persamaan transpor konvektif difusifistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/cfd/cfd-hidraulika...! 3!! j! id !...

! 1!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

KONVEKSI DIFUSI PERMANEN SATU DIMENSI Diskritisasi Persamaan Konveksi Difusi Permanen Satu Dimensi

dengan Metode Volume Hingga Istiarto – JTSL FT UGM

Persamaan Transpor Konvektif-Difusif

Bentuk umum persamaan tranpor konvektif-difusif suatu besaran skalar φ adalah:

∂φ∂t+∇ φV

!"( )−∇ Γ∇

!"φ( ) =R (1)

Dalam persamaan di atas V!"

adalah vektor kecepatan aliran, Γ adalah koefisien difusi, dan R adalah source.

Aliran harus pula memenuhi hukum konservasi massa (kekontinuan massa). Persamaan konservasi massa aliran adalah sebagai berikut:

0=∇V (2)

Untuk kasus transpor dalam bidang satu dimensi dan permanen, persamaan transpor konvektif-difusif dan persamaan konservasi massa di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

duφd x

−d

d xΓ

dφd x

$

%&

'

()= R (3)

0dd

=xu (4)

Aplikasi persamaan konveksi-difusi permanen satu dimensi dipaparkan melalui contoh kasus di bawah ini.

Contoh kasus di sini mirip dengan contoh kasus pada transpor difusi permanen satu dimensi (lihat tulisan mengenai persamaan difusi, bab yang mendahului bab ini). Suatu saluran (flume) tampang segi empat dialiri air dengan kecepatan konstan 0.30 m/s. Panjang saluran 10 m, lebar saluran 0.40 m, dan kedalaman air 0.20 m. Air di ujung kiri saluran diberi temperatur 30°C dan di ujung kanan saluran diberi temperatur 25°C. Keduanya dipertahankan konstan. Koefisien difusi 5 m2/s. Temperatur di sepanjang saluran bervariasi dan dapat dihitung dengan memakai Pers. 3. Langkah hitungan mengikuti metode finite volume.

Sama dengan contoh kasus difusi permanen satu dimensi, coding dan hitungan dilakukan dengan bantuan spreadsheet. Para mahasiswa peserta kuliah diminta mengerjakan sendiri dengan mengacu pada langkah-langkah yang dijabarkan pada papan tulis dan tayangan yang ditunjukkan di ruang kuliah. Mahasiswa tidak disarankan untuk hanya membaca penjabaran langkah hitungan dan meng-copy file spreadsheet.

! 2!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Langkah #1: Pembuatan grid (diskritisasi domain model)

Sama seperti pada contoh kasus difusi permanen satu dimensi, domain model, dalam hal ini saluran, dibagi menjadi sejumlah volume kontrol (control volume) diskrit, atau sering pula disebut dengan cell. Volume kontrol di dekat batas domain model diletakkan sedemikian hingga sisi volume kontrol berimpit dengan batas domain. Titik hitung (node) adalah titik tengah volume kontrol. Dalam kasus difusi di dalam saluran ini, domain model dibagi menjadi 10 volume kontrol berukuran seragam, panjang 1 m, agar hitungan menjadi sederhana.

Gambar 1. Diskritisasi domain model menjadi sejumlah volume kontrol.

Langkah #2: Diskritisasi persamaan difusi

Integrasi persamaan diferensial konveksi-difusi, Pers. 3, untuk sebuah volume kontrol adalah:

duφd x

dϑcv∫∫∫ −

dd x

Γdφd x

&

'(

)

*+dϑcv∫∫∫ = Rdϑ

cv∫∫∫ (5)

Dengan memakai teorema divergensi Gauss, integral volume suku konveksi dan difusi di sisi kiri pada persamaan di atas dapat diubah menjadi integral luasan tertutup yang menyelimuti volume kontrol:

uφ !n ⋅dS

!

S"∫∫ − Γdφd x!n ⋅dS!

S"∫∫ = Rdϑcv∫∫∫ (6)

Dalam persamaan tersebut, S adalah vektor luas yang arahnya tegak lurus ke arah luar dari selimut volume kontrol. Untuk volume kontrol satu dimensi (Gambar 2), persamaan di atas dapat diubah menjadi:

u S( )e φe − u S( )w φw

#$

%&− ΓS dφ

d x

(

)*

+

,-e− ΓS dφ

d x

(

)*

+

,-

w

#

$..

%

&//= RΔϑ (7)

Dalam persamaan di atas, S adalah luas tampang sisi volume kontrol, ϑΔ adalah volume volume-kontrol, dan R adalah source rata-rata di dalam volume kontrol. Titik hitung suatu volume kontrol diidentifikasikan dengan simbol P yang memiliki volume kontrol tetangga di sisi kiri W (West) dan sisi kanan E (East). Sisi volume kontrol di kiri adalah w dan di kanan adalah e.

Dengan cara yang sama, integrasi persamaan kontinuitas, Pers. 4, untuk sebuah volume kontrol satu dimensi adalah:

( ) ( ) 0=− we SuSu (8)

! 3!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Gambar 2. Volume kontrol satu dimensi.

Untuk penyederhanaan penulisan, dikenalkan variabel F dan D. F adalah fluks (massa) konvektif dan D adalah konduktivitas difusi menembus sisi volume kontrol:

SuF = dan xSD

ΔΓ

= (9)

Dengan memakai variabel F tersebut, maka suku-suku konvektif pada Pers. 7 dapat dituliskan sebagai berikut:

u S( )e φe − u S( )w φw = Fe φe − Fw φw (10)

Dengan memakai definisi variabel D serta memakai cara beda tengah (central difference) untuk menghitung gradien φ di sisi volume kontrol, maka suku-suku difusi pada Pers. 7 dapat dituliskan sebagai berikut:

ΓS dφ

d x

#

$%

&

'(e=Γe SeΔxPE

φE −φP( ) = De φE −φP( )

ΓS dφ

d x

#

$%

&

'(

w=Γw SwΔxWP

φP −φW( ) = Dw φP −φW( ) (11)

Dengan memakai Pers. 10 dan 11 serta memakai cara linearisasi untuk menghitung suku source seperti yang dilakukan pada contoh kasus difusi permanen satu dimensi, maka bentuk diskrit persamaan transpor konvektif-difusif, Pers. 7, adalah:

Fe φe − Fw φw#$ %&− De φE −φP( )−Dw φP −φW( )#

$%&= Ru + Rp φP (12)

dan bentuk diskrit persamaan kontinuitas, Pers. 8, adalah:

0=− we FF (13)

Dari Pers. 12 dan 13, tampak dua hal yang perlu mendapatkan perhatian, yaitu nilai-nilai F dan φ di sisi volume kontrol. Untuk saat ini, dianggap bahwa kecepatan aliran di sisi volume kontrol diketahui (pada kenyataannya, kecepatan merupakan variabel unknown), sehingga F dapat dihitung. Nilai variabel φ di sisi volume kontrol perlu ditentukan dengan pendekatan berdasarkan nilai variabel φ di volume kontrol. Untuk keperluan ini, dikenal berbagai skema pendekatan, antara lain: beda tengah (central differencing), upwind differencing, hybrid differencing, power law, serta QUICK.

! 4!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Central Differencing Scheme

Nilai koefisien difusi φ di sisi-sisi volume kontrol, w dan e, dihitung dengan interpolasi linear dari nilai-nilai yang ada di dua titik hitung volume kontrol di kiri dan kanannya (Gambar 3):

φw =

ΔxwP φW +ΔxWw φPΔxWw +ΔxwP

dan φe =

ΔxeE φP +ΔxPe φEΔxPe +ΔxeE

(14)

Apabila ukuran volume kontrol seragam, maka:

φw =

12φW +φP( ) dan

φe =

12φP +φE( ) (15)

Gambar 3. Central differencing scheme.

Substitusi Pers. 15 ke Pers. 12 menghasilkan persamaan berikut ini:

Fe2

φP +φE( )− Fw2

φW +φP( )#

$%

&

'(− De φE −φP( )−Dw φP −φW( )#$

&'= Ru + Rp φP (16)

yang dengan pengelompokan koefisien menghasilkan persamaan berikut ini:

Fe2−De

"

#$

%

&'φE +

Fe2+De

"

#$

%

&'−

Fw2−Dw

"

#$

%

&'− RP

)

*++

,

-..φP + −

Fw2−Dw

"

#$

%

&'φW = Ru (17)

Dengan sedikit manipulasi matematis, persamaan tersebut dapat pula dituliskan sebagai berikut:

−

Fw2−Dw

"

#$

%

&'φW + − −

Fw2−Dw

"

#$

%

&'−

Fe2−De

"

#$

%

&'+ Fe − Fw − RP

)

*++

,

-..φP +

Fe2−De

"

#$

%

&'φE = Ru

Apabila koefisien-koefisien suku φW, φE, dan φP dinamai aW, aP, dan aP, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

aW φW + aPφP + aE φE = Ru (18)

φW

φP

φE φw φe

! 5!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Koefisien-koefisien dalam persamaan tersebut adalah:

ww

W DFa −−=2

, aE =

Fe2−De , dan

aP = −aW − aE + Fe − Fw − Rp

Pers. 18 merupakan persamaan diskrit di setiap volume kontrol. Untuk 10 volume kontrol (lihat Gambar 1), akan diperoleh 10 persamaan. Nilai variabel φ di setiap volume kontrol (φP) merupakan fungsi nilai-nilai φ di 2 volume kontrol tetangga (φE dan φW). Volume kontrol yang berada di kedua ujung saluran, yaitu volume kontrol 1 dan 10, hanya memiliki satu tetangga, sedangkan salah satu sisi berimpit dengan batas domain model. Di batas domain, nilai φ diketahui. Nilai ini dikenal sebagai syarat batas (boundary condition). Di bawah ini dipaparkan penyusunan kesepuluh persamaan tersebut.

Volume kontrol 2 s.d. 9

Dengan 10 volume kontrol seragam, Δx = 1 m, luas sisi volume kontrol seragam, S = 0.40×0.20 = 0.08 m2, koefisien difusi seragam, Γ = 5 m2/s, kecepatan seragam, u = 0.30 m/s, maka:

sm 024.008.030.0 3=×=== SuFF we

sm 40.01

08.05 3=×

=ΔΓ

==xSDD we

dan koefisien-koefisien pada persamaan diskrit konveksi-difusi adalah:

412.040.02024.02 −=−−=−−= wwW DFa

388.040.02024.02 −=−=−= eeE DFa

aP = −aW − aE + Fe − Fw − Rp = 0.388+0.412+0.024−0.024−0 = 0.80

Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini tidak ada source, sehingga Ru = 0 dan RP φP = 0.

Volume kontrol 1

Sisi kiri volume kontrol ini, w, berimpit dengan batas domain. Di sebelah kanan (timur), volume kontrol ini bertetangga dengan volume kontrol 2. Koefisien aE dihitung seperti hitungan pada volume kontrol 2 s.d. 9. Di sebelah kiri (barat), tidak ada volume kontrol tetangga, sehingga koefisien aW tidak ada. Koefisien aP dan suku source dihitung dengan cara berbeda dari cara hitungan source di volume kontrol 2 s.d. 9. Persamaan diskrit transpor konvektif difusif di volume kontrol 1 adalah (lihat Gambar 4):

Gambar 4. Volume kontrol di batas kiri domain model.

! 6!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

( ) ( ) ( )[ ] 022

=φ−φ−φ−φ−#$

%&'

( φ−φ+φ wPwPEewwEPe DDFF

Pada contoh kasus ini, tidak ada source sehingga suku di sebelah kanan tanda persamaan adalah nol. Dengan pengelompokan koefisien, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Fe2+De

!

"#

$

%&+2Dw

'

())

*

+,,φP +

Fe2−De

!

"#

$

%&φE = Fw +2Dw( )φw

atau dapat pula dituliskan sebagai berikut:

−

Fe2−De

"

#$

%

&'+ Fe +2Dw

(

)**

+

,--φP +

Fe2−De

"

#$

%

&'φE = Fw +2Dw( )φw

Dalam hal ini, φw = φA = 30°C.

0=Wa

388.040.02024.02 −=−=−= eeE DFa

Rp = −2Dw = −2×0.40 = −0.80

aP = −aE + Fe − Rp = 0.388+0.024+0.80 =1.212

( ) ( ) 72.243040.02024.02 =×+=φ+= wwwu DFR

Volume kontrol 10

Perlakuan untuk volume kontrol 10 ini mirip dengan volume kontrol 1, hanya saja sisi yang berimpit dengan batas domain model adalah sisi kanan, e.

Gambar 5. Volume kontrol di batas kanan domain model.

Persamaan diskrit transpor konvektif difusif di volume kontrol 10 adalah sebagai berikut (lihat Gambar 5):

( ) ( ) ( )[ ] 022

=φ−φ−φ−φ−#$

%&'

( φ+φ−φ WPwPeePWw

ee DDFF

Dengan pengelompokan koefisien, persamaan di atas dapat diubah menjadi:

( ) eeeWww

Peww DFDFDDF

φ−−=φ#$

%&'

( −−+φ)*

+,-

.+#$

%&'

( +− 22

22

! 7!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

atau

−

Fw2−Dw

"

#$

%

&'φW + − −

Fw2−Dw

"

#$

%

&'− Fw +2De

)

*++

,

-..φP = − Fe −2De( )φe

Dalam hal ini, φe = φB = 25°C.

412.040.02024.02 −=−−=−−= wwW DFa

0=Ea

Rp = −2De = −2×0.40 = −0.80

aP = −aW − Fw − Rp = 0.412−0.024+0.80 =1.188

( ) ( ) 4.192540.02024.02 =×−−=φ−−= eeeu DFR

Langkah #3: Penyelesaian persamaan (sistem persamaan linear)

Seperti halnya dalam kasus transpor difusif, kesepuluh persamaan yang diperoleh dari penjabaran persamaan diskrit transpor konvektif-difusif di setiap volume kontrol pada langkah ke-2 merupakan satu sistem persamaan linear. Sistem persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut:

A Φ =R (19)

A adalah matriks bujur sangkar berdimensi 10×10 yang elemennya adalah koefisien aE, aW, dan aP, Φ adalah vektor kolom yang elemennya adalah variabel φ, dan R adalah vektor kolom yang elemennya adalah konstanta/nilai source.

aP aE 0 0 0 0 0 0 0 0

aW aP aE 0 0 0 0 0 0 0

0 aW aP aE 0 0 0 0 0 0

0 0 aW aP aE 0 0 0 0 0

0 0 0 aW aP aE 0 0 0 0

0 0 0 0 aW aP aE 0 0 0

0 0 0 0 0 aW aP aE 0 0

0 0 0 0 0 0 aW aP aE 0

0 0 0 0 0 0 0 aW aP aE

0 0 0 0 0 0 0 0 aW aP

!

"

################

$

%

&&&&&&&&&&&&&&&&

A

! "########### $###########

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

φ9

φ10

(

)

********

+

********

,

-

********

.

********

Φ

!"# $#

=

Ru1

Ru2

Ru3

Ru4

Ru5

Ru6

Ru7

Ru8

Ru9

Ru10

(

)

********

+

********

,

-

********

.

********

R

! "# $#

Substitusi nilai-nilai koefisien yang telah diperoleh pada langkah ketiga ke dalam matriks di atas menghasilkan matriks sebagai berikut:

! ! 8!

!!!!!!!

"

!!!!!!!

#

$

!!!!!!!

%

!!!!!!!

&

'

=

!!!!!!!

"

!!!!!!!

#

$

!!!!!!!

%

!!!!!!!

&

'

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

))))))))))))))

*

+

,,,,,,,,,,,,,,

-

.

−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−

4.190000000072.24

188.1412.000000000388.08.0412.000000000388.08.0412.000000000388.08.0412.000000000388.08.0412.000000000388.08.0412.000000000388.08.0412.000000000388.08.0412.000000000388.08.0412.000000000388.0212.1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

! 9!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Unknowns matrix Φ dapat dihitung dengan mengalikan inversi matriks A (A−1) dengan

matriks di sisi kiri dan kanan Pers. 19:

RAφ 1−= (20)

Hitungan dapat dilakukan dengan mudah dengan bantuan program aplikasi spreadsheet MSExcel.

1. Misalkan elemen-elemen matriks A dituliskan dalam sel Q25:Z34 dan elemen matriks R dalam sel AC25:AC34.

2. Vektor kolom Φ dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel dan disimpan dalam sel AC37:AC46 dengan langkah sebagai berikut:

− pilih sel AC37:AC46

− tuliskan fungsi untuk menghitung perkalian dua matriks =MMULT(MINVERSE(Q25:Z34),AC25:AC34)

− tekan tombol CNTRL+SHIFT+ENTER bersama-sama

− sel AC37:AC46 berisi Φ seperti di bawah ini: 29.8176 29.4303 29.0190 28.5823 28.1185 27.6261 27.1032 26.5480 25.9584 25.3324

Profil temperatur air di sepanjang flume yang diperoleh dari hitungan numeris dengan metode central differencing scheme disajikan pada Gambar 6.

! 10!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Gambar 6. Profil temperatur air di flume yang diperoleh dari penyelesaian numeris persamaan konveksi-difusi dengan menggunakan cara central differencing scheme.

Upwind Differencing Scheme

Central differencing scheme memiliki kelemahan dalam hal ketidak-mampuannya “melihat” arah aliran. Nilai φ di sisi timur, misalnya, selalu merupakan fungsi (dipengaruhi) oleh nilai φ di titik hitung P dan E. Apabila transpor konvektif dominan (kecepatan aliran besar), nilai φe seharusnya lebih banyak dipengaruhi oleh nilai φP apabila arah aliran positif (dari P ke E) dan oleh nilai φE apabila arah aliran negatif (dari E ke P). Kelemahan ini tidak dijumpai pada upwind differencing scheme. Pada skema ini, nilai φ di sisi-sisi volume kontrol adalah sama dengan nilai φ di volume kontrol hulu (tempat asal aliran). Gambar 7 menunjukkan secara skematis prinsip upwind differencing scheme.

24!

25!

26!

27!

28!

29!

30!

31!

0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!

Temperatur)[°)C])

Jarak)[m])

! 11!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Gambar 7. Upwind differencing scheme: (a) arah aliran positif, dan (b) arah aliran negatif.

Dengan upwind differencing scheme, nilai φe dan φw ditetapkan dengan cara sebagai berikut:

0 jika0 jika

<φ=

>φ=φ

eE

ePe

FF

(21a)

0 jika0 jika

<φ=

>φ=φ

wP

wWw

FF

(21b)

Substitusi Pers. 21a dan 21b di atas ke Pers. 12 menghasilkan:

max Fe,0( )ϕP −max −Fe,0( )ϕE#$

%&− max Fw,0( )ϕW −max −Fw,0( )ϕP#$

%&

− De ϕE −ϕP( )−Dw ϕP −ϕW( )#$

%&= Ru + Rp ϕP

Dengan mengelompokkan koefisien, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

−max Fw,0( )−Dw"#

$%φW + max Fe,0( )+De +max −Fw,0( )+Dw − Rp

"#

$%φP

+ −max −Fe,0( )−De"#

$%φE = Ru

(22)

φW

φE

φP

φw

φe

φW

φE

φP φw

φe

! 12!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Perhatikan koefisien transpor konvektif untuk φP pada persamaan di atas:

( )0,max wF− dapat dituliskan dalam bentuk ( ) ww FF −0,max , dan ( )0,max eF dapat dituliskan dalam bentuk ( ) ee FF +− 0,max

sehingga Pers. 22 dapat diubah cara penulisannya menjadi seperti Pers. 18:

aW φW + aP φP + aE φE = Ru (23)

Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aW, aE, dan aP adalah:

( ) wwW DFa −−= 0,max

( ) eeE DFa −−−= 0,max


Pers. 23 merupakan bentuk diskrit persamaan transpor konvektif-difusif permanen satu dimensi. Aplikasi persamaan tersebut pada contoh kasus transpor temperatur air pada aliran di dalam flume dijabarkan pada paragraf-paragraf di bawah ini.


Fluks konvektif dan konduktivitas difusi telah dihitung pada sub-bab yang membahas central differencing scheme, yaitu:

sm 024.008.030.0 3=×=== SuFF we

sm 40.01

08.05 3=×

=ΔΓ

==xSDD we

Koefisien-koefisien pada persamaan diskrit konveksi-difusi adalah:

( ) ( ) 424.040.00,024.0max0,max −=−−=−−= wwW DFa

( ) ( ) 40.040.00,024.0max0,max −=−−−=−−−= eeE DFa

aP = −aW − aE + Fe − Fw − Rp = 0.424+0.40+0.024−0.024−0 = 0.824


Volume kontrol 1

Pada volume kontrol 1 yang sisi kirinya, w, berimpit dengan batas domain, persamaan diskrit transpor konvektif-difusif adalah sebagai berikut:

max Fe,0( )φP −max −Fe,0( )φE#$

%&− Fw φw#$ %&− De φE −φP( )−2Dw φP −φw( )#

$%&= 0


max Fe,0( )+De +2Dw!"

#$φP + −max −Fe,0( )−De

!"

#$φE = Fw +2Dw

!" #$φw


! 13!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

max −Fe,0( )+De + Fe +2Dw"#

$%φP + −max −Fe,0( )−De

"#

$%φE = Fw +2Dw

"# $%φw

dalam hal ini φw = φA = 30°C sehingga:

0=Wa

( ) ( ) 40.040.00,024.0max0,max −=−−−=−−−= eeE DFa

Rp = −2Dw = −2×0.40 = −0.80

aP = −aE + Fe − Rp = 0.40+0.024+0.80 =1.224

Ru = Fw +2Dw( )φw = 0.024+2×0.40( )×30 = 24.72

Volume kontrol 10

Pada volume kontrol 10 yang sisi kanannya, e, berimpit dengan batas domain, persamaan diskrit transpor konvektif-difusif adalah sebagai berikut:

Fe φe"# $%− max Fw,0( )φW −max −Fw,0( )φP

"#

$%− 2De φe −φP( )−Dw φP −φW( )"#

$%= 0



$%φW + max −Fw,0( )+Dw +2De

"#

$%φP = −Fe +2De

"# $%φe



$%φW + max Fw,0( )+Dw − Fw +2De

"#

$%φP = −Fe +2De

"# $%φe

dalam hal ini φe = φB = 25°C sehingga:

0=Ea

( ) ( ) 424.040.0024.040.00,024.0max0,max −=−−=−−=−−= wwW DFa

Rp = −2De = −2×0.40 = −0.80

aP = −aW − Fw − Rp = 0.424−0.024+0.80 =1.20

Ru = −Fe +2De( )φe = −0.024+2×0.40( )×25=19.4

Kesepuluh persamaan yang disusun dalam bentuk persamaan matriks seperti disajikan pada halaman berikut.

! ! 14!

1.224 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0−0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 0 0

0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 0 00 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 0 00 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 0 00 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 0 00 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 0 00 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.4 00 0 0 0 0 0 0 −0.424 0.824 −0.40 0 0 0 0 0 0 0 −0.424 1.2

"

#

$$$$$$$$$$$$$

%

&

'''''''''''''

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

φ9

φ10

)

*

++++++++

,

++++++++

-

.

++++++++

/

++++++++

=

24.7200000000

19.4

)

*

++++++

,

++++++

-

.

++++++

/

++++++

Penyelesaian persamaan tersebut dengan metode matriks inversi yang dihitung dengan bantuan MSExcel menghasilkan vektor kolom Φ sebagai berikut: 29.8111 29.4219 29.0094 28.5721 28.1086 27.6173 27.0964 26.5444 25.9592 25.3389

! 15!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Hybrid Differencing Scheme

Hybrid differencing scheme diperkenalkan oleh Spalding (1972). Skema ini pada dasarnya menggabungkan skema central difference dan upwind difference. Dalam skema ini central dan upwind differencing scheme dipakai salah satu atau bersama-sama berdasarkan nilai Angka Peclet, Pe, yang didefinisikan di sisi volume kontrol sebagai berikut:

di sisi kanan: PEee

ee

e

ee xS

SuDF

PeΔΓ

== (24a)

di sisi kiri: WPww

ww

w

ww xS

SuDF

PeΔΓ

== (24b)

Dalam skema hybrid differencing, fluks di sisi volume kontrol dihitung dengan central differencing apabila Angka Peclet bernilai antara −2 s.d. 2 dan dihitung dengan upwind differencing dan difusi diabaikan apabila Angka Peclet lebih besar daripada 2 atau lebih kecil daripada −2.

Dengan skema hybrid differencing, fluks di sisi kanan adalah sebagai berikut:

Qe =Fe2

φP +φE( )−De φE −φP( )

=Fe2−De

#

$%

&

'(φE +

Fe2+De

#

$%

&

'(φP

=Fe2−De

#

$%

&

'(φE + −

Fe2+De

#

$%

&

'(+ Fe

)

*++

,

-..φP

jika −2 < Pee < 2

Qe = Fe φP jika Pee ≥ 2 (dalam hal ini Fe > 0)

Qe = Fe φE jika Pee ≤ −2 (dalam hal ini Fe < 0)

Perhatikan bahwa syarat −2 < Pee < 2 dapat dituliskan dalam bentuk lain sebagai berikut:

22 <<−e

eDF atau eee DFD <<− 2

1 atau eeeee DFFDF +<<− 21

21

sehingga jika eee FDF >+21 maka koefisien untuk φE adalah eeE DFa −= 2

1 dan jika

syarat ini tidak dipenuhi, yaitu jika eee DFF +> 21 , maka koefisien untuk φE adalah

0=Ea jika 0>eF atau eE Fa = jika 0<eF .

Koefisien aE dapat dituliskan dalam bentuk ringkas sebagai berikut:

!"

#$%

&'(

)*+

, −−−−= 0,2

,max ee

eE DFFa

dan koefisien aP dalam bentuk ringkas adalah:

! 16!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

aP = −aE + Fe

Dengan cara yang sama, fluks di sisi kiri adalah:

−Qw = −Fw2

φW +φP( )+Dw φP −φW( )

= −Fw2−Dw

#

$%

&

'(φW + −

Fw2+Dw

#

$%

&

'(φP

= −Fw2−Dw

#

$%

&

'(φW +

Fw2+Dw

#

$%

&

'(− Fw

)

*++

,

-..φP

jika −2 < Pew < 2

−Qw = −Fw φW jika Pew ≥ 2 (dalam hal ini Fw > 0)

−Qw = −Fw φP jika Pew ≤ −2 (dalam hal ini Fw < 0)

Perhatikan bahwa syarat −2 < Pew < 2 dapat dituliskan dalam bentuk lain sebagai berikut:

22 <<−w

wDF atau www DFD <<− 2

1 atau wwwww DFFDF +<<− 21

21

sehingga jika www FDF >+21 maka koefisien untuk φW adalah wwW DFa −−= 2

1 dan

jika syarat ini tidak dipenuhi, yaitu jika www DFF +> 21 , maka koefisien untuk φW

adalah wW Fa −= jika 0>wF atau 0=Wa jika 0<wF .

Koefisien aW dapat dituliskan dalam bentuk ringkas sebagai berikut:

!"

#$%

&'(

)*+

, +−= 0,2

,max ww

wW DFFa

dan koefisien aP dalam bentuk ringkas adalah:

wWP Faa −−=

Dengan demikian, bentuk diskrit persamaan konveksi difusi di sebuah volume kontrol dapat dituliskan sebagai berikut:


Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aE, aW, dan aP adalah:

!"

#$%

&'(

)*+

, +−= 0,2

,max ww

wW DFFa

!"

#$%

&'(

)*+

, −−−−= 0,2

,max ee

eE DFFa


! 17!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Pers. 25 merupakan bentuk diskrit persamaan transpor konvektif-difusif permanen satu dimensi. Aplikasi persamaan tersebut pada contoh kasus transpor temperatur air pada aliran di dalam flume dijabarkan pada paragraf-paragraf di bawah ini.


Fluks konvektif dan konduktivitas difusi telah dihitung pada sub-bab yang membahas central differencing scheme, yaitu:

sm 024.008.030.0 3=×=== SuFF we

sm 40.01

08.05 3=×

=ΔΓ

==xSDD we


( )[ ] 412.00,40.02024.0,024.0max0,2

,max −=+−="#

$%&

'()

*+,

- +−= ww

wW DFFa

( )[ ] 388.00,40.02024.0,024.0max0,2

,max −=−−−−="#

$%&

'()

*+,

- −−−−= ee

eE DFFa

aP = −aW − aE + Fe − Fw − Rp = 0.412+0.388+0.024−0.024−0 = 0.800


Volume kontrol 1


− Fw φw −2Dw φP −φw( )#$

%&+ max −Fe,−

Fe2−De

'

()

*

+,,0

#

$--

%

&..+ Fe

/01

21

341

51φP −

max −Fe,−Fe2−De

'

()

*

+,,0

#

$--

%

&..φE = 0

Dengan memindahkan suku-suku yang nilainya diketahui ke sisi kanan tanda kesamaan, maka:

−max −Fe,−Fe2−De

"

#$

%

&',0

(

)**

+

,--φE + max −Fe,−

Fe2−De

"

#$

%

&',0

(

)**

+

,--+ Fe +2Dw

/01

21

341

51φP =

Fw +2Dw( )φw

Dalam hal ini φw = φA = 30°C sehingga:

0=Wa

( )[ ] 388.00,40.02024.0,024.0max0,2

,max −=−−−−="#

$%&

'()

*+,

- −−−−= ee

eE DFFa

! 18!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Rp = −2Dw = −2×0.40 = −0.80

aP = −aE + Fe − Rp = 0.388+0.024+0.80 =1.212

Ru = Fw +2Dw( )φw = 0.024+2×0.40( )×30 = 24.72

Volume kontrol 10


Fe φe −2De φe −φP( )#$

%&+ max Fw,

Fw2+Dw

'

()

*

+,,0

#

$--

%

&..− Fw

/01

21

341

51φP −max Fw,

Fw2+Dw

'

()

*

+,,0

#

$--

%

&..φW = 0


max Fw,

Fw2+Dw

!

"#

$

%&,0

'

())

*

+,,− Fw +2De

./0

10

230

40φP −max Fw,

Fw2+Dw

!

"#

$

%&,0

'

())

*

+,,φW = −Fe +2De( )φe

Dalam hal ini φe = φB = 25°C sehingga:

( )[ ] 412.00,40.02024.0,024.0max0,2

,max −=+−="#

$%&

'()

*+,

- +−= ww

wW DFFa

0=Ea

Rp = −2De = −2×0.40 = −0.80

aP = −aW − Fw − Rp = 0.412−0.024+0.80 =1.188

Ru = −Fe +2De( )φe = −0.024+2×0.40( )×25=19.4

Kesepuluh persamaan yang diperoleh dari hitungan di atas adalah sama dengan sepuluh persamaan yang diperoleh pada hitungan dengan skema central differencing. Dengan demikian, distribusi temperatur air di sepanjang flume juga sama dengan distribusi temperatur yang diperoleh pada hitungan dengan skema central differencing, yaitu: 29.8176 29.4303 29.0190 28.5823 28.1185 27.6261 27.1032 26.5480 25.9584 25.3324

! 19!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Power-law Scheme

Power-law scheme dikenalkan oleh Patankar (1980). Hasil hitungan dengan skema ini lebih akurat daripada hasil hitungan dengan skema hibrid. Dalam skema power-law, fluks di sisi volume kontrol dihitung dengan suatu persamaan polinomial apabila Angka Peclet bernilai antara 0 s.d. 10. Apabila Angka Peclet lebih daripada 10, fluks dihitung dengan skema upwind differencing dan difusi diabaikan.

Dengan skema power-law, fluks di sisi kanan volume kontrol adalah sebagai berikut:

Qe = Fe φP −βe φE −φP( )$

%&' jika −10 < Pee < 10

dalam hal ini ( ) eee PePe 51.01−=β

Qe = Fe φP jika Pee ≥ 10 (dalam hal ini Fe > 0)

Qe = Fe φE jika Pee ≤ −10 (dalam hal ini Fe < 0)

Fluks di sisi kiri volume kontrol adalah:

Qw = Fw φW −βw φP −φW( )$

%&' jika −10 < Pew < 10

dalam hal ini ( ) www PePe 51.01−=β

Qw = Fw φW jika Pew ≥ 10 (dalam hal ini Fw > 0)

Qw = Fw φP jika Pew ≤ −10 (dalam hal ini Fw < 0)

Dengan demikian, bentuk diskrit persamaan konveksi-difusi di sebuah volume kontrol dapat dituliskan sebagai berikut:


Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aW, aE, dan aP adalah:

( ) ( )( )0,1.01max0,max 5wwwW PeDFa −−−=

( ) ( )( )0,1.01max0,max 5eeeE PeDFa −−−−=


Aplikasi power-law scheme pada contoh kasus konveksi-difusi permanen satu dimensi dipaparkan pada paragraf-paragraf di bawah ini.


Fluks konvektif dan konduktivitas difusi telah dihitung pada sub-bab yang membahas central differencing scheme. Kedua nilai tersebut dan nilai Angka Peclet adalah:

sm 024.008.030.0 3=×=== SuFF we

sm 40.01

08.05 3=×

=ΔΓ

==xSDD we

! 20!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

06.040.0024.0

====DFPePe we


( ) ( )( )( ) ( )( )

( )4121.0

006.0140.0024.0

0,06.01.01max40.00,024.0max

0,1.01max0,max

5

5

5

−=

−×−−=

−×−−=

−−−= wwwW PeDFa

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )3881.0

006.0140.00

0,06.01.01max40.00,024.0max

0,1.01max0,max

5

5

5

−=

−×−=

−×−−−=

−−−−= eeeE PeDFa

aP = −aW − aE + Fe − Fw − Rp = 0.4121+0.3881+0.024−0.024−0 = 0.8002

Volume kontrol 1


aE φE + −aE + Fe( )φP{ }− Fw φw −2Dw max 1−0.1 Pew( )5 ,0

#

$%&

'(φP −φw( )

)*+

,-.= 0


−aE + Fe( )+2Dw max 1−0.1 Pew( )5 ,0"

#$%

&'()*

+,-φP + aE φE =

Fw +2Dw max 1−0.1 Pew( )5 ,0"

#$%

&'()*

+,-φw

Dalam hal ini φw = φA = 30°C sehingga:

0=Wa

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )3881.0

006.0140.00

0,06.01.01max40.00,024.0max

0,1.01max0,max

5

5

5

−=

−×−=

−×−−−=

−−−−= eeeE PeDFa

! 21!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Rp = −2Dw max 1−0.1 Pew( )5 ,0"

#$%

&'= −2×0.40×max 1−0.1 0.06( )5 ,0

"

#$%

&'

= −2×0.40× 1−0.006( )5

= −0.7763

aP = −aE + Fe − Rp = 0.3881+0.024+0.7763=1.1884

Ru = Fw +2Dw max 1−0.1 Pew( )5 ,0"

#$%

&'()*

+,-φw

= 0.024+2×0.40×max 1−0.1 0.06( )5 ,0"

#$%

&'()*

+,-×30

= 0.024+2×0.40× 1−0.006( )5{ }×30

= 24.0086

Volume kontrol 10


Fe φe −2De max 1−0.1 Pee( )5 ,0

#

$%&

'(φe −φP( )

)*+

,-.+ −aW − Fw{ }φP + aW φW = 0


aW φW + −aW − Fw( )+2De max 1−0.1 Pee( )5 ,0#

$%&

'()*+

,-.φP =

−Fe +2De max 1−0.1 Pee( )5 ,0#

$%&

'()*+

,-.φe


0=Ea

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )4121.0

006.0140.0024.0

0,06.01.01max40.00,024.0max

0,1.01max0,max

5

5

5

−=

−×−−=

−×−−=

−−−= wwwW PeDFa

! 22!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Rp = −2De max 1−0.1 Pee( )5 ,0"

#$%

&'= −2×0.40×max 1−0.1 0.06( )5 ,0

"

#$%

&'

= −2×0.40× 1−0.006( )5

= −0.7763

aP = −aW − Fw − Rp = 0.412−0.024+0.7763=1.1644

Ru = −Fe +2De max 1−0.1 Pee( )5 ,0"

#$%

&'()*

+,-φe

= −0.024+2×0.40×max 1−0.1 0.06( )5 ,0"

#$%

&'()*

+,-×25

= −0.024+2×0.40× 1−0.006( )5{ }×25

=18.8072

Dari hitungan koefisien di atas, diperoleh sepuluh persamaan linear. Distribusi temperatur air di sepanjang flume diperoleh dengan menyelesaikan kesepuluh persamaan linear tersebut secara simultan, yaitu: 29.8127 29.4266 29.0166 28.5813 28.1190 27.6281 27.1069 26.5535 25.9658 25.3419

QUICK Scheme

QUICK adalah singkatan Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics. Skema ini dikenalkan pertama kali oleh Leonard (1979). Skema ini merupakan skema bertingkat (berorder) dua atau kuadratik. Dengan skema yang lebih tinggi, diharapkan kesalahan diskritisasi yang diakibatkan oleh adanya difusi numeris (perihal difusi numeris ini dibahas pada tulisan yang membahas diskritisasi dua dimensi) akan berkurang. Skema QUICK memperhatikan lebih banyak volume kontrol tetangga dibandingkan dengan skema-skema yang telah dibahas pada empat sub-bab sebelum sub-bab ini. Nilai variabel di tiga volume kontrol sisi hulu (prinsip upwind differencing) dipakai untuk menetapkan nilai variabel pada suatu sisi volume kontrol. Nilai φ di sisi volume kontrol (P) diperoleh dengan memakai kurva kuadratik yang melewati tiga titik hitung, yaitu dua titik hitung di tetangga terdekat (W dan E) serta satu titik hitung di sisi hulu (lihat Gambar 8).

! 23!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Apabila kecepatan positif, uw > 0 dan ue > 0, nilai φw ditetapkan dengan memakai fungsi kuadratik yang melewati nilai-nilai φ di titik hitung WW, W, dan P, sedangkan nilai φe ditetapkan berdasarkan fungsi kuadratik yang melalui nilai-nilai φ di titik hitung W, P, dan E. Apabila kecepatan negatif, uw < 0 dan ue < 0, nilai φw ditetapkan dengan memakai fungsi kuadratik yang melewati nilai-nilai φ di titik hitung W, P, dan E, sedangkan nilai φe ditetapkan berdasarkan fungsi kuadratik yang melalui nilai-nilai φ di titik hitung P, E, dan EE.

Gambar 8. QUICK differencing scheme: (a) arah aliran positif, dan (b) arah aliran negatif.

Apabila ukuran volume kontrol seragam, maka nilai φ di sisi volume kontrol di antara titik-titik hitung i dan i − 1, serta titik hitung hulu i − 2 memenuhi persamaan berikut:

φsisi =

68φi−1+

38φi −

18φi−2 (27)

Nilai φe adalah:

WEPe φ−φ+φ=φ 81

83

86 jika ue > 0 (Fe > 0) (28a)

EEPEe φ−φ+φ=φ 81

83

86 jika ue < 0 (Fe < 0) (28b)

Nilai φw adalah:

WWPWw φ−φ+φ=φ 81

83

86 jika uw > 0 (Fw > 0) (29a)

EWPw φ−φ+φ=φ 81

83

86 jika uw < 0 (Fw < 0) (29a)

φWW

φW φP

φE φEE

φw φe

φWW

φW φP

φE φEE φw

φe

! 24!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Dengan demikian, bentuk diskrit persamaan konveksi-difusi di sebuah volume kontrol dapat dituliskan sebagai berikut:

aWW φWW + aW φW + aP φP + aE φE + aEE φEE = Ru (30)

Dalam persamaan di atas, koefisien-koefisien aWW, aW, aE, aEE, dan aP adalah:

aWW = 18αwFw

aW = − 68αwFw −

38

1−αw( )Fw −18αeFe −Dw

aE = 38αeFe +

68

1−αe( )Fe +18

1−αw( )Fw −De

aEE = − 18

1−αe( )Fe

aP = −aWW − aW − aE − aEE + Fe − Fw − Rp

#

$

%%%%

&

%%%%

αw =1 jika Fw > 0

0 jika Fw < 0

'(%

)%

αe =1 jika Fe > 0

0 jika Fe < 0

'(%

)%

Aplikasi skema QUICK pada contoh kasus konveksi-difusi permanen satu dimensi dipaparkan pada paragraf-paragraf berikut ini.


Fluks konvektif dan konduktivitas difusi telah dihitung pada sub-bab yang membahas central differencing scheme. Kedua nilai tersebut adalah:

sm 024.008.030.0 3=×=== SuFF we

sm 40.01

08.05 3=×

=ΔΓ

==xSDD we

Karena Fe > 0 dan Fw > 0, maka αe = 1 dan αw = 1.


aWW = 1

8αwFw =

18×1×0.024 = 0.003

aW = − 68αwFw −

38

1−αw( )Fw −18αeFe −Dw

= − 68×1×0.024{ }− 3

8× 1−1( )×0.024{ }− 1

8×1×0.024{ }− 0.40{ }

= −0.421

aE = 38αeFe +

68

1−αe( )Fe +18

1−αw( )Fw −De

= 38×1×0.024{ }+ 6

8× 1−1( )×0.024{ }+ 1

8× 1−1( )×0.024{ }− 0.40{ }

= −0.391

aEE = − 1

81−αe( )Fe = −

18× 1−1( )×0.024 = 0


= −0.003+0.421+0.391−0+0.024−0.024−0= 0.809

! 25!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini tidak ada source, sehingga Ru = 0 dan Rp φP = 0.

Volume kontrol 1

Sisi kiri volume kontrol ini, w, berimpit dengan batas domain. Di sebelah kanan (timur), volume kontrol ini bertetangga dengan volume kontrol 2 dan 3 (E dan EE). Koefisien aE dihitung seperti hitungan pada volume kontrol 2 s.d. 9. Di sebelah kiri (barat), tidak ada volume kontrol tetangga, sehingga koefisien aW tidak ada. Koefisien aP dan suku source dihitung dengan cara berbeda dari cara hitungan source di volume kontrol 2 s.d. 9. Pada volume kontrol 1, nilai ϕ di sisi barat telah diketahui, yaitu ϕw = ϕA, sedangkan nilai ϕ di sisi timur, ϕe, dihitung dengan Pers. 28a. Karena ϕW tidak ada, maka nilai ini ditetapkan di volume kontrol 0 yang merupakan hasil pencerminan volume kontrol 1. Nilai ϕ0 ditetapkan dengan cara ekstrapolasi (lihat Gambar 9).

φW = φ0 = 2φA −φP

Substitusi nilai ϕW di atas ke Pers. 28a memberikan persamaan yang diperlukan untuk mendapatkan ϕe:

φe =68φP +

38φE −

18φW

= 68φP +

38φE −

18

2φA −φP( )= 7

8φP +

38φE −

28φA

Gambar 9. Ekstrapolasi nilai ϕ ke volume kontrol di luar batas kiri domain model.

Memperhatikan persamaan ϕe di atas, maka nilai gradien di batas barat volume kontrol 1 (titik hitung A) pun harus dihitung dengan cara yang konsisten dengan persamaan ini. Fluks difusif melalui sisi barat, dengan cara ini, adalah:

Γ∂φ∂x A

=DA3

9φP −8φA −φE( )

Dengan demikian, persamaan diskrit konveksi-difusi di volume kontro1 1 adalah:

ϕ0 ϕA

ϕP

P = 1 w = A 0

! 26!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Fe

78φP +

38φE −

28φA( )− FAφA{ }− De φE −φP( )− DA

39φP −8φA −φE( )

#$%

&'(= 0

Pengaturan koefisien pada persamaan di atas dan dengan manipulasi matematis menghasilkan:

− 38

Fe +De +13

DA( )+ Fe − Fw − − 28

Fe − FA −83

DA( ){ }φP +38

Fe −De −13

DA( )φE =

28

Fe + FA +83

DA( )φA

yang dapat dituliskan dalam bentuk baku persamaan diskrit konveksi-difusi, Pers. 30:

aWWφWW + aWφW + aPφP + aEφE + aEEφEE = Ru

Dalam hal ini φw = φA = 30°C, FW = FA = 0.024 m3/s, De = DA = 0.40 m3/s, dan koefisien-koefisien pada persamaan tersebut adalah:

aWW = 0

aW = 0

aE = 38

Fe −De −13

DA

= 38×0.024−0.40− 1

3×0.40

= −0.5243

aEE = 0

Rp = −28

Fe − FA −83

DA

= − 28×0.024−0.024− 8

3×0.40

= −1.0967


= −0−0+0.5243−0+0.024−0.024+1.0967=1.621

Ru =28

Fe + FA +83

DA( )φA

= 28×0.024+0.024+ 8

3×0.40( )×30

= 32.9

Volume kontrol 2

Memperhatikan persamaan yang dipakai untuk menghitung nilai ϕ di sisi timur volume kontrol 1, maka persamaan yang sama harus dipakai untuk menghitung nilai ϕ di sisi barat volume kontrol 2 dalam menghitung fluks konvektif. Oleh karena itu, persamaan diskrit konveksi-difusi di volume kontrol 2, yang semula telah dihitung bersama-sama dengan volume kontrol 3 s.d. 9, perlu diubah menjadi:

! 27!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Fe68φP +

38φE −

18φW( )− Fw

78φW + 3

8φP −

28φA( ){ }−

De φE −φP( )−Dw φP −φW( ){ } = 0

Dengan pengaturan koefisien, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

− 18

Fe −78

Fw −Dw( )φW + 18

Fe +78

Fw +Dw( )− 38

Fe −De( )+ Fe − Fw( )− 28

Fw( ){ }φP +

38

Fe −De( )φE = − 28

FwφA



Koefisien-koefisien pada persamaan tersebut adalah:

aWW = 0

aW = − 18

Fe −78

Fw −Dw

= − 18×0.024− 7

8×0.024−0.40

= −0.424

aE = 38

Fe −De

= 38×0.024−0.40

= −0.391

aEE = 0

Rp =28

Fw

= 28×0.024 = 0.006


= −0+0.424+0.391−0+0.024−0.024−0.006= 0.809

Ru = −28

FwφA

= − 28×0.024×30

= −0.18

Volume kontrol 10

Pada volume kontrol 10 yang sisi kanannya, e, berimpit dengan batas domain dan temperatur di tempat itu diketahui, yaitu ϕe = ϕB = 25°C. Fluks difusif ϕ di batas barat volume kontrol 10 dinyatakan dengan persamaan berikut:

! 28!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

Γ∂φ∂x B

=DB3

8φB −9φP +φW( )

Dengan demikian, persamaan diskrit konveksi-difusi di volume kontro1 10 adalah:

FBφB − Fw

68φW + 3

8φP −

18φWW( ){ }− DB

38φB −9φP +φW( )−Dw φP −φW( )

#$%

&'(= 0


− 18

Fw( )φWW + − 68

Fw −13

DB −Dw( )φW +

18

Fw( )− − 68

Fw −13

DB −Dw( )+ Fe − Fw − FB −83

DB( ){ }φP = −FB +83

DB( )φB




aWW = 18

Fw

= 18×0.024 = 0.003

aW = − 68

Fw −13

DB −Dw

= − 68×0.024− 1

3×0.40−0.40

= −0.5513

aE = 0

aEE = 0

Rp = FB −83

DB

= 0.024− 83×0.40 = −1.0427


= −0.003+0.5513−0−0+0.024−0.024+1.0427=1.591

Ru = −FB +83

DB( )φB

= −0.024+ 83×0.40( )×25

= 26.0667

Dari persamaan diskrit transpor konvektif-difusif di sepuluh volume kontrol, diperoleh sepuluh persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks di bawah ini.

! 29!

Istia

rto !

Jur

usan

Tek

nik

Sipi

l dan

Lin

gkun

gan

FT U

GM

! h

ttp://

istia

rto.s

taff

.ugm

.ac.

id !

em

ail:

istia

rto@

ugm

.ac.

id

aP aE aEE 0 0 0 0 0 0 0

aW aP aE aEE 0 0 0 0 0 0

aWW aW aP aE aEE 0 0 0 0 0

0 aWW aW aP aE aEE 0 0 0 0

0 0 aWW aW aP aE aEE 0 0 0

0 0 0 aWW aW aP aE aEE 0 0

0 0 0 0 aWW aW aP aE aEE 0

0 0 0 0 0 aWW aW aP aE aEE

0 0 0 0 0 0 aWW aW aP aE

0 0 0 0 0 0 0 aWW aW aP

!

"

################

$

%

&&&&&&&&&&&&&&&&

A

! "############## $##############

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

φ9

φ10

(

)

********

+

********

,

-

********

.

********

Φ

!"# $#

=

Ru1

Ru2

Ru3

Ru4

Ru5

Ru6

Ru7

Ru8

Ru9

Ru10

(

)

********

+

********

,

-

********

.

********

R

! "# $#

Dengan menuliskan nilai setiap koefisien persamaan, maka diperoleh matriks sebagai berikut:

! ! 30!

1.621 −0.5243 0 0 0 0 0 0 0 0−0.424 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0 00.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 0 0

0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 0 00 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 0 00 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 0 00 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 0 00 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.391 00 0 0 0 0 0 0.003 −0.421 0.809 −0.3910 0 0 0 0 0 0 0.003 −0.5513 1.591

"

#

$$$$$$$$$$$$$

%

&

'''''''''''''

A

! "################## $##################

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

φ9

φ10

)

*

++++++++

,

++++++++

-

.

++++++++

/

++++++++

Φ

!"# $#

=

32.9−0.18

0000000

26.0667

)

*

++++++

,

++++++

-

.

++++++

/

++++++

R

! "## $##

! 31!

Penyelesaian persamaan tersebut dengan metode matriks inversi yang dihitung dengan bantuan MSExcel menghasilkan vektor kolom Φ sebagai berikut: 29.8147 29.4271 29.0156 28.5787 28.1148 27.6221 27.0991 26.5436 25.9539 25.3276

Perbandingan Hasil Hitungan dengan Berbagai Skema Penyelesaian

Tabel di bawah ini menyajikan temperatur di sepanjang flume yang diperoleh dari penyelesaian numeris persamaan transpor konvektif-difusif dengan berbagai skema penyelesaian metode volume hingga. Tampak bahwa kelima skema memberikan hasil yang hampir tidak berbeda.

Tabel 1. Temperatur air di sepanjang flume yang dihitung dengan berbagai jenis skema penyelesaian metode volume hingga, dalam satuan °C.

Node Skema penyelesaian metode volume hingga Central Upwind Hybrid Power Law QUICK

ϕA 30 30 30 30 30 ϕ1 29.8176 29.8111 29.8176 29.8127 29.8147 ϕ2 29.4303 29.4219 29.4303 29.4266 29.4271 ϕ3 29.0190 29.0094 29.0190 29.0166 29.0156 ϕ4 28.5823 28.5721 28.5823 28.5813 28.5787 ϕ5 28.1185 28.1086 28.1185 28.1190 28.1148 ϕ6 27.6261 27.6173 27.6261 27.6281 27.6221 ϕ7 27.1032 27.0964 27.1032 27.1069 27.0991 ϕ8 26.5480 26.5444 26.5480 26.5535 26.5436 ϕ9 25.9584 25.9592 25.9584 25.9658 25.9539 ϕ10 25.3324 25.3389 25.3324 25.3419 25.3276 ϕB 25 25 25 25 25

Referensi Ferziger, J. H., and Peric, M., 1997, Computational Methods for Fluid Dynamics,

Springer-Verlag, Berlin, Germany.

Istiarto, I., 2001, Flow Around A Cylinder In A Scoured channel Bed, Doctoral Dissertation, EPFL, Switzerland.

Versteeg, H. K., and Malalasekera, W., 1995, An Introduction to Computational Fluid Dynamics, The Finite Volume Method, Longman Group, Essex, England.

persamaan transpor konvektif difusifistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/cfd/cfd-hidraulika...! 3!! j! id !...

Documents