LIMIT DAN KONTINUITASLIA YULIANA, S.Si., MT.

LIMITPerhatikan fungsi yang ditentukan oleh rumus :

f(x) tidak terdefinisi pada x = 0, karena di titik ini f(x) bernilai 0/0 (tidak punya arti), tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 0 atau apakah f(x) mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 0 ?

Jawaban Limit untuk x mendekati 0 adalah 1/2.

KONSEP LIMITMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riilsedemikian hingga: Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat a tetapi tidak sama dengan aMaka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a adalah L,

LIMIT FUNGSI 2 VARIABELMisalkan f suatu fungsi dua variabel, dan andaikan f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah lingkaran dengan pusat (a,b) kecuali pada titik (a,b).

Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y) memenuhi dimana jarak antara (x,y) dan (a,b) memenuhi

LIMIT FUNGSI 2 VARIABEL

Contoh1.

2.

3. Tunjukkan bahwa tidak ada

SIFAT-SIFAT LIMITTheoremaJika dan , maka:

a. , jika c suatu konstanta

b.

c.

d.

e. , jika L2 0

Catatan

, jika fungsi f(x,y) mendekati L pada saat (x,y) (a, b) untuk semua kurva kontinu yang melalui titik (a, b).

Jika dua kurva kontinu melalui titik (a, b) dimana mempunyai limit f(x,y) berbeda, atau jika sebarang kurva menyebabkan f(x,y) tidak mempunyai limit, maka tidak ada.

Hal yang sama berlaku untuk fungsi tiga variabel.

TheoremaJika dua jalur menuju titik P(a,b) menghasilkan nilai limit fungsi yang berbeda, makatidak ada

Contoh1. Tunjukkan bahwa tidak ada

2. Tunjukkan bahwa tidak ada

KONTINUITASSuatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik (a,b) jika

1. f(a,b) terdefinisi

2. ada

3.

Kontinuitas fungsi dua variabel analog dengan fungsi satu variabel. Fungsi polinomial kontinu di setiap titik dan fungsi rasional kontinu kecuali pada saat penyebut yang sama dengan nol.

LIMIT FUNGSI 3 VARIABELMisalkan f suatu fungsi tiga variabel, dan andaikan f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah bola dengan pusat (a,b,c) kecuali pada titik (a,b,c).

Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y,z) memenuhi dimana jarak antara (x,y,z) dan (a,b,c) memenuhi

SIFAT-SIFAT LIMITTheoremaJika dan , maka:

a. , jika c suatu konstanta

b.

c.

d.

e. , jika L2 0

KONTINUITASSuatu fungsi tiga variabel f disebut kontinu di titik (a,b,c) jika

1.f(a,b,c) terdefinisi

2. ada

3.

FUNGSI KOMPOSISIJika f fungsi dua variabel x dan y, dan g fungsi satu variabel t, ditulis f(x,y) dan g(t). Fungsi dua variabel h dinyatakan sebagai substitusi f(x,y) untuk t, sehingga misal h(x,y)= g(f(x,y)), daerah hasil dari f merupakan domain dari g.

ContohNyatakan g(f(x,y)) dalam bentuk x dan y, dan tentukan domain dari hasil fungsi komposisi. 1.2.

ContohJika , tunjukkan bahwa h kontinu pada setiap pasangan (a, b)

Theorema

Jika g dan h suatu fungsi satu variabel yang kontinu, maka f(x,y)=g(x)h(y) adalah suatu fungsi kontinu dari x dan y

Jika g suatu fungsi kontinu satu variabel dan h fungsi kontinu dari dua variabel, maka fungsi komposisi f(x,y) = g(h(x,y)) adalah fungsi kontinu dari x dan y

CONTOHFungsi kontinu, karena f(x,y) merupakan perkalian dua fungsi kontinu dan .Fungsi adalah fungsi kontinu

bersyarat, fungsi tersebut kontinu disetiap titik kecuali pada hyperbola xy=1.

Tunjukan bahwa fungsi kontinu pada titik (-1,2)