pep 2 primer semestre 2014
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C.
SEGUNDA PRUEBA DE CLCULO III 10129 Ingeniera Civil Primer Semestre 2014
(20/06/2014)
Problema 1:
Obtener los valores mximos y mnimos de 2244),( yxyxf = sujetas a las restricciones .0,0,022),( =+= yxconyxyxg
Solucin:
Con )22(44),,( 22 ++= yxyxyxL El sistema para puntos crticos es:
1,2
122
242
2,
4022
02
028
====+
==
=+==+==+=
yxyx
yxL
yL
xL
y
x
y
= 1,2
11P es un punto crtico.
Asimismo, de acuerdo a las condiciones son puntos crticos: ( )0,12 =P y ( );2,03 =P (en ambas f=0)
1 punto
En
= 1,2
11P ocurre = )('28))(,(' xyyxxyxf Con )(' xy de condicin, ,2)(' =xy
01688)('48))(,(''48))(,('
-
2
Problema 2:
Evaluar +
D
yx dxdyeyx 2)( si D es la regin limitada por las rectas
;1;1;4;1 ===+=+ yxyxyxyx
Sugerencia: considerar el cambio de variables definido por las ecuaciones
vyx;uyx ==+
Solucin:
Con el cambio de variables sugerido se obtiene nuevo dominio D con
11,41 vu . De sistema:
)(21
),(21
vuyvuxvyx
uyx=+=
==+
que determina: 2
1
21
21
21
21
),(
),( ====
vu
vu
yy
xx
vu
yxJ y
2
1=J
1 punto
La integral doble sobre D se transforma en la integral doble sobre D:
==
=
=
=
=
=
4
1
111
1
4
1
31
1
2
'
2 )(3
164
2
1
32
1
2
1
2
1)(
u
u
vv
v
v
D
v eeeu
dudveududveu
=+
eedxdyeyx
D
yx 1
2
21)( 2
1 punto
-
3
Problema 3:
Resolver dyyxdxyxC
)()( 33 ++ , si C es la curva 222 ayx =+ .
Solucin:
Con parametrizacin de C: [ ]2,0);cos,()(');,cos()( ==
ttaasenttrasenttatr
+++
++=
2
0
444422
2
0
3333
)coscoscos[(
]cos)cos())(cos[(
dttatsenatsentatsenta
dttaasenttaasenttsenataI
1 punto
==
=
=+=+=
2
0
44
44
2
0
244
2
0
2222242
0
444
22
1
4
22
2
4cos1
4
22
2
222
]cos2)cos[()cos(
aadt
taadt
tsenaa
dtttsenttsenadtttsena
433
2
3)()( adyyxdxyx
C
=++
1 punto
Otra forma con Teorema de Green:
=
==+=
D D
a
PolaresCaddrrrdrdrdxdyyxI 4
'
2
0 0
3
.
222
2
333)33(
2 puntos
De otra manera:
433
02
3adyxdxyydyxdxI
Greencon
C
=+++= 44 344 21
43421
2 puntos