logica proposizionale temporale - dipafilologica proposizionale temporale sandro zucchi 2015-16 s....

Logica proposizionaletemporale

Sandro Zucchi

2015-16

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale 1

Un argomento validoI Considerate l’argomento seguente proposto da Burgess (2009):

1. Publio votera e Quinto votera.2. Publio non votera quando Quinto votera.3. Quindi, o Publio votera e poi Quinto votera o Quinto votera e poi Publio

votera.

I L’argomento e valido in italiano.I Tuttavia, non possiamo rappresentarlo in logica proposizionale.I Infatti, il valore di verita di enunciati complessi come “Publio votera e poi

Quinto votera” non e una funzione del valore di verita degli enunciati chelo compongono: il fatto che “Publio votera” e “Quinto votera” sianoentrambi veri non determina il valore di verita di “Publio votera e poiQuinto votera”.

I Se vogliamo rappresentare argomenti di questo tipo in un linguaggioformale, dobbiamo dunque introdurre un linguaggio che permetta diesprimere nozioni temporali.


Una strategia nota

I Per costruire un linguaggio che permette di rappresentareargomenti la cui validita dipende da aspetti temporaliseguiremo una strategia nota.

I Inizieremo introducendo un linguaggio che chiameremo “LKt”e che, in realta, non e adeguato per i nostri scopi.

I Tuttavia, LKt servira come base per costruire linguaggi piuadeguati.


Il linguaggio LKt

i simboli

I Un numero infinito di lettere proposizionali: p1 p2 p3 p4 . . .

I I connettivi: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼I Le parentesi: ( )

I I connettivi seguenti:

• G (che leggiamo come “sara sempre vero che” o “si darasempre il caso che”)

• H (che leggiamo come “e sempre stato vero che” o “si esempre dato il caso che”)


Connettivi derivati

I Per mezzo dei connettivi G e H possiamo definire dueconnettivi ulteriori:

(defP) P =def ∼ H ∼(defF) F =def ∼ G ∼

I In base a questa definizione, “P” lo possiamo leggere come“non e sempre stato vero che non” ovvero “e stato vero che”.

I “F” lo possiamo leggere come “non sara sempre vero chenon” ovvero “sara vero che”.

I Dal momento che “P” e semplicemente un’abbreviazione per“∼ H ∼”, ogni volta che compare “P” in una formulapossiamo sostituirlo con “∼ H ∼” e viceversa.

I Lo stesso vale per “F” e “∼ G ∼”.


Il linguaggio LKt

le formule ben formate

(a) Le lettere proposizionali sono formule ben formate di LKt

(dette formule atomiche).

Se ϕ e ψ sono formule ben formate di LKt , allora:

(b) ∼ ϕ e una formula ben formata di LKt ,

(c) (ϕ ∧ ψ) e una formula ben formata di LKt ,

(d) (ϕ ∨ ψ) e una formula ben formata di LKt ,

(e) (ϕ ⊃ ψ) e una formula ben formata di LKt ,

(f) (ϕ ≡ ψ) e una formula ben formata di LKt ,

(g) Gϕ e una formula ben formata di LKt ,

(h) Hϕ e una formula ben formata di LK,

(i) Nient’altro e una formula ben formata di LKt .

(Convenzione: e possibile tralasciare le parentesi, quando noncrea ambiguita).


Verita relativa a un tempo

I Un ingrediente fondamentale della semantica di LKt e deglialtri linguaggi temporali che considereremo e la nozione diverita a un tempo.

I A differenza delle valutazioni per LP, che assegnano valori diverita alle formule, le valutazioni per LKt assegnano valori diverita alle formule relativamente a un tempo.


La relazione “≺”

I Un altro ingrediente fondamentale della semantica di LKt e larelazione binaria tra tempi ≺, che leggiamo come “prima di”o “precede temporalmente”.

I Dunque, “ti ≺ tj” lo leggiamo come “il tempo ti e prima deltempo tj” o “il tempo ti precede il tempo tj”.

I Vediamo ora come si formula la semantica di LKt facendo usodella relazione ≺ e della nozione di verita a un tempo.


Il linguaggio LKt

modelli

Un modello per LKt e una tripla <T, ≺, ν>, dove

1. T e un insieme non vuoto di tempi,

2. ≺ e una relazione binaria tra elementi di T,

3. ν e una funzione che assegna un valore di verita alle formuledi LKt relativamente a un tempo nel modo seguente:


La funzione valutazioneper ogni tempo t in T,

(a) se ϕ e una lettera proposizionale di LKt , ν(ϕ, t) ∈ {0, 1};se ϕ e ψ sono formule ben formate di LKt , allora:

(b) ν(∼ ϕ, t)=1 se ν(ϕ, t)=0, altrimenti ν(∼ ϕ, t)=0;(c) ν(ϕ∧ ψ, t)=1 se ν(ϕ, t)=1 e ν(ψ, t)=1, altrimenti ν(ϕ∧ ψ, t)=0;(d) ν(ϕ ∨ ψ, t)=1 se non accade che ν(ϕ, t)=0 e ν(ψ, t)=0,

altrimenti ν(ϕ ∨ ψ, t)=0;(e) ν(ϕ ⊃ ψ, t)=1 se non accade che ν(ϕ, t)=1 e ν(ψ, t)=0,

altrimenti ν(ϕ ⊃ ψ, t)=0;(f) ν(ϕ ≡ ψ, t)=1 se ν(ϕ, t)=ν(ψ, t), altrimenti

ν(ϕ ≡ ψ, t)=0.(g) ν(Gϕ, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, t’)=1,

altrimenti ν(Gϕ, t))=0;(h) ν(Hϕ, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ, t’)=1,

altrimenti ν(Hϕ, t))=0;(“ν(ϕ, t)=1” si legge come “il valore di verita di ϕ al tempo t e 1”).


Valutazione di Fϕ e PϕI Dal momento che gli operatori “F” e “P” sono abbreviazioni di

“∼ G ∼” e “∼ H ∼” le clausole nella definizione precedente checi dicono come valutare pGϕ, Hϕq e p∼ ϕq ci permettono anchedi valutare pFϕq e pPϕq.

I In particolare, pFϕq sara vera a un tempo t sse la condizioneseguente e soddisfatta: non si da il caso che ϕ e falsa per ognitempo t’ tale che t≺t’ ovvero ϕ e vera ad almeno un tempo t’ taleche t≺t’.

I Con un ragionamento simile, arriviamo alla conclusione che pPϕqsara vera a un tempo t sse la condizione seguente e soddisfatta:non si da il caso che ϕ e falsa per ogni tempo t’ tale che t’≺tovvero ϕ e vera ad almeno un tempo t’ tale che t’≺t.

I Dunque, le condizioni di verita per pFϕq e pPϕq sono le seguenti:

(i) ν(Fϕ, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, t’)=1,altrimenti ν(Fϕ, t)=0;

(j) ν(Pϕ, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ, t’)=1,altrimenti ν(Pϕ, t)=0.


Validita in LKt

I Un argomento in LKt con premesse ϕ1, . . . , ϕn e conclusioneψ e valido in LKt se e solo se non esiste un modello <T, <,ν> di LKt e un tempo t in T tali cheν(ϕ1, t) = 1, . . . , ν(ϕn, t) = 1 e ν(ψ, t) = 0.

I Se un argomento e valido in LKt diremo anche che le suepremesse implicano la sua conclusione in LKt .

I In simboli, quando un argomento in LKt e valido, scriveremo:

{ϕ1, . . . , ϕn} |=LK t ψ

I Una formula ben formata ϕ di LKt e valida (|=LK t ϕ) se esolo se non esiste un modello <T, ≺, ν> di LKt e un tempo tin T tali che ν(ϕ, t)=0.


Nota storica

L’inventore della logica del tempo e stato Prior (1957).


Deduzione naturale per LKt

I Introdurro ora un sistema di deduzione naturale per LKt chechiamo Kt(NAT).

I Il sistema si basa su Garson (2006).


Il sistema Kt(NAT)

I Il sistema Kt(NAT) consiste in queste regole:

• tutte le regole di LP(NAT);

• le regole HI, HE, GI, GE, HF, GP.


Le regole HF e GP

HF

ϕ⊃ HFϕ

GP

ϕ⊃ GPϕ


Commento alle regole HF e GP

I La regole HF e GP ci permettono di introdurre ad ogni puntodi una derivazione delle righe della forma pϕ ⊃ HFϕq epϕ ⊃ GPϕq.

I Il principio intuitivo che motiva HF e che, se qualcosa e veroa un tempo t, allora e vero ad ogni istante t’ che precede tche quella cosa e vera nel futuro rispetto a t’.

I Il principio intuitivo che motiva GP e che, se qualcosa e veroa un tempo t, allora e vero ad ogni istante t’ successivo a tche quella cosa e vera nel passato rispetto a t’.


La regola GI

GI

Prova: GGϕ GI

nessuna ass....ϕ

dove tutti i riferimenti esterni alla prova si ottengonoapplicando la regola GE.


La regola GE

GE

i. GψG:avorP ϕ GI..j. Ψ GE, i

dove tra pGψq e la riga pProva : Gϕq non deve occorrere un’altrariga pProva : Gϕq per GI.


Commento alle regole GI e GE

I La regola di introduzione GI ci da un modo per provare enunciatidella forma pGϕq.

I Se vogliamo provare pGϕq usando questa regola, le uniche righeesterne alla prova di cui possiamo fare uso sono righe della formapGψq.

I Possiamo cercare di provare pGϕq per GI importando ψ nella provaper mezzo di un’applicazione di GE.

I L’altra possibilita offerta dalla regola e cercare di provare ϕ senzafar ricorso ad alcuna riga esterna alla prova.

I Questo modo di provare enunciati della forma pGϕq riflette l’ideache cio che e dedotto da premesse che sono sempre vere in futuro (osenza far uso di alcuna premessa) e esso stesso sempre vero infuturo.

I Si noti che, per poter applicare la regola GE, tra pGψq e la rigapProva : Gϕq non deve occorrere un’altra riga pProva : Gϕq per GI.


La regola HI

HI

Prova: HHϕ HI

nessuna ass..

.

.

ϕ

dove tutti i riferimenti esterni alla prova si ottengonoapplicando la regola HE.


La regola HE

HE

i. HψH:avorP ϕ HI..j. Ψ HE, i

tra pHψq e la riga pProva : Hϕq non deve occorrere un’altra rigapProva : Hϕq per HI.


Commento alle regole HI e HEI Le regole HI e HE funzionano esattamente come le regole

corrispondenti GI e GE:

• La regola di introduzione HI ci da un modo per provare enunciatidella forma pHϕq.

• Se vogliamo provare pHϕq usando questa regola, le uniche righeesterne alla prova di cui possiamo fare uso sono righe della formapHψq.

• Possiamo cercare di provare pHϕq per HI importando ψ nella provaper mezzo di un’applicazione di HE.

• L’altra possibilita offerta dalla regola e cercare di provare ϕ senza farricorso ad alcuna riga esterna alla prova.

I Questo modo di provare enunciati della forma pHϕq riflette l’ideache cio che e dedotto da premesse che sono sempre vere in passato(o senza far uso di alcuna premessa) e esso stesso sempre vero inpassato.

I Si noti che, per poter applicare la regola HE, tra pHψq e la rigapProva : Hϕq non deve occorrere un’altra riga pProva : Hϕq per HI.


Completezza e correttezza

I E possibile mostrare che Kt(NAT) permette di derivare unaconclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi incui le premesse implicano la conclusione in LKt .

I In simboli:

{ϕ1, . . . , ϕn} `K t (NAT ) ψ sse {ϕ1, . . . , ϕn} |=LK t ψ.

I (Come caso particolare, e possibile mostrare che `K t (NAT ) ψsse |=K t ψ).


Tableaux per LKt

I Chiameremo Kt(TAB) il sistema di tableaux per LKt .

I Kt(TAB), cosı come altri sistemi di tableaux che introdurremoin seguito, e basato su Priest (2001).


La forma delle regole

I Nelle regole di Kt(TAB), le regole dei tableaux per illinguaggio LKt , ogni nodo e occupato

• da una riga della forma pϕ, iq, dove i e un numero naturale,oppure

• da una riga della forma i ≺ j , dove i e j sono numeri naturali.

I Intuitivamente, possiamo pensare ai numeri naturali cheoccorrono in un nodo come a tempi. Possiamo leggere “ϕ, i”come “la formula ϕ e vera al tempo ti” e “i ≺ j” come “iltempo ti precede il tempo tj”.

I (Ufficialmente, le regole di Kt(TAB) non fanno pero alcunriferimento al significato dei simboli che manipolano).


Regole per Kt(TAB)connettivi vero-funzionali


Regole per Kt(TAB)connettivi temporali

Gϕ, ii<jϕ, j

Hϕ, ij<iϕ, j

§Gϕ, iF§ϕ, i

§Fϕ, iG§ϕ

Fϕ, ii<jϕ, j

Pϕ, ij<iϕ, j

§Hϕ, iP§ϕ, i

§Pϕ, iH§ϕ

, i

, i

dove j e nuovo.


Come applicare le regoleI Ogni premessa ϕ alla radice dell’albero deve occorrere con il numero 0: pϕ, 0q.

La negazione della conclusione, p∼ψq, alla radice dell’albero deve occorrere conil numero 0: p∼ψ, 0q.

I Nelle regole per G e H le righe pHϕ, iq e pi < jq devono essere entrambe giapresenti per poter applicare la regola (non e pero necessario che siano adiacentine nell’ordine indicato).

I Un ramo del tableaux e chiuso se e solo per qualche formula ϕ e qualchenumero i , sia pϕ, iq che p∼ ϕ, iq occorrono sul ramo.

I Le definizioni di tableau chiuso, terminato e derivabilita in Kt(TAB) sono le

consuete:

• Un tableau e terminato se e solo se ogni regola che puo essere applicata e

stata applicata.

• Un tableau e chiuso se ogni suo ramo e chiuso; altrimenti e aperto.

• ψ e derivabile in Kt(TAB) da un insieme di formule Σ se e solo se c’e un

tableau terminato e chiuso la cui radice consiste nei membri di Σ e nella

negazione di ψ.

• {ϕ1, . . . , ϕn} `K t (TAB) ψ =def . ϕ e derivabile in Kt(TAB) dall’insieme di

formule {ϕ1 , . . . , ϕn}.• `K t (TAB) ϕ =def . ϕ e derivabile in Kt(TAB) dall’insieme vuoto ∅.



I E possibile dimostrare che le regole di Kt(TAB) permettono diderivare una conclusione da un insieme di premesseesattamente nel caso in cui le premesse implicano laconclusione in LKt .

I In simboli:

{ϕ1, . . . , ϕn} `K t (TAB) ψ sse {ϕ1, . . . , ϕn} |=LK t ψ.

I (Come caso particolare, e possibile mostrare che `K t (TAB) ψsse |=LK t ψ).


Interpretazione intesa degli operatori temporali

I Abbiamo deciso di intendere cosı i connettivi temporali di LKt :

• H “e sempre stato vero che”• G “sara sempre vero che”• P “e stato vero che”• F “sara vero che”

I La semantica di LKt autorizza questo modo di leggere iconnettivi temporali di LKt se intendiamo la relazione ≺ nelmodello come la relazione di precedenza temporale.

I Per esempio, e perche intendiamo ≺ come precedenzatemporale che la condizione (i) equivale a dire che pPϕqsignifica che e stato vero che ϕ:

(j) ν(Pϕ, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ,t’)=1, altrimenti ν(Pϕ, t)=0


La relazione ≺ nei modelli di LKt

I Il problema e che nella definizione di modello di LKt abbiamoassunto semplicemente che ≺ fosse una relazione binaria tratempi, senza imporre alcuna condizione.

I Quindi, nella definizione di modello di LKt , non c’e niente cheautorizza a intendere ≺ come la relazione di precedenzatemporale.

I Dunque, non c’e niente che autorizza a intendere i connettivitemporali nel modo che abbiamo assunto.


Condizioni su ≺

I Se ≺ e la relazione di precedenza temporale (“prima di”) tratempi, quali condizioni dovrebbe soddisfare?

I Vediamone alcune.


Transitivita

I Chiaramente, se un tempo t1 e prima di un tempo t2 e t2 eprima di un tempo t3, allora t1 e prima di t3:

t1 t2 t3

I Dunque, se ≺ e la relazione di precedenza temporale, unacondizione che deve soddisfare e la transitivita:

(τ) per ogni t, t’, t”, se t≺t’ e t’≺t”, allora t ≺t”.


Riflessivita

I Chiaramente, un tempo non e mai prima di se stesso.

I Dunque, la riflessivita non e una condizione ragionevole daimporre su ≺, se ≺ e la relazione di precedenza temporale:

(ρ) per ogni t, t≺t.


Simmetria

I Se un tempo t e prima di un tempo t’, t’ non e prima di t.

I Dunque, la simmetria non e una condizione ragionevole daimporre su ≺, se ≺ e la relazione di precedenza temporale:

(σ) per ogni t, t’, se t≺t’, allora t’≺t.


Una precisazione: il tempo chiusoI Quando affermiamo che la relazione di precedenza temporale non e ne

simmetrica ne riflessiva, pensiamo ai tempi come dei punti su un segmento.I Tuttavia, se pensiamo ai tempi come dei punti su un cerchio, le cose cambiano:

t2

t1

I Per esempio, percorrendo il cerchio in senso orario possiamo trovare t1 prima dit2 e, proseguendo, t2 prima di t1. Inoltre, possiamo trovare t1 prima di trovaret1 di nuovo.

I Dunque, se pensiamo al tempo come una linea chiusa, puo aver senso dire cheun tempo precede se stesso o che un tempo t1 precede ed e preceduto da untempo t2. In altre parole, pensando il tempo in questo modo la relazione diprecedenza temporale sembra essere simmetrica e riflessiva!

I Qui ignoreremo la possibilita che il tempo sia chiuso, in quanto non e chiaroche corrisponda alla nostra intuizione preteorica relativa alla nozione di tempo.Per una discussione di questo modo di concepire il tempo, vedi Newton-Smith(1980).


Densita

I Nella fisica classica, si assume normalmente che il tempo siadenso, cioe che tra ogni due tempi ci sia sempre un altrotempo.

I Dunque, se ≺ e la relazione di precedenza temporale nel sensodella fisica classica, una condizione plausibile e la densita:

(δ) per ogni t, t’ se t≺t’, allora per qualche t”, t≺t” et”≺t’.


Connessione

I Inoltre, nella fisica classica si assume che la relazione di precedenzatemporale abbia le proprieta seguenti:

(φ) (convergenza in avanti) per ogni t, t’, t”, se t≺t’ et≺t”, allora (t’≺t” o t’ = t” o t”≺t’)

(β) (convergenza all’indietro): se t’≺t e t”≺t, allora (t’≺t”o t’ = t” o t”Rt’)

I La convergenza in avanti dice che, se i tempi t’ e t” sono entrambisuccessivi a un tempo t vale questo: o t’ e t” sono uguali oppuresono ordinati dalla relazione ≺ (ovvero t’ precede t” o viceversa).

I La convergenza all’indietro dice che, se i tempi t’ e t” sono entrambiprecedenti a un tempo t, vale questo: o t’ e t” sono uguali oppuresono ordinati dalla relazione ≺ (ovvero t’ precede t” o viceversa).

I Se ≺ gode sia della proprieta dell convergenza in avanti sia dellaproprieta della convergenza all’indietro, diciamo che ≺ e connessa.


Futuro ramificato

I La proprieta di convergenza in avanti esclude, per ogni tempodato, dei tempi futuri rispetto a quel tempo che non siano inconnessione tra loro. In questo senso, esclude la possibilitache, dato un istante t, il futuro rispetto a t sia “ramificato”:

t’ t t’’

I (Nella figura, t’ e t” differiscono, ma nessuno dei due precedel’altro).


Passato ramificato

I La proprieta di convergenza all’indietro esclude, per ognitempo dato, dei tempi passati rispetto a quel tempo che nonsiano in connessione tra loro. In questo senso, esclude lapossibilita che, dato un istante t, il passato rispetto a t sia“ramificato”:

t’ t t’’

I (Nella figura, t’ e t” differiscono, ma nessuno dei due precedel’altro).


Fine e inizio del tempo

I Infine, nella fisica classica si assume che il tempo non abbiaun ultimo momento ne un primo momento:

(η) (no last point) per ogni t, c’e un tempo t’ tale chet≺t’.

(η’) (no first point) per ogni t, c’e un tempo t’ tale chet’≺t.

I (Nella fisica classica si assume inoltre che la relazione diprecedenza temporale abbia le stesse proprieta della relazione“minore di” sull’insieme dei reali, ma qui ignoreremo questofatto).


Una pluralita di linguaggi

I Nonostante siano comunemente assunte nella fisica classica,quasi tutte le proprieta di ≺ che abbiamo elencato in aggiuntaalla transitivita, e cioe la densita, la convergenza in avanti,l’esistenza di un punto iniziale, l’esistenza di un punto finale,sono state messe in discussione nel dibattito filosofico.

I Seguendo la strategia che abbiamo adottato per i linguaggidella logica modale, introdurremo alcune estensioni LKt (conrelativi sistemi di deduzione naturale e sistemi di tableaux)che differiscono tra loro per le proprieta di ≺ che abbiamoelencato.

I In particolare, considereremo due estensioni: il linguaggio dellalogica temporale lineare e il linguaggio della logica temporalelineare densa.


Il linguaggio della logica temporale lineare

I Il primo linguaggio che introduciamo lo chiamiamo LKtβφτ o

linguaggio della logica temporale lineare.

I Il linguaggio LKtβφτ e definito esattamente come il linguaggio

LKt , eccetto per la definizione di modello.I In particolare, la seconda clausola nella definizione di modello,

viene modificata cosı:• Un modello per LKt

βφτ e una tripla <T, ≺, ν>, dove

1. . . .2. ≺ e una relazione binaria tra elementi di T transitiva,

convergente in avanti e convergente all’indietro,3. . . .


Il linguaggio della logica temporale lineare densa

I Il linguaggio LKtβδφτ e definito esattamente come il linguaggio

LKtτ, eccetto per il fatto che la seconda clausola nella

definizione di modello, viene modificata cosı:

• Un modello per LKtβδφτ e una tripla <T, ≺, ν>, dove

1. . . .2. ≺ e una relazione binaria tra elementi di T transitiva,

convergente in avanti, convergente all’indietro e densa,3. . . .


Il sistema Ktβφτ(NAT)

I Il sistema Ktβφτ(NAT) consiste in queste regole:

• tutte le regole di Kt(NAT);

• le regole G4, H4, Nofbr, Nopbr.


Le regole G4 e H4

G4

Gϕ ⊃ GGϕ

H4

Hϕ ⊃ HHϕ


Le regole Nopbr e Nofbr

Nofbr

(Fϕ ∧ Fψ) ⊃ ((F(ϕ ∧ Fψ) ∨ F(Fϕ ∧ ψ)) ∨ F(ϕ ∧ ψ))

Nopbr

(Pϕ ∧ Pψ) ⊃ ((P(ϕ ∧ Pψ) ∨ P(Pϕ ∧ ψ)) ∨ P(ϕ ∧ ψ))


Il sistema Ktβδφτ(NAT)

I Il sistema Ktβδφτ(NAT) consiste in queste regole:

• tutte le regole di Ktβφτ(NAT);

• le regole CG4, CH4.


Le regole CG4 e CH4

CG4

GGϕ ⊃ Gϕ

CH4

HHϕ ⊃ Hϕ



I E possibile mostrare che Ktβφτ(NAT) e Kt

βδφτ(NAT)permettono di derivare una conclusione da un insieme dipremesse esattamente nei casi in cui le premesse implicano laconclusione in LKt

βφτ e LKtβδφτ, rispettivamente.


Tableaux per LKtβφτ

I Il sistema di tableaux per LKtβφτ comprende:

• le regole per Kt(TAB);• le regole specifiche per LKt

βφτ: transitivita, sostituzione,

fconvergenza, pconvergenza.


Regole specifiche per LKtβφτ

Transitività

i < jj < k

i < k

Fconvergenza

i < ji < k

j < k j = k k < j

Pconvergenza

j < ik < i

j < k j = k k < j

Sostituzione

α ii = j

α j

α ij = i

α j

dove α i è una riga del tableauche contiene i, e α j è identicaad α i eccetto che j sostituisce i.


Tableaux per LKtβδφτ

I Il sistema di tableaux per LKtβδφτ comprende:

• le regole per Ktβφτ(TAB),

• la regola di densita.


Regola di densita

Densità

i < ji < kk < j



I E possibile dimostrare che le regole di Ktβφτ(TAB) e le regole

di Ktβδφτ(TAB) permettono di derivare una conclusione da un

insieme di premesse esattamente nel caso in cui le premesseimplicano la conclusione in LKt

βφτ e in LKtβδφτ,

rispettivamente.


Combinazione di tempo e modalita

I Concludiamo introducendo un linguaggio, che chiameremoLMT, che contiene sia operatori modali che operatoritemporali.


Il linguaggio LMTi simboli

I Un numero infinito di lettere proposizionali: p1 p2 p3 p4 . . .

I I connettivi: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼I Le parentesi: ( )

I I connettivi seguenti:

• G, H, 2, 3


Il linguaggio LMTle formule ben formate

(a) Le lettere proposizionali sono formule ben formate di LMT(dette formule atomiche).

Se ϕ e ψ sono formule ben formate di LMT, allora:

(b) ∼ ϕ e una formula ben formata di LMT,

(c) (ϕ ∧ ψ) e una formula ben formata di LMT,

(d) (ϕ ∨ ψ) e una formula ben formata di LMT,

(e) (ϕ ⊃ ψ) e una formula ben formata di LMT,

(f) (ϕ ≡ ψ) e una formula ben formata di LMT,

(g) Gϕ e una formula ben formata di LMT,

(h) Hϕ e una formula ben formata di LMT,

(i) 2ϕ e una formula ben formata di LMT,

(j) 3varphi e una formula ben formata di LMT.

(k) Nient’altro e una formula ben formata di LMT.


Verita relativa a un mondo e a un tempo

I Le valutazioni per LMT assegnano valori di verita alle formulerelativamente a un mondo e a un tempo.


Il linguaggio LMTmodelli

Un modello per LMT e una tripla <W, T, R, ≺, ν>, dove

1. W e un insieme non vuoto di mondi possibili,

2. T e un insieme non vuoto di tempi,

3. R e una relazione binaria universale tra elementi di W,

4. ≺ e una relazione binaria tra elementi di T transitiva,convergente in avanti e convergente all’indietro.

5. ν e una funzione che assegna un valore di verita alle formuledi LMT relativamente a un tempo e a un mondo nel modoseguente:


La funzione valutazioneper ogni mondo w in W e tempo t in T,

(a) se ϕ e una lettera proposizionale di LMT, ν(ϕ, w, t) ∈ {0, 1};se ϕ e ψ sono formule ben formate di LMT, allora:

(b) ν(∼ ϕ, w, t)=1 se ν(ϕ, w, t)=0, altrimenti ν(∼ ϕ, w, t)=0;(c) ν(ϕ ∧ ψ, w, t)=1 se ν(ϕ, w, t)=1 e ν(ψ, w, t)=1, altrimenti ν(ϕ ∧ ψ, w, t)=0;(d) ν(ϕ ∨ ψ, w, t)=1 se non accade che ν(ϕ, w, t)=0 e ν(ψ, w, t)=0, altrimenti

ν(ϕ ∨ ψ, w, t)=0;(e) ν(ϕ ⊃ ψ, w, t)=1 se non accade che ν(ϕ, w, t)=1 e ν(ψ, w, t)=0, altrimenti

ν(ϕ ⊃ ψ, w, t)=0;(f) ν(ϕ ≡ ψ, w, t)=1 se ν(ϕ, w, t)=ν(ψ, w, t), altrimenti

ν(ϕ ≡ ψ, w, t)=0.(g) ν(Gϕ, w, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, w, t’)=1, altrimenti

ν(Gϕ, w, t)=0;(h) ν(Hϕ, w, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ, w, t’)=1, altrimenti

ν(Hϕ, w, t)=0;(i) ν(2ϕ, w, t)=1 se per ogni w’ in W tale che wRw’, ν(ϕ, w’, t)=1, altrimenti

ν(2ϕ, w, t)=0;(j) ν(3ϕ, w, t)=1 se per qualche w’ in W tale che wRw’, ν(ϕ, w’, t)=1,

altrimenti ν(3ϕ, w, t))=0;(“ν(ϕ, w, t)=1” si legge come “il valore di verita di ϕ al mondo w e al tempo t e 1”).


Valutazione di Fϕ e Pϕ

(k) ν(Fϕ, w, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, w,t’)=1, altrimenti ν(Fϕ, w, t)=0;

(l) ν(Pϕ, w, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ,w, t’)=1, altrimenti ν(Pϕ, w, t)=0.


Validita in LMT

I Un argomento in LMT con premesse ϕ1, . . . , ϕn e conclusioneψ e valido in LMT se e solo se non esiste un modello <W, T,R, ≺, ν> di LMT, un mondo w in W e un tempo t in T taliche ν(ϕ1,w , t) = 1, . . . , ν(ϕn,w , t) = 1 e ν(ψ,w , t) = 0.

I Se un argomento e valido in LMT diremo anche che le suepremesse implicano la sua conclusione in LMT.

I In simboli, quando un argomento in LMT e valido, scriveremo:

{ϕ1, . . . , ϕn} |=LMT ψ

I Una formula ben formata ϕ di LMT e valida (|=LMT ϕ) se esolo se non esiste un modello <W, T, R, ≺, ν> di LMT, unmondo w in W e un tempo t in T tali che ν(ϕ, w, t)=0.


Un’estensione di LMT

I Il linguaggio LMT combina il linguaggio modale LS5 con illinguaggio della logica lineare.

I Definiamo ora un’estensione di LMT, che chiameremo LMTδ eche incorpora l’assunzione che il tempo e denso.


Il linguaggio LMTδ

I Il linguaggio LMTδ e identico a LMT, eccetto per il punto 4della definizione di modello.

I Un modello per LMTδ e una tripla <W, T, R, ≺, ν>, dove

1. . . .2. . . .3. . . .4. ≺ e una relazione binaria tra elementi di T transitiva,

convergente in avanti, convergente all’indietro e densa.5. . . .


Il sistema MT(NAT)

I Il sistema MT(NAT) consiste in queste regole:

• le regole di S5(NAT),• le regole di Kt

βφτ(NAT).


Il sistema MTδ(NAT)

I Il sistema MTδ(NAT) consiste in queste regole:

• le regole di S5(NAT),• le regole di Kt

βδφτ(NAT).


Aspettando una dimostrazione di completezza

I Per il sistema MT(NAT), cosı come per il sistema MTδ(NAT),non c’e una dimostrazione di completezza, ovvero non e statodimostrato che ogni argomento valido in LMT e derivabile inMT(NAT).

I Thomason (1984) fa questo commento al riguardo: “As far asI know, the general problem of axiomatising these logics hasnot been solved. But I’m not sure that it is worth doing,except as an exercise. The completeness proofs should not bedifficult. . . ”


logica proposizionale temporale - dipafilologica proposizionale temporale sandro zucchi 2015-16 s....

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