MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau elemen dari matriks. Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah

A = atau A =

Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu A = dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan baris dan kolom dari matriks A.

Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks berukuran m n dan dilambangkan dengan Am n atau (aij)m n, ditulis singkat A = . Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke -ij dari matriks A. Matriks A = dengan m = n dikatakan sebagai matriks persegi, elemen a11, a22, ... , ann disebut elemen diagonal utama dari A. Jumlahan elemen diagonal utama disebut trace dari A.Operasi Aljabar Matriks1. Kesamaan MatriksDua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika A dan B berukuran sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak ) adalah sama.

Jika disajikan dalam notasi matriks, A = dan B = maka A = B jika aij = bij , untuk setiap i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n.2. Penjumlahan dan pengurangan matriks. Penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih, hanya dapat dilakukan jika matriks tersebut berukuran sama, didefinisikan sebagai penjumlahan atau pengurangan elemen yang bersesuaian.

Jika dan , maka dan . Sifat : Jika A, B, dan C matriks yang berukuran sama maka berlaku:a. (Komutatif)b. (Asosiatif) 3. Pergandaan matriks dengan bilangan (skalar). Pergandaan matriks dengan skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar dengan setiap elemen matriks tersebut.

Jika dan k sebarang skalar, maka . 4. Pergandaan matriks. Pergandaan matriks A dan B, dinotasikan AB, hanya dapat dilakukan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Jika dan , maka AB = , dengan . Sifat : Jika A, B, dan C matriks sehingga operasi berikut berlaku, maka :a. Distributif kiri

Distributif kananb. Distributif kiri

Distributif kananc. AssosiatifBeberapa matriks dikatakan conformable jika ukuran matriks tersebut sedemikian rupa sehingga operasi matriks dapat dilakukan.

Beberapa matriks dengan elemen tertentu yang seringkali digunakan, disajikan sebagai berikut.1. Matriks Nol.Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol, dinotasikan 0. Contoh :

Matriks , merupakan matriks nol

Sifat : Untuk sebarang matriks A yang ukurannya bersesuaian sehingga operasi aljabar berikut dapat dilakukan, berlaku :a. A + 0 = 0 + A = A.b. A A = 0.c. 0 A = A.d. A . 0 = 0 . A = 0.2. Matriks Transpose. Transpose dari matriks A, dinotasikan dengan A1 atau At, adalah matriks yang kolom pertamanya adalah baris pertama matriks A, kolom keduanya adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya.

Jika maka Sifat : Untuk sebarang matriks A berlaku :a. (At)t = Ab. (kA)t = kAtc. (A + B)t = At + Btd. (AB)t = Bt At3. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah.Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas (upper triangular). Begitu pula matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah (lower triangular).

Jadi disebut matriks segitiga atas jika untuk i > j dan disebut matriks segitiga bawah jika untuk i < j.4. Matriks Diagonal.Matriks persegi yang semua elemen selain elemen diagonal utamanya adalah nol disebut matriks diagonal.

Jadi disebut matriks diagonal jika untuk i j .

5. Matriks SkalarMatriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah suatu skalar k 0

Jadi disebut matriks diagonal jika untuk i j dan untuk k 06. Matriks Identitas (Matriks Satuan).Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1 disebut matriks identitas, dinotasikan dengan In atau I.

Dalam bentuk notasi matriks , dituliskan dengan aij = 1, untuk i=j dan aij = 0, untuk i j . Sifat : Untuk sebarang matriks A yang berukuran nxn berlaku In A=A In =A.7. Matriks Simetris.Suatu matriks persegi A dikatakan simetris jika A = At.

Jika maka A dikatakan simetris jika , untuk setiap i,j.ij, berlaku untuk i,j=1,2,...,n.8. Matriks Skew Simetris (Simetris Miring).Matriks A dikatakan simetris miring jika At = A .

Jika maka A dikatakan simetris miring jika , untuk setiap i,j.

Operasi Baris dan Kolom ElementerTerdapat tiga jenis operasi baris elementer, yaitu :1.

Menukarkan dua baris/kolom, diberi notasi /2.

Mengalikan baris/kolom tertentu dengan konstanta tak nol, dengan notasi /3.

Menambah satu baris/kolom dengan kelipatan baris/kolom yang lain, dengan notasi/

Matriks Eselon Baris Tereduksi Matriks A (sebarang) disebut matriks eselon baris tereduksi, jika memenuhi :1. Jika ada baris yang elemennya ada yang tidak nol, maka elemen pertama yang tak nol adalah 1 dan disebut utama 1(pivot) 2. Utama 1 pada baris ada di sebelah kanan utama 1 baris sebelumnya3. Elemen di atas dan di bawah utama 1 adalah nol4. Baris yang semua unsurnya nol berada pada baris paling bawah.

Soal Latihan :1. Manakah pernyataan berikut yang benar:a. (A+B)2 = (B+A)2b. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2c. (A+B)2 =(A+B)(B+A)2. Berikan contoh matriks 2x2 dengan syarat berikut:a. A2 = -Ib. B2 = 0, tetapi B 0 c. CD = - DC , (CD 0)3. Skala baris dan skala kolom :Jika dan , hitunglah dan interpretasikan AB dan BA4. Untuk matriks A, B dan C dengan elemen-elemen bilangan real, tunjukkan bahwa : a. jika dan hanya jika A = 0b. jika dan hanya jika 5. Tunjukkan bahwa ,untuk A, B, C conformable

RANK MATRIKS dan INVERS MATRIKSA. Rank Matriks

Row(A) = span{ r1 , r2 , , rm } =

Col(A) = span{c1 , c 2 , , cn }= atauCol A := Ker(A) = { X / AX = 0 } atauKer(A):= { y} Col A := Ker A := Ker A ( komplemen orthogonal ) Ker ADefinisi : Misalkan A matriks berukuran mn. Dimensi row(A) = dimensi col(A), dinamakan rank dari matriks A, dinotasikan rk(A).Dimensi ker(A) dinamakan nullitas dari matriks A, dinotasikan null(A).

Teorema Jika A adalah matriks ukuran mn dan R adalah bentuk eselon baris tereduksi dari matriks A, maka (i). Basis dari row(A) adalah baris-baris tidak nol dari matriks R(ii). Basis dari col(A) adalah kolom-kolom A yang bersesuaian dengan kolom-kolom yang memuat 1 utama pada R

Akibat : Rank suatu matriks A adalah banyaknya baris tidak nol dari bentuk eselon baris tereduksi matriks A.Sifat-sifat Rank Matriks1. Rank(A) = rank(At)2. Jika A matriks m x n maka 0 rk(A) min(m,n)3. Rk(A) = 0 jika hanya jika A = 04. Rk(In) = n5. Jika k 0 maka rk(kA) = rk(A)6. Jika A matriks diagonal maka rk(A) adalah banyaknya elemen diagonal utama yang tidak nol7. Rk (A+B) rk(A) + rk(B)8. Rk (A-B) rk(A) - rk(B)9. Rk(AB) min(rk(A),rk(B))10. Rk(AtAB) = rk(AB) = rk(ABBt)

Contoh:

1. Jika A = a. Tunjukkan bahwa dim(col A) = dim(col A) b. Tunjukkan bahwa dim(col A) + dim(

1. Jika A = dan B = a. Carilah rank dari matriks A dan Bb. Tunjukkan bahwa rk(A) = rk(A) =rk(AA) = rk(AA)

B. Inverse Matriks

Matriks B dikatakan sebagai inverse dari matriks A jika AB = BA = I. Dalam hal ini inverse matriks A dinotasikan A-1. Matriks yang mempunyai inverse disebut matriks non singular.Inverse suatu matriks bersifat tunggalBukti : Ambil dua matriks B dan C sedemikian sehingga AB = BA = I dan AC = CA = I, maka B = B(AC) = (BA)C = C Akibatnya, jika A mempunyai inverse kiri (BA = I) dan inverse kanan (AC = I), maka B = CInvers matriks A ada jika hanya jika A merupakan matriks dengan rank penuh.

Sifat invers matriks: ( A-1 )-1 = A ( A-1 )t = (At)-1 Jika k 0 maka ( kA )-1 =(1/k) A-1 (AB )-1 = B-1 A -1

Soal Latihan : 1. Tunjukkan bahwa, jika A matriks mn, B matriks mm, dan C matriks nn dengan B dan C non singular, maka berlaku: Rk(BA) = rk(A) Rk(AC) = rk(A) Rk(BAC) = rk(A)2. Apakah rk(AB) = rk(A).rk(B) 3. Untuk suatu matriks A non singular, tunjukkan bahwaa. b.

DETERMINANDeterminan dari matriks Anxn didefinisikan sebagai :

Sifat determinan: Det(A) = det(At) Jika ada baris/kolom bernilai nol maka det(A) = 0 Jika ada dua baris/kolom bernilai sama maka det (A) = 0 Jika matriks B diperoleh dengan menukar dua baris/kolom matriks Amaka det(B) = det(A). Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan satu baris atau satu kolom matriks A dengan skalar k 0, maka det(B) = k.det(A). Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambah satu baris/kolom dengan k kali baris/kolom yang lain, maka det(B ) = det(A). Jika A, B, dan C matriks yang identik (sama) kecuali pada satu baris/kolom dan pada baris/kolom yang tidak identik ini, baris/kolom matriks C merupakan jumlahan dari baris/kolom matriks A dan matriks B, maka det(C) = det(A) det (B). Trace dari matriks persegi adalah jumlah elemen diagonal utama, diberi notasi tr(A)Sifat : tr (A + B) = tr (A) + tr (B) tr(pA) = p tr(A) tr(pA + qB) = p tr (A) + q tr (B) tr (At) = tr (A) tr (AAt) = tr (AtA) tr(AB) = tr (BA)Bukti :