UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C.

PRIMERA PRUEBA DE CLCULO AVANZADO PARA INGENIERA 10121

Ingeniera Civil Segundo Semestre 2013

(10/05/2013)

Pregunta 1:

Sea

x0si,xcos

0xsi,0

0xsi,xcos

xf , extendida a IR como funcin de perodo 2.

a) Obtener la serie de Fourier de f.

b) Usar a) para calcular

11k241k2

12

1k

1k

.

c) Usar a) para calcular 22

2

1k 1k4

k

Solucin:

Como es impar, con

a) Observe que , as . Entonces los

coeficientes de la serie son:

0,2 pts.

0,2 pts.

Si

0,1 pts.

La Serie de Fourier es:

0,2 pts.

b) Para

, se tiene convergencia puntual:

0,6 pts.

c)

0,7 pts.

Pregunta 2:

Dada la curva 0t,t,tsent,tcosttr

,

a) determinar el ngulo que forma el vector tangente en cada punto con el eje z.

b) obtener la curvatura y torsin en

2,

2,0P1 .

c) determinar la ecuacin de plano osculador en

2,

2,0P1 .

Solucin:

Observe que como

y

Por otro lado,

a)

b) La curvatura en es

La torsin en es

c) La ecuacin del plano osculador en es:

Pregunta 3:

a) Sea

0,0y,xsi,0

0,0y,xsi,yx

xy2

y,xf

42

2

, determinar si f es continua en

P0 = (0, 0) y obtener fX(0, 0) y fY(0, 0), si existen.

b) Sea 0,0y,xsi,yxlnyxy,xf 2222 . Verificar que f es solucin de la

ecuacin y,xf2y

fy

x

fx

.

Solucin:

a) Con trayectoria hacia , como:

(i)

, se aproxima a

(ii)

, se aproxima a

0,2 pts.

(iii)

, se aproxima a

(Tambin se puede considerar )

(iv) , (parbola),

, se aproxima a

0,2 pts.

Como No existe

cuando

No es continua en

0,2 pts.

Las derivadas parciales:

0,2 pts.

b)

0,5 pts.

0,5 pts.