pengantar sistem dinamik -...
TRANSCRIPT
PENGANTAR SISTEM DINAMIKSemester Ganjil 2019-2020
Resmawan
Jurusan MatematikaUniversitas Negeri Gorontalo
Agustus 2019
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 1 / 28
0. Tinjauan Perkuliahan
0 Tinjauan Perkuliahan
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 2 / 28
0. Tinjauan Perkuliahan 0.1 Mekanisme Perkuliahan
0.1 Mekanisme Perkuliahan
Kehadiran dalam perkuliahan minimal 80%
Kriteria Penilaian
Kriteria Penilaian BobotPartisipasi 10%Tugas 20%UTS 30%UAS 40%Total 100%
Kriteria Kelulusan
Nilai Akhir (NA) Predikat80 ≤ NA ≤ 100 A75 ≤ NA < 80 A−70 ≤ NA < 75 B+65 ≤ NA < 70 B
Nilai Akhir (NA) Predikat60 ≤ NA < 65 B−55 ≤ NA < 60 C+50 ≤ NA < 55 C45 ≤ NA < 50 D
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 4 / 28
0. Tinjauan Perkuliahan 0.1 Mekanisme Perkuliahan
0.1 Mekanisme Perkuliahan
Kehadiran dalam perkuliahan minimal 80%Kriteria Penilaian
Kriteria Penilaian BobotPartisipasi 10%Tugas 20%UTS 30%UAS 40%Total 100%
Kriteria Kelulusan
Nilai Akhir (NA) Predikat80 ≤ NA ≤ 100 A75 ≤ NA < 80 A−70 ≤ NA < 75 B+65 ≤ NA < 70 B
Nilai Akhir (NA) Predikat60 ≤ NA < 65 B−55 ≤ NA < 60 C+50 ≤ NA < 55 C45 ≤ NA < 50 D
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 4 / 28
0. Tinjauan Perkuliahan 0.1 Mekanisme Perkuliahan
0.1 Mekanisme Perkuliahan
Kehadiran dalam perkuliahan minimal 80%Kriteria Penilaian
Kriteria Penilaian BobotPartisipasi 10%Tugas 20%UTS 30%UAS 40%Total 100%
Kriteria Kelulusan
Nilai Akhir (NA) Predikat80 ≤ NA ≤ 100 A75 ≤ NA < 80 A−70 ≤ NA < 75 B+65 ≤ NA < 70 B
Nilai Akhir (NA) Predikat60 ≤ NA < 65 B−55 ≤ NA < 60 C+50 ≤ NA < 55 C45 ≤ NA < 50 D
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 4 / 28
0. Tinjauan Perkuliahan 0.2 Deskripsi Mata Kuliah
0.2 Deskripsi Mata Kuliah
Deskripsi MatakuliahMata kuliah Pengantar Sistem Dinamik berisi bahasan tentangpersamaan dan sistem diferensial autonomus, sistem dinamik, solusisetimbang serta kestabilannya. Disamping itu berisi juga bahasantentang bifurkasi dan jenisnya.
Kompetensi MatakuliahMemahami konsep-konsep yang berkaitan dengan sistem dinamik,kestabilan dan bifurkasi serta menerapkannya pada permasalahanyang terkait
Mata Kuliah Prasyarat : Persamaan Diferensial
Topik Perkuliahan1 Pengantar Sistem Dinamik2 Analisis Kestabilan3 Bilangan Reproduksi Dasar4 Bifurkasi
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 5 / 28
0. Tinjauan Perkuliahan 0.3 Referensi
0.3 Referensi
1 R. Kuhn, "Introduction to Dynamical Systems," London: Departmentof Mathematics King’s College, 2005.
2 J. Hale and H. Kocak, "Dynamics and Bifurcations," New York :Springer-Verlag. 1991.
3 W. Boyce and R. C. DiPrima, "Elementary Differential Equations andBoundary Value Problems," New York : John Wiley & Sons, Inc,1997.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 6 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik
1 Pengantar Sistem Dinamik
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 7 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.1 Pendahuluan
1.1 Pendahuluan
Masalah Sistem dinamik sudah lama dipelajari oleh para ilmuwanseperti masalah peredaran benda-benda langit (celestial mechanics),dinamik dari cairan (fluid dynamics) dan juga osilasi dari pegas masa(nonlinear oscillations).
Sistem dinamik mempelajari perubahan yang terjadi pada suatusistem atau keadaan yang memenuhi kondisi tertentu seiringberubahnya waktu, apakah sistem tersebut stabil (menuju ke keadaantertentu) ataukah tidak stabil.
Sistem Dinamik dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu Sistem DInamikKontinu dan Sistem Dinamik Diskrit.
Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 8 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.1 Pendahuluan
1.1 Pendahuluan
Masalah Sistem dinamik sudah lama dipelajari oleh para ilmuwanseperti masalah peredaran benda-benda langit (celestial mechanics),dinamik dari cairan (fluid dynamics) dan juga osilasi dari pegas masa(nonlinear oscillations).
Sistem dinamik mempelajari perubahan yang terjadi pada suatusistem atau keadaan yang memenuhi kondisi tertentu seiringberubahnya waktu, apakah sistem tersebut stabil (menuju ke keadaantertentu) ataukah tidak stabil.
Sistem Dinamik dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu Sistem DInamikKontinu dan Sistem Dinamik Diskrit.
Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 8 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.1 Pendahuluan
1.1 Pendahuluan
Masalah Sistem dinamik sudah lama dipelajari oleh para ilmuwanseperti masalah peredaran benda-benda langit (celestial mechanics),dinamik dari cairan (fluid dynamics) dan juga osilasi dari pegas masa(nonlinear oscillations).
Sistem dinamik mempelajari perubahan yang terjadi pada suatusistem atau keadaan yang memenuhi kondisi tertentu seiringberubahnya waktu, apakah sistem tersebut stabil (menuju ke keadaantertentu) ataukah tidak stabil.
Sistem Dinamik dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu Sistem DInamikKontinu dan Sistem Dinamik Diskrit.
Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 8 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.1 Pendahuluan
1.1 Pendahuluan
Masalah Sistem dinamik sudah lama dipelajari oleh para ilmuwanseperti masalah peredaran benda-benda langit (celestial mechanics),dinamik dari cairan (fluid dynamics) dan juga osilasi dari pegas masa(nonlinear oscillations).
Sistem dinamik mempelajari perubahan yang terjadi pada suatusistem atau keadaan yang memenuhi kondisi tertentu seiringberubahnya waktu, apakah sistem tersebut stabil (menuju ke keadaantertentu) ataukah tidak stabil.
Sistem Dinamik dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu Sistem DInamikKontinu dan Sistem Dinamik Diskrit.
Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .
Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 8 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.1 Pendahuluan
1.1 Pendahuluan
Masalah Sistem dinamik sudah lama dipelajari oleh para ilmuwanseperti masalah peredaran benda-benda langit (celestial mechanics),dinamik dari cairan (fluid dynamics) dan juga osilasi dari pegas masa(nonlinear oscillations).
Sistem dinamik mempelajari perubahan yang terjadi pada suatusistem atau keadaan yang memenuhi kondisi tertentu seiringberubahnya waktu, apakah sistem tersebut stabil (menuju ke keadaantertentu) ataukah tidak stabil.
Sistem Dinamik dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu Sistem DInamikKontinu dan Sistem Dinamik Diskrit.
Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 8 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear
1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear
Definition (SPD Linear)
Pandang suatu sistem persamaan diferensial (SPD) :
.x = Ax (1)
dengan x ∈ {x1, x2, ..., xn} dan A adalah matriks n× n, disebut SPDLinear dan didefinisikan
.x =
dxdt=
dx1dt...dxndt
Solusi dari sistem (1) dengan nilai awal x (0) = x0 adalahx (t) = eAtx0, eAt adalah matriks fungsi yang didefinisikan oleh DeretTaylor.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 9 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear
1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear
Example (Sistem Linear )1
.x1 = x1 + x2.x2 = 4x1 − 2x2
2
.x1 = 3x1 − 2x2.x2 = 2x2 − x1
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 10 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.3 Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear
1.3 Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear
Definition (SPD Tak Linear)
Pandang suatu sistem persamaan diferensial (SPD) :
.x = f (t, x) (2)
dengan
x =
x1 (t)...
xn (t)
dan f (t, x) =
f1 (t, x1, ..., xn)...
fn (t, x1, ..., xn)
adalah fungsi taklinear dalam x1, x2, . . . , xn.Sistem persamaan (2) disebutsistem persamaan diferensial biasa taklinear.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 11 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.4 Sistem Persamaan Diferensial Otonom
1.4 Sistem Persamaan Diferensial Otonom
Definition (SPD Otonom/Mandiri)
Pandang suatu sistem persamaan diferensial (SPD) :
.x = f (x) , x ∈ Rn (3)
dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai real dari x. Sistem persamaan(3) disebut sistem persamaan diferensial biasa otonom (mandiri) karenatidak memuat t secara eksplisit di dalamnya. SPD Otonom tidak secaraeksplisit bergantung pada variabel independen.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 12 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.5 Titik Ekuilibrium
1.5 Titik Ekuilibrium
Suatu sistem dinamik kontinu dikatakan memiliki titik ekuilibrium jikapersamaan diferensial
.x = f (x) memiliki solusi untuk f (x) = 0.
Definition (Titik Ekuilibrium)
Misal diberikan sistem persamaan diferensial mandiri
.x = f (x) , x ∈ Rn
Titik x yang memenuhi f (x) = 0 disebut Titik Ekuilibrium.
Istilah Titik Ekuilibrium dapat juga disebut Titik Kesetimbangan, TitikKritis, atau Titik Tetap. Selanjutnya akan digunakan istilah Titik Tetap.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 13 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
1.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
DefinitionDiberikan matriks koefisien konstan A berukuran n× n dan sistempersamaan diferensial biasa homogen
.x = Ax, x(0) = x0, x ∈ Rn. Suatu
vektor taknol x ∈ Rn disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalarλ berlaku:
Ax = λx (4)
Nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A.
Untuk mencari nilai λ dari A, maka sistem persamaan (4) dapat ditulis
(A− λI)x = 0 (5)
dengan I adalah matriks identitas. Sistem persamaan (5) mempunyaisolusi taknol jika dan hanya jika
det(A− λI) = 0 (6)
Persamaan (6) merupakan persamaan karakteristik matriks A.Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 14 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.7 Sifat Kestabilan
1.7 Sifat Kestabilan
Definition
Misal diberikan SPD Otonom.x = f (x) , x ∈ Rn dan x sebagai Titik
Tetap. Kestabilan titik tetap x dapat ditentukan dengan memperhatikannilai-nilai eigen, yaitu λi , i = 1, 2, . . . , n, yang diperoleh dari persamaankarakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai perilakusebagai berikut:
1 Stabil jika memenuhi,
Re (λi ) < 0, untuk setiap i .Terdapat Re
(λj)= 0, untuk sebarang j dan Re
(λj)< 0, untuk setiap
i 6= j .2 Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga Re(λi ) > 0.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 15 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.8 Pelinearan dan Matriks Jacobian
1.8 Pelinearan dan Matriks Jacobian
Misal diberikan sistem persamaan diferensial biasa taklinear
.x = f (x) , x ∈ Rn (7)
Dengan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap x, sistem persamaan (7)dapat ditulis
.x = Jx+ ϕ (x) (8)
Jx pada persamaan (8) disebut Pelinearan sistem (7) dan J disebutMatriks Jacobian yang didefinisikan
J =∂f (x)
∂x=
∂f1∂x1
· · · ∂f1∂xn
.... . .
...∂fn∂x1
· · · ∂fn∂xn
dengan ϕ (x) suku berorde tinggi yang memenuhi lim
x→0ϕ (x) = 0.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 16 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
Misal diberikan Sistem Persamaan Diferensial.x = f (x , y) (9).y = f (x , y)
Misal terdapat sebarang titik sedemikian sehingga memenuhi
f (x0, y0) = 0
f (x0, y0) = 0
maka titik (x0, y0) disebut Titik tetap dari sistem (9) .Ketika solusi sistem (9) diperoleh, misalkan
x = h1 (t)
y = h2 (t)
Maka titik (x , y) dapat diplot pada bidang (x , y) yang disebutBidang Fase.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 17 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
Misal diberikan Sistem Persamaan Diferensial.x = f (x , y) (9).y = f (x , y)
Misal terdapat sebarang titik sedemikian sehingga memenuhi
f (x0, y0) = 0
f (x0, y0) = 0
maka titik (x0, y0) disebut Titik tetap dari sistem (9) .
Ketika solusi sistem (9) diperoleh, misalkan
x = h1 (t)
y = h2 (t)
Maka titik (x , y) dapat diplot pada bidang (x , y) yang disebutBidang Fase.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 17 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
Misal diberikan Sistem Persamaan Diferensial.x = f (x , y) (9).y = f (x , y)
Misal terdapat sebarang titik sedemikian sehingga memenuhi
f (x0, y0) = 0
f (x0, y0) = 0
maka titik (x0, y0) disebut Titik tetap dari sistem (9) .Ketika solusi sistem (9) diperoleh, misalkan
x = h1 (t)
y = h2 (t)
Maka titik (x , y) dapat diplot pada bidang (x , y) yang disebutBidang Fase.Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 17 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
Example
Misal diberikan Sistem Persamaan Diferensial
.x = x + y.y = 4x − 2y
1 Tentukan Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Solusi Umum.2 Gambarkan Diagram Fase dengan menggunakan bantuan Nilai Awalmasing-masing, (x0, y0) = (1, 1) , (1,−4) , dan (1,−2)
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 18 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
Solution1 Diperoleh Nilai Eigen∣∣∣∣ 1− λ 1
4 −2− λ
∣∣∣∣ = 0⇔ λ1 = −3 dan λ2 = 2
Vektor Eigen untuk λ1 = −3[1− λ 14 −2− λ
] [u1u2
]=
[00
]⇔[4 14 1
] [u1u2
]=
[00
]Misal u1 = 1, maka u2 = −4, sehingga diperoleh vektor eigen
u = k1
[1−4
]
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 19 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
Solution1 Dengan cara sama, Vektor Eigen untuk λ2 = 2[
1− λ 14 −2− λ
] [v1v2
]=
[00
]⇔[−1 14 −4
] [v1v2
]=
[00
]Misal v1 = 1, maka v2 = 1, sehingga diperoleh vektor eigen
v = k2
[11
]Dengan demikian, diperoleh Solusi Umum PD, yaitu[
x (t)y (t)
]= C1e−3t + C2e2t
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 20 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
1.9 Bidang Fase atau Medan Arah
Solution2. Buatlah diagram Fase dengan memanfaatkan nilai awal yang
tercantum pada soal.
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 21 / 28
1. Pengantar Sistem Dinamik 1.10 Latihan 1
1.10 Latihan 1
ProblemTentukan nilai eigen, vektor eigen dan solusi umum dari persamaandiferensial berikut. Gambarlah bidang Fase dengan menggunakan sebarangNilai Awal.
1
.x = 3x − 2y.y = 2y − x
2
.x =
[0 12 1
]x
Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 22 / 28