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Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale

Percorso 2010: Introduzione alla LogicaProposizionale

Francesca Poggiolesi

Facolta di Medicina e Chirurgia

26 Agosto 2010, Firenze


Dal test alla logica

Alcuni esempi di test 1

Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, non compra,

I chi non disprezza, compra,




Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...

I Anna e bella e simpatica,

I se Anna non e bella, allora non e simpatica,

I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,

I Anna non e bella o non e simpatica.




Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Sei un artista. Dunque:

I hai talento,

I non hai talento,

I non e possibile inferire alcuna conclusione,

I non sei artista e hai talento.



Strategie differenti

Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a talitest:

I rispondere a caso,

I ragionare,

I applicare un metodo.



Logica come metodo

In questo corso cerchero di spiegarvi (brevemente) quella parte dilogica, detta proposizionale, che in questo contesto puo esserevista come il metodo per risolvere i tipi di domande sopra esposte.


Logica proposizionale: formalizzazione

Enunciati atomici

Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporreulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.

Esempi:

I piove,

I Paolo ama Francesca,

I Firenze e il capoluogo della Toscana.



Enunciati composti

Si dicono composti quegli enunciati che possono essere consideratiil risultato di applicazioni di operazioni che trasformano enunciatiin enunciati.

Si possono isolare cinque operazioni fondamentali.



Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non e sorella di Marco

4 non e un numero primo

Formalmente, abbiamo:





non piove



Formalmente, abbiamo: A





non piove



Formalmente, abbiamo: B





non piove



Formalmente, abbiamo: C





non piove



Formalmente, abbiamo: ¬





non piove



Formalmente, abbiamo: ¬ A





non piove



Formalmente, abbiamo: ¬ B





non piove



Formalmente, abbiamo: ¬ C



Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria e bella e (Maria e) ricca

2 e pari e 3 e dispari

nevica e fa freddo

nevica e nevica








nevica e fa freddo

nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: ∧







nevica e fa freddo

nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: A ∧ B







nevica e fa freddo

nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: C ∧ D







nevica e fa freddo

nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: E ∧ F







nevica e fa freddo

nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: E ∧ E



Terza operazione: disgiunzione


Piove o nevica

Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo

il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro






Piove o nevica



Formalmente, abbiamo: ∨





Piove o nevica



Formalmente, abbiamo: A ∨ B





Piove o nevica



Formalmente, abbiamo: C ∨ D





Piove o nevica



Formalmente, abbiamo: E ∨ F



Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se e domenica, allora i negozi sono chiusi

se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa









Formalmente, abbiamo: →








Formalmente, abbiamo: A → B








Formalmente, abbiamo: C → D








Formalmente, abbiamo: E → F



Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17

L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita









Formalmente, abbiamo: ↔








Formalmente, abbiamo: A ↔ B








Formalmente, abbiamo: C ↔ D








Formalmente, abbiamo: E ↔ F



Riassumendo...

I Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B, ....)

I ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:¬,∧,∨,→,↔



Da notare

I i connettivi fin qui introdotti non operano soltanto suenunciati atomici ma anche su enunciati composti, e.g.



Esempio 1

Se Anna non e sorella di Marco, allora e amica di Lucia e cugina diMauro

¬ A → ( B ∧ C )



Esempio 1


¬

A

→ (

B

∧

C

)



Esempio 1


¬ A

→ (

B

∧

C

)



Esempio 1


¬ A

→ (

B ∧ C

)



Esempio 1


¬ A →

(

B ∧ C

)



Esempio 1


¬ A → ( B ∧ C )



Esempio 2

Anna non e sorella di Marco e se e cugina di Giovanni allora eparente di Cristina

¬ A ∧ ( B → C )



Esempio 2


¬

A

∧ (

B

→

C

)



Esempio 2


¬ A

∧ (

B

→

C

)



Esempio 2


¬ A ∧

(

B

→

C

)



Esempio 2


¬ A ∧

(

B → C

)



Esempio 2


¬ A ∧ ( B → C )



Da notare

I nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressionisincategorematiche, che si lasciano pero assimilare aiconnettivi classici, e.g.

I Anna e bella ma insensibile, Gianni studia nonostante siamalato. Equivalgono a ∧.

I Gianni sta male quando vola, 28 e pari perche e divisibile perdue. Equivalgono a →.


Logica proposizionale: tavole di verita

Domanda

Quand’e che un enunciato della forma “non piove” e vero?



Domanda

Quand’e che un enunciato della forma “se piove, prendol’ombrello” e vero?



Domanda

Come si fa a determinare la verita di un enunciato composto?



Domanda

Rispettando i tre principi di determinatezza, bivalenza everofunzionalita, la risposta si articola nel modo seguente...



Valori di verita

Assumiamo di denotare la verita con il numero 1, e la falsita con ilnumero 0.

Mostriamo le tavole di verita di ciascuno dei nostri connettivi.



Tavole di verita. Negazione

A ¬ A

1 00 1

¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)




A

¬ A

1 00 1





A

¬ A

1

00 1





A

¬ A

1

0

0

1





A ¬ A

1

0

0

1





A ¬ A

1 00

1





A ¬ A

1 00 1




Tavole di verita. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1 11 0 00 1 00 0 0

A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).




A B

A ∧ B

1 1 11 0 00 1 00 0 0





A B

A ∧ B

1 1

11 0 00 1 00 0 0





A B

A ∧ B

1 1

1

1 0

00 1 00 0 0





A B

A ∧ B

1 1

1

1 0

0

0 1

00 0 0





A B

A ∧ B

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

0





A B A ∧ B

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

0





A B A ∧ B

1 1 11 0

0

0 1

0

0 0

0





A B A ∧ B

1 1 11 0 00 1

0

0 0

0





A B A ∧ B

1 1 11 0 00 1 00 0

0





A B A ∧ B

1 1 11 0 00 1 00 0 0




Tavole di verita. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1 11 0 10 1 10 0 0

A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).




A B

A ∨ B

1 1

1

1 0

1

0 1

1

0 0

0





A B A ∨ B

1 1

1

1 0

1

0 1

1

0 0

0





A B A ∨ B

1 1 11 0

1

0 1

1

0 0

0





A B A ∨ B

1 1 11 0 10 1

1

0 0

0





A B A ∨ B

1 1 11 0 10 1 10 0

0





A B A ∨ B

1 1 11 0 10 1 10 0 0




Tavole di verita. Implicazione

A B A → B

1 1 11 0 00 1 10 0 1

A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).




A B

A → B

1 1

1

1 0

0

0 1

1

0 0

1





A B A → B

1 1

1

1 0

0

0 1

1

0 0

1





A B A → B

1 1 11 0

0

0 1

1

0 0

1





A B A → B

1 1 11 0 00 1

1

0 0

1





A B A → B

1 1 11 0 00 1 10 0

1





A B A → B

1 1 11 0 00 1 10 0 1




Tavole di verita. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1 11 0 00 1 00 0 1

A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).




A B

A ↔ B

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1





A B A ↔ B

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1





A B A ↔ B

1 1 11 0

0

0 1

0

0 0

1





A B A ↔ B

1 1 11 0 00 1

0

0 0

1





A B A ↔ B

1 1 11 0 00 1 00 0

1





A B A ↔ B

1 1 11 0 00 1 00 0 1




Esempio 1

Prendiamo l’enunciato “oggi piove e fa freddo”



Esempio 1

Sappiamo che si formalizza con: A ∧ B



Esempio 1

Supponiamo che qualcuno ci chieda se da questo enunciato seguenecessariamente che “piove”



Esempio 1

Formalizziamo anche tale domanda: A ∧ B → A?



Esempio 1

Facciamo la tavola di verita di A ∧ B → A



Esempio 2

Prima di cominciare a fare la tavola di verita di A ∧ B → A, unaosservazione importante

A ∧1 B →2 A

1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0



Esempio 2

Quando si fa la tavola di verita di enunciati contenenti piu di unconnettivo, bisogna stabilire qual e il connettivo principale.

A ∧1 B →2 A

1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0



Esempio 2

In A ∧ B → A il connettivo principale e →.

A ∧1 B →2 A

1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0



Esempio 2

A ∧1 B →2 A

1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0



Esempio 2

A

∧1

B

→2

A

1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0



Esempio 2

A

∧1

B

→2

A

1

1

1

1

11

0

0

1

10

0

1

1

00

0

0

1

0



Esempio 2

A ∧1 B →2 A

1

1

1

1

11

0

0

1

10

0

1

1

00

0

0

1

0



Esempio 2

A ∧1 B →2 A

1 1 1

1

11 0 0

1

10 0 1

1

00 0 0

1

0



Esempio 2

A ∧1 B →2 A

1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0



Esempio 2

A ∧1 B →2 A

1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0

La risposta e affermativa: da “piove e fa freddo” seguenecessariamente che “piove”



Tautologie

La tautologie sono quegli enunciati composti il cui valore di veritae sempre 1



Tautologie

Ad esempio:



Tautologie

A → A ∨ B



Tautologie

A → (B → A) a fortiori



Tautologie

¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B) De Morgan I

¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B) De Morgan II



Ritorniamo al nostro test

Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:

I chi non disprezza, non compra,

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, compra,



Applichiamo il nostro metodo...

Prendiamo l’enunciato “chi disprezza, compra”




Sappiamo che si formalizza con: A → B




Controlliamo se da questo enunciato segue necessariamente laprima delle nostre opzioni: “chi non compra, non disprezza,” ossia:¬B → ¬A




Formalizziamo tale domanda: (A → B) → (¬B → ¬A)?




A questo punto abbiamo due opzioni:




1. Sappiamo che (A → B) → (¬B → ¬A) e (o non e) unatautologia e diamo direttamente la nostra risposta




2. Non ci ricordiamo se (A → B) → (¬B → ¬A) e una tautologiaoppure no, dunque facciamo la tavola di verita



Analisi de test

(A → B) → (¬B → ¬A)

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0



Analisi de test

(A → B)

(¬B → ¬A)

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0



Analisi de test

Mettiamo in pratica quanto abbiamo appena detto.

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0



Analisi de test

A

→

B

→ ¬

B

→ ¬

A

1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0



Analisi de test

A

→

B

→ ¬

B

→ ¬

A

1

1

1

1 0

1

1 0

11

0

0

1 1

0

0 0

10

1

1

1 0

1

1 1

00

1

0

1 1

0

1 1

0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1

1

1

1 0

1

1 0

11

0

0

1 1

0

0 0

10

1

1

1 0

1

1 1

00

1

0

1 1

0

1 1

0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1

1 0

1

1 0

11 0 0

1 1

0

0 0

10 1 1

1 0

1

1 1

00 1 0

1 1

0

1 1

0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1

1

0 1

1 0

11 0 0

1

1 0

0 0

10 1 1

1

0 1

1 1

00 1 0

1

1 0

1 1

0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1

1

0 1

1

0 11 0 0

1

1 0

0

0 10 1 1

1

0 1

1

1 00 1 0

1

1 0

1

1 0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1

1

0 1 1 0 11 0 0

1

1 0 0 0 10 1 1

1

0 1 1 1 00 1 0

1

1 0 1 1 0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0



Analisi de test

A → B → ¬ B → ¬ A

1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0

La risposta e affermativa: da “chi disprezza, compra” seguenecessariamente che “chi non compra, non disprezza”



Secondo esempio di test

Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...

I Anna e bella e simpatica,

I se Anna non e bella, allora non e simpatica,

I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,

I Anna non e bella o non e simpatica.




Prendiamo l’enunciato “Non si da il caso che Anna e bella esimpatica”




Sappiamo che si formalizza con: ¬(A ∧ B)




Questa volta dobbiamo controllare che:




¬(A ∧ B)




¬(A ∧ B)e equiva-lente con




¬(A ∧ B) ↔




¬(A ∧ B) ↔ Anna e bellae simpatica




¬(A ∧ B) ↔ A ∧ B




¬(A ∧ B) ↔ se Anna none bella, al-lora non esimpatica




¬(A ∧ B) ↔ ¬A → ¬B




¬(A ∧ B) ↔ non si dail caso cheAnna non ebella ne sim-patica




¬(A ∧ B) ↔ ¬(¬A∧¬B)




¬(A ∧ B) ↔ Anna non ebella o non esimpatica




¬(A ∧ B) ↔




¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B




De Morgan!




La risposta e affermativa: “Non si da il caso che Anna e bella esimpatica” e equivalente a “Anna non e bella o non e simpatica”




Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Dunque se sei un artista:

I hai talento,

I non hai talento,

I non e possibile inferire alcuna conclusione,

I non sei artista e hai talento.



Hai capito?

Da fare a casa....



Bibliografia

I A. Cantini e P. Minari, Introduzione alla logica, Le MonnierUniversita, Firenze, 2009.

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