pemodelan permainan monopoli menggunakan...
TRANSCRIPT
PEMODELAN PERMAINAN MONOPOLI
MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV
Bilqis El Jilnar
104094003021
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2011 M/1432 H
i
PEMODELAN PERMAINAN MONOPOLI
MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh
Gelar Sarjana Sains
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Oleh :
Bilqis El Jilnar
104094003021
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2011 M/1432 H
ii
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi berjudul “Pemodelan Permainan Monopoli Menggunakan Rantai
Markov “ yang ditulis oleh Bilqis El Jilnar, NIM 104094003021 telah di uji dan
dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 13 Juni 2011. Skripsi
ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana strata
satu (S1) Program Matematika.
Menyetujui
Penguji 1 Penguji 2
Taufik Edy Sutanto, M. ScTech
NIP. 19790530 200604 1 002
Yanne Irene, M. Si
NIP. 19741231 200501 2 018
Pembimbing 1 Pembimbing 2
Hermawan Setiawan, M.Ti
NIP. 19740623 199312 2 001
Nur Inayah, M. Si
NIP.19740125 200312 2 001
Mengetahui
Dekan Fakultas Sains Dan Teknologi Ketua Program Studi Matematika
Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M. Si
NIP. 19680117 200112 1 001
Yanne Irene, M. Si
NIP. 19741231 200501 2 018
iii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-
BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN
SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA
MANAPUN.
Jakarta, Juni 2011
Bilqis El Jilnar
104094003021
iv
PERSEMBAHAN DAN MOTTO
Skripsi ini ku hadiahkan untuk Papa dan Mama tercinta. Orang tua terhebat di dunia.
Terima kasih atas segalanya. Maaf...belum bisa memberikan yang terbaik. Bersabarlah...semua pasti akan kembali membaik.
Dan aku selalu bangga terlahir sebagai putri kalian... I love you
Kesulitan tidaklah bermaksud menggagalkan langkahmu. Dia hanya sekedar bertanya sebesar
apa hasratmu tuk meraih cita, sekuat apa tekadmu untuk meraih impian, jika jawabanmu
memuaskannya maka dengan senang hati dia akan memperkenalkanmu pada ”sahabat
sejati”nya yaitu kemudahan.
” Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan ”
(QS. Al- Insyirah: 5)
v
ABSTRAK
Permainan monopoli termasuk dalam proses stokastik. Salah satu bentuk
khusus dari proses stokastik adalah rantai Markov, sehingga rantai Markov
digunakan untuk menggambarkan probabilitas perpindahan bidak pada permainan
Monopoli dalam bentuk matriks transisi probabilitas. Untuk menggambarkan
Long Run Behaviour dari rantai Markov permainan Monopoli harus dibuktikan
bahwa matriks transisi probabilitasnya regular, sehingga diperoleh probabilitas
steady state yang menggambarkan tentang probabilitas perpindahan bidak, dimana
setelah beberapa periode akan mencapai suatu keadaan seimbang yang tidak
berubah–ubah lagi. Sebuah state yang memiliki nilai probabilitas yang tinggi
pada saat steady mengindikasikan bahwa petak tersebut mempunyai kemungkinan
yang besar untuk terus disinggahi oleh pemain lain. Dari pemodelan dan
perhitungan yang dilakukan didapatlah empat petak pertama yang memiliki nilai
ekspektasi tertinggi yaitu petak Jalan Gatot Subroto, Jalan Thamrin, Bandara
Surabaya dan Bandara Denpasar. Pemodelan yang dilakukan ini banyak
mengenyampingkan faktor-faktor lain. Jadi disarankan untuk dilakukan penelitian
lanjutan untuk menggambarkan permainan secara keseluruhan.
Kata Kunci : Permainan Monopoli, Rantai Markov, dan Nilai Ekspektasi.
vi
ABSTRACT
The game of monopoly is included in stochastic process. One special
form of stochastic process is a Markov chain, so that the Markov chain can be
used to describe the probability of token’s movement in the form of transition
probability matrix. To illustrate the long run behavior of markov chain of
Monopoly it must be proven that the transition probability matrix is regular, so
that will be obtained the steady state probability of the token’s movement from
one square to another, where after a few periods will reach a steady state that does
not change anymore. A state that has a high probability value at steady condition
indicates that the square has a great chance to be visited by other players
continuously. From modeling and calculations carried out, we get the first four
square that have the highest expected value. The squares are Gatot Subroto street,
Thamrin street, Surabaya airport and Denpasar airport. This modeling done with
many other factors aside. So it is advisable to do further research to describe the
whole game.
Keywords: The game of Monopoly, Markov Chain and Expected value.
.
vii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya
skripsi ini dapat terselesaikan. Salawat dan salam selalu tercurah kepada
junjungan Nabi Muhammad SAW yang menjadi rahmat bagi semesta alam.
Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah memberikan
bantuan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis mengucapkan terima
kasih untuk bantuannya yang disampaikan kepada :
1. Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Si, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
2. Yanne Irene, M.Si, Ketua Program Studi Matematika, Summa’ina, M. Si,
Sekretaris Program Studi Matematika yang senantiasa memberikan
bimbingan dengan penuh kesabaran, nasihat, bantuan, dan semangat
kepada penulis.
3. Hermawan Setiawan, M.Ti, Dosen Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan dengan penuh kesabaran.
4. Nur Inayah, M.Si, Dosen Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan dan support dengan penuh kesabaran dalam penyusunan skripsi
penulis.
5. Seluruh dosen Program Studi Matematika yang telah mengajarkan ilmu-
ilmu yang bermanfaat bagi penulis.
6. Semua staf Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dalam
administrasi skripsi ini.
viii
7. Papa dan Mama, yang tak henti-hentinya memberikan do’a, semangat,
perhatian, kasih sayang untuk keberhasilan penulis. Abang wawan, Nia,
Igam, Nova, Ayen dan dede Davi keponakan tersayang yang telah
memberikan dukungan dan inspirasi kepada penulis.
8. Irfan Abubakar beserta keluarga yang telah menemani perjalanan hidup
penulis selama di Jakarta, yang turut memberikan do’a, bantuan, dan
perhatiannya.
9. Kakakku, Dennis Sugianto yang telah mendampingi dan memberikan
banyak bantuan, doa, serta perhatiannya kepada penulis.
10. Sahabat-sahabatku Suci, Nurul, Neneng, Vivi, Lina, Siro, Vay, dan teman-
teman 2004, Saudara-saudaraku dikosan Maryam, Mpit, Wilda, Nonik,
Tiara, Miftarini dan Sensi, terima kasih atas doa, support, dan
pengertiannya.
11. Soulmateku Citra annisa, Retno Rondiyahwati dan Lina rahmawati yang
banyak memberi support, kasih sayang dan pundaknya untuk mendengar
semua keluh kesah penulis.
12. Mahmudi S, Si, Teman diskusi terbaik.
13. Teman-teman seperjuangan Focus Management dan LDK UIN Syarif
Hidayatullah atas ilmu, pengalaman, dan ukhuwahnya. Jangan berhenti
berkarya, SEMANGAT !
Jakarta, Juni 2011
Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i
PENGESAHAN UJIAN ........................................................................................ ii
PERNYATAAN .................................................................................................... iii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO ........................................................................ iv
ABSTRAK ............................................................................................................. v
ABSTRACT .......................................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii
DAFTAR ISI ......................................................................................................... ix
DAFTAR TABEL ................................................................................................. xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ......................................................................... 1
1.2 Permasalahan............................................................................ 2
1.3 Pembatasan masalah................................................................. 2
1.4 Tujuan Penelitian ..................................................................... 3
1.5 Manfaat Penelitian ................................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI
2. 1 Teori Probabilitas ..................................................................... 4
2. 1. 1 Probabilitas ................................................................... 4
2. 1. 2 Probabilitas beberapa peristiwa.................................... 6
2. 1. 3 Probabilitas bersyarat.………………………………… 10
2. 2 Sistem Persamaan Linear …………………………………… 11
x
2. 3 Matrik ....................................................................................... 12
2. 4 Variabel Acak………………………………………………… 14
2. 5 Aritmatika Modulo …………………………………………… 15
2. 6 Proses Stokastik ....................................................................... 15
2. 7 Rantai Markov ......................................................................... 16
2. 7. 1 Matriks transisi probabilitas dari rantai Markov……… 17
2. 7.2 Matriks transisi probabilitas Regular …………………. 18
BAB III PERMAINAN MONOPOLI
3. 1 Permainan monopoli ................................................................ 20
3. 2 Matriks Transisi Probabilitas ................................................... 26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4. 1 Analisa semua kemungkinan kedua mata dadu ....................... 34
4. 2 Analisa matriks transisi probabilitas ........................................ 39
4. 3 Analisa nilai harapan………………………………………..... 47
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5. 1 Kesimpulan…………………………………………………… 51
5. 2 Saran……………………………………………………………51
REFERENSI…………………………………………………………………… 52
xi
DAFTAR TABEL
Tabel 3. 1 Nama petak – petak dan harga sewa tanah pada papan
Monopoli……………………………………………………… 27
Tabel 3. 2 Matriks Transisi Probabilitas ……………………………………28
Tabel 3. 3 Sebaran probabilitas berdasarkan jumlah angka dadu………… 29
Tabel 3. 4 Sebaran probabilitas berdasarkan kartu dana umum…………… 30
Tabel 3. 5 Sebaran probabilitas berdasarkan kartu kesempatan …………… 32
Tabel 4. 1 Matriks Q ……………………………………………………… 43
Tabel 4. 2 Probabilitas steady state Matriks Q …………………………..… 45
Tabel 4. 3 Nilai harapan dari petak pada permainan Monopoli……………..47
Tabel 4. 4 Nilai harapan yang sudah diurutkan……………………………...49
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Permainan monopoli adalah permainan papan yang terkenal di dunia, tidak
saja anak-anak yang senang memainkannya, para remaja dan orang dewasa juga
larut dalam permainan tersebut. Tujuan utama dari permainan monopoli adalah
menguasai semua daerah/petak monopoli melalui pembelian, penyewaan dan
pertukaran properti. Setiap pemain melemparkan dadu secara bergiliran untuk
memindahkan bidaknya, dan apabila mendarat di petak yang belum dimiliki oleh
pemain lain, ia dapat membeli petak itu sesuai harga yang tertera. Bila petak itu
sudah dibeli pemain lain, ia harus membayar pemain itu dengan uang sewa yang
jumlahnya juga sudah ditetapkan.
Permainan ini adalah simulasi dari bisnis properti di dunia nyata. Para
pemain dilatih dalam membuat keputusan-keputusan finansial. Seperti kapan
waktu membeli, menahan dan menjual. Permainan ini sangat mengandalkan
intuisi bisnis, pemain diharapkan jeli dalam memperhitungkan faktor lokasi dari
aset-aset yang akan dibeli, harga, dan prospek aset tersebut. Dalam permainan
Monopoli, suatu petak dikatakan mempunyai prospek yang baik ketika petak
tersebut sering disinggahi oleh para pemain lain dan menghasilkan keuntungan
bagi pemiliknya.
Perpindahan bidak-bidak ditentukan oleh angka yang keluar pada saat
pelemparan dadu dan instruksi tambahan pada kartu kesempatan dan dana umum.
2
Pelemparan dadu dilakukan tidak hanya sekali, melainkan berkali-kali
pelemparan. Hasil pelemparan dadu tersebut dapat berubah sewaktu-waktu dan
tidak pasti, sehingga perpindahan bidak-bidak tersebut tidak dapat diprediksikan.
Keadaan yang tidak pasti atau bersifat probabilistik ini termasuk proses stokastik.
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah rantai Markov,
sehingga rantai Markov digunakan untuk membantu memodelkan permainan
monopoli. Berdasarkan latar belakang masalah tersebut maka penulis mencoba
membahas tentang “ Pemodelan Permainan Monopoli menggunakan Rantai
Markov ”.
1.2 Permasalahan
Permasalahan yang akan diselesaikan pada penelitian ini adalah bagaimana
menentukan urutan investasi terbaik dengan melihat nilai harapan keuntungan
menggunakan Long Run Behaviour rantai Markov pada permainan Monopoli ?
1.3 Pembatasan masalah
Dalam penelitian ini, penulis membatasi masalah yang akan dibahas adalah
sebagai berikut :
1. Perpindahan bidak pada setiap petak berdasarkan hasil pelemparan
dadu dan terambilnya kartu dana umum dan kesempatan.
2. Tidak mengikutsertakan peraturan tentang melempar kembali ketika
angka kembar muncul.
3
3. Pemain diasumsikan langsung keluar dari petak penjara ketika berhenti
pada petak penjara.
4. Harga yang digunakan untuk menghitung nilai harapan adalah harga
sewa tanah dan sewa petak perusahaan publik tidak diikutsertakan.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan urutan investasi terbaik
dengan melihat nilai harapan keuntungan menggunakan Long Run Behaviour
rantai Markov pada permainan Monopoli
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah membantu pemain dalam menentukan
kebijakan atau strategi yang optimal dan tepat dalam membeli petak / daerah
dalam permainan monopoli sehingga pemain dapat memenangkan permainan
dengan jumlah kekayaan yang diharapkan. Dan penulis berharap penelitian ini
dapat menambah wawasan tentang penggunaan rantai Markov, serta dapat
membawa masalah-masalah baru dalam bidang proses stokastik, sehingga akan
muncul penelitian-penelitian yang lain.
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2. 1 Teori Probabilitas
Menurut [5], ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan yang
terjadi pada suatu percobaan dan biasanya dilambangkan dengan huruf S. Titik
contoh adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-
kemungkinan yang muncul. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian.
Kejadian dengan satu titik sampel disebut kejadian sederhana. Kejadian dengan
gabungan beberapa kejadian sederhana disebut kejadian majemuk. Berikut adalah
beberapa pengolahan terhadap kejadian yang akan menghasilkan kejadian baru.
a. Irisan dua kejadian. Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan
lambang A B adalah kejadian yang mengandung semua unsur
persekutuan kejadian A dan B.
b. Kejadian saling terpisah. Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah
bila A B = ; artinya A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.
c. Gabungan dua kejadian. Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan
dengan AB, adalah kejadian yang mencangkup semua unsur atau anggota
A atau B atau keduanya.
2. 1. 1 Probabilitas
Menurut [7], definisi mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam
pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan
subjektif.
5
a. Pendekatan klasik
Menurut pendekatan klasik, probabilitas didefinisikan sebagai hasil bagi
banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin.
( )( )
( )
n A banyaknya cara terjadinya kejadian AP A
n S banyak semua kejadian
(2.1)
Dengan demikian:
1. Nilai probabilitas kejadian (A) selalu berada pada selang [0,1] atau
0 ( ) 1P A .
2. Nilai probabilitas dari A, jika A adalah peristiwa yang tidak mungkin
terjadi adalah 0 atau 0P A .
3. Nilai probabilitas dari A, jika A adalah suatu peristiwa yang pasti terjadi
adalah satu atau ( ) 1P A .
b. Pendekatan frekuensi relatif
Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat didefinisikan
sebagai berikut:
1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika
kondisi stabil.
2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.
Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai
probabilitas Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan,
sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa
tersebut
( ) lim , untuk n .f
P X xn
(2.2)
6
Dimana : ( )P X x = probabilitas terjadinya peristiwa x
f = frekuensi peristiwa x
n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan
c. Pendekatan subjektif
Menurut pendekatan subjektif, probabilitas didefinisikan sebagai tingkat
kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau
peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja. Seorang direktur akan
memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan.
Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan.
Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi karyawan ditentukan
secara subjektif oleh sang direktur.
2. 1. 2 Probabilitas beberapa peristiwa
A. Peristiwa saling lepas
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau
lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Contoh dari
peristiwa saling lepas adalah bila kita melempar sebuah koin, keluaran yang
mungkin adalah bagian atas atau bagian bawah dari uang logam itu, tetapi
keduanya tidak mungkin terjadi secara bersama-sama. Contoh lainnya adalah bila
kita melempar sebuah dadu, maka mata dadu yang keluar mungkin mata 1, 2, 3, 4,
5, atau 6, tetapi keenam mata dadu ini tidak mungkin keluar secara bersamaan.
Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas
terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:
( ) ( ) ( ).P A B P A P B (2.3)
7
Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B, dan C yang saling lepas, maka
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
( ) ( ) ( ) ( ).P A B C P A P B P C (2.4)
B. Peristiwa tidak saling lepas
Dua atau lebih peristiwa dikatakan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua
atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua
peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa
tersebut adalah :
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B . (2.5)
Contoh : Sebuah perusahaan memiliki 10 karyawan pria dan 14 karyawan wanita
separuh dari karyawan pria dan separuh dari karyawan wanita adalah sarjana
teknik. Jika diambil seorang karyawan secara acak, berapa probabilitas yang
terambil itu adalah wanita atau sarjana teknik?
Jawab: Misalkan A = Wanita
B = Sarjana teknik
AB = Wanita dan sarjana teknik
14( ) 0.58
24P A
12( ) 0.50
24P B
7( ) 0.29
24P AB
( ) ( ) ( ) ( )
0.58 0.5 0.29
0.79
P A B P A P B P AB
8
C. Peristiwa saling bebas
Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa
yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya.
Untuk dua peristiwa A dan B yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa
tersebut adalah :
( ) ( ) ( ).P A B P A P B (2.6)
Contoh : Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan ke atas secara
bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya gambar pada mata uang dan angka 4
pada mata dadu !
Jawab : Misalkan : A = Munculnya gambar pada mata dadu
B = Munculnya angka pada mata dadu
D. Peristiwa tidak saling bebas (peristiwa bergantung)
Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila
terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya
peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas,
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
( ) ( ). ( | ).P A B P A P B A (2.7)
Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas , probabilitas terjadinya
peristiwa tersebut adalah :
1 1( ) ( )
2 6
1 1 1( ) ( ). ( )
2 6 12
P A P B
P A B P A P B
9
( ) ( ). ( | ) ( | ( ).P A B C P A P B A P C A B (2.8)
Contoh : Dari satu set karu bridge berturut-turut diambil kartu sebanyak 2 kali
secara acak. Hitunglah probabilitas terambilnya kartu King (K) pada pengambilan
pertama dan kartu As (A) pada pengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan
pertama tidak dikembalikan ?
Jawab : Misalkan : A = Pengambilan pertama keluar King
B = pengambilan kedua keluar As
4 4( ) ( ). ( ) 0.006
52 51P A B P A P B
E. Peristiwa komplementer
Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika
peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa
tersebut adalah :
( ) ( ) 1.P A P B (2.9)
yang juga berarti
( ) 1 ( ).P A P B (2.10)
( ) 1 ( ).P B P A (2.11)
Contoh : Berapakah probabilitas kartu yang dipilih secara acak dari satu set kartu
bridge bukan angka sepuluh?
Jawab : Misalkan : A = Pengambilan angka 10.
B = pengambilan bukan angka 10.
4( )
52
4( )
51
P A
P B
10
( ) 4( ) 0.0769
52
n AP A
N
( ) 1 0.0769 0.9231P B
2. 1. 3 Probabilitas Bersyarat
Menurut [5], probabilitas terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu
kejadian lain A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dilambangkan
dengan ( | )P B A . Lambang ( | )P B A dibaca ”Probabilitas terjadinya B bila A
telah terjadi” atau lebih singkat ”Probabilitas B, bila A diketahui”. Didefinisikan
sebagai:
( )( | ) , ( ) 0.
( )
P A BP B A P A
P A
(2.12)
Jika terjadinya B sama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A, maka terjadinya A
bebas dari terjadinya B.
Definisi 2.1.3.1 : Dua kejadian A dan B dikatakan bebas bila
( | ) ( ).P B A P B (2.13)
Atau
( | ) ( ).P A B P A (2.14)
Bila hal itu tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas
Dengan menggandakan kedua sisi rumus probabilitas bersyarat yang
didefinisikan di atas dengan P(A), kita mendapatkan kaidah penggandaan atau
kaidah multiplikatif yang penting berikut ini, yang memungkinkan kita
menghitung probabilitas terjadinya dua kejadian sekaligus.
11
Definisi 2.1.3.2 : Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat
terjadi sekaligus, maka
( ) ( ) ( | ).P A B P A P B A (2.15)
2. 2 Sistem Persaman Linear
Definisi 2.3.1 : Bentuk 1 1 2 2 n na x a x a x b disebut persamaan linear
dengan 1 2, , , na a a dan b adalah skalar, dimana
ia disebut koefisien dan b
disebut konstanta dari persamaan sedangkan 1 2, ,..., nx x x disebut variabel.
Sekumpulan variabel misalkan 1 1 2 2, , , n nx k x k x k disebut solusi dari
persamaan, apabila terpenuhi 1 1 2 2 3 3 n na k a k a k a k b . Solusi tersebut
dapat kita tulis dalam notasi vektor 1 2 3, , , , nk k k k .
Pandanglah m buah persamaan-persamaan linear dengan n variabel:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
(1)
n n
n n
i i in n i
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
ija dan ib masing-masing koefisien-koefisien dan konstanta persaman-persamaan
linear (1) tersebut, untuk 1, 2, ,i m dan 1, 2, ,j n . Dengan perkalian
matriks, persamaan-persamaan di atas dapat ditulis menjadi AX = B, dimana
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
12
berukuran ( )m n dan disebut matriks koefisien dari susunan (1), dan
nx
x
x
X
.
.
.
2
1
dan
nb
b
b
B
.
.
.
2
1
adalah vektor-vektor kolom variabel dan konstanta. [2]
2. 3 Matriks
Menurut [1], matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat.
Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks. Ukuran
matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalnya,
matriks A mempunyai tiga baris dan tiga kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali
2 ( ditulis 3 2 ). Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom,
dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris.
Anggota pada baris i dan j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai
ija . Jika banyaknya baris = m dan banyaknya kolom = n, maka matriks m nA dapat
ditulis sebagai:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
Apabila banyak baris sama dengan banyak kolom atau m n , maka
matriks tersebut disebut matriks bujur sangkar.
13
Definisi 2.2.1 : Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks
r n , maka hasil kali AB adalah matriks m n yang anggota-anggotanya
didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris i dan kolom j
dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B, kalikan anggota-
anggota yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan
kemudian jumlahkan hasil kalinya.
Jika A = [ ]ija adalah suatu matriks umum m r dan B = [ ]ijb adalah suatu
matriks umum r n , maka sebagaimana definisi diatas anggota ( )ijAB pada baris
i dan kolom j dari AB diberikan
1 1 2 2 3 3( )ij i j i j i j ir rjAB a b a b a b a b (2.16)
11 12 1
11 12 1 121 22 2
21 22 2 2
1 2
1 2
1 2
r
j nr
j n
i i ir
r r rj rn
m m mr
a a a
b b b ba a a
b b b bAB
a a a
b b b b
a a a
Syarat perkalian matriks adalah jumlah banyaknya kolom matriks pertama sama
dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
Definisi 2.2.2 : Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah
matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA =
I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.
Teorema 2.2.2 : Jika A adalah suatu matriks n n yang bisa dibalik, maka untuk
setiap matriks b, 1n , sistem persamaan Ax b tepat mempunyai satu
penyelesaian yaitu, 1x A b .
14
2.4 Variabel Acak
Menurut [5], Variabel acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa
bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Bila suatu
ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan
unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan
cacah, maka ruang itu disebut ruang contoh diskrit. Bila suatu ruang contoh
mengandung tak hingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya
titik pada sebuah ruas garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu.
Peubah acak yang didefinisikan di atas ruang contoh yang diskrit dan
kontinu masing-masing disebut peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.
Definisi 2.4.1 : Sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua
kemungkinan nilai suatu variable acak diskrit berikut probabilitasnya disebut
sebaran probabilitas diskrit
Definisi 2.4.2 : Misalkan X adalah variable acak diskrit dengan sebaran
probabilitas
x 1x 2x nx
( )P X x 1( )f x 2( )f x ( )nf x
Maka nilai harapan bagi X adalah
1
( ) ( )n
i i
i
E X x f x
(2. 17)
15
2. 5 Aritmatika Modulo
Menurut [3], Definisi 2.5.1: Misalkan a adalah bilangan bulat dan m
adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m ( dibaca ” a modulo m ”) memberikan
sisa jika a dibagi dengan m. Dengan kata lain, a mod m = r sedemikian sehingga
a =mq + r, dengan 0 r m .
Notasi : a mod m = r sedemikian sehingga a =mq + r, dengan 0 r m .
Jika a mod m = 0, maka dikatakan bahwa a adalah kelipatan dari m, yaitu a habis
dibagi dengan m.
Kadang-kadang dua buah bilangan bulat, a dan b, mempunyai sisa yang
sama jika dibagi dengan bilangan bulat positif m. Dikatakan bahwa a dan b
kongruen dalam modulo m, dan dilambangkan sebagai
( mod )a b m (2. 18)
Notasi ‘ ’ dibaca ‘kongruen’
Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis
a ( mod )b m (2. 19)
Definisi 2.5.2: Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0,
maka ( mod )a b m jika m habis membagi a-b.
2. 6 Proses Stokastik
Menurut [4], proses stokastik adalah suatu himpunan variabel acak tX ,
yang terdefinisi pada suatu ruang sampel. Jika terdapat sebagian elemen himpunan
terhitung, proses dapat dinotasikan 1X , 2X , 3X , .... Jika sebagian besar adalah
tidak terhitung, proses dapat dinotasikan dengan { : 0}tX t . Pada kasus pertama,
16
proses disebut proses dengan waktu diskrit, sedangkan untuk kasus kedua disebut
proses dengan waktu kontinu.
2. 7 Rantai Markov
Proses Markov {tX } adalah proses stokastik yang memiliki sifat bahwa
jika diberi nilai tX , maka untuk s t , nilai
sX tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai
dari uX untuk u t . Dengan kata lain, probabilitas perilaku tertentu di masa yang
akan datang dari suatu proses, jika diketahui state saat ini, tidak dapat dipengaruhi
oleh informasi tambahan di masa yang lalu. Rantai Markov diskrit adalah suatu
proses Markov yang ruang state-nya adalah himpunan hingga atau himpunan yang
dapat dihitung dengan himpunan indeks T = (0, 1, 2, . . . ). Secara umum, sifat
markov adalah
1 0 0 1 1Pr | , , ,n n n nX j X i X i X i
1Pr |n nX j X i (2.20)
Untuk semua n dan semua state 0 1, , , ,ni i i j .
Ruang state pada rantai Markov dinyatakan dalam bilangan bulat tak
negatif { 0, 1, 2 ,... }, dengan nX i menyatakan bahwa
nX berada di state i.
Definisi 2.7.1 : Probabilitas bersyarat dimana 1nX yang akan datang berada di
state j jika diberikan nX sedang berada di state i disebut probabilitas transisi satu
langkah dan dinotasikan dengan , 1n n
ijP . Sehingga
, 1
1Pr |n n
ij n np X j X i
(2.21)
17
Definisi 2.7.2: Jika probabilitas transisi satu langkah independen terhadap
variabel waktu n, maka rantai Markov tersebut memiliki probabilitas transisi
stasioner.
Maka , 1n n
ijP = ijP independen terhadap n dan ijP adalah probabilitas
bersyarat bahwa nilai state melalui sebuah transisi dari i ke j dalam 1 langkah.
Dan biasanya disusun ke dalam bentuk matriks
00 01 02
10 11 12
0 1 2i i i
p p p
p p p
p p p
P
Dan ijP p adalah matriks Markov atau matriks transisi probabilitas dari
proses. Dan ijP harus memenuhi kondisi sebagai berikut :
(2.22)
(2.23)
2. 7. 1 Matrik probabilitas transisi dari rantai Markov
Rantai Markov didefinisikan secara sempurna oleh matriks transisi
probabilitas satu langkahnya dan syarat dari distribusi probabilitas pada state dari
proses pada saat 0. Inti dari perhitungan ini adalah matriks transisi probabilitas n-
step ( ) ( )n n
ijP p . ( )n
ijP disini melambangkan probabilitas dimana proses terjadi
dari state i ke state j setelah melalui n langkah transisi.
Pr |n
ij m n mP X j X i (2.24)
1, untuk semua iij
j
P
0, untuk semua i dan jijP
18
Teorema 2.7.1 : Probabilitas transisi n-step dari Markov chain memenuhi
( 1)
0
n n
ij ik kj
k
P P P
(2.25)
dengan
( ) 1
0
n if i j
ij if i jP
Dari teori matriks, hubungan (2.19) sebagai formula dari perkalian
matriks, sehingga ( ) ( 1)n nP P P . Dengan iterasi formula ini, kita peroleh
( )n n
n kali
P P P P P P (2. 26)
Dengan kata lain, probabilitas transisi n-step ( )n
ijP adalah anggota matrik
nP , pangkat n dari matriks P.
2. 7.2 Matriks transisi probabilitas Regular
Misalkan matriks transisi probabilitas ijP p dengan jumlah state yang
finite yaitu 0, 1, . . ., N, mempunyai sifat bahwa, ketika dipangkatkan dengan k,
matriks kP , elemen-elemennya semuanya bernilai positif. Sehingga matriks
transisi probabilitas disebut Regular. Hal penting yang perlu diperhatikan bahwa
Rantai Markov regular adalah adanya probabilitas steady state 0 1, ,..., N
dimana 1 0 untuk 0,1,...,j N dan 1j j , dan distribusi ini independent
dari state awal. Pada matriks transisi probabilitas regular ijP p
(2.27)
( )lim 0 untuk 0,1,...,n
ij jn
P j N
19
atau, dalam bentuk Rantai Markov nX
0lim Pr | 0 untuk 0,1,...,n jn
X j X i j N
Ini berarti bahwa untuk jangka panjang n , probabilitas untuk
menemukan Rantai Markov di state j adalah kurang lebih j dimana pun rantai
itu mulai pada saat 0.
Setiap matriks transisi probabilitas pada state 0,1,…, N dikatakan regular
jika memenuhi 2 keadaan dibawah ini:
1. Setiap pasang state i, j ada lintasan 1, , rk k dimana 1 1 2 0ik k k kjp p p
2. Setidaknya ada satu state i dimana 0iip
Teorema 2.7.2 : Misalkan P adalah matriks transisi probabilitas probabilitas pada
state 0, 1, …, N, dan probabilitas steady state 0 1( , , , )N adalah
persamaan dari solusi unik yang tidak negatif.
0
0,1, ,N
j k kj
k
p j N
(2.28)
0
1N
k
k
(2.29)
20
BAB III
PERMAINAN MONOPOLI
3. 1 Permainan monopoli
Menurut [9], sejarah permainan monopoli dimulai pada tahun 1900-an.
Pada tahun 1904, seorang pencipta bernama Lizzie Magie mempatenkan satu
permainan yang beliau harapkan dapat menerangkan sebagian ide ekonomi yang
diutarakan oleh Henry George. Permainan beliau dikenal sebagai The Landlord’s
Game (Permainan Tuan Punya Tanah), dikeluarkan secara komersial beberapa
tahun kemudian. Lizzie Magie terus mengembangkan permainannya dengan
bantuan beberapa orang peminat. Pada tahun 1924, Lizzie Magie mempatenkan
permainan yang diperbaiki. Permainan-permainan lain serupa menyusul. Pada
awal tahun 1930-an, Parker Brothers menjual permainan Monopoli.
Menjelang tahun 1970-an, sejarah awal permainan monopoli terhapus.
Riwayat yang menceritakan Monopoli diciptakan oleh Charles Darrow menjadi
cerita rakyat yang paling popular, dan disertakan dengan keterangan permainan
Monopoli. Sejarah ini juga diceritakan dalam buku The Monopoly Book: Strategy
and Tactics of the World’s Most Popular Game, oleh Maxine Brady yang dicetak
dalam tahun 1974. Perlu di ketahui bahwa kini permainan Monopoli adalah merek
internasional yang dimiliki Hasbro (Induk dari Parker Brother) dan sudah dijual
lebih dari 105 negara dan diterjemahkan dalam 39 bahasa.
21
Menurut [8], untuk memainkan Monopoli, dibutuhkan peralatan-peralatan ini:
i. Bidak-bidak untuk mewakili pemain. Dalam kotak Monopoli disediakan
delapan bidak yaitu topi, setrika, anjing, kapal perang, mobil, gerobak,
gelas, dan sepatu.
ii. Dua buah dadu bersisi enam.
iii. Kartu hak milik untuk setiap properti. Kartu ini diberikan kepada pemain
yang membeli properti itu. Di atas kartu tertera harga properti, harga sewa,
harga gadai, harga rumah dan hotel.
iv. Uang-uangan Monopoli.
v. 32 rumah dan 12 hotel dari kayu atau plastik. Rumah biasanya memiliki
warna hijau, hotel warna merah.
vi. Kartu-kartu dana umum dan kesempatan.
Sebelum bermain para pemain sebaiknya harus mengetahui isi peraturan
permainan sehingga permainan akan berjalan dengan lancar, peraturan tersebut
menurut [6] adalah sebagai berikut:
1. Persiapan
Papan permainan diletakkan diatas meja yang cukup besar. Kartu dana
umum dan kesempatan diletakkan terbalik didalam petak yang telah tersedia.
Pilihlah seorang pemain untuk menjadi bankir yang akan mengurus bank dan
bertanggung jawab pada pelelangan. Penting untuk bankir memisahkan dana uang
dan properti pribadinya dengan milik bank. Tugas bank di sini adalah:
a. Menyimpan semua uang dan akte tanah yang tidak dimiliki oleh para pemain.
b. Membayar gaji dan bonus pada pemain .
22
c. Mengumpulkan pajak dan denda dari pemain
d. Menjual dan melelang properti
e. Menjual rumah dan hotel.
f. Meminjam uang kepada para pemain yang menggadaikan properti.
Bank tidak dapat ’bangkrut’. Bila bank kehabisan uang, bankir dapat
mengeluarkan uang (ditulis pada kertas biasa). Tiap pemain pada permulaan diberi
uang sebanyak M 1.500, dibagi dalam nilai sebagai berikut : 2 lembar M 500, 4
lembar M 100, 1 lembar M 50, 1 lembar M 20, 2 lembar M 10, 1 lembar M 5, dan
5 lembar M 1.
2. Permulaan
Pemain melempar dadu bergiliran, pemain yang mendapat angka yang
terbanyak bermain terlebih dahulu. Permainan dimulai dipetak ”start”. Lemparkan
dua dadu putih. Setelah itu jalankan bidak permainan searah jarum jam
mengelilingi papan permainan jumlah kotak yang ditunjukkan pada dadu. Pemain
perlu mengambil tindakan tergantung di kotak mana pemain tiba.
3 Jika dadu menunjuk angka kembar
Pemain dapat terus berjalan, akan tetapi pada lemparan ketiga jika angka
dadu tetap menunjuk angka kembar, maka pemain harus segera masuk penjara.
4. Gaji
Jika langkah pemain tiba atau melewati petak ”start”, ambillah M 200 dari
bank.
23
5. Berhenti pada properti yang belum dimiliki orang
Bila seorang pemain berhenti di atas properti yang belum dimiliki orang
lain (dengan cara melempar dadu maupun dengan paksaan kartu kesempatan atau
kartu dana umum) pemain tersebut mendapat hak untuk membeli properti tersebut
dengan harga yang sudah ditetapkan melalui bank. Setelah membeli properti dan
mendapat kartu hak milik dari bank, kartu tersebut harus diletakkan terbuka diatas
meja. Jika permain tidak mau membeli properti yang menjadi haknya, ia harus
mengembalikan kepada bank untuk dilelang. Ketika anda membeli properti, anda
disarankan untuk membeli properti dalam kelompok yang sama.
6. Berhenti pada properti yang dimiliki orang
Bila seorang pemain berhenti pada properti yang telah dimiliki pemain
lain, dengan perantaraan dadu maupun karena diharuskan oleh kartu dana umum
atau kesempatan, pemilik properti tersebut berhak memungut sewa atas tanah
tersebut sesuai dengan tarif yang telah ditetapkan di kartu hak milik. Selanjutnya
kalau di atas properti itu didirikan rumah-rumah atau hotel, sewanya dapat
dipungut lebih tinggi dari tanah yang belum dibangun. Properti yang diagunkan
(digadaikan kepada bank) tidak berhak memungut sewa dan kartu harus
diletakkan terbalik. Dan hal yang perlu diperhatikan adalah jika seorang pemilik
tanah alpa atau lupa memungut sewa, pada waktu gilirannya kehilangan haknya
(sewa tidak dapat dipungut lagi).
7. Keuntungan untuk pemain
Adalah suatu keuntungan untuk tiap pemain yang memiliki 1 kompleks
properti karena dengan demikian ia berhak memungut sebanyak 2 kali lipat. Jika
24
pemain memiliki properti berupa stasiun/bandara maka sewanya ditentukan oleh
berapa banyak stasiun yang dimilikinya. Jadi sebuah keuntungan juga bagi pemain
yang memiliki stasiun dan bandara lebih dari satu. Jika pemain memiliki fasilitas
umum, contohnya Perusahaan Listrik dan Instalasi Air, maka cara membayar
sewa adalah dengan cara melempar dadu dan kalikan hasilnya dengan 4. Jika
pemain memiliki kedua fasilitas umum tersebut, kalikan dengan 10.
8. Berhenti di kesempatan atau dana umum
Pemain mengambil kartu yang teratas setelah menaati petunjuk-petunjuk
di dalamnya, maka kartu itu dikembalikan dengan tertutup ditumpukan paling
bawah. Hanya kartu ” keluar dari penjara” dapat ditahan hingga terpakai atau
dijual kepada lain pemain.
9. Berhenti diatas petak ”Pajak”
Bayarlah segera pajak yang dikenakan kepada saudara.
10. Penjara
Pemain diharuskan masuk penjara karena :
i. Bidaknya berhenti dipetak ”masuk penjara”
ii. Mendapat perintah masuk penjara
iii. Kedua dadu menunjukkan angka kembar sebanyak 3 kali berturut-
turut.
11. Keluar Penjara
Seorang pemain dapat keluar dari penjara :
i. Lemparan dadu menunjukkan angka kembar
ii. Membeli selembar kartu ”keluar dari penjara” dari pemain lain
25
iii. Memberi uang denda M 50 kepada bank sebelum tiba gilirannya
iv. Pemain diberi kesempatan 3 kali lemparan dadu untuk mendapat angka
yang sama, setelah itu ia harus segera membayar denda M 50 kepada
bank dan berjalan terus menurut angka dadu.
12. Rumah-rumah
Rumah dapat dibeli dari bank hanya jika seorang pemain memiliki properti
1 kompleks, rumah-rumah harus didirikan dengan jumlah yang sama ditiap petak.
Rumah dapat dibeli segala waktu dengan jumlah menurut kemampuannya akan
tetapi harus merata tiap petak 1 rumah dan seterusnya.
13. Hotel-hotel
Tiap pemain diharuskan memiliki 4 rumah dalam 1 seri properti sebelum
ia diperbolehkan membeli sebuah hotel. Harga hotel telah ditentukan di kartu hak
milik. Setelah membeli hotel tersebut pemain harus menyerahkan 4 rumahnya
kepada bank, (di atas tiap properti hanya diperbolehkan membangun 1 hotel)
14. Kekurangan bangunan
Diwaktu bank telah kehabisan rumah untuk dijual kepada pemain, mereka
yang hendak mendirikan rumah harus menanti hingga salah seorang pemain
mengembalikan rumahnya kepada bank. Kalau pembeli lebih dari 1 orang, maka
rumah tersebut dilelang.
15. Menjual harta kekayaan
Bangunan dapat dijual kembali kepada bank dengan setengah harga dari
harga yang tertera di akte tanah. Rumah harus dijual secara rata sama dengan cara
26
membelinya. Hotel dijual dengan harga setengah dari harga yang tercantum di
akte tanah dan dengan segera ditukar dengan 4 rumah.
16. Mengagunkan properti
Jika anda kekurangan uang tunai atau tidak mempunyai cukup uang untuk
membayar hutang, anda dapat mengagunkan salah satu dari properti yang belum
sempurna. Untuk mengagunkan salah satu properti balikkan kartu akte tanahnya
menghadap ke bawah dan ambillah uang yang tertera (tertulis di balik kartu) dari
bank. Untuk melunasi satu agunan bayarlah jumlah yang tertera pada kte tanah di
tambah 10 % kepada bank kemudian balikkan kartu akte tanah ke atas. Sewa tidak
dapat diambil pada properti yang diagunkan.
17. Bangkrut ( PAILIT)
Pemain dinyatakan bangkrut (pailit), jika hutangnya tak bisa dibayar.
Segala harta kekayaan harus diserahkan kepada kreditornya, dan berhenti
bermain. Dalam penyelesaian ini jika pemain tersebut memiliki rumah-rumah atau
hotel-hotel harus diserahkan kepada bank, sebagai gantinya ia akan mendapatkan
uang sejumlah setengah dari harga pokoknya. Uang tersebut harus dibayarkan
kepada kreditornya. Kalau seorang pemain tak memiliki uang untuk membayar
pajak denda atau hukuman-hukuman, maka bank segera melelang segala
kekayaannya dan pemain ini dinyatakan kalah.
3. 2 Matriks Transisi Probabilitas
Matriks Transisi Probabilitas adalah matriks dengan jumlah petak pada
papan monopoli sebagai state-statenya. Petak-petaknya berjumlah 40 petak.
Petak–petak tersebut berupa nama-nama jalan dengan harga beli dan sewa yang
27
berbeda-beda. Berikut adalah daftar nama petak – petak beserta harga sewa tanah
pada papan Monopoli.
Tabel 3. 1
Nama petak – petak dan harga sewa tanah pada papan Monopoli
Matriks Transisi Probabilitas memungkinkan untuk kita melakukan
perhitungan probabilitas state di masa mendatang berdasarkan pada state saat ini.
No Nama Petak Sewa
No Nama Petak Sewa
(M) (M)
1 Start - 21 Parkir Bebas -
2 Jalan Dr. Cipto 2 22 Jalan Cihampelas 18
3 Dana umum - 23 Kesempatan -
4 Jalan Pandanaran 4 24 Jalan Merdeka 18
5 Pajak Penghasilan - 25 Jalan Braga 20
6 Bandara Medan 2 26 Bandara Surabaya 25
7 Jalan Jenderal Sudirman 6 27 Jalan Teuku Umar 22
8 Kesempatan - 28 Jalan Diponegoro 22
9 Jalan Iskandar Muda 6 29 Instalasi Air -
10 Jalan Mongonsidi 8 30 Jalan Gajah Mada 24
11 Penjara - 31 Masuk Penjara -
12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 10 32 Jalan Pemuda 26
13 Perusahaan Listrik - 33 Jalan Basuki Rachmat 26
14 Jalan Pasar Ikan 10 34 Dana umum -
15 Jalan Sultan Hasanuddin 12 35 Jalan Mayjen Sungkono 28
16 Bandara Denpasar 25 36 Bandara Jakarta 25
17 Jalan Magelang 14 37 Kesempatan -
18 Dana umum - 38 Jalan Thamrin 35
19 Jalan Pangeran Mangkubumi 14 39 Pajak Super -
20 Jalan Malioboro 16 40 Jalan Gatot Subroto 50
28
Matriks Transisi Probabilitas mempunyai 40 buah baris dan 40 buah kolom.
Kolom menggambarkan dari state mana pemain memulai melempar dadu dan
baris menggambarkan probabilitas pemain mengakhiri gilirannya atau berhenti
pada state tersebut. Secara umum matriks ini akan menunjukkan sebagaimana
seringnya pemain berhenti pada beberapa petak dimulai dari petak yang lain.
Contohnya, Pada baris Jalan Dr. Cipto berisi probabilitas dimana pemain
akan berhenti di setiap petak lainnya dengan satu kali pelemparan yang di mulai
dari petak Jalan Dr. Cipto. Sebaliknya, kolom yang dihubungkan dengan petak
Jalan Dr. Cipto berisi probabilitas dimana pemain akan berhenti pada petak Jalan
Dr. Cipto dalam satu kali pelemparan yang di mulai dari petak lainnya.
ijP = Probabilitas kondisi berada dalam state j di masa mendatang berdasarkan
pada state i saat ini.
Misalkan 13P adalah Probabilitas pemain berada pada state ”Dana umum”
di lemparan berikutnya dan sebelumnya berada pada state ” Start”. Matriks
Transisi Probabilitas ditampilkan seperti pada tabel dibawah ini
Tabel 3.2
Matriks Transisi Probabilitas
Dari Petak Pindah ke Petak ke
Ke 1 2 . . j . . n
1 11p 12p . . 1jp . . 1np
2 21p 22p . . 2jp . . 2np
. . . . . . . . .
i i1p i2p . . ijp . . inp
. . . . . . . . .
n n1p n2p . . njp . . nnp
29
Untuk mengisi setiap elemen pada semua baris dan kolom maka semua
faktor harus dihitung yaitu sebagai berikut :
1. Probabilitas dari pelemparan dadu.
Pelemparan dilakukan dengan 2 dadu yang bersisi enam, pada setiap
pelemparan dadu, jumlah angka yang muncul pada masing-masing dadu
dijumlahkan dan pemain melangkah sesuai jumlah tersebut pada papan
monopoli. Jadi ada 36 ruang contoh yang mungkin muncul. Berpindahnya
bidak ke satu tempat mempunyai probabilitas sama dengan 0. Sebaran
probabilitas diuraikan seperti di bawah ini:
Tabel 3.3 Sebaran probabilitas berdasarkan jumlah angka dadu
2. Probabilitas terambilnya kartu kesempatan dan dana umum.
Kartu kesempatan dan dana umum mempunyai andil dalam permainan
Monopoli karena kartu – kartu ini berpotensial memindahkan bidak-bidak
pemain.
Jumlah
angka Probabilitas
7 6
36
6 , 8 5
36
5 , 9 4
36
4 , 10 3
36
3 , 11 2
36
2 , 12 1
36
30
a. Kartu dana umum berjumlah 16 kartu, 14 kartu tidak membuat pemain
berpindah tempat sedangkan 2 diantaranya membuat pemain berpindah
tempat ke petak ”Start” dan ”Penjara”.
Tabel 3.4
Sebaran probabilitas berdasarkan kartu dana umum
Misalkan: Pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum.
i. Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan
tetap berada di state 3 merupakan kejadian yang saling bebas, jika
didefinisikan:
A = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3
B = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah
tidak membuat pemain berpindah tempat.
P(A) = Probabilitas kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3
P(B) = Probabilitas kejadian pemain mengambil kartu dana umum
dengan perintah tidak membuat pemain berpindah tempat.
Kartu Dana umum
Posisi Probabilitas
Tidak berpindah 14
16
Ke Petak " Start " 1
16
Ke Petak " Penjara " 1
16
31
maka untuk perhitungan probabilitasnya dapat dijabarkan seperti dibawah
ini:
1,3Q = Probabilitas pemain masih berada di state 3
1,3 ( ) ( )Q P A P B
1,3
14( )
16Q P A
ii. Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan
berpindah ke state 1 merupakan kejadian yang saling terpisah, jika
didefinisikan:
C = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1
D = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah
pindah ke petak 1
E = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah
pindah ke petak 1
P(C) = Probabilitas Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1
P(D) = Probabilitas Kejadian pemain mengambil kartu dana umum
dengan perintah pindah ke petak 1
P(E) = Probabilitas Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan
dengan perintah pindah ke petak 1
maka untuk perhitungan probabilitasnya dapat dijabarkan seperti dibawah
ini:
1,1 ( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( )
16 6
Q P C P D P E
P C P D P E
32
iii. Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan
berpindah ke state 11 merupakan kejadian yang saling terpisah, jika
didefinisikan :
F = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 11
G = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah
pindah ke petak 11
H = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah
pindah ke petak 11
1,11 ( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( )
16 16
Q P F P G P H
P F P G P H
b. Kartu kesempatan juga berjumlah 16 kartu. 6 kartu tidak membuat pemain
berpindah tempat sedangkan 10 diantaranya membuat pemain berpindah
tempat yaitu ke petak ”Start”, ”Penjara”, ”Bandara Medan”, ”Perusahaan
Publik terdekat”, ”Jalan Dr. Sam Ratulangi”, ”Jalan Braga”, ”Jalan Gatot
Subroto”, ” Mundur 3 petak ”, dan 2 kartu memindahkan pemain ke ”
Bandara terdekat”.
Tabel 3.5
Sebaran probabilitas berdasarkan kartu kesempatan
Kartu Kesempatan
Posisi Probabilitas
Tidak berpindah 6
16
Ke Petak " Start " 1
16
33
Ke Petak " Penjara " 1
16
Ke Petak ” Bandara Medan ” 1
16
Ke Petak " Perusahaan Publik terdekat " 1
16
Ke Petak ” Jalan Dr. Sam Ratulangi ” 1
16
Ke Petak ” Jalan Braga ” 1
16
Ke Petak “ Jalan Gatot Subroto ” 1
16
Mundur 3 Petak 1
16
Ke Petak " Bandara terdekat " 2
16
34
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4. 1 Analisa kemungkinan munculnya semua angka dadu
Pada analisa tahap ini, akan diperhitungkan kemungkinan munculnya
jumlah semua mata dadu dan akan mengabaikan semua peraturan seperti
peraturan tentang mengocok kembali ketika angka kembar muncul, terambilnya
kartu dana umum dan kesempatan, termasuk ketika singgah ke petak ”masuk
penjara”, dan peraturan lainnya.
Tetapkan bahwa Matrik P adalah matriks probabilitas transisi yang
menggambarkan perpindahan bidak dari state satu ke state lain yang hanya
memperhitungkan kemungkinan munculnya jumlah semua mata dadu. Maka
untuk mengisi setiap elemen dalam matriks, berikut adalah uraian perhitungannya
Baris 1
11P = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak
”start” lagi.
12P = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak
”Jl. Dr. Cipto”. Karena untuk pindah ke petak ”Jl. Dr. Cipto” pemain
membutuhkan angka 1.
13P = 1
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Dana Umum”. Karena petak ”Dana Umum” berada dua petak di
35
depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah
dengan mendapat angka 2 yang memiliki probabilitas 1
36.
14P = 2
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Jln. Pandanaran”. Karena petak ”Jln. Pandanaran” berada tiga
petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut
adalah dengan mendapat angka 3 yang memiliki probabilitas
1 1 2
36 36 36 .
15P = 3
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Pajak Penghasilan”. Karena petak ”Pajak Penghasilan” berada
empat petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak
tersebut adalah dengan mendapat angka 4 yang memiliki probabilitas
1 1 1 3
36 36 36 36 .
16P = 4
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Bandara Medan”. Karena petak ”Bandaran Medan” berada lima
petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut
adalah dengan mendapat angka 5 yang memiliki probabilitas
1 1 1 1 4
36 36 36 36 36 .
17P = 5
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
36
petak ”Jalan Jend. Sudirman”. Karena petak ”Jalan Jend. Sudirman”
berada enam petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai
petak tersebut adalah dengan mendapat angka 6 yang memiliki
probabilitas 1 1 1 1 1 5
36 36 36 36 36 36 .
18P = 6
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Kesempatan”. Karena petak ”Kesempatan” berada tujuh petak
di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah
dengan mendapat angka 7 yang memiliki probabilitas
1 1 1 1 1 1 6
36 36 36 36 36 36 36 .
19P = 5
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Jln. Iskandar Muda”. Karena petak ”Jln. Iskandar Muda” berada
delapan petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak
tersebut adalah dengan mendapat angka 8 yang memiliki probabilitas
1 1 1 1 1 5
36 36 36 36 36 36 .
110P = 4
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Jln. Mongonsidi”. Karena petak ”Jln. Mongonsidi” berada
sembilan petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak
tersebut adalah dengan mendapat angka 9 yang memiliki probabilitas
1 1 1 1 4
36 36 36 36 36 .
37
111P = 3
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Penjara”. Karena petak ”Penjara” berada sepuluh petak di depan
petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan
mendapat angka 10 yang memiliki probabilitas 1 1 1 3
36 36 36 36 .
112P = 2
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Jln. Dr. Sam Ratulangi”. Karena petak ”Jln. Dr. Sam Ratulangi”
berada sebelas petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai
petak tersebut adalah dengan mendapat angka 11 yang memiliki
probabilitas 1 1 2
36 36 36 .
113P = 1
36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke
petak ”Perusahaan Listrik”. Karena petak ”Perusahaan Listrik” berada
dua belas petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak
tersebut adalah dengan mendapat angka 12 .
114P = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak
”Jln. Pasar Ikan”. Karena petak ”Jln. Pasar Ikan” berada tiga belas petak
di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah
dengan mendapat angka 13 . Sedangkan jumlah maksimal dari kedua
dadu yang digunakan adalah 12.
Begitu seterusnya dari 115P sampai 140P adalah 0.
38
Untuk mengisi elemen baris ke 2 sampai dengan baris ke 40, dapat
mengikuti aritmatika modulo di bawah ini dengan i = 1, 2, 3, . . ., 40 dan untuk
j = 0 diasumsikan j = 40.
1, untuk ( 2) mod 40
36
2, untuk ( 3) mod 40
36
3, untuk ( 4) mod 40
36
4, untuk ( 5) mod 40
36
5, untuk ( 6) mod 40
36
6, untuk ( 7) mod 40
36
5, untuk ( 8) mod 40
36
4, untuk ( 9) mod 40
36
3, untuk ( 10) mod 40
36
2, un
36
ij
j i
j i
j i
j i
j i
P j i
j i
j i
j i
tuk ( 11) mod 40
1, untuk ( 12) mod 40
36
j i
j i
0, untuk 2 atau 13ijP j i j i
Jika matriks P telah terisi semua, dapat dilihat bahwa matriks P ini
membentuk pola tertentu dan jumlah barisnya memenuhi persamaan (2.22) dan
(2.23). Matriks P akan sangat membantu untuk mengisi matriks transisi
probabilitas untuk model permainan yang disertakan dengan peraturan
pengambilan kartu kesempatan dan dana umum.
39
4.2 Analisa matriks transisi probabilitas
Pada tahap ini pemain mulai dari petak ”start”, mengocok dua dadu dan
melangkah sebanyak jumlah titik yang terlihat pada kedua dadu serta
mengikutsertakan peraturan tentang terambilnya kartu dana umum dan
kesempatan dan berpindah sesuai dengan perintah yang terdapat pada kartu yang
terambil. Pengambilan kartu Dana umum terjadi pada state 3, state 18, dan state
34 sedangkan pengambilan kartu kesempatan terjadi pada state 8, state 23, dan
state 37.
Tetapkan bahwa Matrik Q adalah matriks probabilitas transisi yang
menggambarkan perpindahan bidak dari state satu ke state lain yang
mengikutsertakan peraturan tentang terambilnya kartu dana umum dan
kesempatan. Maka untuk mengisi setiap elemen dalam matriks, berikut adalah
uraian perhitungannya :
Baris 1
1A = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1
1B = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah
ke petak 1
1C = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 1
1,1 1 1 1
1 1 6 1 1 6 7( ) ( ) ( ) 0 0
36 16 36 6 576 576 576Q P A P B P C
1D = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3
40
1E = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah tidak
membuat pemain berpindah tempat.
1,3 1 1
1 14 14( ) ( )
36 36 576Q P D P E
1F = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 4
1,4 1
2( )
36Q P F
1G = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 5
1H = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah mundur
tiga langkah ke petak 5
1.5 1 1
3 6 1 3 6 48 6 54( ) ( )
36 36 36 36 576 576 576Q P G P H
1I = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 6
1J = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 6
1,6 1 1
4 6 1 4 6 64 6 70( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P I P J
1K = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 7
1,7 1
5( )
36Q P K
1L = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 8
1M = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan tetapi pemain tetap di
41
tempat
1,8 1 1
6 6 36( ) ( )
36 16 576Q P L P M
1N = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 9
1,9 1
5( )
36Q P N
1O = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 10
1,10 1
4( )
36Q P O
1P = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 11
1Q = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah
ke petak 11
1R = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 11
1,11 1 1 1( ) ( ) ( )
3 1 1 6 1 3 1 6 3 7 48 7 55
36 36 16 36 16 36 576 576 36 576 576 576
Q P P P Q P R
1S = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 12
1T = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 12
1,12 1 1
2 6 1 2 6 32 6 38( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P S P T
1U = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 13
42
1V = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 13
1,13 1 1
1 6 1 1 6 16 6 22( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P U P V
1W = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 16
1X = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 16
1,16 1 1
6 2 12( ) ( ) 0
36 16 576Q P W P X
1Y = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 25
1Z = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 25
1,25 1 1
6 1 6( ) ( ) 0
36 16 576Q P Y P Z
1AO = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 40
1BO = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
ke petak 40
1,40 1 1
6 1 6( ) ( ) 0
36 16 576Q P AO P BO
Maka probabilitas perpindahan bidak dapat disusun dalam bentuk Matriks
Transisi Probabilitas sebagai berikut :
43
Tabel 4.1 Matriks Q
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
3132
3334
3536
3738
3940
10,0
1215
00,0
2431
0,0555
60,0
9375
0,1215
30,1
3889
0,0625
00,1
3889
0,1111
10,0
9549
0,0659
70,0
3819
00
0,0208
30
00
00
00
00,0
1042
00
00
00
00
00
00
00
0,0104
2
20,0
0868
00
0,0277
80,0
6424
0,0920
10,1
1111
0,0520
80,1
6667
0,1388
90,1
1979
0,0920
10,0
6424
0,0277
80
0,0173
60
00
00
00
00,0
0868
00
00
00
00
00
00
00
0,0086
8
30,0
0694
00
00,0
3472
0,0625
00,0
8333
0,0416
70,1
3889
0,1666
70,1
4583
0,1180
60,0
9028
0,0555
60,0
2778
0,0138
90
00
00
00
00,0
0694
00
00
00
00
00
00
00
0,0069
4
40,0
0521
00
00,0
0521
0,0329
90,0
5556
0,0312
50,1
1111
0,1388
90,1
7188
0,1441
00,1
1632
0,0833
30,0
5556
0,0381
90
00
00
00
00,0
0521
00
00
00
00
00
00
00
0,0052
1
50,0
0347
00
00,0
0347
0,0034
70,0
2778
0,0208
30,0
8333
0,1111
10,1
4236
0,1701
40,1
4236
0,1111
10,0
8333
0,0625
00,0
2778
00
00
00
00,0
0347
00
00
00
00
00
00
00
0,0034
7
60,0
0347
00
00,0
0174
0,0017
40
0,0104
20,0
5556
0,0833
30,1
1458
0,1406
30,1
6840
0,1388
90,1
1111
0,0868
10,0
5556
0,0243
10
00
00
00,0
0174
00
00
00
00
00
00
00
0,0017
4
70,0
0347
00
00
00
00,0
2778
0,0555
60,0
8681
0,1111
10,1
3889
0,1666
70,1
3889
0,1111
10,0
8333
0,0486
10,0
2778
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
0
80,0
0521
00
00
00
00
0,0277
80,0
6076
0,0833
30,1
1111
0,1388
90,1
6667
0,1388
90,1
1111
0,0729
20,0
5556
0,0277
80
00
00
00
00
00
00
00
00
00
0
90,0
0694
00
00
00
00
00,0
3472
0,0555
60,0
8333
0,1111
10,1
3889
0,1666
70,1
3889
0,0972
20,0
8333
0,0555
60,0
2778
00
00
00
00
00
00
00
00
00
0
100,0
0868
00
00
00
00
00,0
0868
0,0277
80,0
5556
0,0833
30,1
1111
0,1388
90,1
6667
0,1215
30,1
1111
0,0833
30,0
5556
0,0277
80
00
00
00
00
00
00
00
00
0
110,0
1215
00
00
0,0017
40
00
00,0
1215
0,0017
40,0
2778
0,0555
60,0
8333
0,1111
10,1
3889
0,1458
30,1
3889
0,1128
50,0
8333
0,0555
60,0
1042
00,0
0174
0,0034
70
00,0
0174
00
00
00
00
00
0,0017
4
120,0
1215
00
00
0,0034
70
00
00,0
1215
0,0034
70
0,0277
80,0
5556
0,0833
30,1
1111
0,1215
30,1
6667
0,1423
60,1
1111
0,0833
30,0
2083
0,0277
80,0
0347
0,0069
40
00,0
0347
00
00
00
00
00
0,0034
7
130,0
1215
00
00
0,0052
10
00
00,0
1215
0,0052
10
00,0
2778
0,0555
60,0
8333
0,0972
20,1
3889
0,1718
80,1
3889
0,1111
10,0
3125
0,0555
60,0
3299
0,0104
20
00,0
0521
00
00
00
00
00
0,0052
1
140,0
1215
00
00
0,0069
40
00
00,0
1215
0,0069
40
00
0,0277
80,0
5556
0,0729
20,1
1111
0,1458
30,1
6667
0,1388
90,0
4167
0,0833
30,0
6250
0,0416
70
00,0
0694
00
00
00
00
00
0,0069
4
150,0
1215
00
00
0,0086
80
00
00,0
1215
0,0086
80
00
00,0
2778
0,0486
10,0
8333
0,1197
90,1
3889
0,1666
70,0
5208
0,1111
10,0
9201
0,0729
20,0
2778
00,0
0868
00
00
00
00
00
0,0086
8
160,0
1215
00
00
0,0104
20
00
00,0
1215
0,0104
20
00
00
0,0243
10,0
5556
0,0937
50,1
1111
0,1388
90,0
6250
0,1388
90,1
2153
0,1041
70,0
5556
0,0277
80,0
1042
00
00
00
00
00
0,0104
2
170,0
0868
00
00
0,0086
80
00
00,0
0868
0,0086
80
00
00
00,0
2778
0,0642
40,0
8333
0,1111
10,0
5208
0,1666
70,1
4757
0,1284
70,0
8333
0,0555
60,0
3646
00
00
00
00
00
0,0086
8
180,0
0694
00
00
0,0069
40
00
00,0
0694
0,0069
40
00
00
00
0,0347
20,0
5556
0,0833
30,0
4167
0,1388
90,1
7361
0,1527
80,1
1111
0,0833
30,0
6250
0,0277
80
00
00
00
00
0,0069
4
190,0
0521
00
00
0,0052
10
00
00,0
3299
0,0052
10
00
00
00
0,0052
10,0
2778
0,0555
60,0
3125
0,1111
10,1
4410
0,1770
80,1
3889
0,1111
10,0
8854
0,0555
60
00
00
00
00
0,0052
1
200,0
0347
00
00
0,0034
70
00
00,0
5903
0,0034
70
00
00
00
0,0034
70
0,0277
80,0
2083
0,0833
30,1
1458
0,1458
30,1
6667
0,1388
90,1
1458
0,0833
30
0,0277
80
00
00
00
0,0034
7
210,0
0174
00
00
0,0017
40
00
00,0
8507
0,0017
40
00
00
00
0,0017
40
00,0
1042
0,0555
60,0
8507
0,1145
80,1
3889
0,1666
70,1
4063
0,1111
10
0,0555
60,0
2778
00
00
00
0,0017
4
220,0
0174
00
00
00
00
00,1
1285
00
00
00
00
00
00
0,0277
80,0
5556
0,0833
30,1
1111
0,1388
90,1
6667
0,1388
90
0,0833
30,0
5556
0,0243
10
00
00
0
230,0
0347
00
00
00
00
00,1
4236
00
00
00
00
00
00
00,0
2778
0,0555
60,0
8333
0,1111
10,1
3889
0,1666
70
0,1111
10,0
8333
0,0486
10,0
2778
00
00
0
240,0
0521
00
00
00
00
00,1
7188
00
00
00
00
00
00
00
0,0277
80,0
5556
0,0833
30,1
1111
0,1388
90
0,1388
90,1
1111
0,0729
20,0
5556
0,0277
80
00
0
250,0
0868
00
00
0,0052
10
00
00,1
4757
0,0017
40,0
0174
00
00
00
00
00
00,0
0174
00,0
2778
0,0555
60,0
8333
0,1111
10
0,1666
70,1
3889
0,0989
60,0
8333
0,0555
60,0
1042
00
0,0017
4
260,0
1215
00
00
0,0104
20
00
00,1
2326
0,0034
70,0
0347
00
00
00
00
00
00,0
0347
00
0,0277
80,0
5556
0,0833
30
0,1388
90,1
6667
0,1250
00,1
1111
0,0833
30,0
2083
0,0277
80
0,0034
7
270,0
1563
00
00
0,0156
30
00
00,0
9896
0,0052
10,0
0521
00
00
00
00
00
00,0
0521
00
00,0
2778
0,0555
60
0,1111
10,1
3889
0,1510
40,1
3889
0,1111
10,0
3125
0,0555
60,0
2778
0,0052
1
280,0
1563
00
00
0,0208
30
00
00,0
7118
0,0069
40,0
0694
00
00
00
00
00
00,0
0694
00
00
0,0277
80
0,0833
30,1
1111
0,1284
70,1
6667
0,1388
90,0
4167
0,0833
30,0
5556
0,0347
2
290,0
4340
00
00
0,0260
40
00
00,0
4340
0,0086
80,0
0868
00
00
00
00
00
00,0
0868
00
00
00
0,0555
60,0
8333
0,1059
00,1
3889
0,1666
70,0
5208
0,1111
10,0
8333
0,0642
4
300,0
7118
0,0277
80
00
0,0312
50
00
00,0
1563
0,0104
20,0
1042
00
00
00
00
00
00,0
1042
00
00
00
0,0277
80,0
5556
0,0833
30,1
1111
0,1388
90,0
6250
0,1388
90,1
1111
0,0937
5
310,0
9722
0,0555
60,0
2431
00
0,0260
40
00
00,0
1389
0,0086
80,0
0868
00
00
00
00
00
00,0
0868
00
00
00
00,0
2778
0,0572
90,0
8333
0,1111
10,0
5208
0,1666
70,1
3889
0,1197
9
320,1
2326
0,0833
30,0
4861
0,0277
80
0,0208
30
00
00,0
1215
0,0069
40,0
0694
00
00
00
00
00
00,0
0694
00
00
00
00
0,0312
50,0
5556
0,0833
30,0
4167
0,1388
90,1
6667
0,1458
3
330,1
4931
0,1111
10,0
7292
0,0555
60,0
2778
0,0156
30
00
00,0
1042
0,0052
10,0
0521
00
00
00
00
00
00,0
0521
00
00
00
00
0,0052
10,0
2778
0,0555
60,0
3125
0,1111
10,1
3889
0,1718
8
340,1
7708
0,1388
90,0
9722
0,0833
30,0
5556
0,0381
90
00
00,0
1042
0,0034
70,0
0347
00
00
00
00
00
00,0
0347
00
00
00
00
0,0034
70
0,0277
80,0
2083
0,0833
30,1
1111
0,1423
6
350,1
4931
0,1666
70,1
2153
0,1111
10,0
8333
0,0607
60,0
2778
00
00,0
1042
0,0017
40,0
0174
00
00
00
00
00
00,0
0174
00
00
00
00
0,0017
40
00,0
1042
0,0555
60,0
8333
0,1128
5
360,1
2326
0,1388
90,1
4583
0,1388
90,1
1285
0,0850
70,0
5556
0,0104
20
00,0
1215
0,0017
40,0
0174
00
0,0034
70
00
00
00
00,0
0174
00
00
00
00
00
00
0,0277
80,0
5556
0,0850
7
370,0
9549
0,1111
10,1
2153
0,1666
70,1
4236
0,1145
80,0
8333
0,0208
30,0
2778
00,0
1215
0,0034
70,0
0347
00
0,0069
40
00
00
00
00,0
0347
00
00
00
00
00
00
00,0
2778
0,0590
3
380,0
6771
0,0833
30,0
9722
0,1388
90,1
7188
0,1441
00,1
1111
0,0312
50,0
5556
0,0277
80,0
1215
0,0052
10,0
0521
00
0,0104
20
00
00
00
00,0
0521
00
00
00
00
00
00
00
0,0329
9
390,0
3993
0,0555
60,0
7292
0,1111
10,1
4583
0,1736
10,1
3889
0,0416
70,0
8333
0,0555
60,0
3993
0,0069
40,0
0694
00
0,0138
90
00
00
00
00,0
0694
00
00
00
00
00
00
00
0,0069
4
400,0
1215
0,0277
80,0
4861
0,0833
30,1
1979
0,1475
70,1
6667
0,0520
80,1
1111
0,0833
30,0
6771
0,0364
60,0
0868
00
0,0173
60
00
00
00
00,0
0868
00
00
00
00
00
00
00
0,0086
8
44
Bisa dikatakan salah satu tujuan Markov adalah memprediksi masa depan,
karena memungkinkan untuk menghitung probabilitas berhentinya bidak pada
setiap state di masa yang akan datang atau untuk beberapa kali pengocokan
berikutnya. Tentunya probabilitas dari perpindahan bidak itu memiliki kondisi
yang tidak stabil, yaitu tiap state dapat mengalami perubahan probabilitas untuk
periode berikutnya. Para pemain tentunya ingin mengetahui bagaimana
probabilitas berhentinya bidak pada setiap state berubah seiringnya waktu
berjalan. Bidak tidak selalu tetap berhenti di state tertentu tetapi pasti berpindah
ke state yang lain. Sehingga para pemain dapat membuat keputusan berikutnya
dalam hal membeli petak atau dapat mengetahui berapa banyak keuntungan yang
mereka dapat dari aset – aset yang mereka miliki.
Untuk mencari probabilitas steady state dari matriks Q, akan digunakan
persamaan (2.28), 0
N
j k kj
k
p
atau dapat ditulis dalam bentuk Q , dimana
0 1( , , , )N .
Q
1,1 1,40
1 2 3 40 1 2 3 40
40,1 40,40
[ ] [ ]
q q
q q
Dan menghasilkan
1 1,1 2 2,1 3 3,1 40 40,1 1
1 1,2 2 2,2 3 3,2 40 40,2 2
1 1,3 2 2,3 3 3,3 40 40,3 3
1 1,40 2 2,40 3 3,40 40 40,40 40
q q q q
q q q q
q q q q
q q q q
45
Dengan persamaan bantuan
1 2 3 40 1
Jika dijadikan semua ruas kanannya sama dengan 0, maka
1 1,1 2 2,1 3 3,1 40 40,1
1 1,2 2 2,2 3 3,2 40 40,2
1 1,3 2 2,3 3 3,3 40 40,3
1 1,40 2 2,40 3 3,40 40 40,40
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0
q q q q
q q q q
q q q q
q q q q
Dengan demikian didapat matriks baru dengan memasukkan persamaan bantuan
diatas adalah
11,1 2,1 3,1 40,1
21,2 2,2 3,2 40,2
31,3 2,3 3,3 40,3
40
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0
1 1 1 1 1
q q q q
q q q q
q q q q
Berdasarkan Teorema 2.2.2, perkalian matriks diatas dapat diselesaikan dengan
Q b
1Q b
Menggunakan program MATLAB akan didapatkan hasil dari yaitu :
Tabel 4. 2
Probabilitas steady state dari matrik Q
No.
petak
Petak P No.
Petak
Petak P
1 Start 0,0311 21 Parkir Bebas 0,0287
2 Jalan Dr. Cipto 0,0215 22 Jalan Cihampelas 0,0283
3 Dana umum 0,0190 23 Kesempatan 0,0105
4 Jalan Pandanaran 0,0219 24 Jalan Merdeka 0,0274
46
5 Pajak Penghasilan 0,0235 25 Jalan Braga 0,0319
6 Bandara Medan 0,0299 26 Bandara Surabaya 0,0306
7 Jalan Jenderal Sudirman 0,0229 27 Jalan Teuku Umar 0,0271
8 Kesempatan 0,0088 28 Jalan Diponegoro 0,0268
9 Jalan Iskandar Muda 0,0235 29 Instalasi Air 0,0281
10 Jalan Mongonsidi 0,0233 30 Jalan Gajah Mada 0,0259
11 Penjara 0,0589 31 Masuk Penjara 0,0000
12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 0,0274 32 Jalan Pemuda 0,0269
13 Perusahaan Listrik 0,0263 33 Jalan Basuki Rachmat 0,0263
14 Jalan Pasar Ikan 0,0239 34 Dana umum 0,0239
15 Jalan Sultan Hasanuddin 0,0247 35 Jalan Mayjen
Sungkono
0,0251
16 Bandara Denpasar 0,0292 36 Bandara Jakarta 0,0245
17 Jalan Magelang 0,0278 37 Kesempatan 0,0087
18 Dana umum 0,0257 38 Jalan Thamrin 0,0220
19 Jalan Pangeran
Mangkubumi
0,0292 39 Pajak Super 0,0219
20 Jalan Malioboro 0,0307 40 Jalan Gatot Subroto 0,0265
Dapat diurutkan bahwa petak pertama yang paling sering disinggahi oleh
pemain adalah petak ”Penjara” sebesar 0.0589, yang diikuti oleh petak ” Jalan
Braga” sebesar 0.0319, urutan ke tiga adalah petak ” Start” yaitu sebesar 0. 0311.
petak ke empat yang sering disinggahi adalah petak” Jalan Malioboro ” yaitu
sebesar 0. 0307, dan petak ke lima yang sering disinggahi adalah petak” Bandara
Surabaya ” yaitu sebesar 0. 0306.
47
4. 3 Analisa Nilai Harapan
Untuk pengambilan keputusan tentang petak potensial mana yang
sebaiknya dimiliki, maka cara yang digunakan adalah dengan menggunakan nilai
harapan sebagai dasar pemilihan. Seorang pemain menjadi kaya dikarenakan
mendapatkan uang sewa dari properti atau tanah yang dimilikinya. Untuk
mengetahui petak mana yang akan memaksimalkan uang sewa, adalah dengan
cara mencari nilai harapannya, yaitu mengalikan probabilitas pemain singgah ke
petak tersebut (probabilitas steady state) dengan harga sewa tanah (persamaan
2.17). Pemain dapat memilih berdasarkan nilai harapan yang tertinggi.
Tabel 4. 3
Nilai harapan dari petak pada permainan Monopoli
No Petak Probabilitas Sewa Nilai harapan
1 Start 0,0311 - -
2 Jalan Dr. Cipto 0,0215 2 0,043
3 Dana umum 0,0190 - -
4 Jalan Pandanaran 0,0219 4 0,0876
5 Pajak Penghasilan 0,0235 - -
6 Bandara Medan 0,0299 2 0,0598
7 Jalan Jenderal Sudirman 0,0229 6 0,1374
8 Kesempatan 0,0088 - -
9 Jalan Iskandar Muda 0,0235 6 0,141
10 Jalan Mongonsidi 0,0233 8 0,1864
11 Penjara 0,0589 - -
12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 0,0274 10 0,274
13 Perusahaan Listrik 0,0263 - -
14 Jalan Pasar Ikan 0,0239 10 0,239
48
15 Jalan Sultan Hasanuddin 0,0247 12 0,2964
16 Bandara Denpasar 0,0292 25 0,73
17 Jalan Magelang 0,0278 14 0,3892
18 Dana umum 0,0257 - -
19 Jalan Pangeran Mangkubumi 0,0292 14 0,4088
20 Jalan Malioboro 0,0307 16 0,4912
21 Parkir Bebas 0,0287 - -
22 Jalan Cihampelas 0,0283 18 0,5094
23 Kesempatan 0,0105 - -
24 Jalan Merdeka 0,0274 18 0,4932
25 Jalan Braga 0,0319 20 0,638
26 Bandara Surabaya 0,0306 25 0,765
27 Jalan Teuku Umar 0,0271 22 0,5962
28 Jalan Diponegoro 0,0268 22 0,5896
29 Instalasi Air 0,0281 - -
30 Jalan Gajah Mada 0,0259 24 0,6216
31 Masuk Penjara 0,0000 - -
32 Jalan Pemuda 0,0269 26 0,6994
33 Jalan Basuki Rachmat 0,0263 26 0,6838
34 Dana umum 0,0239 - -
35 Jalan Mayjen Sungkono 0,0251 28 0,7028
36 Bandara Jakarta 0,0245 25 0,6125
37 Kesempatan 0,0087 - -
38 Jalan Thamrin 0,0220 35 0,77
39 Pajak Super 0,0219 - -
40 Jalan Gatot Subroto 0,0265 50 1,325
49
Jika diurutkan seperti tabel dibawah ini akan terlihat urutan investasi
terbaik dari petak-petak pada papan monopoli.
Tabel 4. 4
Nilai harapan yang diurutkan
No Petak Probabilitas Sewa Nilai harapan
40 Jalan Gatot Subroto 0,0265 50 1,325
38 Jalan Thamrin 0,0220 35 0,77
26 Bandara Surabaya 0,0306 25 0,765
16 Bandara Denpasar 0,0292 25 0,73
35 Jalan Mayjen Sungkono 0,0251 28 0,7028
32 Jalan Pemuda 0,0269 26 0,6994
33 Jalan Basuki Rachmat 0,0263 26 0,6838
25 Jalan Braga 0,0319 20 0,638
30 Jalan Gajah Mada 0,0259 24 0,6216
36 Bandara Jakarta 0,0245 25 0,6125
27 Jalan Teuku Umar 0,0271 22 0,5962
28 Jalan Diponegoro 0,0268 22 0,5896
22 Jalan Cihampelas 0,0283 18 0,5094
24 Jalan Merdeka 0,0274 18 0,4932
20 Jalan Malioboro 0,0307 16 0,4912
19 Jalan Pangeran Mangkubumi 0,0292 14 0,4088
17 Jalan Magelang 0,0278 14 0,3892
15 Jalan Sultan Hasanuddin 0,0247 12 0,2964
12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 0,0274 10 0,274
14 Jalan Pasar Ikan 0,0239 10 0,239
10 Jalan Mongonsidi 0,0233 8 0,1864
9 Jalan Iskandar Muda 0,0235 6 0,141
7 Jalan Jenderal Sudirman 0,0229 6 0,1374
50
4 Jalan Pandanaran 0,0219 4 0,0876
6 Bandara Medan 0,0299 2 0,0598
2 Jalan Dr. Cipto 0,0215 2 0,043
Terlihat dari tabel di atas bahwa petak ” Jalan Gatot Subroto” adalah petak
yang memiliki nilai harapan paling besar. Ini artinya untuk setiap kali giliran atau
pengocokan, petak ” Jln. Gatot Subroto” diharapkan menghasilkan rata-rata uang
sewa sebesar M 1, 325. lalu diikuti oleh petak ”Jalan Thamrin” dengan nilai
harapan sebesar M 0,77, petak “Bandara Surabaya” dengan nilai harapan sebesar
M 0,765 dan petak “Bandara Denpasar” dengan nilai harapan sebesar M 0,73.
Jadi jika pemain ingin memenangkan permainan Monopoli sebaiknya
mempertimbangkan untuk membeli petak “ Jalan Gatot Subroto “ dan “ Jalan
Thamrin “ atau kompleks yang berwarna biru dan semua petak bandara. Harga
beli petak-petak tersebut memang mahal tapi sepadan dengan nilai harapannya
yang besar juga. Sebaliknya petak yang memiliki prospek yang kurang baik
adalah kompleks yang berwarna coklat yaitu petak “Jalan Dr. Cipto” dan petak
“Jalan Pandanaran” karena memiliki nilai harapan yang kecil.
51
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5. 1 Kesimpulan
Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan Long
Run Behaviour rantai Markov pada permainan Monopoli, petak ” Jalan Gatot
Subroto” adalah petak yang memiliki nilai harapan paling besar. Ini artinya untuk
setiap kali giliran atau pengocokan, petak ” Jln. Gatot Subroto” menghasilkan
rata-rata uang sewa sebesar M 1, 325. lalu diikuti oleh petak ”Jalan Thamrin”
dengan nilai harapan sebesar M 0,77, petak “Bandara Surabaya” dengan nilai
harapan sebesar M 0,765 dan petak “Bandara Denpasar” dengan nilai harapan
sebesar M 0,73. Jadi jika pemain ingin memenangkan permainan Monopoli
sebaiknya mempertimbangkan untuk membeli petak “ Jalan Gatot Subroto “ dan “
Jalan Thamrin “ atau kompleks yang berwarna biru dan semua petak bandara.
5. 2 Saran
Pemodelan permainan Monopoli dalam skripsi ini tidak sepenuhnya
mewakili permainan yang sesungguhnya. Maka disarankan untuk penelitian
selanjutnya bisa dilakukan dengan memperhatikan peraturan yang lain seperti
peraturan setelah muncul angka kembar dan peraturan ketika masuk penjara,
sehingga dapat menggambarkan permainan yang sesungguhnya dan menunjukkan
kegunaan dari rantai Markov.
52
REFERENSI
[1] Anton, Howard. Dasar-Dasar Aljabar Linear. Edisi ke-7.Jilid 1. Batam ,
Interaksara, 2000
[2] H.S, Suryadi. Seri diktat kuliah: Pengantar Aljabar Linier dan Geometrik
Analitik. Jakarta, Gunadarma, 1995.
[3] Munir Rinaldi. Buku Teks Ilmu Komputer. Matematika Diskrit. Edisi Ke-3.
Bandung, Informatika, 2005.
[4] Taylor, Howard M. An Introduction To Stochastic Modeling Revised
Edition. Academic Press Limited
[5] Walpole, E. Ronald. Pengantar Statistik. Edisi ke-3. Jakarta :
PT.Gramedia Pustaka Utama, 1995.
[6] Petunjuk manual permainan Monopoli
(http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/16888/3/chapter%2011.p
df) [10/05/2011 15.36 WIB]
[8] (http://id.wikipedia.org/wiki/Monopoli_(permainan))
[10/07/2010 00.53 WIB]
[9] (http://smp1rangkasbitung.wordpress.com/2009/02/23/pembelajaran-
dengan-model-permainan-monopoly-pakem/) [10/07/2010 00.55 WIB]
[7]
LAMPIRAN-LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
Program Matlab
for i=1:39
b(i)=0;
end
b(end+1)=1;
b=b';
Q={40 x 40]
for i=1:40
Q(i,i)=Q(i,i)-1;
end
Q(end,:)=1;
phi=inv(Q)*b
LAMPIRAN 2
GAMBAR PAPAN MONOPOLI
LAMPIRAN 3
Baris 1
1,1 1 1 1
1 1 6 1 1 6 7( ) ( ) ( ) 0 0
36 16 36 6 576 576 576Q P A P B P C
1,3 1 1
1 14 14( ) ( )
36 36 576Q P D P E
1,4 1
2( )
36Q P F
1.5 1 1
3 6 1 3 6 48 6 54( ) ( )
36 36 36 36 576 576 576Q P G P H
1,6 1 1
4 6 1 4 6 64 6 70( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P I P J
1,7 1
5( )
36Q P K
1,8 1 1
6 6 36( ) ( )
36 16 576Q P L P M
1,9 1
5( )
36Q P N
1,10 1
4( )
36Q P O
1,11 1 1 1( ) ( ) ( )
3 1 1 6 1 3 1 6 3 7 48 7 55
36 36 16 36 16 36 576 576 36 576 576 576
Q P P P Q P R
1,12 1 1
2 6 1 2 6 32 6 38( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P S P T
1,13 1 1
1 6 1 1 6 16 6 22( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P U P V
1,16 1 1
6 2 12( ) ( ) 0
36 16 576Q P W P X
1,25 1 1
6 1 6( ) ( ) 0
36 16 576Q P Y P Z
1,40 1 1
6 1 6( ) ( ) 0
36 16 576Q P AO P BO
Baris 2
2,1 2 2
5 1 5( ) ( ) 0
36 16 576Q P A P B
2,4 2
1( )
36Q P C
2,5 2 2
2 5 1 2 5 32 5 37( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P D P E
2,6 2 2
3 5 1 3 5 48 5 53( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P F P G
2,7 2
4( )
36Q P H
2,8 2 2
5 6 30( ) ( )
36 16 576Q P I P J
2,9 2
6( )
36Q P K
2,10 2
5( )
36Q P L
2,11 2 2( ) ( )
4 5 1 4 5 64 5 69
36 36 16 36 576 576 576
Q P M P N
2,12 2 2
3 5 1 3 5 48 5 53( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P O P P
2,13 2 2
2 5 1 2 5 32 5 37( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P Q P R
2,14 2
1( )
36Q P S
2,16 2 2
5 2 10( ) ( ) 0
36 16 576Q P T P U
2,25 2 2
5 1 5( ) ( ) 0
36 16 576Q P V P W
2,40 2 2
5 1 5( ) ( ) 0
36 16 576Q P X P Y
Baris 3
3,1 3 3
4 1 4( ) ( ) 0
36 6 576Q P A P B
3,5 3 3
1 4 1 1 4 16 4 20( ) ( )
36 36 36 36 576 576 576Q P C P D
3,6 3 3
2 4 1 2 4 32 4 36( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P E P F
3,7 3
3( )
36Q P G
3,8 3 3
4 6 24( ) ( )
36 16 576Q P H P I
3,9 3
5( )
36Q P J
3,10 3
6( )
36Q P K
3,11 3 3( ) ( )
5 4 1 5 4 90 4 94
36 36 16 36 576 576 576
Q P L P M
3,12 3 3
4 4 1 4 4 64 4 68( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P N P O
3,13 3 3
3 4 1 3 4 48 4 52( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q
3,14 3
2( )
36Q P R
3,15 3
1( )
36Q P S
3,16 3 3
4 2 8( ) ( ) 0
36 16 576Q P T P U
3,25 3 3
4 1 4( ) ( ) 0
36 16 576Q P V P W
3,40 3 3
4 1 4( ) ( ) 0
36 16 576Q P X P Y
Baris 4
4,1 4 4
3 1 3( ) ( ) 0
36 6 576Q P A P B
4,5 4 4
3 1 3( ) ( ) 0
36 36 576Q P C P D
4,6 4 4
1 3 1 1 3 16 3 19( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P E P F
4,7 4
2( )
36Q P G
4,8 4 4
3 6 18( ) ( )
36 16 576Q P H P I
4,9 4
4( )
36Q P J
4,10 4
5( )
36Q P K
4,11 4 4( ) ( )
6 3 1 6 3 96 3 99
36 36 16 36 576 576 576
Q P L P M
4,12 4 4
5 3 1 5 3 80 3 83( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P N P O
4,13 4 4
4 3 1 4 3 64 3 67( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q
4,14 4
3( )
36Q P R
4,15 4
2( )
36Q P S
4,16 4 4
1 3 2 1 6 16 6 22( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P T P U
4,25 4 4
3 1 3( ) ( ) 0
36 16 576Q P V P W
4,40 4 4
3 1 3( ) ( ) 0
36 16 576Q P X P Y
Baris 5
5,1 5 5
2 1 2( ) ( ) 0
36 6 576Q P A P B
5,5 5 5
2 1 2( ) ( ) 0
36 36 576Q P C P D
5,6 5 5
2 1 2 2( ) ( ) 0 0
36 16 576 576Q P E P F
5,7 5
1( )
36Q P G
5,8 5 5
2 6 12( ) ( )
36 16 576Q P H P I
5,9 5
3( )
36Q P J
5,10 5
4( )
36Q P K
5,11 5 5( ) ( )
5 2 1 5 2 80 2 82
36 36 16 36 576 576 576
Q P L P M
5,12 5 5
6 2 1 6 2 96 2 98( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P N P O
5,13 5 5
5 2 1 5 2 80 2 82( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q
5,14 5
4( )
36Q P R
5,15 5
3( )
36Q P S
5,16 5 5
2 2 2 2 4 32 4 36( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P T P U
5,17 5
1( )
36Q P V
5,25 5 5
2 1 2( ) ( ) 0
36 16 576Q P W P X
5,40 5 5
2 1 2( ) ( ) 0
36 16 576Q P Y P Z
Baris 6
6,1 6 6 6
1 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0 0
36 16 36 6 576 576 576Q P A P B P C
6,5 6 6
1 1 1( ) ( ) 0
36 36 576Q P D P E
6,6 6 6
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P E P F
6,8 6 6
1 6 6( ) ( )
36 16 576Q P G P H
6,9 6
2( )
36Q P I
6,10 6
3( )
36Q P J
6,11 6 6 6( ) ( ) ( )
4 1 1 1 1 4 1 1 64 2 66
36 36 16 36 16 36 576 576 576 576
Q P K P L P M
6,12 6 6
5 1 1 5 1 80 1 81( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P N P O
6,13 6 6
6 1 1 6 1 96 1 97( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q
6,14 6
5( )
36Q P R
6,15 6
4( )
36Q P S
6,16 6 6
3 1 2 3 2 48 2 50( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P T P U
6,17 6
2( )
36Q P V
6,18 6 6
1 14 14( ) ( )
36 16 576Q P W P X
6,25 6 6
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P Y P Z
6,40 6 6
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P AO P BO
Baris 7
7,1 7 7
2 1 2( ) ( ) 0
36 16 576Q P A P B
7,9 7
1( )
36Q P C
7,10 7
2( )
36Q P D
7,11 7 7
3 2 1 3 2 48 2 50( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P E P F
7,12 7
4( )
36Q P G
7,13 7
5( )
36Q P H
7,14 7
6( )
36Q P I
7,15 7
5( )
36Q P J
7,16 7
4( )
36Q P K
7,17 7
3( )
36Q P L
7,18 7 7
2 14 28( ) ( )
36 16 576Q P M P N
7,19 7
1( )
36Q P O
Baris 8
8,1 8 8
3 1 3( ) ( ) 0
36 16 576Q P A P B
8,10 8
1( )
36Q P C
8,11 8 8
2 3 1 2 3 32 3 35( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P D P E
8,12 8
3( )
36Q P F
8,13 8
4( )
36Q P G
8,14 8
5( )
36Q P H
8,15 8
6( )
36Q P I
8,16 8
5( )
36Q P J
8,17 8
4( )
36Q P K
8,18 8 8
3 14 42( ) ( )
36 16 576Q P L P M
8,19 8
2( )
36Q P N
8,20 8
1( )
36Q P O
Baris 9
9,1 9 9
4 1 4( ) ( ) 0
36 16 576Q P A P B
9,11 9 9
1 4 1 1 4 16 4 20( ) ( )
36 36 16 36 576 576 576Q P C P D
9,12 9
2( )
36Q P E
9,13 9
3( )
36Q P F
9,14 9
4( )
36Q P G
9,15 9
5( )
36Q P H
9,16 9
6( )
36Q P I
9J = Kejadian pemain berpindah dari petak 9 ke petak 17
9,17 9
5( )
36Q P J
9,18 9 9
4 14 56( ) ( )
36 16 576Q P K P L
9,19 9
3( )
36Q P M
9,20 9
2( )
36Q P N
9,21 9
1( )
36Q P O
Baris 10
10,1 10 10
5 1 5( ) ( ) 0
36 16 576Q P A P B
10,11 10 10
5 1 5( ) ( ) 0
36 16 576Q P C P D
10,12 10
1( )
36Q P E
10,13 10
2( )
36Q P F
10,14 10
3( )
36Q P G
10,15 10
4( )
36Q P H
10,16 10
5( )
36Q P I
10,17 10
6( )
36Q P J
10,18 10 10
5 14 70( ) ( )
36 16 576Q P K P L
10,19 10
4( )
36Q P M
10,20 10
3( )
36Q P N
10,21 10
2( )
36Q P O
10,22 10
1( )
36Q P P
Baris 11
11,1 11 11 11
6 1 1 1 6 1 7( ) ( ) ( ) 0
36 16 36 16 576 576 576Q P A P B P C
11,6 11 11
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P D P E
11,11 11 11 11
6 1 1 1 7( ) ( ) ( ) 0
36 16 36 16 576Q P F P G P H
11,12 11 11
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P I P J
11,13 11
1( )
36Q P K
11,14 11
2( )
36Q P L
11,15 11
3( )
36Q P M
11,16 11
4( )
36Q P N
11,17 11
5( )
36Q P O
11,18 11 11
6 14 84( ) ( )
36 16 576Q P P P Q
11,19 11
5( )
36Q P R
11,20 11 11
4 1 1 64 1 65( ) ( )
36 36 16 576 576Q P S P T
11,21 11
3( )
36Q P U
11,22 11
2( )
36Q P V
11,23 11 11
1 6 6( ) ( )
36 16 576Q P W P X
11,25 11 11
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P Y P Z
11,26 11 11
1 2 2( ) ( ) 0
36 16 576Q P AO P BO
11,29 11 11
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P CO P DO
11,40 11 11
1 1 1( ) ( ) 0
36 16 576Q P EO P FO
Nama Lengkap : Bilqis El Jilnar
NIM : 104094003021
Tempat Tanggal Lahir : Bima, 20 Desember 1985
Alamat : Jl. Perintis, Gg. Pisang RT.09/03 Kel. Penaraga
Kec. Raba Kota Bima- NTB
Phone / Hand Phone : 02191402299 / 081382267305
Email : [email protected]
Jenis Kelamin : Perempuan
1. S1 : Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta,
Tahun 2004 - 2011
2. SMA : SMU 2 Raba Kota Bima – NTB , Tahun 2000 - 2003
3. SMP : SLTP 1 Raba Kota Bima – NTB , Tahun 1997 - 2000
4. SD : SDN 2 Raba Kota Bima – NTB, Tahun 1991 – 1997
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
Data Pribadi
Riwayat Pendidikan
BIODATA PENULIS