phÂn tÍch dao ĐỘng cỦa cƠ cẤu phẲng cÓ khÂu ĐÀn hỒi...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Nguyễn Sỹ Nam

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ

KHÂU ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ

LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Nguyễn Sỹ Nam

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU

ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS. TSKH Nguyễn Văn Khang

2. PGS. TS Lê Ngọc Chấn

Hà Nội – 2018

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành gửi tới thầy GS. TSKH Nguyễn Văn

Khang và thầy PGS.TS Lê Ngọc Chấn đã tận tình hướng dẫn khoa học, động viên và

giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè đang

công tác tại Viện Cơ học, tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa

học và Công nghệ Việt Nam, tại Bộ môn Cơ Ứng dụng – Đại học Bách khoa Hà Nội

và tại Bộ môn Cơ học Lý thuyết – Đại học Xây dựng đã giúp đỡ, tạo điều kiện, động

viên tác giả trong quá trình làm luận án.

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn bên cạnh tác giả trong

suốt thời gian làm luận án.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả trình

bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình

nào khác, các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được ghi rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Nguyễn Sỹ Nam

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

MỞ ĐẦU.....................................................................................................................1

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU........................................ 3

1.1. Cơ cấu có khâu đàn hồi ..................................................................................... 3

1.1.1. Khâu rắn và khâu đàn hồi trong một số cơ cấu máy và robot ....................... 3

1.1.2. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu ................................................. 5

1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới..................................................................... 7

1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước .................................................................... 12

1.4. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án.......................................................... 12

CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ

NHIỀU VẬT ĐÀN HỒI ........................................................................................... 13

2.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi................................................................................. 13

2.1.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp Ritz – Galerkin.................... 13

2.1.2. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) ........... 14

2.2. Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch

vòng bằng phương trình Lagrange dạng nhân tử .................................................... 17

2.3. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn khâu bản lề

với thanh truyền đàn hồi......................................................................................... 18

2.3.1. Mô tả cơ cấu ............................................................................................. 18

2.3.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết............................ 18

2.3.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền đàn hồi

được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin........................................... 20

2.3.3.1. Trường hợp cơ cấu rắn....................................................................... 29

2.3.3.2. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh)........ 29

2.3.3.3. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn) .... 30


được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn......................................................... 31

2.3.4.1. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh) ..... 38

2.3.4.2 Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn)... 39

2.4. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sáu khâu với hai

thanh truyền đàn hồi............................................................................................... 39

2.4.1. Mô tả cơ cấu ............................................................................................. 39

2.4.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết............................ 40

2.4.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền đàn

hồi được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin ..................................... 43

2.4.3.1. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh) .... 53

2.4.3.2. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến

dạng uốn) ....................................................................................................... 55

2.4.4. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền

đàn hồi được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn .......................................... 56

Kết luận chương 2.................................................................................................. 61

CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC THUẬN CƠ CẤU PHẲNG CÓ

KHÂU ĐÀN HỒI..................................................................................................... 62

3.1. Bài toán động lực học thuận của hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc mạch vòng.... 62

3.2. Bài toán động lực học thuận có điều khiển hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc

mạch vòng ............................................................................................................. 67

3.3. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu bốn khâu có

khâu nối đàn hồi..................................................................................................... 69

3.3.1. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương

pháp Ritz – Galerkin........................................................................................... 70

3.3.1.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn........................................................... 70

3.3.1.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn .................................................. 72

3.3.1.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén ...................... 77

3.3.2. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương

pháp phần tử hữu hạn – FEM ............................................................................. 88

3.3.2.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn........................................................... 88

3.3.2.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn .................................................. 88

3.3.2.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén ...................... 92

3.4. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu sáu khâu bản

lề có hai thanh truyền đàn hồi................................................................................. 95

3.4.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn.................................................................. 96

3.4.2. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc trục................................ 99

3.4.3. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu uốn ................................................. 104

Kết luận chương 3................................................................................................ 107

CHƯƠNG 4. TUYẾN TÍNH HÓA VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TUẦN

HOÀN CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU ĐÀN HỒI ......................................... 108

4.1. Một phương pháp mới tuyến tính hóa các phương trình chuyển động của

hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng...................................................................... 108

4.2. Tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính

hệ số tuần hoàn bằng phương pháp Newmark ...................................................... 114

4.2.1. Cơ sở của phương pháp .......................................................................... 114

4.2.2. Sử dụng phương pháp Newmark xác định điều kiện đầu dao động

tuần hoàn cho hệ tuyến tính hệ số tuần hoàn..................................................... 115

4.3. Phân tích dao động tuần hoàn cơ cấu bốn khâu có khâu nối đàn hồi .............. 118

4.3.1. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu uốn .............................. 118

4.3.1.1. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa luận án đề xuất ...................... 118

4.3.1.2. Sử dụng phương pháp tách cấu trúc ................................................. 124

4.3.2. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu kéo nén dọc ................. 129

4.4. Phân tích dao động tuần hoàn của cơ cấu sáu khâu với hai khâu nối đàn

hồi chịu kéo nén................................................................................................... 135

4.4.1. Trường hợp khâu dẫn quay á đều............................................................ 138

4.4.2 Trường hợp khâu dẫn quay đều................................................................ 143

Kết luận chương 4................................................................................................ 147

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 148

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN ................... 150

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 151

PHỤ LỤC A

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Danh mục ký hiệu

w(x,t) Chuyển vị uốn của thanh truyền tại vị trí x, ở thời điểm t

u(x,t) Chuyển vị dọc của thanh truyền tại vị trí x, ở thời điểm t

,i kX Y Các hàm dạng riêng biến dạng của thanh truyền đàn hồi

,i kq p Các tọa độ suy rộng của biến dạng đàn hồi.

Π Thế năng biến dạng đàn hồi

T Động năng của cơ cấu *kQ Lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng thứ k

Qk Lực suy rộng của các lực không có thế ứng với tọa độ suy rộng thứ k

s Véc tơ tọa độ suy rộng dư

q Véc tơ tọa độ suy rộng độc lập

qa Véc tơ tọa độ các khâu dẫn động (các tọa độ khớp chủ động)

qe Các tọa độ suy rộng của biến dạng đàn hồi

z Véc tơ tọa độ suy rộng phụ thuộc

f Véc tơ các điều kiện ràng buộc

n Tổng số tọa độ suy rộng dư

f Tổng số tọa độ suy rộng độc lập

r Tổng số tọa độ suy rộng phụ thuộc

ηj Các tọa độ suy rộng

λi Các nhân tử Lagrange

φi Góc định vị khâu thứ i

α, β Các hằng số ổn định hóa Baumgater

, Các hằng số của phương pháp Newmark

kP, kD Các hệ số khuếch đại của bộ điều khiển PD

IO Mômen quán tính lấy đối với trục qua O của khâu dẫn OA

IC Mômen quán tính lấy đối với trục qua C của khâu bị dẫn BC

Phân bố khối lượng trên một đơn vị chiều dài

E Môđun đàn hồi của vật liệu

I Mômen quán tính mặt cắt ngang

A Diện tích mặt cắt ngang

mi Khối lượng khâu thứ i

li Chiều dài khâu thứ i

Danh mục các chữ viết tắt

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn

PD Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (Propotional Derivative)

PI Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (Propotional-Integral)

PID Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân – vi phân (Propotional-Integral–Derivative)

PZT Cảm ứng áp điện (PbZrxTi1-xO3)

LPM Phương pháp tham số tập trung (Lumped Parameter Method)

AMM Phương pháp các dạng riêng giả định (Assumed Modes Method)

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1. Thông số của cơ cấu bốn khâu ................................................................... 72

Bảng 3.2. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề ................................................................... 98

Bảng 4.1. Thông số cơ cấu bốn khâu [10,74] ........................................................... 127

Bảng 4.2. Kết quả tính toán số ................................................................................. 127

Bảng 4.3. Thông số cơ cấu bốn khâu [66] ................................................................ 133

Bảng 4.4. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề [66].......................................................... 141

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Sơ đồ cơ cấu máy bào ngang ........................................................................3

Hình 1.2. Sơ đồ động học cơ cấu 6 khâu ......................................................................3

Hình 1.3. Tay máy hai bậc tự do ..................................................................................4

Hình 1.4. Sơ đồ robot song song 6 bậc tự do có các chân là khâu đàn hồi ....................4

Hình 1.5. Robot song song 3 bậc tự do – có các chân là khâu đàn hồi..........................4

Hình 1.6 . Sơ đồ động học của hệ thống truyền động của máy ép kim loại...................5

Hình 1.7 . Cơ cấu cam cần đẩy ....................................................................................5

Hình 1.8. Khớp đàn hồi................................................................................................6

Hình 1.9. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu cam ..........................................6

Hình 2.1. Dầm hai đầu bản lề..................................................................................... 14

Hình 2.2. Dầm hai đầu bản lề chịu kéo ...................................................................... 14

Hình 2.3. Các bậc tự do của phần tử dầm................................................................... 15

Hình 2.4. Rời rạc hóa bằng nhiều phần tử .................................................................. 16

Hình 2.5. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề ..................................................................... 18

Hình 2.6. Các bậc tự do của phần tử dầm................................................................... 31

Hình 2.7. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu bản lề...................................................................... 40

Hình 2.8. Sơ đồ đặt hệ trục tương đối trên các khâu đàn hồi ...................................... 40

Hình 3.1. Sơ đồ điều khiển tăng cường dạng PD........................................................ 68

Hình 3.2. Xác định điều kiện đầu sơ bộ *20 , *

30 bằng vẽ hình .................................. 71

Hình 3.3. Góc khâu dẫn. ......... cơ cấu rắn, ________ cơ cấu đàn hồi ............................ 74

Hình 3.4. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi ....................... 74

Hình 3.5. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2......................................... 74

Hình 3.6. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi ............ 74

Hình 3.7. Vận tốc góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi......... 74

Hình 3.8. Góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi.......................... 75

Hình 3.9. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, ________ cơ cấu đàn hồi ....................... 75

Hình 3.10. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi.......... 75

Hình 3.11. Vận tốc góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi........ 75

Hình 3.12. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2....................................... 75

Hình 3.13. Góc khâu dẫn khi điều khiển ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi ..... 76

Hình 3.14. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi ..... 76

Hình 3.15. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu

đàn hồi....................................................................................................................... 76

Hình 3.16. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ

cấu đàn hồi ................................................................................................................ 76

Hình 3.17. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2................ 77

Hình 3.18. Mômen điều khiển đặt vào khâu dẫn τC (Nm)........................................... 77

Hình 3.19. Góc khâu dẫn. …… cơ cấu rắn,_______ cơ cấu đàn hồi.............................. 78

Hình 3.20. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi .................... 78

Hình 3.21. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi............. 78

Hình 3.22. Vận tốc góc khâu bi dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi......... 78


Hình 3.24. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi ............................................... 79


Hình 3.26. Góc khâu bị dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi ........................ 79






Hình 3.32. Góc khâu bị dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi ........................ 80



Hình 3.35. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2 ....................................... 81


Hình 3.37. Góc khâu dẫn khi điều khiển …... cơ cấu rắn; _______ cơ cấu đàn hồi ........ 82

Hình 3.38. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển . ……cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi ..... 82

Hình 3.39. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu

đàn hồi....................................................................................................................... 82

Hình 3.40. Vận tốc góc khâu bi dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu

đàn hồi....................................................................................................................... 82


Hình 3.42. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển........................ 82


Hình 3.44. Góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi ................................... 83

Hình 3.45. Góc khâu bị dẫn.….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi.............................. 83

Hình 3.46. Vận tốc góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi....................... 84

Hình 3.47. Vận tốc góc khâu bị dẫn.….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi.................. 84



Hình 3.50. Góc khâu dẫn khi điều khiển.….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi ............ 84

Hình 3.51. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển.….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi ........ 85

Hình 3.52. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.... 85

Hình 3.53. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi... 85

Hình 3.54. Góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi .................................. 86

Hình 3.55. Góc khâu bị dẫn.….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi.............................. 86

Hình 3.56. Vận tốc góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi....................... 86

Hình 3.57. Vận tốc góc khâu bị dẫn. ….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi ................ 86

Hình 3.58. Góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi. .......... 87

Hình 3.59. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi ....... 87

Hình 3.60. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.... 87

Hình 3.61. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.... 88

Hình 3.62. Góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi ...................... 89

Hình 3.63. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi .................... 89



Hình 3.66. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2 ....................................... 90

Hình 3.67. Góc khâu dẫn …... cơ cấu rắn; _______ cơ cấu đàn hồi ............................... 90

Hình 3.68. Góc khâu bị dẫn …….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi ........................... 90

Hình 3.69. Vận tốc góc khâu dẫn . ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi ................ 91

Hình 3.70. Vận tốc góc khâu bi dẫn. ……. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi................ 91


Hình 3.72. Góc khâu dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn,_______ cơ cấu đàn hồi ..... 92

Hình 3.73. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. …… cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi ..... 92

Hình 3.74. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu

đàn hồi....................................................................................................................... 92

Hình 3.75. Vận tốc góc khâu bi dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ

cấu đàn hồi ................................................................................................................ 92



Hình 3.78. Góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi ........................ 93

Hình 3.79. Góc khâu bị dẫn ……. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi ..................... 93

Hình 3.80. Vận tốc góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi ................. 93

Hình 3.81. Vận tốc góc khâu bi dẫn. ……. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi................ 93



Hình 3.84. Góc khâu dẫn khi điều khiển …... cơ cấu rắn; _______ cơ cấu đàn hồi ........ 94

Hình 3.85. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển . ….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi..... 94

Hình 3.86. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. …. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi .... 94

Hình 3.87. Vận tốc góc khâu bi dẫn khi điều khiển..…. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.. 94


Hình 3.89. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển........................ 95

Hình 3.90. Góc khâu dẫn …... cơ cấu rắn; _______ cơ cấu đàn hồi .............................. 101

Hình 3.91. Góc khâu chấp hành. …….. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi............. 101

Hình 3.92. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB, τ0 = 1.5Nm............................. 102

Hình 3.93. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD, τ0 = 1.5Nm............................. 102

Hình 3.94. Góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi........................ 102

Hình 3.95. Góc khâu chấp hành. ……. cơ cấu rắn, _________ cơ cấu đàn hồi............ 102

Hình 3.96. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB, τ0 = 3 Nm............................... 102

Hình 3.97. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD, τ0 = 3 Nm............................... 102

Hình 3.98. Góc khâu dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi. .. 103

Hình 3.99. Góc khâu chấp hành khi điều khiển. …. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi 103

Hình 3.100. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB khi có điều khiển, τ0 = 3 Nm. 103

Hình 3.101. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD khi điều khiển, τ0 = 3 Nm...... 103

Hình 3.102. Mômen điều khiển đặt vào khâu dẫn .................................................... 103

Hình 3.103. Góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi......................... 105

Hình 3.104. Góc khâu chấp hành. ……. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi.............. 105

Hình 3.105. Chuyển vị uốn của thanh truyền AB tại điểm giữa thanh ...................... 106

Hình 3.106. Chuyển vị uốn của thanh truyền CD tại điểm giữa thanh ...................... 106

Hình 3.107. Góc khâu dẫn khi điều khiển. …… cơ cấu rắn, _______ cơ cấu đàn hồi . 106

Hình 3.108. Góc khâu chấp hành khi điều khiển. …… cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi .. 106

Hình 3.109. Chuyển vị uốn của thanh truyền AB tại điểm giữa thanh khi

điều khiển............................................................................................................... 106

Hình 3.110. Chuyển vị uốn của thanh truyền CD tại điểm giữa thanh khi

điều khiển .............................................................................................................. 106

Hình 3.111. Mômen tăng cường đặt vào khâu dẫn.................................................. 107

Hình 4.1. Sơ đồ khối thuật toán xác định các ma trận hệ số ..................................... 113

Hình 4.2. Xác định điều kiện đầu sơ bộ )0(*2R , )0(*

3R .......................................... 119

Hình 4.3. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề ................................................................... 127

Hình 4.4. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 600 vòng/phút...... 128

Hình 4.5. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 900 vòng/phút...... 128

Hình 4.6. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 1200 vòng/phút .... 128

Hình 4.7. Sai lệch góc các khâu ε2, ε3, n =1200 vòng/phút ...................................... 129

Hình 4.8. Sai số của phương trình liên kết, n =1200 vòng/phút ............................... 129

Hình 4.9. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề ................................................................... 133

Hình 4.10. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB ................................................ 134

Hình 4.11. Sai lệch góc của khâu bị dẫn BC, ε3 (rad) ............................................... 134

Hình 4.12. Sai lệch góc của khâu nối AB, ε2 (rad).................................................... 134

Hình 4.13. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu bị dẫn .............................................. 134

Hình 4.14. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu bản lề.................................................................. 135

Hình 4.15. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB trong 1 chu kỳ......................... 142

Hình 4.16. Biến dạng dọc trục của thanh truyền CD trong 1 chu kỳ......................... 142

Hình 4.17. Sai lệch góc của khâu dẫn O1A trong 1 chu kỳ ....................................... 142

Hình 4.18. Sai lệch góc của khâu bị dẫn O3D trong 1 chu kỳ ................................... 142

Hình 4.19. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh AB........................................ 143

Hình 4.20. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh CD........................................ 143

Hình 4.21. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu dẫn O1A........................................... 143

Hình 4.22. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu bị dẫn O3D....................................... 143

Hình 4.23. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB trong 1 chu kỳ, - - - - thực

nghiệm [66], __________ Tuyến tính hóa....................................................................... 146

Hình 4.24. Biến dạng dọc trục của thanh truyền CD trong 1 chu kỳ. - - - - Thực

nghiệm [66], __________ Tuyến tính hóa..................................................................... 146

Hình 4.25. Sai lệch góc của khâu bị dẫn O3D trong 1 chu kỳ, ε5[rad] ....................... 147

Hình 4.26. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh AB........................................ 147

Hình 4.27. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh CD........................................ 147

1

MỞ ĐẦU

Ngày nay, tự động hoá là một trong những ngành kỹ thuật cao đang phát

triển mạnh mẽ trong tất cả các lĩnh vực của cuộc sống. Các dây chuyền sản xuất tự

động, các máy móc,… ngày càng được thiết kế theo hướng tối ưu hóa nhằm tạo nên

chất lượng sản phẩm tinh xảo, chính xác hơn, năng suất cao, giảm thiểu sức lao

động của con người.

Trong các thiết kế trước đây, các cơ cấu máy thường được thiết kế với kích

thước cồng kềnh, quán tính lớn để đảm bảo độ cứng vững, giảm thiểu rung động do

biến dạng của các khâu trong cơ cấu gây ra. Các thiết kế này đang cho thấy sự

không hiệu quả trong việc tiêu thụ năng lượng, tốc độ phản ứng chậm đối với các

hoạt tải do quán tính lớn, kích thước máy lớn. Các nghiên cứu về động lực học của

các cơ cấu máy này thường được đơn giản với giả thiết các khâu trong cơ cấu là các

vật rắn tuyệt đối (khâu rắn –Rigid body).

Với việc sử dụng các loại vật liệu nhẹ mới và nhu cầu cơ cấu làm việc ở tốc

độ cao, kích thước máy nhỏ gọn, quán tính nhỏ, tiêu thụ năng lượng ít, mà trong các

thiết kế hiện đại thường tạo ra các cơ cấu máy nhỏ gọn hơn, kích thước các khâu

thanh mảnh hơn. Tuy nhiên, điều này lại dẫn đến sự biến dạng đáng kể của các

khâu, đặc biệt là các khâu dài, khâu mảnh hoặc khi cơ cấu chuyển động nhanh. Sự

biến dạng này sẽ gây ra rung động khi cơ cấu làm việc, làm tăng đáng kể phản lực

khớp động. Những rung động này còn làm giảm độ chính xác đối với các cơ cấu

yêu cầu chính xác cao, làm chậm trễ các hoạt động nối tiếp nhau của cơ cấu do rung

động vẫn tồn tại trong một khoảng thời gian nhất định. Khi đó giả thiết các khâu là

vật rắn là khó chấp nhận, mà phải xem các khâu như vật rắn biến dạng (vật đàn hồi

- Flexible body). Điều này đòi hỏi các phương pháp nghiên cứu động lực học chính

xác hơn, phản ánh đúng tính chất của vật liệu là tính đến ảnh hưởng của các thành

phần biến dạng trong các khâu của cơ cấu.

Mục đích nghiên cứu của luận án

Luận án sẽ tập trung nghiên cứu các ứng xử động lực học của cơ cấu phẳng

có một hoặc vài khâu đàn hồi như tính toán sự biến dạng đàn hồi của các khâu, đánh

giá sự ảnh hưởng của biến dạng tác động ngược trở lại đến chuyển động của cơ cấu

trong quá trình làm việc. Qua đó sẽ tìm cách điều khiển làm giảm thiểu tác động

tiêu cực do dao động của các khâu đàn hồi gây ra, đồng thời hạn chế các dao động

đàn hồi này.

Đối tượng nghiên cứu

Luận án sẽ tập trung vào nghiên cứu các cơ cấu đàn hồi phẳng và thực hiện

tính toán mô phỏng số một số mô hình cơ cấu phẳng cụ thể như cơ cấu bốn khâu

2

bản lề, cơ cấu sáu khâu bản lề.

Các phương pháp nghiên cứu

Luận án sẽ sử dụng các phương pháp giải tích để xây dựng các phương trình

vi phân chuyển động cho các cơ cấu, tuyến tính hóa các phương trình vi phân

chuyển động, kết hợp với tính toán mô phỏng số trên các phần mềm như Matlab,

Maple để tính toán mô phỏng số các quá trình động lực học của cơ hệ.

Nội dung của luận án

Luận án nghiên cứu thực hiện các nội dung chính sau:

1) Nghiên cứu việc thiết lập phương trình chuyển động của một số cơ cấu có

khâu đàn hồi.

2) Phân tích động lực học thuận cơ cấu có khâu đàn hồi khi không có lực

điều khiển và khi có lực điều khiển bổ sung.

3) Tuyến tính hóa phương trình động lực học và phân tích dao động của cơ

cấu có khâu đàn hồi ở chế độ làm việc bình ổn.

Bố cục của luận án

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 4 chương nội dung.

+ Chương 1: Giới thiệu tổng quan về cơ cấu máy và robot có khâu đàn hồi,

tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước và đặt ra một số vấn đề cần nghiên cứu

trong luận án này.

+ Chương 2: Trình bày việc thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho

một số cơ cấu có một hoặc vài khâu đàn hồi bằng cách sử dụng kết hợp phương

pháp hệ quy chiếu động, phương trình Lagrange dạng nhân tử với khâu đàn hồi

được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin và phương pháp phần tử hữu

hạn FEM. Các phương trình chuyển động này là các phương trình vi phân phi

tuyến, cùng với các phương trình liên kết tạo thành hệ phương trình vi phân – đại

số.

+ Chương 3: Thực hiện tính toán mô phỏng số bài toán động lực học thuận

cơ cấu có khâu đàn hồi. Việc tính toán được thực hiện bằng phần mềm Matlab, sử

dụng một số thuật toán như Runge – Kutta bậc 4, Runge – Kutta – Nyström.

Chương này cũng nghiên cứu bài toán điều khiển cơ cấu có khâu đàn hồi bằng cách

bổ sung thêm lực điều khiển ở các khâu dẫn, nhằm hạn chế ảnh hưởng của biến

dạng đàn hồi đến chuyển động của cơ cấu.

+ Chương 4: Đề xuất phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân

chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng, áp dụng cho trường hợp

thường gặp của các cơ cấu máy có khâu dẫn quay đều. Từ đó sử dụng phương pháp

Newmark để tính toán phân tích động lực học các cơ cấu có khâu đàn hồi ở độ

chuyển động bình ổn.

3

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Hệ nhiều vật có khâu đàn hồi đã được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu

trong khoảng 30 năm trở lại đây. Hàng loạt các cuốn sách và bài báo về động lực

học và điều khiển hệ nhiều vật có khâu đàn hồi đã được xuất bản [17, 18, 26, 37, 40,

59, 92, 94, 96, 106, 109]. Trong các tài liệu [22, 35, 86] đã cho ta cái nhìn tổng quan

về tình hình nghiên cứu hệ nhiều vật có khâu đàn hồi.

1.1. Cơ cấu có khâu đàn hồi

1.1.1. Khâu rắn và khâu đàn hồi trong một số cơ cấu máy và robot

Tùy thuộc vào kích

thước, các đặc trưng chịu lực

cũng như yêu cầu kỹ thuật mà

từng khâu của cơ cấu có thể

được xem là khâu rắn tuyệt đối

hay khâu đàn hồi. Cũng theo đó

mà cơ cấu khảo sát có thể được

xem là không có hoặc có một,

hai hay nhiều khâu đàn hồi. Ví

dụ như trong Hình 1.1 là sơ đồ

cơ cấu của máy bào ngang đơn

giản, trong đó khâu dẫn 1 có

kích thước chiều rộng là đáng kể

so với chiều dài nên có thể coi như vật rắn, còn khâu 2 biến dạng là đáng kể, cần

khảo sát sự đàn hồi do khâu dài và chịu lực dẫn động lớn. Như vậy cơ cấu này được

xem xét có một khâu đàn hồi.

Trong Hình 1.2 là sơ đồ cơ cấu 6 khâu, khâu dẫn 1, tấm 3 và khâu bị dẫn 5

có thể xem là vật rắn, còn thanh truyền 2 và 4 thường dài và mảnh hơn nên có thể

1

2

3

0

O

A

B

C

φ

ω

K

D E

Hình 1.1. Sơ đồ cơ cấu máy bào

O1

A

B

y0

x0 O2

C

D

O3

Hình 1.2. Sơ đồ động học cơ cấu 6 khâu

1

2 3

4

5

0

0

0

4

Hình 1.4. Sơ đồ robot song song 6 bậc tự do có các chân là khâu đàn hồi

xem là vật rắn đàn hồi. Như vậy cơ cấu này được xem xét có 2 khâu đàn hồi là phù

hợp.

Trong Hình 1.3 là tay máy hai

bậc tự do, trong tay máy thì độ chính

xác vị trí của điểm tác động cuối là

quan trọng, khi các khâu có kích thước

đáng kể thì sự biến dạng đàn hồi sẽ gây

ra các sai số đáng kể về vị trí, về

hướng…, khi đó việc xem xét một hoặc

một số khâu là khâu đàn hồi là hoàn

toàn hợp lý.

Còn trong Hình 1.4 và Hình

1.5 là sơ đồ của robot song song có

6 và 3 bậc tự do, trong đó các chân

của robot thường là thanh mảnh

nhưng yêu cầu chính xác rất cao, sự

đàn hồi của các chân robot sẽ gây ra

sai số vị trí, hướng tác động, … cho

bàn chấp hành, vì vậy việc xem xét

các chân robot như là khâu đàn hồi

cũng là cần thiết.

Trong Hình 1.6 là sơ đồ động

học của hệ thống truyền động của

máy ép kim loại và Hình 1.7 là sơ

đồ cơ cấu cam cần đẩy, đặc trưng của các cơ cấu này là chịu lực rất lớn, do đó mặc

dù độ cứng dọc trục và độ cứng xoắn là lớn nhưng một số khâu trong các cơ cấu

Hình 1.5. Robot song song 3 bậc tự do có các

chân là khâu đàn hồi

Hình 1.3. Tay máy hai bậc tự do

5

vẫn bị biến dạng đáng kể, làm ảnh hưởng đến chất lượng cũng như hiệu suất của

máy, khi đó việc xem xét các khâu là vật rắn đàn hồi là hoàn toàn hợp lý. Như vậy

trong các cơ cấu này các khâu là trục dẫn truyền mômen xoắn có thể xem là vật bị

biến dạng xoắn, các khâu là trục chịu nén coi như vật bị biến dạng nén.

1.1.2. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu

Có một số thiếu sót nếu như ảnh hưởng của biến dạng không được xem xét

trong các mô hình toán học, như đưa ra mômen dẫn động cơ cấu không chính xác

hoặc ảnh hưởng đến kết quả làm việc chính xác của khâu chấp hành. Các vị trí khâu

chấp hành, vận tốc hoặc gia tốc của nó thường có yêu cầu chính xác nên chịu ảnh

hưởng của các rung động đàn hồi. Vì vậy, để đạt được độ chính xác lớn hơn người

ta phải bắt đầu với xây dựng mô hình chính xác hơn cho cơ cấu.

Có một số phương án khác nhau để mô hình hóa các cơ cấu đã được các nhà

khoa học nghiên cứu. Các mô hình toán học này thường được bắt nguồn từ các

1

2

3

4

5

Hình 1.6. Sơ đồ động học của hệ thống

truyền động của máy ép kim loại:

1- hộp số đầu tiên, 2 - trục dẫn, 3- hộp số

thứ hai, 4- cơ cấu cam, 5 - cơ cấu chấp

Hình 1.7. Cơ cấu cam cần đẩy:

1- Trục dẫn động, 2 - Bánh cam

3 - Khâu bị dẫn, 4 - lò xo xoắn

5 - bạc dẫn hướng

6

nguyên lý năng lượng cho các khâu trong cơ

cấu. Những khâu rắn tích trữ động năng nhờ

quán tính của nó và tích trữ thế năng nhờ vị trí

của nó trong trường trọng lực, những khâu đàn

hồi sẽ tích trữ một phần năng lượng vào thế

năng biến dạng như thanh truyền đàn hồi, khớp

đàn hồi, trục dẫn đàn hồi.

Khớp đàn hồi thường được mô hình hóa

thành lò xo xoắn thuần túy như Hình 1.8, năng lượng tích lũy dạng thế năng đàn

hồi. Trong một số trường hợp được mô hình gồm phần tử đàn hồi là lò xo xoắn và

phần tử cản xoắn.

Trục dẫn đàn hồi

truyền mômen xoắn thường

tích lũy ít năng lượng dạng

động năng do mô men quán

tính khối của nó đối với trục

quay là nhỏ, năng lượng tập

trung chủ yếu dạng thế năng

đàn hồi, do đó ta có thể mô

hình nó như một lò xo xoắn

(có thể thêm phần tử cản).

Nếu kể đến động năng ta có

thể thêm vào thành phần quán

tính. Như vậy cơ cấu cam ở

Hình 1.7, trục dẫn 1 đã được

mô hình là khâu đàn hồi có

quán tính I0, có độ cứng xoắn

k1, cản xoắn c1 như trong

Hình 1.9.

Thanh truyền chịu xoắn tích lũy thế năng đàn hồi, tuy nhiên cũng có lượng

nhỏ động năng được tích lũy do mômen quán tính khối của nó đối với trục quay là

nhỏ. Do đó nó thường được mô hình là lò xo xoắn có khối lượng. Thanh truyền 2

trong sơ đồ Hình 1.6 có thể sử dụng mô hình này.

Thanh truyền chịu nén, do độ cứng chống nén là lớn nên biến dạng dọc

thường nhỏ, thế năng biến dạng thường nhỏ, khi đó ta mô hình nó là vật rắn. Tuy

nhiên trong một số trường hợp trục là dài khích thước bề rộng không lớn lắm, hoặc

trục chịu lực ép lớn thì biến dạng là đáng kể ta có thể mô hình như lò xo chịu nén có

j-1

j+1

I

O j

Hình 1.8 .Khớp đàn hồi

M(t)

F(t)

φ0 = Ωt φ1 = φ0 + q1

y1 = U(φ1)

I0 I1

U

k1

k2

k3

c1

c2

c3

m2

m3

y2 = y1+q2

y3 = y2+q3

Hình 1.9. Mô hình của các khâu đàn hồi

trong cơ cấu cam

7

khối lượng. Trong Hình 1.7, trục bị dẫn 3 của cơ cấu cam được mô hình là phần tử

đàn hồi và cản nén có khối lượng như Hình 1.9.

Thanh chịu uốn, ngoài năng lượng tích lũy ở dạng động năng chuyển động,

thì một phần năng lượng tích lũy dạng thế năng biến dạng cũng như động năng biến

dạng góc xoay, do đó mô hình phù hợp nhất là phân bố tự nhiên của nó. Người ta

cũng thường đưa vào mô hình chịu uốn sử dụng lý thuyết dầm Euler – Bernoulli,

trong đó đã bỏ qua biến dạng cắt và quán tính quay của nó. Người ta cũng sử dụng

mô hình dầm Timoshenko cho dầm chịu uốn, khi đó biến dạng cắt và quán tính

quay được kể đến. Từ mô hình dầm được lựa chọn thì các thanh truyền đàn hồi này

là các hệ liên tục đặc trưng bởi vô số bậc tự do và phương trình động lực học

thường có dạng vi phân phi tuyến hoặc phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, lời

giải chính xác cho các phương trình đó là rất phức tạp trong thực tế và nó gây ra hạn

chế rất lớn trong phân tích hệ thống lẫn thiết kế bộ điều khiển. Phổ biến nhất là các

phương trình được rời rạc hóa thành một số mô hình hữu hạn bằng các phương pháp

như phương pháp các dạng riêng giả định (AMM - Assumed Modes Method),

phương pháp Ritz – Galerkin, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element

Method) hoặc phương pháp tham số tập trung (LPM - Lumped Parameter

Method)…

1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Động lực học hệ nhiều vật đàn hồi là lĩnh vực khoa học thu hút sự quan tâm

nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới, ở nhiều lĩnh vực khác nhau như

động lực học cơ cấu máy, robot, máy chính xác, hàng không vũ trụ, phương tiện

giao thông,… Chỉ xét trong lĩnh vực cơ cấu và robot, thì các nghiên cứu về lĩnh vực

này được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong kỹ thuật và trong công nghiệp. Phương

pháp nghiên cứu về động lực học cơ cấu và robot có khâu đàn hồi chủ yếu được xây

dựng dựa trên các phương pháp luận của vật rắn tuyệt đối. Để nghiên cứu về vấn đề

này, các nhà khoa học thường bắt đầu bằng việc xây dựng các mô hình toán học, kết

quả là thu được các phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu. Các mô hình

toán học thu được sẽ phục vụ cho việc mô phỏng số khảo sát các đáp ứng của hệ,

thiết kế điều khiển và làm cơ sở cho bài toán thiết kế tối ưu của cơ cấu.

Các nghiên cứu về xây dựng mô hình toán học. Các nghiên cứu chủ yếu sử

dụng 3 phương pháp để xây dựng mô hình động lực học [86] là phương pháp hệ

quy chiếu động (The floating frame of reference formulation), lý thuyết tuyến tính

của động lực học đàn hồi (Linear theory of elastodynamics) và phương pháp phân

đoạn hữu hạn (Finite segment method):

a) Phương pháp hệ quy chiếu động (the floating frame of reference formulation):

Trong phương pháp này, dịch chuyển lớn của hệ cũng như biến dạng của các

8

vật đàn hồi được xác định thông qua hai bộ tọa độ, bộ thứ nhất là các tọa độ xác

định vị trí và hướng của hệ tọa độ tương đối gắn với mỗi vật đàn hồi, bộ thứ 2 là các

tọa độ đàn hồi xác định biến dạng tương đối của vật đàn hồi trong hệ tọa độ gắn với

vật. Với hai bộ tọa độ trên, sử dụng các phương pháp của động lực học vật rắn như

các nguyên lý công khả dĩ trong động lực học, phương trình Newton–Euler, các

phương trình Lagrange,… sẽ thu được các phương trình vi phân chuyển động của

các vật biến dạng chịu dịch chuyển lớn. Khi cho biến dạng bằng 0, phương pháp

này sẽ dẫn đến phương trình vi phân chuyển động của hệ các vật rắn.

Các tọa độ đàn hồi có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các phương

pháp như: phương pháp các mode thành phần (component modes), phương pháp

phần tử hữu hạn hoặc kỹ thuật nhận dạng bằng thực nghiệm (experimental

identification techniques). Một số nghiên cứu như Cannon và Schmitz [27],

Bayo [19], Chalhoub và Ulsoy [28,29], Chang và Gannon [30], Chapnik và cộng

sự [31], Chen và Meng [32], Chiang và cộng sự [33], Feliu và cộng sự [36],

Hastings và Book [43],…tập trung nghiên cứu bài toán động lực học cơ cấu và cánh

tay robot có khâu đàn hồi, các tác giả sử dụng phương trình Lagrange loại 2 và

phương pháp khai triển theo dạng riêng để lập các phương trình vi phân chuyển

động. Bricout và cộng sự [26] đã sử dụng FEM để nghiên cứu cơ cấu đàn hồi.

Cleghorn và cộng sự 1980 [34] sử dụng FEM nghiên cứu phân tích cơ cấu đàn hồi,

đồng thời phân tích sự ổn định trạng thái của chuyển vị và ứng suất của một số cơ

cấu.

Phương pháp hệ quy chiếu động được sử dụng rộng rãi, cho độ chính xác

cao. Tuy nhiên khi sử dụng thì một trong những vấn đề cần chú ý là việc lựa chọn

hệ tọa độ tương đối gắn với vật rắn biến dạng và mối quan hệ của nó với các điều

kiện biên để có được một cách biểu diễn biến dạng thống nhất và thuận tiện.

b) Phương pháp phân đoạn hữu hạn (finite segment method)

Trong phương pháp phân đoạn hữu hạn, vật rắn biến dạng được giả định bao

gồm các phân đoạn rắn liên kết với nhau bằng lò xo và/hoặc bộ giảm chấn. Tính đàn

hồi của hệ được biểu diễn bởi các hệ số cứng của lò xo, hệ số cứng này có thể được

xác định bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Kỹ thuật này có lợi thế là có thể sử

dụng các phương pháp luận của hệ nhiều vật rắn để xây dựng phương trình vi phân

chuyển động của các vật rắn biến dạng. Tuy nhiên, một số vấn đề vẫn phải được

giải quyết khi sử dụng phương pháp phân đoạn hữu hạn. Trong số những vấn đề này

là việc lựa chọn số lượng, kích cỡ và vị trí của các phân đoạn rắn cũng như sự biểu

diễn của quán tính liên kết giữa các phân đoạn này. Do đó phương pháp này có hạn

chế về sự chính xác và tính nhất quán.

Một số tác giả sử dụng phương pháp này như Sandor và Zhuang [82] đã sử

9

dụng phương pháp này, theo đó các tác giả chia mỗi dầm đàn hồi thành N hữu hạn

các khối lượng mj, cách nhau những khoảng xj và liên kết với nhau bằng phần tử

đàn hồi (phụ thuộc vào modun đàn hồi Young E và mômen quán tính mặt cắt I), từ

đó các tác giả xây dựng mô hình động lực học và đưa ra lời giải, Yang và Sadler

[105] đã phân tích cơ cấu bốn khâu, các kết quả tính toán bao gồm độ võng, ứng

suất và biến dạng liên quan đến các dao động uốn của ba thanh chuyển động. Một

số tác giả khác cũng sử dụng phương pháp này tính toán cho các cơ cấu tay máy đàn

hồi như Zhu và cộng sự [110] , Khalil và Gautier [48], Megahed và Hamza [56],…

c) Lý thuyết tuyến tính của động lực học đàn hồi (linear theory of elastodynamics)

Ý tưởng của phương pháp này là coi hệ đàn hồi là hệ các vật rắn, áp dụng

các phương pháp tính toán và các chương trình tính để giải ra lực quán tính và các

phản lực liên kết. Sau đó đưa lực quán tính và phản lực liên kết vào bài toán đàn hồi

tuyến tính để giải ra biến dạng của các vật đàn hồi thuộc hệ. Cuối cùng cộng dồn

biến dạng đàn hồi nhỏ trên chuyển động lớn của vật. Trong phương pháp này thì

chuyển động của vật rắn và biến dạng đàn hồi không được giải đồng thời. Phương

pháp này đã giả định rằng biến dạng đàn hồi ảnh hưởng không đáng kể đến chuyển

động của các vật rắn, và do đó các thành phần quán tính trong các phương trình

được giả định là độc lập với biến dạng đàn hồi. Phương pháp này nói chung có độ

chính xác không cao, đặc biệt là khi cơ cấu chuyển động nhanh và các khâu kích

thước nhỏ nhẹ.

Từ các phương pháp để thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động kể

trên thì phương pháp hệ quy chiếu động có nhiều ưu điểm hơn cả, do đó luận án

hướng tới sử dụng phương pháp này để thiết lập phương trình vi phân chuyển động

cho các cơ cấu. Hơn nữa, các nghiên cứu trước đây thường thiết lập phương trình vi

phân chuyển động này dạng ma trận không tường minh, do đó luận án sẽ hướng tới

việc thiết lập các phương trình dạng giải tích tường minh. Dạng giải tích tường

minh này có những ưu điểm riêng biệt, mang đến cái nhìn trực quan về các ảnh

hưởng của các tham số của cơ cấu, đồng thời có thể thu được các mô hình cho từng

trường hợp riêng của biến dạng (như mô hình cho cơ cấu rắn, mô hình cho cơ cấu

chỉ xét đến biến dạng uốn của các khâu,…) từ mô hình tổng quát.

Một số nghiên cứu về ổn định và điều khiển: Khi sự biến dạng của các khâu

đã được kết luận là ảnh hưởng đến chuyển động của hệ thì vấn đề tiếp theo được đặt

ra là nghiên cứu sự ổn định của hệ và điều khiển các hệ đó sao cho sự ảnh hưởng

của biến dạng lên cơ cấu là bé nhất hoặc làm triệt tiêu được dao động đàn hồi đó.

Trong vấn đề này các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào các đối tượng là robot, tay

máy, mà các cơ cấu máy còn ít được quan tâm. Một số các nghiên cứu như về ổn

định: Masurekar và Gupta [55] đã trình bày các nghiên cứu lý thuyết được thực hiện

10

để phân tích sự ổn định, đưa ra các dải tốc độ trong đó đáp ứng là không giới hạn và

trình bày các nghiên cứu của các đáp ứng ở tốc độ khác nhau cho hệ thống không có

cản. Yang và Park [106] đã trình bày một phương pháp để phân tích sự ổn định của

cơ cấu đàn hồi vòng kín bằng cách sử dụng các tọa độ riêng (modal coordinates), lý

thuyết Floquet được sử dụng để kiểm tra sự ổn định của cơ hệ.

Về điều khiển các tay máy, robot có khâu đàn hồi có một số cách thức điều

khiển được sử dụng như điều khiển thích nghi, điều khiển tự điều chỉnh, điều khiển

trước tín hiệu và điều khiển điều chỉnh (PI, PD, PID) được dùng để điều khiển

chuyển động của tay máy, như Looke và cộng sự [51], Jnifene và Fahim [46]. Liu

và Yan [52], Sun và Mills [94], Sun và cộng sự [95] sử dụng bộ điều khiển PD và

màng cảm ứng áp điện PZT (PbZrxTi1-xO3) để điều khiển dao động đàn hồi của cơ

cấu tay máy.

Về điều khiển cơ cấu đàn hồi: Mặc dù có rất nhiều nghiên cứu về phân tích

động lực học cơ cấu đàn hồi, tuy nhiên các nghiên cứu về điều khiển vẫn còn ít

được quan tâm. Tác giả Sung và Chen [96] đã đề xuất một phương thức điều khiển

tối ưu để dập tắt rung động của cơ cấu bốn khâu bản lề với khâu bị dẫn (khâu chấp

hành) là khâu đàn hồi, họ sử dụng cảm biến áp điện gốm sứ (Piezoceramic) và một

bộ phát động đặt lên khâu đàn hồi để điều khiển. Tuy nhiên sự ảnh hưởng của biến

dạng đàn hồi cũng như điều khiển chuyển động của cơ cấu đã không được xét đến

vì các tác giả đã sử dụng mô hình chỉ có một khớp nối. Beale và Lee [20] đã nghiên

cứu tính khả thi của việc áp dụng điều khiển mờ cho cơ cấu tay quay con trượt, một

động cơ cảm ứng áp điện được đặt trên khâu đàn hồi để thực hiện các yêu cầu điều

khiển. Liao và cộng sự [53] cũng đề xuất việc sử dụng các màng áp điện và thiết kế

một bộ điều khiển bền vững dựa trên mô hình không gian trạng thái tuyến tính của

cơ cấu. Ảnh hưởng các dao động tham số và sự không ổn định gây ra bởi hoạt động

điều khiển đã được nghiên cứu.

Hầu hết các công trình nghiên cứu liên quan đến điều khiển rung động của các

cơ cấu đàn hồi là sử dụng một bộ phát động đặt trực tiếp trên khâu đàn hồi. Tác

động của lực điều khiển và mômen điều khiển lên chuyển động tổng thể của cơ cấu

không được xét đến. Ngoài ra, việc thực hiện các bộ điều khiển như vậy yêu cầu các

thiết kế rất phức tạp và tốn kém.

Trong nghiên cứu của Karkoub và Yigit [47], các tác giả thực hiện điều khiển

dao động cơ cấu có khâu đàn hồi thông qua chuyển động của khâu dẫn. Trong

nghiên cứu các tác giả đã tiến hành điều khiển cơ cấu bốn khâu bản lề với thanh

truyền đàn hồi chịu uốn. Một mômen điều khiển được đặt lên khâu dẫn để hạn chế

ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi. Các tác giả đã sử dụng bộ điều khiển PD với yêu

cầu chỉ cần đo tọa độ góc và vận tốc góc của khâu dẫn, bộ điều khiển này có thể

11

thực hiện đồng thời điều khiển chuyển động của cơ cấu và điều khiển dao động của

khâu đàn hồi. Để kiểm chứng hiệu quả của bộ điều khiển, các tác giả đã mô phỏng

điều khiển cơ cấu ở vị trí cân bằng khi cho thanh truyền một biến dạng uốn ban đầu,

kết quả là biến dạng bị triệt tiêu, cơ cấu vẫn cân bằng. Với việc điều khiển rung

động thông qua khâu dẫn đã làm cho việc điều khiển trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Tuy nhiên cũng cần các nghiên cứu đầy đủ hơn về vấn đề này.

Một số nghiên cứu về tuyến tính hóa các phương trình chuyển động: Các

phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật đàn hồi thường là hệ phương

trình phi tuyến phức tạp, do ngoài các tọa độ suy rộng xác định vị trí các khâu, còn

có thêm tọa độ biến dạng làm tổng số tọa độ suy rộng tăng lên rất nhiều. Giải các

phương trình vi phân đó ta sẽ có được các ứng xử động lực học khi hệ chuyển động.

Tuy nhiên sẽ rất khó hoặc không thể tìm ra lời giải giải tích. Một cách hiệu quả để

giải quyết là sử dụng phương pháp số [5, 23], tuy nhiên cũng khá phức tạp và mất

nhiều thời gian cho các lời giải. Có rất nhiều các hệ kỹ thuật chủ yếu làm việc ở vị

trí cân bằng hoặc lân cận các chuyển động mong muốn (chuyển động cơ bản), …

tùy theo hệ cụ thể. Khi đó để đơn giản trong tính toán, các phương trình vi phân

chuyển động được đưa về dạng tuyến tính. Đối với các hệ nhiều vật có cấu trúc

dạng chuỗi, các phương trình chuyển động là hệ phương trình vi phân phi tuyến,

việc tuyến tính hóa được thực hiện bằng các khai triển Taylor quanh chuyển động

cơ bản. Đối với hệ có cấu trúc mạch vòng thì đây là vấn đề phức tạp. Sohoni và

Whitesell [91] đã sử dụng phương pháp nhiễu loạn số (Numerical perturbation

method) để tuyến tính hóa mô hình phi tuyến ràng buộc trong dạng Lagrange,

phương pháp này yêu cầu phải tính được ma trận Jacobi gây ra các sai số lặp và cần

thêm điều kiện hội tụ. Trong tài liệu [103] Wang đã sử dụng các phương trình Kane

để xây dựng các phương trình động lực học của chuyển động, sau đó các ma trận

khối lượng thu gọn và ma trận độ cứng thu gọn được tuyến tính hóa tại điểm điều

khiển chọn trước. Negrut và Ortiz [63] đã đưa ra phương pháp tuyến tính hóa hệ

phương trình vi phân - đại số của các hệ chịu ràng buộc quanh điểm điều khiển,

phương pháp này được sử dụng cho các hệ hỗn tạp (vật biến dạng, ma sát, các phần

tử điều khiển,...). Tuy linh hoạt nhưng phương pháp này rất khó áp dụng.

Các phương pháp tuyến tính hóa đã được nghiên cứu trước đây là khá khó

khăn khi áp dụng tính toán cho các cơ cấu có khâu đàn hồi. Do đó luận án cũng đặt

ra vấn đề là cần nghiên cứu đưa ra phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi

phân chuyển động của cơ cấu có cấu trúc mạch vòng theo hướng đơn giản, thuận

tiện khi áp dụng tính toán số.

12

1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước

Ở trong nước việc nghiên cứu động lực học của cơ cấu có khâu đàn hồi còn

rất ít các nghiên cứu.

Một số nghiên cứu của giáo sư Nguyễn Văn Khang và các cộng sự [7,8,10,

73-77] về động lực học cơ cấu có khâu đàn hồi đã được thực hiện tại trường Đại học

Bách khoa Hà Nội. Tác giả Vũ Văn Khiêm [10] các đã nghiên cứu tính toán dao

động tuần hoàn của một số cơ cấu phẳng bằng phương pháp tách cấu trúc với các

thanh truyền được xem xét là đàn hồi. Ở đây chỉ xét biến dạng uốn của thanh

truyền, trong tài liệu này tác giả đã thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của

từng thanh truyền trong chế độ làm việc bình ổn với giả thiết biến dạng không ảnh

hưởng đến chuyển động cơ bản của cơ cấu, sau đó tác giả dùng phương pháp phân

tích theo dạng riêng để đưa ra phương trình vi phân dạng ma trận, với các hệ số tuần

hoàn và cuối cùng tác giả giải phương trình bằng phương pháp Runge - Kutta bậc 4.

Khi sử dụng phương pháp tách cấu trúc thì mô hình động lực học đầy đủ cho cơ cấu

không được đưa ra. Trong trường hợp tổng quát thì không thể bỏ qua ảnh hưởng

của biến dạng đến chuyển động của cơ cấu. Còn trong [8] các tác giả thực hiện tính

toán dao động của cơ cấu cam có cần đàn hồi, cũng sử dụng phương pháp tách cấu

trúc, các tác giả đã mô hình trục dẫn động là lò xo xoắn, có cản và có khối lượng,

còn trục bị dẫn là lò xo nén có cản và có khối lượng.

1.4. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án

Qua tìm hiểu tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về cơ cấu

có khâu đàn hồi, còn một số nội dung cần nghiên cứu nhằm góp phần đầy đủ hơn về

lĩnh vực nghiên cứu này:

Vấn đề thứ nhất: Đề xuất áp dụng phương pháp tổng quát thiết lập phương

trình vi phân động lực học chuyển động cho cơ cấu phẳng, trong đó các khâu đàn

hồi được rời rạc hóa bằng một số phương pháp như phương pháp Ritz – Galerkin,

phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).

Vấn đề thứ hai: Tính toán động lực học, tính toán biến dạng của các khâu

đàn hồi, đánh giá sự ảnh hưởng của khâu đàn hồi đến chuyển động của cơ cấu. Sử

dụng phương pháp điều khiển để hạn chế sự ảnh hưởng đó, đồng thời dập tắt các

dao động đàn hồi.

Vấn đề thứ ba: Các cơ cấu máy thường làm việc ở chế độ bình ổn, khi đó sự

biến dạng sẽ gây ra các dao động nhỏ quanh chuyển động bình ổn đó. Luận án sẽ

nghiên cứu, đưa ra phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân chuyển động

của cơ cấu cơ quanh chuyển động bình ổn, áp dụng phương pháp Newmark để tính

toán dao động tuần hoàn ở chế độ bình ổn, từ đó phân tích động lực học trong một

số trường hợp.

13

CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ

NHIỀU VẬT ĐÀN HỒI

Để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật đàn hồi

chúng ta có nhiều phương pháp như [5, 17, 23, 24, 37, 75, 76, 77, 78, 79]. Trong đó

có phương pháp hệ quy chiếu động (Floating Frame of Reference Formulation) [78].

Đối với hệ nhiều vật đàn hồi với các biến dạng đàn hồi nhỏ, phương pháp này có

nhiều ưu điểm. Theo phương pháp này các tọa độ suy rộng xác định chuyển động của

các khâu rắn là độc lập (đối với hệ nhiều vật có cấu trúc cây), và là tọa độ suy rộng

dư (đối với hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng). Sử dụng công thức rời rạc hóa các

biến dạng đàn hồi người ta đưa vào các tọa độ suy rộng đàn hồi qe. Khi đó tập các tọa

độ suy rộng xác định vị trí của hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc mạch vòng là tập các

tọa độ suy rộng dư. Cuối cùng luận án sẽ sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân

tử để xây dựng các phương trình vi phân chuyển động cho hệ nhiều vật loại này. Kết

quả là nhận được một hệ phương trình vi phân – đại số với các tọa độ suy rộng là tọa

độ các khâu và các tọa độ biến dạng.

2.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi

Trong một cơ cấu thường những khâu có kích thước lớn, cứng vững thì sự

biến dạng của nó ảnh hưởng đến chuyển động cơ bản của cơ cấu là không đáng kể, do

đó các khâu đó sẽ được coi như là khâu rắn. Còn các khâu dài và độ mảnh cao thì sự

biến dạng của nó sẽ có ảnh hưởng đáng kể, do đó nó được xem xét như những vật rắn

biến dạng, ví dụ như các thanh truyền trong cơ cấu,... Trong cơ học môi trường liên

tục, để xác định vị trí của các chất điểm của môi trường tại thời điểm t bất kỳ người ta

thường sử dụng phương pháp Lagrange hoặc phương pháp Euler [1,13]. Trong luận

án này sử dụng phương pháp Lagrange. Để xác định vị trí các điểm của khâu đàn hồi

ta sử dụng các biến Lagrange. Các khâu đàn hồi này là các hệ liên tục đặc trưng bởi

vô số bậc tự do. Do đó các khâu đàn hồi thường được rời rạc hóa thành hệ hữu hạn

bậc tự do bằng các phương pháp như phương pháp Ritz – Galerkin hoặc phương pháp

phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method).

2.1.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp Ritz – Galerkin

Trong phương pháp này biến dạng của khâu đàn hồi thường được biểu diễn

bởi một tổng hữu hạn của tích các dạng riêng theo không gian và thành phần biên độ

theo thời gian. Đại lượng biến dạng y(x,t) sẽ được khai triển dưới dạng:

1

( , ) ( ) ( )N

i ii

y x t X x q t

(2.1)

14

Trong đó: ( )iX x là các hàm thỏa mãn

điều kiện biên của thanh truyền đàn hồi,

là xác định ứng với mỗi thanh truyền;

( )iq t là các tọa độ suy rộng phụ thuộc

vào thời gian và là đại lượng chưa xác

định.

Trong trường hợp dầm hai đầu bản

lề, chuyển vị uốn ngang tương đối w(x,t)

trong hệ tọa độ Axy gắn với thanh, có

trục Ax dọc theo AB sẽ được biểu diễn

dưới dạng

1

( , ) ( ) ( )N

i ii

w x t X x q t

(2.2)

trong đó w(x,t) là chuyển vị uốn ngang của thanh tại vị trí x, ở thời điểm t.

Theo phương pháp Ritz – Galerkin trong trường hợp dầm là hai đầu bản lề thì

( )iX x có dạng [4]:

sini

iX x

L

(2.3)

Tương tự xét thanh hai đầu bản lề, hệ

trục tọa độ gắn với thanh như Hình 2.2,

chuyển vị dọc trục của thanh trong hệ tọa

độ tương đối được biểu diễn:

1

( , ) ( ) ( )N

i ii

u x t Y x q t

Với điều kiện biên tương đối:

u(0,t) = 0; ( , )

0u l t

EAx

Ta tìm được hàm dạng [4]:

2 1( ) sin

2i

i xY x

l

(2.4)

2.1.2. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)

Trong phương pháp này khâu đàn hồi được chia thành một số hữu hạn các phần

tử, sau đó tiến hành xây dựng các hàm dạng riêng cho mỗi phần tử dựa trên các điều

kiện biên cho trước. Phần tử dầm thứ i, trong mặt phẳng sẽ có 3 bậc tự do mỗi đầu

nút bao gồm chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay. Việc lựa chọn số phần tử

A

B x

y w

x

M*

M

L

Hình 2.1. Dầm hai đầu bản lề

A B

x

y

x u(x,t)

A B x

y x

u(x,t)

Hình 2.2. Dầm hai đầu bản lề chịu kéo

15 phụ thuộc vào độ chính xác. Như vậy từ phần tử đàn hồi vô hạn bậc tự do trở thành

hệ hữu hạn bậc tự do.

a) Trường hợp sử dụng một phần tử để rời rạc hóa.

Xét khâu AB với giả thiết

thanh thẳng, đồng chất, thiết diện

không đổi, khâu AB được coi như

dầm Euler – Bernoulli. Hệ tọa độ

động Axy gắn với khâu AB, trục Ax

dọc theo AB. Trường hợp số phần

tử được chọn là 1 phần tử và các bậc

tự do của phần tử này như Hình 2.3,

bậc tự do của phần tử gồm q1, q2, q3 lần lượt là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và

góc xoay tại đầu A ; q4, q5, q6 là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay tại đầu

B.

+ Chuyển vị ngang của thanh có dạng [50]:

2 2 3 3 5 5 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w x t X x q t X x q t X x q t X x q t (2.5)

Điều kiện biên của chuyển vị là:

2 3 5 6( ) (0, ), ( ) (0, ), ( ) ( , ), ( ) ( , ) q t w t q t w t q t w l t q t w l t (2.6)

Theo phương pháp phần tử hữu hạn, hàm dạng Xi(x) của phần tử thanh chịu uốn là

nghiệm của phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm khi không có tải trọng

ngoài:

4

40

wEI

x (2.7)

Trong đó E, I lần lượt là môđun đàn hồi, mômen quán tính mặt cắt ngang của dầm.

Từ điều kiện biên (2.6), ta có các hàm dạng Hermite thỏa mãn:

2 3 2 3

2 3 2

2 3 2 3

5 62 3 2

( ) 1 3 2 ; ( ) 2

( ) 3 2 ; ( )

x x x xX x X x x

L L L L

x x x xX x X x

L L L L

(2.8)

+ Chuyển vị dọc của thanh: Với q1, q4 lần lượt là chuyển vị tương đối của thanh tại

hai đầu thanh. Khi đó u(x,t) là chuyển vị dọc của thanh tại vị trí x theo [50] có dạng:

1 1 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x t X x q t X x q t (2.9)

hàm dạng Xi(x) của phần tử thanh chịu kéo nén là nghiệm của phương trình vi phân

đường đàn hồi khi không có tải trọng ngoài: 2

20

uEA

x

(2.10)

A x B

L

q1

q2 q3

q4

q5 q6

Hình 2.3. Các bậc tự do của phần tử dầm

16 Trong đó A là diện tích mặt cắt ngang của dầm.

Điều kiện biên của chuyển vị:

1 1 4

4 1 4

0, 0 1, 0 0

, 0, 1

u t q X X

u L t q X L X L (2.11)

Từ điều kiện biên (2.11), ta có hàm dạng Hermite thỏa mãn:

1 41 ; x x

X XL L

(2.12)

b) Trường hợp sử dụng nhiều phần tử để rời rạc hóa

Chia khâu đàn hồi AB thành N

phần tử đều nhau, chiều dài mỗi phần

tử là l=L/N. Xét phần tử thứ i, có nút

đầu là i, nút cuối là (i+1). Tọa độ nút

khi chưa biến dạng là:

1

( 1)

, ( 1, 2,..., )i

i

x i l

x il i N

Khi biến dạng, chuyển vị 2 nút của

phần tử i là 1 2 3, ,i i iq q q lần lượt là

chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc

xoay tại nút đầu; 4 5 6, ,i i iq q q lần lượt

là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và

góc xoay tại nút cuối. Như vậy mỗi

phần tử có 6 tọa độ suy rộng, tuy nhiên do tính liên tục mà 2 phần tử gần nhau sẽ có

chung 3 tọa độ suy rộng. Như vậy tổng số tọa độ suy rộng xác định biến dạng của

dầm AB khi chia dầm thành N phần tử là 3(N+1).

Xét điểm M* trên thanh AB có tọa độ x, M* thuộc phần tử i. Khi chưa biến dạng

ta có:

, (0 )ix x l (2.13)

Khi có biến dạng, chuyển vị uốn và chuyển vị dọc của điểm M có dạng:

2 2 3 3 5 5 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iw x t X q t X q t X q t X q t (2.14)

1 1 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i iu x t X q t X q t (2.15)

Trong đó 0 l . Các hàm từ 1 ( )iX đến 6 ( )iX là các hàm dạng Hermite, có

dạng giống như trong công thức (2.8) và (2.12).

Hình 2.4. Rời rạc hóa bằng nhiều phần tử

x

x

y

A

xi xi+1

ξ u(x,t)

w(x,t) M*

M

x

y

A B 1 2 N i

1 2 3 i i+1

N

N+1

phần tử nút

17

2.2. Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng

bằng phương trình Lagrange dạng nhân tử

Xét cơ hệ cấu trúc mạch vòng, phi hôlônôm xác định bởi m tọa độ suy rộng dư

s1, s2,…, sm. Giả sử hệ chịu r liên kết hôlônôm, phương trình liên kết

1 2( , ,..., , ) ( 1, 2,..., )j mf s s s t j r (2.16)

và g liên kết phi hôlônôm tuyến tính [5]

01

0 ( 1, 2,..., )m

ik k ik

a s a i g

(2.17)

Như thế tọa độ độc lập của hệ là n = m – r, còn bậc tự do của hệ là

f = n – g = m –(r + g).

Ta có phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ phi hôlônôm [5]:

*

1 1

( 1,2,..., )r s

ik i j jk

i jk k k

fd T TQ a k m

dt s s s

(2.18)

Trong đó T là động năng của hệ, *kQ là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qk.

Như vậy ta có m phương trình vi phân (2.18), r phương trình liên kết hôlônôm

và s phương trình liên kết phi hôlônôm với m ẩn tọa độ suy rộng dư qk, r ẩn nhân tử

i và g ẩn nhân tử j . Trường hợp hệ chịu liên kết hôlônôm, các phương trình

Lagrange dạng nhân tử có dạng:

1

( 1,2,..., )r

ik i

ik k k k

fd T TQ k m

dt s s s s

(2.19)

Trong đó *k k

k

Q Qs

, với Π là thế năng của hệ, kQ là lực suy rộng của các lực

không có thế. Trong trường hợp này ta có (m+r) phương trình vi phân - đại số để xác

định m tọa độ suy rộng dư, r nhân tử Lagrange λi.

Như vậy để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của các hệ nhiều vật đàn

hồi có cấu trúc mạch vòng như phương pháp đã nêu trên, ta thực hiện như sau:

+ Lựa chọn các hệ tọa độ động gắn với các khâu đàn hồi để xác định vị trí của

khâu khi hệ chuyển động.

+ Rời rạc hóa các khâu đàn hồi, biểu diễn các thành phần dịch chuyển tương đối

của biến dạng trong hệ tọa độ đã chọn theo các tọa độ suy rộng của biến dạng.

+ Xác định biểu thức động năng T, biểu thức thế năng Π, phương trình liên

kết,…Sau đó áp dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử (2.19) để xây dựng các

phương trình vi phân chuyển động.

Dưới đây là các thí dụ áp dụng vào thiết lập phương trình vi phân chuyển động

cho hai cơ cấu là cơ câu bốn khâu bản lề phẳng và cơ cấu sáu khâu bản lề phẳng.

18

2.3. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn khâu bản lề

với thanh truyền đàn hồi

2.3.1. Mô tả cơ cấu

Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng (Hình 2.5) là cơ cấu gồm 4 khâu nối với nhau

bằng các khớp quay. Khâu cố định (OC) gọi là giá, khâu có quy luật chuyển động biết

trước được gọi là khâu dẫn, chẳng hạn chọn khâu OA là khâu dẫn, thì khâu BC là

khâu bị dẫn (còn gọi là khâu chấp hành), khâu AB khi đó gọi là thanh truyền (hoặc

khâu nối). Trong cơ cấu bốn khâu, khâu dẫn thông thường có thể chuyển động toàn

vòng do kích thước ngắn, khâu bị dẫn thường là chuyển động lắc.

Trong cơ cấu này, thanh truyền AB thường dài và thanh mảnh hơn cả, do đó nó

được coi là khâu biến dạng, còn các khâu khâu dẫn OA và khâu bị dẫn OB thường

ngắn và cứng vững hơn nên giả định coi như vật rắn tuyệt đối. Các kích thước khâu là

OA có chiều dài l1, AB có chiều dài l2, BC có chiều dài l3, khâu nối đất OC là l0. Cơ

cấu chuyển động nhờ mômen phát động τ tác dụng vào khâu dẫn.

Giả thiết: AB là thanh thẳng, đồng chất, thiết diện không đổi, trục của thanh

trùng với trục trung hòa khi chưa biến dạng, cơ cấu nằm trong mặt phẳng ngang.

2.3.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết

a) Hệ tọa độ và phương trình liên kết

Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng như Hình 2.5. Chọn hệ trục cố định Ox0y0, với

Ox0 theo phương OC, các véc tơ đơn vị của hệ trục là (0)1e

, (0)2e

. Hệ trục tọa độ động

Axy, với Ax gắn với khâu đàn hồi AB, các véc tơ đơn vị của hệ trục này là 1 2,e e

.

Các góc φ1 là góc đầu vào, φ3 góc đầu ra, φ2 là góc của thanh đàn hồi nối điểm

đầu A và điểm cuối B. Ta có công thức xoay trục viết dưới dạng ma trận:

(0)

1 2 2 1(0)

2 2 2 2

cos sin

sin cos

e e

e e

=>(0)1 2 2 1(0)

2 2 22

cos sin

sin cos

e e

ee

(2.20)

Xét điểm M* cách đầu A một đoạn x, sau khi biến dạng đến vị trí M, ta có:

21 ),(),( etxwetxuxrr AM

(2.21)

O

A

B

φ1

y0

x0

φ2

φ3 C

x

y w

x

Hình 2.5. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề

M*

)0(1e

)0(2e

1e

2e

M

u

τ

19 Từ sơ đồ hình vẽ cơ cấu ta thiết lập được quan hệ:

0cossin),(cos),(cos 03322222111 lltlwtlullf (2.22)

0sincos),(sin),(sin 3322222112 ltlwtlullf (2.23)

Với điều kiện biên của uốn tại hai đầu bản lề: 20, , 0 w t w l t (2.24)

Điều kiện biên chuyển vị dọc tương đối: 20, 0; , Bu t u l t u (2.25)

Suy ra ta có phương trình liên kết:

1 1 1 2 2 3 3 0

2 1 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0B

B

f l l u l l

f l l u l

(2.26)

Đặt 1 2

Tf ff (2.27)

b) Động năng của hệ:

T = TOA + TAB + TBC

TOA = 21

1

2

OI ; 23

1

2

BC CT I (2.28)

trong đó IO là mômen quán tính lấy đối với trục quay đi qua O của khâu dẫn OA, IC là

mômen quán tính lấy đối với trục quay đi qua C của khâu bị dẫn BC.

Động năng thanh đàn hồi AB: Xét một phân tố thanh dx quanh điểm M, vị trí

điểm M xác định như (2.21), viết lại ta có:

1 2 r r e eM A x u w (2.29)

Từ công thức đổi trục (2.20) ta có tọa độ điểm M trong hệ Ox0y0:

1 1 2 2cos ( ) cos sin Mx l x u w

1 1 2 2sin ( ) sin cos My l x u w

Đạo hàm theo thời gian ta có:

1 1 1 2 2 2 2 2 2sin cos ( ) sin sin cosM

u wx l x u w

t t

1 1 1 2 2 2 2 2 2cos sin cos cos sinM

u wy l x u w

t t

Vận tốc bình phương của điểm M:

2 222 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 2

1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2

2 2

2 sin

2 cos 2 cos 2 sin

2 2

M M M

u w ur x y l w x u l

t t tw

l x u l l wt

u ww x u

t t

Động năng của thanh đàn hồi AB: 2

2

0

1

2

l

AB MT r dx (2.30)

20 trong đó μ là phân bố khối lượng trên một đơn vị chiều dài.

Ta có động năng của hệ:

2 2 222 2 2 2 2 2

1 3 1 1 2

0

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 1 2 1 2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 sin 2 cos 2 cos

2 sin 2 2

l

O C

u wT I I l w x u

t t

u wl l x u l

t tu w

l w w x u dxt t

(2.31)

c) Thế năng biến dạng:

Theo công thức (5.31a) trong tài liệu [79], thế năng biến dạng của dầm Euler –

Bernoulli được tính theo công thức:

2

22 2

2

0

1

2

lu w

EA EI dxx x

(2.32)

Trong đó u là chuyển vị dọc trục, w là chuyển vị uốn ngang của trục trung hòa. Các

hệ số: E là mô đun đàn hồi của vật liệu, I là mô men quán tính mặt cắt ngang, A là

diện tích mặt cắt ngang.

Giả thiết dầm đồng chất, thiết diện không đổi, trục thanh trùng với trục trung

hòa, từ (2.32) ta có biểu thức thế năng đàn hồi:

2 2

22 2

2

0 0

1 1

2 2

l lu w

EA dx EI dxx x

(2.33)


được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin

Giả thiết biến dạng là nhỏ, các chuyển vị uốn không ảnh hưởng đến chuyển vị

dọc và ngược lại. Sử dụng phương pháp khai triển theo các dạng riêng Ritz –

Galerkin như (2.2) và (2.4), dao động uốn và dao động dọc có dạng:

1

1

( , ) ( ) ( )N

i ii

w x t X x q t

(2.34)

2

1

( , ) ( ) ( )N

k kk

u x t Y x p t

(2.35)

qi, pk là các tọa độ dạng riêng. N1, N2 là số các dạng riêng.

Xi, Yk là các hàm thỏa mãn điều kiện biên của dầm hai đầu bản lề:

2

sini

iX x

l

(2.36)

2

2 1( ) sin

2k

k xY x

l

(2.37)

21 Như vậy chuyển động thực của khâu nối đàn hồi AB bao gồm chuyển động lớn

của tọa độ góc khâu và chuyển động bé của các biến dạng đàn hồi. Theo các công

thức (2.20), (2.29) và (2.34), (2.35) Chuyển động của một điểm M bất kỳ trên thanh

AB được xác theo tọa độ góc khâu 1 2, và các tọa độ đàn hồi qi, pk.

Ta có các đạo hàm:

1

1

( ) ( )N

i ii

wX x q t

t

;

12

21

( ) ( )N

i ii

wX x q t

x

;

2

1

( ) ( )N

k kk

uY x p t

t

;

2

1

( ) ( )N

k kk

uY x p t

x

1 12

1 1

N N

i j i ji j

w X X q q

; 2 2

2

1 1

N N

k l k lk l

u Y Y p p

Thay vào biểu thức động năng (2.31) ta có:

2 22 2 1 1

2 22 2 2

22 2 2 21 21 3 1 2

1 1 1 10 0

3222

1 1 10 0

1 1

2 2 2 2 2

22 3 2

l lN N N N

O C k l k l i j i jk l i j

l lN N N

k k k l k l i jk k l

l lT I I Y Y dx p p X X dx q q

lxY dx p Y Y dx p p X X d

21 1

2 22 2

2 21

1 1 0

22

1 1 1 2 1 1 2 1 21 10 0

1 1 1 2 1 1 2 1 21 0 0

sin cos2

cos sin

lN N

i ji j

l lN N

k k k kk k

l lN

i i ii

x q q

ll Y dx p l Y dx p

l X dx q l X dx

1

2 2 21 2 1 1 2

1

2 21 1 1 1 10 0 0

N

ii

l l lN N N N N

i k i k i i i k k ii k i i k

q

X Y dx q p xX dx q X Y dx p q

Đặt:

2

0

l

i iC X dx 2l

i i

0

D = xX dx 2

0

l

ij i jm X X dx 2

0

l

k kH Y dx

2

0

l

k kF xY dx 2

0

l

kl k lb Y Y dx 2

0

l

ik i kn X Y dx

Suy ra:

2 2 1 1

2 2 2 1 1 2

2 32 2 2 2 21 2 21 3 1 2 2

1 1 1 1

22 1 1 1 2

1 1 1 1 1 12

1 21 2

1 1

2 2 2 2 2 6

2 sin2 2

c2

N N N N

O C kl k l ij i jk l i j

N N N N N N

k k kl k l ij i j k kk k l i j k

l l lT I I b p p m q q

F p b p p m q q l H p

l l

2 1

1 1 2 1 1 2

1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 21 1

1 1 2 1 2 2 2 21 1 1 1 1 1

os cos cos

sin

N N

k k i ik i

N N N N N N

i i ik i k i i ik k ii i k i i k

l H p l C q

l C q n q p D q n p q

(2.38)

Biểu thức thế năng đàn hồi (2.33) có dạng:

22

2 22 2 1 1

1 1 1 10 0

1 1

2 2

l lN N N N

k l k l i j i jk l i j

EA p p Y Y dx EI q q X X dx

Đặt 2

0

l

ij i jk X X dx ; 2

0

l

kl k lg Y Y dx ta được:

2 2 1 1

1 1 1 1

1 1

2 2

N N N N

kl k l ij i jk l i j

EA g p p EI k q q

(2.39)

Gọi ηj là các tọa độ suy rộng trong đó bao gồm tọa độ các khâu rắn φ1, φ2, φ3 và tọa

độ dạng riêng của khâu đàn hồi qi, pk:

21 2 3 1 2 1 1 2... ...

T

N Nq q q p p p η

Phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ hôlônôm

2

1

kk j

kj j j j

fd T TQ

dt

, j = 1, 2,…, N1 +N2 +3 (2.40)

Với λ1, λ2 là các nhân tử Lagrange

Qj là lực suy rộng của các lực không có thế ứng với tọa độ suy rộng ηj.

Tính các đạo hàm lần lượt cho từng tọa độ suy rộng rồi thay vào (2.40), với chú

ý rằng ngoại lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có mômen phát động τ tác dụng lên

khâu dẫn, do đó lực suy rộng chỉ có duy nhất Q1= τ ứng với tọa độ suy rộng φ1.

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ1 , ta có:

2

2 1 1

22 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1 211

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 21 1 1

cos( ) sin2

cos cos sin

N

O k kk

N N N

k k i i i ik i i

l lTI l l l H p

l H p l C q l C q

2 2 2

2

2 22 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1

1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 21 1 1

1 2 1 2 1 21

cos( ) ( )sin( )2 2

( )cos sin cos

( )sin

O

N N N

k k k k k kk k k

N

k kk

l l l ld TI l l

dt

l H p l H p l H p

l H p l

2 1

1 1 1

1

1 2 1 2 1 1 2 1 21 1

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1

1 2 1 21

cos ( )sin

cos sin cos

sin

N N

k k i ik i

N N N

i i i i i ii i i

N

i ii

H p l C q

l C q l C q l C q

l C q

2 2

1 1

21 2

1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 21 11

1 1 1 2 1 1 2 1 21 1

cos sin sin2

sin cos

N N

k k k kk k

N N

i i i ii i

l lTl H p l H p

l C q l C q

23

1

0

; 1 2

1 2 1 1 1 1 1 2

1 1

sin cosf f

l l

1Q

Thay các đạo hàm trên vào phương trình (2.40), rút gọn ta được phương trình:

2

1 2 1

2

22 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 21

1 2 1 2 1 1 2 1 1 21 1 1

22 21 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

cos( ) cos2

sin sin cos

sin 2 cos sin2

N

O k kk

N N N

i i k k i ii k i

N

k k kk

l lI l l l H p

l C q l H p l C q

l ll H p l H

2

1 1

1

22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2

1 1

2 sin cos sin cos

N

kk

N N

i i i ii i

p

l C q l C q l l

(2.41)


1 1 2 2 2

2 1 1 2

1 2

3 22 1 2

2 2 2 1 1 21 1 1 1 12

1 1 1 2 1 1 1 21 1 1 1

1 1 1

2 cos3 2

cos sin

N N N N N

ij i j k k kl k li j k k l

N N N N

k k i i ik i kk i i k

N N N

i i iki i k

l l lTm q q F p b p p

l H p l C q n q p

D q n

1

k ip q

1 1 1 1 2 2 2

2 2 2

32

2 2 2 21 1 1 1 1 1 12

2 21 2 1 2

2 1 1 2 1 11 1 1

2 23

2 cos2 2

N N N N N N N

ij i j ij i j k k kl k li j i j k k l

N N N

k k kl k lk k l

ld Tm q q m q q F p b p p

dt

l l l lF p b p p

2 2 2

1 1

1 2

2 1 2

1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 21 1 1

1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 21 1 1

1 1

sin

cos sin cos

sin cos sin

N N N

k k k k k kk k kN N N

i i i i i ii i i

N N

ik i ki k

l H p l H p l H p

l C q l C q l C q

n q p

1 2 1 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1

N N N N N N N

ik i k i i ik i k ik i ki k i i k i k

n q p Dq n q p n q p

2 2

1 1

21 2

1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 21 12

1 1 1 2 1 1 2 1 21 1

cos sin sin2

sin cos

N N

k k k kk kN N

i i i ii i

l lTl H p l H p

l C q l C q

2

0

; 1 2

1 2 2 2 1 2 2 2

2 2

sin cosB B

f fl u l u

Từ (2.35) và (2.37) ta có:

2

21

2 1( , ) sin

2

N

B kk

ku u l t p

(2.42)

20Q

24 Thay các đạo hàm vào (2.40), rút gọn ta được phương trình:

2 1

1 1 2 2 2 1 2 1

1 2

22

1 2 1 2 1 2 1 11 1

32

21 1 1 1 1 1 1 1

1 1

cos cos sin2

23

2

N N

k k i ik i

N N N N N N N N

ij i j k k kl k l ik i k i ii j k k l i k i

N N

ik i ki k

lH p C q l

lm q q F p b p p n q p D q

n q p

1 1 2 2 2

2 1

2 21 1 1 1 1

22 2 21 2

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 21 1

2 2 1 2 2 2

2

sin sin cos2

sin . cos .

N N N N N


N N

k k i ik i

B B

m q q F p b p p

l ll H p l C q

l u l u

(2.43)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ3:

3

3

C

TI

=>

3

3

C

d TI

dt

;

3

0T

;

3

0

1 21 2 3 3 1 3 3 2

3 3

sin cosf f

l l

;

30Q

Thay vào (2.40) ta được phương trình thứ 3:

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.44)

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng qi (i = 1,2,..., N1):

1 2

1 1 1 2 2 21 1

cosN N

ij j i i ik kj ki

Tm q l C D n p

q

1

2 2

1 1 1 2 1 1 1 2 1 21

2 2 21 1

cos sinN

ij j i iji

N N

i ik k ik kk k

d Tm q l C l C

dt q

D n p n p

1 2

22 1 1 2 1 2 2

1 1

sinN N

ij j i ik kj ki

Tm q l C n p

q

1

N

ij jji

EI k qq

; 1 2

1 2 0i i

f f

q q

; 0

iqQ

Thay vào phương trình (2.40), rút gọn ta được phương trình:

2 1

2 1

1 1 1 2 21 1

2 21 1 1 2 2 2

1 1 1

cos

sin 2 0

N N

i i ik k ij jk j

N N N

i ik k ij j ij jk j j

l C D n p m q

l C n p m q EI k q

(2.45)

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng pk (k = 1,2,...N2):

25

2 1

1 1 1 2 21 1

sinN N

kl l k ik il ik

Tb p l H n q

p

sin cos2

1 1

N

kl l 1 1 1 2 k 1 1 1 2 1 2 kl=1k

N N

2 ik i 2 ik ii=1 i=1

d T= μ b p - μl φ φ - φ H - μl φ φ - φ φ - φ H

dt p

- μφ n q - μφ n q

2 1

22 1 1 2 1 2 2

1 1

cosN N

k kl l k ik il ik

TF b p l H n q

p

2

1

N

kl llk

EA g pp

1 21 2 1 2 2 2

1 2 2 2

1 2 2 2

cos sin

2 1 2 1sin cos sin sin

2 2

cos sin

B B

k k k k

k

f f u u

p p p p

k k

trong đó:

1 2 1, 1, 2,...2 1

sin1 2 , 1, 2,...2

k

khi k j jk

khi k j j

0kpQ

Thay vào phương trình (2.40), rút gọn ta được phương trình viết cho pk:

1 2

1 2 2

21 1 1 2 2 1 1 1 2

1 1

22 2 1 2 2 2

1 1 1

sin cos

2 cos sin 0

N N

k ik i kl l ki l

N N N

ik i k kl l kl l ki l l

l H n q b p l H

n q F b p EA g p

(2.46)

Ta có hệ N1 + N2 +3 phương trình vi phân chuyển động (2.41), (2.43), (2.44),

(2.45) và (2.46) đây là các phương trình vi phân phi tuyến. Cùng với hai phương trình

liên kết (2.26) ta có N1+N2+5 phương trình với N1+N2+5 ẩn số là φ1, φ2, φ3, q1, q2,…,

qN1, p1, p2,…, pN2 và λ1, λ2.

Trường hợp sử dụng 3 dạng riêng đầu N1 = 3, N2 = 3, ta thu được hệ phương

trình vi phân chuyển động như sau:

+ Ta đi tính các hệ số:

2

sini

i xX

l

, với i = 1, 2, 3

2

2 1( ) sin

2k

k xY x

l

, với k = 1, 2, 3

Tính các tích phân:

26

+ 2 2

20 0

sinl l

i i

i xC X dx dx

l

. Tính các tích phân ta được:

21

2lC

; 2 0C ; 2

3

2

3

lC

+ 2 2

20 0

sinl l

i i

i xD xX dx x dx

l


22

1

lD

;

22

22

lD

;

22

33

lD

+ 2 2

2 20 0

sin sinl l

ij i j

i x j xm X X dx dx

l l

. Tính các tích phân ta có:

211 22 33 12 21 23 32 13 31; 0;

2

lm m m m m m m m m

+ 2 2

2 2

2 2 2 20 0

sin sinl l

ij i j

i j i x j xk X X dx dx

l l l l


4 4 4

11 22 33 12 21 23 32 13 313 3 32 2 2

8 81; ; ; 0;

2 2k k k k k k k k k

l l l

+ 2 2

2 20 0

2 1sin sin

2

l l

ik i k

i x k xn X Y dx dx

l l


2 2 2 2 2 211 12 13 21 22 23

2 2 231 32 33

4 4 4 8 8 8; ; ; ; ; ;

3 5 21 15 7 9

12 4 12; ;

35 9 11

l l l l l ln n n n n n

l l ln n n

+ 2 2

20 0

2 1sin

2

l l

k k

k xH Y dx dx

l


21

2lH

; 2

2

2

3

lH

; 2

3

2

5

lH

+ 2 2

20 0

2 1sin

2

l l

k k

k xF xY dx x dx

l


22

1 2

4lF

;

22

2 2

4

9

lF

;

22

3 2

4

25

lF

+ 2 2

2 20 0

2 1 2 1sin sin

2 2

l l

kl k l

k x l xb Y Y dx dx

l l

. Tính các tích phân ta có:

211 22 33 12 21 23 32 13 31; 0

2

lb b b b b b b b b

27

+ 2 2

2 2 2 20 0

2 1 2 1 2 1 2 1cos cos

2 2 2 2

l l

kl k l

k l k x l xg Y Y dx dx

l l l l

.

Tính các tích phân ta được:

2 2 2

11 22 33 12 21 23 32 13 31

2 2 2

9 25; ; ; 0;

8 8 8g g g g g g g g g

l l l

Thay các hệ số vào phương trình (2.41) ta được:

cos cos

sin sin cos

sin

22 31 2 1 2 2

O 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

3 3 31 2 1 2 2 1 22 1 2 1 1 2 1 1 2 1

221 2 1 22 1 2

pμl l 2μl l pI + μl l φ + φ φ - φ + φ φ -φ p + +

2 π 3 5

q p q2μl l 2μl l p 2μl l+ φ φ - φ q + - φ - φ p + + + φ -φ q +

π 3 π 3 5 π 3

μl l 4μl l+ φ φ -φ +

2 π

cos sin

sin cos sin cos

23 32 1 2 22 1 2 1 2 1 2 1

23 31 2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2

p pp 2μl l pφ φ - φ p + + + φ φ - φ p + +

3 5 π 3 5

q q4μl l 2μl l+ φ φ -φ q + - φ φ -φ q + =l φ λ - l φ λ +τ

π 3 π 3

(2.47)

Thay các hệ số vào phương trình (2.43) với chú ý

3

1 2 31

2 1( )sin

2B k

k

ku p t p p p

, ta được phương trình:

3 32 2 1 21 2 1 2 1 1 2 1 1

3 22 2 2 2 2 232 2 2 2 21 2 3 1 1 2 3 22

21 1 1 2 1 3 2 1 2 2

2cos cos sin

4 3 5 3

8

3 2 9 25 2

4 4 4 8 8 8

3 5 21 15 7 9

p ql p l lp q

pl l l p lq q q p p p p

lq p q p q p q p q p q

2 3 3 1 3 2 3 3

232 2

1

21 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

22

2 2 1 1 2 2 3 3 2

12 4 12

35 9 11

2 3

4 4 4 8 8 8 12 4 12

3 5 21 15 7 9 35 9 11

8

p q p q p q p

ql qq

lq p q p q p q p q p q p q p q p q p

ll q q q q q q

321 2 2 2 1 1 2 2 3 3

22 2 23 31 2 1 2 2 1 21 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1

2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 2

9 25

2 2sin sin cos

2 3 5 3

sin cos

ppp l p p p p p p

p ql l l l p l lp q

l p p p l p p p

(2.48)

Phương trình (2.44) viết lại:

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.49)

Thay các hệ số vào (2.45) ta được 3 phương trình của q1, q2, q3:

28

21 2 2 2 2

1 1 2 1 2 3 2 1

42 21 2 2 21 1 2 2 1 2 3 1 2 13

2

2 4 4 4cos

3 5 21 2

2 2 4 4 4sin 0

3 5 21 2 2

l l l l lp p p q

l l l l EIp p p q q

l

(2.50)

22 2 2

1 2 3 2 2 1 2 3

422 2

2 2 2 232

28 8 8 8 8 8

2 15 7 9 15 7 9

80

2 2 2

l l lp p p p p p

l l EIq q q

l

(2.51)

21 2 2 2 2

1 1 2 1 2 3 2 3

42 21 2 2 2

1 1 2 2 1 2 3 3 2 332

2 12 4 12cos

3 3 35 9 11 2

2 2 12 4 12 81sin 0

3 35 9 11 2 2

l l l l lp p p q

l l l l EIp p p q q

l

(2.52)

Thay các hệ số vào (2.46) ta được 3 phương trình của p1, p2, p3:

21 2 2 2 1 21 1 2 1 2 3 2 1 1 1 2

2 222 2 2

1 2 3 2 1 2 1 1 2 2 222

2 24 8 12sin cos

3 15 35 2

2 44 8 12cos sin 0

3 15 35 2 8

l l l l l lq q q p

l l l EAq q q p p

l

(2.53)

21 2 2 2 1 21 1 2 1 2 3 2 2 1 1 2

2 222 2 2

1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 222

2 24 8 4sin cos

3 5 7 9 2 3

2 44 8 4 9cos sin 0

5 7 9 9 2 8

l l l l l lq q q p

l l l EAq q q p p

l

(2.54)

21 2 2 2 1 21 1 2 1 2 3 2 3 1 1 2

2 222 2 2

1 2 3 2 3 2 3 1 2 2 222

2 24 8 12sin cos

5 21 9 11 2 5

2 44 8 12 25cos sin 0

21 9 11 25 2 8

l l l l l lq q q p

l l l EAq q q p p

l

(2.55)

Phương trình liên kết:

1 1 2 1 2 3 2 3 3 0

2 1 1 2 1 2 3 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l p p p l l

f l l p p p l

(2.56)

Với chú ý 2

2 1 2 31

2 1( , ) sin

2

N

B kk

ku u l t p p p p

Như vậy ta có 9 phương trình vi phân từ (2.47) đến (2.55) và 2 phương trình

liên kết là các phương trình đại số (2.56). Các ẩn là φ1, φ2, φ3, q1, q2, q3, p1, p2, p3, λ1,

29 λ2. Đây là hệ phương trình tổng quát, các trường hợp riêng của hệ phương trình vi

phân chuyển động sẽ được suy ra từ hệ phương trình tổng quát như sau:

2.3.3.1. Trường hợp cơ cấu rắn

Trường hợp các khâu đều rắn, bỏ đi các thành phần biến dạng ở các phương

trình từ (2.47) đến (2.49) ta có các phương trình viết cho cơ cấu rắn ứng với các tọa

độ suy rộng φ1, φ2, φ3:

2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2

1 1 1 1 1 2

1 1cos sin

2 2sin cos

OI l l l l l l

l l

(2.57)

3 2 2 22 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2

2 1 2 2 2 2

1 1 1cos sin

3 2 2sin cos 0

l l l l l

l l

(2.58)

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.59)

Bỏ đi thành phần biến dạng trong phương trình (2.56) thu được phương trình liên kết:

1 1 2 2 3 3 0

2 1 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l l l

f l l l

(2.60)

2.3.3.2. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh)

Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn, bỏ qua ảnh hưởng của kéo nén dọc trục,

tức là các pi = 0, 0,ip 0,ip thay vào các phương trình từ (2.47) đến (2.52) nhận

được:

2

2 31 2 1 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1

223 31 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

2 31 22 1 2 1 1

2cos( ) sin( )

2 3

2 4cos( ) sin( ) sin( )

3 2 3

2cos( ) sin

3

O

ql l l lI l l q

q ql l l l l lq q

ql lq l

1 1 1 1 2cosl

(2.61)

32 2 232 1 2 2 2

1 2 1 2 1 1 1 2 3 2

2 2232 2 1 2

1 2 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2

2 31 21 1 2 1 2 2 1 2

2cos sin

4 3 3 2

sin2 3 2

2cos sin co

3

ql l l l lq q q q

ql q l lq l q q q q q q

ql lq l l

2 2s

(2.62)

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.63)

2 4

2 21 2 2 2 1 2 21 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13

2

2 2cos sin 0

2 2 2

l l l l l l l EIq q q

l

(2.64)

30

2 422 2 2

2 2 2 2 232

80

2 2 2 2

l l l EIq q q

l

(2.65)

2 4

2 21 2 2 2 1 2 21 1 2 2 3 1 1 2 3 2 33

2

2 2 81cos sin 0

3 3 2 3 2 2

l l l l l l l EIq q q

l

(2.66)


1 1 2 2 3 3 0

2 1 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l l l

f l l l

(2.67)

Hệ 6 phương trình chuyển động từ (2.61) đến (2.66), là các phương trình vi

phân phi tuyến. Cùng với hai phương trình liên kết (2.67) ta có 8 phương trình với 8

ẩn số là: , , , , , , , 1 2 3 1 2 3 1 2φ φ φ q q q λ λ

2.3.3.3. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn)

Trường hợp thanh truyền chị chịu kéo nén dọc, bỏ qua ảnh hưởng của uốn, tức

qi = 0, 0,iq 0iq (i = 1, 2, 3) thay vào các phương trình từ (2.47) đến (2.49) và

(2.53) đến (2.55) thu được:

22 31 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

223 31 2 2 1 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

2 31 2 22 1 2 1

2cos cos

2 3 5

2 4sin sin cos

3 5 2 3 5

2sin

3 5

O

pl l l l pI l l p

p pl l p l l l l pp p

pl l pp

1 1 1 1 1 2sin cosl l

(2.68)

32 2 1 21 2 1 2 1 1

3 2 22 2 23 32 2 2 2 2 2

1 1 2 3 2 1 22 2

22 21 2 1 2

2 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1

2cos cos

4 3 5

8 8

3 9 25 2 9 25

2sin sin

2

pl p l lp

p pl l p l l pp p p p p

l l l ll p p p p p p

321 2 1

2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 2

3 5

sin cos

ppp

l p p p l p p p

(2.69)

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.70)

22 21 2 2 1 2 2 2

1 1 2 1 1 1 2 1 22

2

1 1 2 2 2

2

2 2 4sin cos

2 2

cos sin 08

l l l l l l lp p

EAp

l

(2.71)

31

21 2 2 1 21 1 2 2 1 1 2

2 222 2

2 2 2 1 2 2 222

2 2sin cos

3 2 3

4 9cos sin 0

9 2 8

l l l l lp

l l EAp p

l

(2.72)

22 21 2 2 1 2 2 2

1 1 2 3 1 1 2 3 22

2

3 1 2 2 2

2

2 2 4sin cos

5 2 5 25 2

25cos sin 0

8

l l l l l l lp p

EAp

l

(2.73)


1 1 1 2 1 2 3 2 3 3 0

2 1 1 2 1 2 3 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l p p p l l

f l l p p p l

(2.74)

Hệ 6 phương trình chuyển động từ (2.68) đến (2.73) là các phương trình vi phân phi

tuyến. Cùng với hai phương trình liên kết (2.74) ta có 8 phương trình với 8 ẩn số là:

φ1, φ2, φ3, p1, p2, p3, λ1, λ2


được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn

Trong phần này, để thiết lập phương trình vi phân chuyển động ta rời rạc hóa

thanh truyền đàn hồi AB bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Giả thiết chuyển vị của

thanh là nhỏ, xem các chuyển vị dọc trục không ảnh hưởng đến các chuyển vị uốn (độ

võng và góc xoay) và ngược lại.

Sử dụng một phần tử để rời rạc thanh AB, ta có biểu thức xác định chuyển vị

uốn và dọc trục theo các công thức (2.5) và (2.9) là:

2 2 3 3 5 5 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w x t X x q t X x q t X x q t X x q t (2.75)

1 1 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( )u x t X x q t X x q t (2.76)

Với q1, q2, q3 lần lượt là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay tại đầu A ; q4,

q5, q6 là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay tại đầu B.

Với việc chọn tọa độ tương đối Axy như trên, thì điều kiện biên thanh hai đầu

bản lề trong chuyển động tương đối sẽ là: q1 = 0, q2 = 0 và q5 = 0.

Thay vào (2.75) và (2.76) ta có chuyển vị uốn tương đối và chuyển vị dọc trục

tương đối theo sẽ là:

3 3 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( )w x t X x q t X x q t (2.77)

Hình 2.6. Các bậc tự do của phần tử dầm

q1

q2 q3

q4

q5 q6

A B x

y

32

4 4( , ) ( ) ( )u x t X x q t (2.78)

Trong đó X3, X4, X6 xác định theo công thức (2.8) và (2.12).

Khi đó u(l2,t) = q4, phương trình liên kết thu được là:

1 1 1 2 4 2 3 3 0

2 1 1 2 4 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l q l l

f l l q l

(2.79)

Thay (2.77) và (2.78) vào biểu thức động năng (2.31) ta có:

2 2 2

2 2 2

2 222 2 2 2 2 2 2 21 2 2

1 3 1 4 4 3 3 6 6 4 4 4 4

0 0 0

22 2

3 3 6 6 1 1 1 2 4 4 1 1 2 1 2 4 4

0 0 0

1 1

1 12

2 2 2 2 2

sin cos2 2

cos

l l l

O C

l l l

l lT I I X q dx X q X q dx x xX q X q dx

lX q X q dx l X q dx l X q dx

l

2 2

2 2

1 2 3 3 6 6 1 1 2 1 2 3 3 6 6

0 0

2 3 3 6 6 4 4 2 4 4 3 3 6 6

0 0

sinl l

l l

X q X q dx l X q X q dx

X q X q X q dx x X q X q X q dx

(2.80)

viết lại:

2

2 2 2 2 2

2

22 2 2 2 21 21 3 1 4 4

0

2 32 2 2 2 2 22 23 3 3 6 3 6 6 6 4 4 4 4

0 0 0 0 0

23

0

1 1

2 2 2 2

2 22 3

2

l

O C

l l l l l

l

l lT I I X dx q

lX dx q X X dx q q X dx q xX dx q X dx q

X dx

2 2 2

2 2 2

22 2 2 1 23 3 6 3 6 6 6 1 1 1 2 4 4 1 2 1 2

0 0 0

1 1 2 1 2 4 4 1 1 1 2 3 3 6

0 0 0

sin cos2 2

cos cos

l l l

l l l

l lq X X dx q q X dx q l X dx q

l X dx q l X dx q X dx

2 2 2 2

2 2 2

6

1 1 2 1 2 3 3 6 6 2 4 3 3 4 4 6 6 4

0 0 0 0

2 3 3 6 6 4 3

0 0 0

sinl l l l

l l l

q

l X dx q X dx q X X dx q q X X dx q q

xX dx q xX dx q X X dx q

2

3 4 4 6 6 4

0

l

q X X dx q q

(2.81)

Đặt: 2

0

l

i iC X dx , 2

0

l

i iD xX dx , 2

0

l

ij i jm X X dx (2.82)

Thay (2.82) vào (2.81) ta có:

33

2 3 22 2 2 2 2 2 2 21 2 2 21 3 1 44 4 2 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4

22 2 1 2

33 3 36 3 6 66 6 1 1 1 2 4 4 1 2 1 2

1 1 2 1 2 4 4 1 1 1

1 12 2

2 2 2 2 6 2

sin cos2 2 2

cos cos

O C

l l lT I I m q m q m q q m q D q m q

l lm q m q q m q l C q

l C q l

2 3 3 6 6 1 1 2 1 2 3 3 6 6

2 43 3 4 46 6 4 2 3 3 6 6 43 3 4 46 6 4

sinC q C q l C q C q

m q q m q q D q D q m q q m q q

(2.83)

Thay (2.77) và (2.78) vào biểu thức thế năng (2.33) thu được:

2 2

2 2 2 2

22 24 4 3 3 6 6

0 0

2 2 2 2 2 24 4 3 3 3 6 3 6 6 6

0 0 0 0

1 1

2 2

1 1 1

2 2 2

l l

l l l l

EA X q dx EI X q X q dx

EA X dx q EI X dx q EI X X dx q q EI X dx q

(2.84)

Đặt: 2

24 4

0

l

H EA X dx ; 2

0

l

ij i jk EI X X dx (2.85)

=> 2 2 24 4 33 3 36 3 6 66 6

1 1 1

2 2 2H q k q k q q k q (2.86)

Gọi η là véctơ tọa độ suy rộng trong đó bao gồm các tọa độ khâu rắn φ1, φ2, φ3

và các tọa độ đàn hồi q3, q4 và q6: 1 2 3 3 4 6

Tq q q η

Phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ hôlônôm:

2

1

kk j

kj j j j

fd T TQ

dt

, j = 1,2,…6 (2.87)

Với λ1, λ2 là các nhân tử Lagrange.

Qj là lực suy rộng không có thế ứng với tọa độ suy rộng ηj.

Tính các đạo hàm lần lượt cho từng tọa độ suy rộng rồi thay vào (2.87), với chú

ý rằng ngoại lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có momen phát động τ tác dụng lên

khâu dẫn, do đó lực suy rộng chỉ có duy nhất Q = τ ứng với tọa độ suy rộng φ1.


21 2

1 1 1 2 4 4 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 4

1

1 1 1 2 3 3 6 6 1 1 2 1 2 3 3 6 6

cos sin sin2

sin cos

T l ll C q l C q

l C q C q l C q C q

(2.88)

22 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 4 4 1 2 1 2 4 4

1

1 1 2 3 3 6 6 1 2 1 2 3 3 6 6

cos( ) sin( ) cos( )2

cos( ) sin( )

O

l lTI l l l C q l C q

l C q C q l C q C q

34

2 22 1 2 1 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 4 4

1

1 1 2 4 4 1 2 1 2 1 2 4 4 1 2 1 2 1 2 4 4

1 2 1 2 4 4

cos( ) ( )sin( ) sin( )2 2

cos( ) cos( ) sin( )

cos( )

O

l l l ld TI l l l C q

dt

l C q l C q l C q

l C q

1 1 2 3 3 6 6 1 1 2 3 3 6 6 1 2

1 2 1 2 3 3 6 6 1 2 1 2 3 3 6 6 1 2

1 2 1 2 3 3 6 6

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

sin( )

l C q C q l C q C q

l C q C q l C q C q

l C q C q

1

0

(2.89)

1 21 2 1 1 1 1 1 2

1 1

sin cosf f

l l

(2.90)

1Q (2.91)


22 21 2 1 1 4 4 1 2 1 2 3 3 6 6 2 1 1 2 4 4

222

1 1 2 3 3 6 6 4 4 1 2 1 2 1 2 4 4 1 2

1 2 3 3 6 6 1

cos( ) sin( ) sin( )2

cos( ) sin( ) 2 cos( )2

2 sin(

O

lI l l l C q C q C q l C q

ll C q C q C q l l C q

l C q C q

22 1 2 3 3 6 6 1 2 1 1 1 1 1 2) cos( ) sin cosl C q C q l l

(2.92)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ2 :

3 22 2 22 1 2

2 2 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4 1 1 2

2

1 1 1 2 4 4 1 1 1 2 3 3 6 6 43 3 4 46 6 4

3 3 6 6 43 3 4 46 6 4

2 2 cos( )3 2

cos( ) sin( )

T l l lm q m q q m q D q m q

l C q l C q C q m q q m q q

D q D q m q q m q q

32 2 22

2 2 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4

2

21 2

2 33 3 3 36 3 6 36 3 6 66 6 6 4 4 44 4 4 1 1 2

21 2

1 1 2 1 2 1 1 1 2 4 4 1 1

2 23

2 cos2

sin cos2

ld Tm q m q q m q D q m q

dt

l lm q q m q q m q q m q q D q m q q

l ll C q l

1 2 4 4 1 2

1 1 4 4 1 2 1 1 1 2 3 3 6 6 1 1 1 2 3 3 6 6 1 2

1 1 1 2 3 3 6 6 43 3 4 43 3 4 46 6 4 46 6 4

3 3 6 6 43 3 4 43 3 4 46

sin

cos sin cos

sin

C q

l C q l C q C q l C q C q

l C q C q m q q m q q m q q m q q

D q D q m q q m q q m

6 4 46 6 4q q m q q

21 2

1 1 1 2 4 4 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 4

2

1 1 1 2 3 3 6 6 1 1 2 1 2 3 3 6 6

cos sin sin2

sin cos

T l ll C q l C q

l C q C q l C q C q

2

0

35

1 21 2 2 4 2 1 2 4 2 2

2 2

sin . cos .f f

l q l q

;

20Q

Thay các đạo hàm vào (2.87), rút gọn thu được phương trình:

22

1 1 1 2 3 3 6 6 1 2 4 4 1 2

32 2 22

2 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4 4 43 3 46 6 3 3 43 4

6 6 46 4 2 33 3 3 36 3 6 36 3 6 66 6 6 4 4

sin cos cos2

2 23

2

ll C q C q C q

lm q m q q m q D q m q q m q m q q D m q

q D m q m q q m q q m q q m q q D q

44 4 4

22 22

1 1 4 4 1 2 1 1 3 3 6 6 1 2

2 4 2 1 2 4 2 2

sin cos2

sin cos

m q q

ll C q l C q C q

l q l q

(2.93)


3

3

C

TI

=>

3

3

C

d TI

dt

;

3

0T

;

3

0

1 21 2 3 3 1 3 3 2

3 3

sin cosf f

l l

;

30Q

Thay vào (2.87) thu được phương trình thứ 3:

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.94)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng q3:

33 3 36 6 1 1 1 2 3 2 3 43 4

3

cosT

m q m q l C D m qq

33 3 36 6 1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3

3

2 3 43 4 43 2 4

cos sind T

m q m q l C l Cdt q

D m q m q

22 33 3 36 6 1 1 2 1 2 3 2 43 4

3

sinT

m q m q l C m qq

33 3 36 6

3

k q k qq

; 1 2

1 2

3 3

0f f

q q

;

30qQ


21 1 1 2 3 2 3 43 4 33 3 36 6 1 1 1 2 3

243 2 4 2 33 3 36 6 33 3 36 6

cos sin

2 0

l C D m q m q m q l C

m q m q m q k q k q

(2.95)


44 4 1 1 1 2 4 2 43 3 46 6

4

sinT

m q l C m q m qq

36

44 4 1 1 1 2 4 1 1 1 2 1 2 4

4

2 43 3 46 6 2 43 3 46 6

sin cosd T

m q l C l Cdt q

m q m q m q m q

22 4 44 4 1 1 2 1 2 4 2 43 3 46 6

4

cosT

D m q l C m q m qq

4 4

4

H qq

; 1 2

1 2 1 2 2 2

4 4

cos sinf f

q q

; 0Q

4q

Thay vào phương trình (2.87), rút gọn thu được phương trình viết cho q4:

21 1 1 2 4 2 43 3 46 6 44 4 1 1 1 2 4

22 4 44 4 2 43 3 46 6 4 4 1 2 2 2

sin cos

2 cos sin

l C m q m q m q l C

D m q m q m q H q

(2.96)


36 3 66 6 1 1 1 2 6 2 6 46 4

6

cosT

m q m q l C D m qq

36 3 66 6 1 1 1 2 6 1 1 1 2 1 2 6

6

2 6 46 4 2 46 4

cos sind T

m q m q l C l Cdt q

D m q m q

22 36 3 66 6 1 1 2 1 2 6 2 46 4

6

sinT

m q m q l C m qq

36 3 66 6

6

k q k qq

; 1 2

1 2

6 6

0f f

q q

;

60qQ

Thay vào phương trình (2.87), rút gọn ta được phương trình viết cho q6:

1 1 1 2 6 2 6 46 4 36 3 66 6

2 21 1 1 2 6 2 36 3 66 6 2 46 4 36 3 66 6

cos

sin 2

l C D m q m q m q

l C m q m q m q k q k q

(2.97)

Tính các hệ số: Với các hàm dạng theo (2.8) và (2.12): 2 3 2 3

3 62 22 2 2 2

x x x xX (x)= x - 2 + ; X (x)= - +

l l l l; 4

2

xX

l

4

2

1X

l ; 3 2

2 2

4 6( )

xX x

l l ; 6 2

2 2

2 6( )

xX x

l l

Thay vào các tích phân:

2

0

l

i iC X dx . tính các tích phân ta được: 22

312

lC ; 2

42

lC ;

22

612

lC

2

0

l

i iD xX dx . Tính các tích phân ta được: 32

330

lD ;

22

43

lD ;

32

620

lD

37

2

0

l

ij i jm X X dx . Tính các tích phân ta có:

32

33105

lm ; 2

443

lm ;

32

66105

lm ;

22

4330

lm ;

22

4620

lm ;

32

36140

lm

2

0

l

ij i jk EI X X dx . Tính các tích phân ta được: 33

2

4EIk

l ; 36

2

2EIk

l ; 66

2

4EIk

l

2

24 4

20

lEA

H EA X dxl

.

Thay các hệ số trên vào các phương trình từ (2.92) đến (2.97), rút gọn ta được

các phương trình:

22 2 2 1 2

1 2 1 1 2 4 1 2 3 6 1 2 2 1 2 4

221 2 1 2

1 2 3 6 2 4 2 1 2 1 2 2 4 1 2

2 221 2 1 2

2 3 6 1 2 2 3 6 1

cos sin sin2 12 2

cos sin cos12 2

sin cos6 12

O

l l l lI l l l l q q q q

l l l lq q l q l l q

l l l lq q q q

2 1 1 1 1 1 2sin cosl l

(2.98)

1 21 2 1 2 3 6 1 2 4 2 1 2

3 3 3 3 2 2 22 2 2 3 62 2 2 2 2 2 2 2

2 3 3 6 6 4 4 4 3 2 4

2 3 32 2 2

6 2 4 2 3 3 3 6

sin / 6 cos cos2

23 105 70 105 3 3 10 3 2 30

220 105 140

l ll q q q l

q ql l l l l l l lq q q q q q q q l q

l l lq l q q q q q

3 3 22 2 2 2

3 6 6 6 4 4 4

22 21 2 1 2

1 2 4 1 2 1 3 6 1 2

2 4 2 1 2 4 2 2

140 105 3 3

sin cos2 12

sin cos

l l l lq q q q q q q

l l l ll q q q

l q l q

(2.99)

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.100)

2 2 3 31 2 2 2 2

1 1 2 2 2 4 3 6

2 2 32 2 3 61 2 2 2

1 1 2 2 4 2 3 6

2

cos12 30 105 140

2sin 2 0

12 15 35 3 4

l l l l ll q q q

q ql l l l EIq q q

l

(2.101)

223 61 2 2 2 1 2

1 1 2 2 4 1 1 2

22 3 62 22 2 4 2 4 1 2 2 2

2

sin cos2 10 3 2 3 2

cos sin3 5 3 2

q ql l l l l lq

q ql l EAl q q

l

(2.102)

38

2 2 3 31 2 2 2 2

1 1 2 2 4 2 3 6

2 3 22 2 3 61 2 2 21 1 2 2 2 4 3 6

2

cos12 20 140 105

2sin 2 0

12 35 4 3 10

l l l l ll q q q

q ql l l l EIq q q

l

(2.103)

Hệ 6 phương trình chuyển động từ (2.98) đến (2.103) là các phương trình vi

phân phi tuyến. Cùng với hai phương trình liên kết (2.79) ta có 8 phương trình với 8

ẩn số là: 1 2 3 24 6 13, , , , , , ,q q q

Đây là hệ phương trình tổng quát, các trường hợp riêng của hệ phương trình vi

phân chuyển động sẽ được suy ra từ hệ phương trình tổng quát như sau:

2.3.4.1. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh)

Trường hợp thanh truyền chị chịu uốn, bỏ qua ảnh hưởng của kéo nén dọc trục,

tức q4 = 0, 4 0,q 4 0,q thay vào các phương trình từ (2.98) đến (2.101) và (2.103),

thu được:

22 1 2

1 2 1 1 2 3 6 1 2 2

2 2 221 2 1 2 1 2

1 2 3 6 2 1 2 2 3 6 1 2

221 22 3 6 1 2 1 1 1 1 1 2

1cos sin

2 6

cos sin sin12 2 6

cos sin cos12

O

l lI l l q q

l l l l l lq q q q

l lq q l l

(2.104)

1 21 2 1 2 3 6 1 2 4 2 1 2

3 3 3 3 2 2 22 2 2 3 62 2 2 2 2 2 2 2

2 3 3 6 6 4 4 4 3 2 4

2 3 32 2 2 2

6 2 4 2 3 3 3 6

sin cos cos2

23 105 70 105 3 3 10 3 2 30

220 105 140

l ll q q q l

q ql l l l l l l lq q q q q q q q l q

l l l lq l q q q q q

3 3 22 2 2

3 6 6 6 4 4 4

22 21 2 1 21 2 4 1 2 1 3 6 1 2

2 4 2 1 2 4 2 2

140 105 3 3

sin cos2 12

sin cos

l l lq q q q q q q

l l l ll q q q

l q l q

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.106)

2 2 3 31 2 2 2 2

1 1 2 2 2 4 3 6

2 2 32 2 3 61 2 2 2

1 1 2 2 4 2 3 6

2

cos12 30 105 140

2sin 2 0

12 15 35 3 4

l l l l ll q q q

q ql l l l EIq q q

l

(2.107)

2 3 3 3 321 2 2 2 2 1 2

1 1 2 2 3 6 1 1 2

3 2 3 62 2 3 6

2

cos sin12 20 140 105 12

22 0

140 105

l l l l l l lq q

q q EIl q q

l

(2.108)

(2.105)

39 Phương trình liên kết:

1 1 1 2 2 3 3 0

2 1 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l l l

f l l l

(2.109)

Hệ phương trình từ (2.104) đến (2.109) là hệ phương trình vi phân – đại số với các ẩn

số là: 1 2 3 3 6, , , ,q q và λ1, λ2.

2.3.4.2. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn)

Trường hợp thanh truyền chị chịu kéo nén dọc, bỏ qua ảnh hưởng của uốn, tức

q3 = 0, 3 0,q 3 0,q q6 = 0, 6 0,q 6 0,q thay vào các phương trình từ (2.98)

đến (2.100) và (2.102) ta có:

2 1 2 1 21 2 1 2 4 1 2 2 1 2 4

21 2 1 22 4 2 1 2 2 4 1 2 1 1 1 1 1 2

cos sin2 2

2sin cos sin cos

2 2

O

l l l lI l l l q q

l l l ll q q l l

(2.110)

2 21 2 2 21 2 4 1 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4

21 21 2 4 1 2 2 4 2 1 2 4 2 2

2cos 2

2 3 3

sin sin . cos .2

l l l ll q l l q q l q q

l ll q l q l q

(2.111)

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (2.112)

2 21 2 2 1 2 21 1 2 4 1 1 2 2 2 4

4 1 2 2 2

2

sin cos2 3 2 3

cos sin

l l l l l lq l q

EAq

l

(2.113)


1 1 1 2 4 2 3 3 0

2 1 1 2 4 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l q l l

f l l q l

(2.114)

Hệ phương trình từ (2.110) đến (2.114) là hệ phương trình vi phân – đại số với

các ẩn số là : φ1, φ2, φ3, q4, λ1, λ2.

Trong phần phụ lục A, luận án thiết lập phương trình cho cơ cấu bốn khâu với

khâu nối đàn hồi sử dụng 2 phần tử hữu hạn. Các phương trình thu được khi sử dụng

2 phần tử là phức tạp hơn nhiều so với các phương trình khi sử dụng 1 phần tử do tọa

độ suy rộng tăng lên.

2.4. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sáu khâu với hai

thanh truyền đàn hồi

2.4.1. Mô tả cơ cấu

Cơ cấu sáu khâu bản lề phẳng có thể coi là tổ hợp của hai cơ cấu bốn khâu bản

lề, một dạng của nó có sơ đồ như Hình 2.7, trong đó O1ABO2 là cơ cấu bốn khâu bản

lề thứ nhất, O2CDO3 là cơ cấu bốn khâu bản lề thứ hai, khâu O2BC là khâu trung

40 gian. Trong cơ cấu này nếu O1A là khâu dẫn thì O3D là khâu chấp hành (khâu bị dẫn),

khâu AB và khâu CD là hai thanh truyền.

Trong cơ cấu sáu khâu bản lề phẳng này, các thanh truyền AB và CD thường

dài và thanh mảnh hơn cả, do đó ta coi là các khâu đàn hồi, còn các khâu khâu dẫn

O1A, khâu lắc O2BC và khâu chấp hành O3D thường ngắn và cứng vững hơn nên giả

định coi như vật rắn tuyệt đối. Như vậy khâu dẫn O1A là vật rắn có khối lượng m1,

khối tâm C1, O1C1 = s1, góc AO1C1 = α1, chịu tác dụng của mômen dẫn động τ. Thanh

truyền AB đàn hồi, có khối lượng m2. Cần lắc O2BC là vật rắn, khối lượng m3, khối

tâm C3, O2C3 = s3, góc BO2C3 = α3, góc BO2C = β. Thanh truyền CD đàn hồi, có khối

lượng m4. Cần lắc O3D là vật rắn, khối lượng m5, khối tâm C5, O3C5 = s5, góc DO3C5

= α5. Kích thước O1A = l1, AB = l2, BO2 = l3, O2C = *3l , CD = l4, O3D = l5, O1O2 = l0,

O2O3 = *0l .

Giả thiết: AB và CD là thanh thẳng, đồng chất, thiết diện không đổi, trục của

thanh trùng với trục trung hòa khi chưa biến dạng, cơ cấu nằm trong mặt phẳng

ngang.

2.4.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết

a) Hệ tọa độ và phương trình liên kết

Chọn hệ trục tọa độ cố định O1x0y0, O1x0 phương ngang, O1y0 phương đứng, các

véctơ đơn vị của hệ trục là )0(1e

, )0(2e

; hệ tọa độ động thứ nhất Ax1y1 gắn vào thanh AB

với Ax1 ≡ AB, các véctơ đơn vị của hệ trục là 11e

, 12e

; hệ tọa độ động thứ hai Cx2y2

gắn vào CD với Cx2 ≡ CD, các véctơ đơn vị của hệ trục là 21e

, 22e

.

x1

A

B

φ2

y1 w1

x1

M*

11e

12e

M

u1

C

D

φ4

x2

y2 w2 x2

N*

21e

22e

N

u2

Hình 2.8. Sơ đồ đặt hệ trục tương đối trên các khâu đàn hồi

O1

A

B

φ1 θ1

y0

x0

φ2

φ3

O2

C1

C3

C

D

O3 *3

φ4 φ5

C5

θ2 l0

l1

l2

l3 *3l

l4 l5

*0l

)0(1e

)0(2e

Hình 2.7. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu bản lề

τ

41

Các góc φ1, φ2, φ3, φ4, φ5 là các góc định vị của các khâu như hình vẽ. Ta có

công thức xoay trục viết dưới dạng ma trận:

(0)

11 2 2 1

(0)12 2 2 2

cos sin

sin cos

e e

e e=>

(0)2 2 111

(0)2 2 122

cos sin

sin cos

ee

ee (2.115)

(0)21 4 4 1

(0)22 4 4 2

cos sin

sin cos

e e

e e=>

(0)4 4 211

(0)4 4 222

cos sin

sin cos

ee

ee (2.116)

Gọi u1, w1 là chuyển vị dọc tương đối và chuyển vị uốn tương đối của điểm M

trên thanh đàn hồi AB; u2, w2 là chuyển vị dọc tương đối và chuyển vị uốn tương đối

của điểm N trên thanh đàn hồi CD.

Điều kiện biên:

+ Của chuyển vị uốn tương đối tại hai đầu bản lề:

w1(0,t) = w1(l2,t) = 0, w2(0,t) = w2(l4,t) = 0 (2.117)

+ Của chuyển vị dọc tương đối tại hai đầu bản lề:

u1(0,t) = 0, u1(l2,t) = u1B; u2(0,t) = 0, u2(l4,t) = u2D (2.118)


f1 = l1cosφ1 + (l2 + u1B)cosφ2 – l3cosφ3 – l0cosθ1 = 0 (2.119)

f2 = l1sinφ1 + (l2 + u1B)sinφ2 – l3sinφ3 – l0sinθ1 = 0 (2.120)

f3 = *3l cos(φ3 – β) + (l4+u2D)cosφ4 – l5cosφ5 – *

0l cosθ2 = 0 (2.121)

f4 = *3l sin(φ3 – β) + (l4+u2D)sinφ4 – l5sinφ5 – *

0l sinθ2 = 0 (2.122)

với *3 = φ3 – β

b) Động năng của hệ:

1 2 3O A AB BO C CD DOT T T T T T (2.123)

+ Các vật rắn O1A, BO2C, DO3 quay quanh trục cố định có động năng:

TOA = 1

21

1

2OI ;

2 2

23

1

2BO C OT I ;

3 3

25

1

2DO OT I (2.124)

Trong đó 1OI là mômen quán tính lấy đối với trục đi qua O1 của khâu dẫn O1A,

2OI là

mômen quán tính lấy đối trục qua đi O2 của khâu BO2C,3OI là mômen quán tính lấy

đối với trục qua O3 của khâu DO3.

+ Động năng thanh đàn hồi AB, xét một phân tố thanh dx1 quanh điểm M, vị trí điểm

M xác định bằng công thức:

1 1 1 11 1 1 12( , ) ( , )M Ar r x u x t e w x t e

(2.125)

Từ công thức đổi trục (2.115) ta có tọa độ điểm M trong hệ Ox0y0:

1 1 1 1 2 1 2

1 1 1 1 2 1 2

cos ( )cos sin

sin ( )sin cos

M

M

x l x u w

y l x u w

(2.126)

42 Đạo hàm theo thời gian ta có:

1 11 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2sin cos ( ) sin sin cosM

u wx l x u w

t t

1 11 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2cos sin cos cos sinM

u wy l x u w

t t

Vận tốc bình phương của điểm M:

2 222 2 2 2 2 2 21 1

1 1 1 1 1 2

1 11 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 11 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2

2 sin 2 cos 2 cos

2 sin 2 2

M M M

u wr x y l w x u

t t

u wl l x u l

t t

u wl w w x u

t t

(2.127)

Động năng của khâu đàn hồi AB: 2

21 1

0

1

2

l

AB MT r dx (2.128)

Trong đó 1 là phân bố khối lượng trên một đơn vị chiều dài của thanh AB.

+ Động năng thanh đàn hồi CD, xét một phân tố thanh dx2 quanh điểm N, vị trí điểm

N xác định bằng công thức:

2 2 2 2 2 21 2 2 22( , ) ( , )N Or r O C x u x t e w x t e

(2.129)

Từ công thức đổi trục (2.116) ta có tọa độ điểm N trong hệ Ox0y0:

* *0 1 3 3 2 2 4 2 4cos cos ( ) cos sinNx l l x u w

* *0 1 3 3 2 2 4 2 4sin sin ( )sin cosNy l l x u w

Đạo hàm theo thời gian ta có:

* * * 2 23 3 3 4 2 2 4 4 4 2 4 4

* * 2 23 3 30 4 2 2 4 4 4 2 4 4

sin cos ( ) sin sin cos

cos sin cos cos sin

N

N

u wx l x u w

t tu w

y l x u wt t

Vận tốc bình phương của điểm N:

2 222 2 2 *2 *2 2 2 * * *2 2 2

3 3 2 2 2 4 3 3 3 4

* * * * * *23 2 2 3 4 3 4 3 3 3 4

* * * 2 23 2 3 4 3 4 2 4 2 2 4

2 sin

2 cos 2 cos

2 sin 2 2

N N N

u w ur x y l w x u l

t t tw

l x u lt

u wl w w x u

t t

(2.130)

Động năng của khâu đàn hồi CD: 4

22 2

0

1

2

l

CD NT r dx (2.131)

43

Trong đó 2 là phân bố khối lượng trên một đơn vị chiều dài của thanh CD.

Ta có động năng của hệ:

1 2 3

2

2 2 21 3 5

2 222 2 2 21 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2

0

1 1 11 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1

1 1 1

2 2 2

12 sin 2 cos

2

2 cos 2 sin 2 2

O O O

l

T I I I

u w ul w x u l l x u

t t t

w u wl l w w x u

t t t

4

2 1

2 22*2 *2 2 2 * * * * * *2 2 2

2 3 3 2 2 2 4 3 3 3 4 3 2 2 3 4 3 4

0

* * * * * *2 2 23 3 3 4 3 2 3 4 3 4 2 4 2 2 4 2

12 sin 2 cos

2

2 cos 2 sin 2 2

l

dx

u w ul w x u l l x u

t t t

w u wl l w w x u dx

t t t

(2.132)

c) Thế năng biến dạng

Với giả thiết dầm đồng chất thiết diện không đổi, trục thanh trùng với trục trung

hòa, theo công thức (2.33) ta có biểu thức thế năng đàn hồi của thanh AB và CD lần

lượt là:

2 2

2 22

1 11 1 1 1 1 1 12

1 10 0

1 1

2 2

l l

u wE A dx E I dx

x x (2.133)

4 42 2

22 2

2 2 2 2 2 2 222 20 0

1 1

2 2

l l

u wE A dx E I dx

x x (2.134)

Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ:

2 2 4 42 2 2 2

2 21 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 21 1 2 20 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

l l l l

u w u wE A dx E I dx E A dx E I dx

x x x x

(2.135)

2.4.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền đàn hồi

được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin

Giả thiết biến dạng là nhỏ, các chuyển vị uốn không ảnh hưởng đến chuyển vị

dọc và ngược lại. Sử dụng phương pháp khai triển theo các dạng riêng (Ritz –

Galerkin), chuyển vị uốn và chuyển vị dọc của các thanh:

AB: 1

(1) (1)1 1 1

1

( , ) ( ) ( )N

i ii

w x t X x q t

, 2

(1) (1)1 1 1

1

( , ) ( ) ( )N

k kk

u x t Y x p t

(2.136)

CD: 3

(2) (2)2 2 2

1

( , ) ( ) ( )N

i ii

w x t X x q t

, 4

(2) (2)2 2 2

1

( , ) ( ) ( )N

k kk

u x t Y x p t

(2.137)

qi, pk là các tọa độ suy rộng. Xi, Yk là các hàm thỏa mãn điều kiện biên của dầm hai

đầu bản lề, từ điều kiện biên (2.117) và (2.118) ta có:

44

(1)1

2

sini

iX x

l

; (2)

2

4

sini

iX x

l

(2.138)

(1) 1

2

2 1( ) sin

2k

xkY x

l

; (2) 2

4

2 1( ) sin

2k

xkY x

l

(2.139)

Ta có các đạo hàm:

1(1) (1)1

11

( ) ( )N

i ii

wX x q t

t

;

12(1) (1)1

1211

( ) ( )N

i ii

wX x q t

x

;

2(1) (1)1

11

( ) ( )N

k kk

uY x p t

t

;

2(1) (1)1

111

( ) ( )N

k kk

uY x p t

x

;

1 12 (1) (1) (1) (1)1

1 1

N N

i j i ji j

w X X q q

; 2 2

2 (1) (1) (1) (1)1

1 1

N N

k l k lk l

u Y Y p p

(tương tự với u2 và w2)

Thay các biểu thức từ (2.136) đến (2.139) cùng với các đạo hàm vào biểu thức

động năng (2.132). Chú ý đến đặt các tích phân:

2

(1) (1)1

0

l

i iC X dx ; 2

(1) (1)1 1

0

l

i iD x X dx ; 2

(1) (1) (1)1

0

l

ij i jm X X dx ; 4

(2) (2)2

0

l

i iC X dx 4

(2) (2)2 2

0

l

i iD x X dx

4

(2) (2) (2)2

0

l

ij i jm X X dx ; 2

(1) (1)1

0

l

k kH Y dx ;2

(1) (1)1 1

0

l

k kF xY dx ;2

(1) (1) (1)1

0

l

kl k lb Y Y dx ;2

(1) (1) (1)1

0

l

ik i kn X Y dx

4

(2) (2)2

0

l

k kH Y dx ;4

(2) (2)2 2

0

l

k kF x Y dx ; 4

(2) (2) (2)2

0

l

kl k lb Y Y dx ; 4

(2) (2) (2)2

0

l

ik i kn X Y dx

thay vào (2.132) ta được động năng của hệ:

2 2 1 1

1 2 3

2 2 2

22 2 2 2 (1) (1) (1) 2 (1) (1) (1)1 1 2 1 11 3 5 1 2

1 1 1 1

3(1) (1) (1) (1) (1) 2 (1) (1) (11 2 1

21 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2

22 3 2

N N N N

O O O kl k l ij i jk l i j

N N N

k k kl k l ij i jk k l

l lT I I I b p p m q q

lF p b p p m q q

1 1 2

2 1

1 1 2

) (1) (1)1 1 1 1 2

1 1 1

2(1) (1) (1) (1)2

1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 21 1

(1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 2 1 2 1 2 1

1 1 1

sin

cos cos2

sin

N N N

k ki j k

N N

k k i ik i

N N N

i i ik i ki i k

l H p

ll H p l C q

l C q n q p

1 1 2

3 34 4

4 4 4

(1) (1) (1) (1) (1)2

1 1 1

*2*2 (2) (2) (2) 2 (2) (2) (2)2 3 4 2 23 4

1 1 1 1

3(2) (2) (2) (2) (2)2 4

1 1 1

2 2 2

22 3

N N N

i i ik k ii i k

N NN N

kl k l ij i jk l i j

N N N

k k kl k lk k l

D q n p q

l lb p p m q q

lF p b p p

3 3 4

34

3

2 (2) (2) (2) * * * (2) (2)24 2 3 3 3 4

1 1 1

2* * * (2) (2) * * * (2) (2)4

2 3 3 4 3 4 2 3 3 3 41 1

* * * (2) (2)2 3 3 4 3 4

1

sin2

cos cos2

sin

N N N

ij i j k ki j k

NN

k k i ik i

N

i ii

m q q l H p

ll H p l C q

l C q

3 3 34 4

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 4 2 4

1 1 1 1 1

N N NN N

ik i k i i ik k ii k i i k

n q p D q n p q

(2.140)

45 Thay các biểu thức từ (2.136) và (2.139) cùng với các đạo hàm vào biểu thức thế

năng (2.135) ta có:

2 22 2 1 1

4 43 34 4

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 1 1

1 1 1 10 0

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 2 2 2 2 2

1 1 1 10 0

1 1

2 2

1 1

2 2

l lN N N N


l lN NN N


E A p p Y Y dx E I q q X X dx

E A p p Y Y dx E I q q X X dx

Đặt:

2

(1) (1) (1)1

0

l

ij i jk X X dx ; 2

(1) (1) (1)1

0

l

kl k lg Y Y dx ; 4

(2) (2) (2)2

0

l

ij i jk X X dx ; 4

(2) (2) (2)2

0

l

kl k lg Y Y dx

ta được:

2 2 1 1

3 34 4

(1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1

1 1 1 1

(2) (2) (2) (2) (2) (2)2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

2 2

1 1

2 2

N N N N

k l kl i j ijk l i j

N NN N

k l kl i j ijk l i j

E A p p g E I q q k

E A p p g E I q q k

(2.141)

Gọi ηj là các tọa độ suy rộng trong đó bao gồm tọa độ các khâu rắn φ1, φ2, φ3, φ4, φ5

và tọa độ dạng riêng của các khâu đàn hồi qi, pk:

1 3 2 4

(1) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (2)1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ...

T

N N N Nq q q q q q p p p p p p η

Phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ hôlônôm

4

1

kk j

kj j j j

fd T TQ

dt

, (2.142)

Trong đó j = 1, 2, …, N1 +N2 + N3 + N4 +5, λi là các nhân tử Lagrange, Qj là lực suy

rộng không có thế ứng với tọa độ suy rộng ηj.

Tính các đạo hàm lần lượt cho từng tọa độ suy rộng rồi thay vào (2.142) với chú

ý rằng ngoại lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có mômen phát động τ tác dụng lên

khâu dẫn và bỏ qua trọng lượng các khâu, do đó lực suy rộng chỉ có duy nhất Q1 = τ

ứng với tọa độ suy rộng φ1.


2 2

1

1 1

22 (1) (1) (1) (1)2

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 21 11

(1) (1) (1) (1)1 1 1 2 1 1 2 1 2

1 1

sin cos2

cos sin

N N

O k k k kk k

N N

i i i ii i

lTI l l l H p l H p

l C q l C q

2 2

1 1

2(1) (1) (1) (1)2

1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 21 11

(1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2

1 1

cos sin2

sin cos

N N

k k k kk k

N N

i i i ii i

lTl H p l H p

l C q l C q

46

2

1

1 2 1

22 (1) (1)1 1 2

1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 211

(1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2

1 1 12

1 1 22 1 2

cos cos2

sin sin cos

s2

N

O k kk

N N N

i i k k i ii k i

l ld TI l l l H p

dt

l C q l H p l C q

l l

2 2

2 1

1

(1) (1) (1) (1)1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

1 1

(1) (1) (1) (1)1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2

1 1

(1) (1)1 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1

in cos cos

sin sin

cos

N N

k k k kk k

N N

k k i ik iN

i ii

l H p l H p

l H p l C q

l C q l

1

(1) (1)1 2

1

sinN

i ii

C q

1

0

; 31 2 4

1 2 3 4 1 1 1 1 2 1

1 1 1 1

sin cosff f f

l l

;

1Q


cos cos

sin sin cos

sin cos

2

1

1 2 1

2 N2 (1) (1)1 1 2

O 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 k kk=1

N N N(1) (1) (1) (1) (1) (1)

1 1 2 1 2 i i 1 1 1 2 k k 1 1 1 2 i ii=1 k=1 i=1

221 1 22 1 2 1 1 2 1

μ l lI + μ l l φ + φ φ φ +μ l φ φ φ H p

2

+μ l φ φ φ C q μ l φ φ H p + μ l φ φ C q

μ l l+ φ φ φ +2μ l φ φ

2

1 1

sin

sin cos sin cos

2 2

1 1

N N(1) (1) 2 (1) (1)

2 k k 1 1 2 1 2 k kk=1 k=1

N N(1) (1) 2 (1) (1)

1 1 2 1 2 i i 1 1 2 1 2 i i 1 1 1 2i=1 i=1

φ H p +μ l φ φ φ H p

+2μ l φ φ φ C q μ l φ φ φ C q =l φ λ l φ λ +τ

(2.143)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ2, ta có:

2 2

1 1

2(1) (1) (1) (1)2

1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 21 12

(1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2

1 1

cos sin2

sin cos

N N

k k k kk k

N N

i i i ii i

lTl H p l H p

l C q l C q

2 1

1 1 1 1 2

2(1) (1) (1) (1)1 1 2

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 21 12

3(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1 2

2 1 2 1 11 1 1 1 1

cos cos sin2

3

N N

k k i ik i

N N N N N

ij i j i i ik k ii j i i k

l ld Tl H p l C q

dt

lm q q D q n p q

1 1 2 2 2

2 2 2

1)

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 2 1 2

1 1 1 1 1

2(1) (1) (1) (1) (1) 1 1 2

1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 21 1 1

2 2

2 sin cos2

N N N N N


N N N

k k kl k lk k l

m q q F p b p p

l lF p b p p l

2

2 1

1 1 2 1 2

(1) (1)

1

(1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2

1 1

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

sin cos

sin

N

k kk

N N

k k i ik i

N N N N N

i i ik i k ik i k iki i k i k

H p

l H p l C q

l C q n q p n q p n

1 2

(1) (1) (1)

1 1

N N

k ii k

p q

47

1 1 2 2 2

2 1

3 2(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 2 1 1 2

2 1 2 1 2 1 1 21 1 1 1 12

(1) (1) (1) (1) (11 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1

1 1

2 cos3 2

cos sin

N N N N N


N N

k k i i ikk i

l l lTm q q F p b p p

l H p l C q n

1 2

1 1 2

) (1) (1)

1 1

(1) (1) (1) (1) (1)1 1

1 1 1

N N

i ki k

N N N

i i ik k ii i k

q p

D q n p q

2

0

; 31 2 4

1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2

sin cosB B

ff f fl u l u

Từ (2.136) và (2.139) ta có:

2

(1)1 1 2

1

2 1( , ) sin

2

N

B kk

ku u l t p

(2.144)

20Q

Thay các đạo hàm vào (2.142), rút gọn ta được phương trình:

2 1

1 1 2 2 2

2(1) (1) (1) (1)1 1 2

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 21 1

3(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 2

2 1 2 1 2 11 1 1 1 1

cos cos sin2

23

N N

k k i ik i

N N N N N

ij i j k k kl k l ii j k k l

l ll H p l C q

lm q q F p b p p D

1

1 2 1 2 1 1

2 2 2

(1)

1

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

2(1) (1) (1) (1) (1) 21 1 2

1 2 1 1 2 1 11 1 1

2

2 sin2

N

ii

N N N N N N

ik k i ik i k ij i ji k i k i j

N N N

k k kl k lk k l

q

n p q n q p m q q

l lF p b p p l

2

1

2 (1) (1)1 1 2

1

2 (1) (1)1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

1

sin

cos sin cos

N

k kk

N

i i B Bi

H p

l C q l u l u

(2.145)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng *3 :

với chú ý *3 3 , suy ra * *

3 3 3 3, , thay vì viết cho φ3 ta viết cho *3 :

4 4

3 3

2* * * (2) (2) * * * (2) (2)4

2 3 3 3 4 2 3 3 4 3 4*1 13

* * * (2) (2) * * * (2) (2)2 3 3 3 4 2 3 3 4 3 4

1 1

cos sin2

sin cos

N N

k k k kk k

N N

i i i ii i

ll H p l H p

l C q l C q

4 4

2

3 3

2* *2 * * * (2) (2) * * (2) (2)43 2 3 4 3 2 3 3 4 2 3 4 3 4*

1 13

* * (2) (2) * * (2) (2)2 3 3 4 2 3 4 3 4

1 1

sin cos2

cos sin

N N

O k k k kk k

N N

i i i ii i

lTI l l l H p l H p

l C q l C q

48

4 4

2

4 4

*2 * * * * (2) (2) * * (2) (2)2 3 4 3 2 3 3 4 3 4 2 3 3 4*

1 13

2 2* * (2) (2) * * * (2) (2)4 4

2 3 4 3 4 2 3 4 3 4 3 41 1

cos sin

cos sin2 2

N N

O k k k kk k

N N

k k k kk k

d TI l l l H p l H p

dt

l ll H p l H p

3 34

3 3

* * (2) (2) * * (2) (2) * * * (2) (2)2 3 4 3 4 2 3 3 4 2 3 3 4 3 4

1 1 1

* * (2) (2) * * * (2) (2) *2 3 4 3 4 2 3 4 3 4 3 4 2 3 4

1 1

cos cos sin

sin cos

N NN

k k i i i ik i i

N N

i i i ii i

l H p l C q l C q

l C q l C q l

3

* (2) (2)3 4

1

sinN

i ii

C q

*3

0

; *

3

0Q

* * * * * *1 2 3 41 2 3 4 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3* * * *

3 3 3 3

sin cos sin cosf f f f

l l l l

Thay vào (2.142) ta được phương trình thứ 3:

34

2

34 4

2*2 * * * (2) (2) * * (2) (2)4

2 3 4 3 2 3 4 3 4 2 3 4 3 41 1

* * (2) (2) * * (2) (2) * * (2) (2)2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 4 3 4

1 1 1

cos sin2

sin cos 2 cos

NN

O k k i ik i

NN N

k k i i k kk i k

lI l l l H p l C q

l H p l C q l H p

34

3

2* 2 * (2) (2) * * (2) (2)4

2 3 4 3 4 2 3 4 3 41 1

* 2 * (2) (2) * * * * * *2 3 4 3 4 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3

1

sin 2 sin2

cos sin cos sin cos

NN

k k i ik i

N

i ii

ll H p l C q

l C q l l l l

(2.146)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng 4 :

3 3 4 4 4

34

3(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)4

2 4 2 41 1 1 1 14

2* * * (2) (2) * * * (2) (2)4

2 3 3 3 4 2 3 3 3 41 1

(2) (2)2

23

cos sin2

N N N N N


NN

k k i ik i

ik i

lTm q q F p b p p

ll H p l C q

n q p

3 3 34 4

(2) (2) (2) (2) (2) (2)2

1 1 1 1 1

N N NN N

k i i ik k ii k i i k

D q n p q

3 3 3 3 4 4 4

4 4

3(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)4

2 4 2 4 2 41 1 1 1 1 1 14

(2) (2) (2) (2) (2)2 4

1 1

2 23

2

N N N N N N N

ij i j ij i j k k kl k li j i j k k l

N N

k k kl k lk k l

ld Tm q q m q q F p b p p

dt

F p b p p

4 4

4 4

2* * * (2) (2)4

2 3 3 3 41 1

2* * * * (2) (2) * * * (2) (2)4

2 3 3 3 4 3 4 2 3 3 3 41 1

* * * (2) (2) * * *2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 3

cos2

sin cos2

sin cos

N N

k kk

N N

k k k kk k

i i

ll H p

ll H p l H p

l C q l

3 3 3

3 3 3 34 4 4

* (2) (2) * * * (2) (2)4 2 3 3 3 4

1 1 1

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (22 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

sinN N N

i i i ii i i

N N N NN N N

ik i k ik i k i i ik k i ik ki k i k i i k

C q l C q

n q p n q p D q n p q n p

3 4

) (2)

1 1

N N

ii k

q

49

4 4

3 3

2* * * (2) (2) * * * (2) (2)4

2 3 3 3 4 2 3 3 4 3 41 14

* * * (2) (2) * * * (2) (2)2 3 3 3 4 2 3 3 4 3 4

1 1

cos sin2

sin cos

N N

k k k kk k

N N

i i i ii i

lTl H p l H p

l C q l C q

4

0

; 31 2 4

1 2 3 4 4 2 3 4 4 2 4 4

4 4 4 4

sin cosD D

ff f fl u l u

trong đó: 4

(2)2 2 4

1

2 1( , ) sin

2

N

D kk

ku u l t p

(2.147)

40Q

Thay các đạo hàm vào phương trình (2.142), rút gọn ta được phương trình:

3 3 34

4 4 4

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2

1 1 1 1

3(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)4

2 21 1 1

cos sin

23

N N NN

k k i i ij i jk i i j

N N N

k k kl k l ik ik k l

ll H p l C q m q q

lF p b p p n q

3 3 34 4

3 3 4 4 4

(2) (2) (2) (2) (2) (2)2

1 1 1 1 1

2(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) * *2 4

2 4 2 4 2 3 31 1 1 1 1

2 2 sin2

N N NN N

k i i ik k ii k i i k

N N N N N


p D q n p q

lm q q F p b p p l

4

3

(2) (2)

1

* *2 (2) (2)2 3 3 4 2 3 4 4 2 4 4

1

cos sin cos

N

k kk

N

i i D Di

H p

l C q l u l u

(2.148)


3 5

5

O

TI

=>

3 5

5

O

d TI

dt

;

5

0T

;

5

0

31 2 41 2 3 4 1 5 5 2 5 5

5 5 5 5

sin cosff f f

l l

;

5Q 0

Thay vào (2.142), ta được phương trình thứ 5:

3 5 5 5 1 5 5 2sin cos 0OI l l (2.149)

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng (1)iq (i = 1, 2, ... N1):

1 2

(1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 1 2 1 2(1)

1 1

cosN N

ij j i i ik kj ki

Tm q l C D n p

q

1

2 2

(1) (1) (1) (1)1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2(1)

1

(1) (1) (1) (1) (1)1 2 1 2

1 1

cos sinN

ij j i iji

N N

i ik k ik kk k

d Tm q l C l C

dt q

D n p n p

1 2

2 (1) (1) (1) (1) (1)1 2 1 1 1 2 1 2 1 2(1)

1 1

sinN N

ij j i ik kj ki

Tm q l C n p

q

50

(1) (1)1 1(1)

1

N

ij jji

E I k qq

; 31 2 4

1 2 3 4(1) (1) (1) (1)0

i i i i

ff f f

q q q q

; (1) 0

iqQ


2 1

1 2

(1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 2 1

1 1

2 (1) (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1)1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1

1 1 1

cos

sin 2 0

N N

i i ik k ij jk j

N N N

ij j i ik k ij jj k j

l C D n p m q

m q l C n p E I k q

(2.150)

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng (1)kp (i = 1, 2, ... N2):

2 2

(1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 1 2 1 2(1)

1 1

sinN N

kl l k ik il kk

Tb p l H n q

p

2

2 2

(1) (1) (1) (1)1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2(1)

1

(1) (1) (1) (1)1 2 1 2

1 1

sin cosN

kl l k klk

N N

ik i ik ik k

d Tb p l H l H

dt p

n q n q

2 1

(1) (1) (1) 2 (1) (1) (1)1 2 1 1 1 2 1 2 1 2(1)

1 1

cosN N

k kl l k ik il ik

TF b p l H n q

p

2(1) (1)

1 1(1)1

N

kl llk

E A g pp

31 2 4 1 11 2 3 4 1 2 2 2(1) (1) (1) (1) (1) (1)

1 2 2 2 1 2 2 2

cos sin

2 1 2 1sin cos sin sin cos sin

2 2

B B

k k k k k k

k

ff f f u u

p p p p p p

k k

trong đó: 1 2 1, 1, 2,...2 1

sin1 2 , 1, 2,...2

k

khi k j jk

khi k j j

(1) 0kP

Q


2 2

2 2 2

(1) (1) (1) (1) (1) 2 (1)1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2

1 1

(1) (1) (1) (1) (1) 2 (1) (1)1 2 1 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1

sin cos

2 cos sin 0

N N

k ik i kl l kk l

N N N

ik i k kl l kl l kk l l

l H n q b p l H

n q F b p E A g p

(2.151)

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng (2)iq (i = 1, 2, ... N3):

3 4

(2) (2) * * * (2) (2) (2) (2)2 2 3 3 3 4 2 4(2)

1 1

cosN N

ij j i i ik kj ki

Tm q l C D n p

q

51

3

4 4

(2) (2) * * * (2) * * * * (1)2 2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 3 4(2)

1

(2) (2) (2) (2) (2)2 4 2 4

1 1

cos sinN

ij j i iji

N N

i ik k ik kk k

d Tm q l C l C

dt q

D n p n p

3 4

2 (2) (2) * * * (2) (2) (2)2 4 2 3 3 4 3 4 2 4(1)

1 1

sinN N

ij j i ik kj ki

Tm q l C n p

q

3(2) (2)

2 2(2)1

N

ij jji

E I k qq

; 31 2 4

1 2 3 4(2) (2) (2) (2)0

i i i i

ff f f

q q q q

( 2) 0iq

Q


34

3 34

* * * (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 4 2 4 2

1 1

* *2 * (2) (2) (2) 2 (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 4 2 4 2 4 2 2

1 1 1

cos

sin 2 0

NN

i i ik k ij jk j

N NN

i ik k ij j ij jk j j

l C D n p m q

l C n p m q E I k q

(2.152)

*) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng (2)kp (i = 1,2,...N4):

4 4

(2) (2) * * * (2) (2) (2)2 2 3 3 3 4 2 4(2)

1 1

sinN N

kl l k ik il kk

Tb p l H n q

p

4

4 4

(2) (2) * * * (2) * * * * (2)2 2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 3 4(2)

1

(2) (2) (2) (2)2 4 2 4

1 1

sin cosN

kl l k klk

N N

ik i ik ik k

d Tb p l H l H

dt p

n q n q

4 1

(2) (2) (2) 2 * * * (2) (2) (2)2 4 2 3 3 4 3 4 2 4(2)

1 1

cosN N

k kl l k ik il ik

TF b p l H n q

p

4(2) (2)

1 1(2)1

N

kl llk

E A g pp

31 2 4 2 21 2 3 4 1 4 2 4(2) (2) (2) (2) (2) (2)

1 4 2 4 1 4 2 4

cos sin

2 1 2 1sin cos sin sin cos sin

2 2

D D

k k k k k k

k

ff f f u u

p p p p p p

k k

trong đó 1 2 1, 1, 2,...2 1

sin1 2 , 1, 2,...2

k

khi k j jk

khi k j j

( 2) 0kP

Q


52

4 4

4 4 4

* * * (2) (2) (2) (2) (2) * *2 * (2)2 3 3 3 4 2 4 2 2 3 3 3 4

1 1

(2) (2) 2 (2) (2) (2) (2) (2)2 4 2 4 1 1 1 4 2 4

1 1 1

sin cos

2 cos sin

N N

k ik i kl l kk l

N N N

ik i k kl l kl l kk l l

l H n q b p l H

n q F b p E A g p

(2.153)

Tính các tích phân ta được:

+) 2 2

(1) (1)1 1

20 0

= sinl l

i i

i xC X dx dx

l

,

4 4

(2) (2) 22 2

40 0

= sinl l

i i

i xC X dx dx

l

:

(1) 21

2lC

; (1)

2 0C ; (1) 23

2

3

lC

; (2) 4

1

2lC

; (2)

2 0C ; (2) 43

2

3

lC

+) 2 2

(1) (1) 11 1 1 1

20

l l

i i

0

iπxD x X dx x sin dx

l

,

4 4

(2) (2) 22 1 2 2

40

l l

i i

0

iπxD x X dx x sin dx

l

:

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 22 2 2 4 4 4

1 2 3 1 2 32 3 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l l l l l lD ; D ; D ; D ; D ; D

+)2 2

(1) (1) (1) 1 11 1

2 20 0

sin sinl l

ij i j

i x j xm X X dx dx

l l

,

4 4

(2) (2) (2) 2 22 2

4 40 0

sin sinl l

ij i j

i x j xm X X dx dx

l l

:

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)211 22 33 12 21 23 32 13 31; 0

2

lm m m m m m m m m

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)411 22 33 12 21 23 32 13 31; 0

2

lm m m m m m m m m

+) 2 2

2 2

(1) 1 11 1

2 2 2 2

sin sinl l

ij i j

0 0

iπx jπxiπ jπk = X X dx = dx

l l l l

,

4 4

2 2

(2) 2 22 2

4 4 4 4

sin sinl l

ij i j

0 0

iπx jπxiπ jπk = X X dx = dx

l l l l

:

4 4 4(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)

11 22 33 12 21 23 32 13 313 3 32 2 2

8 81; ; ; 0


l l l

4 4 4(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

11 22 33 12 21 23 32 13 313 3 34 4 4

8 81; ; ; 0


l l l

+)2 2

(1) 1 11 1

2 20 0

2 1sin sin

2

l l

ik i k

i x xkn X Y dx dx

l l

,

4 4

(2) 2 21 2

4 40 0

2 1sin sin

2

l l

ik i k

i x xkn X Y dx dx

l l

:

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)2 2 2 2 2 2 211 12 13 21 22 23 31

(1) (1) (2) (2) (2) (2)2 2 4 4 4 432 33 11 12 13 21

4 4 4 8 8 8 12; ; ; ; ; ;

3 5 21 15 7 9 35

4 12 4 4 4 8; ; ; ; ;

9 11 3 5 21 15

l l l l l l ln n n n n n n

l l l l l ln n n n n n

(2) (2) (2) (2) (2)4 4 4 4 422 23 31 32 33

8 8 12 4 12; ; ; ;

7 9 35 9 11

l l l l ln n n n n

53

+) 2 2 4 4

(1) (2)1 21 1 2 2

2 4

2 1 2 1sin , sin

2 2

l l l l

k k k k

0 0 0 0

πx πxk - k -H = Y dx = dx H = Y dx = dx

l l

:

(1) 21

2lH

; (1) 2

2

2

3

lH

; (1) 2

3

2

5

lH

; (2) 4

1

2lH

; (2) 4

2

2

3

lH

; (2) 4

3

2

5

lH

+) 2 2 4 4

(1) (2)1 21 1 1 1 2 2 2 2

2 4

2 1 2 1sin , sin

2 2

l l l l

k k k k

0 0 0 0

πx πxk - k -F = x Y dx = x dx F = x Y dx = x dx

l l

:

2

(1) 21 2

4lF

;

2(1) 2

2 2

4

9

lF

;

2(1) 2

3 2

4

25

lF

;

2(2) 4

1 2

4lF

;

2(2) 4

2 2

4

9

lF

;

2(2) 4

3 2

4

25

lF

+) 2 2

(1) (1) (1) 1 11 1

2 20 0

2 1 2 1sin sin ,

2 2

l l

kl k l

x xk lb Y Y dx dx

l l

4 4

(2) (2) (2) 2 21 2

4 40 0

2 1 2 1sin sin :

2 2

l l

kl k l

x xk lb Y Y dx dx

l l

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)211 22 33 12 21 23 32 13 31; 0

2

lb b b b b b b b b

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)4

11 22 33 12 21 23 32 13 31; 02

lb b b b b b b b b

+) 2 2

(1) 1 11 1

2 2 2 20 0

2 1 2 1 2 1 2 1cos cos

2 2 2 2

l l

kl k l

k l x xk lg Y Y dx dx

l l l l

,

4 4

(2) 2 22 2

4 4 4 40 0

2 1 2 1 2 1 2 1cos cos

2 2 2 2

l l

kl k l

k l x xk lg Y Y dx dx

l l l l

:

2 2 2(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)11 22 33 12 21 23 32 13 31

2 2 2

9 25; ; ; 0


l l l

2 2 2(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)11 22 33 12 21 23 32 13 31

4 4 4

9 25; ; ; 0


l l l

Ta có hệ N1 + N2 +N3 + N4 +5 phương trình chuyển động (2.143), (2.145),

(2.146), từ (2.148) đến (2.153) đây là các phương trình vi phân phi tuyến. Cùng với

bốn phương trình liên kết từ (2.119) đến (2.122) ta có N1 + N2 +N3 + N4 + 9 phương

trình với N1 + N2 +N3 + N4 + 9 ẩn số là

1 3 2 4

* (1) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (2)1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ...

T

N N N Nφ q q q q q q p p p p p p η và

λ1, λ2, λ3, λ4. Đây là hệ phương trình tổng quát, các trường hợp riêng của hệ phương

trình vi phân chuyển động sẽ được suy ra từ hệ phương trình tổng quát như sau:

2.4.3.1. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh)

Trong trường hợp các thanh truyền chỉ chịu uốn, bỏ qua ảnh hưởng của kéo nén

dọc trục, tức là các pi = 0, 0,ip 0,ip thay vào các phương trình (2.143), (2.145),

54 (2.146), từ (2.148) đến (2.150) và (2.152), bỏ đi các phương trình của chuyển vị dọc

là (2.151) và (2.153) ta được hệ phương trình viết cho cơ cấu chỉ chịu uốn:

1

1

1 1

1

22 (1) (1)1 1 2

1 1 2 1 1 11

2(1) (1) (1) (1)1 1 2

1 1 11 1

(1) (1)1 1 1 1

1

cos sin2

cos sin 2 sin2

cos sin

N

O i ii

N N

i i i ii i

N

i ii

l lI l l φ l C q

l ll C q l C q

l C q l l

1 2cos

(2.154)

1 1 1

1 1 1

2 3(1) (1) (1) (1) (1)1 1 2 1 2

1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 21 1 1

2(1) (1) (1) (1) (1) 21 1 2

1 1 2 1 1 21 1 1

2 (1)1 1 1 1 2

cos sin2 3

2 sin2

cos

N N N

i i ij i ji i j

N N N

i i ij i ji i j

i

l l ll C q m q q

l lD q m q q

l C q

1

(1)2 2 1 2 2 2

1

sin cosN

ii

l l

(2.155)

3

2

3 3

* 2*2 * * * * (2) (2)2 3 4

2 3 4 3 4 3 4 2 3 4 3 41

* 2* * (2) (2) 2 * * * (2) (2)2 3 4

2 3 3 4 4 3 4 2 3 4 3 41 1

* 2 * (2) (2)2 3 4 3 4

1

cos sin2

cos sin 2 sin2

cos

N

O i ii

N N

i i i ii i

N

i ii

l lI l l l C q

l ll C q l C q

l C q

3

* * * * * *3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3sin cos sin cosl l l l

(2.156)

3 3 3

3 3 3

(2) (2) (2) (2) (2)2

1 1 1

* 23(2) (2) (2) (2) (2) *22 3 42 4

2 2 4 31 1 1

* *22 3 3

cos sin

2 sin3 2

cos

N N N

i i ij i ji i j

N N N

i i ij i ji i j

l ll C q m q q

l llD q m q q

l

3

(2) (2)4 3 4 4 4 4

1

sin cosN

i ii

C q l l

(2.157)

3 5 5 5 1 5 5 2sin cos 0OI l l (2.158)

1 1(1) (1) (1) (1) 2 (1) (1)

1 1 1 1 2 1 2 1 1 21 1

2 (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 1

1

cos

sin 0

N N

i i ij j ij jj j

N

i ij jj

l C D m q m q

l C E I k q

(2.159)

3

3 3

(2) (2) (2) (2) * *2 (2)2 2 4 2 2 3 3

1

2 (2) (2) (2) (2)2 4 2 2

1 1

cos sin

0

N

i i ij j ij

N N

ij j ij jj j

l C D m q l C

m q E I k q

(2.160)

55 Phương trình liên kết:

f1 = l1cosφ1 + l2cosφ2 – l3cosφ3 – l0cosθ1 = 0 (2.161)

f2 = l1sinφ1 + l2sinφ2 – l3sinφ3 – l0sinθ1 = 0 (2.162)

f3 = *3l cos(φ3 – β) + l4cosφ4 – l5cosφ5 –

*0l cosθ2 = 0 (2.163)

f4 = *3l sin(φ3 – β) + l4sinφ4 – l5sinφ5 – *

0l sinθ2 = 0 (2.164)

2.4.3.2. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn)

Trong trường hợp thanh truyền chị chịu kéo nén dọc, bỏ qua ảnh hưởng của

uốn, tức các qi = 0, 0,iq 0iq , thay vào các phương trình (2.143), (2.145),

(2.146), từ (2.148), (2.149), (2.151) và (2.153), bỏ đi các phương trình của chuyển vị

uốn là (2.150) và (2.152) ta được hệ phương trình viết cho cơ cấu với các thanh

truyền chỉ chịu biến dạng dọc trục:

2

1

2 2

2

22 (1) (1)1 1 2

1 1 2 2 1 11

2(1) (1) (1) (1)1 1 2

1 1 1 11 1

(1) (1)1 1 1 1 1

1

cos cos2

sin sin 2 cos2

sin sin

N

O k kk

N N

k k k kk k

N

k kk

l lI l l l H p

l ll H p l H p

l H p l l

1 1 2cos

(2.165)

2

2 2 2 2 2 2

2 3(1) (1)1 1 2 1 2

1 1 2 1 1 1 1 2 21

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

221 1 21

cos cos2 3

2 2

sin2

N

k kk

N N N N N N

k k kl k l k k kl k lk k l k k l

l l ll H p

F p b p p F p b p p

l l

2

2 (1) (1)1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

1

sin sin cosN

k k B Bk

l H p l u l u

(2.166)

4 4

2

4 4

2*2 * * * (2) (2) * * (2) (2)4

2 3 4 3 2 3 4 3 4 2 3 3 41 1

2* * (2) (2) * 2 * (2) (2)4

2 3 4 3 4 2 3 4 3 41 1

*3 1 3 3 2

cos sin2

2 cos sin2

sin cos

N N

O k k k kk k

N N

k k k kk k

lI l l l H p l H p

ll H p l H p

l l

* * * * *3 3 3 3 3 4 3sin cosl l

(2.167)

4 4 4 4

4 4 4

3(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)4

21 1 1 1

2(2) (2) (2) (2) (2) * *2 (2)4

2 4 2 3 31 1 1

cos 23

2 sin2

N N N N

k k k k kl k lk k k l

N N N

k k kl k l kk k l

l ll H p F p b p p

lF p b p p l H

4(2)

1

4 2 3 4 4 2 4 4sin cos

N

kk

D D

p

l u l u

(2.168)

56

3 5 5 5 1 5 5 2sin cos 0OI l l (2.169)

2

2 2

(1) (1) (1) 2 (1)1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2

1

(1) (1) (1) 2 (1) (1)1 2 1 1 1 2 2 2

1 1

sin cos

cos sin 0

N

k kl l kl

N N

k kl l kl l kl l

l H b p l H

F b p E A g p

(2.170)

4

4 4

(2) (2) (2) * *2 (2)2 2 2 3 3

1

(2) (2) (2) 2 (2) (2)2 4 2 2 1 4 2 4

1 1

sin cos

cos sin 0

N

k kl l kl

N N

k kl l kl l kl l

l H b p l H

F b p E A g p

(2.171)


f1 = l1cosφ1 + (l2 + u1B)cosφ2 – l3cosφ3 – l0cosθ1 = 0 (2.172)

f2 = l1sinφ1 + (l2 + u1B)sinφ2 – l3sinφ3 – l0sinθ1 = 0 (2.173)

f3 = *3l cos(φ3 – β) + (l4+u2D)cosφ4 – l5cosφ5 – *

0l cosθ2 = 0 (2.174)

f4 = *3l sin(φ3 – β) + (l4+u2D)sinφ4 – l5sinφ5 – *

0l sinθ2 = 0 (2.175)

2.4.4. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền đàn hồi

được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn


thanh truyền đàn hồi AB và CD bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Tương tự như cơ

cấu bốn khâu, ở đây mỗi thanh đàn hồi sử dụng một phần tử. Với điều kiện biên dầm

2 đầu bản lề, ta có biểu thức xác định chuyển vị uốn và dọc trục tương tự như công

thức (2.77) và (2.78) là:

+ Chuyển vị uốn và chuyển vị dọc của thanh truyền AB trong hệ tọa độ tương

đối gắn với thanh: (1) (1) (1) (1)

1 1 3 1 3 6 1 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( )w x t X x q t X x q t (2.176)

(1) (1)1 1 4 1 4( , ) ( ) ( )u x t X x q t (2.177)

+ Chuyển vị uốn và chuyển vị dọc của thanh truyền CD trong hệ tọa độ tương

đối gắn với thanh: (2) (2) (2) (2)

2 2 3 2 3 6 2 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( )w x t X x q t X x q t (2.178)

(2) (2)2 2 4 2 4( , ) ( ) ( )u x t X x q t (2.179)

Trong đó X3, X4, X6 xác định như công thức (2.8) và (2.12), chỉ số bên trên là (1)

tương ứng với khâu nối AB, là (2) tương ứng với khâu nối CD.

Từ (2.177) và (2.179) ta có: (1) (1) (1)

1 1 2 4 2 4 4( , ) ( ) ( )Bu u l t X l q t q (2.180)

(2) (2) (2)2 2 4 4 4 4 4( , ) ( ) ( )Du u l t X l q t q (2.181)

57 Thay vào các phương trình liên kết từ (2.119) đến (2.122) ta được:

f1 = l1cosφ1 + (l2 +(1)4q )cosφ2 – l3cosφ3 – l0cosθ1 = 0 (2.182)

f2 = l1sinφ1 + (l2 + (1)4q )sinφ2 – l3sinφ3 – l0sinθ1 = 0 (2.183)

f3 = *3l cos(φ3 – β) + (l4+

(2)4q )cosφ4 – l5cosφ5 – *

0l cosθ2 = 0 (2.184)

f4 = *3l sin(φ3 – β) + (l4+

(2)4q )sinφ4 – l5sinφ5 – *

0l sinθ2 = 0 (2.185)

Thay các biểu thức từ (2.176) đến (2.179) vào biểu thức động năng (2.132), rút gọn ta

được:

1 2 3

2 2 21 3 5

2 3 2 212 (1) 2 (1) (1)2 (1) (1) (1) (1) (1)2 (1) (1) (1) (1)21 1 2 1 1 2 2 1 2

1 44 4 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4

(1) (1)2 (1) (1) (1) (1) (1)2133 3 36 3 6 66 6

1 1 1

2 2 2

2 22 2 6 2

22

O O OT I I I

l l lm q m q m q q m q D q m q

m q m q q m q

2(1) (1) (1) (1)2

1 1 1 1 2 4 4 1 1 1 2 1 2 4 4

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 3 3 6 6 1 1 1 2 1 2 3 3 6 6

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1 2 43 3 4 46 6 4 1 2 3 3

sin cos2

cos sin

ll C q l C q

l C q C q l C q C q

m q q m q q D q

1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)6 6 43 3 4 46 6 4

*2 3 2 2* (2) (2)2 (2) (2)2 (2) (2) (2) (2) (2)2 (2) (2) (2) (2)22 3 4 2 2 4 4 2 43 44 4 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4

(2) (2)2 (2) (2)233 3 36 3

2 22 2 6 2

22

D q m q q m q q

l l lm q m q m q q m q D q m q

m q m q

2(2) (2) (2)2 * * (2) (2) * * (2) (2)26 66 6 2 3 3 4 4 2 3 3 4 4 4

* * (2) (2) (2) (2) * * (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 3 6 6 2 3 3 4 3 3 6 6

(2) (2) (2)2 4 43 3 4

sin cos2

cos sin

lq m q l C q l C q

l C q C q l C q C q

m q q

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)46 6 4 2 4 3 3 6 6 43 3 4 46 6 4m q q D q D q m q q m q q

(2.186)

Trong đó:

2

(1) (1)1

0

l

i iC X dx 2

(1) (1)1 1

0

l

i iD x X dx 2

(1) (1) (1)1

0

l

ij i jm X X dx

4

(2) (2)2

0

l

i iC X dx 4

(2) (2)2 2

0

l

i iD x X dx 4

(2) (2) (2)2

0

l

ij i jm X X dx

Thay các biểu thức từ (2.176) đến (2.179) vào biểu thức thế năng (2.135) ta được:

(1) (1)2 (1) (1)2 (1) (1) (1) (1) (1)24 4 33 3 36 3 6 66 6

(2) (2)2 (2) (2)2 (2) (2) (2) (2) (2)24 4 33 3 36 3 6 66 6

1 1 1

2 2 21 1 1

2 2 2

H q k q k q q k q

H q k q k q q k q

(2.187)

Trong đó 2

(1) (1)24 1 1 4 1

0

l

H E A X dx ; 2

(1) (1) (1)1 1 1

0

l

ij i jk E I X X dx

4

(2) (2)24 2 2 4 2

0

l

H E A X dx ; 4

(2) (2) (2)2 2 2

0

l

ij i jk E I X X dx

58

Gọi ηj là các tọa độ suy rộng trong đó bao gồm tọa độ các khâu rắn φ1, φ2, φ3,

φ4, φ5 và tọa độ dạng riêng của các khâu đàn hồi (1) (2)i jq , q :

(1) (1) (1) (2) (2) (2)1 2 3 4 5 3 4 6 3 4 6

Tq q q q q q η

Tính các đạo hàm lần lượt cho từng tọa độ suy rộng rồi thay vào phương trình

Lagrange dạng nhân tử (2.142) với chú ý rằng ngoại lực hoạt động tác dụng vào hệ

chỉ có momen τ tác dụng lên khâu dẫn, do đó lực suy rộng chỉ có duy nhất Q1 = τ

ứng với tọa độ suy rộng φ1. Ta thu được:


1

22 (1) (1) (1) (1) (1) (1)2

1 1 2 1 1 1 2 1 2 4 4 1 2 3 3 6 6

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 2 3 3 6 6 1 1 1 2 4 4 1 1 2 1 2 4 4

22 2

1 1 2 1 2

cos sin2

cos sin 2 cos

sin

O

lI l l l C q C q C q

l C q C q l C q l C q

ll

(1) (1) (1) (1) (1) (1)4 4 1 1 1 1 2 3 3 6 6

2 (1) (1) (1) (1)1 1 2 1 2 3 3 6 6 1 1 1 1 2 1

2 sin2

cos sin cos

C q l C q C q

l C q C q l l

(2.188)


2(1) (1) (1) (1) (1) (1)2

1 1 1 1 2 4 4 1 2 3 3 6 6

3(1) (1)2 (1) (1) (1) (1) (1)2 (1) (1) (1) (1)22

1 2 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4

(1) (1) (1) (1) (1) (11 3 43 4 3 1 6 46

cos sin2

2 23

ll C q C q C q

lm q m q q m q D q m q

D m q q D m

) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)4 6 1 43 3 46 6 4

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 2 33 3 3 36 3 6 36 3 6 66 6 6 4 4 44 4 4

22 (1) (1)2

1 1 1 1 2 4 4 1 1 1

2

sin2

q q m q m q q

m q q m q q m q q m q q D q m q q

ll C q l

2 (1) (1) (1) (1)1 2 3 3 6 6

(1) (1)2 4 2 1 2 4 2 2

cos

sin cos

C q C q

l q l q

(2.189)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng *3 : với chú ý *

3 3 , * *3 3 3 3, ,

thay vì viết cho φ3 ta viết cho *3 :

2

2*2 * * * (2) (2) * (2) (2) (2) (2)4

2 3 4 3 2 3 4 3 4 4 4 3 4 3 3 6 6

* * (2) (2) (2) (2) * * (2) (2) * * (2) (2)2 3 3 4 3 3 6 6 2 3 3 4 4 4 2 3 4 3 4 4 4

*2 3 4

cos sin2

cos sin 2 cos

O

lI l l l C q C q C q

l C q C q l C q l C q

l

22 * (2) (2) * * (2) (2) (2) (2)4

3 4 4 4 2 3 4 3 4 3 3 6 6

* 2 * (2) (2) (2) (2) * * * * * *2 3 4 3 4 3 3 6 6 3 1 3 3 2 3 3 3 3 4 3

sin 2 sin2

cos sin cos sin cos

lC q l C q C q

l C q C q l l l l

(2.190)

59

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng 4 :

2* * * (2) (2) (2) (2) * (2) (2)4

2 3 3 3 4 3 3 6 6 3 4 4 4

3(2) (2)2 (2) (2) (2) (2) (2)2 (2) (2) (2) (2)24

2 4 33 3 36 3 6 66 6 4 4 44 4

(2) (2) (2) (2) (2)2 3 3 43 4 2 4

sin cos2

2 23

ll C q C q C q

lm q m q q m q D q m q

q D m q q

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)43 3 46 6 2 6 6 46 4

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 4 33 3 3 36 3 6 36 3 6 66 6 6 4 4 44 4 4

2* *2 * (2) (2)4

2 3 3 3 4 4 4

2

sin2

m q m q q D m q

m q q m q q m q q m q q D q m q q

ll C q

* *2 * (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 4 3 3 6 6

(2) (2)4 4 3 4 4 4 4 4

cos

sin cos

l C q C q

l q l q

(2.191)


3 5 5 5 3 5 5 4sin cos 0OI l l (2.192)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng (1)3q :

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 3 1 2 3 43 4 1 33 3 1 36 6

2 (1) (1) (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 3 1 43 2 4 1 2 33 3 36 6 33 3 36 6

cos

sin 2 0

l C D m q m q m q


(2.193)

*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng (1)4q

1(1) (1) (1) (1) (1) (1) 2 (1)1 1 1 1 2 4 1 2 43 3 46 6 1 44 4 1 1 1 1 2 4

(1) (1) (1) (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1)1 2 43 3 46 6 1 2 4 44 4 4 4 1 2 2 2

sin cos

2 cos sin

l C m q m q m q l C

m q m q D m q H q

(2.194)


(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 6 1 36 3 66 6 1 2 6 46 4

2 (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 6 1 2 36 3 66 6 1 46 2 4 36 3 66 6

cos

sin 2 0

l C m q m q D m q


(2.195)


* * * (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 4 3 2 4 3 43 4 2 33 3 2 36 6

* *2 * (2) (2) (2) 2 (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 4 3 2 43 4 4 2 4 33 3 36 6 33 3 36 6

cos

sin 2 0

l C D m q m q m q


(2.196)


* * * (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) * *2 * (2)2 3 3 3 4 4 2 4 43 3 46 6 2 44 4 2 3 3 3 4 4

(2) (2) (2) (2) 2 (2) (2) (2) (2) (2)2 4 43 3 46 6 2 4 4 44 4 4 4 3 4 4 4

sin cos

2 cos sin

l C m q m q m q l C

m q m q D m q H q

(2.197)

60


* * * (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 4 6 2 4 6 46 4 2 36 3 66 6

* *2 * (2) (2) (2) 2 (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)2 3 3 3 4 6 2 46 4 2 4 36 3 66 6 36 3 66 6

cos

sin 2 0

l C D m q m q m q


(2.198) Ta có hệ 11 phương trình chuyển động (2.188) đến (2.198), đây là các phương

trình vi phân phi tuyến. Cùng với bốn phương trình liên kết (2.182) đến (2.185) ta có

15 phương trình với 15 ẩn số.

Tính các hệ số. Với các hàm dạng và đạo hàm của nó: 2 3 2 3

3 62 2( ) - 2 ; ( ) -

x x x xX x x X x

l l l l ; 1 41 ;

x xX X

l l

4

1X

l ; 3 2

4 6( )

xX x

l l ; 6 2

2 6( )

xX x

l l

Thay vào các tích phân:

+ 2

(1) (1)

0

l

i iC X dx :12

22)1(

3

lC ; (1) 2

42

lC ;

2(1) 26

12

lC ;

2(2) 43

12

lC ; (2) 4

42

lC ;

2(2) 46

12

lC

+ 2

0

l

i iD xX dx :3

(1) 23

30

lD ;

2(1) 24

3

lD ;

3(1) 26

20

lD ;

3(2) 43

30

lD ;

2(2) 44

3

lD ;

3(2) 46

20

lD

+ 2

0

l

ij i jm X X dx . Tính các tích phân ta có:

3

(1) 233

105

lm ; (1) 2

443

lm ;

3(1) 266

105

lm ;

2(1) 243

30

lm ;

2(1) 246

20

lm ;

3(1) 236

140

lm

3(2) 433

105

lm ; (2) 4

443

lm ;

3(2) 466

105

lm ;

2(2) 443

30

lm ;

2(2) 446

20

lm ;

3(2) 436

140

lm

+ 2

0

l

ij i jk EI X X dx . Tính các tích phân ta có:

(1) 1 133

2

4E Ik

l ; (1) 1 1

36

2

2E Ik

l ; (1) 1 1

66

2

4E Ik

l ; (2) 2 2

33

4

4E Ik

l ; (2) 2 2

36

4

2E Ik

l ; (2) 2 2

66

4

4E Ik

l

+ 2

(1) 2 1 14 1 1 4

20

lE A

H E A X dxl

; 4

(2) 2 2 24 2 2 4

40

lE A

H E A X dxl

Thay các hệ số vào các phương trình từ (2.188) đến (2.198) ta sẽ được các

phương trình tường minh.

61

Kết luận chương 2

Trong chương 2, luận án đã thiết lập các phương trình chuyển động của một số

cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi, các kết quả chính của chương này là:

1) Thiết lập dạng tường minh phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn

khâu có khâu nối đàn hồi và của cơ cấu sáu khâu có hai khâu nối đàn hồi. Các khâu

đàn hồi xem là các thanh đồng chất, thiết diện không đổi, chịu uốn và kéo nén. Quy

trình thành lập phương trình chuyển động có thể thực hiện bằng phần mềm MAPLE.

2) Việc rời rạc hóa khâu đàn hồi để xác định vị trí của nó được thực hiện bằng

phương pháp Ritz – Galerkin và phương pháp phần tử hữu hạn. Trong phương pháp

phần tử hữu hạn, đối với thanh đàn hồi đồng chất, thiết diện không đổi có thể xem

mỗi thanh là 1 phần tử, đối với thanh thiết thay đổi hoặc không đồng chất phải xem

mỗi thanh gồm nhiều phần tử. Đối với thanh đồng chất, thiết diện không đổi có thể sử

dụng 3 dạng riêng đầu khi áp dụng phương pháp Ritz – Galerkin.

3) Phương pháp thiết lập phương trình chuyển động trình bày trong chương này

có thể dùng để thiết lập phương trình chuyển động cho các cơ cấu có khâu đàn hồi

khác như cơ cấu máy bào, cơ cấu 8 khâu, v.v…1

62

CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC THUẬN CƠ CẤU PHẲNG CÓ

KHÂU ĐÀN HỒI

Trong Chương 2, ta đã thiết lập được hệ phương trình vi phân – đại số xác định

chuyển động của cơ cấu đàn hồi. Trong đó các tọa độ suy rộng gồm các tọa xác định

chuyển động lớn của các khâu và các thành phần biến dạng của các khâu đàn hồi trong

cơ cấu. Khi cho mômen dẫn động tác dụng vào các khâu dẫn, giải các phương trình vi

phân chuyển động của cơ cấu đàn hồi sẽ xác định được chuyển động thực của nó bao

gồm cả các biến dạng của các khâu đàn hồi. Bài toán cho biết lực dẫn động tìm các

chuyển động của cơ cấu được gọi là bài toán động lực học thuận [5]. Vẫn với mômen

dẫn động đó tác dụng vào khâu dẫn của cơ cấu rắn, giải các phương trình vi phân

chuyển động của cơ cấu rắn ta xác định được chuyển động của cơ cấu khi xem các

khâu là vật rắn. Trong luận án này ta gọi chuyển động này của cơ cấu là chuyển động

cơ bản của nó. So sánh chuyển động thực của cơ cấu đàn hồi với chuyển động cơ bản

của cơ cấu rắn ta đánh giá được ảnh hưởng của biến dạng đến chuyển động của cơ cấu.

3.1. Bài toán động lực học thuận của hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc mạch vòng

a) Phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động hệ nhiều vật cấu trúc mạch vòng

Xét hệ nhiều vật hôlônôm f bậc tự do có cấu trúc mạch vòng. Vị trí của hệ được

xác định bởi n tọa độ suy rộng dư

Tnsss ...21s . (3.1)

Trong các tọa độ suy rộng có r tọa độ suy rộng phụ thuộc

1 2 ...T

rz z zz (3.2)

và có f tọa độ suy rộng độc lập.

Đối với cơ cấu đàn hồi các tọa độ độc lập này gồm các tọa độ của các khâu dẫn

động và các tọa độ đàn hồi

a

e

qq

q

(3.3)

với 1 2 ...a a a

T

a nq q q q là các tọa độ các khâu dẫn động (các tọa độ khớp chủ

động), 1 2 ...e e e

T

e nq q q q là các tọa độ suy rộng ứng với biến dạng đàn hồi. Như

vậy đối với các cơ cấu có khâu đàn hồi, các tọa độ dư (3.1) có thể phân chia thành 3

loại:

a

e

qq

s qz

z

(3.4)

63

Như thế ta có hệ thức ,a ef n n n f r .

Để đơn giản, ta xét hệ nhiều vật hôlônôm chịu liên kết giữ và dừng. Sử dụng

phương trình Lagrange dạng nhân tử, các phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển

động của hệ có dạng [5]:

λsΦτsgsssCssM )()()(),()( Tst (3.5)

0sf )( (3.6)

Trong đó ( )M s là ma trận khối lượng suy rộng của hệ, ( )tτ là vectơ lực suy rộng ứng

với các lực hoạt động không thế, λT

1 2 r= λ , λ ,..., λ là véctơ các nhân tử Lagrange,

1 2 0T

rf , f ,..., f f là các điều kiện ràng buộc, s

Φ là ma trận Jacobi của f cỡ r × n ,

( , )C s s là ma trận quán tính ly tâm và Coriolis, ( )g s là véc tơ lực suy rộng ứng với các

lực hoạt động là lực thế. Thứ nguyên của các đại lượng này là:

, ( ) , ( , ) , ( ) , ( ) , , ( ) ,n n n n n n n r T r n r

st s M s C s s g s τ f Φ s λ

Khi đó véc tơ lực suy rộng ứng với các lực hoạt động không có thế có dạng:

( )( )

( ) ( ) , ( )( )

( )

TTa

ae q

ez

tt

t t tt

t

ττ

τ τ ττ

τ

(3.7)

1 2 1 2 1 2... , ... , ...a a a e e e z z z

T T T

a n e n z r τ τ τ

Trong đó:

aτ là véc tơ các ngẫu lực (hoặc lực) dẫn động tại các khớp chủ động

zτ là véc tơ các ngẫu lực (hoặc lực) tại các khớp bị động (khâu bị dẫn)

eτ là véc tơ các ngoại lực tác dụng lên các tọa độ biến dạng đàn hồi.

Khi ,e z τ 0 τ 0 . Ta có:

aτ

τ 0

0

, aq

ττ

0

(3.8)

Để biến đổi các phương trình (3.5) và (3.6) một cách thuận tiện, ta đưa vào kí hiệu:

11 1( , , ) ( ) ( , , ) ( ), ( , , ) nxt t t tp s s τ C s s s g s p s s (3.9)

Phương trình (3.5) bây giờ có dạng:

1= ( , , )Ts tM s s Φ s λ p s s (3.10)

Đạo hàm hai lần phương trình liên kết (3.6) ta thu được các phương trình

( ) ( )s

ff s s Φ s s 0

s (3.11)

0ssΦssΦsf )()()( ss (3.12)

64

Trong đó: rxnsΦ

1 1 1 1 1 11 1 1

1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2

... | ......

|

... ... | ...

f rn

s

r r r r r r r r r

n f r

f f f f f ff f f

q q q z z zs s s

f f f f f f f f f

s s s q q q z z z

Φ (3.13)

Từ (3.12) suy ra:

2( ) ( , )s ss s s p s s (3.14)

Các phương trình (3.10) và (3.14) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:

1

2

Ts

s

=

psM ΦpλΦ 0

(3.15)

Khi sử dụng các phương pháp số để giải hệ phương trình vi phân – đại số, sau

mỗi bước tích phân, do sai số tính toán mà các giá trị ,k ks s không còn thỏa mãn

phương trình ràng buộc vị trí và vận tốc:

( )i f s 0 , ( )i f s 0 (i = 1, 2,...) (3.16)

Theo phương pháp Baumgarte [5], thay vì giải phương trình

f 0 (3.17)

ta sẽ tiến hành giải phương trình:

22 , 0, 0f f f 0 (3.18)

Các số hạng 22 ,f f đóng vai trò các số hạng điều khiển. Nhờ việc giải phương trình

(3.18) thay cho giải phương trình (3.17) ta sẽ khử dần hoặc khử hoàn toàn được sai số

tích lũy trong quá trình tích phân.

Như vậy, hệ phương trình (3.15) có dạng:

1

2

Ts

s

=psM Φ

pλΦ 0

(3.19)

với 2 1

2 2( , ) ( ) 2 ( ) ( ), ( , ) rx

s s p s s Φ s s Φ s s f s p s s (3.20)

Khi ta chọn α, β là các hằng số dương thì từ hệ phương trình vi phân (3.20) suy ra:

f → 0 khi t → ∞.

Khi đó các điều kiện ràng buộc f = 0 sẽ được đảm bảo tốt hơn tại mỗi bước tính. Sự ổn

định các nghiệm của hệ phương trình (3.20) tại mỗi bước tính được đảm bảo. Lúc đầu

Baumgarte chọn α = 5 , β = 5 và thấy kết quả tính khá tốt. Theo kinh nghiệm thường

chọn α, β từ 1 đến 20 hoặc 21= , =Δ Δt t

với Δt là bước tích phân. Phương pháp

ổn định hóa Baumgarte nói chung đơn giản và có hiệu quả cao. Tuy nhiên, tại các giá

trị kì dị động học, phương pháp này mới không cho các kết quả mong muốn.

65

b) Phương trình vi phân chuyển động trong tọa độ suy rộng có dư

Để khử các nhân tử Lagrange, biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (3.5),

(3.6) về hệ phương trình vi phân thường với số phương trình bằng số tọa độ suy rộng

có dư của hệ ta nhắc lại nội dụng của định lý trực giao [5]. Theo định lý trực giao ta có

hệ thức

0RΦ s hay 0ΦR Ts

T (3.21)

Trong đó

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

... ...

( ) , ( )

... ...

f r

q z

r r r r r r

f r

f f f f f f

q q q z z z

f f f f f f

q q q z z z

Φ s Φ s (3.22)

=> , ,r f r rs q z q z

Φ Φ Φ Φ Φ (3.23)

qz ΦΦ

EsR

1)( (3.24)

với E là ma trận đơn vị, ,f f n f E R s .

Bây giờ ta trình bày việc biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (3.5), (3.6) về

hệ phương trình vi phân thường. Đạo hàm phương trình liên kết ta đã đưa hệ phương

trình vi phân - đại số (3.5), (3.6) về hệ (3.19). Hệ phương trình này có thể viết lại dưới

dạng như sau:

1( ) ( ) ( , , )Ts tM s s Φ s λ p s s (3.25)

( ) ( , )s 2

Φ s s p s s (3.26)

Nhân bên trái hai vế phương trình (3.25) với ma trận RT và chú ý đến tính trực

giao (3.21), hệ (3.25), (3.26) có dạng:

),,()( 1 tTT sspRssMR (3.27)

2( ) ( , , )s tΦ s s p s s (3.28)

Hệ phương trình (3.27), (3.28) là hệ phương trình vi phân thường của các tọa độ

suy rộng dư s. Như thế ta đã biến đổi hệ phương trình vi phân – đại số (3.5), (3.6) về

hệ phương trình vi phân thường (3.27), (3.28). Các phương trình này tạo thành một hệ

n phương trình vi phân thường. Chú ý rằng khi giải hệ phương trình này các điều kiện

đầu của các tọa độ suy rộng phụ thuộc phải thỏa mãn các điều kiện liên kết. Việc tính

toán nghiệm của hệ phương trình này được trình bày kỹ trong [5].

c) Phương trình vi phân chuyển động trong tọa độ độc lập

Nhân hai vế phương trình (3.5) với ma trận TR và chú ý đến tính chất (3.21) ta

được:

66

( ) ( ), ( )T T ts sR M s s C s s s g s R τ

(3.29)

Từ phương trình liên kết (3.6) ta suy ra

( ) ( , ) , .q zf s f q z 0 Φ q Φ z 0 (3.30)

Từ (3.30) khi ma trân zΦ không suy biến ta có

1

z qz Φ Φ q (3.31)

Mặt khác ta luôn có đồng nhất thức

fq E q (3.32)

với Ef là ma trận đơn vị, f ff

E .

Kết hợp (3.31), (3.32) ta có

1( )

f

z q

Eqs q R s q

z Φ Φ

(3.33)

Đạo hàm biểu thức (3.33) theo thời gian t ta được

( ) ( , )s R s q R s s q (3.34)

Thế (3.33) và (3.34) vào phương trình (3.29) ta có

( ) ( , ) ( ) ( ), ( )T T ts s q s s q s q sR M s R R C s s R g s R τ

(3.35)

Do q là véc tơ tọa độ suy rộng đủ, sử dụng phương trình liên kết (3.6) ta có thể biểu

diễn các tọa độ suy rộng phụ thuộc z theo q, nên ta có: ( ), ( , )s s q s s q q . Từ (3.35)

ta suy ra

( ) ( ) ( , ) ( )( ) ,T Tts s s q s s q s qR τ R M s R R C s s R g s (3.36)

Chú ý rằng

1

1( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

f q

q z q z

z q z

Tt

t t t tt

Es Φ Φ

Φ Φ

ττ R τ τ τ

τ

(3.37)

Khi ( )z tτ 0 , từ (3.36) và (3.37) ta suy ra:

( ) ( , ) ( )( ) ,qTt

s s q s s q s qτ R M s R R C s s R g s (3.38)

Trong đó ( ), ( , )s s q s s q q . Nếu ta đưa vào các ký hiệu

, , ,

T

T

T

s

s s s

s s

M q R M s R s

C q q R M R s s C s s R

g q R g

(3.39)

thì phương trình vi phân (3.38) có dạng

,q

q qM q C q q g q τ (3.40)

Phương trình (3.40) là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu đàn hồi dạng

67

tọa độ suy rộng độc lập.

3.2. Bài toán động lực học thuận có điều khiển hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc

mạch vòng

Phương trình chuyển động của cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi khi sử dụng tọa

độ đủ được xác định từ hệ phương trình vi phân (3.40). Từ (3.3), đưa thêm vào ký hiệu

ta có:

a

e

qq

q

, e

R

aR

n

qq

0

(3.41)

Trong đó 1 2 ...a a a

TR R R Ra nq q qq là các tọa độ các khâu dẫn động (các tọa độ khớp chủ

động) khi cơ cấu có các khâu đều là rắn, en

0 véc tơ không cỡ ne. Chuyển động của cơ

cấu khi các khâu là vật rắn được gọi là chuyển động cơ bản (hay chuyển động mong

muốn), còn chuyển động của cơ của với một số khâu đàn hồi gọi là chuyển động thực.

Nếu ký hiệu độ chênh lệch giữa chuyển động thực và chuyển động cơ bản là q , ta có

các hệ thức

, ,R R Rq q q q q q q q q (3.42)

Để cho gọn sau đây ta ký hiệu

, , q x q x q x (3.43)

Tuyến tính hóa phương trình (3.40) quanh chuyển động cơ bản bằng khai triển

Taylor và bỏ qua các số hạng phi tuyến ta được hệ phương trình vi phân tuyến tính sau [5]

* * * *t t t x x xM C K τ (3.44)

Theo lý thuyết phương trình vi phân sự ổn định của hệ phương trình vi phân

tuyến tính (3.44) được quyết định bởi sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến

tính thuần nhất tương ứng

* * *t t t x x xM C K 0 (3.45)

Trong trường hợp dao động đàn hồi nhỏ, nếu ta thêm vào lực/ngẫu lực phụ dạng

điều khiển PD thì phương trình (3.45) có dạng [58]

* * *

0 0[ ] [ ]t t t x C x xM C K K 0 (3.46)

Trong đó ε là tham số bé hình thức. Phương trình vi phân (3.46) dễ dàng ổn định hơn

phương trình vi phân (3.45) nếu các ma trận C0, K0 được chọn thích hợp.

Dựa vào phân tích trên và ý tưởng của Karkoub và Yigit [47] để điều khiển

động lực học thuận cơ cấu có khâu đàn hồi ta đưa thêm vào các mômen điều khiển

tăng cường đặt ( ) ( )aC tτ tại các khâu dẫn động. Khi đó có khả năng làm cho dao động

đàn hồi của các khâu đàn hồi bé đi và ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi được giảm

thiểu. Mômen điều khiển tăng cường dạng PD được chọn có dạng:

68

( ) ( )aC P a D at τ K x K x (3.47)

Trong đó ( ) ( )Ra a at t x q q và ( ) ( )R

a a at t x q q là sai lệch về vị trí và sai lệch về vận

tốc tọa độ các khâu dẫn động của cơ cấu có khâu đàn hồi so với cơ cấu rắn.

Như vậy bài toán động lực học thuận và bài toán động lực học thuận có điều

khiển cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi gồm các bước:

1) Bài toán động lực học thuận cơ cấu rắn: Cho biết mômen phát động ( )Ra a tτ τ tác

dụng vào khâu dẫn, các khâu của cơ cấu được xem là khâu rắn. Từ phương trình động

lực viết cho cơ cấu đàn hồi trong hệ tọa động suy rộng độc lập (3.40) ta có phương

trình động lực viết cơ cấu rắn ở dạng tọa độ độc lập như sau:

,R R R R R R RR a a R a a a R a a q qM q C q q g q τ

(3.48)

Giải bài toán động lực học thuận cơ cấu rắn này ta được ( )Ra tq (chuyển động của cơ

cấu rắn).

2) Bài toán động lực học thuận cơ cấu đàn hồi: Vẫn cho mômen phát động ( )Ra a tτ τ

tác dụng vào các khâu dẫn, cơ cấu có một số khâu đàn hồi, giải hệ phương trình vi

phân (3.40) ta được a

e

qq

q

(chuyển động của cơ cấu đàn hồi và các biến dạng). Nói

chung đối với cơ cấu đàn hồi thì

( ),Ra a etq q q 0 (3.49)

3) Bài toán động lực học thuận có điều khiển: Cho thêm mômen điều khiển tăng

cường ( ) ( )aC tτ theo (3.47) tác dụng vào các khâu dẫn của cơ cấu có khâu đàn hồi. Khi

đó nhờ mômen tăng cường mà có khả năng làm cho dao động đàn hồi của các khâu

đàn hồi bé đi và chuyển động thực của cơ cấu đàn hồi bám theo chuyển động cơ bản

(mong muốn) của cơ cấu rắn.

Sơ đồ bài toán động lực học thuận có điều khiển cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi:

Hình 3.1. Sơ đồ điều khiển tăng cường dạng PD

Mô hình cơ cấu rắn

PT (3.48) Cơ cấu đàn hồi (hệ thực)

PT (3.40) KD

KP

Raq

Raq

aq

aq

( )Ra tτ

ax

ax ( )aCτ +

+

( )tτ ( ), ( )t tq q

Raq

69

3.3. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu bốn khâu có

khâu nối đàn hồi

Trong phần này thực hiện các phân tích động lực học thuận và áp dụng luật điều

khiển nói trên vào điều khiển dao động cơ cấu bốn khâu bản lề với thanh truyền đàn

hồi trong hai trường hợp là: Trường hợp thứ nhất là cơ cấu có các phương trình vi

phân chuyển động được thiết lập bằng cách sử dụng phương pháp Ritz – Galerkin để

rời rạc thanh truyền đàn hồi và trường hợp thứ hai là cơ cấu có các phương trình vi

phân chuyển động được thiết lập bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để

rời rạc thanh truyền đàn hồi. Mục đích là so sánh hai mô hình động lực học sử dụng

hai phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động nói trên.

Các tính toán mô phỏng số được thực hiện với 3 bài toán như sau:

Bài toán thứ nhất: Tính toán động lực học thuận cơ cấu rắn. Cho mômen ( )t tác dụng

lên khâu dẫn OA của cơ cấu bốn khâu rắn, giải hệ phương trình chuyển động của cơ

cấu rắn ta thu được chuyển động của cơ cấu rắn:

Ra

R R

qs

z,

Ra

R R

qs

z

(3.50)

Với cơ cấu 4 khâu bản lề thì 1 2 3,TR R

a R R R q z

Bài toán thứ hai: Tính toán động lực học thuận cơ cấu đàn hồi. Cũng cho mômen ( )t

này tác dụng lên khâu dẫn OA của cơ cấu bốn khâu đàn hồi, giải ra ta thu được chuyển

động của cơ cấu đàn hồi và biến dạng của khâu đàn hồi:

,a a

e e

q q

s q s q

z z

(3.51)

Với cơ cấu bốn khâu bản lề thì 1 2 3,T

a q z , eq là các tọa độ của biến dạng

đàn hồi.

So sánh chuyển động của cơ cấu đàn hồi (3.51) với chuyển động của cơ cấu rắn

(3.50) ta sẽ đánh giá được ảnh hưởng của biến dạng gây ra sai lệch trong chuyển động

của cơ cấu.

Bài toán thứ ba: Tính toán động lực học thuận có điều khiển cơ cấu đàn hồi. Bổ sung

thêm mômen điều khiển tăng cường C để điều khiển khâu dẫn của cơ cấu đàn hồi sao

cho chuyển động thực của nó bám theo chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn và biến

dạng được hạn chế. Theo (3.47) mômen điều khiển tăng cường dạng PD có dạng:

1 1c P Dk x k x (3.52)

Trong đó 1 1 1 1 1 1,R Rx x ; kP, kD là các hệ số khuếch đại của bộ điều khiển

Khi đó tổng mômen tác dụng lên các khâu dẫn động sẽ là:

70

( ) ( ) ( )q Ct t t (3.53)

Sơ đồ điều khiển dao động của cơ cấu như Hình 3.1

3.3.1. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương pháp

Ritz – Galerkin

Như ở Chương 2, đã có phương trình chuyển động của cơ cấu bốn khâu thiết lập

bằng phương pháp Ritz – Galerkin. Trong phần này ta thực hiện tính toán số dựa trên

các phương trình đã được thiết lập. Việc tính toán số sẽ được tính toán trong các

trường hợp từ đơn giản đến phức tạp dần, gồm cơ cấu là rắn (để so sánh), cơ cấu có

khâu nối được giả định là chỉ chịu biến dạng uốn (bỏ qua biến dạng dọc) và trường

hợp đầy đủ là cơ cấu có khâu nối chịu đồng thời cả biến dạng dọc và biến dạng uốn.

3.3.1.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn

Trong Chương 2 ta đã có các phương trình vi phân chuyển động cho cơ cấu rắn là

từ phương trình (2.57) đến (2.59) và các phương trình liên kết (2.60), viết lại dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (3.54)

( ) 0f s (3.55)

Trong đó 1 2 3

T s là hệ tọa độ suy rộng dư, 1q là các tọa độ suy rộng đủ,

2 3

T z là các tọa độ suy rộng phụ thuộc, 1 2

Tλ λλ là các nhân tử Lagrange

1 1 2 2 3 3 0

1 1 2 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l l l l

l l l

f (3.56)

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

sin sin sin

cos cos coss

l l l

l l l

fΦ

s (3.57)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

cos cos cos

sin sin sins

l l l

l l l

Φ

(3.58)

Ma trận M và p1

2 21 2 1 2 1 2

2 31 2 1 2 2

1cos 0

21 1

cos 02 3

0 0

O

C

I μl l μl l φ φ

μl l φ φ μl

I

M ;

2 21 2 2 1 2

2 21 1 2 1 1 2

1sin

21

sin2

0

l l

l l

p

2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

cos cos cos

sin sin sins

l l l

l l l

2p - Φ s

22 2 2 s p p Φ s f

*) Chọn điều kiện đầu cho cơ cấu: Theo tài liệu [5] thì các điều kiện đầu của tọa độ

suy rộng độc lập phải được cho trước, còn các điều kiện đầu của tọa độ phụ thuộc phải

71

xác định bằng phương trình liên kết. Để giải bài toán thuận thì ta phải xác định được

điều kiện đầu của cơ cấu. Thông số ban đầu là góc khâu dẫn tại thời điểm đầu

1 0 10( )t và vận tốc

góc khâu dẫn tại thời

điểm đầu 1 0 10( )t .

Từ phương trình liên

kết (3.56) ta dùng

phương pháp lặp

Newton – Raphson để

giải ra góc của các

khâu tại thời điểm đầu

20 , 30 . Chú ý rằng

để sử dụng được

Newton – Raphson ta

phải chọn sơ bộ điều

kiện đầu 20sb , 30

sb để khởi động vòng lặp, ở đây nghiệm sơ bộ được chọn bằng phép đo

hình học của cơ cấu như Hình 3.2.

Chọn góc ban đầu khâu dẫn φ10 = 90o, điều kiện đầu sơ bộ đo được ứng với

kích thước các khâu như Bảng 3.1 là:

20 39sb o , 30 124sb o (3.59)

Từ đó ta giải ra ta được điều kiện đầu chính xác:

20 38,686 (0 6752 )o . rad , 30 123,553 (2.1564 )o rad (3.60)

Để giải được vận tốc đầu 20 30, ta đạo hàm phương trình liên kết (3.56) theo t:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

sin sin sin 0

cos cos cos 0

l l l

l l l

=> 2 2 3 3 2 1 11

32 2 3 3 1 1

sin sin sin

cos cos cos

l l l

l l l

Đặt 2 2 3 3

2 2 3 3

sin sin

cos cos

l l

l l

A ; 1 1

1 1

sin

cos

l φ

l φb

=> 121

3

φφ

φA b

(3.61)

Thay điều kiện đầu 10φ , 10φ và các điều kiện đầu vừa giải 20φ , 30φ vào (3.61) ta xác

định được 20 30,φ φ .

*) Tính toán mô phỏng số: Để mô phỏng, cho mômen τ(t) tác dụng vào khâu dẫn có

dạng:

0 sin(2 / )( )

0m m

m

t T t Tt

t T

(3.62)

l1 l0

l3

l2

O

A

B

C

90o

39o

124o

Hình 3.2. Xác định điều kiện đầu sơ bộ 20sb , 30

sb bằng vẽ hình.

72

với τ0 là biên độ, Tm là chu kỳ của mômen phát động.

Tham số của cơ cấu được cho như Bảng 3.1. Kết quả mô phỏng số được thực

hiện song song với trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi để so sánh như các hình vẽ

bên dưới.

Bảng 3.1. Thông số của cơ cấu bốn khâu

Tham số dùng trong mô phỏng Kí hiệu Giá trị (đv)

Chiều dài của khâu nối đất l0 0,4064 m

Chiều dài của khâu đầu vào l1 0,0635 m

Chiều dài của thanh truyền đàn hồi l2 0,3048 m

Chiều dài của khâu đầu ra l3 0,3048 m

Mômen quán tính của khâu đầu vào IO 7,46 x10-6 kgm2

Mômen quán tính của khâu đầu ra IC 2,002 x10-3 kgm2

Phân bố khối lượng trên đơn vị dài μ 0,2237 kg/m

Mođun đàn hồi vật liệu làm thanh truyền E 2,06 x1011 N/m2

Mômen quán tính mặt cắt ngang của thanh truyền I 5,34 x10-12 m

4

Diện tích mặt cắt ngang A 8,19x 10-6 m2

Khối lượng khâu đầu vào m1 0,0142 kg

Khối lượng thanh truyền m2 0,0682 kg

Khối lượng khâu đầu ra m3 0,0682 kg

3.3.1.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn

a) Bài toán động lực học thuận:

Theo Chương 2, ta có các phương trình của cơ cấu khi thanh truyền chỉ chịu

uốn khi sử dụng 3 dạng riêng đầu q1, q2, q3 là từ phương trình (2.61) đến (2.66) và

phương trình liên kết (2.67). Hệ phương trình đó viết lại dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (3.63)

f(s) = 0 (3.64)

Trong đó 1 2 3 1 2 3

Tφ φ φ q q qs là hệ tọa độ suy rộng dư

1 2

Tλ λλ là véc tơ nhân tử Lagrange, 1 1 2 3

Tφ q q qq là các tọa độ

độc lập, 2 3

T z là các tọa độ phụ thuộc. Các ma trận:

1 1 2 2 3 3 0

1 1 2 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l l l l

l l l

f (3.65)

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

sin sin sin 0 0 0

cos cos cos 0 0 0s

l φ l φ l φ

l φ l φ l φ

fΦ

s

(3.66)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

cos cos cos 0 0 0

sin sin sin 0 0 0s

l φ φ l φ φ l φ φ

l φ φ l φ φ l φ φΦ

73

2 2 23 31 2 1 21 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 31 21 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1

21 211 1 2

4 21sin sin cos

2 3 3

21sin cos

2 30

2sin

q qμl l μl lτ μl l φ φ φ φ φ φ q φ φ φ q

π π

qμl lμl l φ φ φ μl φ q q q q q q φ φ φ q

π

μl l μφ φ φ

π

p

4222 1 13

24

222 2 23

24

2 21 2 21 1 2 2 3 33

2

2 2

8

2

2 81sin

3 2 2

l EIπφ q q

l

μl EIπφ q q

l

μl l μl EIπφ φ φ φ q q

π l

2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

cos cos cos

sin sin sins

l φ φ l φ φ l φ φ

l φ φ l φ φ l φ φ2p - Φ s

22 2 2 sα βp p Φ s f

*) Chọn điều kiện đầu cho cơ cấu: Điều kiện đầu được chọn cũng tương tự như cơ

cấu rắn là góc khâu dẫn φ10 = π/2, vận tốc góc khâu dẫn 10 0φ (điều kiện đầu sơ bộ

của góc các khâu còn lại 20 39sb oφ , 30 124sb oφ ), biến dạng uốn ban đầu được chọn

q1(0) = 0, q2(0) = 0, q3(0) = 0 và vận tốc của nó 1(0) 0,q 2 3(0) 0, (0) 0q q

*) Tính toán mô phỏng số:

Để mô phỏng số, chọn mômen phát động tác dụng lên khâu dẫn giống như

trường hợp cơ cấu rắn như (3.62). Trường hợp thanh truyền chịu uốn tiến hành song

song với trường hợp cơ cấu rắn. Thông số cơ cấu hoàn toàn tương tự như trường hợp

cơ cấu rắn. Kết quả mô phỏng được thực hiện trong các trường hợp là:

1) Biên độ mômen phát động τ0 = 0.003 Nm, chu kỳ Tm = 1s.


Kết quả trên các hình vẽ từ Hình 3.3 đến Hình 3.15 cho thấy:

+ Khi biên độ mômen phát động là nhỏ thì biến dạng uốn của thanh truyền là

không đáng kể, do đó ảnh hưởng của nó đến chuyển động của các khâu trong cơ cấu là

bé (Hình 3.3 đến Hình 3.7)

+ Khi tăng biên độ của mômen phát động thì biến dạng tăng là đáng kể, do đó

các sai lệch về góc định vị, vận tốc góc các khâu tăng lên (Hình 3.8 đến Hình 3.12).

Như vậy: Khi biến dạng đàn hồi là đáng kể thì nó không chỉ ảnh hưởng đến chuyển

động của khâu đàn hồi mà còn ảnh hưởng đến chuyển động của cả cơ cấu. Biến dạng

này làm sai lệch chuyển động của các khâu trong cơ cấu.

74

Kết quả số phương pháp Ritz - Galerkin cho bài toán thanh đàn hồi chịu uốn:

1) Biên độ mômen khâu dẫn τ0 = 0.003 Nm, chu kỳ Tm = 1s

Hình 3.4. Góc khâu bị dẫn. ….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.5. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2

Hình 3.3. Góc khâu dẫn. ...... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.7. Vận tốc góc khâu bị dẫn. ….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.6. Vận tốc góc khâu dẫn. ...... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi

75

2) Biên độ mômen khâu dẫn τ0 = 0.02, chu kỳ Tm = 1

Phi1

[ra

d]

Time[s]0 1 2 3 4 5

10-3

-2

-1

0

1

2

b) Bài toán động lực học thuận có điều khiển dao động:

Bây giờ điều khiển dao động của cơ cấu bằng bộ điều khiển PD với mômen điều

khiển ( )C t đặt bổ sung vào khâu dẫn như (3.52). Sơ đồ động lực học thuận có điều

khiển như Hình 3.1.

Ta tiến hành điều khiển dao động trong trường hợp mômen phát động ( )t có






76

biên độ τ0 = 0.02 Nm, chu kỳ Tm = 1s tác dụng vào khâu dẫn (như Hình 3.8 đến Hình

3.12), các thông số cơ cấu như Bảng 3.1.

Hệ số khuếch đại được chọn (bằng phương pháp thử): kP= 0.08, kD = 0.04.

Kết quả của bài toán điều khiển được trình bày từ Hình 3.13 đến Hình 3.18. Từ

Hình 3.13 đến Hình 3.16 cho thấy hiệu quả của bộ điều khiển PD tăng cường, bộ điều

khiển có khả năng hạn chế dao động đàn hồi và điều khiển chuyển động. Sự sai lệch

của cơ cấu đàn hồi do sự biến dạng gây ra là không đáng kể, chuyển động của cơ cấu

đàn hồi bám theo cơ cấu rắn.

Dao động uốn cũng được dập tắt như Hình 3.17. Biến dạng uốn gần như triệt

tiêu sau khoảng thời gian 1s. Hình 3.18 là mômen điều khiển τC cần thiết để điều khiển

cơ cấu.

Hình 3.13. Góc khâu dẫn khi điều khiển. …... cơ cấu rắn; _______ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.14. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. khâu rắn; _____ khâu đàn hồi

Hình 3.16 .Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển.….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.15. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ...... cơ cấu rắn _____ cơ cấu đàn hồi

77

3.3.1.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén

Trong Chương 2 ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sử dụng 3

dạng riêng đầu là các phương trình từ (2.47) đến (2.55) cùng với hai phương trình liên

kết (2.56) ta có 11 phương trình vi phân – đại số của chuyển động với 11 ẩn số là φ1, φ2, φ3, q1, q2, q3, p1, p2, p3 và λ1, λ2

Trong đó qi và pi lần lượt là các tọa độ suy rộng của biến dạng uốn ngang và biến dạng

dọc. Viết các phương trình lại dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts tM s s Φ s λ p s s (3.67)

f(s) = 0 (3.68)

Trong đó 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Tφ φ φ q q q p p ps là hệ tọa độ suy rộng dư.

1 2

Tλ λλ , 1 1 2 3 1 2 3

T

φ q q q p p pq là các tọa độ độc lập, 2 3

T

φ φz là các

tọa độ phụ thuộc.

1 1 2 1 2 3 2 3 3 0

1 1 2 1 2 3 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l φ l p p p φ l φ l

l φ l p p p φ l φf

1 1 2 1 2 3 2 3 3 2 2 2

1 1 2 1 2 3 2 3 3 2 2 2

sin sin sin 0 0 0 cos cos cos

cos cos cos 0 0 0 sin sin sins

l l p p p l

l l p p p l

fΦ

s

sΦp s2 -

22 2 2 sα βp p Φ s f

*) Chọn điều kiện đầu cho cơ cấu: Để đánh giá ảnh hưởng của điều kiện đầu đến kết

quả bài toán động lực học, luận án thực hiện tính toán với 3 điều kiện đầu về vị trí

khác nhau của cơ cấu:

+ Điều kiện đầu 1: Được chọn cũng tương tự như trên với góc khâu dẫn ban đầu

φ10 = 90o, vận tốc góc ban đầu của khâu dẫn 10 0φ , biến dạng ban đầu được chọn

Hình 3.17. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2.

Hình 3.18. Mômen tăng cường đặt vào khâu dẫn τC (Nm)

78

1(0) 0q , 2 (0) 0q , 3 (0) 0q , 1(0) 0p , 2 (0) 0p , 3(0) 0p và vận tốc của nó

1(0) 0q , 2 (0) 0q , 3(0) 0q , 1(0) 0p , 2 (0) 0,p 3 (0) 0p .

+ Điều kiện đầu 2: Góc khâu dẫn ban đầu: φ10 = 155o (điều kiện đầu sơ bộ của

góc các khâu còn lại 20 37sb oφ , 30 136sb oφ ), vận tốc góc ban đầu của khâu dẫn

10 0φ . Biến dạng và vận tốc biến dạng tương tự như điều kiện đầu 1.

+ Điều kiện đầu 3: Góc khâu dẫn ban đầu: φ10 = 28o (điều kiện đầu sơ bộ của

góc các khâu còn lại 20 50sb oφ , 30 120sb oφ ), vận tốc góc ban đầu của khâu dẫn

10 0φ . Biến dạng và vận tốc biến dạng tương tự như điều kiện đầu 1.

*) Tính toán mô phỏng số: Để mô phỏng số, chọn mômen phát động tác dụng lên khâu

dẫn giống như trường hợp cơ cấu rắn như (3.62). Thông số cơ cấu và mômen được

chọn hoàn toàn tương tự như các trường hợp trên với biên độ mômen phát động τ0 =

0.03 Nm, chu kỳ Tm = 1s.

Kết quả tính toán số:

1) Kết quả tính toán với điều kiện đầu 1





79







Hình 3.24. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi

80


Om

eg

a3

[ra

d/s

]







81

Nhận xét: Từ các kết quả mô phỏng số từ Hình 3.19 đến Hình 3.36 cho thấy:

+ Với các tham số tính toán thì chuyển vị uốn tại điểm giữa thanh là lớn hơn

nhiều so với chuyển biến dạng dọc, như trường hợp điều kiện đầu 1 chuyển vị uốn

khoảng 5mm (Hình 3.23), chuyển vị dọc khoảng 0.03 mm (Hình 3.24). Điều này là do

độ cứng uốn nhỏ hơn nhiều so với độ cứng nén và góc xoay của thanh truyền là lớn

dẫn đến hiệu ứng uốn lớn hơn.

+ Kết quả tính toán mô phỏng số với các vị trí đầu khác nhau cho thấy chuyển

động của cơ cấu và biến dạng của khâu đàn hồi phụ thuộc vào các điều kiện đầu. Đây

chính là đặc tính của các hệ phi tuyến


Điều khiển dao động của cơ cấu bằng bộ điều khiển PD với mômen điều khiển

tăng cường ( )C t đặt bổ sung vào khâu dẫn như (3.52). Sơ đồ động lực học thuận có

điều khiển như Hình 3.1.

Thực hiện điều khiển dao động cho trường hợp mômen phát động ( )t có biên

độ τ0 = 0.03 Nm, chu kỳ Tm = 1s tác dụng vào khâu dẫn và ứng với điều kiện đầu 1

(như Hình 3.19 đến Hình 3.24), các thông số cơ cấu như Bảng 3.1.

Hệ số khuếch đại được chọn (bằng phương pháp thử): kP= 0.15, kD = 0.08.

Kết quả của bài toán điều khiển được trình bày từ Hình 3.37 đến Hình 3.42. Sự

sai lệch chuyển động của cơ cấu đàn hồi do sự biến dạng đã được hạn chế, chuyển

động của cơ cấu đàn hồi bám theo cơ cấu rắn. Biến dạng uốn và dọc cũng được dập tắt

như Hình 3.41 và Hình 3.42. Hình 3.43 là mômen điều khiển tăng cường τC.

Như vậy, trong trường hợp cơ cấu bốn khâu bản lề với thanh truyền đàn hồi

được xem xét đầy đủ cả biến dạng uốn và biến dạng dọc trục thì bộ điều khiển PD tăng

cường vẫn cho kết quả điều khiển như mong muốn.



82

Hình 3.37. Góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.41. Độ võng tương đối của khâu

đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2

Hình 3.42. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển

Hình 3.40. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.38. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.39. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

83

Để kiểm chứng thêm về hiệu quả của phương pháp điều khiển chuyển động và

điều khiển dao động thông qua khâu dẫn, ta tăng ảnh hưởng của biến dạng trong hai

trường hợp: Trường hợp 1 tăng vận tốc chuyển động của khâu dẫn bằng cách tăng

mômen phát động; Trường hợp 2 là tăng biến dạng bằng cách giảm kích thước của

khâu đàn hồi để giảm độ cứng của nó.

Trường hợp 1. Mô phỏng thực hiện trong trường hợp cơ cấu bốn khâu có thanh

truyền AB đồng thời chịu kéo nén. Thông số cơ cấu như Bảng 3.1. Mômen phát động

được cho như công thức (3.62) với biên độ và chu kỳ tác dụng được chọn là τ0 = 0.08

Nm, chu kỳ Tm = 2s.

Bài toán động lực học thuận: Kết quả bài toán thuận như các hình từ Hình 3.44

đến Hình 3.49. Trong trường hợp này, vận tốc góc khâu dẫn đạt giá trị lớn nhất khoảng

336rad/s (~3200 vòng/phút) trong thời gian 1s (Hình 3.46), biến dạng gây ra sai lệch

rất lớn đến chuyển động của các khâu trong cơ cấu (Hình 3.44 đến Hình 3.47).

Hình 3.43. Mômen điều khiển tăng cường τC [Nm].



84

Bài toán động lực học thuận có điều khiển: Mômen tăng cường τC của bộ điều

khiển PD được đặt vào khâu dẫn như các trường hợp trên. Hệ số khuếch đại tìm được:

kP= 0.8, kD = 0.5. Kết quả mô phỏng bài toán điều khiển trên các hình từ Hình 3.50

đến Hình 3.53 cho thấy bộ điều khiển làm cho các sai lệch trong chuyển động giảm đi

rất nhiều. Tuy nhiên sai lệch vẫn còn đáng kể, do đó trong trường hợp này không thể

triệt tiêu hoàn toàn dao động đàn hồi phát sinh (thể hiện rõ ở khâu bị dẫn trên Hình

3.51 và Hình 3.53).

.



Hình 3.50. Góc khâu dẫn khi điều khiển.….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.



85

Om

eg

a3 [

rad

/s]

Time [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Om

eg

a1

[ra

d/s

]

-50

0

50

100

150

200

250

300

350




86

Trường hợp 2. Mô phỏng thực hiện trong trường hợp cơ cấu bốn khâu có thanh truyền

AB đồng thời chịu kéo nén. Mômen phát động được cho như công thức (3.62) với biên

độ và chu kỳ tác dụng được chọn là τ0 = 0.03 Nm, chu kỳ Tm = 1s và điều kiện đầu 1.

Thông số cơ cấu như Bảng 3.1. Trong đó chỉ các thông số liên quan đến kích

thước mặt cắt ngang của khâu đàn hồi AB thay đổi (đường kính giảm từ 3,2 mm

xuống 1,6mm), các thông số đó được thay đổi như sau: I = 0.2485x10-12 m4;

A=1.76x10-6 m2; m2 = 0.01383 kg; µ = m2/l2;

Bài toán động lực học thuận: Kết quả bài toán thuận như các hình từ Hình 3.54

đến Hình 3.57. Trong trường hợp này khâu đàn hồi là rất mảnh, biến dạng của nó gây

ra sai lệch rất lớn đến chuyển động của các khâu trong cơ cấu.

Bài toán động lực học thuận có điều khiển: Mômen điều khiển tăng cường τC

của bộ điều khiển PD được đặt vào khâu dẫn như các trường hợp trên. Hệ số khuếch

đại tìm được: kP= 1.2, kD = 0.8. Kết quả mô phỏng bài toán điều khiển trên các hình từ

Hình 3.58 đến Hình 3.61 cho thấy bộ điều khiển làm cho các sai lệch trong chuyển





87

động giảm đi rất nhiều. Tuy nhiên sai lệch vẫn còn đáng kể, do đó trong trường hợp

này không thể điều khiển quỹ đạo và vận tốc các khâu của cơ cấu đàn hồi (thể hiện rõ

ở khâu bị dẫn trên Hình 3.59 và Hình 3.61) bám theo quỹ đạo cơ cấu rắn với sai số

nhỏ.

Hình 3.58. Góc khâu dẫn khi điều khiển.….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.



88

3.3.2. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương pháp

phần tử hữu hạn – FEM

Tương tự như trong trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng

phương pháp Ritz – Galerkin ở trên. Việc tính toán số sẽ được tính toán trong các trường

hợp từ đơn giản đến phức tạp dần, gồm cơ cấu là rắn (để so sánh), cơ cấu có khâu nối

được giả định là chỉ chịu biến dạng uốn (bỏ qua biến dạng dọc) và trường hợp đầy đủ

là cơ cấu có khâu nối chịu đồng thời cả biến dạng dọc và biến dạng uốn.

3.3.2.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn

Trong trường hợp này, việc mô phỏng số tương tự như mục 3.3.1.1 và cũng mô

phỏng song song với trường hợp khâu bị biến dạng.

3.3.2.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn


Phương trình động lực học của cơ cấu chỉ chịu uốn theo công thức (2.104) đến

(2.108), cùng với hai phương trình liên kết (2.109) viết lại ta có:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (3.69)

f(s) = 0 (3.70)

Trong đó 1 2 3 3 6

Tq q s là hệ tọa độ suy rộng dư, 1 3 6

Tq qq là các tọa độ

độc lập, 2 3

T z là các tọa độ phụ thuộc, 1 2

Tλ λλ là nhân tử Lagrange.

Các ma trận:

1 1 2 2 3 3 0

1 1 2 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l l l l

l l l

f

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

sin sin sin 0 0

cos cos cos 0 0s

l l l

l l l

fΦ

s


89

2 2 3 31 1

2 2 3 31 1

sin sinsin 0 0;

cos coscos 0 0q z

l ll

l ll

Φ Φ

sΦp s2

22 2 2 s p p Φ s f

*) Chọn điều kiện đầu: Điều kiện đầu được chọn cũng tương tự như mục 3.3.1.2 để so

sánh, biến dạng uốn ban đầu được chọn q3(0) = 0, q6(0) = 0 và vận tốc của nó

3(0)=0q , 6 (0) =0q .


Mô phỏng số được thực hiện với mômen phát động được đặt vào khâu dẫn như

(3.62) và thông số cơ cấu giống như các trường hợp trên. Để so sánh với phương pháp

Ritz – Galerkin, tính toán được thực hiện trong các trường hợp tương tự là:



Trên các hình từ Hình 3.62 đến Hình 3.66 là kết quả mô phỏng cho trường hợp

biên độ mômen phát động τ0 = 0.003 Nm, chu kỳ Tm = 1s. Còn trên các hình từ Hình

3.67 đến Hình 3.71 là kết quả mô phỏng số trường hợp biên độ mômen phát động

τ0=0.02 Nm, chu kỳ Tm = 1s.

So sánh các kết quả mô phỏng số trên các hình vẽ ta thấy các ứng xử động lực

học trong trường hợp này và trường hợp cơ cấu có các phương trình vi phân chuyển

động được thiết lập bằng cách sử dụng phương pháp Ritz – Galerkin là tương tự nhau,

sự sai khác là không đáng kể.

Kết quả số phương pháp FEM cho bài toán thanh đàn hồi chịu uốn:

1) Biên độ mômen phát động đặt vào khâu dẫn τ0 = 0.003 Nm, chu kỳ Tm = 1s



90

2) Biên độ mômen khâu dẫn τ0 = 0.02Nm, Tm = 1s






91


Điều khiển dao động của cơ cấu bằng bộ điều khiển PD với mômen điều khiển

tăng cường ( )C t đặt bổ sung vào khâu dẫn. Bài toán điều khiển dao động được thực

hiện trong trường hợp mômen dẫn động có τ0 = 0.02Nm, Tm = 1s (như các hình từ

Hình 3.67 đến Hình 3.71). Hệ số khuếch đại được chọn: kp= 0.08, kD = 0.04.

Kết quả của bài toán điều khiển như trên các hình từ Hình 3.72 đến Hình 3.77.

Từ Hình 3.72 đến Hình 3.75 cho thấy hiệu quả của bộ điều khiển PD, chuyển động của

cơ cấu đàn hồi bám theo cơ cấu rắn.

Biến dạng uốn cũng được hạn chế như Hình 3.76. Hình 3.77 là mômen điều

khiển τC cần thiết để điều khiển cơ cấu.




92

3.3.2.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén

Ta có phương trình từ (2.98) đến (2.103) viết cho cơ cấu đàn hồi bằng phương

pháp phần tử hữu hạn FEM (sử dụng 1 phần tử) theo các tọa độ suy rộng

, , , ,1 2 3 3 4 6φ , φ φ q q q , cùng với phương trình liên kết (2.79), viết lại dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (3.71)

Hình 3.77. Mômen điều khiển tăng cường τC [Nm].





Hình 3.75. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.

Hình 3.74. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.

93

f(s) = 0 (3.72)

Trong đó 1 2 3 3 4 6

Tq q q s là hệ tọa độ suy rộng dư, 1 3 4 6

Tq q qq là các

tọa độ độc lập, 2 3

T z là các tọa độ phụ thuộc, 1 2


1 1 2 4 2 3 3 0

1 1 2 4 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l l q l l

l l q l

f

1 1 2 4 2 3 3 2

1 1 2 4 2 3 3 2

sin sin sin 0 cos 0

cos cos cos 0 sin 0s

l l q l

l l q l

fΦ

s

sΦp s2 => 2

2 2 2 s p p Φ s f

*) Chọn điều kiện đầu: Góc khâu dẫn ban đầu φ10 = 90o, vận tốc góc ban đầu của khâu

dẫn 10 0 , biến dạng uốn ban đầu được chọn q3(0) = 0, q4(0) = 0, q6(0) = 0 và vận

tốc của nó 3(0)=0q , 4 (0)=0q , 6 (0)=0q .


Mô phỏng số được thực hiện với mômen phát động được đặt vào khâu dẫn giống

như các trường hợp trên. Để so sánh với phương pháp Ritz – Galerkin, tính toán được

thực hiện trong các trường hợp tương tự là biên độ mômen phát động τ0 = 0.03 Nm, chu

kỳ Tm = 1s. Thông số cơ cấu như Bảng 3.1.





94


Sử dụng bộ điều khiển PD như các trường hợp trên. Tiến hành điều khiển dao

động trong trường hợp mômen phát động ( )t có biên độ τ0 = 0.03 Nm, chu kỳ Tm = 1s

tác dụng vào khâu dẫn (như Hình 3.78 đến Hình 3.83), các thông số cơ cấu như Bảng

3.1. Hệ số khuếch đại được chọn (bằng phương pháp thử): kp= 0.15, kd = 0.08.

Kết quả điều khiển thể hiện trên các hình từ Hình 3.84 đến Hình 3.89 cho thấy

hiệu quả của bộ điều khiển PD.







95

Nhận xét: Từ các tính toán mô phỏng số bài toán động lực học thuận và điều

khiển dao động cơ cấu bốn khâu bản lề ở mục này cho thấy hai mô hình động lực học

thiết lập bằng phương pháp Ritz – Galerkin sử dụng 3 khai triển đầu (mục 3.3.1) và

phương pháp phần tử hữu hạn FEM sử dụng 1 phần tử (mục 3.3.2) cho kết quả là gần

giống nhau.

Để đánh giá và so sánh ảnh hưởng của việc chọn lựa số phần tử trong phương

pháp FEM, trong phần phụ lục A đã thực hiện tính toán động lực học thuận cho cơ cấu

như trong mục này nhưng sử dụng 2 phần tử cho khâu nối đàn hồi. Kết quả cho thấy:

+ Kết quả tính toán số cho 2 phần tử trên Hình A.1 đến Hình A.6 (phần phụ lục

A) và kết quả tính toán số cho 1 phần tử (Hình 3.78 đến Hình 3.83) là gần giống nhau.

+ Kết quả tính toán số cho 2 phần tử trên Hình A.1 đến Hình A.6 là tương đồng

với kết quả tính toán bằng phương pháp Ritz – Galerkin (sử dụng 3 dạng khai triển

đầu) như trên các hình từ Hình 3.19 đến Hình 2.24. Như vậy khi sử dụng mô hình 2

phần tử thì kết quả đã tiệm cận với phương pháp Ritz – Galerkin (3 khai triển đầu).

3.4. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu sáu khâu bản lề

có hai thanh truyền đàn hồi

Như ở Chương 2, đã có phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sáu khâu

bản lề thiết lập bằng phương pháp Ritz – Galerkin. Trong phần này ta thực hiện tính

toán số dựa trên các phương trình vi phân chuyển động đã được thiết lập đó. Việc tính

toán số sẽ được thực hiện trong các trường hợp là: cơ cấu rắn, cơ cấu có hai thanh

truyền chỉ chịu biến dạng dọc trục (bỏ qua biến dạng uốn) và cơ cấu có hai thanh

truyền là chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc trục).

Điều khiển dao động cơ cấu được thực hiện với 3 bài toán như sau:

Bài toán thứ nhất: Tính toán động lực học thuận cơ cấu rắn. Cho mômen ( )t tác dụng

lên khâu dẫn O1A (Hình 2.7) của cơ cấu rắn, giải hệ phương trình chuyển động viết

cho cơ cấu rắn ta thu được chuyển động của cơ cấu rắn:



Hình 3.89. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển

96

Ra

R R

qs

z,

Ra

R R

qs

z

.

Với cơ cấu sáu khâu bản lề thì 1 2 3 4 5,TR R

a R R R R R q z

Bài toán thứ hai: Tính toán động lực học cơ cấu đàn hồi. Cũng cho mômen ( )t này

tác dụng lên khâu dẫn của cơ cấu sáu khâu đàn hồi, giải ra thu được chuyển động của

cơ cấu đàn hồi và các biến dạng của các khâu đàn hồi:

,a a

e e

q q

s q s q

z z

Với 1 2 3 4 5,T

aq z , eq là các tọa độ của biến dạng đàn hồi.

So sánh chuyển động của cơ cấu đàn hồi với chuyển động của cơ cấu rắn sẽ

đánh giá được ảnh hưởng của biến dạng gây ra sai lệch trong chuyển động của cơ cấu.

Bài toán thứ ba: Tính toán động lực học thuận có điều khiển. Bổ sung thêm mômen

C để điều khiển khâu dẫn của cơ cấu đàn hồi sao cho chuyển động thực của nó bám

theo chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn và biến dạng được hạn chế.

Theo (3.47) mômen điều khiển tăng cường dạng PD cho cơ cấu:

1 1c P Dk x k x (3.73)

Trong đó 1 1 1 1 1 1,R Rx x

Khi đó tổng mômen tác dụng lên các khâu dẫn động sẽ là:

( ) ( ) ( )q Ct t t (3.74)

Sơ đồ điều khiển dao động của cơ cấu tương tự như Hình 3.1 ở trên.

3.4.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn

Từ các phương trình viết cho các tọa độ góc khâu (2.143), (2.145), (2.146),

(2.148) và (2.149) trong Chương 2, bỏ đi các thành phần biến dạng, ta thu được các

phương trình viết cho cơ cấu rắn:

1

2 22 21 1 2 1 1 2

1 1 2 1 2 1 2 2 1 2

1 1 1 1 1 2

cos sin2 2

sin cos

O

l l l lI l l

l l

(3.75)

2 3 2

21 1 2 1 2 1 1 21 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2cos sin sin . cos .

2 3 2

l l l l ll l

(3.76)

2

* 2 2*2 * 2 *2 3 4 2 3 4

2 3 4 3 4 3 4 4 3 4

* * * * * *3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3

cos sin2 2

sin cos sin cos

O

l l l lI l l

l l l l

(3.77)

97

* 2 * 23

* 2 *2 3 4 2 3 42 43 3 4 4 3 3 4

4 3 4 4 4 4

cos sin2 3 2

sin cos

l l l ll

l l

(3.78)

trong đó *3 3

3 5 5 5 1 5 5 2sin cos 0OI l l (3.79)


f1 = l1cosφ1 + l2cosφ2 – l3cosφ3 – l0cosθ1 = 0 (3.80)

f2 = l1sinφ1 + l2sinφ2 – l3sinφ3 – l0sinθ1 = 0 (3.81)

f3 = *3l cos(φ3 – β) + l4cosφ4 – l5cosφ5 –

*0l cosθ2 = 0 (3.82)

f4 = *3l sin(φ3 – β) + l4sinφ4 – l5sinφ5 – *

0l sinθ2 = 0 (3.83)

Các phương trình vi phân từ (3.75) đến (3.79) và các phương trình liên kết từ (3.80)

đến (3.83) viết dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (3.84)

f(s) = 0 (3.85)

Trong đó 1 2 3 4 5

T s là hệ tọa độ suy rộng dư, 1 2 3 4

Tλ λ λ λλ

1 2 3 4

Tf f f ff (3.86)

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

4 4 5 5

4 4 5 5

sin sin sin 0 0

cos cos cos 0 0

0 0 sin sin sin

0 0 cos cos cos

s

l l l

l l l

l l l

l l l

fΦ

s (3.87)

sΦp s2

22 2α β sp p Φ s f

*) Chọn điều kiện đầu cho cơ cấu:

+) Tọa độ góc các khâu tại thời điểm đầu:

Với φ1(0) là góc ban đầu của khâu dẫn (chọn φ1(0) = 0). Từ các phương trình

liên kết, sử dụng phương pháp Newton – Raphson ta giải ra được các góc ban đầu:

2 3 4 50 , 0 , 0 , 0 (3.88)

Với thông số như Bảng 3.2 và góc khâu dẫn ban đầu φ1(0) = 0, giải ra ta được:

2 3 4 50 0.8523( ), 0 1.7952( ), 0 0.0280( ), 0 1.9754( ). rad rad rad rad

+) Vận tốc góc các khâu trong chuyển động của cơ cấu rắn:

Với 1 0 là vận tốc góc ban đầu của khâu dẫn (chọn 1 0 = 0). Để giải được

vận tốc đầu 2 3 4 50 , 0 , 0 , 0 ta đạo hàm phương trình liên kết theo t:

98

1 1 1 1 2 2 2 3 3 3

2 1 1 1 2 2 2 3 3 3

* *3 3 3 3 4 4 4 5 5 5

* *4 3 3 3 4 4 4 5 5 5

sin sin sin 0

cos cos cos 0

sin sin sin 0

cos cos cos 0

f l l l

f l l l

f l l l

f l l l

(3.89)

Viết lại ta được:

2 2 3 3 2 1 1 1

2 2 3 3 3 1 1 1* *3 3 4 4 5 5 4

* *53 3 4 4 5 5

sin sin 0 0 sincos cos 0 0 cos

0 sin sin sin 0

00 cos cos cos

l l ll l l

l l l

l l l

(3.90)

Thay 1 1 2 3 4 50 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 vào ta tìm được

2 3 4 50 , 0 , 0 , 0 (3.91)


Để mô phỏng một mômen được đặt vào khâu dẫn dưới dạng:

0 sin(2 / )( )

0m m

m

t T t Tt

t T

(3.92)

với τ0 là biên độ, Tm là chu kỳ của mômen phát động.

Tham số của cơ cấu được cho như Bảng 3.2. Kết quả mô phỏng số được mô

phỏng song song với trường hợp khâu nối đàn hồi để so sánh như các hình vẽ bên

dưới.

Bảng 3.2. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề

Thông số Độ lớn [đv]

Thông số Độ lớn [đv]

Chiều dài khâu nối đất O1O2, l0

0.3 m Khối lượng khâu dẫn O1A, m1

3.02 kg

Chiều dài khâu nối đất

O2O3, *0l

0.3 m Khối lượng thanh truyền AB, m2

0.165 kg

Chiều dài khâu dẫn O1A, l1 0.055 m Khối lượng khâu lắc O2BC, m3

1.84 kg

Chiều dài thanh truyền AB, l2

0.259 m Khối lượng thanh truyền CD, m4

0.163 kg

Chiều dài đoạn O2B, l3 0.2 m Khối lượng khâu bị dẫn O3D, m5

1.35 kg

Chiều dài đoạn O2C, *3l 0.2 m Mômen quán tính của

khâu dẫn, JO1

51x10-4 kgm2

Chiều dài thanh truyền CD, l4

0.258 m Mômen quán tính của O2BC, JO3

183 x10-4 kgm2

Chiều dài khâu bị dẫn O3D, l5

0.22 m Mômen quán tính của O3D, JO5

115 x10-4 kgm2

Trọng tâm khâu dẫn C1(ξ11,η11)

(0.0235, 0) m

Mô đun đàn hồi vật liệu thép, E1 = E2

2.1x1011 kgm-1s-2

99

Trọng tâm thanh truyền AB C2(ξ22,η22)

(0.134,0) m

Diện tích mặt cắt ngang thanh AB, A1

81x10-6 m2

Trọng tâm khâu lắc C3(ξ33,η33)

(0.115, 0.0265)m

Diện tích mặt cắt ngang thanh CD, A2

80.5 x10-6 m2

Trọng tâm thanh truyền CD C4(ξ44,η44)

(0.132,0) m

Mô men quán tính mặt cắt ngang thành AB, I1

5.22 x10-10 m4

Trọng tâm khâu bị dẫn C5(ξ55,η55)

(0.113,0) m

Mô men quán tính mặt cắt ngang thành CD, I2

5.15 x10-10 m4

Góc khâu lắc β 0.3 rad Góc khâu nối đất θ1 = θ2 0o

3.4.2. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc trục


Trong trường hợp các thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc, từ các phương trình

(2.165) đến (2.171) viết cho cơ cấu sáu khâu với hai thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc

trục như ở Chương 2, viết cho dạng riêng đầu tiên k = l = 1, phương trình vi phân

chuyển động thu được là:

1

22 (1) (1)1 1 2

1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1

2(1) (1) 2 (1) (1)1 1 2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1

2 (1) (1)1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2

cos cos .2

sin sin 2 cos2

sin sin cos

O

l lI l l l H p

l ll H p l H p

l H p l l

(3.93)

2 3(1) (1)1 1 2 1 2

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2

2(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 21 1 2

1 2 1 1 11 1 1 2 1 1 11 1 1 1 2

2 (1) (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2

cos cos2 3

2 2 sin2

sin sin . cos .

l l ll H p

l lp F b p p F b p

l H p l p l p

(3.94)

2

2*2 * * (2) (2) * * (2) (2)4

2 3 4 3 2 3 4 3 4 1 1 2 3 3 4 1 1

2* * (2) (2) * 2 * (2) (2)4

2 3 4 3 4 1 1 2 3 4 3 4 1 1

* * * * *3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4

cos sin2

2 cos sin2

sin cos sin co

O

lI l l l H p l H p

ll H p l H p

l l l l

*3s

(3.95)

3(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)41 1 2 1 1 11 1 1

2(2) (2) (2) (2) (2) * 2 (2) (2)4

2 4 1 1 11 1 1 2 3 3 1 1

(2) (2)4 1 3 4 4 1 4 4

cos 23

2 sin2

sin cos

l ll H p H p b p p

lF p b p p l H p

l p l p

(3.96)

3O 5 5 5 1 5 5 2I φ +l sin φ λ l cos φ λ =0 (3.97)

(1) (1) (1) 2 (1)1 1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 1 2 1

(1) (1) (1) 2 (1) (1)1 1 11 1 2 1 1 11 1 2 2 2

sin cos

cos sin 0

l

l

l H b p l H

F b p E A g p

(3.98)

100

(2) (2) (2) * 2 (2)2 3 1 2 11 1 2 3 3 1

(2) (2) (2) 2 (2) (2)2 1 11 1 4 2 2 11 1 1 4 2 4

sin cos

cos sin 0

l H b p l H

F b p E A g p

(3.99)

Trong đó: , ,

(1) 21

2lH

; (2) 4

1

2lH

;

2(1) 2

1 2

4lF

;

2(2) 4

1 2

4lF

(1) (2)2 411 11;

2 2

l lb b ;

2 2(1) (2)11 11

2 4

; ;8 8

g gl l


Với (1)1 1 2 1( , )Bu u l t p , (2)

2 2 4 1( , )Du u l t p , ta có các phương trình:

11 1 1 2 1 2 3 3 0 1

( ) cos cos – cos – cos 0 f l l p l l (3.100)

12 1 1 2 1 2 3 0 1

)3

(sin sin – sin – sin 0f l l p l l (3.101)

* * 1 *3 3 3 4 2 4 5 5 0 2

( )cos cos – cos – cos 0f l l p l l (3.102)

* * 1 *4 3 3 4 2 4 5 5 0 2

( )sin sin – sin – sin 0f l l p l l (3.103)

Ta có hệ 7 phương trình chuyển động từ (3.93) đến (3.99) đây là các phương

trình vi phân phi tuyến. Cùng với 4 phương trình liên kết từ (3.100) đến (3.103) ta có

11 phương trình với 11 ẩn số là:

(1) (2)

1 2 3 4 5 1 1, , , , , ,p p và λ1, λ2, λ3, λ4

Hệ phương trình trên viết lại dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts tM s s Φ s λ p s s (3.104)

f(s) = 0 (3.105)

Trong đó (1) (2)1 2 3 4 5 1 1

T

p p s là hệ tọa độ suy rộng dư,

(1) (2)1 1 1

T

p pq là các tọa độ độc lập, 2 3 4 5

Tz là các tọa độ phụ

thuộc, 1 2 3 4

Tλ λ λ λλ là các nhân tử Lagrange.

1 2 3 4

Tf f f ff (3.106)

(1)1 1 2 1 2 3 3 2

(1)1 1 2 1 2 3 3 2

(2)4 1 4 5 5 4

*

(2)4

*3 3

* *3 53 1 4 5 4

sin sin sin 0 0 cos 0

cos cos cos 0 0 sin 0

0 0 sin sin sin 0 cos

0 0 cos cos cos 0 sin

s

l l p l

l l p l

l l p l

l l p l

Φ

(1) (1)1 1 1 4 2 2 4 2 2 3 3 3 2 2

(1) (1)1 1 1 4 2 2 4 2 2 3 3 3 2 2

* * (2) (2)3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 4 4

*3 3

cos sin cos cos 0 0 sin 0

sin cos sin sin 0 0 cos 0

0 0 cos sin cos cos 0 sin

0 0 si

s

l p l p l

l p l p l

l p l p l

l

Φ

* (2) (2)3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 4 4n cos sin sin 0 cosp l p l

2 s p Φ s

101

22 2 2 sp p Φ s f

*) Điều kiện đầu cho cơ cấu: Điều kiện đầu được chọn cũng tương tự như cơ cấu rắn

là góc khâu dẫn 1(0) 0 , vận tốc góc khâu dẫn 1(0) 0 , biến dạng ban đầu được

chọn (1) (2)1 1(0) 0, (0) 0p p và vận tốc của nó (1) (2)

1 1(0) 0, (0) 0p p .


Để mô phỏng số, một mômen phát động được đặt vào khâu dẫn giống như

trường hợp cơ cấu rắn:

0 sin(2 / )( )

0m m

m

t T t Tt

t T

(3.107)

với τ0 là biên độ, Tm là chu kỳ của mômen phát động. Trường hợp thanh truyền chịu

này tiến hành song song với trường hợp cơ cấu rắn. Thông số cơ cấu và mômen được

chọn hoàn toàn tương tự như trường hợp cơ cấu rắn.

Kết quả mô phỏng được thực hiện trong các trường hợp là:


2) Biên độ mômen phát động τ0 = 3 Nm, chu kỳ Tm = 1s.

Kết quả tính toán mô phỏng trên các hình vẽ cho thấy:

+ Khi mômen phát động là nhỏ thì biến dạng của thanh truyền là không đáng kể, do

đó ảnh hưởng của nó đến chuyển động của các khâu trong cơ cấu là bé (như các

hình từ Hình 3.90 đến Hình 3.93).

+ Khi tăng mômen phát động tăng lên thì biến dạng tăng là đáng kể, do đó các sai

lệch về góc quay và vận tốc góc các khâu tăng lên rõ rệt (như các hình từ Hình 3.94

đến Hình 3.97)

1) Trường hợp biên độ mômen τ0 = 1.5 Nm, chu kỳ Tm = 1s

Hình 3.90. Góc khâu dẫn. …. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.91. Góc khâu chấp hành φ5

….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi

102

2) Trường hợp biên độ mômen τ0 = 3 Nm, chu kỳ Tm = 1s

b) Bài toán động lực học thuận có điều khiển dao động: Tương tự như các bài toán

điều khiển dao động của cơ cấu bốn khâu, một bộ điều khiển PD với mômen tăng

cường cũng được thiết kế để điều khiển dao động cho cơ cấu sáu khâu với sơ đồ điều

khiển như Hình 3.1. Hệ số khuếch đại tìm được: kp= 1.2, kD = 0.5.

Hình 3.92. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB, τ0 = 1.5Nm

Hình 3.93. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD, τ0 = 1.5Nm

Hình 3.96. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB, τ0 = 3 Nm

Hình 3.97. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD, τ0 = 3 Nm

Hình 3.94. Góc khâu dẫn. …. cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.95. Góc khâu chấp hành φ5


103

Thực hiện điều khiển dao động trong trường hợp mômen phát động có biên độ

τ0= 3Nm, chu kỳ Tm = 1s tác dụng vào khâu dẫn (như Hình 3.94 đến Hình 3.97), các

thông số cơ cấu như Bảng 3.2.

Kết quả điều khiển là quỹ đạo cơ cấu đàn hồi bám theo quỹ đạo của cơ cấu rắn và

dao động đàn hồi bị triệt tiêu như các hình từ Hình 3.98 đến Hình 3.101. Hình 3.102 là

mômen điều khiển tăng cường tác dụng vào khâu dẫn.

Hình 3.98. Góc khâu dẫn khi điều khiển. …… cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.

Hình 3.99. Góc khâu chấp hành khi điều khiển. .… cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.100. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB khi có điều khiển, τ0 = 3 Nm

Hình 3.101. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD khi điều khiển, τ0 = 3

Nm

Hình 3.102. Mômen điều khiển τC đặt vào khâu dẫn

104

3.4.3. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu uốn

a) Bài toán động lực học thuận

Trong trường hợp này ta xét các thanh truyền chỉ chịu chuyển vị uốn, bỏ qua

chuyển vị dọc. Các phương trình trong trường hợp này là từ (2.154) đến (2.160), ta

viết cho dạng riêng đầu tiên i = j = 1, hệ phương trình vi phân chuyển động là:

1

22 (1) (1)1 1 2

1 1 2 1 2 1 1 2 1 1

2(1) (1) 2 (1) (1)1 1 2

1 1 1 1 2 1 1 1 1

2 (1) (1)1 1 2 1 1 1 1 1 1 2

cos sin2

cos sin 2 sin2

cos sin cos

O

l lI l l l C q

l ll C q l C q

l C q l l

(3.108)

2 3(1) (1) (1) (1) (1)1 1 2 1 2

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 11 1 1

2(1) (1) (1) (1) (1) 21 1 2

1 1 1 1 2 11 1 1 1 1 2

2 (1) (1)1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2

cos sin2 3

2 sin2

cos sin cos

l l ll C q m q q

l lD q m q q

l C q l l

(3.109)

2

* 2*2 * * * * (2) (2)2 3 4

2 3 4 3 4 3 4 2 3 4 3 4 1 1

* 2* * (2) (2) 2 * * * (2) (2)2 3 4

2 3 3 4 1 1 4 3 4 2 3 4 3 4 1 1

* 2 * (2) (2) *2 3 4 3 4 1 1 3 1 3 3 2

cos sin2

cos sin 2 sin2

cos sin cos

O

l lI l l l C q

l ll C q l C q

l C q l l

* * * * *3 3 3 3 3 4 3sin cosl l

(3.110)

(2) (2) (2) (2) (2)1 1 2 11 1 1

* 23(2) (2) (2) (2) (2) *22 3 42 4

2 1 1 2 4 11 1 1 3

* *2 (2) (2)2 3 3 1 1 4 3 4 4 4 4

cos sin

2 sin3 2

cos sin cos

l ll C q m q q

l llD q m q q

l C q l l

(3.111)

3 5 5 5 1 5 5 2sin cos 0OI l l (3.112)

(1) (1) (1) (1) 2 (1) (1)1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 11 1 1 2 11 1

2 (1) (1) (1)1 1 1 1 2 1 1 1 11 1

cos

sin 0

l C D m q m q

l C E I k q

(3.113)

* * (2) (2) (2) (2) * 2 * (2)2 3 3 3 4 1 2 1 4 2 11 1 2 3 3 3 4 1

2 (2) (2) (2) (2)2 4 11 1 2 2 11 1

cos sin

0

l C D m q l C

m q E I k q

(3.114)

Trong đó:

(1) 21

2lC

; (2) 4

1

2lC

;

2(1) 21

lD

;

2(2) 41

lD

; (1) 2

112

lm ;

(2) 411

2

lm

4(1)

11 322

kl

;4

(2)11 3

42k

l


1 1 1 2 2 3 3 0 1 cos cos – cos – cos 0 f l l l l (3.115)

2 1 1 2 2 3 3 0 1sin sin – sin – sin 0f l l l l (3.116)

105

* * *3 3 3 4 4 5 5 0 2cos cos – cos – cos 0f l l l l (3.117)

* * *4 3 3 4 4 5 5 0 2sin sin – sin – sin 0f l l l l (3.118)

Hệ phương trình từ (3.108) đến (3.114), và các phương trình liên kết từ (3.115) đến

(3.118) viết lại dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts tM s s Φ s λ p s s (3.119)

f(s) = 0 (3.120)

1 2 3 4

Tf f f ff (3.121)

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3* *3 3 4 4 5 5* *3 3 4 4 5 5

sin sin sin 0 0 0 0

cos cos cos 0 0 0 0

0 0 sin sin sin 0 0

0 0 cos cos cos 0 0

s

l l l

l l l

l l l

l l l

fΦ

s (3.122)

*) Chọn điều kiện đầu: Điều kiện đầu được chọn cũng tương tự như cơ cấu rắn là góc

khâu dẫn 1(0) 0 , vận tốc góc khâu dẫn 1(0) 0 , biến dạng uốn ban đầu được chọn

(1) (2)1 1(0) 0, (0) 0 q q và vận tốc của nó (1) (2)

1 1(0) 0, (0) 0 q q .

*) Tính toán mô phỏng số: Mô phỏng được thực hiện đồng thời với cơ cấu rắn như

trường hợp trên, thông số như Bảng 3.2. Kết quả mô phỏng được thực hiện trong các

trường hợp là biên độ mômen phát động τ0 = 3 Nm, chu kỳ Tm = 1s.

Kết quả tính toán cho thấy sai lệch góc của các khâu trong cơ cấu đàn hồi so với

cơ cấu rắn là đáng kể, chuyển vị uốn lớn nhất của thanh truyền AB tại vị trí giữa thanh

khoảng 1.4mm, còn của thanh truyền CD cũng ở vị trí giữa thanh là khoảng 1mm.

Hình 3.103. Góc khâu dẫn. …… cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.104. Góc khâu chấp hành φ5. …… cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

106

b) Bài toán điều khiển dao động: Tương tự như bài toán điều khiển cơ cấu sáu khâu

với các thanh truyền chịu kéo nén dọc như trên. Bộ điều khiển PD tăng cường được sử

dụng với các hệ số khuếch đại được chọn: kp= 5, kD = 3.5.

Kết quả điều khiển là quỹ đạo cơ cấu đàn hồi bám quỹ đạo của cơ cấu rắn và

dao động đàn hồi của các thanh truyền bị triệt tiêu như các hình từ Hình 3.107 đến

Hình 3.110. Mômen tăng cường điều khiển dao động như trên Hình 3.111.

Hình 3.105. Chuyển vị uốn của thanh truyền AB tại điểm giữa thanh

Hình 3.106. Chuyển vị uốn của thanh truyền CD tại điểm giữa thanh

Hình 3.107. Góc khâu dẫn khi điều khiển. …… cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi.

Hình 3.108. Góc khâu chấp hành khi điều khiển. .… cơ cấu rắn, _____ cơ cấu đàn hồi

Hình 3.109. Chuyển vị uốn của thanh truyền AB tại điểm giữa thanh khi điều khiển

Hình 3.110. Chuyển vị uốn của thanh truyền CD tại điểm giữa thanh khi điều khiển

107


Trong chương 3, luận án đã thực hiện phân tích động lực học thuận và điều khiển dao

động cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi với kết quả chính gồm các điểm sau:

1) Áp dụng lý thuyết động lực học hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng, biến đổi hệ

phương trình vi phân đại số của cơ cấu có khâu đàn hồi về hệ các phương trình vi phân

thường. Trên cơ sở đó sử dụng lực/ngẫu lực điều khiển tăng cường cho các khâu dẫn [47], áp

dụng để giảm dao động đàn hồi của các khâu đàn hồi, duy trì gần đúng chuyển động của các

khâu dẫn.

2) Tính toán động lực học thuận và điều khiển dao động cơ cấu 4 khâu có khâu nối đàn

hồi và cơ cấu 6 khâu có hai khâu nối đàn hồi.

3) Các kết quả mô phỏng số đã chỉ ra rằng bằng cách thêm các lực điều khiển phụ đặt

vào các khâu dẫn ta có thể điều khiển dao động phát sinh do khâu nối đàn hồi trong trường

hợp chuyển động khâu dẫn có vận tốc đủ nhỏ. Mô phỏng số cũng chỉ ra rằng trong những

trường hợp chuyển động khâu dẫn có vận tốc không nhỏ, thì cách điều khiển này không thể

triệt tiêu dao động phát sinh do khâu nối đàn hồi gây ra. Do đó trong những trường hợp như

vậy cần có phương pháp điều khiển khác phù hợp hơn.

4) Qua các thí dụ mô phỏng cho thấy việc sử dụng phương pháp Ritz – Galerkin tương

đương với sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn khi khâu đàn hồi là dầm đồng chất, thiết

diện không đổi.

Hình 3.111. Mômen tăng cường đặt vào khâu dẫn

108

CHƯƠNG 4. TUYẾN TÍNH HÓA VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN

CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU ĐÀN HỒI

Khi cơ cấu chuyển động, do biến dạng của các khâu trong cơ cấu mà làm phát

sinh các dao động đàn hồi, các dao động này là dao động phi tuyến phức tạp. Để đơn

giản trong nghiên cứu trước tiên ta có thể thực hiện việc tuyến tính hóa các phương

trình chuyển động và nghiên cứu dao động tuyến tính. Việc làm này mặc dù không

chính xác về mặt toán học, nhưng trong nhiều trường hợp lại có thể chấp nhận được

trong thực tế.

Trong các trạng thái chuyển động của cơ cấu, một trạng thái hay gặp là chế độ

chuyển động bình ổn của cơ cấu, đó là chuyển động có chu kỳ của khâu dẫn với hệ số

không đều δ nhỏ hơn giá trị không đều cho phép, mà trường hợp lý tưởng là khâu dẫn

quay đều. Ở chế độ bình ổn này sự biến dạng của khâu đàn hồi sẽ gây ra dao động nhỏ

của các khâu quanh chuyển động bình ổn, các dao động lúc này là các dao động tuần

hoàn. Để tính toán dao động tuần hoàn phức tạp này, các nhà chuyên môn có thể tuyến

tính hóa phương trình vi phân phi tuyến.

Trong một số nghiên cứu, khi các phương trình chuyển động của cơ hệ là các

phương trình vi phân thường phi tuyến, việc tuyến tính tính hóa có thể thực hiện bằng

khai triển Taylor quanh chuyển động cơ bản của cơ cấu rồi bỏ qua các vô cùng bé bậc

cao [5]. Trong trường hợp phương trình chuyển động của các cơ cấu là phương trình vi

phân- đại số phi tuyến, như trong trường hợp phương trình chuyển động thiết lập bằng

phương trình Lagrange dạng nhân tử, việc tuyến tính hóa như trên là khá phức tạp [49,

91, 98, 99, 103].

Luận án này đã đề xuất một phương án tuyến tính hóa hệ phương trình chuyển

động của các hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng quanh chuyển động cơ bản của cơ

cấu. Trong đó chuyển động cơ bản của cơ cấu là chuyển động của cơ cấu rắn có khâu

dẫn quay đều. Ý tưởng của phương pháp này là đưa phương trình vi phân – đại số về

phương trình vi phân thường bằng phương pháp khử nhân tử Lagrange, sau đó sẽ

tuyến tính hóa phương trình vi phân thường bằng cách khai triển Taylor phương trình

này quanh chuyển động cơ bản.

4.1. Một phương pháp mới tuyến tính hóa các phương trình chuyển động của hệ

nhiều vật có cấu trúc mạch vòng

Từ hệ phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu

trúc mạch vòng (3.5), (3.6), viết gọn lại có dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (4.1)

f(s) = 0 (4.2)

109

Trong đó: 1 2 ...T

ns s ss là các tọa độ suy rộng dư, 1 2 ...T

fq q q q là các tọa độ

suy rộng đủ, 1 2 ...T

rz z zz là các tọa độ suy rộng phụ thuộc.

qs

z , n = f + r (4.3)

1 2 ... rf f ff là các điều kiện ràng buộc (4.4)

1

1 1( , , ) ( ) ( , , ) ( ), ( , , ) nxt t t tp s s τ C s s s g s p s s (4.5)

Theo các phương trình (3.27), (3.28), hệ phương trình vi phân đại – đại số (4.1),

(4.2) có thể biến đổi về dạng phương trình vi phân thường không chứa nhân tử

Lagrange:

),,()( 1 tTT sspRssMR (4.6)

2( ) ( , , )s tΦ s s p s s (4.7)

Trong đó:

, , , ,r n r f r rs s q z s q z

fΦ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

s (4.8)

2 1

2 2( , , ) ( ) 2 ( ) ( ), ( , ) r

s st p s s Φ s s Φ s s f s p s s (4.9)

1( )f

z q

ER s

Φ Φ, , ( )f f n f

f E R s (4.10)

Sau khi đưa hệ phương trình vi phân – đại số của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch

vòng về hệ phương trình vi phân thường (4.6), (4.7). Tiếp theo sẽ tuyến tính hóa hệ

phương trình vi phân thường này quanh chuyển động cơ bản của hệ.

Gọi )(tRs là chuyển động cơ bản (chuyển động mong muốn) của hệ nhiều vật có

cấu trúc mạch vòng. Ta đưa vào kí hiệu:

xssxssxss RRR ,, (4.11)

Trong đó x là sai lệch của chuyển động thực so với chuyển động cơ bản.

Để đơn giản trong biến đổi ta đưa vào các ký hiệu:

ssMsRssf )()(),(1T (4.12)

),,(),,( 11 tt T sspRssk (4.13)

ssΦssf )(),(2 s (4.14)

),,(),,( 22 tt sspssk (4.15)

Trong đó: 12

12

11

11 ,,, rrff kfkf

Khai triển Taylor các hàm ),(1 ssf , ),,(1 tssk , ),(2 ssf , ),,(2 tssk quanh chuyển động cơ

bản RRR sss ,, , ta được:

110

1 11 1 1( , ) ( , ) ( , )R R R R

R R

f ff s s f s x s x f s s x x

s s

(4.16)

1 1

1 11

( , , ) ( , , )

( , , )

R R

R R

R R

t t

t

k s s k s x s x

k kk s s x x

s s

(4.17)

2 2

2 22

( , ) ( , )

( , )

R R

R R

R R

f s s f s x s x

f ff s s x x

s s

(4.18)

2 2

2 22

( , , ) ( , , )

( , , )

R R

R R

R R

t t

t

k s s k s x s x

k kk s s x x

s s

(4.19)

Thay các biểu thức từ (4.16) đến (4.19) vào phương trình (4.6) và (4.7), bỏ qua các số

hạng phi tuyến, ta được:

xs

kx

s

ksskx

s

fx

s

fssf

RR

RR

RR

RR t

11

111

1 ),,(),(

(4.20)

xs

kx

s

ksskx

s

fx

s

fssf

RR

RR

RR

RR t

22

222

2 ),,(),(

(4.21)

Từ đó suy ra:

),(),,( 111111

RRRR

RRRR

t ssfsskxs

k

s

fx

s

kx

s

f

(4.22)

),(),,( 222222

RRRR

RRRR

t ssfsskxs

k

s

fx

s

kx

s

f

(4.23)

Các phương trình (4.22) và (4.23) có thể viết gộp lại thành một phương trình dạng ma

trận như sau:

),(),,(

),(),,(

22

11

22

11

2

1

2

1

RRRR

RRRR

RR

RR

R

R

R

R

t

t

ssfssk

ssfsskx

s

k

s

f

s

k

s

f

x

s

k

s

k

x

s

f

s

f

(4.24)

Trong đó:

nr

R

nr

R

nf

R

nf

R

nrnfnrnf

s

k

s

f

s

k

s

f

s

k

s

k

s

f

s

f

2211

2121

,,,

;,;,

(4.25)

Ta đưa vào các ký hiệu:

+ các số hạng phi tuyến




111

RR

RRR

R

RR

R

RR ttt

s

k

s

f

s

k

s

f

K

s

k

s

k

C

s

f

s

f

M22

11

2

1

2

1

)(,)(,)(

(4.26)

),(),,(

),(),,()(

22

11

RRRR

RRRRR

t

tt

ssfssk

ssfsskh

(4.27)

1( ) , ( ) , ( ) , ( )n n n n n n nR R R Rt t t t M C K h (4.28)

Hệ phương trình (4.24) viết lại dưới dạng:

)()()()( tttt RRRR hxKxCxM (4.29)

Bây giờ ta tìm cách xác định các phần tử của ma trận MR, CR, KR và véc tơ hR.

Từ (4.12) đến (4.15), ta có:

)()(1 sMsRs

f T

(4.30)

)(),(2 sΦsss

fs

(4.31)

s

pRss

s

k

11 ),,( Tt (4.32)

s

p

s

k

22 (4.33)

nT

Tn

TT

EssMsRs

s

sssMsREssMsR

sssMsR

ss

f

)()(

)()()()()()(1

(4.34)

nn EssΦss

ssΦEssΦ

sssΦ

ss

f

)()()()(2 (4.35)

),,()( 11 tT sspsR

ss

k

(4.36)

),,(22 tssp

ss

k

(4.37)

Kí hiệu là tích Kronecker [5], En là ma trận đơn vị cấp n.

Trong công thức (4.34) và (4.36), các đạo hàm

)()( sMsRs

T

, ),,()( 1 tT sspsR

s

(4.38)

có thể xác định cụ thể hơn. Áp dụng định lý đạo hàm của tích hai ma trận theo biến

véc tơ [5], ta có:

s

sMsREsM

s

sRsMsR

s

)()()(

)()()( T

n

TT (4.39)

112

s

sspsREssp

s

sRsspsR

s

),,()(),,(

)(),,()( 1

11

ttt T

n

TT

(4.40)

Từ (4.10) ta có:

1 1 1( )TT

T T TqT Tf q z f z n q z

ΦR s0 Φ Φ 0 Φ E Φ Φ

s s s s(4.41)

Do ,1r

T

zTz EΦΦ đạo hàm hai vế theo s ta có;

0Φs

ΦEΦs

Φ

T

zTzn

T

z

Tz 11 (4.42)

Suy ra:

n

T

z

TzT

z

T

z EΦs

ΦΦΦ

s

111 (4.43)

Thế (4.43) vào (4.41) ta được

11 1

1 1

( )T TT

T Tq T T zf z n q z z n

T TTq T T z

f q z z n

Φ ΦR s0 Φ E Φ Φ Φ E

s s s

Φ Φ0 Φ Φ Φ E

s s

(4.44)

Như vậy, từ (4.26), (4.27) và các công thức biến đổi từ (4.30) đến (4.37) ta suy ra:

)(

)()()(

Rs

RRT

R tsΦ

sMsRM (4.45)

R

R

RT

R t

s

p

s

psR

C

2

1)(

)( (4.46)

RnR

R

R

TnR

R

T

R

t

t

t

),,()(

),,()()()(

)(

2

1

ssps

EssΦs

sspsRs

EssMsRs

K

(4.47)

RRsRR

RRRT

RRRT

Rt

tt

ssΦssp

ssMsRsspsRh

)(),,(

)()(),,()()(

2

1 (4.48)

Phương pháp tuyến tính hóa này có thể áp dụng cho các hệ nhiều vật có cấu trúc

mạch vòng với hệ phương trình chuyển động là phương trình vi phân – đại số. Theo

phương pháp này, các chuyển động cơ bản phải được xác định. Trong bài toán cơ cấu

đàn hồi, giải phương trình (4.29) ta sẽ thu được các nghiệm , ,x x x là các sai lệch của

chuyển động thực của cơ cấu đàn hồi so với chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn và các

113

+ Nhập các ma trận M, p1, f

+ Nhập , ,R R Rs s s

+ Xác định ma trận: Φs , R, sΦ , p2

+ Xác định các ma trận: f1, k1, f2 k2

+ Tính các đạo hàm:

1

p

s, 2

p

s s

f

1 ,s

k

1 ,s

f

2 ,s

k

2

Xác định các ma trận hệ số: MR, CR, KR, hR

Hình 4.1. Sơ đồ khối thuật toán xác định các ma trận hệ

thành phần biến dạng đàn hồi. Khi đó chuyển động thực sẽ được xác định dựa vào

chuyển động cơ bản và sai lệch như công thức (4.11).

Trong trường hợp cơ cấu chuyển động bình ổn thì các ma trận hệ số từ (4.45)

đến (4.48) là tuần hoàn, khi đó phương trình vi phân chuyển động (4.29) sẽ là phương

trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Phương pháp giải rất hiệu quả cho trường hợp

này là phương pháp tích phân Newmark để tìm nghiệm đầu của phương trình vi phân

tuyến tính hệ số tuần hoàn [72]. Sau khi có nghiệm đầu thì các nghiệm tiếp theo sẽ

được xác định một cách đơn giản.

*) Thuật toán xác định các ma trận hệ số của phương trình tuyến tính hóa:

Các công thức xác định ma trận hệ số

(4.26) và (4.27) hoặc từ (4.45) đến (4.48)

có thể biến đổi giải tích từ hệ (4.1), (4.2)

đưa ra được dạng tường minh trong những

trường hợp đơn giản. Tuy nhiên trong

trường hợp như với cơ cấu đàn hồi, khi số

lượng các phương trình nhiều, các phương

trình khá phức tạp thì việc đưa ra dạng

tường minh của các ma trận hệ số đó là rất

khó khăn. Để đơn giản và hạn chế sai sót ta

có thể sử dụng phần mềm MAPLE để thực

hiện tính toán đạo hàm các ma trận, nhân

các ma trận..., cũng như xác định các ma

trận hệ số MR, CR, KR, hR. Sau đó các ma

trận sẽ được chuyển sang mã Code của

phần mềm MATLAB để tính toán số. Sơ

đồ khối thuật toán chương trình MAPLE

để xác định các ma trận hệ số cho như

Hình 4.1.

Thuật toán:

Bước 1. Nhập các ma trận và véc tơ hệ số M, p1, f của hệ phương trình (4.1), (4.2) với

p1 như (4.5). Nhập các chuyển động cơ bản , ,R R Rs s s .

Bước 2.

+ Tính Φs , sΦ theo (4.8); p2, R theo các công thức (4.9), (4.10).

+ Xác định các ma trận: f1, k1, f2, k2 theo các công thức từ (4.12) đến (4.15).

Bước 3. Tính các đạo hàm:

114

1

p

s, 2

p

s,

s

f

1 , s

k

1 , s

f

2 , s

k

2

Bước 4. Xác định các ma trận hệ số:

MR theo công thức (4.45)

CR theo công thức (4.46)

KR theo công thức (4.26)

hR theo công thức (4.27)

4.2. Tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính hệ

số tuần hoàn bằng phương pháp Newmark

4.2.1. Cơ sở của phương pháp

Nathan Mortimore Newmark (1920 – 1981), giáo sư kỹ thuật công trình tại

trường Đại học Illinois (Hoa Kỳ), đã đề xuất phương pháp mang tên ông vào năm

1959 được sử dụng để giải hệ phương trình vi phân [64].

Phương pháp Newmark là công thức tích phân một bước. Véc tơ trạng thái của hệ

ở thời điểm tn+1 = tn + h được suy ra từ véc tơ trạng thái đã biết ở thời điểm tn, qua các

khai triển Taylor của dịch chuyển và vận tốc:

2

( )( ) ( ) '( ) "( ) ... ( )2! !

ss

n n n n n s

h hf t h f t hf t f t f t R

s (4.49)

Trong đó Rs là số dư của khai triển bậc s:

( 1)1( ).( )

!

n

n

t h

s ss n

t

R f t h ds

(4.50)

Từ (4.49) suy ra công thức xác định véc tơ dịch chuyển và vận tốc của hệ tại thời điểm

tn+1

1 ( )n

n

t h

n n n

t

d

q q q (4.51)

1 1( ).( )n

n

t h

n n n n n

t

h t d

q q q q (4.52)

Sự gần đúng thể hiện ở đánh giá số hạng gia tốc trong biểu thức tích phân số trên. Biểu

thức ( )q trong đoạn [tn, tn+1] là một hàm của nq và 1nq tại biên của đoạn đó:

23 4

23 4 1

1 1

( )) ).( ) ) ...

2( )

) ).( ) ) ...2

( ) ( ) nn n

( ) ( ) nn n

t(τ (τ t (τ

t(τ (τ t (τ

q q q q

q q q q

(4.53)

Nhân phương trình thứ nhất của (4.53) với (1 - ), phương trình thứ 2 với rồi cộng

lại, rút ra gọn ta có:

115

3 2 41) (1 ) ( )( ) 0( )( ) ( )

n n n(τ τ t h h q q q q q (4.54)

Nhân phương trình thứ nhất của (4.53) với 1 2 , phương trình thứ 2 với rồi

cộng lại, rút ra gọn ta có:

3 2 41) (1 2 ) 2 (t)( 2 ) 0( )( ) ( )

n n n(τ t h h q q q q q (4.55)

Thế (4.54) và (4.55) vào (4.51) và (4.52) ta được biểu thức cầu phương:

1

1

1

2 21 1

( ) (1 )

1) ( ) ( )

2

n

n

n

n

t

n n n

t

t

n n n n

t

d h h

(t - τ d h h '

q q q r

q q q r

(4.56)

Trong đó:

2 (3) 3 (4)

3 (3) 3 (4)1

1( ) 0

21

( ) 0 ,6

n

n n n

h h

h h t t

r q q

r' q q

(4.57)

Các hằng số , là các tham số với sơ đồ cầu phương tương ứng, với mỗi cặp số này

có một phương pháp Newmark tương ứng. Chọn 1 2 1 6/ , / ta được phương

pháp gia tốc thay đổi tuyến tính trên đoạn [ 1,i it t ], nếu chọn 1 2/ , 1 4/ tương

ứng với giả thiết gia tốc có giá trị trung bình trên đoạn 1,i it t .

Thay (4.56) vào (4.51) và (4.52) lấy xấp xỉ ta được công thức của phương pháp

Newmark:

1 1(1 )n n n nh h q q q q (4.58)

2 21 1

1( )2

n n n n nh h h q q q q q (4.59)

4.2.2. Sử dụng phương pháp Newmark xác định điều kiện đầu dao động tuần hoàn

cho hệ tuyến tính hệ số tuần hoàn

Sử dụng các công thức tích phân Newmark, GS. Nguyễn Văn Khang và cộng sự

đã đưa ra thuật toán tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân

tuyến tính hệ số tuần hoàn [67,72].

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ),t t t t M q C q K q f (4.60)

Trong đó M(t), C(t), K(t) là các ma trận cấp n n , f(t) là véctơ lực mở rộng. Các ma

trận đó đều là hàm tuần hoàn với chu kỳ T:

M(t+T) = M(t), C(t+T) = C(t), K(t+T) = K(t), f(t+T) = f(t).

Nghiện tuần hoàn của phương trình (4.60) có chu kỳ T thỏa mãn điều kiện đầu

116

sau đây:

(0) ( ), (0) ( ), (0) ( )T TT q q q q q q (4.61)

Chia đều đoạn [0, T] thành m khoảng bằng nhau, độ rộng mỗi bước là h = ti – ti-1 =

T/m, như vậy các điểm chia là t0 = 0 < t1 < t2 < … < tm= T. Đặt giá trị nghiệm tại thời

điểm ti nào đó như sau: ( ), ( ), ( )i i i i i it t t q q q q q q

Theo phương pháp tích phân số Newmark, nghiệm của phương trình được tính gần

đúng theo công thức:

2 2

1 1

1

2i i i i ih h h

q q q q q (4.62)

1 11i i i ih h q q q q (4.63)

Từ phương trình (4.60) ta viết dưới dạng tính toán theo sơ đồ lặp tại 1it

1 1 1 1 1 1 1i i i i i i i M q C q K q f (4.64)

Trong đó 1 1 1 1, ,i i i it t M M C C 1 1i it K K , 1 1 .i it f f

Thay phương trình (4.62) và (4.63) vào phương trình (4.64) và sắp xếp lại ta có:

2 21 1 1 1 1 1 1

11

2i i i i i i i i i i i ih h h h h

M C K q f C q q K q q q

(4.65)

Từ (4.62) và (4.63) dẫn đến công thức dự báo cho dịch chuyển và vận tốc tại thời điểm

ti+1 theo các giá trị chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm trước ti

* 21

*1

1

2

1

i i i i

i i i

h h

h

q q q q

q q q

(4.66)

Viết lại phương trình (4.66) dạng ma trận:

*

1

*1

i

ii

ii

qq

D qq

q

(4.67)

trong đó

2 0.5

1

h h

h

I I ID

0 I I (4.68)

Với I là ma trận đơn vị cấp n n , 0 ma trận 0 cấp n n .

Phương trình (4.65) viết lại dưới dạng:

*

1 1 11 1 1 1 1 *

1

ii i i i i

i

qq S f S H

q

(4.69)

trong đó ma trận 1iS và 1iH tuần hoàn chu kỳ T và được xác định:

21 1 1 1i i i ih h S M C K (4.70)

117

1 1 1i i i H K C (4.71)

Thay (4.67) vào phương trình (4.69) ta có biểu thức gia tốc

1 1

1 1 1 1 1

i

i i i i i i

i

q

q S f S H D qq

(4.72)

Theo (4.62), (4.63) và (4.66) thì chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm ti+1 là:

*11

*1 1

1 1

ii

i i

i i

qqq T q

q q

(4.73)

Trong đó ma trận T có dạng

2hh

I 0 IT 0 I I

0 0 I (4.74)

Thay (4.67) và (4.72) vào (4.73) để bỏ đi nghiệm dự báo ta sẽ được:

1

1111 1

11 1

i i

i i

i ii i

i i

q q 0Dq T q T 0

S H Dq q S f

(4.75)

Phương trình này cho phép tính các giá trị tại các thời điểm dựa vào các giá trị tại thời

điểm trước đó. Cũng chú ý rằng chỉ ma trận T và D là hai ma trận hằng.

Đặt ,i

i i

i

q

x q

q

11

1 1

,i

i i

DA T

S H D

1

1

1 1

i

i i

0

b T 0

S f

(4.76)

Phương trình (4.76) viết lại dưới dạng:

1 ( 1, 2,..., )i i i i i m x A x b (4.77)

Khai triển phương trình (4.77) ta có:

1 1 0 1

2 2 1 0 2

................................

x A x c

x A A x c

1

0m i mi m

x A x c (4.78)

Trong đó 0 1 1 0 1, , c 0 c A c b 2 2 1 2 c A c b ,..., 1m m m m c A c b

Sử dụng tính chất tuần hoàn nghiệm (4.61) ta có: x0 = xm , thay vào (4.78) ta được:

1

0i mi m

I A x c (4.79)

Giải phương trình (4.79) ta sẽ thu được nghiện đầu tuần hoàn x0 cho phương

118

trình (4.60). Với giá trị nghiệm đầu này ta sẽ tính được nghiệm của phương trình

(4.60) tại các thời điểm tiếp theo nhờ (4.77).

4.3. Phân tích dao động tuần hoàn cơ cấu bốn khâu có khâu nối đàn hồi

Trong mục này sẽ tính toán dao động tuần hoàn của cơ cấu bốn khâu với khâu

nối đàn hồi khi khâu dẫn quay đều trong các trường hợp: thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ

qua ảnh hưởng biến dạng dọc) và thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua ảnh

hưởng của biến dạng uốn) bằng phương pháp tuyến tính hóa mà luận án đã đề xuất.

Cũng trong mục này, hệ phương trình vi phân chuyển động được sử dụng tính toán dao

động là hệ phương trình đã thiết lập ứng với trường hợp khâu nối được rời rạc hóa

bằng phương pháp Ritz – Galerkin (tính toán là tương tự khi sử dụng hệ phương trình

chuyển động được thiết lập ứng với trường hợp khâu nối được rời rạc hóa bằng

phương pháp phần tử hữu hạn)

4.3.1. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu uốn

Để so sánh với kết quả tính toán trước đó, trong trường hợp cơ cấu có thanh

truyền chỉ chịu uốn này đã thực hiện tính toán theo 2 phương pháp: phương pháp

tuyến tính hóa mà luận án đề xuất và phương pháp tách cấu trúc như tài liệu [10,74].

4.3.1.1. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa luận án đề xuất

Trong phần này ta sẽ tuyến tính hóa phương trình chuyển động quanh chuyển

động cơ bản bằng phương pháp đã được luận án đề xuất và phân tích dao động tuần

hoàn của cơ cấu bốn khâu có thanh truyền chịu biến dạng uốn khi khâu dẫn quay đều.

Để phân tích dao động tuần hoàn này ta thực hiện theo 4 bước sau:

1) Xác định chuyển động cơ bản:

Cho biết chuyển động cơ bản là chuyển động của cơ cấu rắn với khâu dẫn quay đều:

1 1 (0) ,R Rt t 1 1, 0R R (4.80)

Trong đó 1 (0)R góc định vị khâu dẫn tại thời điểm ban đầu, ta chọn 1 (0) 0R .

Tìm các chuyển động cơ bản còn lại: 2 3 2 3 2 3, , , , ,R R R R R R

*) Xác định các góc định vị 2 3,R R :

Từ phương trình liên kết viết cho cơ cấu gồm các khâu rắn:

1 1 1 2 2 3 3 0

2 1 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l l l

f l l l

(4.81)

Thay 1R t t vào các phương trình liên kết ta được:

1 1 2 2 3 3 0

2 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

R R

R R

f l t l l l

f l t l l

(4.82)

Sử dụng phương pháp lặp Newton – Raphson ta giải ra được các chuyển động

119

l1

l0

l3

l2

O A

B

C

54o 126o

Hình 4.2. Xác định điều kiện đầu sơ bộ 2 (0)sbR , 3 (0)sb

Rφ

cơ bản 2 3,R R . Tuy nhiên để bắt đầu cho phương pháp lặp thì góc ban đầu sơ bộ

2 (0)sbR , 3 (0)sb

R được chọn bằng phép đo hình học cơ cấu tại thời điểm đầu như Hình

4.2. Với thông số cơ cấu như Bảng 4.1, ta xác định được góc sơ bộ ban đầu

2 (0) 54sb oR , 3 (0) 126sb o

R . Như vậy góc định vị được xác định:

RR 32 , (4.83)

*) Xác định các vận tốc góc 2 3,R R :

Đạo hàm phương trình liên kết (4.82) theo t:

1 1 2 2 2 3 3 3

2 1 2 2 2 3 3 3

sin sin sin 0

cos cos cos 0R R R R

R R R R

f l t l l

f l t l l

(4.84)

=> 2 2 3 3 2 1

32 2 3 3 1

sin sin sin

cos cos cosR R R

RR R

l l l t

l l l t

Đặt

RR

RR

ll

ll

3322

3322

coscos

sinsin

A ;

1

1

sin

cos

l t

l t

b

Ta được các thành phần vận tốc góc:

12

3

R

R

A b

(4.85)

*) Xác định các gia tốc góc 2 3,R R : Đạo hàm tiếp phương trình (4.84) theo t:

0cossincossincos 32333332

222222

21 RRRRRRRR lllltl

0sincossincossin 32333332

222222

21 RRRRRRRR lllltl

Viết lại ta có:

RRRR

RRRR

R

R

RR

RR

lltl

lltl

ll

ll

32332

222

21

32332

222

21

3

2

3322

3322

sinsinsin

coscoscos

coscos

sinsin

120

Đặt: 2 2 2

1 2 2 2 3 3 3

2 2 21 2 2 2 3 3 3

cos cos cos

sin sin sinR R R R

R R R R

l t l l

l t l l

c

,

ta có các gia tốc góc:

12

3

R

R

A c

(4.86)

Như vậy ta có chuyển động cơ bản hoàn toàn được xác định.

2) Chuyển động thực của cơ cấu với khâu nối đàn hồi:

Chuyển động thực của cơ cấu đàn hồi là khâu dẫn quay đều, khâu nối đàn hồi,

dẫn đến chuyển động của khâu nối và khâu bị dẫn sai lệch so với cơ cấu rắn.

Khâu dẫn quay đều: 1 ,t 1 1, 0 (4.87)

Ở Chương 2 đã thiết lập được các phương trình vi phân chuyển động bằng

phương pháp Ritz – Galerkin viết cho cơ cấu bốn khâu với thanh truyền chịu uốn sử

dụng 3 khai triển đầu là các phương trình từ (2.61) đến (2.66). Thay (4.87) vào các

phương trình từ (2.62) đến (2.66), sắp xếp lại theo các tọa độ suy rộng q1, q2, q3 2 3,

ta được các phương trình là:

2 4

2 22 2 1 2 22 1 2 1 2 13

2

2sin 0

2 2 2

l l l l l EIq t q q

l

(4.88)

2 422 2 2

2 2 2 2 232

80

2 2 2 2

l l l EIq q q

l

(4.89)

2 4

2 22 2 1 2 22 3 2 3 2 33

2

2 81sin 0

3 2 3 2 2

l l l l l EIq t q q

l

(4.90)

3 22 2 2 32 2 2 21 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 3 3

22 2 31 2 1 2

2 2 1 1 2 2 2 2 2

3 2 2 3

2sin cos sin cos

2 3

ql l l qq q q q l q q q q q q

ql l l lt t q l l

(4.91)

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0 CI l l (4.92)

Thay (4.87) vào phương trình (2.61) ta được phương trình cho phép xác định

mômen phát động τ để khâu dẫn quay đều khi biết các ẩn 1 2 3 2 3, , , ,q q q , 21, :

23 31 2 1 2 1 2

2 2 2 2 1 2 1

22 23 31 2 1 2 1 22 2 2 2 1 2 2 1

1 1 1 1 1 2

2 2cos( ) sin( ) cos( )

2 3 3

4 2sin( ) sin( ) cos( )

2 3 3sin cos

q ql l l l l lt t q t q

q ql l l l l lt t q t q

l l

(4.93)

Từ (2.67) ta có phương trình liên kết:

1 1 2 2 3 3 0

2 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l t l l l

f l t l l

(4.94)

121

Như vậy ta có hệ 5 phương trình vi phân từ (4.88) đến (4.92), cùng với hai

phương trình liên kết (4.94) tạo thành 7 phương trình vi phân đại số với 7 ẩn số là

1 2 3 2 3, , , ,q q q , 21, . Hệ phương trình trên và các phương trình liên kết được viết

lại dưới dạng:

),,()()( 1 tTs sspλsΦssM (4.95)

f(s) = 0 (4.96)

Trong đó: 1 2 3 2 3

Tq q q s , 1 2 3q q qq là các tọa độ suy rộng đủ,

2 3

T z là các tọa độ suy rộng thừa, 1 2

Tλ λλ

1 2 2 3 3 0

1 2 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l t l l l

l t l l

f (4.97)

2 2 3 3

2 2 3 3

0 0 0 sin sin( )

0 0 0 cos coss

l l

l l

fΦ s

s (4.98)

22 2

22 2

22 2

2 2 2 32 2 22 2 2 2 21 2 3

0 0 02

0 0 02 2

( )0 0 0

2 3

02 3 3 2

0 0 0 0 C

l l

l l

l l

l l l l lq q q

I

M s (4.99)

42 21 2 2

2 1 2 132

422

2 2 232

41 2 21 2 2

2 3 2 332

22 2 31 2 1 2

2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1

2sin

2 2

8

2 2

2 81sin

3 2 2

2sin cos

2 30

l l l EIt q q

l

l EIq q

l

l l l EIt q q

l

ql l l ll q q q q q q t t q

p

(4.100)

3) Tuyến tính hóa phương trình vi phân chuyển động, xác định các ma trận hệ số tuần

hoàn MR, CR, KR và hR.

Thực hiện tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân chuyển động (4.95), (4.96)

quanh chuyển động cơ bản sR đã xác định. Đưa vào kí hiệu các kí hiệu:

122

1 1

2 2

3 3

22 2 2 2

33 3 3 3

( ) 0( ) 0( ) ; 0 ;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

R

RR

RR

q t q

q t q

q t q

t t t

t t t

s s x (4.101)

Trong đó 2 3,R R lần lượt là quỹ đạo của chuyển động cơ bản; 2 , 3 là các sai lệch

nhỏ quỹ đạo của cơ cấu đàn hồi so với cơ cấu rắn; q1, q2, q3 là các tọa độ dạng riêng

của biến dạng của khâu nối đàn hồi. Như vậy ta có:


Tuyến tính hóa hệ phương trình (4.95), (4.96) ta thu được phương trình tuyến tính hóa

có dạng:


Trong đó 1 2 3 2 3 xT

q q q , các ma trận hệ số RRRR hKCM ,,, là các ma trận

tuần hoàn với chu kỳ T = 2π/Ω.

Chú ý rằng trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn, khâu dẫn quay đều này phương

trình liên kết của cơ cấu đàn hồi (4.94) giống phương trình liên kết của cơ cấu rắn

(4.82), do đó không có sai lệch góc các khâu của cơ cấu đàn hồi so với cơ cấu rắn (tức

2 30, 0 ). Tuy nhiên vẫn có biến dạng uốn. Ở đây vẫn thực hiện tính toán với đầy

đủ các ẩn chuyển động như (4.101).

Xác định các ma trận hệ số của dao động tuần hoàn RRRR hKCM ,,, :

Ta có các ma trận trong quá trình biến đổi giải tích:

2 2 3 3

2 2 3 3

sin sin0 0 0;

cos cos0 0 0q z

l ll l

Φ Φ (4.104)

-1 3 3 3 3z

2 2 2 22 3 2 3

1 cos sin

cos sinsin

l l

l ll l

Φ (4.105)

2 2 2 3 3 3

2 2 2 3 3 3

0 0 0 cos cos( , )

0 0 0 sin sins

l l

l l

Φ s s

(4.106)

-1z

1 0 00 1 00 0 1

-0 0 00 0 0

q

ER s

Φ Φ (4.107)

22 2s

d

dt t

fp Φ s f f (4.108)

Từ phương trình (4.94) ta có:

123

1

1

sin

cos

l t

l tt

f=>

tdt

d f2

12

1

cos

sin

l t

l t

thay vào ta có:

2 , , tp s s =

2 2 22 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1

21 1 2 2 3 3 0

2 2 22 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1

21 1 2 2 3 3 0

cos cos 2 sin sin cos

2 sin cos cos cos

sin sin 2 cos cos cos

2 cos sin sin sin

l l l l l t

l t l t l l l

l l l l l t

l t l t l l l

(4.109)

22 2

22 2

22 2

0 0 02

( ) ( ) 0 0 02 2

0 0 02 3

T

l l

l l

l l

R s M s (4.110)

Tính các ma trận: f1, f2, k1, k2:

1 ( ) ( )Tf R s M s s=2 2 2

2 2 2 2 2 21 2 2 2 3 2

2 2 2 2 3

T

l l l l l lq q q

(4.111)

2 sf Φ s=2 2 2 3 3 3

2 2 2 3 3 3

sin sin

cos cos

l l

l l

(4.112)

),,()( 11 tT sspsRk =

2 41 2 2 22

1 2 132

422

2 2 232

42 21 2 2

2 3 2 332

2 sin

2 2

8

2 2

2 81sin

3 2 2

l l t l EIq q

l

l EIq q

l

l l l EIt q q

l

(4.113)

k2 = p2 (4.114)

Việc xác các ma trận hệ số MR, CR, KR, hR được thực hiện bằng phần mềm

MAPLE với thuật toán như sơ đồ Hình 4.1, thông số đầu vào là các ma trận M, p1, f và

các chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn , ,R R Rs s s , việc làm này khá đơn giản và thuận

tiện. Các ma trận trên sẽ được chuyển sang mã Code của phần mềm MATLAB để tính

toán số, do đó ở đây không đưa ra dạng tường minh của các ma trận trên. Như vậy ta

thu được hệ phương trình vi phân tuyến tính (4.103) trong đó các hệ số là các ma trận

tuần hoàn.

4) Tính toán dao động tuần hoàn bằng phương pháp Newmark:

Sử dụng phương pháp Newmark tìm nghiệm phương trình (4.103) này ta sẽ thu

được các nghiệm là các sai lệch xxx ,, . Thay vào (4.102) ta có chuyển động thực:

124


Trong đó 1 2 3 2 3

Tq q q x

Để xác định chuyển vị uốn của thanh truyền tại vị trí bất kỳ, thay 1 2 3, ,q q q ta

có biểu thức chuyển vị uốn tại vị trí x bất kỳ:

3

1 2 31 2 2 2 2

2 3( , ) sin ( ) sin sin sini

i

iw x t x q t x q x q x q

l l l l

(4.116)

Chuyển vị uốn tại vị trí giữa thanh x = l2/2:

w(l2/2,t) = q1 – q3 (4.117)

Mô phỏng số: Cho cơ cấu bốn khâu với thông số cơ cấu được cho như Bảng 4.1. Biết

khâu dẫn quay đều với các vận tốc là 600 vòng/phút, 900 vòng/phút và 1200

vòng/phút. Phân tích dao động tuần hoàn của cơ cấu được thực hiện như 4 bước trên.

Kết quả tính toán như Bảng 4.2. Kết quả tính toán biến dạng theo phương pháp

này được so sánh với phương pháp tuyến tính hóa được sử dụng trong tài liệu [10, 74]

như trong Bảng 4.2 và trên các Hình 4.4 đến Hình 4.6.

Trên Hình 4.7 là sai lệch góc của các khâu 2 3, , sai lệch này cỡ 10-17rad, là phù

hợp cho trường hợp này (các sai lệch bằng 0). Hình 4.8 là sai số của phương trình liên

kết, với sai số 2 21 2f f cỡ 10-12 mm (f1, f2 là sai số của hai phương trình liên kết).

4.3.1.2. Sử dụng phương pháp tách cấu trúc

Sử dụng phương pháp tách cấu trúc, tác giả Vũ Văn Khiêm [10] đã thu được

phương trình đạo hàm riêng xác định dao động uốn tương đối của thanh truyền đàn hồi

chịu uốn. Khi khâu dẫn quay đều với vận tốc góc Ω, phương trình dao động uốn [10]:

2

34 5 42

4 4 2 2 2

2 21 2 2 1 2 2 2

3 22 2

4 3 2 2 2 1 2 22 20 02

sin sin cos 2 .

1cot( ) ( ) cos sin

C

x

l

w w wEI EI I

x x t x t x t

w wc l w g l x w

t x

w wB I dx g l w x xdx

l x t t

2

2

2

3 2 1 20

2

22 2

3 2 2 1 2 2 2 1 2 202

2 21 2 1 2

1cot( ) cos

1cot( ) ( sin cos 2 . ) sin

cos ( sin

l

l

y

l

x

y

wc l x xdx

l t

w wg l x w c l w wdx

l t x

wc l x l w x

t

2

2 22cos ) 0

wg

t

(4.118)

Trong đó

125

3 3 3 3 34

2 3 2

cos( )

sin( )CP d J

Bl

, với P3 = m3g, d3 = CC3

E, I, A, cx, cy, ρ và αC là các hệ số được giả thiết không đổi, chúng lần lượt là môđun

đàn hồi, mômen quán tính mặt cắt ngang, diện tích mặt cắt ngang, hệ số cản ngoài theo

phương Ax, hệ số cản ngoài theo phương Ay, khối lượng riêng của và hệ số cản biến

dạng của thanh truyền.

ψ = φ1 – φ2 =Ωt – φ2

Phương trình liên kết khi khâu dẫn quay đều:

1 1 2 2 3 3 0

2 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l t l l l

f l t l l (4.119)

Các góc quay φ2, φ3 và vận tốc góc, gia tốc góc của nó được giải ra từ phương

trình liên kết (4.119) và đạo hàm bậc nhất, bậc 2 theo thời gian bằng phương pháp lặp

Newton – Raphson.

Từ phương trình (4.118), để tuyến tính hóa phương trình chuyển động tác giả

[10] đã bỏ qua các thành phần phi tuyến bậc cao của biến dạng uốn w, biến đổi tiếp

tác giả đã thu được phương trình vi phân tuyến tính của dao động uốn với các hệ số

tuần hoàn:

4 5 4 2 2

4 3 24 4 2 2 2

2

3 2 2 0 12

. .2

. .

C

y

w w w x wf f x f

x x t E x t x

cw w wf f x f w f f x

x EI t EI t

(4.120)

Trong đó: f0, f1, f2, f3, f4 là các hàm tuần hoàn chu kỳ 2π/Ω

20 2 1 2

1cos ( sin cos )yf c l l g

EI ; 1 2 2

1yf c

EI

22 3

2f

EI

; 2

3 2 1 1

1gsin cos sinxf l c l

EI

224 1 2

4 3 2 2 2 1 1 2 2

22 22 2

2 1 1 2

2 24 2 2 2

3 2 2 0 1 2 3 2

cot( ) ( cos sin cos )2 3

gsin cos sin2

cot( ) . .2 3 2

y y

x

B l lf g l c l c

EI E EI EI

l ll c l

EI EI

B l l lf f l f f

EI E

Nghiệm của phương trình (4.120) được tìm theo dạng khai triển Ritz – Galerkin:

1 2

( , ) ( ) sin( )N

ii

w x t q t i xl

(4.121)

trong đó qi(t) là các tọa độ suy rộng cần xác định.

Thay (4.121) cùng với các đạo hàm của nó vào (4.120) sắp xếp lại theo dạng đa thức

126

bậc của x ta được phương trình:

2 4 4 24 2

1 3 3 3 3 3

22 2

3 21 13 3 3 3

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( ) ( ) sin

( ) ( ) sin( ). . ( ) ( ) sin( ). .2

( ) ( ) co

f

f f

ny

i C i ii

n n

i ii i

i

ci q t i q t i f i f q t i x

E l EI l EI l l l

xi q t i x f x i q t i x fl l l l

i q tl

3 2 0 11 13 3 3

s( ). ( ) ( ) cos( ). .f fn n

ii i

i x f i q t i x f x f f xl l l

(4.122)

Lần lượt nhân 2 vế của phương trình (4.122) với 2

sin( )j xl

(j = 1, 2, ..., N), sau đó tích

phân từ 0 đến l2 hai vế của phương trình đó theo dx, cuối cùng ta thu được hệ phương

trình được viết dưới dạng ma trận:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t jMq Bq C q h (4.123)

Trong đó:

1 2 1 2[ , ,..., ] ; [ , ,..., ]T TN Nq q q h h h jq h

0 21

21

4 2, 2 1

2, 2

j

f lf khi j k

j jh

lf khi j k

j

M, B, C là các ma trận vuông cấp N có hệ số như sau:

2

2

( )ij ijm jE l EI

; 4

2

( )y

ij C ij

cb j

l EI

2 224 2 2

4 3 2

2 2 2

3 2

2

2

5( ) ( )

2 4 6

22 1

; 2

ij ij

ij

jj j f j f f khi i j

l l l

c f f khi i j kl

f khi i j i j k

với 1

0ij

khi i j

khi i j

;

2 2

1 1ij ij

i j i j

, khi i ≠ j

Phương trình (4.123) là phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số tuần hoàn,

sử dụng phương pháp Newmark để giải phương trình [74], với các thông số cơ cấu

được cho như Bảng 4.1. Tính toán được thực hiện ở các tốc độ của khâu dẫn là 600

vòng/phút, 900 vòng/phút và 1200 vòng/phút. Kết quả tính toán như Bảng 4.2 và các

Hình 4.4 đến Hình 4.6. Kết quả tính toán được so sánh với phương pháp tuyến tính hóa

127

hệ phương trình vi phân – đại số mà luận án đề xuất.

Thông số Giá trị Thông số Giá trị

Chiều dài khâu nối đất, l0 1.0(m) Khối lượng riêng của khâu nối,

7860 (kgm-3)

Chiều dài khâu dẫn OA, l1 0.05(m) Mômen quán tính mặt cắt ngang khâu nối, I

45x10-9 (m4)

Chiều dài khâu nối AB, l2 0.8(m) Mômen quán tính của khâu BC đối với trục qua C, IC

3.35 (kgm2)

Chiều dài khâu nối BC, l3 0.8(m) α 3 0 ( r a d ) Khối lượng khâu nối AB, m2

3.77(kg) Vị trí khối tâm khâu BC, d3

0.4 (m)

Khối lượng khâu bị dẫn BC, m3

15(kg) Hệ số cản ngoài theo phương x, cx

0.001 (kg m-1s-1 )

Mô đun đàn hồi E 2.1x1011 (Nm-2)

Hệ số cản ngoài theo phương y, cy

0.001 (kg m-1s-1 )

Diện tích mặt cắt ngang, A 6x10-4 (m2) C 10-4 (s)

Bảng 4.2. Kết quả tính toán số:

Biên độ uốn w tại vị trí giữa thanh x = l2/2, [mm]. Vận tốc góc

(vòng/phút) Phương pháp cũ [10,74] Phương pháp mới

600 0.2605 0.2835

900 0.6167 0.6242

1200 1.1330 1.119

Kết luận: Từ kết quả tính toán số cho thấy biến dạng uốn của thanh truyền tăng

khi tốc độ tăng tốc độ chuyển động. Kết quả tính biến dạng cũng cho thấy phương

pháp mà luận án đã đề xuất cho kết quả sai khác là không đáng kể so với kết quả tính

bằng phương pháp trước đó. Điều này góp phần khẳng định tính tín cậy của phương

pháp tuyến tính hóa đã đề xuất.

Bảng 4.1. Thông số cơ cấu bốn khâu [10,74]


O

A

B

φ1

η

ξ

φ2

φ3

C

C1

C3 α1 α3

128

0 2 4 6 8 10 12 14-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

w [

mm

]

t [rad]

0 2 4 6 8 10 12 14-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

w [

mm

]

t [rad]

0 2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

w [m

m]

t [rad]

Hình 4.4. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 600vòng/phút. _____ Phương pháp mới, …. Phương pháp [10, 74]

Hình 4.6. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 1200 vòng/phút.

____ Phương pháp mới, …. Phương pháp [10, 74]

Hình 4.5. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 900 vòng/phút. _____ Phương pháp mới, …. Phương pháp [10, 74]

129

t [rad]0 2 4 6 8 10 12 14

10-17

0

0.5

1

1.5

2 3

4.3.2. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu kéo nén dọc

Trong phần này ta sẽ tuyến tính hóa phương trình chuyển động quanh chuyển

động cơ bản bằng phương pháp đã được luận án đề xuất và tính toán dao động tuần

hoàn của cơ cấu bốn khâu có thanh truyền chịu biến dạng dọc khi khâu dẫn quay đều.

Để phân tích dao động tuần hoàn này ta thực hiện theo 4 bước sau:


Cho biết chuyển động cơ bản là chuyển động của cơ cấu rắn với khâu dẫn quay đều:

1 1 (0) ,R Rt t 1 1, 0R R (4.124)

Trong đó 1 (0)R góc khâu dẫn tại thời điểm ban đầu, ta chọn 1 (0) 0R .

Các chuyển động cơ bản 2 3,R R xác định như công thức (4.83) (với thông số cơ

cấu như Bảng 4.3 ta có các góc ban đầu sơ bộ * *2 3(0) 47 , (0) 110o o

R R

Vận tốc 2 3,R R và gia tốc 2 3,R R lần lượt được xác định hoàn toàn tương tự

như các công thức (4.85) và (4.86).

2) Chuyển động thực của cơ cấu với khâu nối đàn hồi dọc:

Chuyển động thực của cơ cấu đàn hồi là khâu dẫn quay đều, do khâu nối đàn hồi,

dẫn đến chuyển động của khâu nối và khâu bị dẫn sai lệch so với cơ cấu rắn.

Do khâu dẫn quay đều nên ta có:

Hình 4.8. Sai số của phương trình liên kết, n =1200 vòng/phút

Hình 4.7. Sai lệch góc các khâu ε2, ε3. n =1200 vòng/phút

130

1 ,t 1 1, 0 (4.125)

Ở Chương 2 đã thiết lập được các phương trình vi phân chuyển động bằng

phương pháp Ritz – Galerkin viết cho cơ cấu bốn khâu với thanh truyền chịu kéo nén

dọc sử dụng 3 dạng riêng đầu là phương trình từ (2.68) đến (2.73), cùng với 2 phương

trình liên kết (2.74). Thay (4.125) vào các phương trình trên và sắp xếp lại theo các tọa

độ suy rộng 1 2 3, , ,p p p 2 3, ta được các phương trình là:

2 2

2 22 1 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 22

2

2 4cos cos sin 0

2 2 8

l l l l l EAp t p p

l

(4.126)

2 2

2 22 1 2 2 22 2 2 2 2 1 2 2 22

2

2 4 9cos cos sin 0

2 3 9 2 8

l l l l l EAp t p p

l

(4.127)

2 2

2 22 1 2 2 23 2 3 2 3 1 2 2 22

2

2 4 25cos cos sin 0

2 5 25 2 8

l l l l l EAp t p p

l

(4.128)

3 2 22 2 23 32 2 2 2 2 2

1 1 2 3 2 1 22 2

22 2 31 2 1 2 2

2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1

2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2

8 8

3 9 25 2 9 25

2sin sin

2 3 5

sin . cos .

p pl l p l l pp p p p p

pl l l l pl p p p p p p t t p

l p p p l p p p

2

(4.129)

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0.CI l l (4.130)


1 1 2 1 2 3 2 3 3 0

2 1 2 1 2 3 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l t l p p p l l

f l t l p p p l

(4.131)

Thay (4.125) vào phương trình (2.68) ta được phương trình cho phép xác định

mômen phát động τ để khâu dẫn quay đều khi biết các ẩn 1 2 3, , ,q q q 2 3, ,

1 , 2 :

231 2 1 2 2

2 2 2 2 1

223 31 2 2 1 2 1 2 2

2 1 2 2 2 2 1

2 31 2 22 2 1

2cos( ) cos( )

2 3 5

2 4sin( ) sin( ) cos( )

3 5 2 3 5

2sin( )

3 5

pl l l l pt t p

p pl l p l l l l pt p t t p

pl l pt p

1 1 1 1 1 2sin cosl l

(4.132)

131

Như vậy ta có hệ 5 phương trình vi phân từ (4.126) đến (4.130), cùng với hai

phương trình liên kết (4.131) tạo thành 7 phương trình vi phân đại số với 7 ẩn số là p1,

p2, p3, φ2, φ3, 21, . Hệ phương trình trên và các phương trình liên kết viết lại dưới

dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (4.133)

f(s) = 0 (4.134)

Trong đó:

1 2 3 2 3

Tp p ps , 1 2 3

Tp p pq là các tọa độ suy rộng đủ, 2 3

T z là

các tọa độ suy rộng thừa, 1 2λT

λ λ

1 2 1 2 3 2 3 3 0

1 2 1 2 3 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l t l q q q l l

l t l q q q l

f (4.135)

2 2 2 2 1 2 3 2 3 3

2 2 2 2 1 2 3 2 3 3

cos cos cos sin sin( )

sin sin sin cos coss

l q q q l

l q q q l

fΦ s

s(4.136)

2 22 21 2 2 2

2 1 2 122

2 22 21 2 2 2

2 2 2 222

2 22 21 2 2 2

1 2 3 2 322

232 2

1 2 22

2 4cos

2 8

2 4 9cos

3 9 2 8

2 4 25cos

5 25 2 8

8

9 25

l l l l EAt p p

l

l l l l EAt p p

l

l l l l EAt p p

l

pl pp l

p

2 1 1 2 2 3 3

22 2 31 2 1 2 2

2 2 1

2sin sin

2 3 5

0

p p p p p p

pl l l l pt t p

(4.137)

2

2

2

3 22 2 232 2 2 2

1 1 2 32

0 0 0 02

0 0 0 02

0 0 0 02

80 0 0 0

3 9 25 2

0 0 0 0 C

l

l

l

pl l p lp p p p

I

M (4.138)

132




quanh chuyển động cơ bản đã xác định. Đưa vào kí hiệu các kí hiệu chuyển động thực

s, chuyển động cơ bản sR và sai lệch x:

1 1

2 2

3 3

22 2 2 2

33 3 3 3

( ) 0( ) 0( ) ; 0 ;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

R

RR

RR

p t p

p t p

p t p

t t t

t t t

s s x (4.139)

Trong đó 2 3,R R lần lượt là quỹ đạo của chuyển động cơ bản; 2 , 3 là các sai lệch

nhỏ quỹ đạo của cơ cấu đàn hồi so với cơ cấu rắn; p1, p2, p3 là các tọa độ biến dạng dọc

của khâu nối đàn hồi. Như vậy ta có:


Tuyến tính hóa hệ phương trình (4.133), (4.134) ta thu được phương trình tuyến tính

hóa có dạng:


Trong đó 1 2 3 2 3 T

p p px , các ma trận hệ số RRRR hKCM ,,, là các ma trận

tuần hoàn với chu kỳ T = 2π/Ω.

Xác định các ma trận hệ số của dao động tuần hoàn RRRR hKCM ,,, : Việc xác

định các ma trận trung gian và các ma trận hệ số MR, CR, KR, hR trong trường hợp này

khá phức tạp nếu biến đổi giải tích, do đó để đơn giản và hạn chế sai sót trong biến đổi

ta thực hiện bằng phần mềm MAPLE với thuật toán như sơ đồ Hình 4.1, thông số đầu

vào là các ma trận M, p1, f, sau đó thay các chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn

, ,R R Rs s s vào ta được các ma trận hệ số. Các ma trận trên sẽ được chuyển sang mã

Code của phần mềm MATLAB để tính toán số.

4) Tính toán dao động tuần hoàn bằng phương pháp Newmark

Sử dụng phương pháp Newmark tìm nghiệm tuần hoàn phương trình (4.141)

này ta sẽ thu được các nghiệm sai lệch xxx ,, . Thay vào (4.140) ta có chuyển động

thực:


Để xác định chuyển vị dọc trục của thanh truyền tại vị trí bất kỳ, thay 1 2 3, ,p p p

ta có biểu thức chuyển vị dọc trục tại vị trí bất kỳ:

3

1 2 31 2 2 2 2

2 1 3 5( , ) sin ( ) sin sin sin

2 2 2 2k

k

k x x x xu x t p t p p p

l l l l

(4.143)

133

Chuyển vị dọc trục tại cuối thanh x = l2:

u(l2,t) = p1 – p2 +p3 (4.144)

Bây giờ ta thực hiện tính toán số với cơ cấu bốn khâu như Hình 4.9, các thông số

cơ cấu được cho như Bảng 4.3. Kết quả mô phỏng được tính toán trong trường hợp

khâu dẫn quay đều với vận tốc góc 210 vòng/phút.

Bảng 4.3. Thông số cơ cấu bốn khâu [66]

Thông số Độ lớn

[đv]


[đv]

Chiều dài OC, l0 0.3 m Khối lượng khâu dẫn OA, m1 2,02 kg

Chiều dài khâu dẫn OA, l1 0.055 m Khối lượng thanh truyền AB, m2 1.65 kg

Chiều dài thanh AB, l2 0.259 m Khối lượng khâu lắc BC, m3 1.84 kg

Chiều dài khâu BC, l3 0.2 m Mômen quán tính của khâu dẫn,

JC1

51

kgcm2

Trọng tâm khâu dẫn

C1(ξ11,η11)

(0.0235,

0) m

Mômen quán tính của BC, JC3 183kgc

m2

Trọng tâm thanh truyền AB

C2(ξ22,η22)

(0.134,0)

m

Độ cứng dọc trục thanh AB,

EA = c.l2

c =69

kg/cm

Trọng tâm khâu bị dẫn

C3(ξ33,η33)

(0.115,0.

0265) m

Góc nghiêng khâu nối đất OC, θ 0o

Tính toán được thực hiện trong thời gian 1 chu kỳ, tức khâu dẫn quay được 360o.

Đồ thị dao động biến dạng dọc của thanh truyền AB trong 1 chu kỳ như trên Hình 4.10

với giá trị lớn nhất khoảng 3.8 mm. Biến dạng này đã gây ra dao động của các khâu

quanh chuyển động cơ bản của nó. Trên Hình 4.11 là đồ thị sai lệch chuyển động góc

khâu chấp hành BC của cơ cấu đàn hồi so với cơ cấu rắn 33 3R , giá trị lớn nhất

khoảng 0.14 rad (cỡ 8o) và Hình 4.13 là quỹ đạo pha dao động tuần hoàn của sai lệch

này. Hình 4.12 là đồ thị sai lệch góc khâu nối AB của cơ cấu đàn hồi so với cơ cấu rắn

22 2R , sai lệch góc lớn nhất là 0.106 rad (cỡ 6o).


O

A

B

φ1 θ

y0

x0

φ2

φ3

C

C3

l0

l1

l2

l3

ξ1

ξ3

ξ2

η1

η2

η3

C1

C2

134

Hình 4.10. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB

Hình 4.11. Sai lệch góc của khâu bị dẫn BC, ε3 (rad)

Hình 4.13. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu bị dẫn

Hình 4.12. Sai lệch góc của khâu nối AB, ε2 (rad)

135

4.4. Phân tích dao động tuần hoàn của cơ cấu sáu khâu với hai khâu nối đàn hồi

chịu kéo nén

Trong mục này, để đơn giản ta giả thiết các khâu nối chỉ chịu kéo nén dọc, bỏ

qua ảnh hưởng của uốn.

Ở Chương 2 ta đã có phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sáu khâu

bản lề. Trong phần này sử dụng phương trình chuyển động của cơ cấu sáu khâu bản lề

thiết lập bằng phương pháp Ritz – Galerkin. Xét các thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc

(bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng uốn), các phương trình vi phân viết cho cơ cấu 6

khâu với hai thanh truyền chịu kéo nén dọc là từ (2.165) đến (2.171), cùng với 4

phương trình liên kết từ (2.172) đến (2.175). Như vậy ta có 9 + N2 +N4 phương trình

viết cho 9 + N2 +N4 ẩn:

φ1, φ2, *3 , φ4, φ5,

(1)kp , (2)

lp , λ1, λ2, λ3, λ4 (k = 1, 2,...,N2; l =1, 2,..., N4)

Nếu sử dụng 1 dạng riêng đầu tiên N2 = N4 = 1, ta được các phương trình vi phân

chuyển động từ (3.104) đến (3.110) và các phương trình liên kết từ (3.111) đến

(3.114). Sắp xếp lại các phương trình vi phân lần lượt theo tọa độ φ1,(1)1p , (2)

1p , φ2, *3 ,

φ4, φ5 và cùng với các phương trình liên kết ta có hệ phương trình viết dưới dạng:

1( ) ( ) ( , , )Ts t M s s Φ s λ p s s (4.145)

( ) 0f s (4.146)

Trong đó: ( ) ( ) * T1 21 1 1 2 3 4 5p p s là hệ tọa độ suy rộng dư,

(1) (2)1 1 1

T

p p q là các tọa độ suy rộng đủ, *2 3 4 5

T

z là các

tọa độ suy rộng phụ thuộc, 1 2 3 4

Tλ λ λ λλ véc tơ nhân tử Lagrange.

O1

A

B

φ1 θ1

y0

x0

φ2

φ3

O2

C1

C3

C

D

O3 φ3*

φ4 φ5 C5

θ2

l0

l1

l2

l3 l3

*

l4 l5

l'0

Hình 4.14. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu bản lề

ξ1

ξ3

ξ2

ξ4

ξ5

η1

η2

η3

η5

η4

C1

C2

C4

β

136

11 1 2 1 2 3 3 0 1

11 1 2 1 2 3 3 0 1

* * 1 *3 3 4 2 4 5 5 0 2

* * 1 *3 3 4

( )

1( )

2

( )3

( )42 4 5 5 0 2

cos cos – cos – cos

sin sin – sin – sin

cos cos – cos – cos

sin sin – sin – sin

l l p l l

l l p l l

l l p l l

l l

f

f

fp l l

f

f

(4.147)

M = [mij]

1

2 (1)1 1 2 1 1 211 1 1 2 12 1 2 14 1 2 2 1

13 15 16 17

1 221 12 22 23 24 25 26 27

**2 3 42 4

31 32 34 36 37 33 35 3 4

41 14 44

2 4; sin ; cos ;

20;

; ; 0;2

20; ; sin ;

2

;

O

l l l lm I l l m m l p

m m m m

lm m m m m m m m

l llm m m m m m m

m m m

2

3(1) (1)1 2 1 2 21 1 42 43 45 46 472

*251 52 54 57 53 35 55 2 3 4

2* * (2)4 4

56 2 3 3 4 1

2(2) (22 4 4 4

61 62 63 64 67 65 56 66 1 12

16; 0;

3 2

0; ; ;

2cos ;

2

160; ;

2 6

O

l l lp p m m m m m

m m m m m m m I l l

l lm l p

l l lm m m m m m m m p p

3

) (2)1

71 72 73 74 75 76 77

;

0; ;O

p

m m m m m m m I

22 (1) 2 (1)1 1 2 1 1 2 1 1 22 2 1 2 1

22 (1) 2 (1)1 1 2 1 2 2 1 11 1 2 1 2 12

2

* 2 2*2 * (2) 22 3 4 4 4 2 23 3 4 2 1 42

4

1

4 2sin cos sin

22 8

cos2 8

2 4cos

2 8

l l l l l lp p

l l l l E Ap p

l

l l l l E Ap

l

p

(2)1

(1)(1) (1) 22 2 1

1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 22

*(2) * * 2 * (2)2 3 4 4

4 1 3 4 2 3 4 4 3 4 1

(2) (2) * *2 * (4 42 4 4 1 1 2 3 4 3 3 4 12

8 2sin

2

4 2cos sin

2

8 2sin

2

p

l l pl p p l l

l l lp l l p

l ll p p l l p

2)

0

137

(1) *1 1 2 2 1 2 3 3

(1) *1 1 2 2 1 2 3 3

* * (2)4 3 3 4 1 4 5 5

* * (2)4 3 3 4 1 4 5 5

sin cos 0 sin sin 0 0

cos sin 0 cos cos 0 0

0 0 cos 0 sin sin sin

0 0 sin 0 cos cos cos

s

l l p l

l l p l

l l p l

l l p l

Φ

Tọa độ s được mô tả theo quan hệ:

1 1 1 11(1)1 1 1(2)1 2 2

2 2 2 2 2* * *

33 3 3 3

44 4 4 4

55 5 5 5

( ) ( ) ( )

( ) 0( ) 0

( ) ( ) ( ); ;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

RR

R R R

R R

R R

R R

t t t

p t p p

p t p p

t t t

t t t

t t t

t t t

s s x

(4.148)

Trong đó *1 2 3 4 5, , , ,R R R R R lần lượt là quỹ đạo của chuyển động cơ bản (là

chuyển động của cơ cấu rắn mà ta mong muốn); 54321 ,,,, là các sai lệch nhỏ

quỹ đạo góc của cơ cấu đàn hồi so với cơ cấu rắn; 1 2,p p là biến dạng dọc trục của

khâu nối AB và CD. Như vậy ta có:


Bây giờ ta xét hai trường hợp quay đều của khâu dẫn:

+ Trường hợp 1. Tác dụng vào cơ cấu rắn một mômen phát động τR xác định làm

cho khâu dẫn quay đều với vận tốc góc Ω. Cũng tác dụng mômen τR đó vào cơ cấu có

khâu đàn hồi, do có một số khâu đàn hồi làm ảnh hưởng đến chuyển động nên khâu

dẫn lúc này sẽ có sai lệch nhỏ so với trường hợp cơ cấu rắn, tức trong trường hợp này

có:

1 1 10, 0, 0 (4.150)

Ta gọi trường hợp khâu dẫn chịu tác động ngược trở lại này là khâu dẫn quay á đều.

+ Trường hợp 2: Tác dụng vào khâu dẫn của cơ cấu đàn hồi một mômen phát

động τ nào đó để khâu dẫn luôn quay đều. Khi đó biến dạng đàn hồi ảnh hưởng đến

các khâu còn lại, trong trường hợp này có:

1 1 10, 0, 0 (4.151)

Ta gọi trường hợp này là khâu dẫn quay đều.

Bây giờ ta sẽ tuyến tính hóa và tính toán dao động tuần hoàn của cơ cấu 6 khâu

với hai thanh truyền chỉ chịu biến dạng dọc trong hai trường hợp là khâu dẫn quay á

đều và khâu dẫn quay đều.

138

4.4.1. Trường hợp khâu dẫn quay á đều


Cho biết chuyển động của cơ cấu rắn là khâu dẫn quay đều với vận tốc góc Ω:

1 1 1 1( ) (0) , ( ) , ( ) 0R R R Rt t t t (4.152)

trong đó )0(1R là góc khâu dẫn tại thời điểm đầu, ta có thể chọn 0)0(1 R , Ω là vận

tốc góc khâu dẫn.

Tìm các chuyển động cơ bản còn lại:

* * *2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5, , , , , , , , , , ,R R R R R R R R R R R R

*) Xác định các góc quay *2 3 4 5, , ,R R R R :

Thay 1R t vào các phương trình liên kết (4.147) bỏ đi các thành phần biến

dạng ta có:

1 1 3*32 2 0 1 cos cos – cos – cos 0f l t l l l (4.153)

2 1 3*32 2 0 1 sin sin – sin – sin 0f l t l l l (4.154)

* *3 3 4

*3 4 5 5 0 2 cos cos – cos – cos 0 f l l l l (4.155)

* *4 3 4 4 5 5 0 2

*3 sin sin – sin – sin 0f l l l l (4.156)

Sử dụng phương pháp lặp Newton – Raphson giải ra được các chuyển động cơ bản:

*2 3 4 5, , ,R R R R (4.157)

Tuy nhiên để bắt đầu cho phương pháp lặp thì góc ban đầu sơ bộ 2 (0)sbR , *

3 (0)sbR ,

4 (0)sbR , 5 (0)sb

R được chọn bằng phép đo hình học cơ cấu tại thời điểm đầu (có φ1R(0)

= 0). Với thông số cơ cấu như Bảng 4.4, ta xác định được góc sơ bộ ban đầu:

*2 3 4 5(0) 47 , (0) 110 , (0) 15 , (0) 95sb o sb o sb o sb o

R R R R

*) Xác định các vận tốc góc *2 3 4 5, , ,R R R R :

Đạo hàm phương trình liên kết từ (4.153) đến (4.156) theo t ta được:

* *1 1 2 2 2 3 3 3

* *2 1 2 2 2 3 3 3

* * *3 3 3 3 4 4 4 5 5 5

* * *4 3 3 3 4 4 4 5 5 5

sin sin sin 0

cos cos cos 0

sin sin sin 0

cos cos cos 0

f l t l l

f l t l l

f l l l

f l l l

(4.158)

Viết lại ta được:

2 2 3 3 2 1*

2 2 3 3 13* *3 3 4 4 5 5 4

* *53 3 4 4 5 5

sin sin 0 0 sincos cos 0 0 cos

0 sin sin sin 000 cos cos cos

R R R

R R R

R R R R

RR R R

l l l tl l l t

l l l

l l l

(4.159)

Với *2 3 4 5, , ,R R R R đã biết ở (4.157), thay vào (4.159) thu được

139

*2 3 4 5, , ,R R R R (4.160)

*) Xác định các gia tốc góc *2 3 4 5, , ,R R R R :

Đạo hàm tiếp phương trình (4.158) theo t:

2 2 * * *2 *1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

2 2 * * *2 *2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

* * * * *2 * 23 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

cos sin cos sin cos 0

sin cos sin cos sin 0

sin cos sin

f l t l l l l

f l t l l l l

f l l l l

24 5 5 5 5 5 5

* * * * *2 * 2 24 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5

cos sin cos 0

cos sin cos sin cos sin 0

l l

f l l l l l l

Viết lại ta có:

*2 2 3 3 2

**32 2 3 3

* *4

3 3 4 4 5 5* * 53 3 4 4 5 5

2 2 *2 *1 2 2 2 3 3 3

21

sin sin 0 0

cos cos 0 0

0 sin sin sin

0 cos cos cos

cos cos cos

sin

R R R

RR R

RR R R

RR R R

R R R R

l l

l l

l l l

l l l

l t l l

l

2 *2 *2 2 2 3 3 3

* *2 * 2 23 3 3 4 4 4 5 5 5* *2 * 2 23 3 3 4 4 4 5 5 5

sin sin

cos cos cos

sin sin sin

R R R R

R R R R R R

R R R R R R

t l l

l l l

l l l

(4.161)

Đặt:

*2 2 3 3

*2 2 3 3

* *3 3 4 4 5 5

* *3 3 4 4 5 5

sin sin 0 0

cos cos 0 0

0 sin sin sin

0 cos cos cos

R R

R R

R R R

R R R

l l

l l

l l l

l l l

A

2 2 *2 *1 2 2 2 3 3 3

2 2 *2 *1 2 2 2 3 3 3

* *2 * 2 23 3 3 4 4 4 5 5 5

* *2 * 2 23 3 3 4 4 4 5 5 5

cos cos cos

sin sin sin

cos cos cos

sin sin sin

R R R R

R R R R

R R R R R R

R R R R R R

l t l l

l t l l

l l l

l l l

c

Từ các giá trị góc và vận tốc góc đã có ở (4.157) và (4.160) thay vào (4.161) ta có:

* 12 3 4 5

T

R R R R A c (4.162)

Thay các chuyển động xác định được từ (4.152), (4.157), (4.160) và (4.162) vào

các phương trình viết cho cơ cấu rắn từ (3.87) đến (3.90) ta giải ra được λ1R, λ2R, λ3R,

λ4R. Thay các λ1R, λ2R, λ3R, λ4R vừa tìm được vào (3.86) ta giải ra được mômen cần thiết

tác dụng vào khâu dẫn để cơ cấu rắn quay đều với vận tốc góc Ω là:

2 2

21 1 2 1 1 22 2 2 2 1 1 1 2cos sin sin cos

2 2R R R R R R R

l l l lt t l t l t

(4.163)

140

2) Chuyển động thực của cơ cấu sáu khâu với các khâu nối đàn hồi:

Chuyển động thực của cơ cấu sáu khâu có hai khâu nối đàn hồi là khâu dẫn

quay đều dưới tác dụng của mômen phát động τR như (4.163), do các thanh truyền là

đàn hồi dẫn đến chuyển động của các khâu trong cơ cấu (bao gồm cả khâu dẫn) bị sai

lệch so với các khâu trong cơ cấu rắn.

Phương trình xác định chuyển động thực trong trường hợp này là hệ phương

trình (4.145), (4.146).




quanh chuyển động cơ bản đã xác định. Với cách biểu diễn chuyển động thực như biểu

thức (4.148) và (4.149), tuyến tính hóa hệ phương trình (4.145), (4.146) ta thu được

phương trình tuyến tính hóa có dạng:


Trong đó 1 1 2 2 3 4 5

Tp p x , các ma trận hệ số RRRR hKCM ,,, là các

ma trận tuần hoàn với chu kỳ T = 2π/Ω.

Xác định các ma trận hệ số của dao động tuần hoàn RRRR hKCM ,,, : Việc xác định

các ma trận trung gian và các ma trận hệ số MR, CR, KR, hR được thực hiện bằng phần

mềm MAPLE với thuật toán như sơ đồ Hình 4.1, thông số đầu vào là các ma trận M,

p1, f, sau đó thay các chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn , ,R R Rs s s vào ta được các ma

trận hệ số. Các ma trận trên sẽ được chuyển sang mã Code của phần mềm MATLAB

để tính toán số.


Sử dụng phương pháp Newmark tìm nghiệm phương trình (4.164) này ta sẽ thu

được các nghiệm sai lệch xxx ,, . Thay nghiệm tìm được vào (4.149) ta có chuyển

động thực:


Để xác định chuyển vị dọc trục của thanh truyền tại vị trí bất kỳ, thay 1 2,p p vào

biểu thức xác định chuyển vị dọc, ta có chuyển vị dọc trục tại vị trí bất kỳ:

11 1 1

2

( , ) sin2

xu x t p

l; 2

2 2 2

4

( , ) sin2

xu x t p

l (4.166)

Chuyển vị dọc trục tại cuối các thanh:

1 2 1( , ) Bu l t p ; 2 4 2( , ) Du l t p (4.167)

Bây giờ ta thực hiện tính toán số với cơ cấu sáu khâu như Hình 4.14, các thông số

cơ cấu được cho như Bảng 3.2 [66]. Kết quả mô phỏng được tính toán trong trường

141

hợp khâu dẫn quay đều với vận tốc góc 210 vòng/phút. Kết quả được tính toán trong

thời gian 1 chu kỳ, tức khâu dẫn quay được 360o.

Bảng 4.4. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề [66].


[đv]


[đv]

Chiều dài khâu nối O1O2, l0 0.3 m Khối lượng khâu dẫn O1A, m1 3.02 kg

Chiều dài khâu nối O2O3, *0l 0.3 m Khối lượng thanh truyền AB, m2 1.65 kg

Chiều dài khâu dẫn O1A, l1 0.055 m Khối lượng khâu lắc O2BC, m3 1.84 kg

Chiều dài thanh truyền AB,

l2

0.259 m Khối lượng thanh truyền CD, m4 1.89 kg

Chiều dài đoạn O2B, l3 0.2 m Khối lượng khâu bị dẫn O3D, m5 1.35 kg

Chiều dài đoạn O2C, *3l 0.200 m Mômen quán tính của khâu dẫn,

JC1

51

kgcm2

Chiều dài thanh truyền CD,

l4

0.258 m Mômen quán tính của O2BC, JC3 183kgc

m2

Chiều dài khâu bị dẫn O3D,

l5

0.22 m Mômen quán tính của O3D, JC5 115kgc

m2

Trọng tâm khâu dẫn

C1(ξ11,η11)

(0.0235,

0) m

Độ cứng dọc trục thanh AB,

E2A2 = c2l2

c2=69

kg/cm

Trọng tâm thanh truyền AB

C2(ξ22,η22)

(0.134,0

) m

Độ cứng dọc trục thanh CD,

E4A4 = c4l4

c2=64

kg/cm

Trọng tâm khâu lắc

C3(ξ33,η33)

(0.115,0.

0265) m

Góc nghiêng khâu nối đất O1O2,

θ1

0o

Trọng tâm thanh truyền CD

C4(ξ44,η44)

(0.132,0

) m

Góc nghiêng khâu nối đất O2O3,

θ2

0o

Trọng tâm khâu bị dẫn

C5(ξ55,η55)

(0.113,0

) m

Góc khâu lắc β 64o

Hình 4.15 và Hình 4.16 lần lượt là đồ thị biến dạng dọc của thanh truyền AB và

CD sử dụng phương pháp tuyến tính hóa. Biến dạng lớn nhất của thanh truyền AB xác

định bằng phương pháp tuyến tính hóa là 3.06 mm; Biến dạng lớn nhất của thanh

truyền CD xác định bằng phương pháp tuyến tính hóa là 1.07mm.

Hình 4.17 là đồ thị sai lệch góc khâu dẫn của cơ cấu đàn hồi so với cơ cấu rắn

1 1 1R do biến dạng đàn hồi gây ra, sai lệch lớn nhất gây ra khoảng 0.055 rad (~

3.5o). Trên Hình 4.18 là đồ thị sai lệch góc khâu bị dẫn 5 5 5R , sai lệch lớn nhất

khoảng 0.13 rad (~ 7.4o).

Các hình từ Hình 4.19 đến Hình 4.22 là quỹ đạo pha của các biến dạng dọc của

thanh truyền và các sai lệch góc khâu dẫn và khâu bị dẫn. Các quỹ đạo pha của dao

đồng tuần hoàn này là những đường cong khép kín.

142

0 90 180 270 360

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

5 [ra

d]

Goc quay khau dan [do]

Hình 4.18. Sai lệch góc của khâu bị dẫn O3D trong 1 chu kỳ

Hình 4.16. Biến dạng dọc trục của thanh truyền CD trong 1 chu kỳ

Hình 4.15. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB trong 1 chu kỳ

Hình 4.17. Sai lệch góc của khâu dẫn O1A trong 1 chu kỳ

143

4.4.2 Trường hợp khâu dẫn quay đều


Cho biết chuyển động của cơ cấu rắn là khâu dẫn quay đều với vận tốc góc Ω:

0)(,)(,)0()( 1111 tttt RRRR (4.168)

trong đó )0(1R là góc khâu dẫn tại thời điểm đầu, chọn 0)0(1 R , Ω là vận tốc góc

khâu dẫn. Các chuyển động cơ bản còn lại

* * *2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5, , , , , , , , , , ,R R R R R R R R R R R R

được xác định hoàn toàn tương tự như (4.157), (4.159) và (4.162).

2) Chuyển động thực của cơ cấu với các khâu nối đàn hồi:

Trong trường hợp này ta xét khâu dẫn luôn quay với vận tốc không đổi nhờ

mômen phát động τ nào đó:

1φ (t)= t , 1 1, 0 . (4.169)

Với chuyển động của khâu dẫn đã biết như (4.169) thay vào hệ phương trình

(4.145), (4.146) ta có hệ phương trình vi phân chuyển động viết lần lượt cho các tọa độ

Hình 4.19. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh AB

Hình 4.20. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh CD

Hình 4.21. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu dẫn O1A

Hình 4.22. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu bị dẫn O3D

144

suy rộng (1) (2) *1 1 2 3 4 5, , , , ,p p và các phương trình liên kết có dạng:

),,()()( 1 tTs sspλsΦssM (4.170)

f(s) = 0 (4.171)

trong đó (1) (2) *1 1 2 3 4 5

T

p p s , (1) (2)1 1

T

p p q là các tọa độ suy rộng đủ,

*2 3 4 5

T

z là các tọa độ suy rộng phụ thuộc, 1 2 3 4

Tλ λ λ λλ

*3

(1) *1 3

*3

*3

(1)1 2 1 2 3 0 1

1 2 2 3 0 1

* (2) *3 4 1 4 5 5 0 2

* (2) *3 4 1 4 5 5 0 2

cos cos – cos – cos 0

sin sin – sin – sin 0

cos cos – cos – cos 0

sin sin – sin – sin 0

l t l p l l

l t l l l

l l p l l

l l p l l

p

f

(4.172)

(1) *2 2 1 2 3 3

(1) *2 2 1 2 3 3

* * (2)4 3 3 4 1 4 5 5

* * (2)4 3 3 4 1 4 5 5

cos 0 sin sin 0 0

sin 0 cos cos 0 0

0 cos 0 sin sin sin

0 sin 0 cos cos cos

s

l p l

l p l

l l p l

l l p l

fΦ

s

M = [mij]

2

1 211 12 13 14 15 16

**2 3 42 4

21 23 25 26 22 24 3 4

3(1) (1)1 2 1 2 2

33 1 1 31 32 34 35 362

*2 * *41 43 46 42 24 44 2 3 4 45 2 3 3

; 0;2

20; ; sin ;

216

; 0;3 2

0; ; ; cosO

lm m m m m m

l llm m m m m m

l l lm p p m m m m m

m m m m m m I l l m l

3

2(2)4 4

4 1

2(2) (2) (2)2 4 4 4

51 52 53 56 54 45 55 1 1 12

61 62 63 64 65 66

2

2

160; ;

2 60; ;O

l lp

l l lm m m m m m m p p p

m m m m m m I

22 (1) 2 (1)1 1 2 1 2 2 1 1

2 1 2 122

* 2 2*2 * (2) 2 (2)2 3 4 4 4 2 23 3 4 2 1 4 12

42

(1) (1) 2 2 (1)2 1 1 2 1 1 21 2 2 1 1 2 12

1

2 8cos

2 8

2 4cos

2 8

8 2sin sin

2

l l l l E At p p

l

l l l l E Ap p

l

l l l l ll p p t p t

p

2

*(2) * * 2 * (2)2 3 4 4

4 1 3 4 2 3 4 4 3 4 1

(2) (2) * *2 * (2)4 42 4 4 1 1 2 3 4 3 3 4 12

4 2cos sin

28 2

sin2

0

l l lp l l p

l ll p p l l p

145

Như vậy ta có hệ 6 phương trình vi phân (4.170) cùng với 4 phương trình liên kết

từ (4.171) tạo thành 10 phương trình vi phân đại số với 10 ẩn số là (1) (2) *1 1 2 3, , , ,p p

4 5, , 4321 ,,, .




quanh chuyển động cơ bản đã xác định. Sử dụng các kí hiệu:

(1)1 1 1(2)

21 2

2 22 2 2** *

333 3 3

444 4 4

555 5 5

0

0

; ; ;RRR

RR

RR

RR

p p p

pp p

s s x (4.173)

Như vậy ta có:


Tuyến tính hóa hệ phương trình (4.170), (4.171) ta thu được phương trình tuyến

tính hóa có dạng:


Trong đó 1 2 2 3 4 5

Tp p x , các ma trận hệ số RRRR hKCM ,,, là các ma

trận tuần hoàn với chu kỳ T = 2π/Ω.

Việc xác định các ma trận hệ số của dao động tuần hoàn RRRR hKCM ,,, được

thực hiện bằng phần mềm MAPLE với thuật toán như sơ đồ Hình 4.1, thông số đầu

vào là các ma trận M, p1, f và các chuyển động cơ bản của cơ cấu rắn , ,R R Rs s s . Các

ma trận trên sẽ được chuyển sang mã Code của phần mềm MATLAB để tính toán số.


Sử dụng phương pháp Newmark tìm nghiệm tuần hoàn phương trình (4.175) ta sẽ

thu được xxx ,, . Ta sẽ tính được:


Để xác định chuyển vị dọc trục của thanh truyền tại vị trí bất kỳ, thay 1 2,p p vào biểu

thức (2.136), (2.137) ta có:

11 1 1

2

( , ) sin2

xu x t p

l; 2

2 2 2

4

( , ) sin2

xu x t p

l (4.177)

Chuyển vị dọc trục tại cuối các thanh:

1 2 1( , ) Bu l t p ; 2 4 2( , ) Du l t p (4.178)

146

Bây giờ ta thực hiện tính toán số với cơ cấu sáu khâu, các thông số cơ cấu được

cho như Bảng 4.4. Kết quả mô phỏng được tính toán trong trường hợp khâu dẫn quay

đều với vận tốc góc 210 vòng/phút. Kết quả được tính toán trong thời gian 1 chu kỳ,

tức khâu dẫn quay được 360o.

Hình 4.23 và Hình 4.24 lần lượt là đồ thị đường cong biến dạng dọc của thanh

truyền AB và thanh truyền CD sử dụng phương pháp tuyến tính hóa đã đề xuất và kết

quả đo thực nghiệm [66], trong đó đường liền là kết quả của phương pháp tính toán lý

thuyết tuyến tính hóa, đường gạch đứt là kết quả thực nghiệm. Biến dạng lớn nhất của

thanh truyền AB xác định bằng phương pháp tuyến tính hóa là 3.4 mm, còn bằng thực

nghiệm khoảng 3.7mm; Biến dạng lớn nhất của thanh truyền CD xác định bằng

phương pháp tuyến tính hóa là 1.2 mm, còn bằng thực nghiệm khoảng 1.4 mm. Trên

các đường cong biến dạng dọc của lý thuyết và thực nghiệm có sai lệch (sai lệch lớn

nhất của thanh AB khoảng 0.3mm, thanh CD khoảng 0.2 mm), tuy nhiên hình dạng

đường cong thực nghiệm và lý thuyết gần giống nhau. Điều này có thể chấp nhận được

và có thể lý giải là do lý thuyết chưa xét được đầy đủ các yếu tố trong thực tế, thêm

vào đó là ở đây ta đã tuyến tính hóa phương trình chuyển động tức là làm gần đúng nó.

Hình 4.25 là đồ thị sai lệch góc khâu bị dẫn O3D của cơ cấu đàn hồi so với cơ

cấu rắn ( 5 5 5R ) do biến dạng đàn hồi gây ra, biên độ dao động khoảng 0.15 rad

(~ 8.6o). Các hình từ Hình 4.26 đến Hình 4.28 là quỹ đạo pha dao động tuần hoàn của

biến dạng dọc của các thanh truyền.

Hình 4.23. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB trong 1 chu kỳ, - - - - Thực nghiệm [66], __________ Tuyến tính hóa

Hình 4.24. Biến dạng dọc trục của thanh truyền CD trong 1 chu kỳ - - - - Thực nghiệm [66], __________ Tuyến tính hóa

147

0 90 180 270 360-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

5 [r

ad]

Goc khau dan [do]

-1 0 1 2 3 4

-100

0

100

200

du A

B/d

t [m

m/s

]

uAB

[mm]

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-100

-50

0

50

100

du C

D/d

t [m

m/s

]

uCD

[mm]


Các kết quả chính đạt được trong chương này là:

1) Xây dựng một phương pháp mới tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân – đại

số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng và có khâu đàn hồi.

Chuyển động cơ bản được chọn là chuyển động của cơ cấu khi xem các khâu là rắn.

Thuật toán tuyến tính hóa tổng quát và có sơ đồ tính toán khá đơn giản, rõ ràng, có khả

năng áp dụng các phần mềm như MAPLE, MATLAB để tuyến tính hóa.

2) Áp dụng phương pháp Newmark tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của hệ

phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Áp dụng tính toán dao động tuần

hoàn của cơ cấu bốn khâu và cơ cấu sáu khâu có các khâu nối đàn hồi.

3) Các kết quả tính toán theo phương pháp đề xuất trong luận án phù hợp với kết

quả thực nghiệm và các kết quả tính theo phương pháp khác.

Hình 4.25. Sai lệch góc của khâu bị dẫn O3D trong 1 chu kỳ, ε5[rad].

Hình 4.26. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh AB

Hình 4.27. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh CD

148

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Các kết quả chính của luận án

Để tiết kiệm vật liệu, giảm quán tính cho máy và tăng tốc độ làm việc, các khâu

của cơ cấu máy có thể thiết kế thanh mảnh hơn, cơ cấu nhỏ gọn hơn. Tuy nhiên, dao

động thường xuất hiện khi cơ cấu chuyển động, đặc biệt ở tốc độ cao, khi tăng và giảm

tốc do độ cứng vững của các khâu thanh mảnh không đủ lớn. Việc nghiên cứu động lực

học cơ cấu có khâu đàn hồi nhằm mục đích xem xét ảnh hưởng của biến dạng đến

chuyển động của khâu bị dẫn hoặc chuyển động của cả hệ. Đồng thời khảo sát phương

pháp điều khiển nhằm giảm thiểu hưởng đó đến chuyển động của cơ cấu. Với mục đích

đó, luận án đã thực hiện các nghiên cứu về cơ cấu phẳng với những kết quả chính sau:

1) Áp dụng các phương pháp của động lực học hệ nhiều vật đàn hồi đã nêu ra một

quy trình thiết lập dạng tường minh các phương trình chuyển động của cơ cấu có khâu

đàn hồi. Để xác định chuyển động của khâu đàn hồi thì các khâu đó đã được rời rạc hóa

bằng phương pháp Ritz – Galerkin và phương pháp phần tử hữu hạn. Đối với phương

pháp Ritz – Galerkin, các hàm riêng phụ thuộc vào điều kiện biên của dầm, do đó các

khâu đàn hồi là thanh thẳng, thiết diện không đổi, có liên kết thường gặp trong cơ cấu

như hai đầu bản lề, một đầu ngàm một đầu tự do,… thì phương pháp này khá thuận tiện,

chính xác cao chỉ với sử dụng một số dạng riêng đầu. Phương pháp phần tử hữu hạn

cũng được sử dụng cho các trường hợp nêu trên, tuy nhiên số bậc tự do và dẫn đến số

phương trình của phương pháp này tăng nhanh khi ta tăng số phần tử, trong một số

trường hợp như khâu đàn hồi có thiết diện thay đổi, hoặc không đồng chất, … phương

pháp này sẽ phát huy được thế mạnh.

2) Đã tiến hành phân tích động lực học thuận các cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi

khi có mômen phát động đặt vào khâu dẫn. Từ đó tính toán được biến dạng của các khâu

đàn hồi, đánh giá được ảnh hưởng của biến dạng đến chuyển động của các khâu trong cơ

cấu.

3) Để hạn chế ảnh hưởng của biến dạng và dập tắt dao động đàn hồi, phương án

điều khiển dao động thông qua mômen điều khiển bổ sung đặt vào khâu dẫn đã được áp

dụng. Kết quả mô phỏng điều khiển cho thấy bộ điều khiển thực hiện rất tốt các mục tiêu

điều khiển đề ra khi chuyển động của các khâu dẫn có vận tốc đủ nhỏ. Khi chuyển động

của các khâu dẫn có vận tốc lớn phương pháp điều khiển đề xuất không thích hợp, cần

phải nghiên cứu các phương pháp điều khiển khác.

4) Đã đề xuất phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân – đại số của hệ

nhiều vật có cấu trúc mạch vòng quanh chuyển động cơ bản để giải hệ phương trình đó.

149

Phương pháp này có tính tổng quát, thuật toán tuyến tính hóa đơn giản, thuận tiện và có

thể tự động hoá nhờ phần mềm như MAPLE, MATLAB,… Luận án đã áp dụng phương

pháp này vào giải các bài toán dao động tuần hoàn của cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi

làm việc ở chế độ bình ổn. Các áp dụng này khá thuận tiện và giảm đáng kể thời gian

tính toán. Mặc dù mới chỉ áp dụng phương pháp tuyến tính hóa này cho một số cơ cấu

đàn hồi để phân tích dao động ở chế độ bình ổn, nhưng phương pháp này cũng có thể áp

dụng cho các cơ cấu khác, ở chế độ làm việc khác hoặc hứa hẹn áp dụng cho các bài toán

khác, chẳng hạn như bài toán điều khiển dao động.

Một số vấn đề và hướng nghiên cứu tiếp

1) Xem xét đầy đủ hơn đến các yếu tố ảnh hưởng đến mô hình động lực học của

hệ như các thành phần cản trong, cản ngoài, …

2) Nghiên cứu các hệ nhiều vật có khâu đàn hồi được dẫn động bằng động cơ

điện.

3) Áp dụng cho các đối tượng như robot có khâu đàn hồi, cơ cấu trong không

gian.

4) Áp dụng các phương pháp điều khiển hiện đại để điều khiển như điều khiển

trượt, điều khiển mạng Nơron, …

150

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

1. Nguyen Van Khang, Nguyen Sy Nam, Nguyen Van Quyen (2018), Symbolic

linearization and vibration analysis of constrained multibody systems, Archive of

Applied Mechanics 88(8), pp. 1369 – 1384.

2. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Nguyen Sy Nam (2016), An efficient

numerical procedure for calculating periodic vibrationsof elastic mechanisms,

Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 38, No. 1 (2016), pp. 15 – 25.

3. Nguyen Van Khang, Nguyen Sy Nam (2017), Dynamics and control of a four-bar

mechanism with relative longitudinal vibration of the coupler link, Journal of

Science & Technology (Technical Universities), 119, pp. 006-010.

4. Nguyen Van Khang, Nguyen Sy Nam, Nguyen Phong Dien (2017), Modelling and

model-based control of a four-bar mechanism with a flexible coupler link.

Proceedings of the 5th IFToMM International Symposium on Robotics and

Mechatronics (ISRM2017), Sydney (accepted).

5. Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Sỹ Nam (2015), Tính toán dao động đàn hồi của cơ

cấu sáu bằng phương pháp Newmark, Tuyển tập công trình hội nghị cơ học kỹ

thuật toàn quốc, NXB Đà Nẵng 2015, tr. 189 – 199.

6. Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Sỹ Nam (2017), Động lực học và điều khiển cơ cấu

bốn khâu bản lề với khâu nối đàn hồi, Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học toàn

quốc lần thứ 2 về Cơ kỹ thuật và tự động hóa, Nhà xuất bản Bách Khoa - Hà Nội,

tr. 40 – 47.

7. Nguyen Sy Nam, Le Ngoc Phuong, Pham Hong Anh (2016), Dynamics and control

of a four-bar mechanism with relative transverse vibration of the coupler link,

Proceedings of the International Conference on Sustainable Development in Civil

Engineering 2016, Construction Publishing House, pp. 275 – 283.

8. Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Sỹ Nam (2018), Tính toán dao động tuần hoàn của cơ

cấu sáu khâu có hai khâu nối đàn hồi, Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn

quốc lần thứ X, Hà Nội, 8-9/12/2017, Tập 1. Động lực học và điều khiển, Cơ học

máy, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, tr. 403 – 412.

151

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

1. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích (2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại

học quốc gia Hà Nội.

2. Đỗ Sanh (2010), Ổn định các hệ động lực và các áp dụng kỹ thuật, NXB Bách

khoa, Hà Nội.

3. Heimann B., Gerth W., Popp K. (2008), Cơ điện tử, NXB Khoa học và Kỹ thuật,

Hà Nội.

4. Nguyễn Văn Khang (2005), Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4), NXB Khoa học & kỹ

thuật, Hà Nội.

5. Nguyễn Văn Khang (2017), Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ 2), NXB Khoa

học & kỹ thuật, Hà Nội.

6. Nguyễn Văn Khang (2016), Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB Bách khoa Hà

Nội.

7. Nguyễn Văn Khang, Vũ Văn Khiêm (1991), Tính toán bằng số dao động uốn tuần

hoàn của thanh truyền trong cơ cấu bốn khâu. Tạp chí Cơ học, Hà Nội, số 2, tr18 – 25.

8. Nguyễn Văn Khang, Vũ Văn Khiêm (1990). Về dao động của cơ cấu cam có cần

đàn hồi. Tạp chí Cơ học, Hà Nội, số 4, tr.22 – 31.

9. Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phụ (2007), Cơ sở phương trình vi phân và Lý thuyết ổn

định (in lần thứ 2), NXB Giáo dục, Hà Nội.

10. Vũ Văn Khiêm (1996), Tính toán dao động tuần hoàn của cơ cấu có các khâu rắn

và khâu đàn hồi bằng phương pháp số. Luận án phó tiến sỹ khoa học kỹ thuật, Đại học

Bách khoa Hà Nội.

11. Đinh Văn Phong (2010), Mô phỏng số và điều khiển các hệ cơ học. NXB Giáo

dục Việt Nam, Hà Nội.

12. Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh, Hán Thành Trung (2003), Lý thuyết điều

khiển phi tuyến, NXB Khoa học và Kỹ thuật.

13. Phan Nguyên Di (2002), Cơ học môi trường liên tục, NXB Khoa học và Kỹ thuật,

Hà Nội.

Tài liệu tiếng nước ngoài

14. Ankarali A., Diken H. (1997), Vibration control of an elastic manipulator link,

Journal of Sound and Vibration 204, pp. 162–170.

152

15. Barbieri E., Ozguner U. (1988), Unconstrained mode expansion for a flexible

slewing link, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 110, pp.

416–421.

16. Bahgat B.M., and Willmert K.D. (1976), Finite Element Vibrational Analysis of

Planar Mechanicsms. Mechanism and Machine Theory 11, pp. 47-71.

17. Bauchau O.A. (2011), Flexible Multibody Dynamics, Springer, Dordrecht.

18. Bayo E. (1986), Timoshenko versus Bernoulli beam theories for the control of

flexible robots, Proceeding of IASTED International Symposium on Applied Control

and Identification, pp. 178–182.

19. Bayo E. (1989), Timoshenko versus Bernoulli-Euler beam theories for inverse

dynamics of flexible robots, International Journal of Robotics and Automation 4(1), pp.

53–56.

20. Beale D.G. and Lee S.W. (1995), The applicability of fuzzy control for flexible

mechanisms, ASME Design Engineering Technical Conferences DE 84(1), pp. 203-

209.

21. Bellezza F., Lanari L., Ulivi G. (1990), Exact modeling of the flexible slewing

link, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation,

pp. 734–739.

22. Benosman M., Le Vey G. (2004), Control of flexible manipulators: A survey,

Robotica 22, pp. 533-545.

23. Blajer W., Schiehlen W., Schirm W. (1994), A projective criterion to the

coordinate partitioning method for multibody dynamics, Archive of Applied

Mechanics 64, pp. 86-98.

24. Bremer H. (2008), Elastic Multibody Dynamics/ A Direct Ritz Approach,

Springer, Berlin.

25. Bremer H., Pfeiffer F. (1992), Elastische Mehrkorpersysteme, B.G. Teubner,

Stuttgart.

26. Bricout J.N., Debus J.C., Micheau P. (1990), A finite element model for the

dynamics of flexible manipulator, Mechanism and Machine Theory 25 (1), pp.119–128

27. Cannon R.H., Schmitz E. (1984), Initial experiments on end-point control of a

flexible one-link robot, The International Journal of Robotics Research 3 (3), pp. 62–

75.

28. Chalhoub N.G., Ulsoy A.G. (1986), Dynamic simulation of a lead-screw driven

flexible robot arm and controller, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement,

and Control 108, pp. 119–126.

153

29. Chalhoub N.G., Ulsoy A.G. (1987), Control of a flexible robot arm: experimental

and theoretical results, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and

Control 109, pp. 299–309.

30. Chang L.W., Gannon K.P. (1990), A dynamic model on a single link flexible

manipulator, ASME Journal of Vibration and Acoustics 112, pp. 138–143.

31. Chapnik B.V., Heppler G.R., Aplevich J.D. (1991), Modelling impact on a one

link-flexible robotic arm, IEEE Transactions on Robotics and Automation 7(4), pp.

479–488.

32. Chen J.S., Meng C.H. (1990), Modeling and adaptive control of a flexible one-

link manipulator, Robotica 8, pp. 339–345.

33. Chiang W.W., Kraft R., Cannon R.H. (1991), Design and experimental

demonstration of rapid, precise end-point control of a wrist carried by a very flexible

manipulator, The International Journal of Robotics Research 10 (1), pp. 30–40.

34. Cleghorn W.L., Fenton R.G., Tabarrok B. (1980), Finite Element Analysis of

High – Speed Flexile Mechanisms. Mechanism and Machine Theory 16(4), pp. 407-

424.

35. Dwivedy S.K., Eberhard P. (2006), Dynamic analysis of flexible manipulators, a

literature review, Mechanism and Machine Theory 41, pp. 749–777.

36. Feliu V., Rattan K.S., Brown H.B. (1992), Modeling and control of single-link

flexible arms with lumped masses, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement,

and Control 114(3), pp. 59–69.

37. Gatti G., Mundo D. (2010) , On the direct control of follower vibrations in cam–

follower mechanisms, Mechanism and Machine Theory 45(1), pp. 23-35.

38. Ge X.S., Zhao W.J., Chen L.Q., Liu Y.Z. (2005), Symbolic Linearization of

Diferential/Algebraic Equations Based on Cartesian Coordinates, Technische

Mechanik, Band 25, Heft 3-4, pp. 230-240.

39. M. Geradin, A. Cardona (2001), Flexible Multibody Dynamics/ A Finite Element

Approach. John Wiley&Sohns, Chicester.

40. Gonzalez F., Masarati P., Cadrado J. (2016), On the linearization of multibody

dynamics formulations, Proceedings of the ASME IDETC/CIE , August 21-24, 2016,

Charlotte, North Carolina, Paper No. DETC2016-59227.

41. Gonzalez F., Masarati P., Cadrado J., Naya M.A. (2017), Asessment of

linearization approaches for multibody dynamics formulations. ASME Journal of

Computational and Nonlinear Dynamics 12, pp. 041009-1 - 041009-7.

154

42. Hastings G.G., Book W.J. (1986), Verification of a linear dynamic model for

flexible robotic manipulators, Proceedings of the IEEE International Conference on

Robotics and Automation, pp. 1024–1029.

43. Hastings G.G., Book W.J. (1987), A linear dynamic model for flexible robotic

manipulators, IEEE Control Systems Magazine, pp. 61– 64.

44. Hill, D. E. (2012), Dynamics and control of a rigid and flexible four bar coupler.

Journal of Vibration and Control 20(1), pp. 131-145.

45. Inman, D.J. (2001), Engineering Vibrations (2.Edition). Prentice Hall, Upper

Saddle River, New Jersey.

46. Jnifene A., Fahim A. (1997), A computed torque/time delay approach to the end-

point control of a one-link flexible manipulator, Dynamics and Control 7(2), pp. 171-

189.

47. Karkoub, M. and Yigit. A.S. (1999), Vibration control of a four-bar mechanism

with a flexible coupler, Journal of Sound and Vibration 222(2), pp. 171-189.

48. Khalil W., Gautier M. (2000), Modeling of mechanical systems with lumped

elasticity, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and

Automation 4, pp. 3964–3969.

49. Lin T.C., Yae K.H. (1994), Recursive linearization of multibody danamics and

application to control design. Journal of Mechanical Design 116 , pp. 445-451.

50. Logan D.L (2007), A first course in the finite element method (Fourth Edition),

University of Wisconsin–Platteville, Thomson.

51. Looke T.D., Bayoumi M.M., Farooq M. (1991), Simulation of computed torque

controller for flexible manipulators, Proceedings of the 34th Midwest Symposium on

Circuits and Systems 1, pp. 505–508.

52. Liu L.Y., Yuan K. (2003), Noncollocated passivity-based PD control of a single-

link flexible manipulator, Robotica 21, pp. 117–135.

53. Liao W. H., Chou J. H. and Horng I. R. (1997), Robust vibration control of

flexible linkage mechanisms using piezoelectric films, Smart Materials and Structures

6, pp. 457-463.

54. Madenci, Erdogan and Ibrahim Guven. (2006), The finite element method and

applications in engineering using ANSYS. Springer: The University of Arizona.

55. Masurekar V., Gupta K.N. (1988), Stability analysis of four bar mechanism. Part

I With the assumption that damping is absent, Mechanism and Machine Theory 23(5),

pp.367-375.

155

56. Megahed S.M., Hamza K.T. (2004), Modeling and simulation of planar flexible

link manipulators with rigid tip connections to revolute joints, Robotica 22, pp. 285–

300.

57. Morris A.S., Madani A. (1996), Inclusion of shear deformation term to improve

accuracy in flexible link robot modeling, Mechatronics 6, pp. 631–647.

58. Murray R.M., Li Z., Sastry S.S. (1994), A mathematical Introduction to Robotic

Manipulation, CRC, Boca Raton.

59. Müller A., Hufnagel T. (2013), Model-based control of redundantly actuated

parallel manipulators in redundant coordinates, Robotics and Autonomous Systems

60, pp. 563-571.

60. Nagarajan S., Turcic D.A. (1990), Lagrangian formulation of the equations of

motion for the elastic mechanisms with mutual dependence between rigid body and

elastic motions, Part 1: Element level equations, and Part II: System equations, ASME

Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 112 (2), pp. 203–214, and pp.

215–224.

61. Nath P.K. and Ghosh A. (1979), Kineto – Elastodynamic Analysis of Mechanisms

by Finite Element Method. Mechanism and Machine Theory 15. pp 179 - 197.

62. Nath P.K. and Ghosh A. (1979), Steady State Response of Mechanisms with

Elastic Links by Finite Element Method. Mechanism and Machine Theory 15, pp. 199-

211.

63. Negrut D., Ortiz J.L. (2006), A Practical Approach for the Linearization of the

Constrained Multibody Dynamics Equations, ASME Journal of Computational and

Nonlinear Dynamics.

64. Newmark N.M. (1959), A method of computation for structural dynamics. Journal

of the Engineering Mechanics Division 85(3), pp. 67–94.

65. Nguyen Quang Hoang, Nguyen Van Quyen (2014), Modeling and simulation of

translational single flexible Manipulator, Proc. of ICEMA3, pp. 42 – 48.

66. Nguyen Van Khang (1973), Ein Beitrag zur dynamischen Analyse ebener

Koppelgetriebe mit mehreren Freiheitsgraden mit Hilfe der numerischen Lösung der

Bewegungsdifferential-gleichungen. Diss. A, TH Karl-Marx-Stadt.

67. Nguyen Van Khang (1986), Dynamische Stabilität und periodische

Schwingungen in Mechanismen. Diss. B, TH Karl-Marx-Stadt.

68. Nguyen Nguyen Van Khang (1995), Anwendung der Substrukturtechnik bei der

dynamischen Analyse ebener Mechanismen mit elastischen Gliedern. ZAMM 75,

Supplement 1, S.119-120, Berlin.

156

69. Nguyen Van Khang, Vu Van Khiem (1996), Numerische Berechnung der

dynamischen Stabilitätsbedingungen und der periodischen Schwingungen in

Kurvengetrieben mit elastischer Stösselstange. Technische Mechanik 16, H.4, S.317-

325, Magdeburg.

70. Nguyen Van Khang, Vu Van Khiem (1997), Numerical evalution of periodic

transverse vibration of elastic connecting rods in a six-link mechanism. Vietnam

Journal of Mechanics 19, pp. 35-44.

71. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Hoang Manh Cuong (2009),

Linearization and parametric vibration analysis of some applied problems in

multibody systems, Springer, Multibody System Dynamics 22, pp. 163-180.

72. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2012), Parametric vibration analysis

of transmission mechanisms using numerical methods. In Advances in Vibration

Engineering and Structural Dynamics, edited by Francisco Beltran-Carbajal, Intech, pp.

301 – 331.

73. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2013), On the numerical calculation of

periodic vibrations of transmission systems. Proc. of the 15th Asia Pacific Vibration

Conference, 2-6 Juni, ICC Jeju, Korea, APVC2013, pp.1343-1552.

74. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Nguyen Sy Nam (2016), An efficient

numerical procedure for calculating periodic vibrations of elastic mechanisms.

Vietnam Journal of Mechanics 38, VAST, pp. 15-25.

75. Nguyen Sy Nam, Nguyen Van Khang (2016), Dynamics and control of a four-bar

mechanism with relative longitudinal vibration of the coupler link. Proceedings of the

4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4)

Hanoi, August 25-26, Vietnam National University Press, Hanoi, pp. 122-129.

76. Nguyen Van Khang, Nguyen Sy Nam (2017), Dynamics and control of a four-bar

mechanism with relative longitudinal vibration of the coupler link, Journal of Science

& Technology Technical Universities 119, pp. 6-10.

77. Nguyen Van Khang, Nguyen Sy Nam, Nguyen Phong Dien (2017), Modelling

and mode-based control of a four-bar mechanism with a flexible coupler link.

Proceedings of the 5th IFToMM International Symposium on Robotics and

Mechatronics (ISRM2017), Sydney, Springer-Verlag (accepted).

78. Peterson D.L, Gede G., Hubbard M. (2015), Symbolic linearization of equations

of motion of constrained multibody systems, Multibody Syst Dyn 33, pp. 143-161.

79. Reddy J.N. (2002), Energy Principles and Variational Methods in Applied

Mechanics (2. Edition). John Wiley and Sons, New Jersey.

157

80. Rakhsha F., Goldenberg A.A. (1985), Dynamic modeling of a single link flexible

robot, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation

pp. 984–989.

81. Robinett, R.D. et al. (2002), Flexible Robot Dynamics and Controls, Kluwer

Academic/Plenum Publishers, New York.

82. Sandor G.N. and Zhuang X. (1985), A linearized lumped parameter approach to

vibration and stress analysis of elastic linkages. Mechanism and Machine Theory

20(5), pp. 427–437.

83. Schwertassek R., Wallrapp O. (1999), Dynamik flexibler Mehrkorpersysteme,

Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.

84. Shabana A. (2005), Dynamics of Multibody Systems (3.Edition), Cambridge

University Press, New York.

85. Shabana A.A. (2008), Computational Continuum Mechanics, Cambridge

University Press, New York.

86. Shabana A.A. (1997), Flexible multibody dynamics: Review of past and recent

developments, Multibody System Dynamics 1, pp. 189-222.

87. Sheng L., Li W., Wang Y., Fan M., Yang X. (2017), Dnanmic model and

vibration characteristics of planar 3-RRR parallel manipulator with flexible

intermadiate links considering exact boundary conditions. Hindawi Schock and

Vibration, Vol. 2017, Art. ID 1582547.

88. Simeon B. (2013), Computational Flexible Multibody Dynamics, Springer, Berlin.

89. Simo J.C., Vu-Quoc L. (1986), On the dynamics of flexible beams under large

overall motions – the plane case: Part 1, Journal of Applied Mechanics 53, pp. 849–

854.

90. Simo J.C., Vu-Quoc L. (1986), On the dynamics of flexible beams under large

overall motions – the plane case: Part II, Journal of Applied Mechanics 53, pp. 855–

863.

91. Sohoni V. N., Whitesell J. (1986), Automatic Linearization of Constrained

Dynamical Models. Transactions of the ASME Journal of Mechanisms, Transmissions,

and Automation in Design 108, pp. 300-304.

92. Soon L.T., Jaw J.Y. (1992), Shear deformation effect in design considerations of

flexible manipulators, Robotica 11(1), pp. 83–92.

93. Spector V.A., Flashner H. (1989), Flexible manipulator modeling for control

system development, AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics 12(6), pp.

943–945.

158

94. Sun Q., Mills J.K. (1998), Combined PD feedback and distributed piezoelectric-

polymer vibration control of a single-link flexible manipulator, Proceedings of the

IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems 1, pp. 667–672.

95. Sun D., Mills J.K., Shan J., Tso S.K. (2004), A PZT actuator control of a single-

link flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement,

Mechatronics 14, pp. 381–401.

96. Sung C.K. and Chen Y.C. (1991), Vibration Control of the Elastodynamic

Response of High-Speed Flexible Linkage Mechanisms, Journal of Vibration and

Acoustics 113(1), pp. 14-21.

97. Tokhi M.O., Azad A.K.M. (Editors) (2008), Flexible Robot Manipulators,

Modelling, simulation and control. The Institution of Engineering and Technology,

London.

98. Trom J.D., Vanderploeg M.J., (1994), Automated linearization of nonlinear

coupled differential and algebraic equations, Journal of Mechanical Design 116, pp.

429 – 436.

99. Wallrapp O. (1990), Linearized flexible dynamic including geometric stiffening

effects, Mech. Struct. & Mach 19(3), pp. 385-409.

100. Wang D., Meng M., Liu Y. (1999), Influence of shear, rotary inertia on the

dynamic characteristics of flexible manipulators, in: IEEE Pacific Rim Conference on

Communications, Computers and Signal Processing, pp. 615–618.

101. Wang F.Y., Guan G.G. (1994), Influence of rotary inertia, shear deformation

and loading on vibration behaviours of flexible manipulators, Journal of Sound and

Vibration 171(4), pp. 433–452.

102. Wang, X., Mills, J.K. (2004), A FEM model for active vibration control of

flexible linkages. Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Robotics

and Automation, New Orleans, pp. 4308-4313.

103. Wang Y. (1993), Eficient linearization and modal analysis of constrained

multibody systems, Proceedings of the 11th International Modal Analysis Conference,

February 1-4, 1993, Hyatt Orlando, pp. 325-333.

104. Xianmin, Z., Changjian, S., Erdman, A.G. (2002), Active vibration controller

design and comparison study of flexible linkage mechanism systems. Mechanism and

Machine Theory 37, pp. 985-997.

105. Yang Z. and Sadler J.P. (2000), On issues of elastic-rigid coupling in finite

element modeling of high-speed machines, Mechanism and Machine Theory 35, pp.

71-82.

159

106. Yang K.H., Park Y.S. (1998), Dynamic stability analysis of a flexible four-bar

mechanism and its experimental investigation, Mechanism and Machine Theory 33(3),

April 1998, pp. 307–320.

107. Yao Y., Zhang C. and Yan H.S. (2000), Motion control of cam mechanisms,

Mechanism and Machine Theory 35(4), April 2000, pp. 593–607

108. Zhang X., Mills J.K., Cleghorn W.L. (2009), Coupling characteristics of rigid

body motion and elastic deformation of a 3-PRR parallel manipulator with flexible

links. Multibody Syst Dyn 21, pp. 167-192.

109. Zhang Q., Mills J.K., Cleghorn W.L., Jin J., Zhao Ch. (2015), Trajectory

tracking and vibration suppression of a 3-PRR parallel manipulator with flexible links.

Multibody Syst Dyn 33, pp. 27-60.

110. Zhu G., Ge S.S., Lee T.H. (1999), Simulation studies of tip tracking control of a

single-link flexible robot based on a lumped model, Robotica 17, pp. 71–78.

PL1

PHỤ LỤC A

TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC THUẬN CƠ CẤU 4 KHÂU CÓ KHÂU NỐI ĐÀN

HỒI KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP FEM VỚI NHIỀU PHẦN TỬ

A.1. Lập phương trình vi phân chuyển động


thanh truyền đàn hồi AB bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Giả thiết chuyển vị của

thanh là nhỏ, xem các chuyển vị dọc trục không ảnh hưởng đến các chuyển vị uốn (độ

võng và góc xoay) và ngược lại.

Sử dụng hai phần tử để rời rạc thanh AB, như vậy thanh AB gồm 2 phần tử dài

bằng nhau và 3 nút. Khi biến dạng, chuyển vị 2 nút của phần tử i là 1 2 3, ,i i iq q q lần

lượt là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay tại nút đầu; 4 5 6, ,i i iq q q lần lượt

là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay tại nút cuối

Xét điểm M* trên thanh AB có tọa độ x, M* thuộc phần tử i. Khi chưa biến dạng ta có:

2( 1)2

i

lx i , 2, (0 / 2, 1,2)ix x l i (0.1)

Khi có biến dạng, chuyển vị uốn và chuyển vị dọc của điểm M* có dạng:

2 2 3 3 5 5 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iw x t X q t X q t X q t X q t (0.2)

1 1 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i iu x t X q t X q t (0.3)

Các hàm từ 1 ( )iX đến 6 ( )iX là các hàm dạng Hermite, có dạng giống như trong

công thức (2.8) và (2.12) (trong chương 2): 2 3 2 3

2 2 3 3 2

2 3 2 3

5 5 6 62 3 2

( ) ( ) 1 3 2 ; ( ) ( ) 2

( ) ( ) 3 2 ; ( ) ( )

i i

i i

X X X Xl l l l

X X X Xl l l l

(0.4)

1 1 4 4( ) ( ) 1 ; ( ) ( )i iX X X Xl l

(với l=l2/2)

Với việc chọn tọa độ tương đối Axy dọc đường nối AB như trên, thì điều kiện

biên thanh hai đầu bản lề trong chuyển động tương đối sẽ là:

Hình A. Các bậc tự do của phần tử dầm

A B

y

x l=l2/2 l =l2/2

1 2 1 2 3

q41 q42

q52 q62

B

y

x

1 2

q11

q51 q31 q21 q61

q12

q22 q32

PL2

q11 = 0, q21 = 0, q52 = 0. (0.5)

Từ điều kiện liên tục của các phần tử thì:

q41 = q12, q51 = q22, q61 = q32. (0.6)

Như vậy với 2 phần tử ta có 6 tọa độ đàn hồi độc lập là:

q31, q41, q51, q61, q42, q62. (0.7)

Thay (0.5) đến (0.7) vào (0.2) và (0.3) thu được chuyển vị uốn và dọc của điểm

M* tại vị trí x như sau:

+ Khi 0 ≤ x ≤ l2/2, x = , 0 l với l = l2/2

3 31 5 51 6 61( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w x t X q t X q t X q t (0.8)

4 41( , ) ( ) ( )u x t X q t (0.9)

+ Khi l2/2 ≤ x ≤ l2, x = l2/2 + , 0 l với l = l2/2

2 51 3 61 6 62( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w x t X q t X q t X q t (0.10)

1 41 4 42( , ) ( ) ( ) ( ) ( )u x t X q t X q t (0.11)

Khi đó u(l2,t) = q42, phương trình liên kết thu được là:

1 1 1 2 42 2 3 3 0

2 1 1 2 42 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

f l l q l l

f l l q l

(0.12)

Thay các biểu thức (0.8) đến (0.11) vào biểu thức động năng (2.31), ta có:

Từ biểu thức (0.8) đến (0.11) vào (0.13) và chú ý đến cận tích phân như sau:

+ Khi 0 ≤ x ≤ l2/2 : đặt x = => 0 l (l = l2/2), dx=d (0.14)

+ Khi l2/2 ≤ x ≤ l2, x = l2/2 + => 0 l (l = l2/2), dx= d (0.15)

Rút gọn ta nhận được:

2 2 2/2222 2 2 2 21 2

1 3 1 2

0

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 1 2 1 2 2 2

2

1 1 1

2 2 2 2

2 sin 2 cos 2 cos

2 sin 2 2

1

2

l

O C

l l u wT I I w x u

t t

u wl l x u l

t tu w

l w w x u dxt t

u

t

2

2

222 2

2

/2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 1 2 1 2 2 2

2 sin 2 cos 2 cos

2 sin 2 2

l

l

ww x u

t

u wl l x u l

t tu w

l w w x u dxt t

(0.13)

PL3

22 2 21 21 3 1

1 1

2 2 2O C

l lT I I

2 2 2 224 41 3 31 5 51 6 61 4 41 2 3 31 5 51 6 61

0

1 1 4 41 1 2 1 4 41 1 2 1 2

1 3 31 5 51 6 61 1 1 2 1 3 31 5 51 6 61 1 2 1 2

3 31 5 51

1

22 sin 2 cos2 cos 2 sin

2

l

X q X q X q X q X q X q X q X q

l X q l X ql X q X q X q l X q X q X q

X q X q X

6 61 4 41 2 4 41 3 31 5 51 6 61 22q X q X q X q X q X q d

2 2 2 21 41 4 42 2 51 3 61 6 62 1 41 4 42 2

02

2 51 3 61 6 62 1 1 1 41 4 42 1 2

1 1 41 4 42 1 2 1 2 1 2 51 3 61 6 62 1 1 2

1 2 51 3 61 6

1

2

2 sin2 cos 2 cos2

l

X q X q X q X q X q l X q X q

X q X q X q l X q X ql l X q X q l X q X q X ql X q X q X q

62 1 2 1 2 2 51 3 61 6 62 1 41 4 42 2

1 41 4 42 2 51 3 61 6 62 2

sin 2

2

X q X q X q X q X q

l X q X q X q X q X q d

Đặt: 0

l

i iC X d , 0

l

i iD X d , 0

l

ij i jm X X d

22 2 21 21 3 1

1 1

2 2 2O C

l lT I I

22 2 2 22

44 41 33 31 55 51 66 61 35 31 51 36 31 61 56 51 61

2 32 2 2 22

4 41 44 41 33 31 55 51 66 61 35 31 51 36 31 61 56 51 61

1 1 1 2 4 4

2 2 22 2

2 2 2 22 3 2

sin

m q m q m q m q m q q m q q m q q

lD q m q m q m q m q m q q m q q m q q

l C q

2

1 1 1 2 1 2 4 41

1 1 1 2 3 31 5 51 6 61 1 1 2 1 2 3 31 5 51 6 61

41 2 34 31 45 51 46 61 2 3 31 5 51 6 61 34 41 31 45 41 51 46 41 61

cos2

cos sin

ll C q

l C q C q C q l C q C q C q

q m q m q m q D q D q D q m q q m q q m q q

2 211 41 44 42 14 41 42

22 2 22

22 51 33 61 66 62 23 51 61 26 51 62 36 61 62

2 32 22

11 41 44 42 1 41 4 42 1 41 4 42 14 41 42

2 222 51 33 61 66

22

2 2 22

72 2 2 2 2

2 3

2

m q m q m q q

m q m q m q m q q m q q m q q

lm q m q lC q lC q D q D q m q q

m q m q m

262 23 51 61 26 51 62 36 61 62

2

1 1 1 2 1 41 4 42 1 1 2 1 2 1 41 4 42

1 1 1 2 2 51 3 61 6 62 1 1 2 1 2 2 51 3 61 6 62

41 2 12 51

2 2 2

3sin cos

2

cos sin

q m q q m q q m q q

ll C q C q l C q C q

l C q C q C q l C q C q C qq m q

13 61 16 62 42 2 42 51 43 61 46 62

2 2 51 3 61 6 62 2 2 51 3 61 6 62

2 12 41 51 13 41 61 16 41 62 2 42 42 51 43 42 61 46 42 62

m q m q q m q m q m ql C q C q C q D q D q D q

m q q m q q m q q m q q m q q m q q

(0.16)

PL4

Tương tự thay các biểu thức (0.8) đến (0.11) vào biểu thức thế năng (2.31) với chú ý

cận tích phân như (0.14), (0.15) ta có:

2

22 24 41 3 31 5 51 6 61

0 0

22

1 41 4 42 2 51 3 61 6 62

0 0

1 1

2 2

1 1( )

2 2

l l

ll

EA X q d EI X q X q X q d

EA X q t X q d EI X q X q X q d

Đặt: 0

l

ij i jH EA X X d ; 0

l

ij i jk EI X X dx

2 2 2 244 41 33 31 55 51 66 61 35 31 51 36 31 61 56 51 61

2 211 41 44 42 14 41 42

2 2 222 51 33 61 66 62 23 51 61 26 51 62 36 61 62

1 12 2 2

2 21

221

2 2 22

EAH q EI k q k q k q k q q k q q k q q

EA H q H q H q q

EI k q k q k q k q q k q q k q q

2 211 44 41 44 42 14 41 42

2 2 2 233 31 22 55 51 33 66 61 66 62 35 31 51 36 31 61

56 23 51 61 26 51 62 36 61 62

12

21

2 22

2 2 2

H H q H q H q q

k q k k q k k q k q k q q k q q

k k q q k q q k q q

Gọi η là véctơ tọa độ suy rộng trong đó bao gồm các tọa độ khâu rắn φ1, φ2, φ3

và các tọa độ đàn hồi q3, q4 và q6: 1 2 3 3 4 6

Tq q q η

Phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ hôlônôm:

2

1

kk j

kj j j j

fd T TQ

dt

, j = 1,2,…6 (0.17)

Với λ1, λ2 là các nhân tử Lagrange.

+ Phương trình cho φ1:

21 2 1 1 1 2 4 1 41 4 42

12

1 2 1 2 4 1 41 4 42

1 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

sin

cos 2

cos

sin

O

TI l l l C C q C q

l l C C q C q

l C q C C q C C q C q


PL5

21 2 1 1 1 2 4 1 41 4 42

1

1 1 2 1 2 4 1 41 4 42

21 2 1 2 4 1 41 4 42

21 2 1 2 1 2 4 1 41 4 42

1 2 1 2 4 1 41

sin

cos

cos 2

sin 2

cos

O

d TI l l l C C q C q

dt

l C C q C q

l l C C q C q

l l C C q C q

l C C q

4 42

1 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

1 1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

1 2 1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61

cos

sin

sin

cos

C q




l C q C C q C C q C

6 62

1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62sin

q


1

0

1 21 2 1 1 1 1 1 2

1 1

sin cosf f

l l

1Q

Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho 1 :

2 21 2 1 1 2 1 2 4 1 41 4 42

1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

1 1 2 4 1 41 4 42 1 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

1 2 1 2 4 1 41 4

cos 2

sin

sin cos

2 cos

OI l l l l C C q C q

C q C C q C C q C q

l C C q C q l C q C C q C C q C q

l C C q C

2 242 1 2 1 2 4 1 41 4 42

1 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

21 2 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62 1 1 1 1 1 2

sin 2

2 sin

cos sin cos

q l l C C q C q


l C q C C q C C q C q l l

(0.18)

+ Phương trình cho φ2:

2

1 1 1 2 4 41 1 1 2 1 2 4 41

2

1 1 1 2 3 31 5 51 6 61 1 1 2 1 2 3 31 5 51 6 612

1 1 1 2 1 41 4 42 1 1 2 1 2 1 41 4 42

cos sin2

sin cos

3cos sin

2

T ll C q l C q


ll C q C q l C q C q

l

1 1 1 2 2 51 3 61 6 62 1 1 2 1 2 2 51 3 61 6 62sin cosC q C q C q l C q C q C q

PL6

2 2 22 33 31 55 51 66 61 35 31 51 36 31 61 56 51 61

23 2

22 4 41 44 41 1 1 1 2 4 41

1 1 1 2 3 31 5 51 6 61

41 34 31 45 51 46 61 3 31 5

2 2 2

2 cos3 2

sin

Tm q m q m q m q q m q q m q q

l lD q m q l C q

l C q C q C qq m q m q m q D q D

51 6 61 34 41 31 45 41 51 46 41 612 2 2

2 22 51 33 61 66 62 23 51 61 26 51 62 36 61 62

32 2

2 11 41 44 42 1 41 4 42 1 41 4 42 14 41 42

2

1 1 1 2

2 2 2

72 2 2 2 2

3

3cos

2

q D q m q q m q q m q q

m q m q m q m q q m q q m q q

lm q m q lC q lC q D q D q m q q

ll

1 41 4 42

1 1 1 2 2 51 3 61 6 62

41 12 51 13 61 16 62 42 42 51 43 61 46 62

2 51 3 61 6 62 2 51 3 61 6 62

12 41 51 13 41 61 16 41 62 42 42 51 43 42

sin

C q C q

l C q C q C qq m q m q m q q m q m q m ql C q C q C q D q D q D q

m q q m q q m q q m q q m q

61 46 42 62q m q q

2 2 22 33 31 55 51 66 61 35 31 51 36 31 61 56 51 61

2

33 31 31 55 51 51 66 61 61 35 31 51 35 31 51 36 31 612

36 31 61 56 51 61 56 51 613

2

2 2 2

2

3

d Tm q m q m q m q q m q q m q q

dtm q q m q q m q q m q q m q q m q q

m q q m q q m q q

l

22

4 41 44 41 1 1 1 2 4 41

2

2 41 4 44 41 1 1 1 2 1 2 4 41 1 4 41 1 1 2

1 1 1 2 3 31 5 51 6 61 1 1 1 2 1 2 3 31 5 51 6 6

2 cos2

2 sin cos2

sin cos

lD q m q l C q

lq D m q l C q l C q


1

1 1 1 2 3 31 5 51 6 61 41 34 31 45 51 46 61

3 31 5 51 6 61 34 41 31 45 41 51 46 41 61

41 34 31 45 51 46 61 34 41 31 45 41 51 46 41 61

2 22

sinl C q C q C q q m q m q m qD q D q D q m q q m q q m q q

q m q m q m q m q q m q q m q q

m q

2 2 251 33 61 66 62 23 51 61 26 51 62 36 61 62

22 51 51 33 61 61 66 62 62 23 51 61 23 51 61 26 51 622

26 51 62 36 61 62 36 61 623

2 22 11 41 44 42 1 41

2 2 2

2

72

3

m q m q m q q m q q m q q

m q q m q q m q q m q q m q q m q qm q q m q q m q q

lm q m q lC q

4 42 1 41 4 42 14 41 42

2 11 41 41 44 42 42 1 41 4 42 1 41 4 42 14 41 42 14 41 422 2

1 1 1 2 1 41 4 42 1 1 1 2 1 2 1 41 4 42

2 2 2 2

2

3 3cos sin

2 2

lC q D q D q m q q

m q q m q q lC q lC q D q D q m q q m q q

l ll C q C q l C q C q

1 1 1 2 1 41 4 42 1 1 1 2 2 51 3 61 6 62

1 1 1 2 2 51 3 61 6 62 1 1 1 2 1 2 2 51 3 61 6 62

41 12 51 13 61 16 62 42 42 51 43 61 46 62

41 12

cos sinsin cos

l C q C q l C q C q C ql C q C q C q l C q C q C qq m q m q m q q m q m q m qq m q

51 13 61 16 62 42 42 51 43 61 46 62

2 51 3 61 6 62 2 51 3 61 6 62

12 41 51 13 41 61 16 41 62 42 42 51 43 42 61 46 42 62

12 41 51 13 41 61 1

m q m q q m q m q m ql C q C q C q D q D q D q

m q q m q q m q q m q q m q q m q q

m q q m q q m

6 41 62 42 42 51 43 42 61 46 42 62q q m q q m q q m q q

1 21 2 2 4 2 1 2 4 2 2

2 2

sin . cos .f f

l q l q

;

20Q

2

0

PL7

Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho 2 :

21 1 1 2 4 1 41 4 42 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61 6 62

2 2 2 22 33 31 55 22 51 66 33 61 35 31 51 36 31 61 56 23 51 61 66 62

3

26 51 62 36 61 62 4 1 1 41 44

cos 2 sin

2 2 2

82 2 2

3

l l C C q C q C q C C q C C q C q

m q m m q m m q m q q m q q m m q q m q

lm q q m q q D D lC q m

2 211 41 44 42 4 4 14 41 42

34 41 3 31 41 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62

2 2 12 41 42 42 5 45 41 51 3 3 13 41 43 42 6 46 41 61

42 42 51 43 61 46 62 6

2m q m q lC D m q q

m q D q q m q m m q m m q m q

lC D m q m q D m q q lC D m q m q D m q qq m q m q m q lC

6 16 41 46 42 62

2 33 31 35 51 36 61 31 55 51 35 31 56 61 51 66 61 36 31 56 51 61

2 22 41 4 44 41 1 1 1 2 4 1 41 4 42

21 1 1 2 3 31 5 2 51 6 3 61

2

2 sin 2

cos

D m q m q q

m q m q m q q m q m q m q q m q m q m q q

q D m q l l C C q C q

l C q C C q C C q C

6 62

2 22 51 23 61 26 62 51 33 61 23 51 36 62 61 66 62 26 51 36 61 62

2 11 41 1 1 14 42 41 44 42 4 4 14 41 42

2 42 2 1 2 42 2 2

2

2

sin cos

q

m q m q m q q m q m q m q q m q m q m q q

m q lC D m q q m q lC D m q q

l q l q

(0.19)

+ Phương trình viết cho 3 :

3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l l (0.20)

+ Phương trình viết cho q31:

22 33 31 35 51 36 61 1 3 1 2 1 2 34 41 2

31

33 31 35 51 36 61 1 3 1 1 2 2 3 34 41

31

sin

cos

Tm q m q m q l C m q

qT

m q m q m q l C D m qq

1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2

31

2 3 34 41 34 2 41 33 31 35 51 36 61

cos sind T

l C l Cdt q

D m q m q m q m q m q

33 31 35 51 36 61

31

k q k q k qq

;

1 21 2

31 31

0f f

q q

;

310qQ

Thay vào (0.17) thu được phương trình viết cho q31:

1 3 1 1 2 2 3 34 41 33 31 35 51 36 61

2 21 3 1 1 2 34 2 41 2 33 31 35 51 36 61

33 31 35 51 36 61

cos

sin 2

0

l C D m q m q m q m q

l C m q m q m q m q

k q k q k q

(0.21)


PL8

22 4 44 11 41 1 1 14 42 1 4 1 1 2 1 2

41

2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62

44 11 41 14 42 1 1 1 2 4 1

41

2 34 31 45 12 51 46 13 61 16

cos

sin

TD m m q lC D m q l C C

q

m q m m q m m q m qT

m m q m q l C Cq

m q m m q m m q m q

62

44 11 41 14 42 1 1 1 2 4 1

41

1 1 1 2 1 2 4 1

2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62

2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62

sin

cos

d Tm m q m q l C C

dt q

l C C

m q m m q m m q m q

m q m m q m m q m q

11 44 41 14 42

41

H H q H qq

;

1 21 2

41 41

0f f

q q

;

410qQ


1 1 1 2 4 1 2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62

244 11 41 14 42 1 1 1 2 4 1

2 34 31 45 12 51 46 13 61 16 62

22 4 44 11 41 1 1 14 42 11 44 41

sin

cos

2

l C C m q m m q m m q m q

m m q m q l C C

m q m m q m m q m q

D m m q lC D m q H H q

14 42 0H q

(0.22)


22 55 22 51 35 31 56 23 61 26 62 1 5 2 1 2 1 2

51

45 12 41 2 42 42 2

55 22 51 35 31 56 23 61 26 62 1 5 2 1 1 2

51

2 5 45 41 2 2 2 2 2

sin

cos

Tm m q m q m m q m q l C C

q

m m q m qT

m m q m q m m q m q l C Cq

D m q lC D

12 41 2 42 42m q m q

55 22 51 35 31 56 23 61 26 62 1 5 2 1 1 2

51

1 5 2 1 1 2 1 2 2 5 45 41 45 41 2 2 2 2 2

2 12 41 2 42 42 12 2 41 2 42 4

cos

sin

d Tm m q m q m m q m q l C C

dt q

l C C D m q m q lC D

m q m q m q m q

2

22 55 51 35 31 56 23 61 26 62

51

k k q k q k k q k qq

;

1 21 2

51 51

0f f

q q

;

510qQ


PL9

1 5 2 1 1 2 2 2 2 12 41 42 42 5 45 41

55 22 51 35 31 56 23 61 26 62

21 5 2 1 1 2 45 12 2 41 2 42 42

22 55 22 51 35 31 56 23 61 26 62

22 4

cos

sin 2 2

l C C lC D m q m q D m q

m m q m q m m q m q

l C C m m q m q

m m q m q m m q m q

k k

4 51 35 31 56 23 61 26 62 0q k q k k q k q

(0.23)


22 66 33 61 36 31 56 23 51 36 62

61

1 6 3 1 2 1 2 46 13 41 2 43 42 2sin

Tm m q m q m m q m q

q

l C C m m q m q

66 33 61 36 31 56 23 51 36 62 1 6 3 1 1 2

61

2 6 46 41 3 3 13 41 43 42

cosT

m m q m q m m q m q l C Cq

D m q lC D m q m q

66 33 61 36 31 56 23 51 36 62

61

1 6 3 1 1 2 1 6 3 1 1 2 1 2

2 6 46 41 3 3 13 41 43 42 2 46 41 13 41 43 42

cos sin

d Tm m q m q m m q m q

dt q

l C C l C C

D m q lC D m q m q m q m q m q

33 66 61 36 31 56 23 51 36 62

61

k k q k q k k q k qq

;

1 21 2

61 61

0f f

q q

;

610qQ


1 6 3 1 1 2 2 6 46 41 3 3 13 41 43 42

66 33 61 36 31 56 23 51 36 62

21 6 3 1 1 2 2 46 41 13 41 43 42

22 66 33 61 36 31 56 23 51 36 62

cos

sin 2

l C C D m q lC D m q m q

m m q m q m m q m q

l C C m q m q m q

m m q m q m m q m q

33 66 61 36 31 56 23 51 36 62 0k k q k q k k q k q

(0.24)


22 44 42 4 4 14 41 1 4 1 2 1 2 2 42 51 43 61 46 62

42

44 42 14 41 1 4 1 1 2 2 42 51 43 61 46 62

42

cos

sin

Tm q lC D m q l C m q m q m q

qT

m q m q l C m q m q m qq

44 42 14 41 1 4 1 1 2 1 4 1 1 2 1 2

42

2 42 51 43 61 46 62 2 42 51 43 61 46 62

sin cosd T

m q m q l C l Cdt q

m q m q m q m q m q m q

44 42 14 41

42

H q H qq

;

PL10

1 21 2 1 2 2 2

42 42

cos sinf f

q q

;

420qQ


1 4 1 1 2 2 42 51 43 61 46 62 44 42 14 41

21 4 1 1 2 2 42 51 43 61 46 62

22 44 42 4 4 14 41 44 42 14 41 1 2 2 2

sin

cos 2

cos sin

l C m q m q m q m q m q

l C m q m q m q

m q lC D m q H q H q

(0.25)


22 66 62 26 51 36 61 1 6 1 2 1 2 16 41 2 46 42 2

62

66 62 26 51 36 61 1 6 1 1 2 6 6 16 41 46 42 2

62

sin

cos

Tm q m q m q l C m q m q

qT

m q m q m q l C lC D m q m qq

66 62 26 51 36 61 1 6 1 1 2 1 6 1 1 2 1 2

62

6 6 16 41 46 42 2 16 41 46 42 2

cos sind T

m q m q m q l C l Cdt q

lC D m q m q m q m q

66 62 26 51 36 61

62

k q k q k qq

;

1 21 2

62 62

0f f

q q

;

620qQ


1 6 1 1 2 6 6 16 41 46 42 2

266 62 26 51 36 61 1 6 1 1 2 2 16 41 46 42

22 66 62 26 51 36 61 66 62 26 51 36 61

cos

sin 2

0

l C lC D m q m q

m q m q m q l C m q m q

m q m q m q k q k q k q

(0.26)

Như vậy ta có 9 phương trình vi phân chuyển động và 2 phương trình liên kết. Với các

hệ số: 2 2

1 2 3 4 5 6; ; ; ; ;2 2 12 2 2 12

l l l l l lC C C C C C .

2 2 3 2 2 3

1 2 3 4 5 6

3 7; ; ; ; ;

6 20 30 3 20 20

l l l l l lD D D D D D .

3 3

11 22 33 44 55 66

13 13; ; ; ; ;

3 35 105 3 35 105

l l l l l lm m m m m m .

2 2 2

12 13 14 15 16 21 12 23 24

7 3 11 3; ; ; ; ; ; ;

20 20 6 20 30 210 20

l l l l l l lm m m m m m m m m

2 2 2 3

25 26 31 13 32 23 34 35 36

9 13 13; ; ; ; ; ;

70 420 30 420 140

l l l l lm m m m m m m m m

2 2

41 14 42 24 43 34 45 46 56

7 11; ; ; ; ;

20 20 210

l l lm m m m m m m m m

PL11

22 33 55 66 23 26 353 3 2 2 2

12 4 12 4 6 6 6; ; ; ; ; ;

EI EI EI EI EI EI EIk k k k k k k

l l l l l l l

36 56 11 44 142

2 6; ; ; ;

EI EI EA EA EAk k H H H

l l l l l

A.2. Bài toán phân tích động lực học thuận

Tương tự như mục 3.3.2.3 thực hiện tính toán động lực học thuận cho cơ cấu

bốn khâu với thanh truyền đàn hồi sử dụng phương pháp FEM với 1 phần tử. Phần này

thực hiện tính toán tương tự với thanh truyền đàn hồi sử dụng phương pháp FEM với

2 phần tử.

A.2.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn

Trong trường hợp này, việc mô phỏng số tương tự như mục 3.3.1.1 và cũng

mô phỏng song song với trường hợp khâu bị biến dạng. Mômen τ(t) tác dụng vào khâu

dẫn:

0 sin(2 / )( )

0m m

m

t T t Tt

t T

(0.27)

A.2.2. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén

a) Bài toán động lực học thuận

Phương trình động lực học của cơ cấu có thanh truyền đàn hồi từ (0.18) đến

(0.26) cùng với hai phương trình liên kết (0.12) viết lại ta có:

1( ) ( ) ( , , )T

s t M s s Φ s λ p s s (0.28)

f(s) = 0 (0.29)

Trong đó 1 2 3 31 41 51 61 42 62

Tq q q q q q s là hệ tọa độ suy rộng dư,

1 31 41 51 61 42 62

Tq q q q q qq là các tọa độ độc lập, 2 3

T z là các tọa độ phụ

thuộc, 1 2


Các ma trận:

1 1 2 42 2 3 3 0

1 1 2 42 2 3 3

cos cos cos

sin sin sin

l l q l l

l l q l

f

1 1 2 42 2 3 3 2

1 1 2 42 2 3 3 2

sin sin sin 0 0 0 0 cos 0

cos cos cos 0 0 0 0 sin 0s

l l q l

l l q l

fΦ

s

1 1 1 2 42 2 2 42 2 3 3 3 2 2

1 1 1 2 42 2 2 42 2 3 3 3 2 2

cos cos sin cos 0 0 0 0 sin 0sin sin cos sin 0 0 0 0 cos 0s

l l q q ll l q q l

Φ

sΦp s2

22 2 2 s p p Φ s f

PL12

*) Điều kiện đầu:

Điều kiện đầu được chọn tương tự mục 3.3.2.3 để so sánh kết quả tính toán:

+ Góc khâu dẫn ban đầu: φ10 = 90o (điều kiện đầu sơ bộ của góc các khâu còn lại

20 39sb oφ , 30 124sb oφ )

+ Biến dạng ban đầu được chọn q31(0) = q41(0) = q51(0)= q61(0) = q42(0) = q62(0) = 0

và vận tốc của nó 31 41 51 61 42 620 0 0 0 0 0 0q q q q q q .


Mô phỏng số được thực hiện với mômen phát động được đặt vào khâu dẫn giống

như các trường hợp sử dụng 1 phần tử hữu hạn. Biên độ mômen phát động τ0=0.03

Nm, Tm = 1s. Thông số cơ cấu như Bảng 3.1.

ph

i1 [

rad

]

Time[s]0 1 2 3 4 52

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

Hình A.4. Vận tốc góc khâu bị dẫn.


Hình A.3. Vận tốc góc khâu dẫn.

...... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi

Hình A.2. Góc khâu bị dẫn.

….. cơ cấu rắn, ______ cơ cấu đàn hồi Hình A.1. Góc khâu dẫn.

...... cơ cấu rắn ______ cơ cấu đàn hồi

PL13

Hình A.5. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2

Hình A.6. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi

phÂn tÍch dao ĐỘng cỦa cƠ cẤu phẲng cÓ khÂu ĐÀn hỒi...

Documents