penerapan unsur sejarah matematik dalam … filepenerapan unsur sejarah matematik dalam penyelesaian...

PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRATIK, PUNCA KUASA DUA DAN PUNCA KUASA

TIGA

NATASHA BINTI DOLZAKIPI

Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat

penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik)

Fakulti Pendidikan

Universiti Teknologi Malaysia

APRIL 2008

iii

Dedikasi

Teristimewa buat abah dan ibu tersayang, Dolzakipi Selamat & Sarifah Faridah Syed Omar Ucapan terima kasih yang tidak terhingga kerana telah banyak memberi dorongan dan motivasi kepada diri ini… Sejak kaki ini mula menjejak ke alam persekolahan sehinggalah sekarang... Sudi berkongsi susah senang walau apa jua terjadi... Buat semua adik-beradik yang sentiasa di hati, Nadia, Nadzarul, Nadzrein, Nadira, Nadzuan, Naella & Nadjuwa, Terima kasih di atas segala-galanya... Buat yang dikasihi, Muhammad Asyraf, Jacinta Emily, Siti Hajar dan rakan seperjuangan, pengorbanan kalian terlalu besar sepanjang penulisan dan ketika menjalani kehidupanku di UTM ini... Dan kepada mereka yang terlibat secara langsung atau tidak langsung.... Terima kasih, semoga jasa anda diberkati Allah S.W.T...

iv

PENGHARGAAN

Segala puji-pujian bagi Allah S.W.T kerana dengan limpah kurnia, taufiq dan

hidayahNYA, penulisan ini dapat disempurnakan juga akhirnya.

Setinggi-tinggi penghargaan yang tidak terhingga khas ditujukan kepada Prof.

Dr. Ismail Kailani selaku penyelia bagi projek ini di atas segala susah payah

menunjuk ajar, menasihat, menyemak, meyumbang idea serta bimbingan yang

diberikan sepanjang tempoh projek ini dijalankan sehingga berjaya disiapkan.

Dikesempatan ini juga, penulis ingin merakamkan ucapan penghargaan yang

tidak terhingga kepada semua yang terlibat sama ada secara langsung atau tidak

dalam menyiapkan kajian ini termasuk yang telah memberi dorongan dan sokongan

kepada penulis serta memberi kekuatan dan ilham dalam menyiapkan Projek Sarjana

Muda ini dengan jayanya.

Dengan kerjasama semua, maka projek ini dapat berjalan dengan lancar dan

dapat disiapkan dengan sempurna. Semoga Allah S.W.T membalas jasa baik

kalian…

v

ABSTRAK

Antara objektif matematik Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah

(KBSM) ialah menghargai kepentingan dan keindahan matematik. Dalam usaha

mencapai matlamat tersebut, Kementerian Pendidikan Malaysia telah menyarankan

agar unsur sejarah diterapkan kepada para pelajar menerusi proses pengajaran dan

pembelajaran. Kajian ini dibuat sejajar dengan matlamat tersebut iaitu untuk

menerapkan unsur sejarah dalam pembelajaran matematik. Perbincangan difokuskan

kepada penerapan unsur-unsur sejarah ke dalam subtopik punca kuasa dua dan punca

kuasa tiga bagi matematik menengah rendah dan subtopik persamaan kuadratik bagi

matematik menengah atas di samping cadangan aktiviti-aktiviti yang boleh

digunakan guru dalam proses pengajaran di bilik darjah. Selain itu, perbincangan

turut tertumpu kepada kaedah-kaedah sejarah yang digunakan oleh tokoh-tokoh

matematik yang merangkumi pelbagai tamadun dalam menyelesaikan persamaan

kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga. Penyelidikan yang dijalankan

adalah penyelidikan pensejarahan di mana maklumat berkaitan sejarah penyelesaian

persamaan kuadratik dan punca kuasa dua serta punca kuasa tiga akan dikenalpasti

dan dikaji sebelum ia dijadikan cadangan sebagai kaedah alternatif dalam proses

pengajaran dan pembelajaran matematik. Ada di antara kaedah-kaedah tersebut boleh

dijadikan kaedah alternatif di bilik darjah di samping kaedah-kaedah sedia ada yang

digunakan hari ini. Walau bagaimanapun, terdapat juga beberapa kaedah yang tidak

sesuai untuk diterapkan kepada pelajar di peringkat menengah ini. Namun kaedah

tersebut boleh dikemukakan sebagai sebahagian daripada hasil sumbangan tokoh

matematik dalam bidang algebra ini.

vi

ABSTRACT

One of the mathematics Integrated Curriculum for Secondary Schools

objective is to appreciate the importance and the beauty of mathematics. In order to

achieve this aim, the Malaysian Ministry of Education has suggested so that the

historical elements should be instilled to students through teaching and learning

process. The research is done to expose the historical elements in mathematics

learning. The discussion is focus on instilling the historical elements in the subtopics

of square roots and cube roots for lower secondary and quadratics equation for upper

secondary besides the suggestion activities which can be used by teacher in teaching

process. Besides that, the discussion is contemplate on historical methods that

established by the mathematician who came from diverse civilizations in solving

quadratic equation, square roots and cube roots. The research done is known as a

historical research where the information related to the history of solution of

quadratic equation, square roots and cube roots will identified and studied before

they are considered as alternative methods in teaching and learning process. There

are several methods that can be considered as alternative methods besides the

methods used today. However, there are some methods that are not suitable to instill

to students at this secondary level. But these methods can be express as a part of

mathematicians’ contribution in the algebra field.

vii

ISI KANDUNGAN

BAB TAJUK MUKA SURAT

PENGESAHAN STATUS TESIS -

PENGESAHAN PENYELIA -

HALAMAN TAJUK i

PERAKUAN ii

DEDIKASI iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

ISI KANDUNGAN vii

SENARAI JADUAL xii

SENARAI RAJAH xiii

1 PENDAHULUAN 1

1.1 Pengenalan 1

1.2 Latar Belakang Masalah 2

1.3 Pernyataan Masalah 4

1.4 Objektif Kajian 5

1.5 Persoalan Kajian 6

1.6 Kepentingan Kajian 6

1.7 Skop Dan Batasan Kajian 7

1.8 Definisi Istilah 8

1.9 Penutup 9

viii

2 SOROTAN PENULISAN 10

2.1 Pengenalan 10

2.2 Senario Pengajaran Dan Pembelajaran Matematik 11

2.3 Penerapan Unsur-unsur Sejarah dalam Pengajaran Dan

Pembelajaran Matematik Sebagai Alternatif Di Bilik

Darjah 14

2.4 Minat Dan Motivasi terhadap Matematik 18

2.5 Penutup 20

3 METODOLOGI KAJIAN 22

3.1 Pengenalan 22

3.2 Reka Bentuk Kajian 22

3.3 Pengumpulan Data 24

3.4 Analisis Data 25

3.5 Penutup 25

4 DAPATAN KAJIAN 27

4.1 Pengenalan 27

4.2 Kaedah-Kaedah Sejarah Bagi Menyelesaikan Persamaan

Kuadratik 27

4.2.1 Sumbangan Tokoh Matematik Greek 28

4.2.1.1 Kaedah geometri Euklid 28

4.2.2 Sumbangan Tokoh Matematik Arab 30

4.2.2.1 Kaedah Geomaetri al-Khwarizmi 32

4.2.2.2 Kaedah Geomaetri Abu Kamil 34

4.2.3 Sumbangan Tokoh Matematik Eropah 38

4.2.3.1 Kaedah Viéta 38

4.2.3.2 Kaedah Descartes 40

4.2.4 Kaedah Lelaran Titik Tetap (KLTT) 43

4.2.5 Kaedah Newton Raphson 44

4.3 Kaedah-Kaedah Sejarah Bagi Menyelesaikan Punca

Kuasa Dua 46

4.3.1 Sumbangan Tokoh Matematik Arab 47

4.3.1.1 Kaedah Ibnu al-Banna (Punca Kuasa

ix

Dua Nombor Terbuka, Al-Maftuh) 47

4.3.1.2 Kaedah Pengiraan Penghampiran

Kusyar (punca Kuasa Dua Nombor

Bisu, Al-Asamm) 49

4.3.2 Sumbangan Tokoh Matematik China 52

4.3.2.1 Kaedah Geometri Lui Hui 52


4.3.3.1 Kaedah Lelaran Heron 53

4.3.4 Sumbangan Tokoh Matematik Hindu 54

4.3.4.1 Kaedah Aryabhata 54

4.4 Kaedah-Kaedah Sejarah Bagi Menyelesaikan Punca

Kuasa Tiga 58


4.4.1.1 Kaedah Lelaran Heron 59

4.4.2 Sumbangan Tokoh Matematik Hindu 60

4.4.2.1 Kaedah Aryabhata 60

4.5 Penutup 64

5 CONTOH-CONTOH AKTIVITI PENGAJARAN

YANG MENERAPKAN UNSUR SEJARAH

MATEMATIK DAN PERBANDINGAN ANTARA

KAEDAH SEJARAH DENGAN KAEDAH

MODEN 65

5.1 Pengenalan 65

5.2 Contoh Aktiviti Bagi Subtopik Persamaan Kuadratik 65

5.3 Contoh Aktiviti Bagi Subtopik Punca Kuasa Dua 73

5.4 Contoh Aktiviti Bagi Subtopik Punca Kuasa Tiga 76

5.5 Kaedah Moden Yang Digunakan Dalam

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik 82

5.5.1 Kaedah Pemerinyuan Atau Cuba-Cuba 83

5.5.2 Kaedah Pemfaktoran 84

5.5.3 Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua 85

5.5.4 Penggunaan Rumus 85

5.5.5 Kaedah Graf 87

x

5.6 Perbandingan Kaedah Sejarah Dengan Kaedah

Moden Dalam Mencari Nilai Punca Persamaan

Kuadratik 88


Menentukan Nilai Punca Kuasa Dua 90

5.7.1 Kaedah Penganggaran 91

5.7.2 Melalui Penggunaan Kalkulator 92


Moden Dalam Mencari Nilai Punca Kuasa

Dua Suatu Nombor 92


Menentukan Nilai Punca Kuasa Tiga 94

5.9.1 Kaedah Penganggaran 94

5.9.2 Melalui Penggunaan Kalkulator 95


Moden Dalam Penentuan Nilai Punca Kuasa

Tiga Suatu Nombor 95

5.11 Penutup 96

6 KESIMPULAN DAN CADANGAN 97

6.1 Pengenalan 97

6.2 Kesimpulan 98

6.2.1 Kesimpulan Mengikut Persoalan Kajian 98

6.2.1.1 Persoalan 1 (Apakah bahan- bahan

sejarah matematik yang digunakan

bagi menyelesaikan persamaan

kuadratik, punca kuasa dua dan

punca kuasa tiga?) 98

6.2.1.2 Persoalan 2 (Bagaimanakah bahan-

bahan sejarah yang berkaitan dengan

penyelesaian persaman kuadratik,

punca kuasa dua dan punca kuasa

tiga ini diterapkan di dalam aktiviti

pengajaran dan pembelajaran

xi

matematik di sekolah?) 99

6.2.1.3 Persoalan 3 (Apakah perbandingan

yang terdapat antara kaedah

penyelesaian persamaan kuadratik,

punca kuasa dua dan punca kuasa

tiga yang dikemukakan oleh

tokoh- tokoh matematik zaman

dahulu dengan kaedah moden yang

pada digunakan masa kini?) 100

6.2.2 Kesimpulan Mengikut Dapatan Kajian 100

6.2.2.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik 100

6.2.2.2 Penyelesaian Punca Kuasa Dua 101

6.2.2.3 Penyelesaian Punca Kuasa Tiga 102

6.3 Cadangan Hasil Kajian 102

6.4 Cadangan Kajian Lanjutan 104

6.5 Penutup 105

RUJUKAN 106-107

\

xii

SENARAI JADUAL

NO. JADUAL TAJUK MUKA SURAT

4.1 Lelaran KLTT 44

4.2 Lelaran Bagi Kaedah Newton-Raphson 46

xiii

SENARAI RAJAH

NO. RAJAH TAJUK MUKA SURAT

4.1 Penyelesaian persamaan kuadratik berbentuk

x(a – x) = b2 29


x(a + x) = b2 30

4.3 Gabungan sebuah segiempat sama, x2 dan

empat buah segiempat, tepat, 2x 32

4.4 Gabungan segiempat sama, x2 dan dua buah

segiempat tepat, 4x 33

4.5 Lemma Euklid yang dinyatakan oleh Abu Kamil 35

4.6 Penerangan proposition II, 5 oleh Euklid 35

4.7 Penerangan proposition II, 6 oleh Euklid 36

4.8 Gabungan segiempat sama dan segiempat tepat 37

4.9 Aplikasi proposition II, 6 oleh Euklid 37


x2 – ax – b2 = 0 41


x2 + ax – b2 = 0 42


x2 - ax + b2 = 0 42

4.13 Kedudukan anggaran punca, x0 dari punca sebenar,p 45

4.14 ’Pembelahan’ (dissection) segiempat sama 52

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Pengenalan

Matematik merupakan bidang yang tinggi perkembangannya dan boleh

diaplikasikan kepada bidang-bidang lain dalam kehidupan seharian. Pelajaran

matematik merupakan pembelajaran yang menguji kecerdasan seseorang itu berfikir

untuk menyelesaikan masalah dengan kepintaran yang dibantu oleh daya ingatan

terhadap konsep, fakta dan kemahiran mengira dan menyelesaikan masalah dengan

kepintaran yang didorong oleh daya ingatan terhadap konsep tertentu fakta dan

tatacara dalam ilmu matematik. Keperluan dan kepentingan matematik zaman ini

jauh berbeza jika dibandingkan dengan zaman dahulu. Sekarang matematik bukan

hanya memberi pengetahuan asas mengira sahaja tetapi lebih kepada membekalkan

ilmu pengetahuan matematik bagi mengembangkan kemahiran dalam penyelesaian

masalah, pemikiran sistematik, komunikasi dan nilai murni kepada pelajar.

Dewasa ini pelbagai perubahan yang berlaku dalam sistem pendidikan negara

turut mempengaruhi kandungan dan pedagogi dalam pendidikan matematik di

sekolah menengah. Para guru perlu bijak dan kreatif dalam mempelbagaikan cara

pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah. Menurut Nik Azis (1996) dalam

Tengku Zawawi, guru matematik perlu memaparkan sifat-sifat yang matang,

berfikiran terbuka, kreatif, inovatif, konstruktif rasional dan bijaksana dalam

2

mengatur strategi pengajaran dan pembelajaran.. Salah satu pendekatan yang relevan

digunakan ialah penerapan unsur-unsur sejarah dalam pendidikan matematik.

Pendekatan ini mungkin jarang diaplikasikan oleh para guru kerana ia memerlukan

banyak sumber maklumat tambahan selain buku teks dan buku rujukan untuk

dijadikan bahan pengajaran di dalam kelas serta perlu bijak merangka aktiviti-aktiviti

yang bersesuaian dengan masa yang agak terhad. Namun, pendekatan ini mampu

mengubah suasana pengajaran dan pembelajaran yang sebelum ini hanya bergantung

kepada buku teks semata-mata.

Penggunaan sumber bersesuaian adalah penting dalam membantu pelajar

membentuk konsep-konsep matematik. Penerapan unsur-unsur sejarah dalam

matematik perlu diberikan penekanan dalam usaha melahirkan pelajar yang

menghargai dan menghayati keindahan matematik. Unsur sejarah seperti riwayat

hidup dan peristiwa tertentu mengenai tokoh-tokoh matematik dan sejarah ringkas

mengenai sesuatu konsep dan idea matematik dapat merangsang minat pelajar

terhadap sesuatu topik matematik. Dengan ini proses pengajaran dan pembelajaran

akan menjadi lebih bermakna kerana pendekatan ini mampu meningkatkan semangat

ingin tahu pelajar. Melalui aktiviti penerapan unsur-unsur sejarah dalam matematik

yang dilaksanakan oleh guru di dalam atau di luar bilik darjah, pelajar akan lebih

menghargai matematik merasai keindahannya di samping mendapat input baru yang

tidak terdapat dalam buku teks. Proses pengajaran dan pembelajaran tidak akan

bosan malah menjadi lebih bermakna.

1.2 Latar Belakang Masalah

Matematik merupakan jentera kepada pembangunan dan perkembangan

dalam bidang sains dan teknologi. Oleh itu penguasaan ilmu matematik perlu

dipertingkatkan dari semasa ke semasa bagi menyediakan tenaga kerja yang sesuai

dengan perkembangan dan keperluan membentuk negara maju. Kurikulum

matematik yang digunakan hari ini adalah platform bagi menyediakan pengetahuan

3

dan kemahiran matematik kepada para pelajar yang mempunyai pelbagai latar

belakang dan keupayaan di samping menyediakan pendidikan yang relevan, terkini,

dan unggul bagi melahirkan generasi yang cemerlang gemilang dan terbilang.

Kekerapan menggunakan buku teks, papan tulis dan kertas kerja semata-mata

akan menyebabkan para pelajar menjadi hilang minat terhadap subjek matematik

terutamanya bagi kalangan pelajar yang sememangnya lemah dalam subjek ini.

Mereka tidak akan memberikan konsentrasi dalam proses pengajaran dan

pembelajaran di dalam kelas. Keadaan ini akan menyukarkan tugas para guru bagi

membantu pelajar dalam membina konsep dan menguasai kemahiran secara

menyeluruh terutamanya dari aspek penyelesaian masalah, penaakulan, komunikasi

dalam matematik dan membuat perkaitan (Sharifah Maimunah Syed Zin, 2001).

Pada masa kini kebanyakkan guru mengajar dengan tujuan untuk

menghabiskan sukatan pelajaran sebelum waktu peperiksaan sama ada bagi

peperiksaan selaras di peringkat sekolah, daerah atau negeri mahupun peperiksaan

awam seperti PMR, SPM atau STPM tanpa mengambil kira aras kefahaman pelajar

terhadap topik yang diajar. Guru hanya bertindak sebagai penyampai maklumat atau

penunjuk cara manakala pelajar berperanan sebagai penerima yang pasif atau

pemerhati. Penyertaan pelajar dalam proses pengajaran dan pembelajaran biasanya

terhad kepada memberikan respon kepada arahan atau soalan guru sahaja. Menurut

Raja Sulaiman (1996) dalam Tengku Zawawi, guru yang tidak tahu mempelbagaikan

kaedah pengajaran matematik akan menyebabkan para pelajar berasa jemu, bosan

dan benci kepada matematik dan seterusnya kepada guru matematik itu sendiri.

Antara objektif kurikulum matematik diwujudkan ialah untuk menghargai

kepentingan dan keindahan matematik. Bagi memastikan objektif tersebut mampu

dicapai, salah satu usaha yang boleh dipertimbangkan adalah dengan menerapkan

unsur-unsur sejarah matematik dalam proses pengajaran dan pembelajaran.

Penerapan unsur-unsur sejarah matematik perlu diberikan penekanan sewajarnya

dalam usaha untuk mewujudkan pelajar yang menghargai dan menghayati keindahan

matematik. Unsur sejarah seperti riwayat hidup dan peristiwa tertentu tentang tokoh-

tokoh matematik atau sejarah ringkas tentang sesuatu konsep dan idea boleh

diterapkan bersama aktiviti bersesuaian yang dirangka guru dalam proses pengajaran

4

dan pembelajaran. Hal ini akan merangsang lagi minat pelajar terhadap sesuatu topik

matematik sekaligus dapat meningkatkan naluri ingin tahu mereka terhadap sejarah

matematik.

1.3 Pernyataan Masalah

Kurikulum matematik sekolah menengah dirangka bertujuan untuk

membentuk individu yang berpemikiran matematik dan mampu mengaplikasikan

pengetahuan dan kemahiran dalam menyelesaikan masalah matematik serta dapat

menghargai kepentingan dan keindahan matematik (Pusat Perkembangan Kurikulum,

2001). Pencapaian yang diperoleh pelajar dalam subjek ini amat bergantung kepada

kaedah pengajaran yang dipraktikkan guru di dalam bilik darjah. Guru perlu

mempelbagaikan pendekatan pengajaran di dalam bilik darjah bagi mengelakkan

pelajar merasa bosan terutamanya bagi mereka yang sememangnya lemah dalam

subjek ini serta kurang keyakinan diri dalam menyelesaikan masalah matematik.

Menurut Davis (1986), matematik melibatkan penggunaan simbol-simbol dan

pengajaran di bilik darjah tertumpu kepada aktiviti memanipulasikan simbol-simbol

tersebut berdasarkan petua dan hukum-hukum yang telah dihafal. Selain itu,

penguasaan kemahiran mengira adalah penting kerana hasil pembelajaran lebih

diutamakan berbanding dengan proses pembelajaran.

Hal ini akan mengakibatkan pelajar lebih membenci serta sukar untuk

memberi tumpuan terhadap matematik kerana tidak semua pelajar mampu menguasai

kemahiran mengira atau mahir dengan penggunaan simbol-simbol matematik. Oleh

itu, pendekatan pengajaran dengan menerapkan unsur-unsur sejarah dalam

pendidikan matematik wajar dijadikan alternatif sebagai satu usaha berterusan bagi

menarik minat pelajar supaya lebih mengenali matematik dari akar umbi. Pendekatan

ini mampu merangsang semangat ingin tahu pelajar serta mendorong proses

pengajaran dan pembelajaran menjadi lebih bermakna. Dengan ini pelajar akan lebih

5

menghargai matematik serta merasai keindahannya kerana segala konsep matematik

merupakan hasil usaha tokoh matematik sejak beribu tahun dahulu.

Oleh itu, satu kajian tentang penerapan unsur-unsur sejarah dalam pendidikan

matematik akan dijalankan dalam pengajaran matematik sekolah menengah. Kajian

bertujuan untuk memperkayakan lagi pendekatan pengajaran di bilik darjah di

samping pendekatan pengajaran yang kerap dipraktikkan seperti penggunaan papan

hitam dan penggunaan buku teks dalam menerangkan isi pelajaran, pengajaran dan

pembelajaran secara konstruktivisme dan pengajaran dan pembelajaran secara

inkuiri-penemuan. Di samping itu, pengkaji berharap agar pendekatan alternatif ini

mampu mambantu guru dalam merangka aktiviti yang lebih membina serta mampu

menarik perhatian pelajar sekaligus meningkatkan kefahaman dan pencapaian pelajar

dalam subjek matematik ini. Selain itu, penerapan unsur-unsur sejarah ini bertujuan

mendedahkan pelajar secara lebih dekat dengan tokoh-tokoh matematik serta asal

usul sesuatu topik matematik agar pelajar lebih mengenali dan menghargai

matematik disamping menghayati keindahannya.

1.4 Objektif Kajian

(i) Meninjau bahan-bahan sejarah matematik yang digunakan bagi

menyelesaikan persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca

kuasa tiga.

(ii) Menerapkan bahan-bahan sejarah matematik yang digunakan bagi


kuasa tiga ke dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran matematik

di bilik darjah.

(iii) Membuat perbandingan antara kaedah sejarah yang digunakan

dalam mencari penyelesaian persamaan kuadratik, punca kuasa dua

dan punca kuasa tiga yang dikemukakan oleh tokoh-tokoh

6

matematik dengan kaedah moden yang digunakan pada pada hari

ini.

1.5 Persoalan Kajian

(i) Apakah bahan-bahan sejarah matematik yang digunakan bagi


kuasa tiga?

(ii) Bagaimanakah bahan-bahan sejarah yang berkaitan dengan

penyelesaian persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa

tiga diterapkan di dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran

matematik di sekolah?

(iii) Apakah perbandingan yang terdapat antara kaedah penyelesaian

persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga yang

dikemukakan oleh tokoh-tokoh matematik dengan kaedah moden

yang digunakan pada hari ini?

penerapan unsur sejarah matematik dalam … filepenerapan unsur sejarah matematik dalam penyelesaian...

Documents