Universidad Andres BelloDepartamento de Matematicas

MATEMATICAS GENERALES - FMM 0032do Semestre, 2010

PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE

Jueves 28 de Octubre de 2010

1. De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente informacion acerca de la preferencias deprogramas de television vistos por ellos:

• 391 ven programas deportivos.

• 230 ven programas de entretencion.

• 545 ven programas sobre el mundo animal.

• 98 prefieren ver programas deportivos y de entretencion.

• 152 ven programas de entretencion y del mundo animal.

• 88 ven programas deportivos y del mundo animal.

• 90 no ven ninguno de los tres tipos de programas.

Construyendo un diagrama de Venn, determine

(a) El numero de televidentes que ven los tres tipos de programas.

(b) La cantidad de personas que ven solo uno de estos tres tipos de programas.

Sol:

Sea x el numero de televidentes que ven los tres tipos de programas. El diagrama correspondiente es:

0.8 Ptos

De aquı se debe cumplir que:

1000 = 90 + 205 + x + 98− x + x + 88− x + 152− x + 305 + x + x− 20 ⇔ 1000 = x + 918 ⇒ x = 82

Por tanto, 82 encuestados ven los tres tipos de programas. 0.4 Ptos

Finalmente, la cantidad de personas que ven solo un tipo de estos programas son 287+62+387 = 736personas.

0.3 Ptos

2. Demuestre, utilizando propiedades de los conjuntos que

B ∩ [(BC ∪A)C ∪ (A ∪B)C ] = B −A

Sol:

B ∩ [(BC ∪A)C ∪ (A ∪B)C ] = B ∩ [(BC ∪A) ∩ (A ∪B)]C

= B ∩ [A ∪ (BC ∩B)︸ ︷︷ ︸∅

]C = B ∩ [A ∪ ∅︸ ︷︷ ︸A

]C

= B ∩AC = B −A

1.5 Ptos

3. Demuestre que

(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)

es una tautologıa:

(a) Utilizando una tabla de verdad.(0.7 Ptos )

(b) Utilizando propiedades de la logica.( 0.8 Ptos )

Sol:

(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) ⇔ (p ∨ q) ⇒ (q ∨ p)

⇔ (q ∨ p) ∨ (q ∨ p)

⇔ a ∨ a ≡ V

4. Determine el valor de la constante k > 0 de modo que

k∑i=1

(i + 2) = 250

Sol:

k∑i=1

(i + 2) =k(k + 1)

2+ 2k = 250 / · 2 ⇔ k2 + 5k − 500 = 0

⇔ (k − 20)(k + 25) = 0 ⇒ k = 20 ∨ k = −25(se descarta)

1.5 Ptos