Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniera lgebra 1, Mdulo Bsico de Ingeniera Pablo Ulloa Castro

Tiempo estimado: 2 horas

Modelo Pep1 Forma A P1. Lgica y Cuantificadores

a) Si la proposicin (~) (~ ~) es Falsa, determine el valor de verdad de la proposicin () () ( ) b) Determine el valor de verdad de:

i. : 2 ii. : 2 + 2 + 1 0

iii. : 2 = P2. Induccin Demuestre usando induccin matemtica que: 11+2 + 122+1 divisible por 133 P3. Binomio de Newton Demuestre usando el teorema del binomio que:

(1) =0

= 0 P4. Relaciones Sea una relacin definida en los enteros, = {(,): 2 + 3 = 13; , }

a) Determine especificando restricciones de dominio b) Determinar 1

P5. Geometra Analtica Determine la ecuacin y grafique el lugar geomtrico formado por un punto que est dos veces ms alejado de (4,4) que del punto (1,1).

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniera lgebra 1, Mdulo Bsico de Ingeniera Pablo Ulloa Castro

Tiempo estimado: 2 horas

Modelo Pep1 Forma B P1. Induccin Sabiendo que 4 = 3

1= 1 + 32 = 2 + 33 =. . . = + 3+1 ; demostrar que = 3+133+11

P2. Progresiones

a) Interpolar dos medios armnicos entre 5 y 11. b) Si , , , estn en .., demostrar que: ( )2 + ( )2 + ( )2 = ( )2

P3. Sumatoria Determine para el cual: 3( 4)1

=1

+ 6 = ( 4)21=

P4. Binomio de Newton Encuentre el trmino central en el desarrollo de:

+ 12

P5. Geometra Analtica Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de un tringulo rectngulo equidista de los tres vrtices

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniera lgebra 1, Mdulo Bsico de Ingeniera Pablo Ulloa Castro

Tiempo estimado: 2 horas

Modelo Pep1 Forma C P1. Lgica (elegir uno)

a) Usando algebra proposicional, demostrar la validez del siguiente argumento: Si 2 es par, entonces 5 no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primo o 5 es divisor de 9. Adems,

11 es primo. Por tanto, 2 es impar. b) Si para las proposiciones y , se define el operador de forma que es Falsa, si y solo si

tanto como son ambas verdaderas, en caso contrario es Verdadera. Demuestre usando algebra proposicional que [( )] [(~) ~] es tautologa

P2. Induccin Demuestre , que 2+4 > ( + 4)2 P3. Progresiones

a) La suma de los 6 primeros trminos de una .. es 9 veces la suma de los 3 primeros trminos, determine su razn (0 0, 1)

b) Dada la ..: 4,12,20,28, i. Demuestre que la suma de trminos de la sucesin es un cuadrado perfecto

ii. Determine , si + +1 = 16 P4. Relaciones Sea una relacin de equivalencia en = {, , ,, } demuestre que si: (, ), (,) y (, ) (,) P5. Binomio de Newton Encuentre el coeficiente de 1

en el desarrollo de: (1 + ) 1 + 1

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniera lgebra 1, Mdulo Bsico de Ingeniera Pablo Ulloa Castro

Tiempo estimado: 1.5 horas

Modelo Pep1 Forma D P1. Sumatoria Si se sabe que (2 1)2 = 46=1 ; ( + 1)( 1) = 1297=1 y 7 = 4, determine el valor de:

(2 6)7=1

(2 + 3)26=1

P2. Progresiones (elegir uno)

a) En una .., si los trminos de lugares , y son respectivamente: , y . Demuestre que: ()()() = 1

b) Si es un medio armnico entre y , demostrar que: 1

+ 1

= 1

+ 1

P3. Relaciones En el conjunto de los nmeros reales se define la relacin : (,) 2 + 2 = 4 + 2

a) Determine los valores de para los cuales es simtrica b) Determine los valores de para los cuales es refleja

P4. Geometra Analtica Determine la ecuacin de la elipse con focos (4,2) y (10,2) y un vrtice en el punto (12,2)

Modelo Pep1 Forma A

P1. Lgica y Cuantificadores a) Si la proposicin (~) (~ ~) es Falsa, determine el valor de verdad de la proposicin () () ( )

Desarrollo: Si (~) (~ ~) es , esto solo se da cuando el antecedente de la implicancia es y el precedente es ; por lo que (~) es , mientras que (~ ~) es . Si (~) es , entonces ~(~) es , y operando se tiene que ~(~) = (~) = ( ) es . Usando el mismo anlisis anterior, de esto se puede deducir que es y es . Finalmente si (~ ~) es , nuevamente usando el mismo razonamiento anterior se tiene que ~ es , por lo que es , mientras que ~ es , dando con valor . Considerando estos datos a partir de anlisis del enunciado, se procede a reemplazar en el ejercicio propuesto: () () ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo tanto, la expresin () () ( ) es tautologa

b) Determine el valor de verdad de: i. : 2 2 2 0 ( 1) 0

- 0 1 + - + + 1 - - +( 1) + - +Por lo que para valores en los que ]0,1[ no se cumple la desigualdad. : 2 < ( : 2 ) =

ii. : 2 + 2 + 1 0 2 + 2 + 1 0 ( + 1)2 0| + 1| 0 0 + 1 0 + 1 = 0 = 1 Al ser = 1, se tiene que (1 + 1)2 0 0 0 ! :2 + 2 + 1 0 ( : 2 + 2 + 1 0) =

iii. : 2 = Si = 0, se tiene que 2 0 = 0 0 = 0 ! : 2 = ( : 2 = ) =

P2. Induccin Demuestre usando induccin matemtica que: 11+2 + 122+1 divisible por 133 Para = 1: 113 + 123 = 133 | 3059 = 133 = 23 23 la induccin se cumple para = 1 Para = : () 11+2 + 122+1 = 133 | Para = + 1: () 11+3 + 122+3 = 133 | 11(11+2) + 144(122+1) = 133 11(11+2) + 11(122+1) + 133(122+1) = 133 11(11+2 + 122+1) + 133(122+1) = 133 apareci hipotesis 11(133) + 133(122+1) = 133 133(11 + 122+1) = 133 11 + 122+1 = 11 + 122+1 la induccin se cumple para = + 1

Finalmente se concluye que efectivamente 11+2 + 122+1 es divisible por 133

P3. Binomio de Newton Demuestre usando el teorema del binomio que: (1) =0 = 01(1)=0 = 0 (1)(1)=0 = 0 (1 1) = 0 0 = 0 0 = 0

P4. Relaciones Sea una relacin definida en los enteros, = {(,): 2 + 3 = 13; , }

a) Determine especificando restricciones de dominio : 2 + 3 = 13; , : 2 = 13 3 : = 13 32 ; ssi = 2 + 1, : = 13 3(2 + 1)2 : = 13 6 + 32 : = 10 62 : = 5 3, , 13 32 , , | = impar b) Determinar 1

Por definicin de 1 (relacin inversa); se sabe que es relacin, entonces 1 estar dado por De esta forma: 1 = {(,): 2 + 3 = 13; , }

P5. Geometra Analtica Determine la ecuacin y grafique el lugar geomtrico formado por un punto que est dos veces ms alejado de (4,4) que del punto (1,1).

Sea (,);(4,4) y (1,1) (,) = 2(,) ( 4)2 + ( 4)2 = 2( 1)2 + ( 1)2 ( 4)2 + ( 4)2 = 4( 1)2 + 4( 1)2 2 8 + 2 8 + 32 = 42 8 + 42 8 + 8 24 = 32 + +32 2 + 2 = 8 Circunferencia (0,0), = 22

Modelo Pep1 Forma B

P1. Induccin Sabiendo que 4 = 31 = 1 + 32 = 2 + 33 =. . . = + 3+1 ; demostrar que = 3+133+11 Para = 1: 1 = 34 (se saca de enunciado) = 32 332 1 = 68 = 34 la induccin se cumple para = 1 Para = : () = 3+1 33+1 1 Para = + 1: () : +1 = 3+2 33+2 1 Por enunciado se tiene que: 4 = + 3+1 +1 = 34 +1 = 34 3+1 33+1 1+1 = 34(3+1 1) (3+1 3)3+1 1 +1 = 3(3+1 1)4(3+1 1) (3+1 3) +1 = 3+2 33+2 1 la induccin se cumple para = + 1 Finalmente se concluye que si 4 = 31 = + 3+1 efectivamente = 3+133+11

P2. Progresiones a) Interpolar dos medios armnicos entre 5 y 11.

Sean , los dos medios armnicos pedidos, se tiene que {5,, , 11} .. 15 , 1 , 1 , 111 ..De esto se tiene que: 111 = 1 + = 1 + 2 = 15 + 3 Para obtener : 111 = 15 + 3 111 15 = 3 5 1155 = 3 655 13 = 255 = De esto se tiene que: 111 = 1 255 555 + 255 = 1 755 = 1 = 557

111 = 1 455 555 + 455 = 1 955 = 1 = 559 los medios armonicos pedidos son: = 559 y = 557 b) Si , , , estn en .., demostrar que: ( )2 + ( )2 + ( )2 = ( )2

Si , , , estn en .. = 3, = 2, = ( 2)2 + (2 )2 + (3 )2 = ( )2 22(1 )2 + 2(2 1)2 + 22(2 1)2 = ( )2 22 223 + 24 + 24 222 + 2 + 26 224 + 22 = ( )2 223 + 2 + 26 = ( )2 ( 3)2 = ( )2 ( )2 = ( )2

P3. Sumatoria Determine para el cual: 3( 4)1=1 + 6 = ( 4)21= Usando reloj en la segunda sumatoria:

3( 4)1=1 + 6 = ( + ( 1) 4)21(1)=1 3( 4)1=1 + 6 = ( 4)=1 + ( 1)=1 (3 12)1=1 ( 4)=1 = ( 1) 6 3 1=1 121=1 =1 + 4=1 = ( 1) 6 3 ( 1)2 12( 1) ( + 1)2 + 4 = ( 1) 6 32 3 24 + 24 2 + 8 = 22 2 12 36 = 18 = 2

P4. Binomio de Newton Encuentre el trmino central en el desarrollo de: + 12 Se sabe que la cantidad de trminos generados en un binomio est dado por su exponente + 1; por lo que en este caso se tiene 2n+1 trminos. De esto se deduce que el termino central es aquel que deje a su izquierda y derecha la misma cantidad de trminos, por tanto el termino central ser el termino n+1. +1 = 2 ()2(1) +1 = (2)!(2 )!! ()2 +1 = (2)!!! = (2)!(2)!

el termino central es: (2)!(2)!

P5. Geometra Analtica Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de un tringulo rectngulo equidista de los tres vrtices Si se ubican dos puntos arbitrarios en los ejes cartesianos, y se considera tambin el origen del plano, se tendr siempre un tringulo rectngulo (debido a que los ejes forman un ngulo de 90 entre si). De esto se tiene los puntos: (0,0);(, 0);(0,) al ubicar en el plano, la hipotenusa estar dada entre los puntos y , por lo que su punto medio ser el punto . = (,) = + 02 , 0 + 2 = 2 ,2 Ahora teniendo los puntos definidos, se procede a comprobar enunciado: (,) = (,) = (,)

0 22 + 0 22 = 22 + 0 22 = 0 22 + 22 22 + 22 = 22 + 22 = 22 + 22

24 + 24 = 24 + 24 = 24 + 24 2 + 22 = 2 + 22 = 2 + 22 distancia desde punto medio de la hipotenusa a cualquier vertice en un triangulo rectngulo

Modelo Pep1 Forma C

P1. Lgica (elegir uno) a) Usando algebra proposicional, demostrar la validez del siguiente argumento:

Si 2 es par, entonces 5 no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primo o 5 es divisor de 9. Adems, 11 es primo. Por tanto, 2 es impar.

Sea: = 2 es par ~ = 2 es impar = = 5 es divisor de 9 ~ = 5 no es divisor de 9 = = 11 es primo ~ = 11 no es primo. = Aplicando esto al enunciado se tiene que:[( ~)(~)]( ~) [(~~)( )]( ~) [( )(~~)]( ~) [( )( ~)]( ~) ( ~)( ~) ( ~) ( )

b) Si para las proposiciones y , se define el operador de forma que es Falsa, si y solo si tanto como son ambas verdaderas, en caso contrario es Verdadera. Demuestre usando algebra proposicional que [( )] [(~) ~] es tautologa

Al analizar que = = = , y que = = = , se deduce fcilmente que ~~ (si desea, se puede comprobar mediante tabla de verdad). Luego de esto se procede acomprobar: [( )] [(~) ~] [~(~( ))~(~)] [(~) ~] [~(~(~))~(~)] [(~) ~] [~(~)~(~)] [(~) ~] [(~) ~] [(~) ~] [( )] [(~) ~] es

P2. Induccin Demuestre , que 2+4 > ( + 4)2Para = 1: 25 > (5)2 36 > 25 la induccin se cumple para = 1 Para = : () 2+4 > ( + 4)2

Para = + 1: () : 2+5 > ( + 5)2 De la hiptesis tenemos que: 2+4 > ( + 4)2 \ 22+5 > 2( + 4)2 Por lo que si se cumple: 2( + 4)2 > ( + 5)2 Calculemos: 2( + 4)2 > ( + 5)2 22 + 16 + 32 > 2 + 10 + 25 2 + 6 + 7 > 0 es vlido Por transitividad entonces: 2+5 > 2( + 4)2 > ( + 5)22+5 > ( + 5)2 la induccin se cumple para = + 1

Finalmente se concluye que efectivamente 2+4 > ( + 4)2

P3. Progresiones a) La suma de los 6 primeros trminos de una .. es 9 veces la suma de los 3 primeros trminos,

determine su razn (0 0, 1) = =1 = 1 1 1 1 6 1 1 = 91 3 1 1 6 1 = 9(3 1) (3 1)(3 + 1) = 9(3 1) 3 + 1 = 9 3 = 8 = 2 la razon de la .. es 2

b) Dada la ..: 4,12,20,28, i. Demuestre que la suma de trminos de la sucesin es un cuadrado perfecto

= =1 = 2 (21 + ( 1)) = 2 (2 4 + 8( 1)) = 2 (8 + 8 8) = 822 = 42 = (2)2 para esta .. es siempre un cuadrado perfecto ii. Determine , si + +1 = 16

Del apartado anterior se tiene que: 16 = (2 16)2 Y se sabe que: = 4 + 8( 1) Por lo que: + +1 = 16 4 + 8( 1) + 4 + 8( + 1 1) = (2 24)28 + 16 8 = 210 = 102416 = 21024 = 26 = 64 si + +1 = 16 = 64

P4. Relaciones Sea una relacin de equivalencia en = {, , ,, } demuestre que si: (, ), (,) y (, ) (,) Por hiptesis, se tiene que es de equivalencia, por lo que es refleja, transitiva y simtrica: Por ser simtrica: (,) (, ) ; (, ) (,) Por ser transitiva: (, ) (, ) (, ) Entonces si (, ) (,) (,)

P5. Binomio de Newton Encuentre el coeficiente de 1 en el desarrollo de: (1 + ) 1 + 1 Primero tenemos que: (1 + ) 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 1(1)=0 + 1(1)=0 Buscamos el trmino que contenga a 1 en ambas sumatorias: Primero: de 1(1)=0 , un trmino calquiera ser Al igualar exponentes = 1 = 1 = 1 Esto indica que de la primera sumatoria nos sirve el trmino con valor = 1 Luego de 1(1)=0 , un trmino cualquiera ser 1 Al igualar exponentes 1 = 1 1 = 1 = 2 Esto indica que de la segunda sumatoria nos sirve el trmino con valor = 2

sea el termino que contiene a 1 en (1 + ) 1 + 1 ; est dado por: 11 + 21 = 1 1+ 2 = !1! ( 1)! + !2! ( 2)! = + ( 1)2 = 2 + 2 =

Modelo Pep1 Forma D

P1. Sumatoria Si se sabe que (2 1)2 = 46=1 ; ( + 1)( 1) = 1297=1 y 7 = 4, determine el valor de: (2 6)7=1 (2 + 3)26=1 Del enunciado se puede despejar que: ( + 1)( 1) = 1297=1 2 17=1 = 129 27=1 17=1 = 129 27=1 7 = 129 27=1 = 136 Tambin se tiene: (2 1)26=1 = 4 42 4 + 16=1 = 4 426=1 46=1 + 16=1 = 4 472 72 + 26=1 46=1 = 2 4(4)2 + 27=1 46=1 = 24(16 + 136) + 2 = 46=1 482 = 46=1 Por lo que: (2 6)7=1 (2 + 3)26=1 = 27=1 67=1 426=1 + 126=1 + 96=1 27=1 67=1 426=1 + 126=1 + 96=1 = 26=1 50426=1 + 1500 (241 50)427=1 64 + 1500 (241 50)(544 64 + 1500) = (191)(1980) = 378180

P2. Progresiones (elegir uno) a) En una .., si los trminos de lugares , y son respectivamente: , y . Demuestre que: ()()() = 1

Sea la razn y trmino inicial , esto indica que un trmino en posicin estar dado por: = 1 Por lo que: = 1; = 1; = 1 ()()() (1)(1)(1) (1)(1)(1) (1)()(1)()(1)() ++(1)()+(1)()+(1)() 0(1)()+(1)()+(1)()0+++++ 00 = 1

b) Si es un medio armnico entre y , demostrar que: 1 + 1 = 1 + 1 Si es medio armnico entre y , entonces {, , } .. 1 , 1 , 1 .. Por lo que: 1 = 1 + = 1 + 2 = 1 ; = 1 2 Reemplazando: 1 + 1 = 1 + 111 1 2 + 11 = 1 + 1 1(1 2) (1 )(1 )(1 2) + 1 (1 )1 = 1 + 1 (1 )(1 2)(1 2) (1 ) + 1 (1 ) = 1 + 1 1 3 + 2222 + 1 2 = 1 + 1 2 2 = 1 + 1 1 + 1 2 = 1 + 1 1 + 1 2 = 1 + 1 = 1 + 1

P3. Relaciones En el conjunto de los nmeros reales se define la relacin : (,) 2 + 2 = 4 + 2

a) Determine los valores de para los cuales es simtrica Si es simtrica se debe cumplir 2 + 2 = 4 + 2 Si 2 = 4; = |2| se tiene que: 4 |2| + 2 = 4 + |2| 2 |2| + 2 = |2| 2 |2| 2 = |2| + 2 |2| + 2 = |2| 2 4 |2| + 2 = 4 + |2| 2 = |2| = {2,2}, es simtrica

b) Determine los valores de para los cuales es refleja 2 + 2 = 4 + 22 2 4 + 22 = 0 = 2 42 82 + 162 = 2 4(4 2)2 = 4 2 Lo cual no es vlido / es refleja

P4. Geometra Analtica Determine la ecuacin de la elipse con focos (4,2) y (10,2) y un vrtice en el punto (12,2) Al ver que ambos focos tienen igual valor en su componente , se deduce que es una elipse con eje mayor horizontal, por lo que su ecuacin cannica tendr forma: ( )22 + ( )22 = 1 Se sabe que la distancia entre ambos focos es dos veces el escalar de distancias (1,2) = 2 (4 10)2 + (2 + 2)2 = 2 (6)2 = 2 *el ser un escalar que mide distancias, solo interesa el valor positivo del resultado de la raz 6 = 2 3 = Tambin se sabe que el punto medio entre los focos es el centro de la elipse (1,2) = (,) 4 + 102 ,2 22 = (,) (7,2) = (,) 7 = ; 2 = A su vez, la distancia entre un vrtice y el centro de la elipse es el escalar de distancias (1,) = (12 7)2 + (2 + 2)2 = (5)2 = *el ser un escalar que mide distancias, solo interesa el valor positivo del resultado de la raz 5 = Finalmente, se sabe que en las elipses: 2 = 2 + 2 25 = 9 + 2 16 = 2

la elipse est dada por: ( 7)225 + ( + 2)216 = 1