bilqis 1

Pertemuan 10

Alin 2017

BilqisRuang Vektor ; mencari basis untuk

persamaan homogen. Koordinat titik pada

basis standar dan basis baru.

General Solusi

bilqis 2

bilqis 3

bilqis 4

Dari ex. 6 bab 1.2 ➔ yang diumpamakan selalu index yang besar

bilqis 5

bilqis 6

bilqis 7

Basis:

V adalah Ruang Vektor

S = { v1, v2, v3, …, vn } di mana v1, v2, v3, …, vn V

maka S disebut Basis dari V jika

1. S linearly independent

2. S merupakan rentang (span) dari V

V disebut Ruang Vektor dengan dimensi berhingga (n)

Jika tidak bisa didefinisikan himpunan S (berhingga) yang

dapat menjadi basis untuk V, maka V disebut

berdimensi tak-hingga

Suatu Ruang Vektor bisa mempunyai lebih dari satu basis

bilqis 8

Contoh: (lihat Example 3 halaman 246)

Dalam contoh ini ditunjukkan dua basis untuk R3

B = {e1, e2, e3} dan S = {v1, v2, v3}

di mana e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)

v1 = (1, 2, 1); v2 = (2, 9, 0); v3 = (3, 3, 4)

Bukti bahwa B adalah basis untuk R3. B disebut basis standar untuk R3.

B linearly independent? B merentang R3?

k1e1 + k2e2 + k3e3 = 0 u = (x, y, z) R3

1 0 0 k1 = 0 c1e1 + c2e2 + c3e3 = u

0 1 0 k2 0 1 0 0 c1 = x

0 0 1 k3 0 0 1 0 c2 y

B linearly independent 0 0 1 c3 z

B merentang R3

• Koordinat titik pada basis B ➔ (k1, k2, k3) = V

– Basis ➔ e1, e2, e3

• Koordinat titik pada basis S ➔ (c1, c2, c3) = Vs

– Basis ➔ v1, v2, v3

• Lama = baru

• k1e1 + k2e2 + k3e3 = c1v1 + c2v2 + c3v3

• K1(1,0,0) +k2(0,1,0)+k3(0,0,1) = c1v1 + c2v2 + c3v3

• (k1, k2, k3) = c1v1 + c2v2 + c3v3

• V = c1v1 + c2v2 + c3v3

bilqis 9

bilqis 10

Bukti bahwa S = {v1, v2, v3} juga basis R3 bisa dibaca di buku.

Jadi benar bahwa B dan S adalah basis untuk R3

B = {e1, e2, e3} dan S = {v1, v2, v3}

di mana e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)

v1 = (1, 2, 1); v2 = (2, 9, 0); v3 = (3, 3, 4)

Koordinat sebuah vektor akan berbeda jika dinyatakan

berdasarkan dua basis yang berbeda.

lihat Example 4 halaman 247

(5, –1, 9)B “ekivalen” (1, –1, 2)S

(11, 31, 7)B “ekivalen” (–1, 3, 2)S

bilqis 11

B = {e1, e2, e3} dan S = {v1, v2, v3}

di mana e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)

v1 = (1, 2, 1); v2 = (2, 9, 0); v3 = (3, 3, 4)

bilqis 12

bilqis 13

Ruang baris, Ruang kolom,

General Solusi, Basis untuk

Null Space.

bilqis 14

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini

mahasiswa diharapkan :

– Dapat mencari Ruang baris, Ruang kolom,

general solusi, Partikular solusi, Basis untuk Null

Space.

bilqis 15

Keyword

• Bab terdahulu

– Kombinasi linier

– Merentang

– Bebas Linier

– Basis

• Bab sekarang– Row vektor/vektor baris

– Colomn vector/ vektor kolom

– Row space/ruang baris

– Colomn space / ruang kolom

– null space/ruang nol

– General Solusi

– Partikular Solusi

– Basis untuk Null Space

bilqis 16Tulis di papan

bilqis 17

Merentang = spanning

Tulis di papan

bilqis 18

5.3

bilqis 19

bilqis 20

bilqis 21

Row, colom and null space

• Row space/ruang baris ➔

– sub ruang dari Rn yang direntang oleh {r1, r2, ....., rm} {vektor

baris}

– Matriks yang dibentuk dari {r1, r2, ....., rm}

– Merupakan sebuah himpunan {r1, r2, ....., rm}

• Colomn space/ruang kolom ➔

– sub ruang dari Rm yang direntang oleh {c1, c2, ....., cn}{vektor

kolom}

– Matriks yang dibentuk dari {c1, c2, ....., cn}

– Merupakan sebuah himpunan {c1, c2, ....., cn}

• Null space ➔ sub ruang dari Rn yang merupakan ruang

solusi dari SPL homogen A.X = O

bilqis 22

Dimensi => banyaknya vektor pada suatu baris

Teorema 5.6.1 ➔ rank (A) + nullity (A) = n

n = jumlah kolom

bilqis 23

bilqis 24

bilqis 25

bilqis 26

bilqis 27

bilqis 28

bilqis 29

bilqis 30

• Cari “General Solution” dari A.x = b

X = Xo + r.V1 + s.V2 + t.V3

• Cari “particular Solution” dari A.x = b

Xo

• Cari “General Solution” dari A.x = 0

X = r.V1 + s.V2 + t.V3

• Cari basis untuk null space A

v1, v2 dan v3

bilqis 31

Cari solusi untuk A.X = b dan A.X = 0

bilqis 32

Cari solusi untuk A.X = b dan A.X = 0

bilqis 33

bilqis 34

bilqis 35

bilqis 36

bilqis 37

bilqis 38

bilqis 39

bilqis 40

X1 = -s-t

X2 = s

X3 = -t

X4 = 0

X5 = t

bilqis 41

• Tugas Kelompok➔

– cari 1 soal dan jawaban di internet / buat sendiri

yang berhubungan dengan materi ppt ini

– Tulis alamat internetnya

– Di kirim ke elearning, terakhir➔

• Minggu depan

• Format ➔ subject ➔

– Alin-B-melati

– Bentuk➔ ppt➔ informasi nama kelompok +

anggota

bilqis 42