PERBANDINGAN MODEL PADA DATA DERET WAKTU PEMAKAIAN LISTRIK JANGKA PENDEK YANG MENGANDUNG POLA

MUSIMAN GANDAOLEHGUMGUM DARMAWAN, SUHARTONO

PENDAHULUAN

MODEL DATA DERET WAKTU BERDASARKAN PARAMETER PEMBEDA (d)

ARMAd = 0

ARIMAd≠0, d = bil.bulat

ARFIMAd= bil.Pecahan

LATAR BELAKANG MASALAH(1)

Granger dan Joyeux(1980)

Hosking(1981)

Sowell (1992)Geweke dan

Porter-Hudak(1983)

Reisen(1994) Robinson(1995)

Hurvich danRay(1995)

Velasco(1999a)Velasco(1999b)

Beran(1994)

PERMASALAHAN

Bagaimana membandingkan ketepatan ramalan Model ARFIMA dengan Model ARIMA pada data pemakaian listrik jangkapendek yang mengandung pola musimanganda.

MODEL ARFIMA Musiman Ganda

adalah polinomial AR(p)nonmusimanadalah polinomial MA(q) nonmusimanOperator pembedaPecahan

Operator Pembedamusiman pertama denganperiode S1Operator Pembedamusiman kedua denganperiode S2

pp

221 B..BB1)B(

2 q1 2 q( B ) 1 B B .. B

11

22

d kd k

k 0

Ds

Ds

d1 B 1 Bk

1 B

1 B

1 21 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1D Dd s s s s

p P P t q

s sQ Q t

B B B B B B z B

B B a

MODEL ARFIMA Musiman Ganda

1 1 1 1 11 1

2 2 2 2 22 2

1 1 1 1 11 1

2 22

21 2

21 2

21 2

1 2

( ) 1 ..

( ) 1 ..

( ) 1 ..

( ) 1

s s s PsP P

s s s P sP P

s s s QsQ Q

s sQ

B B B B Polinomial AR musiman pertama

B B B B Polinomial AR musiman kedua

B B B B Polinomial MAmusiman pertama

B B

2 2 22

2 ..s Q sQ

t

B B Polinomial MAmusiman kedua

a sisa yang diasumsikan berdistrib usi Normal

IDENTIFIKASI MODEL ARFIMA MusimanGanda

a) Membuat plot data deret waktudan pilih transformasi yang sesuai untuk menstabilkan varian, jika data tidak stasioner dalam varian.

b) Menaksir nilai d (parameter pembeda) melaluistatistik Hurst.

Jika H = 0,5 menunjukan gejala Short memory 0<H<0,5 menunjukan gejala Intermediate Memory 0,5<H<1 menunjukan gejala Long Memory

Dari nilai H dapat diperoleh nilai d melaluipersamaan Hurst sebagai berikut d = H-1/2.

c) Membuat plot ACF dan PACF untuk memperkirakanparameter p dan q

PENAKSIRAN PARAMATER

a) Penaksiran Parameter pembeda (d)a.1 Menentukan model spektral ARFIMA

a.2 Menentukan bentuk logaritma natural dari model ARFIMA

2 2d2qa

Z

exp( i )f 2sin , ,

2 exp( i ) 2

dengan

2 WW j

W

jZ j

j

fln f ln f 0 dln 1 exp(i ) ln

f 02 j, j 1,2,.... T / 2T

PENAKSIRAN PARAMATER MODEL ARFIMA

a.3 Menambahkan bentuk logaritma natural periodogram pada persamaan pada a.2

a.4 Menentukan bentuk periodogram dari persamaana.3.GPH

i jf I2 j jW Z

ln I ln f 0 dln1 exp ln lnjZ W f 0 fW jZ

g(T )

Z j 0 j jj 1

1I 2 cos( ) , ,

2

PENAKSIRAN PARAMATER MODEL ARFIMA

a.5 Menaksir parameter d melalui metode Ordinary Least Square .

g T

j jj 1

g n 2j

j 1

x x y yd̂ , g ( T ) T ,0 1

x x

2

j Z j j jY lnI , X ln1 exp( i )

Uji Diagnostik Model ARFIMA

1. Uji Signifikansi Parameter2. Uji White Noise dari Sisa3. Uji Asumsi Normalitas Sisa

KRITERIA PEMILIHAN MODEL ARFIMA

Mean Square Error (MSE)

K = banyaknya sisa

M = banyaknya parameter yang diduga

Akaike’s Information Criterion

T = banyaknya observasi= estimasi dari Mean Square Error

MSE = SSE/(K - M)

M2ˆlnTAIC 2a

2a

KRITERIA PEMILIHAN MODEL ARFIMA

Mean Absolut Percentage Error (MAPE)

h = 1, 2, 3, …, H.h = banyaknya observasi yang akan

diramalkan (out-sample)

Hh

h 1 T h

e1M APE x100%H z

h T h Tˆe Z Z h

METODE PENELITIAN

Identifikasi Modela.) Membuat plot dari data deret waktu dan tentukan transformasi

yang sesuai untuk menstabilkan varian, jika data tidak stasioner dalam varian.

b) Mengidentifikasi nilai d melalui statistik Hurst.c) Membuat plot ACF dan PACF dari data deret waktu untuk

memperkirakan parameter p dan q.

Penaksiran ParameterModel yang telah diidentifikasi sebagai model ARFIMA selanjutnya dilakukan penaksiran parameternya.

METODE PENELITIAN

Uji Diagnostika) Menguji signifikansi parameter model. Semua parameter

yang diikut sertakan dalam model harus signifikan. Pegujian signifikansi biasanya menggunakan α = 0,05.

b) Memeriksa sampel ACF dari sisa untuk mengevaluasi apakah deret dari sisanya sudah tidak berkorelasi.

c) Menguji Normalitas dari sisa melalui uji Kolmogorov –Smirnov.

PeramalanJika model sudah memenuhi semua asumsi pada Uji Diagnistik dilakukan peramalan. Dan jika terjadi lebih dari satu model dapat dilakukan pemilihan model.

APLIKASI MODEL ARFIMA Untuk DATA PEMAKAIAN LISTRIK DI PULAU BATAM

Time

Data

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

8010

012

014

016

0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

200180160140120100806040201

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for x(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

200180160140120100806040201

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Partial Autocorrelation Function for x(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Scatterplot Data Deret Waktu Pola ACF Data Deret Waktu Pola PACF Data Deret Waktu

Lag

Aut

ocor

rela

tion

200180160140120100806040201

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

200180160140120100806040201

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

200180160140120100806040201

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Pembedaan p = 168 Pembedaan p = 24, 168 Pembedaan p = 1, 24, 168

Pencarian Model ARFIMA TERBAIK

-311470,0257Sampai lag 480,535p = (1,2,3)(24,48), q = (1,2,3,4)(24)(168)10

-296640,0289Sampai lag 240,400p = (1,2,3)(24,168), q = (1,2,3,4)(24)9

-310340,0260Sampai lag 180,400p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(168)8

-3109,60,0258Sampai lag 180,400p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24,168)7

-310280,0260Sampai lag180,447p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(168)6

-310380,0259Sampai lag 180,447p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24,48)(168)5

-296740,0289Sampai lag 180,447p = (1,2,3)(24,168), q = (1,2,3,4)(24)4

-296740,0290Sampai lag 180,447p = (1,2,3)(24,168), q = (1,2,3,4)3

-311010,0258Sampai lag 180,447p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24,168)2

-311050,0258Sampai lag 360,447p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24)(168)1

AICMSEWhite NoiseNilai dParameter p dan qNO

MODEL ARIMA DAN ARFIMA TERBAIK

Model ARIMA(2,0,0)(1,1,0)24 (1,1,0)168

Model ARFIMA(3,d,4)(0,0,2)24 (0,1,1)168dengan d = 0,535

2 24 24 168 1681 0,739 1,87 1 0,452 1 1 1 0,534t tB B B B B B z a

0,5352 3 168 2 3 4

24 48 168

1 1,78 1,72 0,75 1 1 1 1,51 1,5 0,56 0,05

1 0,12 0,06 1 0,87

t

t

B B B B B z B B B B

B B B a

Pemilihan Model Terbaik Model ARIMA dan ARFIMA

h

Sisa

Mod

el 1

100806040200

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

-0.06

0

h

Sisa

Mod

el 2

100806040200

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

-0.06

0

0,9%0,0245-31.147ARFIMA(3,d,4)(0,0,1)24(0,1,1)168 , d = 0,535

1,8%0,0346-27.005ARIMA(2,0,0)(1,1,0)24(1,1,0)168

MAPEMSEAICMODEL

Scatterplot Sisa Model ARIMA Scaterplot Sisa Model ARFIMA

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil analisis model Double Seasonal ARFIMA lebih baik dibandingkandengan model Double Seasonal ARIMA dalammemodelkan pemakaian listrik di Pulau Batam, dilihat dari nilai AIC, MSE dan MAPE

DAFTAR PUSTAKA Geweke J dan Porter-Hudak,S. (1983), “The Estimation and Application of

Long Memory Time Series Models”, Journal of Time series Analysis,Vol. 4, hal. 221-238.

Granger, C. W. J. dan Joyeux,R. (1980), “An Introduction to Long-Memory Time Series Models and Fractional Differencing”, Journal of Time Series Analysis, Vol. 1, hal. 15-29.

Hosking, J.R.M. (1981), “Fractional Differencing”, Biometika, Vol. 68, hal. 165-176.

Hurst, H.E. (1951), “Long-Term Storage of Reservoirs: An Experimental Study”, Transactions of the American Society of Civil Engineers, Vol. 116, hal. 770-799.

Lopes, S.R.C dan Nunes,M.A. (2006), ”Long Memory Analysis in DNA Sequences”, Physica A, Vol. 361, hal. 569-588.

Lopes, S.R.C.,Olberman,B.P dan Reisen,V.A. (2004), ”A Comparison of Estimation Methods in Non-Stationary ARFIMA Processes”, Journal of Statistical Computation & Simulation, Vol. 74, No. 5, hal. 339-347.

TERIMA KASIH