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Photon antibunching

西村睦実

[email protected]

素粒子理論研究室

Photon antibunching – p.1/19

概要　

アンチバンチングとは

アンチバンチングの可能性（単一モード場とマルチモード場）

アンチバンチングの観測

共鳴蛍光の理論的解釈 (Carmichael & Walls,1976)

共鳴蛍光の実験 (Kimble , Dagenais & Mandel,1977)


参考文献　

G. C. Gerry, Peter Knight, "Introductory QuantumOptics" (Cambridge University Press)

D.F.Walls (Nature,280(1979)451)

H.J.Carmichael and D.F.Walls (J.Phys , B Vol.9No.4(1976) L44)

H.J.Kimble,M.Dagenais and L.Mandel(Phys.Rev.Lett.,39(1977),691)

花村榮一 "岩波講座現代の物理学８量子光学"(岩波書店)



ある１点での規格化された 2次の相関関数は、

g(2)(τ) =

⟨

E(−)(t)E(−)(t + τ)E(+)(t + τ)E(+)(t)⟩

⟨

E(−)(t)E(+)(t)⟩2

定常状態においては遅延時間 τ にのみ依る

分子：光子を時刻 tに観測し、その後 t + τ に別の光子を観測する確率

分母：1つの光子を観測する確率の２乗２つの光子の間に相関がない場合 g(2)(τ) = 1

g(2)(0) > g(2)(τ)（減少）→バンチング（例、熱源 g(2)(0) = 2）

g(2)(0) = g(2)(τ) →例、コヒーレント状態の光 g(2)(τ) = 1

g(2)(0) < g(2)(τ)（増加）→アンチバンチングPhoton antibunching – p.4/19


τ → ∞のとき g(2)(τ) → 1である

g(2)(0) < g(2)(τ)のときにアンチバンチングは起こる

⇓→g(2)(0) < 1であることが必要

古典場においてはコーシーの不等式が成り立つ

→古典的な光のビームの場合は、

g(2)(τ) = 1 + |g(1)(τ)|2 ≥ 1

→アンチバンチングは非古典的な現象である


可能性＜単一モード場＞

単一モード場における２次の相関関数

g(2)(τ) = g(2)(0) =〈a†a†aa〉〈a†a〉2 = 1 +

〈(∆n)2〉 − 〈n〉〈n〉2

g(2)(τ)は τ に依らず一定

(単一モード場においては τ → ∞のとき g(2)(τ) → 1が成り立たない)

→光子のアンチバンチングはおこらない　 (バンチングも)

→アンチバンチングはマルチモード場においてのみ起こる


可能性＜マルチモード場＞

マルチモード場における 2次の相関関数

g(2)(0) = 1 +

∫P (αi)

[∑

j |αj|2 − 〈a†j aj〉

]2

d2αi(∑

j〈a†j aj〉

)2

古典場、つまり P (αi) ≥ 0となるときは g(2)(0) ≥ 1

→アンチバンチングはおこらない非古典場で P (αi) < 0となる αiの領域が存在する場合

は g(2)(0) < 1となる可能性がある

→光子のアンチバンチング


アンチバンチングの観測

アンチバンチングの可能性は２準位系の原子からの共鳴蛍光

において予想された（Kimble and Mandel;Carmichael and Walls,1975)

共鳴振動数のレーザー光を原子に照射して、原子を励起する。

原子が基底状態に戻るとき光子が放射される。

その放射光（蛍光光）を検出する

t = 0で光子を検出する→原子は基底状態になる

t + τ = 0での光子の検出確率はゼロ→ g(2)(0) = 0

t + τ > 0で原子が再励起され再び光子を放射する

→ g(2)(τ) > g(2)(0)

⇒ g(2)(0) = 0 アンチバンチングPhoton antibunching – p.8/19

CarmichaelとWallsによる理論

2準位原子と電磁場の共鳴モードからなる系のハミルトニア

ンは、

HS = ~ω0a†a +

1

2~ω0σz + ~(κaσ+ + κ∗a†σ−)



HS はラビ振動を表す

励起状態の不安定性は、共鳴モード以外の電磁場と原子の相互作用

による

原子と共鳴モードの密度演算子 ρはマスター方程式を満たす

(Haake 1973)

∂ρ

∂t= Lρ

= i~[HS , ρ] +γ

2(2σ−ρσ+ − σ+σ−ρ − ρσ+σ−)

︸︷︷︸

非共鳴モードとの相互作用による項

= ~[~(κaσ+ + κ∗a†σ−), ρ] +γ

2(2σ−ρσ+ − σ+σ−ρ − ρσ+σ−)



光子数 nが大きいとき n ' n + 1 ' nより、

κaσ+ + κ∗a†σ− = κ√

nσ+ + κ∗√

nσ−

マスター方程式を行列成分ごとに表すと、

d

dτρ++ = i

√n(κρ−+ − κ∗ρ+−) − γρ++

d

dτρ+− = iκ

√n(ρ−− − ρ++) − γ

2ρ+−

d

dτρ−+ = iκ∗

√n(ρ++ − ρ−−) − γ

2ρ−+

d

dτρ−− = i

√n(κ∗ρ+− − ρ−+) + γρ++

(1)


マスター方程式の物理的意味

κ = 0のとき (1)式より、

d

dτρ++ = −γρ++ ,

d

dτρ−− = γρ++

⇒ ρ++(τ) = e−γτρ++(0) , ρ−−(τ) = 1 − e−γτρ++(0)

→ γ は自発放射の崩壊の割合

γ = 0のとき (1)式より、

ρ++(τ) =1

2+ A cos (ΩRτ) (ΩR = 2

√n|κ|)

Lρ = [(κaσ+ + κ∗a†σ−), ρ]︸︷︷︸

ラビ振動による項

+γ

2(2σ−ρσ+ − σ+σ−ρ − ρσ+σ−)

︸︷︷︸

自発放射による項Photon antibunching – p.12/19


定常状態では ∂ρ∂t = 0なので、密度演算子の対角成分は (1)式

より、

ρ++ =4n|κ|2

γ2 + 8n|κ|2 → 原子が励起状態である確率

ρ−− = 1 − 4n|κ|2γ2 + 8n|κ|2 → 原子が基底状態である確率

nが大きいと、

ρ++ = ρ−− =1

2

となる



2次の相関関数 g(2)(τ)は光子を観測する確率

→原子が t = τ で励起される確率に比例する

τ = 0では原子は基底状態にあるので

ρ−,− = 1、ρ+,+ = ρ+,− = ρ−,+ = 0　

の初期条件で (1)式を解き、規格化すると

g(2)(τ) = 1 − exp

(

−3

4γτ

) (

coshΩτ +3

4

γ

ΩsinhΩτ

)

Ω =[(γ/4)2 − 4n|κ|2

]1/2



4n|κ|2 ( 14γ)2 → g(2)(τ) = 1 − exp

(− 3

4γτ)cosΩRτ 　 (赤)

4n|κ|2 ( 14γ)2 → g(2)(τ) = [1 − exp(−γτ/2)]2 　 (緑)


KimbleとDagenaisとMandelの実験

ナトリウム原子の原子ビームを使用し、3s1/2 から 3p3/2 への遷移に一致したレー

ザービームにより原子は励起され蛍光光を放射する

原子ビームは単位時間にレーザー場に存在する原子が平均１個となるように強度を弱

くしている

左：一つの原子から２度の放射を観測している→ 理想的

右：別々の２つの原子からの放射を観測している → 光子数 n の補正が必要Photon antibunching – p.16/19

KimbleとDagenaisとMandelの実験

放射した蛍光光はビームスプリッタによって等分され検出される

２つの蛍光光線は TDCの start,stop入力端子に入射→ startと stopの時間間隔 τ が遅延時間 τ に一致する

時間間隔が τ の事象の数 n(τ) ∝光子の検出確率密度 ∝ g(2)(τ)


実験結果　

（左図）遅延時間 τ（2ns間隔）と事象数 n(実験値そのまま）（右図）遅延時間 τ と g(2)(τ)（左図に補正を加えたもの）

(破線は Ω/γ = 4 における理論値。γ：Na の崩壊の割合と Ω：レーザー場の強度)

→アンチバンチングは観測された　　　　　　　　　　　　　Photon antibunching – p.18/19

まとめ

アンチバンチングは、

電磁場の 2次の相関関数が時間の増加関数になる非古典的な現象

単一モード場では見られずマルチモード場でのみ起こる

２準位系の共鳴蛍光により予測された

実際に実験で観測された


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