o beneficio en una empresa.

donde:

Ahora plantee la desigualdad considerando que la restricción se refiere a que la compañía

obtenga utilidades, es decir .

Resolvemos la desigualdad


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Con el resultado concluimos que la compañía deberá vender al menos 251 televisores para

obtener utilidad.

Ejemplo:

Utilidades.- Para una compañía que fabrica calefones, el costo combinado de mano de obra y

material es de 42 dólares por calefón. Los costos fijos son 140000 dólares. Si el precio de venta

de cada calefón es de 70 dólares, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?

Es necesario reflexionar sobre el hecho de que una compañía generará utilidades cuando al

restar a sus ingresos los costos, el valor de la utilidad sea mayor a cero, es decir,

Entonces dado que la desigualdad será:

Deben venderse al menos 5001 calefones, para que la compañía obtenga utilidades.

Ejemplo:

Ingreso.- Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de

dólares por cada una. ¿Cuál es el número mínimo que deben venderse para que el

ingreso por ventas sea mayor que $5000?

Con los conceptos que previamente habíamos revisado para resolver el ejercicio de utilidad,

sabemos que el ingreso total es igual al precio multiplicado por la cantidad . Partiendo del concepto y considerando los datos proporcionados en el problema, planteamos:


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Dado que el precio es igual a , obtenemos:

El ejemplo nos da la restricción de que el valor del ingreso debe ser mayor a 5000 dólares,

con lo que finalmente la desigualdad quedaría así:

Por lo tanto deberán venderse mínimo 4901 unidades para obtener un ingreso mayor a 5000

dólares.

Actividades recomendadas: Desarrolle los siguientes problemas de aplicación:

• 9, 11, 21 y 31 de la página 51 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.1.

• 1, 5 y 7 de las páginas 60 - 61 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.3.

Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las

hojas finales del texto básico.

Econ. Guadalupe Macas Sánchez Mg. Sc.

DOCENTE


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