persamaan konveksi difusi penyelesaian analitik · 2011-11-28 · transpor polutan persamaan...
TRANSCRIPT
Transpor Polutan
Persamaan Konveksi – Difusi
Penyelesaian Analitik
Referensi
Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 8, pp. 517-609, J.
Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-2
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-3
More stories on Harbin’s Songhua River
pollution
• http://www.gov.cn/english/2005-
11/25/content_108891.htm
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-4
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-5
Transpor Polutan
Mekanisme penyebaran polutan di sungai
• Difusi
• Konveksi
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-6
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-7
Difusi
Dalam bhs. matematis, difusi dituliskan sbb.
ffckq ff
ckq grad
• k = konstanta = koefisien difusi = difusiviti
• k merupakan parameter karakteristik fluida
(polutan)
• k bergantung pada temperatur dan tekanan
i
f
fx
ckq
difusi gradien
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-8
Difusi
Sifat proses difusi
• Tidak dapat kembali (irreversible)
• Mengakibatkan kehilangan/peredaman energi
Contoh difusi
• Difusi massa
• Difusi panas
• Difusi momentum (ist: ingat Pers. Navier-Stokes?)
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-9
Difusi
Difusi massa Fick’s law
i
mimx
cq
,
Difusi panas Fourier’s law
konstan,
p
i
phih Cx
TCaq
Difusi momentum Newton’s law
konstan,
ij
j
iijmt
x
Vq
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-10
Konveksi-Difusi
Bahasan: hanya transpor massa
Apabila air sungai bergerak (mengalir) maka terjadi proses
konveksi
Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh
• beda konsentrasi (gradien) difusi
• aliran konveksi
ccVt
cm graddivgrad
c = konsentrasi (lokal)
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-11
Konveksi-Difusi
Jika ditulis dalam koordinat Cartesius, maka
2
2
2
2
2
2
z
c
y
c
x
c
z
wc
y
vc
x
uc
t
cm
untuk m = konstan
Jika air sungai tak mengalir, kecepatan nol, terjadi
difusi saja, tanpa konveksi
2
2
2
2
2
2
z
c
y
c
x
c
t
cm
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-12
Konveksi-Difusi (Turbulen)
Aliran di sungai aliran turbulen
ccc uuu vvv www
Konveksi-difusi dalam aliran turbulen
ccVt
ctm graddivgrad
umumnya t >> m
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-13
Konveksi-Difusi (Turbulen)
Ditulis dalam koordinat Cartesius
z
c
zy
c
yx
c
xz
wc
y
vc
x
uc
t
ctztytx
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-14
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Persamaan difusi 1D (tanpa konveksi, V = 0), ditulis dalam
sistem koordinat Cartesius
2
2
x
c
t
cm
dengan syarat batas dan syarat awal berikut
0, tc xxc 10, M
• dimana M1 adalah massa per satuan luas [kg/m2] yang
dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source)
• M0 = M1 S
M0 adalah massa total yang dimasukkan secara tiba-tiba dan di
suatu titik, sedang S adalah luas permukaan
• karena tidak ada aliran, V = 0, maka t = 0
• yang terjadi adalah difusi murni
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-15
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
• (x) adalah fungsi delta Dirac dimana nilainya sama
dengan nol kecuali di x = 0
1d xx
• Ingat, massa total M0 harus tetap sama sepanjang waktu
yang ditinjau
11 dd0,d, MM
xxxxcxtxc
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-16
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Penyelesaiannya adalah sbb.
t
x
ttxc
mm4
exp4
,2
1M
Penyelesaian tsb menunjukkan difusi suatu massa, M0
• yang dimasukkan secara tiba-tiba di satu titik
• menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x
• konsentrasi maksimum, di x = 0, berkurang seirama dengan waktu
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-17
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-18
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Penyelesaian tsb dapat pula ditulis sbb.
2
2
1
2exp
2,
xx
xtxc
M
Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:
tt mx 22
95% luas daerah di bawah kurva distribusi normal
xxW 496,12
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-19
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Koefisien difusi dapat dihitung dengan
12
1
2
2
22
2
1
d
d
2
1
tt
tt
t
xxxm
• Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi
dengan pengukuran deviasi standar di suatu titik x pada dua waktu
yang berbeda t1 dan t2
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-20
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Penyelesaian persamaan difusi 2D
2
2
2
2
2exp
22exp
2,,
yy
y
xx
x yxtyxc
MM
Untuk medium homogen, x = y =
2
22
2
2
2exp
2,,
yxtyxc
M tt m 22
LM02 M
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-21
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Penyelesaian persamaan difusi 3D
2
2
3
3
2exp
2,,,
rtzyxc
M
2222 zyxr
03 MM
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-22
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Difusi di suatu medium yang dibatasi dinding
2
22
2
2
1
2
2exp
2exp
2,
x
p
xx
Lxxtxc
M
Konsentrasi di dinding
2
2
2
2exp
2 x
p
x
p
Lc
M2
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-23
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-24
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Apabila massa M0 dimasukkan secara terus-menerus
(kontinu) di x = 0
2
2
x
c
t
cm
dengan syarat batas dan syarat awal berikut
00,0 ctxc
00,0 txc
00, txc
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-25
Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi
Penyelesaian persamaan tersebut adalah sbb.
t
xctxc
m4erfc, 0
• complementary error function
d2
erfc2
e
• dapat menggunakan fungsi yang tersedia di MS Excel
• =ERFC(…)
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-26
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-27
Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen
z
c
zy
c
yx
c
xz
wc
y
vc
x
uc
t
ctztytx
Koefisien difusi merupakan besaran tensorial • koefisien difusi longitudinal
• koefisien difusi transversal
• koefisien difusi vertikal
tztytxt ,,
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-28
Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen
Koefisien difusi vertikal Koefisien difusi vertikal
rata-rata kedalaman
zhh
zutz
Difusi vertikal mencapai seluruh kedalaman setelah difusi mencapai jarak Lz tertentu atau setelah waktu tz tertentu, dimana
uhtz 067,0
kecepatan geser
kedalaman aliran
tz
zz
hUL
2
tz
zz
ht
2
kecepatan rata-rata kedalaman
= 0,4 jika polutan dimasukkan di dasar sungai
= 0,1 jika polutan dimasukkan di tengah kedalaman aliran
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-29
Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen
Koefisien difusi transversal
• di flume
• di sungai
uhty 15,0
Difusi vertikal mencapai seluruh lebar sungai, B, setelah difusi mencapai jarak Ly tertentu atau setelah waktu ty tertentu, dimana
uhty 6,0
kecepatan geser
kedalaman aliran
ty
yy
BUL
2
ty
yy
Bt
2
kecepatan rata-rata kedalaman
= 0,5 jika polutan dimasukkan di tepi sungai
= 0,1 jika polutan dimasukkan di tengah (separuh lebar) sungai
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-30
Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen
Koefisien difusi longitudinal
uhtx 23,0
Difusi longitudinal karena turbulensi umumnya tidak begitu diperhatikan mengingat pengaruh dispersi (koefisien dispersi, Kx) lebih dominan
Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan (distribusi kecepatan) beda kecepatan antara kecepatan rata-rata dan kecepatan di suatu titik
UUU
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-31
near-field zone
of mixing
mid-field zone
of mixing
far-field zone
of mixing
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-32
Difusi Transversal
Persamaan konveksi-difusi dalam aliran turbulen, dimana
V(u,0,0) = U
2
2
2
2
2
2
z
c
y
c
x
c
x
cU
t
ctztytx
Apabila:
• sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen
• difusi longitudinal diabaikan
• difusi vertikal telah tercapai
2
2
y
C
x
CU ty
maka: C = konsentrasi rata-rata kedalaman
(depth intergrated average)
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-33
Difusi Transversal
Penyelesaian apabila sungai sangat lebar adalah:
x
Uy
Uxh
GyxC
tyty
u4
exp4
,2
0 [kg/s] 00 tMG
debit polutan, merata di
seluruh kedalaman h
Penyelesaian apabila lebar B membatasi:
N
n
uu yynBxCyyxCyxC1
00 2,,,
lokasi asal polutan
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-34
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-35
Dispersi
x
CK
xx
CU
t
Cxtx xxtx KK
Aliran permanen dan seragam, Kx = konstanta
2
2
x
CK
x
CU
t
Cx
Berlaku setelah difusi vertikal dan transversal tercapai
ty
yy
BUt
2
ty
yy
BL
2
setelah atau setelah
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-36
Koefisien Dispersi
Saluran segi empat sangat lebar, Rh = h
uhKx 6
Sungai
uh
UBK x
22
011,0
Saluran, sungai dimana terdapat distribusi kecepatan ke
arah vertikal maupun ke arah transversal
500140 xK
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-37
Dispersi Longitudinal
Persamaan dispersi longitudinal
yang berlaku dalam kondisi:
• konsentrasi polutan merata di seluruh tampang
• di far-field zone of mixing
2
2
x
CK
x
CU
t
Cx
ty
yy
BL
2
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-38
Dispersi Longitudinal
Polutan M0 dimasukkan secara merata di suatu tampang
dan secara tiba-tiba
tK
tUx
tKtxC
xx4
exp4
,
2
1M
][kg/m 2
01 SMM
sumber polutan merata di
seluruh tampang
UxKtK
tCxx
4
14
11max
MM
konsentrasi maximum (bergerak
dengan kec. U, dan berkurang
seiring waktu t)
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-39
Dispersi Longitudinal
Polutan M0 dimasukkan secara merata di suatu tampang
dan selama waktu tertentu T
• dapat dilihat spt satu seri polutan yang dimasukkan secara
berurutan, masing-masing dalam waktu yang sangat kecil
ix
i
ix
ii
tK
tUx
tKS
mtxC
4exp
4,
2
TMmi 0
n
i ix
i
i
i
x
n
i
itK
tUx
t
m
KStxCtxc
1
2
1 4exp
4
1,,
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-40
Dispersi Longitudinal
Polutan M0 dimasukkan secara merata di suatu tampang
dan terus-menerus (kontinu) serta konstan
tK
tUx
tK
tUx
K
xUCtxC
xxx 4erfc
4erfcexp
2, 0
konstanta0 C
jika U(x) positif 10
C
C
x
x
K
U
C
Cexp
0
jika U(x) negatif
pada saat t
erfc(+) = 0
erfc() = 2
Teknik Sungai Transpor Polutan 4-41
Transpor Polutan
The End