Prdida de carga y descarga a travs de orificios con carga variable

Prdida de carga y descarga en orificios con carga variable / 2013

INDICE

I. Indice...1

II. Introduccin2

III. Marco Terico4

IV. Ejercicios.13

V. Conclusiones....20

INTRODUCCIN Adems de las prdidas de carga continuas o por rozamiento, vimos que en las conducciones se produce otro tipo de prdidas debido a fenmenos de turbulencia que se originan al paso de lquidos por puntos singulares de las tuberas, como cambios de direccin, codos, juntas, derivaciones, etc., y que se conocen como prdidas de carga accidentales, localizadas o singulares (hL, hs), que sumadas a las prdidas de carga continuas (hC) dan las prdidas de carga totales (hT).

El flujo de un lquido viscoso causada por friccin provoca la degradacin de la energa mecnica en calor. Este deterioro se manifiesta por una variacin de presin P (o una variacin de nivel de fluido H). H o P se refieren a prdidas de carga.

Prdidas de carga en lnea (tambin conocidas como prdidas de carga distribuida) se manifiestan en las porciones rectas de tuberas de seccin constante, porciones en las que se supone que el vector de velocidad promedia es constante en magnitud y en direccin.

Prdidas de carga singulares son inducidas por los elementos de tubera como grifos, codos, vlvulas, reducciones, en el que la velocidad promedia vara en tamao y direccin.

Nota: Las prdidas de carga, ya sean en lnea o nicas, provienen del flujo y desaparecen cuando el rendimiento se cancela. Entonces, se va a usar los coeficientes para caracterizar la relacin entre la prdida de carga de un aparato de valvulera o de una red y el rendimiento de fluido que las atraviesa en rgimen constante.

Laprdida de cargaen unatuberaocanal, es la prdida depresinen unfluidodebido a la friccin de las partculas del fluido entre s y contra las paredes de latuberaque las conduce. Las prdidas pueden ser continuas, a lo largo de conductos regulares, o accidentales o localizadas, debido a circunstancias particulares, como un estrechamiento, un cambio de direccin, la presencia de unavlvula, etc.

Desde el punto de vista hidrulico, los orificios son perforaciones, absolutamente de forma regular y permetro cerrado, colocador por debajo de la superficie libre del lquido en depsitos o almacenamientos, tanques o canales. Su clasificacin puede realizarse de acuerdo con las condiciones de trabajo, es decir, descargando libremente, ahogados parcialmente o sumergidos o a presin en el interior de una tubera. De la misma manera la clasificacin puede realizarse de acuerdo con su forma circular, cuadrada, rectangular, triangular, etc. Segn el espesor de la pared, pueden ser de pared delgada o de pared gruesa (ver figura 1).

A la corriente lquida que sale del recipiente se la llama vena lquida o chorro. Si el contacto de la vena lquida con la pared, tiene lugar en una lnea estaremos en presencia de un orificio en pared delgada. Si el contacto es en una superficie se tratar de un orificio en pared gruesa.

Figura N 1

OBJETIVOS

Verificar experimentalmente que se cumplen las condiciones para la aplicacin de la ley de Torricelli. Estudiar la Relacin entre el tiempo transcurrido y la altura de lquido en un depsito, en el proceso de descarga. Determinar los coeficientes de velocidad, descarga y contraccin por un orificio, bajo carga constante. El objetivo fundamental es verificar por vas experimentales, la validez de algunas frmulas empricas asociadas al fenmeno hidrulico entregados en la ctedra. Reconocer la instalacin, equipos e instrumental. Mediante valores experimentales graficar la variacin de la perdida de Carga en una tubera circular respecto del caudal.

MARCO TERICOPERDIDA DE CARGAEl flujo de un lquido en una tubera viene acompaado de una prdida de energa, que suele expresarse en trminos de energa por unidad de peso de fluido circulante (dimensiones de longitud), denominada habitualmente prdida de carga. En el caso de tuberas horizontales, la prdida de carga se manifiesta como una disminucin de presin en el sentido del flujo. La prdida de carga est relacionada con otras variables fluidodinmicas segn sea el tipo de flujo, laminar o turbulento. Adems de las prdidas de carga lineales (a lo largo de los conductos), tambin se producen prdidas de carga singulares en puntos concretos como codos, ramificaciones, vlvulas, etc.Prdidas lineales. Las prdidas lineales son debidas a las tensiones cortantes de origen viscoso que aparecen entre el fluido y las paredes de la tubera. Considerando flujo estacionario en un tramo de tubera de seccin constante (Figura 1), las prdidas de carga se pueden obtener por un balance de fuerzas en la direccin del flujo:

Las caractersticas de los esfuerzos cortantes son muy distintas en funcin de que el flujo sea laminar o turbulento. En el caso de flujo laminar, las diferentes capas del fluido discurren ordenadamente, siempre en direccin paralela al eje de la tubera y sin mezclarse, siendo el factor dominante en el intercambio de cantidad de movimiento (esfuerzos cortantes) la viscosidad. En flujo turbulento, en cambio, existe una continua fluctuacin tridimensional en la velocidad de las partculas (tambin en otras magnitudes intensivas, como la presin o la temperatura), que se superpone a las componentes de la velocidad. Este es el fenmeno de la turbulencia, que origina un fuerte intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del fluido, lo que da unas caractersticas especiales a este tipo de flujo. El tipo de flujo, laminar o turbulento, depende del valor de la relacin entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas, es decir del nmero de Reynolds Re, cuya expresin se muestra a continuacin de forma general y particularizado para tuberas de seccin transversal circular:

Cuando Re4000 el flujo se considera turbulento. Entre 2000 < Re < 4000 existe una zona de transicin. En rgimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de forma analtica en funcin de la distribucin de velocidad en cada seccin (que se puede obtener a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes), y las prdidas de carga lineales hpl se pueden obtener con la llamada ecuacin de Hagen-Poiseuille, en donde se tiene una dependencia lineal entre la prdida de carga y el caudal:

En rgimen turbulento, no es posible resolver analticamente las ecuaciones de Navier-Stokes. No obstante, experimentalmente se puede comprobar que la dependencia entre los esfuerzos cortantes y la velocidad es aproximadamente cuadrtica, lo que lleva a la ecuacin de Darcy-Weisbach:

Siendo f un parmetro adimensional, denominado coeficiente de friccin o coeficiente de Darcy, que en general es funcin del nmero de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tubera: f = f (Re, er ). En rgimen laminar tambin es vlida la ecuacin de Darcy-Weisbach, en donde el coeficiente de friccin depende exclusivamente del nmero de Reynolds, y se puede obtener su valor:

En rgimen turbulento el coeficiente de friccin depende, adems de Re, de la rugosidad relativa: e r = e /D; donde e es la rugosidad de la tubera, que representa la altura promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubera. Colebrook y White (1939) combinaron diversas expresiones y propusieron una nica expresin para el coeficiente de friccin que puede aplicarse en cualquier rgimen turbulento:

Esta ecuacin tiene el inconveniente de que el coeficiente de friccin no aparece en forma explcita, y debe recurrirse al clculo numrico (o a un procedimiento iterativo) para su resolucin. A partir de ella, Moody desarroll un diagrama que lleva su nombre, en el que se muestra una familia de curvas de iso-rugosidad relativa, con las que se determina el coeficiente de friccin a partir de la interseccin de la vertical del nmero de Reynolds, con la iso-curva correspondiente. Dicho diagrama se muestra en el Anexo I.

Posteriormente otros autores ajustaron los datos experimentales y expresaron el coeficiente de friccin en funcin del nmero de Reynolds y de la rugosidad relativa con una frmula explcita:

Para nmeros de Reynolds muy altos (rgimen turbulento completamente desarrollado) la importancia de la subcapa lmite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de friccin pasa a depender slo de la rugosidad relativa (von Karman, 1938):

Para conductos no circulares, es posible utilizar las expresiones deducidas para conductos circulares sustituyendo el dimetro D por el denominado dimetro hidrulico, Dh, que se define de la siguiente manera:

Prdidas singularesLas prdidas singulares son las producidas por cualquier obstculo colocado en la tubera que suponga una mayor o menor obstruccin al paso del flujo: entradas y salidas de las tuberas, codos, vlvulas, cambios de seccin, etc. Normalmente son pequeas comparadas con las prdidas lineales, salvo que se trate de vlvulas casi completamente cerradas. Para su estimacin se suele emplear la siguiente expresin:

Donde hp s es la prdida de carga en la singularidad, que se considera proporcional a la energa cintica promedio del flujo; la constante de proporcionalidad, , es el denominado coeficiente de prdidas singulares. Otra forma de clculo es considerar el efecto de las prdidas singulares como una longitud adicional de la tubera. Por comparacin de las ecuaciones (3) y (8), la longitud equivalente se relaciona con el coeficiente de prdidas singulares mediante:

Existen nomogramas, como el proporcionado en el anexo II, que permiten estimar las longitudes equivalentes para los casos de elementos singulares ms comunes, en funcin del dimetro de la tubera. En realidad, adems del dimetro, la longitud equivalente depende del coeficiente de friccin, pero ste no se suele contemplar en esos nomogramas, por lo que el clculo es slo aproximado.

DESCARGA POR ORIFICIOSEl trmino fluido incluye a toda sustancia capaz de fluir, y se aplica tanto a gases como a lquidos, puesto que todos los fluidos obedecen al movimiento en base a las leyes de Newton.Cuando practicamos una abertura en un deposito que contiene un fluido, la velocidad de salida del mismo se incrementa con la profundidad a la cual se realiza el orificio, y en base tambin al nivel en el que se encuentra el lquido, puesto que la fuerza no equilibrada que afecta al movimiento es debida a la gravedad.Puesto que se destruye la presin de la pared existente en el punto donde se encuentra la abertura y la presin del lquido interior la empuja directamente hacia el orificio, entonces el nivel del lquido desciende una altura h en un tiempo t, luego que ha escapado un cierto volumen de lquido del recipiente.En cuanto a trminos energticos la variacin de energa es el mismo, como si la capa superior del lquido hubiera descendido una altura h, por lo que al final del trayecto adquiere una cierta energa cintica, dada por:

Convirtindose por lo tanto en:

En otras palabras, la velocidad de flujo a cualquier profundidad h es equivalente a la velocidad que se adquiere por la cada libre desde la misma altura. Esta relacin fue tratada por Torricelli.

v

H

Fig. 1

Realizando un anlisis del siguiente grfico podemos apreciar, que si trabajamos con la ecuacin de Bernoulli, se puede determinar la velocidad de flujo, as como tambin el caudal de descarga ideal. De (Fig.1) (1)

En la ecuacin anterior las presiones en 1 y 2 son iguales (P at) y suponiendo que en A la velocidad es despreciable (nula), la ecuacin se reduce a:

Entonces, (2)

El caudal que escurre a travs del orificio de rea A o ser: (3) Tanto el rea de salida del liquido A0, como la velocidad de salida v2 y el caudal Q0 son valores ideales, ya que en la prctica son menores por diferentes causas, como la contraccin de las lneas de corriente, las prdidas de energa por friccin, etc.

COEFICIENTE DE CONTRACCIN Se acostumbra designar por coeficiente de contraccin, a la relacin entre el rea de la seccin contrada y el rea de la seccin del orificio: (4) El valor medio practico de Cc es 0,62, tericamente el valor de Cc se mide como Pi / (Pi + 2), para orificios largos abiertos en paredes delgadas. Tratndose de agua y orificios circulares, la seccin contrada se encuentra a una distancia de la pared interna del orificio, aproximadamente igual a la mitad del dimetro del orificio.COEFICIENTE DE VELOCIDADCada partcula al atravesar la seccin contrada, tendra velocidad idntica al de la cada libre, desde la superficie libre del depsito, en la realidad sin embargo la velocidad no es la verdadera, por eso se introduce un coeficiente de correccin, o coeficiente de reduccin de velocidad:

(5)

COEFICIENTE DE DESCARGA Se define como la relacin del caudal de descarga real y el que se obtendra si el agua saliera con velocidad V b y sin reduccin del rea de salida del lquido, es decir, caudal ideal:

(6)

v2

h

dyHA0

Fig. 2En consecuencia para obtener el caudal real que fluye a travs del orificio se puede utilizar: (7)

De acuerdo a la Fig. 2 la altura de carga h varia en el tiempo, debido a que la seccin del recipiente es pequea en un intervalo dt, el pequeo volumen evacuado es Q dt;

(8) y en ese mismo intervalo de tiempo la altura de cada disminuye en dh, igualando estas relaciones tenemos: Integrado, y despejando el coeficiente de descargas tenemos:

(9) Eliminando la variable t, obtenemos:

(10)

Por otra parte, si efectuamos un anlisis cinemtico, es decir, estudiaremos las caractersticas del movimiento de las partculas de fluido una vez que abandona el recipiente se tiene

Entonces

(11)

Por lo tanto podemos determinar con buena aproximacin la velocidad real de salida por el orificio en funcin de las distancias s e y, las cuales se pueden medir fcilmente (alcance altura a partir del orificio).Reemplazando sucesivamente en la ecuacin (5) del coeficiente de velocidad, tenemos:

(12) Una vez conocidos Cd y Cv, se puede determinar el coeficiente de contraccin Cc de la siguiente forma:

(13) EJERCICIOS

EJEMPLO 1Se tiene un sistema de tuberas como el de la figura. La cada de presin total entre A y B es de 150 kPa, y la diferencia de nivel eszA- zB= 5 m. Los datos de las tuberas son:

L(m)D(m)e (mm)

11000.080.24

21500.060.12

3800.040.20

El fluido es agua, con densidad = 1000 kg/m 3 y viscosidad cinemtica v = 1.02 10-6m2/s. Se pide determinar el caudal circulante.

SOLUCINSe puede plantear la ecuacin de la energa entre A y B:

La presin total,PT, se define de la manera siguiente:

Entonces:

Como PT= 150 10 3 Pa:

Por estar las tuberas en serie:

En principio se supondr flujo turbulento completamente desarrollado. La expresin para el coeficiente de friccinfser:

Despejando de esta ecuacin se obtiene:f1= 0.026f2= 0.023f3= 0.030Llevando estos valores a la expresin (5), se obtieneQ= 0.0029 m3/s. A partir de este valor se hallan losRepara cada tramo, utilizando la expresin:

Se obtienen los siguientes valores:Re1= 45250Re2= 60333Re3= 90500Ahora debe comprobarse si la hiptesis de flujo turbulento completamente desarrollado era vlida. Se toma la ecuacin de Colebrook y White, que es vlida para todo tipo de flujos turbulentos:

En el segundo miembro de esta expresin se introducen los valores defobtenidos anteriormente. Se calculan as unos nuevos valores:f1= 0.029f2= 0.026f3= 0.031El nuevo caudal esQ= 0.00285 m3/s, y losReresultantes:Re1= 44469Re2= 59293Re3= 88939Con estos valores deReyfse acude de nuevo a la expresin anterior y ya se obtienen unos valores parafmuy similares a los anteriores. Por tanto, la solucin correcta para este ejemplo es:Q= 0.00285 m3/s = 2.85 l/s

EJEMPLO 2Una tubera de 800 m de longitud y 0.6 m de dimetro interior conecta dos depsitos. El flujo resultante, causado por la diferencia de niveles entre los dos depsitos, es de 0.5 m3/s, para una tubera con un coeficiente de friccin de 0.04, considerado constante. Las prdidas singulares pueden considerarse despreciables. Se pide lo siguiente:a) Calcular el caudal entre los dos depsitos cuando se conecta paralelamente a la primera tubera otra de dimetro 0.5 m desde el primer depsito hasta un punto situado a 550 m del mismo. Para esta segunda tubera el coeficiente de rozamiento puede suponerse tambin constante e igual a 0.02.b) Al cabo de cierto tiempo se pretende sustituir el conjunto de tuberas por una tubera nica, de dimetro constante, cuyo coeficiente de rozamiento es 0.03. Calcular el dimetro que ha de tener dicha tubera si se pretende que el caudal que pase por la misma sea el mismo que en el sistema serie-paralelo anterior.

SOLUCIN

El esquema original es el mostrado en la figura. Planteando la ecuacin de la energa entre los puntos 1 y 2 de los depsitos:

Se puede hallar entonces la prdida de carga:

a) En la combinacin de tuberas paralelo-serie se cumple:

L1=L2= 550 mL3= 250 mDesarrollando la igualdad de prdidas de carga en las dos tuberas:

De aqu se obtiene:

PoniendoQ3tambin en funcin deQ1:

Esto se introduce en la expresin de la prdida de carga total entre los dos depsitos:

De aqu ya se puede despejar el caudalQ1:Q1= 0.37 m3/sDe la expresin (7) se obtieneQ2:Q2= 0.33 m3/sDe la expresin (5) o de la (8) se obtieneQ3:Q3= 0.7 m3/sb) Ahora deben mantenerse el caudal,Q= 0.7 m3/s, y la prdida de carga,hp= 8.5 m. De la expresin (2) para la prdida de carga se despeja el valor del dimetro D:

EJEMPLO 3 Prdidas lineales: La prdida de carga, hpl, en una tubera de seccin constante determina la disminucin de cota piezomtrica que experimenta el flujo; hpl, siempre es positiva, y por ello la cota piezomtrica siempre disminuye. Si la tubera es ascendente, es decir la cota va aumentando, siempre hay disminucin de presin esttica en la direccin de la corriente; en cambio, si la tubera es descendente, es decir la cota va disminuyendo, la presin esttica puede aumentar o disminuir en la direccin de la corriente. En este ltimo caso, se puede determinar la disminucin que debe experimentar la cota (es decir, el ngulo de inclinacin de una tubera recta) de tal forma que la presin esttica se mantenga constante. Con los datos suministrados,DETERMINE: 1. Prdida de carga y potencia disipada en el tramo de tubera. 2. Potencia prdida por efectos viscosos en el tramo de tubera. 3. ngulo de inclinacin de la tubera (supuesta recta) para que la presin sea constante.DATOS: Tubera: L = 12 m; D = 200 mm; = 0.2 mm Flujo: Q = 160 litros/s; Fluido: = 10-6 m2/s

SOLUCIN1. PRDIDA DE CARGA: El factor de friccin depende del nmero de Reynolds:

Al ser el flujo turbulento, el factor de friccin depende tambin de la rugosidad relativa, y se puede obtener mediante una ecuacin (se utilizar la de Barr) o mediante el diagrama de Moody: ; MoodyBarr:

2. POTENCIA DISIPADA POR EFECTOS VISCOSOS: La prdida de carga es la energa disipada por unidad de peso:

; Con lo que la potencia disipada es:

3. INCLINACIN PARA QUE LA PRESIN SEA CONSTANTE:

Para que la presin sea constante, la prdida de carga deber ser igual a la disminucin de cota: hp= z. Si la tubera es recta, la relacin entre la disminucin de cota y la longitud, viene determinada por:

Con lo que el ngulo de inclinacin, para que ; es:

CONCLUSIONES Si bien la ecuacin de Hazen & Williams es muy prctica en el clculo de las prdidas de carga en tuberas, deja tambin un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, an con las variaciones del caudal y del nmero de Reynolds. Como consecuencia de lo anterior, las "prdidas" de energa por friccin, hf, sern sobreestimadas en comparacin con las calculadas con la ecuacin de Darcy & Weisbach. As mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada con el Mtodo de Cross y la ecuacin de Hazen & Williams, conducira a la especificacin de dimetros mayores que los que se obtendran si se aplicara el mismo mtodo con la ecuacin de Darcy & Weisbach. Ello se comprobara cuando, de cumplir requerimientos de cargas de presin mnima y mxima, se trata. El Mtodo de Cross programado con las ecuaciones de Darcy & Weisbach y de Colebrook & White, no obstante ser ms demorado en obtener la precisin deseada, es ms racional en cuanto al clculo de las prdidas de carga, y conduce a la especificacin de dimetros ms econmicos. Debe quedar bien claro que, cualquiera sea la ecuacin de resistencia que utilice el Mtodo de Cross, ste nunca ha sido un mtodo de diseo, sino una herramienta de anlisis para redes cerradas de tuberas. Si anteriormente los proyectistas de redes de acueducto evitaban el anlisis hidrulico con la ecuacin de Darcy & Weisbach, dado lo dispendioso del clculo del factor de friccin, f, ahora no habr ms excusas para no hacerlo. Ms an, si ambos programas requieren ser alimentados con los mismos datos, excepto que el primero emplea C, y el segundo k, para representar el coeficiente de resistencia de la tubera. La diferencia en el tiempo de clculos computacionales, a favor del Mtodo de Cross, Hazen & Williams, no es grande y tampoco compensa los mayores costos debidos a tuberas de dimetro mayores.

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