pgs 132 a 142 e 180 a 189.pdf
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132 Geometriaanalttica
4.14.1 Ponto que Divide um Segmento de Reta ao Meio
No caso de o ponto P dividir o segmento de reta P1P2 ao meio (Fig. 4.14-c), deve-seter: \~ .
isto , r = -1.
z
y
x Figura 4.14-c
Neste caso:
_ Xl + Xzx----2
y=Yl+YZ2
z, + Z2z=---2
Nota
o estudo da reta no plano no ser feito neste livro por pertencer ao currculo do 21?grau.
4.15 Problemas Propostos
d Verificarse os pontos P1(5, -5, 6) e P2 (4, -1, 12) pertencem retax-3=y+l
r: T 2z-2=---2
-
A reta 133
/ Determinar o ponto da reta
lX=2_tr: y=3+tz = 1 - 2tque tem abscissa 4. -!.
Determinar m e n para que o ponto P(3, m.m) pertena reta
Ix= 1 - 2ts: y=-3-tz = -4 + tx-3 _y+l z
Determinar os pontos da reta r: -2- - --=-r- = -=2 que tm (a) abscissa 5; (b) orde-nada 4; (c) cota 1.
o ponto P(2,y,z)Calcular P.
pertence reta determinada por A(3,-1,4) e 8(4,-3,-1).
Determinar as equaes reduzidas, com varivel independente x,-+ --+ --+ ---+
ponto A(4,O,-3) e tem a direo dovetor v =2i +4j +5k.da reta que passa pelo
Estabelecer as equaes reduzidas (varivel independente x) da reta determinada pelospares de pontos:
a) A(1, -2, 3)
b) A(-I, 2,3)
e 8(3,-1,-1)
e 8(2,-1,3)
Determinar as equaes reduzidas, tendo z como varivel independente, da reta que passapelos pontos Pl(-I,O,3) e P2(1,2,7).
,q?/:f Mostrar que os pontos A(-1,4,-3), 8(2,1,3) e C(4,-1,7) socolineares.1 Qual deve ser o valor de
pertenam mesma reta?m para que os pontos A(3,m,I), 8(1,1,-1) e C(-2,10,-4)-
-
13) Representar graficamente as retas cujas equaes so:
\
T
134 Geometria analtica
..p-eCitar um ponto e um vetor dIT"O< de cada uma das seguintes retas:a) Ix; 1 z~ 3
y=1
b) Ix =2yz =3
n0c) Ix =2t
~jC) Y =-1
z =2 - t
d) Iy=3z =-1
e) Iy=-xL/ z=3+x
f) x=y=z
it@ Determinar as equaes das seguintes retas:j')~ reta que passa por A(l, -2,4) e paralela ao eixo dos x ;
b) reta que passa por B(3, 2,1) e perpendicular ao plano x~z; ')
c) reta que passa por A(2, 3, 4) e ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
~ ~d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direo do vetor i - j ;
e) reta que passa pelos pontos M(2,-3,4) e N(2,-1,3).
Ix=- 1+, Ix=-1 +, 1'=2Ya) y =-10 + 5t d) y=3-t g)z =9 - 3t x=3z =2tIx=4+2' 1'=31'=2X h)
b) y=3 e) y=-4z =3
z =-5 - 5t
1'=-3IY =-3x + 6 Iy=3 i)c) . f) z =2x z =4
z =-x + 4
-
A reta 135
~ Determinar o ngulo entre as seguintes retas:
a) r:
b) r:
c) r:
1x ==-~ 2t
v= 2tz ==3 - 4t
j
1
e x y+6 z-ls: 4 == -2- ==-2-
y ==-2x - 1
e S .L== z+ 1. x==2. 3 - 3 'z==x+2
x==l+V2t
{
x==Os:
y==Oy ==t e
z ==5 - 3t-"
x ==1,,I Jd) r: { x_- 4 _ y _ z + 1 e~-----=2 y + 1 z-2
4 - -3-
_l6:,l}?;yY Determinar o valor de n para que seja de 30 o ngulo entre as retasr: s: ( y ==nx + 5
z ==2x - 2e
,1~ Calcular o valor de n para que seja de 30 o ngulo que a reta
Iy ==nx + 5r: z ==2x - 3forma com o eixo dos y.
17) A reta
r: I.. + 2tz==3-t
forma um ngulo de '600 com a reta determinada pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, O,m).Calcular o valor de m.
-
136 Geometria.analttica
I x=-3ta) r: y=3+tz =4{
x = 2 - 3t
b) r: y =3
z =rnt
18) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
ex+5_y-l
s: -6- - m ;z =6
e x-4_z-1s: " y=7-6- - -5-
17 19) A reta r passa pelo ponto A(1,-2,1) eparalelareta
) Ix=2+ts: y =-3tz =-tSe P(-3, m, n) E r, determinar m e n.
20) Quais as equaes reduzidas da reta que passa pelo ponto A( -2, 1, O) e paralela reta
r:z=x-1
r:
A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(l, 3, O) paralela reta determinadpor C(3, -1, -1) e D(O, y, z). Determinar o ponto D.
A reta
y=mx4
ortogonal reta determinada pelos pontos A(l, O,m) e B(-2, 2m, 2m). Calcular (valor de m.
-
23) Calcular o valor de
A reta 137
a) ) :: 1 y =2x + 3z = 3x - 1
, 1x=-l
y=3b)
Y~;~;r2;=6 e
m~~
~ Calcular o ponto de interseo das retas
') [ y = 3x - 1JIY r: e17' z = 2x + 1
c) r:
b) r:
. c) r:.1 y=2x-3z =4x - 10
. d) ,I:~l.:~ Dadas as retas
r: y - 3 = z + 1 ; x = 2,2 :-2
h: { ~: ~t
z =t,
e
e
1y =4x - m
s:z=x
!
[
y:dQ./Xs: (\
z =t3rx 0/
['Y =4x - 2s:z =3x
e{
X=S+t
s: y=2-t
z = 7 - 2t
e s:y-7 z-12x=--=---3 -7
ex-1,~
s: -2- ~-3 ; y=-5
1y=2x
s:z =x -; 3
e
-
138 Geometria analftica \L IL.,10)
!@ Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(l, 0, -2) intercepta o plano xy?27) Sejam as retas
{
x=2+ 3t
r: y=4+St
z =mt
e{
y=2x+l
s:x 3
z=---2 2
a) calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes;
b) determinar, para o valor de m, o ponto de interseo de r e s.
+Q Estabelecer as equaes pararntrcas da reta que passa pelo ponto' A(3, 2,1) e V' simultaneamente ortogonal s retas
! x=3r: ~~'"Oz = 1 e !y =-2x + 1s: z =-x - 3* .~ Estabelecer as equaes da reta que passa pela origem e simultaneamente ortogonalt]' s retas
e s:! y=3.X-l
z =-x +4
30) Determinar as equaes pararnetricas da reta que contm o ponto A(2, O, -I) e simultaneamente ortogonal reta
r:y-3_z+1-----;x=12 -I
e ao eixo dos y.
31) Estabelecer
~~retas
!)o? "X_2=Y;I=;as equaes paramtricas da reta que passa pelo ponto de interseo das
e !X=I-Ys: z =2 + 2ye , ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.
-
A reta 139
32) A reta
r:
paralela reta que passa pelo ponto A(-I, 0, O) e simultaneamente ortogonal sretas
jx =-t
ri: y=-2t+3
z = 3t-le
r !z =2xy=xCalcular a e b.
~ Dados os pontos Pi(7,-1,3) e P2(3,0,-12), determinar:
~o ponto P, que divide o segmento Pi P2 na razo ~ ;
b) o ponto Q, que divide o segmento PlP2 ao meio.
34) O p?nto P(9, 14,7) divide o segmento PlP2 na razo ~ .
Determinar P2, sabendo que Pl(l, 4, 3).
35) Seja o tringulo de vrtices A(I, 0, -2), B(2, -1, -6) e C(-4, 5,2).
Estabelecer as equaes paramtricas da reta suporte da mediana do tringulo ABC relativaao lado BC.
4.15.1 Respostas dos Problemas Propostos
~1) Apenas P
2) (4, 1,5)
3) m =-2, n =-5
14) (5,-2,-2),(-7,4,10) (2, -2,1)
-
140 Geometria analtica
e 5z=-x-132
5) P(2, 1,9)
6) y = 2x - 8
7) a)! y = ~ -+z=-2x+5
b)IY = -x + 1z =3
10) m=-5
12) a)!Y=-2z=4
b)!X=3z = 1
c) !x =2y=3
14) a) 60
b) 30
!Z=2d) x=-y+3
c) 30
2d) 8 = are cos (-3) == 48 ll'
15) 7 ou 1
16) v'IT
17) -4
-
A reta 141
a) -2;
~m=lO e li = 5
Y=4x + 9 e z =-x - 2
D(O, 1, O)
1 3ou -2
:!3) a) 4 0!)-= 73c)-2
_4) a) (1,2,3)-,
b)(4,3,9)
c) (2, 1, -2)
d) (1, -5, 5)
_5) a) (2,4, -1)-v'3
, b) e = are eo -/'6
(~ ,1; O)
a) m=2 ~
(-1, -1, -2)~ ,lr
r x~3-ty=2
z = 1 - t
19) y=O
x =z
30) y=O
z =-1
-
142 Geometria analtica
31) IX"2+'y=-1-5tz =3t
32) !a" 14b =-10
a) P05, -3, 33)1 9
b) Q(5, -T' -2)
34) P2(-3, -1,1)
35) rI +2,y=-2t
z =-2
-
Seja a equao:
2x + 3y + Z - 6 = O
1801 Geometriaanalttica
Exemplo
ou:2x + 3y + Z = 6
Dividindo ambos os membros por 6, vem:
-
o plano 181
~) mediador do segmento de extremos A(l, -2, 6) e B(3, O, O);/
rfJ mediador do segmento de extremos A(5,-1,4) e B(-I,-7,1);
:!i)paralelo' ao fixo dos}ft que contm os pontos A(O, 3, l) e B(2, O, -I); V COO,., j17) paralelo ao eixo dos~ que contm os pontos A(-2, O, 2) e' B(O, -2, 1);
8) paralelo ao eixo dosy e que contm os pontos A(2, 1, O) e B(O, 2, 1);
,) .paralelo ao plano xOy e que contm o ponto A(5, -2,3); ,j tNVvt'0'-I9'J
, O)
O) perpendicular ao eixo dos y e que contm o ponto A(3, 4, -1),
Nos problemas 11 a 14, escrever a equao geral do plano determinado pelos pontos:
I) A(-I,2,0), B(2,-I,I) e C(1,I,-I).
2) A(2, 1, O), B(-4, -2,-1) e C(O, 0,1).
3) A(O, O, O), B(O, 3, O) .e C(O, 2, 5).
~A(2, 1,3), B(-3, -1, 3__)_e_C_(_4_,2_,-..3)_,_------------~--------
5) Determinar o valor de a para que os pontos A(a, -1, 5), B(7,2,I), C(-I, -3, -1) eD(I, O, 3) sejam coplanares.
Nos problemas de 16 a 19, determinar a equao geral do plano nos seguintes casos:
~ . - -+-+6~ O plano passa pelo ponto A(6, O, -2) e paralelo aos vetores ~ e -2j + k .
. ' -+ - -+O plano passa pelos pontos A(-3,I,-2) e B(-I, 2,1) e paralelo ao vetor v = 2i - 3k.
O plano contm os pontos A(l;-2,2)e B(-3,I,-2) e perpevdicular ao plano11': 2x + y - z + 8 = O.
O plano contm o ponto A(4, I, O) e perpendicular aos planos 11'1: 2x - y - 4z - 6 = O e11'2: x + y + 2z - 3 = O.
-
182 Geometria analttica-
Nos Problemas 20 a 23, determinar a equao geral do plano que contm os seguintes paresde retas:
20)
!y=2x-3
!x - 41 . z -.f,-- =--,
e s: 3 5r:z = -x + 2 y =-1\
2I) x-I = y+2 z-3 x-I _y+2_z-3r: -2- 3 -1e s: ~ ---=1- -2-
22)
{x = -3 + t
r: y= -t e s: !X+2=Y-Ioz=o2 -2'z=4
23)
r: x=z; y=-3 e s:
z = 2 - t
Nos problemas 24 a 28, determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a retadados:
8A(3, -1, 2) e j x=tr: y=2-tz = 3+ 2t25)
A(3, -2,-1) e r: ! x + 2y + z - 1 = Ot 1.. \2x + Y- z + 7 = O\\.. $o- \i
U26) A(I, 2, 1) e a reta interseo do plano 1T: x - 2y + z - 3 = O com o plano yOz.
t- 27) A(I, -1, 2) e o eixo dos z.28) A(I, -2, 1) e o eixo dos x.
29) Estabelecer as equaes dos planos bissetores dos ngulos formados pelos planos xOze yOz.
-
o plano 183
Representar graficamente os planos de equaes:
a) x + y - 3 = O
b) z:;:;-2
c) 2y + 3z - 6 = O
d) 3x + 4y + 2z - 12 = O
31) Dada a equao geral do plano 1T: 3x - 2y -:z - 6 = O, determinar um sistema de equaesparamtricas de 1T.
32) Estabelecer equaes paramtricas do plano determinado pelos pontos A(l ,-1,O), B(2, 1,3)e C(-1,-2,4).
~33) eterminar o ngulo entre os seguintes planos:
Ja) 1T1:X+2y+z-1O=0 e 1T2:2x+y-z+l =0
b) 1Tt:2x-2y+l=0 e 1T2: 2x - y - z = O
c) 1Tt:3x + 2y - 6 = O e 1T2: plano xOz
d). 1T1: 3x + 2y - 6 = O e 1T2 : plano yOz.
eterminar o valor de m para que seja de 30 o ngulo entre os planos
1Tt : x + my + 2z - 7 = O e1T2 : 4x + Sy + 3z - 2 = O.
~ Determinar a e b, de modo que o, planos
1Tl : ax + by + 4z - 1 = O e. 1TZ: 3x - Sy - 2z + 5 = O
sejam paralelos.
Determinar m de modo que os planos
1T1 :2mx + 2y - z :;:;O e
1TZ: 3x - my + 2z - I = O
sejam perpendiculares.
-
184 Geometria analftica
37) Determinar o ngulo que a reta
r'l x - 2 =L = z + I. 3 -4 5forma com o plano 11": 2x - y + 7z - 1 = O.
38) Determinar o ngulo formado pela reta
I y = -2xr: i = 2x + 1e o plano 11": x - y + 5 = O.
39) Determinar as equaes reduzidas, em termos de x, da reta r que passa pelo pontoA(2, -1,4) e perpendicular ao plano 11": x - 3y + 2z - I = O.
40) Determinar as equaes paramtricas da reta que passa pelo ponto A(-I, O, O) e paralelaa cada um dos planos
11"1: 2x - y - z + I = O e 11"2: x + 3y + z - 5 = O.
Gseja o paraleleppedo de dimenses 2, 3 e 4, representado a seguir.~ Determinar: z
a) as equaes da reta que contm o segmento AF;
b) as equaes da reta que contm o segmento AB;
c) as equaes da reta que contm o segmento EF;
d) as equaes da reta que contm o segmento AC;
e) as equaes da reta que passa pelos pontos O e F;
3 C
I1
D~----:~:--------fIlIIo ~ __ 1 __ __
/../
2 /E
g) a equao do plano que contm a face ABCD;
f) as equaes pararntricas da reta que contm o segmento OA;
h) a equao do plano que contm a face ABGF.
G
F
-
o plano 185
42) Mostrar que a reta
paralela ao plano tr: x + 2y + Z + 3 :: O.
43) Mostrar que a reta.! x-I::..L!"J... z= Or. I -2'
est contida no plano 1T: 2x + y - 3z - I = O.
44) Calcular os valores de m e n para que a reta
I y = 2x - 3r: z = -x + 4esteja contida no plano 1T: nx + my - z - 2 = O.
Nos problemas 45 e 46, estabelecer as equaes reduzidas, sendo x a varivel independente,da reta interseo dos planos:
~ 1Tl: 3x - y + z - 3 :: O e 1T2:x + 3y + 2z + 4 = O
46) 1Tl:3x-2y-z-l::Q e 1T2: x + 2y - z - 7 == O
Nos problemas 47 e 48, determinar as equaes paramtricas da reta interseo dos planos:
~ 1Tl: 2x - y - 3z - 5:: O e
48) 1T1 : 2x + y - 2 = O e
Nos problemas 49 a 51, determinar o ponto de interseo da reta r com o plano tr nosseguintes casos:
-
56) A(-l, 2, O), 1T1.:2x-y=0 e 1T2 : x + y - z - 4 = O.
186 Geometria analtica
49)2z - 3
f" X = 2y - 3 = --. 3
50)
{x==l+t
r: y= 2t e
z==5
e 1T: 2x - y + 3z - 9 = O
1T:x=3
51)
(
Y ==2x - 3r:
z = -x + 2
x==t
Y = 1 - 2t e 1T: 2x + Y - z - 4 = O
cm os planos coordenados.
Determinar os pontos de interseo. do. plano.
1T: 2x + 4y - z - 4 == O~i; 'fIZ:)
com s eixos coordenados e, tambm, a reta interseo. deste plano. com o. plano. xOy.
. .54) Determinar o. ponto de interseo. das retas
r: (
3x + Y + 6z + 13 = O
9x + 3y + 5z = Oe
s: ( x = 1
4x + Y - z - 9 = O
Nos problemas 55 e 56, determinar a equao geral do plano. que contm o. ponto. A e areta interseo. dos planos 1T1 e 1T2.
55) A(2,0,1), 1Tl:2x-3y- 5z=0 e 1[2: x - y = O.
57) Seja a reta
-
o plano 187
I x=3+tr: y = 1 - 21z = -1 + 2ta) quais as equaes reduzidas da projeo de r sobre o plano xOy? E sobre o plano xOz?
b) qual o ngulo que r forma com o plano xOy?
58) Estabelecer as equaes simtricas da reta que passa pelo ponto> A(3, 6, 4), intercepta oeixo Oz e paralela ao plano
1T: x - 3y + 5z - 6 = O.
59) O plano 1T: x + y - Z - 2 = O intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calculara rea do tringulo ABC.
60) Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x + 2y - 4z - 12 = O e pelos planoscoordenados.
1) a) (4, 3, -2)
b)(I,9,2)
Respostas de Problemas Propostos. /~ ')d k=-2~/
d) (O, -2, -1)
5.9.1
2) 2x - 3y - z - 9 = O L . 9)~
3) 2x + y - z - 1 = O 10) LS4) x +y - 3z + 8 = O 11) 4x + 5y + 3z - 6 = O
5) 4x + 4y + 2z + 3 = O 12) x - 2y = O
6) 3X+~~ 13) x=O, ..~
7) y- 2z+4:=0 V 14) z=3-q-8) x + 2z - 2 = O 15) a =-3
-
188 Geometria analtica
16) y + 2z +4 = O 33) a) 60
b) 3017) 3x - 12y + 2z + 25 = O 2
c) are eos y'I31318) x - 12y - lOz - 5 = O
319) 2x - 8y + 3z = O d) are cos v'I3. 13
20) 5x - 4y - 3z - 6 = O 34) 1 ou 7
21) 5x - 2y + 4z - 21 = O 35) a =-6
b = 1022) 2x + 2y + Z + 2 = O
36) 123) 2x+y-2z+3=0 2
24) x+y-2=0 37) 60
25) 2x + 3y + Z + 1 = O38) 45
26) 6x - 2y + Z - 3 = O39) I y = -3x + 527) x+y=O z = 2x
28) y+2z=0 40)
{x = 2t - 1
29) x+y=O x-y=Oy= -3t
ez = 7t
31) Existem infinitos sistemas. Um deles :41)
a) I x=2r"t y=4y=-hz = -6 + 2h + 3t; h, t ~ IR
b) I y=4{
z=332) x = 1 + h - 2t
Y= 1 - 3t c) Ix=2z = 3h + 4t z=O
-
o plano 189
d) IX" 21 49) (1,2,3)y = 4t 50) (3,4,5)z=3
51) (3, -5, -3)e) ( x= 21 3 1
y == 4t 52) (2, 1, O), (2' O,2)' (O, -3,2)
z=O53) (2, O, O), (O, 1, O), (O, O, -4)
b Ix = 211'=0y = 4t
y=-;X + 1z = 3t
g) z=3 54) (1,2, -3)
h) y=455) 5x - 7y - 10z = O
/'
44) m=-256) 2x - 7y + 4z + 16 = O F
n=357) a) IY = -2x + 7 Iz=2x-7
e45) ( y=x-2 z=O y=Oz = -2x + I ..;s
( y=lx +1-b) are eos -3-
46)2 2
z = 2x - 4 58) x y z - 1-=-= - ou1 2 1
47) ! x = 4t x-3 =~ =z-41 2 1Y= 1 - tz = -2 + 3t 59) 2..j3 u.a.>48) I x=t 60) 12 u.v.y = 2 - 2tz=3