pemodelan fluktuasi harga saham …...waktu (heteroskedastic), dalam memodelkan laju inflasi di...
TRANSCRIPT
PEMODELAN FLUKTUASI HARGA SAHAM
BERPOLA EGARCH
Oleh
MUSLIKAN
M0198012
SKRIPSIditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2006
ii
SKRIPSI
PEMODELAN FLUKTUASI HARGA SAHAM
BERPOLA EGARCH
yang disiapkan dan disusun oleh
MUSLIKANM0198012
Dibimbing oleh
Pembimbing I Pembimbing II
Drs. Irwan Susanto, DEA Dra. Purnami WidyaningsihNIP. 132134694 NIP. 131695204
telah dipertahankan di depan Dewan Pengujipada hari Senin, tanggal April 2006dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Dra. Sri Subanti, M.Si 1. .……………………NIP. 131568293
2. Drs. Sugiyanto, M.Si 2. .……………………NIP. 132000804
3. Drs. Wiranto, M.Kom 3. .……………………NIP. 132044769
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan, Ketua Jurusan Matematika,
Drs. Marsusi, M.S. Drs. Kartiko, M.SiNIP. 130906776 NIP. 131569203
iii
MOTO
*ب ـصـانـت فـرغـإذا فـف* را ـسـر یـسـع العـإن مSesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka apabila kamu telah
selesai dari suatu urusan, kerjakanlah dengan sungguh-sungguh urusan yang lain.
(QS. Alam Nasyrah : 6-7)
*اـھـعـس والاإـسـفـ اهللا نفـلـك یالAllah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya
(QS. Al Baqarah : 286)
iv
PERSEMBAHAN
Skripsi ini kupersembahkan untuk Ayah dan Ibu tercinta, yang telah membesarkan,
memelihara dan memberikan segala fasilitas kepada penulis
v
KATA PENGANTAR
Bismillaahi walhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan ke hadirat
Alloh SWT atas segala nikmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
penulisan skripsi ini.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini, terutama penulis
tujukan kepada
1. Bapak Irwan Susanto, DEA, Pembimbing I, yang telah memberikan
banyak nasehat dan masukan kepada penulis,
2. Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, Pembimbing II sekaligus Pembimbing
Akademik yang dengan teliti dan sabar dalam memberikan nasehat, arahan
dan koreksi terhadap penulis untuk mencapai hasil yang maksimal,
3. Ibu, Bapak, kakak dan adikku tercinta yang selalu memberi dukungan,
dorongan dan do’a dalam menyelesaikan skripsi ini,
4. Teman-teman satu angkatan, Lanjar, Jaka, Ari W, Edy, Suwardi, Iwan dan
masih banyak lagi yang lainnya atas bantuan fasilitas dan fikiran,
5. Dik Tukah tersayang, atas do’a dan dorongannya dalam mengembalikan
semangat penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis dan semua pihak yang
membutuhkan.
Surakarta, April 2006
Penulis
vi
ABSTRAK
Muslikan, 2006, PEMODELAN FLUKTUASI HARGA SAHAM BERPOLA
EGARCH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas
Maret Surakarta.
Volatilitas digunakan sebagai ukuran untuk melihat seberapa besar perubahan
yang terjadi pada indikator-indikator ekonomi, salah satunya adalah perubahan harga
saham. Pemodelan volatilitas harga saham bertujuan untuk mengetahui perubahan
variansi dari sesatan model runtun waktu harga saham. Model EGARCH sebagai salah
satu bentuk pemodelan volatilitas mampu mendeteksi ketaksimetrisan volatilitas akibat
adanya isu-isu yang berbeda.
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mencari model volatilitas harga
saham melalui pendekatan teoritis, dalam hal ini model EGARCH yang sesuai, dan
mencari estimasi parameter model menggunakan metode maksimum likelihood. Metode
yang digunakan adalah studi literatur. Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam
mencari estimasi parameter model EGARCH adalah dengan terlebih dahulu
mengidentifikasi fungsi distribusi dari sesatan model runtun waktu, kemudian
menentukan fungsi likelihoodnya. Selanjutnya dengan menggunakan algoritma skoring,
parameter-parameter model EGARCH diestimasi.
Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa estimasi parameter model
mempunyai bentuk turunan fungsi logaritma yang rekursif, yaitu log th
sebagai fungsi
dari log t ih
.
vii
ABSTRACT
Muslikan, 2006 MODELING ON RETURN VOLATILITY BY EGARCH
MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret
University, Surakarta.
Volatility is used to measure how big change that happen at economic
indicators, one of them is volatility estimates of return. Modeling on return
volatility aim to know the fluctuation of variance from residual time series model.
An EGARCH model as one form of volatility models can detect the leverage or
asymmetric effect at volatility model that caused by different news.
The purposes of this final project are to look for the volatility model of
return through the theoretical approach i.e. the EGARCH model that appropriate,
and to determine the parameter estimation model using the maximum likelihood
method. The method is used in this final project is literature study. The steps are
used to find the parameters estimation of the EGARCH model are identify the
distribution function from the residual time series model first, and then determine
the likelihood function. Finally, using scoring algorithm, the parameters of the
EGARCH model are estimated.
From the investigation, it can be concluded that the parameters have the
recursive form of differential logarithm function, that is log th
as function from
log t ih
.
viii
DAFTAR ISI
hal
HALAMAN JUDUL……………………………………………………………...…. i
HALAMAN PENGESAHAN…………………………..…………....……………… ii
MOTO………………………………………………………..………………………. iii
PERSEMBAHAN……………………………………………………………………. iv
KATA PENGANTAR…………………………………..………………………....… v
ABSTRAK…………………………………………………………………………… vi
ABSTRACT………………………………………………………………………….. vii
DAFTAR ISI…………………………………………………………………………. viii
BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………………. 1
1.1 Latar Belakang Masalah …………………………….……………………… 1
1.2 Rumusan Masalah …………………………………….……………………. 2
1.3 Batasan Masalah ……………………………………….…..……………….. 3
1.4 Tujuan ………………………………………………….…………………… 3
1.5 Manfaat Penulisan. …………………………………….…………………… 3
BAB II LANDASAN TEORI………………………………….……………………. 4
2.1 Tinjauan Pustaka……………………………………………………………. 4
2.1.1 Ruang Sampel……………………………….…………………….. 4
2.1.2 Variabel Random…………………………….……………………. 4
2.1.3 Fungsi Gamma……………………………….……………………. 6
2.1.4 Proses Autoregresif ………………………….……………………. 6
2.1.5 Proses Moving Average ….………………….……………………. 8
2.1.6 Proses ARMA ……………………….……………………………. 8
2.1.7 Proses ARIMA ………..………………………………………….. 9
2.1.8 Kestasioneran ….……………………….…………………………. 10
2.1.9 Model ARCH……………………………………………………... 11
2.1.10 Uji Eksistensi ARCH …..……………….…….…………………... 12
2.1.11 Maksimum Likelihood ...……………………….…………………. 12
2.1.12 Model GARCH ...……………………….………………………… 14
2.1.13 Penduga Tak Bias …..…………………….………………………. 15
ix
2.1.14 Penduga Efisien …………………………………………………… 15
2.1.15 Eksponensial GARCH…………………….….…………………… 16
2.2. Kerangka Pemikiran………………………………….…………………….. 17
BAB III METODE PENULISAN…………………………………………………… 19
BAB IV PEMBAHASAN…………………………………………………………… 20
4.1 Identifikasi Model ………………………………………………………….. 20
4.2 Pendugaan Parameter ………………………………………………………. 25
4.3 Vektor Skor ………………………………………………………………… 26
4.4 EGARCH (1,1) …………………………………………………………….. 28
4.5 Matriks Informasi …………………………………….…………………….. 29
4.6 Algoritma Skoring ………………………………………………………….. 33
4.7 Langkah-langkah Pendugaan Parameter ………………….….….…………. 36
BAB V PENUTUP ……………………………………………….…………………. 37
5.1 Kesimpulan …………………………………………………………………. 37
5.2 Saran ………………………………………………………………………... 37
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….……………………. 38
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak fenomena di dalam bidang ekonomi dapat dimodelkan sebagai
persamaan/pertidaksamaan matematika (ekonometri). Sebagai salah satu bidang
disiplin ilmu, ekonometri telah mengalami banyak perkembangan. Laju inflasi,
fluktuasi harga saham, fluktuasi nilai tukar mata uang dan masalah finansial
lainnya adalah contoh dari beberapa fenomena yang telah banyak dikaji dan
dikembangkan modelnya.
Dalam bidang ekonomi keuangan, volatilitas digunakan sebagai ukuran
untuk melihat seberapa besar perubahan yang terjadi pada indikator-indikator
ekonomi. Perubahan harga saham yang sering terjadi bahkan hampir setiap hari
akan mempunyai volatilitas yang tinggi. Perubahan harga saham dapat
dipengaruhi oleh informasi atau isu tentang perubahan ekonomi makro yang
terjadi di masyarakat. Isu positif (good shock), misalnya kenaikan nilai tukar
rupiah terhadap dolar, dapat meningkatkan kepercayaan terhadap kinerja
perusahaan sehingga dapat menaikkan harga saham, sebaliknya isu yang negatif
(bad shock), misalnya demo buruh, dapat menurunkan harga saham. Jika
digambarkan dengan kurva, terlihat tidak simetris karena isu yang positif biasanya
mempunyai pengaruh yang lebih kecil terhadap besarnya volatilitas jika
dibandingkan dengan isu yang negatif (Nelson, 1991).
Model konvensional tentang volatilitas mengasumsikan bahwa volatilitas
mempunyai variansi konstan dalam satu periode. Engle (1982) memperkenalkan
suatu model tentang volatilitas yang mempunyai variansi berubah-ubah sepanjang
waktu (heteroskedastic), dalam memodelkan laju inflasi di negara Inggris pada
tahun 1970an, yaitu model runtun waktu bertipe Autoregressive conditional
heteroskedasticity (ARCH). Hingga saat ini telah banyak tulisan tentang aplikasi
model ARCH dalam beberapa masalah yang berkaitan dengan ekonomi keuangan.
Salah satu diantaranya yang menarik dibahas dalam tulisan berikut adalah
2
bagaimana mencari model fluktuasi harga saham dengan pola ARCH yang
mengandung fungsi eksponensial.
Generalize Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH)
adalah bentuk umum dari ARCH. Dalam beberapa persoalan keuangan, keluarga
model GARCH telah sukses dan banyak digunakan, tetapi ada salah satu
karakteristik data yang tidak terbaca dengan baik oleh model GARCH, yaitu
ketaksimetrisan data disebabkan adanya guncangan (shock) dari luar yang
mempengaruhi besar kecilnya volatilitas. Menurut Black di dalam Engle (1982),
berpendapat bahwa terdapat korelasi yang negatif antara fluktuasi keuntungan
modal (asset return volatility) saat ini dengan volatilitas return yang akan datang.
Isu positif mempunyai pengaruh lebih kecil terhadap volatilitas dibandingkan
informasi buruk. Salah satu model ARCH yang mampu mendeteksi
ketaksimetrisan data adalah model Exponential ARCH (EARCH). Sebagaimana
model GARCH, model EGARCH (Exponential GARCH) adalah bentuk umum
dari EARCH. Ada dua perbedaan yang mendasar antara model GARCH dan
EGARCH yaitu secara grafik, kurva EGARCH sebagai fungsi dari return
mempuyai bentuk yang tidak simetris pada kedua sisinya (sisi negatif return dan
sisi positif return) dan secara analitik, stasionaritas dan ergodisitas EGARCH
lebih mudah diperiksa (Nelson, 1991).
Model EGARCH dengan orde q, p atau dapat ditulis EGARCH(q,p)
adalah model volatilitas berpola ARCH yang nilainya tergantung dari q nilai-nilai
terakhir dari volatilitas sebelumnya dan p nilai-nilai terakhir dari sesatan
sebelumnya. Dalam skripsi ini dibahas pemodelan volatilitas terhadap fluktuasi
harga saham berpola EGARCH dan metode algoritma skoring dalam mencari
estimasi parameter model EGARCH, dengan asumsi bahwa perdagangan
berlangsung secara kontinu atau banyaknya hari libur dalam perdagangan
diabaikan.
3
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, masalah yang dibahas dalam
penulisan ini adalah
1. bagaimana cara mengidentifikasi model fluktuasi harga saham dengan
volatilitas berpola EGARCH,
2. bagaimana mengestimasi parameter-parameter model EGARCH.
1.3 Batasan Masalah
1. Fluktuasi harga saham mempunyai model runtun waktu ARIMA(1,0,0)
dengan sesatan mengandung gejala heterokedastisitas.
2. Perdagangan saham diasumsikan kontinu, atau dengan kata lain hari
libur dalam perdagangan (non trading days) diabaikan.
1.4 Tujuan
Berdasarkan pada permasalahan yang ada, maka tujuan yang ingin dicapai
dalam penulisan tugas akhir ini adalah
1. dapat mengidentifikasi model runtun waktu ARIMA(1,0,0) dengan
sesatan berpola EGARCH.
2. mendapatkan estimasi parameter-parameter model EGARCH.
1.5 Manfaat Penulisan
Secara teoritis manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah
menambah wacana tentang pemodelan matematika dalam bidang keuangan
khususnya tentang peramalan dengan sesatan mempunyai variansi
heteroskedastik.
4
BAB II
LANDASAN TEORI
.
2.1 Tinjauan Pustaka
Pada sub bab ini dikemukakan beberapa teori yang mendasari pembahasan
pemodelan volatilitas harga saham dengan variansi heteroskedastik bertipe
EGARCH. Beberapa konsep dasar statistik diantaranya tentang ruang sampel,
variabel random, fungsi kepadatan peluang dan sebagainya, diberikan juga
penurunan model ARIMA, model ARCH dan EARCH.
2.1.1 Ruang Sampel
Menurut Bain dan Engelhardt (1991), jika dilakukan suatu pengamatan
terhadap data, maka himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu
pengamatan dinamakan ruang sampel dan dinotasikan dengan S.
2.1.2 Variabel Random
Variabel X dikatakan variabel random jika suatu fungsi yang terdefinisi
dalam ruang sampel S, mempunyai hubungan dengan bilangan real sehingga
( )X e x untuk setiap e dalam S. Jika himpunan dari semua nilai yang mungkin
dalam variabel random X merupakan himpunan terhitung nxxx ,...,, 21 maka X
disebut variabel random diskrit, tetapi jika semua nilai yang mungkin dalam
variabel random X adalah himpunan tak terhitung, misalkan bax , dengan x, a
dan b real, maka X disebut variabel random kontinu. Bain dan Engelhardt (1991),
menyajikan fungsi densitas probabilitas (fdp) dari X sebagai
1 2, , ,..., nf x P X x x x x x untuk X diskrit dan bax , untuk X
kontinu, dan mempunyai sifat
1. xxf 0
2. 1x
xf untuk X variabel random diskrit dan
5
3. 1x
xf untuk X variabel random kontinu,
sedangkan fungsi distribusi kumulatif (fdk) dari variabel random X disajikan
sebagai F x P X x , untuk X variabel random kontinu maka
F x f t dt
.
Definisi 2.1.1 (Bain dan Engelhart, 1991) Jika X variabel random kontinu dengan
fdp xf , maka harga harapan dari X dinotasikan xE , didefinisikan
dxxxfxE (2.1)
untuk nilai integral yang konvergen mutlak, jika tidak maka dikatakan harga
harapan X tidak ada.
Teorema 2.1.1 (Bain dan Engelhart, 1991) Jika X dan Y variabel random
kontinu, xg dan yh keduanya adalah fungsi, maka
yhExgEyhxgE (2.2)
Persamaan (2.2) dapat diperluas lebih dari dua fungsi variabel random,
yaitu jika kXX ,...,1 suatu barisan variabel random, kk xuxu ,...,11 adalah
barisan fungsi, maka kkkk xuExuExuxuE ...,..., 1111 (2.3)
Beberapa fdp kontinu yang sangat mendukung dalam pembahasan skripsi
ini diantaranya adalah distribusi normal dan normal standar dan distribusi
eksponensial. Bain dan Engelhardt (1991), mendefinisikan suatu variabel random
X berdistribusi normal dengan mean dan variansi 2 , dinotasikan
,~ NX jika X mempunyai fdp
212
1; ,
2
xf x e
dengan ,x dan adalah parameter yang masing-masing
mempunyai nilai dan 0 . Selanjutnya jika suatu variabel
random Z berdistribusi normal dengan mean =0 dan =1, maka Z dikatakan
6
mempunyai distribusi normal standar, biasanya dinotasikan 0,1Z N: , dengan
fdp
2 21
2zz e
, z (2.4)
Menurut Bain dan Engelhardt (1991), suatu variabel random kontinu X
berdistribusi eksponensial dengan parameter 0 , jika X mempunyai fdp
1,
xf x e
untuk 0x , dan sama dengan nol untuk x yang lain.
Definisi 2.1.2 (Bain dan Engelhardt, 1991) misalkan suatu barisan variabel
random 1 2, ,..., nY Y Y , masing-masing mempunyai fdk 1 2, ,..., nG y G y G y dan
untuk suatu fdk dari ,Y G y , berlaku lim nn
G y G y
untuk setiap y dengan
G y kontinu, maka dikatakan barisan 1 2, ,..., nY Y Y konvergen dalam distribusi ke
Y, dinotasikan dnY Y .
2.1.3 Fungsi Gamma
Fungsi gamma, dinotasikan v , sebagaimana ditulis oleh Bain dan
Engelhardt (1991), didefinisikan sebagai
0
1 dxexv xv , 0v (2.5)
Teorema 2.1.2 (Bain dan Engelhardt, 1991) Fungsi gamma sebagaimana
didefinisikan persamaan (2.5) memenuhi sifat
1. 1 1v v v untuk 1v
2. 1 !n n untuk 1, 2,...n dan
3.1
2
2.1.4 Proses Autoregresif
Menurut Box dan Jenkins (1994), runtun waktu (time series) adalah
himpunan dari pengamatan yang dibangkitkan berderet menurut waktu. Hal yang
7
paling penting dalam runtun waktu adalah model stasioner, yang mengasumsikan
proses tetap bergerak dalam suatu tingkat mean yang konstan.
Menurut Cryer (1986), proses autoregresif adalah proses regresi terhadap
dirinya sendiri. Secara khusus proses autoregresif berorde-p untuk variabel
random tY dapat ditulis dengan AR (p) yang memenuhi persamaan
tptpttt YYYcY ...1211
Nilai yang disajikan deret tY adalah suatu kombinasi linier dari p nilai-nilai
terakhir ditambah nilai sesatan t .
Proses AR(1), dengan asumsi deretnya stasioner dapat ditulis sebagai
1
1
1t t t
t t
t t
Y Y
L Y
L Y
dengan L adalah fungsi lag, didefinisikan sebagai 1i
t tL Y Y dan
11 ... PP PL L L . Proses AR(1) stasioner, jika akar persamaan
karakteristiknya yaitu 1 11 0L L berada di luar lingkaran satuan atau
1 . Sedangkan t adalah white noise dengan 0E dan
2
0 .t
untuk tE
yang lain
Proses AR(2), dengan asumsi deretnya stasioner dapat ditulis sebagai
1 1 2 2
21 2
2
1
.
t t t t
t t
t t
Y Y Y
L L Y
L Y
Proses AR(2) stasioner jika akar persamaan karakteristiknya yaitu
21 1 2
1,22
4
2L
berada di luar lingkaran satuan atau
2
1 2
2 1
1
1
1
8
2.1.5 Proses Moving Average
Menurut Cryer (1986), proses moving average orde q, ditulis MA(q),
dapat dinyatakan sebagai
1 1 2 2 ...
,
t t t t q t q
t q t
Y
Y L
dengan persamaan karakteristiknya 0q L
Jika dipenuhi syarat invertibel maka proses MA(q) merupaka prosesyang
stasioner. Syarat proses MA(q) ivertibel adalah akar dari 0q L terletak di
luar lingkaran satuan.
Proses MA(1) dapat dituliskan sebagai
1
1 .t t t
t t
Y
Y L
Proses MA(1) invertibel jika akar persamaan karakteristik 1 1 0L L
terletak di luar lingkaran satuan atau 1 . Sedangkan proses MA(2) dapat
dituliskan sebagai
1 1 2 2
21 21 .
t t t t
t t
Y
Y L L
Proses MA(2) dikatakan invertibel jika akar persamaan karakteristiknya yaitu
21 1 2
1,22
4
2L
berada di luar lingkaran satuan atau
2
1 2
2 1
1
1
1.
2.1.6 Proses ARMA
Suatu proses ARMA (p,q) adalah gabungan dari proses autoregresif dan
moving average. Menurut Cryer (1986), proses tersebut dapat dinyatakan
1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t t q t qY c Y Y Y
9
21 2 1 21 ... 1 ...p q
p t q tL L L Y c L L L (2.6)
jika akar dari 21 21 ... 0p
pz z z berada di luar lingkaran satuan, maka
kedua ruas pada persamaan (2.6) dapat dibagi dengan 1 21 ... ppL L L ,
diperoleh
t tY L
dengan
21 2
21 2
1 ...
1 ...
pp
L L LL
L L L
, (2.7)
0j
j
dan 1 2/ 1 ... pc .
Dari persamaan (2.7) terlihat bahwa stasioneritas proses ARMA tergantung hanya
kepada parameter-parameter autoregresif 1 2, ,..., p dan tidak tergantung pada
parameter-parameter moving average 1 2, ,..., q .
2.1.7 Proses ARIMA
Menurut Bowerman dan O’connell (1986), untuk menentukan model
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA), pertama-tama digunakan
pembedaan secara umum
*1 1D dl
t tZ L L Y ,
guna mentransformasi data runtun waktu yang asli 1 2, ,..., nY Y Y yang mempunyai
variansi musiman ke dalam data runtun waktu yang stasioner 1, ,...,b b n bZ Z Z ,
dengan cara memperhatikan perilaku fungsi autokorelasi dan autokorelasi parsial.
Model ARIMA l( , , )( , , )p d q P D Q adalah
l lp P t q Q tL L Z c L L
dengan
p adalah orde autoregresif tak musiman,
P adalah orde autoregresif musiman,
10
q adalah orde moving average tak musiman,
Q adalah orde moving average musiman,
l adalah panjang musiman,
p L adalah operator autoregresif tak musiman berorde p,
P L adalah operator autoregresif musiman berorde P,
q L adalah operator moving average tak musiman berorde q,
lQ L adalah operator moving average musiman brorde Q,
c adalah konstanta dan
t adalah sesatan variabel random.
2.1.8 Kestasioneran
Menurut Makridakis, dkk (1999), model ARIMA hanya dapat diterapkan
pada deret data yang stasioner. Kestasioneran data ada dua, yaitu stasioner
terhadap mean dan stasioner terhadap variansi. Deret data dikatakan stasioner jika
dibangkitkan oleh proses yang didasarkan pada mean yang konstan dan variansi
yang konstan di sekitar meannya. Kemudian menurut Bowerman dan O’connell
(1987) runtun waktu dikatakan stasioner jika sifat statistiknya (sebagai contoh
mean dan variansi) dari runtun waktu tersebut betul-betul konstan terhadapa
waktu. Dalam kenyatannya sangat jarang ditemukan data yang stasioner,
khusunya di bidang ekonomi.
Jika data tidak stasioner terhadap mean maka dilakukan pembedaan pada
data, dan jika tidak stasioner terhadap variansi maka dilakukan transformasi.
Salah satu transformasi yang dapat digunakan adalah transformasi Box-Cox.
Definisi 2.1.3 (Cryer, 1986) Untuk suatu nilai parameter , didefinisikan
transformasi Box-Cox sebagai berikut
1, 0,
log , 0.
kt
t
t
Yg Y
Y
11
Untuk memperoleh transformasi yang sesuai sehingga diperoleh data yang
stasioner terhadap variansi, perlu dikenakan beberapa nilai pada data yang
tidak stasioner. Kemudian diperiksa masing-masing hasil transformasi tersebut.
Dari beberapa nilai yang diberikan, dilakukan transformasi yang sesuai sebagai
berikut
Nilai Transformasi
-1* 1
tt
YY
-0,5* 1
t
t
YY
0 * logt tY Y
0,5 *t tY Y
0,01 * 100t tY Y
Tabel 2.1 Transformasi Box-Cox
2.1.9 Model ARCH
Salah satu pendekatan model ekonometrik adalah dengan cara
menjabarkan kuadrat sesatan yang diperoleh dari model autoregresif sehingga
menjadi suatu autoregresif baru. Engle menyatakan bahwa suatu proses t yang
memenuhi
2 2 21 1 2 2 ...
~ 0,1 1,...,
t t t
t t t q t q
t
v h
h
v N iid t T
(2.8)
disebut ARCH orde q atau qARCHt ~ . Proses tersebut dapat disajikan
menjadi tqttt hN ,0~,...,1 , yang menunjukkan bahwa distribusi bersyarat
dari t mempunyai variansi th yang tergantung secara linier terhadap q nilai-nilai
terakhir dari proses atau mempunyai variansi tidak konstan (heteroskedastic).
12
2.1.10 Uji Eksistensi ARCH
Uji eksistensi ARCH digunakan untuk menguji ada tidaknya efek
heteroskedastisitas dalam data. Engle (1982), menyusun uji efek ARCH
berdasarkan prinsip pengali Lagrange. Misalkan tY adalah himpunan pengamatan
selama waktu t, dengan 1,...,t T yang dipengaruhi faktor eksogen tx , memenuhi
model regresi linier ttt xY ' dengan 'tx adalah vektor 1 k untuk faktor
eksogen yang dapat dinyatakan sebagai
'1 2, ,...,t t t tkx x x x .
Sedangkan adalah vektor parameter berdimensi 1k atau koefisien dari
variabel eksogen yang dapat dinyatakan sebagai
1 1 2, ,..., 'k k .
Selanjutnya dengan menggunakan metode kuadrat terkecil diperoleh
sesatan t kemudian disusun persamaan regresi 2ˆt terhadap 2 2 21 2 1ˆ ˆ ˆ, ,...,t t
2 2 21 1ˆ ˆ ˆ...t t q t q tw (2.9)
kemudian dibuat statistik uji
2 TRLM
dengan 2R merupakan koefisien korelasi kuadrat berkaitan dengan model regresi
pada persamaan (2.9) dan qdLM
2 . Hipotesis nol, H0, menyatakan tidak
ada efek ARCH dalam data. Daerah kritis, menolak H0, jika LM q .
2.1.11 Maksimum Likelihood
Pada variabel random kontinu, fungsi likelihood didefinisikan sebagai
kepadatan bersama dari pengamatan Tyyy ,...,, 21 . Menurut Greene (1993),
fungsi likelihood yang didefinisikan sebagai fungsi dari vektor parameter dapat
dinyatakan sebagai
1 21
, ,..., ; ;T
T tt
f y y y f y L
13
Penyelesaiannya dapat disederhanakan dengan log dari fungsi likelihood.
Harga dari vektor parameter yang memaksimumkan fungsi ini disebut penduga
maksimum likelihood, biasanya dinyatakan sebagai . Harga yang
memaksimumkan fungsi likelihood, juga memaksimumkan log likelihoodnya.
Jika Llog didifferensialkan terhadap , kemudian disamadengankan nol,
diperoleh akar, , sebagai penduga parameter . Secara analitik sulit ditemukan
penduga maksimum likelihood dari parameter , sehingga diperlukan metode
penyelesaian numerik, dalam hal ini digunakan metode optimasi. Ide dasar dari
metode optimasi ini adalah mencari penduga parameter optimal, , yang
memaksimumkan dengan proses yang berlangsung secara iteratif. Salah satu
metode optimasi tersebut adalah metode skoring seperti dalam Hamilton (1994),
1 logˆ ˆ ˆk
kk k l
(2.10)
dengan k menyatakan iterasi, merupakan penduga vektor parameter, sedangkan
k penduga matriks informasi untuk vektor parameter yang dievaluasi pada
iterasi ke-k dan
kllog adalah turunan pertama dari fungsi log likelihood
yang dievaluasi pada iterasi ke-k, sedangkan
kllog disebut vektor skor
untuk parameter .
Matriks informasi, , merupakan negatif dari harga harapan pada fungsi
Hessian. Hamilton (1994), mendefinisikan fungsi Hessian, dinotasikan n nH ,
sebagai turunan kedua dari 1 l terhadap , ditulis
2
' 't t
l l
Misalkan t adalah suatu vektor random 1p , dari ruang sampel S , yang
mempunyai elemen '1,...,t t t p , dan untuk sebarang t , didefinisikan *
t
yaitu suatu vektor random berdimensi 1p yang identik dengan t kecuali pada
14
elemen ke-m untuk 1 m p , yaitu *'1,..., ,...,t t t m t p , definisi-definisi
berikut menjelaskan sifat simateris dan regular dari model ARCH.
Definisi 2.1.4 (Engle, 1982) Proses ARCH, sebagaimana didefinisikan
persamaan (2.4), dikatakan simetris jika
a. *t th h , untuk sebarang m dan t S
b. */ /t i t ih h untuk sebarang m, i dan t S
c. */ /t t m t t mh h untuk sebarang m dan t S .
Definisi 2.1.5 (Engle, 1982) Proses ARCH, sebagaimana didefinisikan
persamaan (2.4), dikatakan regular jika
a. min th untuk suatu 0 dan t S ,
b. 1/ /t i t t m t mE h h ada untuk setiap i, m dan t
Teorema 2.1.3 ( Engle, 1982 ) Jika model ARCH memenuhi sifat simetris
dan regular, maka ˆ 0
2.1.12 Model GARCH
Model ARCH digeneralisasikan oleh Bollerslev (1986) dengan model
GARCH, yaitu untuk q pada model ARCH (q), persamaan (2.8) dapat
ditulis kembali menjadi
2tt Lh (2.11)
dengan
1
ii
i
L L
L adalah fungsi lag, didefinisikan 22itt
iL .
Secara numerik, menurut Hamilton (1994), L dapat dinyatakan sebagai
pembagian dari dua polinomial dengan orde berhingga
p
p
LLL
LLL
L
LL
...1
...
1 22
11
22
11 (2.12)
15
dengan syarat bahwa akar-akar dari 1 0z berada di luar lingkaran
satuan. Jika persamaan (2.12) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.11)
diperoleh
2
1 tt L
Lh
2
0 1 1 2 2
2 2 21 1 2 2
1 1 1
...
...
t t
t t t p t p
t t q t q
L h L
h h h h
p
i
q
iitiitit hh
1 1
20 (2.13)
dengan r ...1 210 . Persamaan (2.13) merupakan bentuk
GARCH (p,q)
2.1.13 Penduga Tak Bias
Suatu penduga T, terhadap fungsi parameter dikatakan efektif atau
tak bias jika harga harapan dari T sama dengan .
Definisi 2.1.6 (Bain dan Engelhart, 1991) Suatu statistik T dikatakan penduga tak
bias dari jika memenuhi
TE
untuk setiap , jika tidak berlaku, maka T dikatakan estimator bias.
2.1.14 Penduga Efisien
Efisiensi dari suatu penduga dapat dilihat dari variansi penduga tersebut.
Suatu penduga dikatakan efisien jika variansinya kecil, oleh karena itu suatu
penduga dikatakan efisien, relatif terhadap penduga lain jika variansinya lebih
kecil dari variansi penduga yang lain.
Definisi 2.1.7 (Bain dan Engelhardt, 1991) Misalkan T dan *T keduanya penduga
dari , efisiensi relatif dari penduga T terhadap *T , dinotasikan *,re T T ,
didefinisikan
16
T
TTTre
var
var,
.
Lebih lanjut suatu penduga tak bias T terhadap dikatakan efisien
jika memenuhi 1, TTre untuk setiap penduga tak bias T terhadap .
2.1.15 Exponential GARCH
Jika th adalah variansi bersyarat dari t diberikan informasi pada waktu
ke-t, maka th haruslah nonnegatif. Model GARCH menjamin hal ini dengan
membuat th sebagai kombinasi linier dari variabel random positif. Cara lain untuk
menjamin kenonnegatifan th adalah dengan membuat log th sebagai fungsi
linier dari waktu (t) dan lag dari tv , yaitu
11
ln , 1
t t t
t t k t kk
v h
h g v
(2.14)
dengan ,tt dan ,1kk , bernilai real, stokastik dan merupakan barisan
skalar. Di dalam mendeteksi ketaksimetrisan volatilitas th terhadap return
saham t , nilai tvg haruslah sebagai fungsi dari tv pada kedua sisi tanda (- tv
dan + tv ). Salah satu caranya adalah dengan cara membuat tvg sebagai
kombinasi linier dari tv dan | tv |, yaitu
tttt vEvzvg
,ttvg mempunyai mean 0 , merupakan barisan variabel randon yang
independen dan berdistribusi identik (i.i.d). Sepanjang interval tv0 , kurva
tvg linier dengan gradient , dan sepanjang interval 0 tv , kurva
tvg linier dengan gradient . Inilah yang menyebabkan variansi bersyarat
th tidak simetris dalam merespon naik turunnya return saham.
Persamaan (2.14) juga dapat dinyatakan sebagai pembagian dua deret yang
berhingga, yaitu
17
1
1
1
1 ...log( )
1 ...
t t t
t t tpp
v h
L Lh g v
L L
(2.15)
dengan syarat,
pi
ii y
,11 dan
qi
ii y
,11 tidak mempunyai akar sama
dan akar dari
qi
ii y
,11 berada di luar lingkaran satuan.
Model EGARCH dapat diestimasi oleh maksimum likelihood dengan
menentukan terlebih dahulu fungsi densitas untuk tv . Nelson (1991), menyajikan
suatu fungsi Generalized Error Distribution (GED), yaitu suatu fungsi
pembangkit untuk variabel yang mempunyai bentuk eksponensial, sebagai fungsi
densitas untuk tv
1
2
1
exp
, , 01
.2
v
t
t tv
v
vv
f v v v
v
.
2.2 Kerangka Pemikiran
Model runtun waktu AR(1) pada fluktuasi harga saham dengan sesatan
berpola heteroskedastik mempunyai fungsi variansi berupa var t th . Fungsi
th merupakan fungsi terhadap waktu. Gejala heteroskedastik dari data dapat
berbentuk ARCH, GARCH, EGARCH atau yang lain. Dengan menggunakan test
pengali Lagrange, dapat ditentukan apakah model yang disajikan memenuhi atau
tidak.
Model EGARCH adalah salah suatu model EGARCH yang mampu
membaca ketaksimetrisan volatilitas, th , akibat guncangan, shock, terhadap
volatilitas, karena sesuai dengan realitas bahwasannya isu negatif, misalkan isu
demo buruh, mempunyai efek lebih besar terhadap fluktuasi harga ketimbang isu
positif, misalnya kebijakan pemerintah menunda kenaikan harga bahan bakar
minyak dan lain sebagainya.
18
Setelah model yang disajikan memenuhi, selanjutnya adalah melakukan
pendugaan parameter-parameter model secara iteratif dengan menggunakan
algoritma skoring.
19
BAB III
METODE PENULISAN
Dalam penulisan skripsi ini, metode yang digunakan adalah metode literatur
yang berarti bahwa keseluruhan bahan untuk penulisan skripsi ini diambil dan
bersumberkan pada buku-buku referensi dan teori-teori yang mendukung tujuan
penulisan skripsi ini, meliputi
1. kajian terhadap model regresi dengan sesatan berpola EGARCH,
2. kajian terhadap pendugaan maksimum likelihood terhadap parameter untuk
model EGARCH(1,1) sebagai salah satu model EGARCH yang mempunyai
bentuk cukup sederhana dan mudah untuk dilakukan pendugaan parameter, yang
mencakup tahapan-tahapan menduga parameter dengan metode maksimum
likelihood, kemudian mencari harga dengan menggunakan algoritma skoring.
20
BAB IV
PEMBAHASAN
Misalkan dipunyai data runtun waktu harga saham dalam kurun waktu
tertentu memenuhi bentuk model runtun waktu AR(1) dengan volatilitas
mempunyai gejala heteroskedastik. Kemudian dilakukan pengujian model
EGARCH sebagai salah satu model volatilitas harga saham yang dapat
mendeteksi ketaksimetrisan volatilitas akibat adanya isu yang terjadi. Dalam bab
ini dibahas mengenai metode pendugaan parameter model EGARCH
menggunakan algorima skoring.
4.1 Identifikasi Model
Menurut Nelson (1991), pemodelan volatilitas dengan memanfaatkan
model bertipe EGARCH dilakukan dengan mengasumsikan bahwa log dari
perbandingan harga saham saat ini dengan harga saham sebelumnya (return), tR ,
dapat direpresentasikan mengikuti proses autoregresif AR(1)
ttt bRaR 1 (4.1)
Dengan sesatan random t , yang diperoleh pada pengamatan 1,...,t T
berdistribusi identik dan independen (i.id) dengan mean = 0 dan variansi, th ,
berubah-ubah sebagai fungsi dari waktu (t) memenuhi persamaan (2.15), yaitu
1
1
1
1 ...log( )
1 ...
t t t
pp
t t tqq
v h
L Lh g v
L L
(4.2)
dengan syarat 1
1q
ii
i
y
dan
1
1p
ii
i
y
tidak mempunyai akar yang sama,
1 1 1 1t t t tg v v E v v , (4.3)
dan log 1t tN , dengan tN menyatakan banyaknya hari libur dalam
perdagangan (non trading days). Misalkan diasumsikan bahwa perdagangan
21
berlangsung kontinu, dalam hal ini 0tN , maka t dan persamaan (4.2)
menjadi :
1
1
1
1 ...log( )
1 ...
pp
t tqq
L Lh g v
L L
(4.4)
Sebagaimana penurunan model GARCH(p,q) dari model ARCH(p), untuk
p , maka persamaan (4.4) dapat ditulis menjadi :
1 1
1 1 2 2 1 1
2 2
log log
log log ... log
...
q p
t i t i j t ji j
t t q t q t
t p t p
h h g v
h h h g v
g v g v
(4.5)
dengan 1 ... p .
Jika persamaan (4.3) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.5), maka diperoleh
1 1
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
log log
log log ... log
...
q p
t i t i j t ji j
t t q t q
t t t t t t
p t p t p t p
h h g v
h h h
v E v v v E v v
v E v v
(4.6)
selanjutnya model di atas dinamakan model EGARCH(q,p).
Parameter-parameter model EGARCH pada persamaan (4.6) diestimasi
dengan menggunakan maksimum likelihood dengan terlebih dahulu menentukan
fungsi densitas dari tv . Nelson (1991), memperkenalkan suatu fungsi densitas
untuk tv , berupa fungsi pembangkit untuk variabel random yang mempunyai
fungsi distribusi berbentuk eksponensial, yang dikenal sebagai generalized error
distribution (GED), yaitu
1
2
1
exp
, , 0 ,1
.2
v
t
t tv
v
vv
f v v v
v
22
dengan g adalah fungsi gamma, adalah suatu konstanta yang mempunyai
nilai
12 21
2
3
v
v
v
dan v adalah suatu parameter positif yang menunjukkan ‘ketebalan ekor’ dari
tvf yaitu jika 2v , maka tv mempunyai distribusi normal standar; untuk v<2,
maka distribusi dari tv mempunyai ekor lebih tebal daripada distribusi normal
(contoh ketika 1v , maka tv berdistribusi double exponential) dan untuk 2v ,
distribusi tv mempunyai ekor lebih tipis dari pada normal.
Harga harapan untuk nilai mutlak tv menurut persamaan (2.1) adalah
12
1
12
10
121
0
exp
.2 1
exp2
.2 1
2 exp
.2 1
t t t t
v
t
t tv
v
v
t
t tv
v
v
t t tv
v
E v v f v dv
v vv dv
v
v vv dv
v
vv v dv
v
1
210
2 exp
.2 1
v
t t t tv
v
vE v v v dv
v
(4.7)
untuk menyelesaikan persamaan (4.7), bentuk integrannya ditransformasi terlebih
dahulu supaya memenuhi bentuk fungsi gamma. Misalkan xv
v
t
2
1maka
23
1 1
2v vtv x dan
1 111
2v vtdv x dx
v
. Jika disubstitusikan ke persamaan (4.7)
menjadi
1 1 1 11
1 0
1 11 12 1
1 0
12
1
0
1
12 2 exp 2
1.2
2 22 exp[ ]
1.2
2exp[ ]
1
2 21
v v v vt
v v
v vv v
v v
vv
v
vE v x x x dx
vv
vx x x dx
v
x x dx
v
vv
jika tv berdistribusi normal standar, dalam hal ini 2v , maka 1 dan
2 /tE v , sehingga persamaan (4.6) menjadi
1 1 2 2 1 1
2 2 1 1 2 2
log log log ... log
... 2 2
... 2
t t t q t q t
t p t p t t
p t p
h h h h v
v v v v
v
dengan i i
Model EGARCH dapat ditentukan dengan asumsi bahwa mean dari ty
diberikan tx yang merupakan kombinasi linier dari lag variabel endogenous dan
eksogenous termasuk himpunan pengamatan hingga 1t , 1t , dengan adalah
suatu parameter berbentuk vektor yang belum diketahui, atau dapat ditulis
24
1
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
,
log log log ... log
... 2 2 ...
2
t t t t
t t t q t q t t
p t p t t
p t p
t t t
y N x h
h h h h v v
v v v
v
y x
:
(4.8)
denga t menyatakan vektor pengamatan yang diperoleh sampai waktu t
'' ' ' ' '1 1 0 1 1 1 0 1, ,..., , ,..., , , ,..., , ,...,t t t m t t my y y y y x x x x x , dan t
t
t
vh
.
Karena t dapat dinyatakan sebagai
't t ty x dan t
t
t
vh
maka
1,t t t tVar y x h
dengan
11 1 2 2 1
1
122 1
2 1
22
2
log log log ... log
... 2
2 ... 2
tt t t q t q
t
t p ttp
t t p t
t ptp
t t p
h h h hh
h h h
h h
'1 1
1 1 2 2 1
1
'''1 12 2
2 1
2 2 1
' '2 2
2
2 2
log log ... log
... 2
2 ... 2
t tt t q t q
t
t tt p t pt tp
t t t
t t t p t p
p
t t
y xh h h
h
y xy xy x
h h h
y x y x
h h
= ',t tz h
25
dengan
1 1 1, ,..., , ,..., , ,...,q p p
dan
1
'1 1
'
'1 1
1
'
1
log
log
,
2
2
t
t q
t t
t
t tt p t p
t
t t
t
t p t p
t p
h
h
y x
h
z hy x
h
y x
h
y x
h
M
M
M
4.2 Pendugaan Parameter
Fungsi kepadatan bersyarat bersama adalah perkalian dari semua
kepadatan bersyarat, ditulis
1 1 2 2 1 1 2 2, ,...,
1
, ,..., ; ;T T
T
T T t tY X Y X Y Xt
f y x y x y x f y x
. Oleh karena itu, fungsi
log pada m pengamatan pertama merupakan penjumlahan dari log likelihood.
Nelson (1991), menyusun persamaan log likelihood untuk model EGARCH
sebagai
26
11
1
1
'
1 1
1
log ,
log / 1 log 2 log 1/
1/ 2 log 1/ 2
T
T t t tt
T
t
T T v
t t t tt t
T
t
L f y x
v v v
h y x h
l
(4.9)
dengan 1log ,t t tf y x l
untuk 2v , maka 1 dan persamaan (4.9) menjadi
2'
1 1
/ 2 log 2 1/ 2 log 1/ 2T T
t t
T tt t t
y xL T h
h
dengan ,
Untuk mendapatkan nilai yang maksimum, yaitu dengan cara
menurunkan log likelihood, kemudian disamadengankan nol. Namun pada
kenyataannya, secara analitik, sulit ditemukan penduga maksimum likelihood dari
parameter , sehingga diperlukan metode penyelesaian numerik. Dalam hal ini
digunakan metode optimasi, yaitu menggunakan algoritma skoring seperti dalam
Hamilton (1994), yaitu
1 logˆ ˆ ˆk
kk k l
dengan ˆ dinamakan matriks informasi dan
log l
disebut sebagai vektor
skor.
4.3 Vektor Skor
Salah satu perangkat untuk menyusun algoritma skoring adalah vektor
skor. Menurut Hamilton (1994), turunan dari fungsi log likelihood bersyarat dari t
pengamatan terhadap vektor parameter dikenal sebagai vektor skor. Untuk
27
fungsi log likelihood pada persamaan (4.9) mempunyai vektor skor
1
2'
log ,
1/ 2 log 2 1/ 2 log 1/ 2
t t t t
t t
tt
S f y x
y xh
h
2 2' '
2
2 2' '
1 log 1 1
2 2
1 log 1 1 log
2 2
t t t tt t
t t
t t t tt t
t t
y x y xh h
h h
y x y xh h
h h
sedangkan
2 2' '
'
'
t t t ty x y x
2'
2'
'
'
2
t t
t t
t t
y x
y x
x
0
dan
11 1 1
1
11
1
1 1
log ... log ...
2 ... 2log
log 2
t ptt q t q p
t t p
t ptp
t t pt
q pt jt j
i t i j ji j t j t j
h hh h
h hh
hh h
'
'
28
31 1
max ,
31 1 1
2log 1
' 2 '
log 1,
' 2 '
t j
t j
q pt j t j t jt i
i j ji j t j
q p q pt j t jt i
t t i i j ji i j
x hh
h h
hhz h
h
0
1 1
max ,
1 1 1
2 loglog 1
' 2 '
loglog 1,
' 2 '
t j
t j
q pt j t j t jt i
i j ji j t j
q p q pt j t jt i
t t i i j ji i j
x hh
h h
hhz h
h
0
,
untuk 0t j
dan
1 1
max ,
1 1 1
2 loglog 1
' 2 '
loglog 1,
' 2 '
t j
t j
q pt j t j t jt i
i j ji j t j
q p q pt j t jt i
t t i i j ji i j
x hh
h h
hhz h
h
0
,
untuk 0t j
4.4 EGARCH (1,1)
Salah satu model EGARCH yang menarik untuk dikaji, karena
menggambarkan pengaruh suatu berita/isu terhadap volatilitas, adalah model
EGARCH(1,1), yaitu
111
1 1
log log 2ttt t
t t
h hh h
(4.10)
dengan 0, 0 1, 0, 0 1, 1th dan 0
parameter menggambarkan besarnya ketaksimetrisan (leverage effect).
Terutama, jika ingin mencari pengaruh isu terbaru/terkini terhadap volatilitas,
29
yaitu jika lag dari variansi bersyarat, 1th , dievaluasi pada level tak bersyarat, 2 ,
maka
12 1
2 2log log 2 ,tt
th
1.exp . ,t th A
untuk 1 0,t dan
1.exp . ,t th A
untuk 1 0t ,
dengan
2 exp . 2A
jika digambarkan secara grafik fungsi th terhadap 1t , dengan mengambil contoh
untuk nilai parameter-parameter , , dan masing-masing adalah 0.05, 0.1,
-0.1 dan 0.24, maka terlihat ketaksimetrisan grafik fungi th terhadap 1t positif
dan 1t negatif
- 2 - 1 1 2¶t- 1
1
2
3
4
ht
Gambar 4.1 Pengaruh isu terhadap volatilitas.
4.5 Matriks Informasi
Penyajian dari matriks informasi, ˆ , menurut persamaan (2.10) adalah
2
1
1ˆ'
Tt
t
ET
l
1t
30
Untuk menduga parameter , turunan pertama l terhadap adalah
2 11 1 12 2 2
2 1
21
2
21
log 2 log
log1 1
2 2
1 1
2 2
11
2
t t t
t tt
t t tt
t
t tt
t
h h
hh
h hh
h
hh
h
l
dan turunan kedua dari l terhadap adalah
2
21
2 21 1
2 21 2
' '
11
' 2
1 11 1
' 2 2 '
1 11
' 2 2 '
t tt
t
t t t tt t
t t
t t t t tt t
t t
hh
h
h hh h
h h
h h hh h
h h
l l
sehingga harga harapan untuk kedua ruas adalah
2 2 21 2
2 21 2
1 11
' ' 2 2 '
1 11 .
2 ' 2 '
t t t t tt t
t t
t t t t tt t
t t
h h hE E h h
h h
h h hE E h E h E
h h
l
Karena
22
2
22
var
0
11
t t t
t
t
tt
t t
E E
E
h
E Eh h
31
maka
21 2
2
1 1
1 11
' 2 ' 2 '
1
2 '
1
2 '
log log1
2 '
t t t tt t
t
t tt
t tt t
t t
h h h hE E h E h
h
h hE h
h hE h h
h hE
l
Matriks informasi adalah negatif dari harga harapan pada fungsi Hessian
yang telah diperoleh dan kemudian dibagi oleh semua pengamatan, menjadi
2
1
1
1ˆ'
1 log log
2 '
T
t
Tt t
t
ET
h hE
T
l
(4.11)
Penduga dari matriks informasi di atas adalah
1
1 log logˆ2 '
Tt t
t
h h
T
dengan
1 11 1
1
1 11 1
1
log ,
log, , 0
' 'log
' log, , 0
' '
t t t i
t tt t i t
tt
t tt t i t
t
h z h
hz h
hh
hz h
h
.
1 11 1 1
1
1 11 1 1
1
log 1 log, , 0
' 2 '
log 1 log, , 0
' 2 '
t t tt t t
t
t t tt t t
t
h hz h
h
h hz h
h
32
dengan 111 1
1 1
, 1, log , , 2 /ttt t t
t t
z h hh h
Untuk menduga parameter , turunan pertama l terhadap adalah
2 11 1 12 2 2
21 1
log 2 log
11
2
t t t
t tt t t t
t
h h
hx h h
h
l
dan turunan kedua dari l terhadap adalah
2
21 1
' '
11
' 2t t
t t t tt
hx h h
h
l l
2 21 ' 2 2 11 1
2 12 ' ' 2
t t t t t tt t t t t t t t
t t
h h h hh x x h h x h
h h
sehingga harga harapan untuk kedua ruas adalah
21 ' 2 2
2
21
12
2 '
' 11
' 2
t t t tt t t t t t t
t
t tt
t
h h hh x x h h x
hE E
hh
h
l
21 ' 2 2
21
12
2 '
11
' 2
t t t tt t t t t t t
t
t tt
t
h h hE h x x E h E h x
h
hE h
h
1 ' 2 212
2 't t t
t t t t t t t
h h hE h x x h h x
Matriks informasi adalah negatif dari harga harapan pada fungsi Hessian
yang telah diperoleh dan kemudian dibagi oleh semua pengamatan, menjadi
33
2
1
1 ' 2 2
1
1ˆ'
1 12
2 2 '
T
t
Tt t t
t t t t t t tt
ET
h h hE h x x h h x
T
l
(4.12)
Penduga dari matriks informasi pada persamaan (4.12) adalah
1 ' 2 2
1
1 ' 1
1
1 1ˆ 22 2 '
1 1 log log log2
2 2 '
Tt t t
t t t t t t tt
Tt t t
t t t t t tt
h h hh x x h h x
T
h h hh x x h x
T
dengan
1
1 1 11 1 1 3
1
log 1 2 1
' 2 't
t t i t t t
t i t
h h x h
h h h
0
1 1 11 1 1
1
log 1 log2
' 2 't i t
t t
t
h hx
h
0 , untuk 1 0t dan
1
1 1 11 1 1 3
1
log 1 2 1
' 2 't
t t i t t t
t i t
h h x h
h h h
0
1 1 11 1 1
1
log 1 log2
' 2 't i t
t t
t
h hx
h
0 , untuk 1 0t .
Pendugaan parameter dan dapat dilakukan secara terpisah dengan
menggunakan algoritma skoring. Prosedur dapat dilakukan pertama kali dengan
menduga menggunakan metode kuadrat terkecil, baru kemudian menduga
parameter .
4.6 Algoritma Skoring
Pendugaan parameter dan dilakukan dengan menggunakan algoritma
skoring. Prosedur dapat dilakukan pertama kali dengan menduga menggunakan
metode kuadrat terkecil, kemudian nilai awal untuk penduga parameter yaitu
0 yang diperoleh digunakan sebagai nilai awal untuk melakukan iterasi
34
menggunakan algoritma skoring untuk parameter , begitu seterusnya. Masing-
masing langkah iterasi untuk vektor parameter menghasilkan penduga 1ˆ i
berdasarkan ˆ i
1
1
1
1ˆ ˆ ˆiTii i
tT
l
Untuk model EGARCH (1,1), algoritma skoring untuk dapat dilakukan dengan
memasukkan harga-harga yang telah diketahui sebelumnya
11
1
12
2 1
1 1
1
1
1ˆ ˆ ˆ
1 1 1ˆ 12 ' 2
1 1 1ˆ'
iTii i
t
iiT Ti t t t t
t tt t t
iTi t t t t
i i it t t t
T
h h h eh h
T T h
h h h e
h h h
l
2
1
12
1 1
log log logˆ'
iTt
it t
i i i i iT Ti t t t t t
it t t
h
h
h h h e h
h
dengan
1 1 11 1 1
31 1
1 1 11 1 1
31 1
1 1, , 0
' 2 'log
'1 1
, , 0' 2 '
i i ii t t t
t t ti ii t tt
i i ii t t t
t t ti it t
h e hz h e
h hh
h e hz h e
h h
pada bentuk ini, ite adalah sisa dari iterasi ke-i, i
th adalah penduga variansi dan
ˆ i adalah penduga untuk vektor parameter dari iterasi ke-i.
Untuk harga penduga , langkah skoring dapat digunakan untuk menduga .
Algoritma skoring untuk adalah
1
1
1
1ˆ ˆ ˆiTii i
tT
l
35
1
1 ' 2 2
1
21 1
1
'
1 1 1ˆ 22 2 '
11
2
log log 2 l1 1 1ˆ2 2 '
iT
i t t tt t t t t t t
t
iT
t tt t t t
t t
i i i i i ii t t t t t t
i it t
h h hh x x h h x
T T
hx h h
h
x x h h e x
T T h h
2
1
1
1
og
log11
2
iTt
t
i i i iTt t t t
i it t t
h
e x h e
h h
dengan
11 1 1
1
log log 1 log2
' 2 '
it t i t
t t
t
h h hx
h
0 , untuk 1 0t dan
11 1 1
1
log 1 log2
' 2 't i t
t t
t
h hx
h
0 , untuk 1 0t
atau
1
1 1 1
1
11 1
1
log
'
log 1 1 log, , 2
2 '
1 1 log2
2 '
t i
it t
t t
t
tt t
t
h
h hx
h
hx
h
0 , untuk 1 0t dan
11 1 1
1
11 1
1
log
'
1 1 log, , 2
2 '
1 1 log2
2 '
t i
tt t
t
tt t
t
h
hx
h
hx
h
0 , untuk 1 0t
dan ite adalah sesatan pada iterasi ke-i.
36
4.7 Langkah-langkah Pendugaan Parameter
Langkah-langkah yang dikerjakan untuk menduga parameter sesuai
dengan metode algoritma skoring meliputi
1. dari suatu data runtun waktu 1 2, ,..., tR R R , dengan menggunakan
program Minitab, dicari persamaan model ARIMA(1,0,0),
1t t tR a bR , dengan 0,t th : ,
2. dengan menggunakan metode kuadrat terkecil diperoleh harga awal untuk
untuk dan , yaitu 0 a
b
b dan te ,
3. meregresikan 2log te thd 2 11
1
1,log , , 1 2tt
t
ee
e
diperoleh harga awal
untuk 0 , , , α ,
4. menghitung 111
1 1
log log 2ttt t
t t
h hh h
untuk
1,..,t T lalu menghitung penduga , dengan ˆ α d . d adalah
vektor koefisien regresi 2
1t
t
e
h
terhadap
log th
,
5. Menghitung ulang log th dengan menggunakan utk pengamatan
1,..,t T utk menghitung ˆ dan tS . Dari perhitungan tersebut
dapat dicari ˆ d b dengan d adalah vektor koefisien pada regresi
tS terhadap ˆ .
Demikian seterusnya hingga diperoleh barisan dan yang konvergen.
37
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan pada bab terdahulu, dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut.
1. Volatilitas berpola EGARCH sebagai fungsi dari return mempunyai
bentuk grafik yang tidak simetris, hal ini menunjukkan bahwa isu (shock)
yang negatif mempunyai efek lebih besar daripada shock yang positif .
secara analitik hal ini dapat dilihat dari persamaan EGARCH (1,1).
2. Estimasi parameter model EGARCH menggunakan metode algoritma
skoring mempunyai bentuk turunan fungsi logaritma yang rekursif, yaitu
log th
sebagai fungsi dari log t ih
.
3. Grafik fungsi th menjadi tidak realistis atau terlalu besar untuk 0t ,
hal ini disebabkan bentuk th sebagai fungsi eksponensial dari t , atau
tt fh exp .
5.2 Saran
Bagi para pembaca yang tertarik mengkaji lebih lanjut model runtun waktu
dengan sesatan heteroskedastik berpola EGARCH, disarankan
1. mencoba menganalisis model EGARCH dengan tv berdistribusi GED non
normal,
2. menguji stasionaritas dan persistansi model EGARCH,
3. menerapkannya dalam kasus nyata dan membuat program komputer untuk
mencari tingkat konvergensi dari algoritma skoring.
38
DAFTAR PUSTAKA
Bain, L. J. and Engelhardt, M. (1991), Introduction to Probability and
Mathematical Statistic. Second Edition. Duxbury Press, Belmont,
California.
Bollerslev, T. P. (1986), Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity, Journal of Econometrics, 31 : 309-28.
Bowerman, B. L. and R. T. O’connell. (1986) Time Series Forecasting : Unified
Concept and Computer Implementation, 2nd ed. Duxbury Press, Boston.
Box, G. E. P. and G. M. Jenkins. (1994) Time Series Analysis : Forecasting and
Control, 3rd ed. Prentice-Hall, Inc., New Jersey.
Cryer C. D. (1986) Time Series Analysis. Duxbury Press. Boston.
Engle, R. F. (1982), Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates
of the Variance of U.K. Inflation, Econometrica, 50 : 987-1008.
Greene, W. H. (1993), Econometric Analysis. Second Edition. Macmillan
Publishing Company, New York.
Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis. Pricenton University Press. New
Jersey.
Makridakis, S., S. C. Wheelwright and V. E. McGee. (1999) Metode dan Aplikasi
Peramalan, Jilid I, Ed. Ke-2. Terjemahan Untung Sus Andriyanto dan
Abdul Basith. Erlangga, Jakarta.
Nelson, D. B. (1991), Conditional Heteroskedasticity in Asset Return : A New
Approach, mimeo. University of Chicago. Graduate School of Business.