phy b17 2-2
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§17.7 薛定谔方程
1926 薛定谔 ( E. Schrodinger ) 微观粒子 低速
实际上,薛定谔方程是量子力学的一个基本假定,它
的正确性只能靠实验来检验。
处于势场V 中的非自由粒子
)()(2
)( 22
t,rt,rVm
t,rt
i vrhvh ΨΨ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇−=
∂∂
薛定谔方程
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ 2
2
2
2
2
22
zyx 拉普拉斯算符
退出返回
)(rVVr
=若势能函数V 不含时间 t
粒子的能量 E 是一个不随时间变化的常量
这时粒子处于定态,粒子的定态波函数可以写成
tiE
ert,r hvv −= )()( ψΨ
22 )()( rt,r vv ψΨ = )(rvψ 也叫做定态波函数
)()()(2
22
rErrVm
vvvh ψψ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇−
定态薛定谔方程退出返回
§17.8 一维定态问题
1. 一维无限深方势阱
)()()(dd
2 2
22
xExxVxm
ψψ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
h
)()()(2
22
rErrVm
vvvh ψψ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇−
V(x)
xO a
势函数
=)( xV { )0(0 ax <<
)0( ax,x ≥≤∞
退出返回
)()()(dd
2 2
22
xExxVxm
ψψψ=+−
h V(x)
xO a
(1) 时ax,x ≥≤ 0
∞→)(xV
势阱的壁无限高,在
处,势能突然增至无限大。
ax,x == 0
粒子的位置就被限制在阱内,粒子这时的状态为束缚态
的区域粒子出现的概率为零ax,x ≥≤ 0
)0(0 ax,x ≥≤=ψ退出返回
(2) 0 < x < a 时 V(x)
xO a
0)( =xV
ψψ Exm
=− 2
22
dd
2h
ψψ22
2 2dd
h
mEx
−=
022
2
=+ ψψ kdxd
22 2
h
mEk =令
)sin()( δψ += kxAx
0)( =aψ0)0( =ψ波函数连续退出返回
)sin()( δψ += kxAx V(x)
xO a
0=δ0)0( =ψ
kxAx sin)( =ψ
0)( =aψ 0sin =kaA
πnka =0sin =ka) 2 1 ( L,,n =
ank π
=
22 2
h
mEk =22
22 2h
mEa
n=
π
退出返回
) 3 2 1(2 2
222
Lh ,,,n
manEn ==
π
ank π
=kxAx sin)( =ψ
xa
nAx nnπψ sin)( =
1)(2
0=∫ dxx
a
nψ归一化条件
aAn
2=∫
a
n dxa
xnA0
22sin π 121 2 == aAn
退出返回
V(x)
xO a1ψE1
3ψE3
2ψE2
4ψE4
xa
na
xnπψ sin2)( =
) 3 2 1 ( L,,,n =
2
222
2manEn
πh=
) 3 2 1 ( L,,,n =
nE
nψ能量本征值
能量本征函数
n 量子数CAI
01 ≠E 粒子具有零点能退出返回
CAI
退出返回
2. 势垒贯穿)()()(
dd
2 2
22
xExxVxm
ψψ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
h
1) 梯形势
1 2
O x
U
0U=)(xV
0 0 0
0 ≥<
xUx
)()(dd
2 112
22
xExxm
ψψ =−h0<x
221
2h
mEk =0)()(dd
12112
2
=+ xkxx
ψψ
xikBexikAex 111 )( −+=ψ
退出返回
)()()(dd
2 22022
22
xExUxxm
ψψψ =+−h
0≥x
00 UE <<0)()(
dd
22222
2
=− xkxx
ψψ
1 2
O x
U
0U202
2)(2
h
EUmk −=
xkDexkCex 222 )( +−=ψ
)(2 ∞→xψ 0=D有界
xkCex 22 )( −=ψ
退出返回
1 2
O x
U
0UxikBexikAex 111 )( −+=ψ
xkCex 22 )( −=ψ
0
2
0
1
dd
dd
==
=xx xx
ψψ)0()0( 21 ψψ =
CkikBA
1
2=−CBA =+
Akik
ikC21
12−
=AkikkikB
21
21
−+
=退出返回
)()( 11
21
211
xikxik ekikkikeAx −
−+
+=ψ
xkAekik
ikx 2
21
12
2)( −
−=ψ
CAI
2) 势垒贯穿
能量为E 的粒子沿 x 轴正方向射向方势垒
00 VE <<
=)(xV)或(
)(
axxaxV≥≤
<< 0 0
0 0
退出返回
1
2
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2
2
D
CT =
返回 退出
)(22
20
0 0)(16 EVma
eV
EVT
−−−≈ h
由于势垒宽度a 出现在指数上,因此穿透概率T 对a 的依赖十分敏感。
对于电子
10m10 3210 .eTa . ≈= −− ~,
10239 10 m10 −−− ≈= eTa ~,
eVEV 50 ≈−取
粒子从区域Ⅰ经区域Ⅱ到达区域Ⅲ
的穿透概率
00 VE <<
退出返回
退出返回
3) 扫描隧道显微镜 (STM)
1982宾尼(G.Binnig) 罗雷尔(H.Rohrer)
若在样品和针尖之间加一微小的电压U,可以观察到它们之间的隧道电流 I
dAUeI φ−∝
φ 样品表面平均势垒的高度
d 样品和针尖之间距离
退出返回
STM扫描图象
硅晶体表面的STM扫描图象
0 50 9030 7010 (nm)
退出返回
3. 一维谐振子
选取谐振子的平衡位置为坐标原点,并选取坐标原点为势能零点。
mk
=ω222
21
21)( xmkxxV ω==
)()()(dd
2 2
22
xExxVxm
ψψ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
h
0)()21(2)(
dd 22
22
2=−+ xxmEmx
xψωψ
h
退出返回
能量本征值
) 2 1 0 ()21()
21( Lh ,,,nhnnEn =+=+= νω
n•能量量子化 量子数
νh•能量间隔
•最低能量(零点能) 021
0 >= ωhE
本征函数22
21
21
)()2
()(x
nnn exH!n
xα
απ
αψ−
=21
)(h
ωα m=
厄米多项式22
)1()( ξξ
ξξ −−= e
ddeH n
nn
n
返回 退出
) 2 1 0 ()21()
21( Lh ,,,nhnnEn =+=+= νω
νnhEn=与Planck 假设不同!
E0 2/ωh=
E1 23 /ωh=
E2 25 /ωh=
E3 27 /ωh=
U(x)E
0 x CAI
退出返回
1) 经典谐振子的位置概率密度分布
能量为E0的经典
粒子沿阱壁只能爬E0高度,这时
粒子的动能为零,然后被阱壁反弹回去。
)(2 xΨ)(xU
0E
xO
在 处, 势能 021)( 22 == xmxV ω0=x , 是极小值。
动能在 处极大,则粒子通过 点时的速率也极
大,粒子在 处逗留的时间极短,出现的概率最小。
0=x 0=x0=x
退出返回
2) 量子谐振子的位置概率密度分布
能量为E0的微观
粒子沿阱壁爬的高度可以大于E0(红色虚线),或者说能量为E0的粒子可以穿入阱壁内部。
用经典理论无法解释
微观粒子分布与经典粒子分布有明显的区别
)(2 xΨ)(xU
0E
xO
20 )(xψ
2220 )( xex α
πα
ψ −=黑色实线为经典粒子位置的概率分布
退出返回
3) 谐振子的几个波函数和位置概率密度 CAI
退出返回
谐振子的定态波函数具有确定的宇称 CAI
)()( xx nn ψψ =−当 n 为偶数时 谐振子处于偶宇称态
)()( xx nn ψψ −=−当 n 为奇数时 谐振子处于奇宇称态
上述性质来源于谐振子势能函数V ( x ) 在空间反演下的不变性
)()( xVxV =−即退出返回
CAI
当n→∞时,量子概率分布→经典概率分布(图示虚线)
量子与经典的结果在平均上已比较符合
退出返回