pat1 ต.ค. 58

PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)

1

ตอนท� 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก จานวน 30 ขอ(ขอ 1 – 30) ขอละ 6 คะแนน

1. กาหนดให p, q และ r เปนประพจน โดยท� (p r) ( p q) เปนประพจนท�มคาความจรงเปน จรง

ขอใดตอไปน �ถกตอง

1. (q r) p มคาความจรงเปน จรง 2. (p q) (r p) มคาความจรงเปน จรง

3. (r q) (p q) มคาความจรงเปน จรง 4. (q p) (q r) มคาความจรงเปน เทจ

5. (r q) (p r) มคาความจรงเปน เทจ

2. ให S แทนคอมพลเมนตของ S และ n(S) แทนจานวนสมาชกของเซต S

ให A, B และ C เปนเซตใดๆ โดยท� A (B C) , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16,

n(A B C) 20 และ n(A B) n(B C) n(A C) ขอใดตอไปน �ไมถกตอง

1. n(A B C) 10 2. n(A B) 11

3. n(A B) 4 4. n((A B) C) 12

5. n((A B) C) 5

3. ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ x 1 1 1

และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 2

1 2x 2

x 1 x 3x 2

เซต A B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน �

1. (–5, –1) 2. (–3,1)

3. (–1, 3) 4. (0, 4)

5. (1, 5)

4. 2 o 2 o 2 o 2 o(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 ) มคาเทากบเทาขอใดตอไปน �

1. 0 2. 1

3. 2 4. otan 9

5. ocot9


2

5. ถา 22 cot (1 cot )2

และ 0

2

แลวคาของ

2(1 sin )sec

cos2

เทากบขอใดตอไปน �

1. 0.125 2. 0.25

3. 1 4. 2

5. 4

6. คาของ 2 2 3sec (arctan2) cosec (arccot3) cosec(2 arccot2 arccos )

5 เทากบขอใดตอไปน �

1. 335

24 2.

351

24

3. 375

24 4.

385

24

5. 399

24

7. กาหนดให A arcsin(cos )3

และ 0 B

2

2 2 2sin B sin (A B) sin (5A B) ตรงกบขอใดตอไปน �

1. 0 2. 1

3. 3

sin2B2

4. 3

cos 2B2

5. 3

2 cos 2B2

8. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกท�มากกวา 2 และสอดคลองกบ

2a a alog (b 2) log 3 log (b 2) และ 2

b a alog a log b 1 log b

แลว a + b เทากบขอใดตอไปน �

1. 183 2. 210

3. 216 4. 225

5. 239

9. ให R แทนเซตของจานวนจรง

ความสมพนธในขอใดตอไปน �ไมเปนฟงกชน

1. ความสมพนธ 1r (x, y) R R xy 1 0

2. ความสมพนธ 2r (x, y) R R y tan x

3. ความสมพนธ 2 23r (x, y) R R x y 1

4. ความสมพนธ 4r (x, y) R R y 2 x

5. ความสมพนธ 25

yr (x, y) R R x

y 1


3

10. ใหวงกลม C มสมการเปน 2 2x y ax 6y 12 0 เม�อ a > 0

โดยระยะทางจากจดศนยกลางของวงกลม C ไปยงเสนตรง 4x + 3y = 71 เทากบ 14 หนวย

ถาพาราโบลารปหน�ง มโฟกสอยท�จดศนยกลางของวงกลม C และ ม y = 7 เปนไดเรกตรกซ

แลวสมการของพาราโบลารปน �ตรงกบขอใดตอไปน �

1. 2x 4x 4y 16 0 2. 2x 4x 4y 16 0

3. 2x 4x 4y 20 0 4. 2x 4x 8y 44 0

5. 2x 4x 8y 36 0

11. ใหพาราโบลารปหน�ง มสมการเปน 2y 4y 40x 236 0

โดยม V และ F เปนจดยอด และโฟกสของของพาราโบลาตามลาดบ

ถาวงรรปหน�ง ผานจด (4, 6) และมโฟกสอยท� V และ F แลวสมการของวงรรปน �ตรงกบขอใดตอไปน �

1. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 2. 2 24x 9y 8x 36y 140 0

3. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 4. 2 29x 4y 36x 8y 180 0

5. 2 29x 4y 36x 8y 180 0

12. กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนตรรกยะ

ให P(x) คอ 38x 4x 1 0

Q(x) คอ 4 28x 8x x 1 0

และ R(x) คอ 3 2x x 0

พจารณาขอความตอไปน �

(ก) x[P(x) Q(x)] มคาความจรงเปนจรง

(ข) x[Q(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง

(ค) x[P(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง


1. ขอ (ก) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (ข) ถกเพยงขอเดยว

3. ขอ (ค) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ

5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ

13. คาของ 3

2x 1

1 2xlim 1

1 x x 1


1. 0 2. 0.5

3. 1 4. 2

5. 4


4

14. กาหนดให C เปนเสนโคง y = 2 + x|x – 1| เม�อ x เปนจานวนจรง

ถา L เปนเสนตรงท�สมผสกบเสนโคง C ท�จด (0, 2)

และให N เปนเสนตรงท�ต �งฉากกบเสนตรง L ณ จด (0, 2) แลวเสนตรง N ผานจดในขอใดตอไปน �

1. (–1, 3) 2. (1, 5)

3. (–2, 5) 4. (3, –2)

5. (–3, 4)

15. ให f เปนฟงกชนหน�งตอหน�ง ซ�งมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง

โดยท� 1 2xf (x)

x 1

สาหรบทกสมาชก x ในเรนจของ f


(ก) 2f (4) f(4) 3

(ข) f (f(4)) f(f (4))

(ค) f เปนฟงกชนเพ�มบนชวง (0, 2)


1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด

3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ


16. กาหนดให A

และ B

เปนเวกเตอรในระนาบ

โดยท� A 16 i a j

และ B 8 i b j

เม�อ a และ b เปนจานวนจรง

ถา A B

และเวกเตอร B

ทามม 60 กบเวกเตอร A

แลวคาของ 2(a b) เทากบขอใดตอไปน �

1. 8 2. 16

3. 64 4. 192

5. 320

17. ในการจดนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน มายนเรยงเปนแถวตรงเพยงหน�งแถว

ความนาจะเปนท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน หรอ ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน

มคาตรงกบขอใดตอไปน �

1. 1

70 2.

1

35

3. 4

35 4.

1

7

5. 2

7


5

18. ให f และ g เปนฟงกชน โดยท�

9 x , x 0f(x)

7 x , x 4

และ x 2 , x 1g(x)

x 4 , x 1


(ก) ถา x 0 แลว (g f)(x) 9 x 4

(ข) ถา 4 x 6 แลว (g f)(x) 3 x

(ค) ถา x 6 แลว (g f)(x) 9 x





19. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนท�สอดคลองกบสมการ (9 7i)(z z)(1 i)z 6 2i

3 i

เม�อ 2i 1 และ z แทนสงยค(conjugate)ของ z


(ก) z 8 2

(ข) z 3i 10

(ค) iz 2 8





20. กาหนดให 3n

n 2n 1

n2a

3 เม�อ n = 1, 2, 3, ...

อนกรม nn 1

a

ตรงกบขอใดตอไปน �

1. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 83


3. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 24 4. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 64

3

5. อนกรมลออก


6

21. กาหนดใหขอมลชดท� 1 คอ 1 2 20x 4, x 4, ..., x 4

และขอมลชดท� 2 คอ 1 2 202x 4,2x 4,..., 2x 4

เม�อ 1 2 20x , x , ..., x เปนจานวนจรง

ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดท� 1 เทากบ 50 และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท� 1 เทากบ 10

แลวขอมลชดท� 2 มคาเฉล�ยเลขคณต และ ความแปรปรวนเทากบขอใดตอไปน �

1. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 96 และ ความแปรปรวนเทากบ 400




5 คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 104 และ ความแปรปรวนเทากบ 576

22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหน�งมการแจกแจงปกต โดยมสมประสทธ�ของการแปรผนของ

คะแนนสอบวชาน � เทากบ 25% และมนกเรยนรอยละ 15.87 ท�สอบไดคะแนนมากกวา 85 คะแนน

ถานาย ก เปนนกเรยนคนหน�งในหองน � สอบไดคะแนน 47.6 คะแนน จะอยในตาแหนงเปอรเซนไทลตรงกบ

ขอใดตอไปน �

เม�อกาหนดพ �นท�ใตเสนโคงปกต ระหวาง 0 ถง z ดงน �

z 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

พ �นท� 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032

1. 34.46 2. 18.41

3. 13.57 4. 11.51

5. 9.68

23. กาหนดให 2 3 n

n 2n

1 2 2 2 ... 2a

3

เม�อ n = 1, 2, 3, ...

คาของ 1 2 3 nnlim a a a ... a


1. 2

9 2.

1

8

3. 9

56 4.

2

7

4. 25

56


7

24. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม และ R แทนเซตของจานวนจรง

ถา 2x 2

r (x, y) R R y4 x 2x 1

และ 2rA x x I D

แลวผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต A เทากบขอใดตอไปน �

1. 6 2. 10

3. 19 4. 29

5. 30

25. ภายใตอสมการขอจากด ตอไปน �

x 2y 4 , x y 1 , x y 1 , x 0 และ y 0

สมการจดประสงคในขอใดตอไปน � ท�มคามากท�สด

1. z = 2x + 2y 2. z = 3x + 2y

3. z = 2x + 3y 4. z = x + 4y

5. z = 4x + y

26. กาหนดให 1 2A

2 1

และ a bB

c d

เม�อ a, b, c และ d เปนจานวนจรงบวก

โดยท� abcd = 9 และ ad bc

ถา 1 1AB B A และ tdet(A B) 24 แลวคาของ a + b + c + d เทากบเทาใด

1. 5 2. 6

3. 7 4. 8

5. 9

27. กาหนดให a และ b เปนเวกเตอรใดๆ ท�ไมเปนเวกเตอรศนย


(ก) ถา a ขนานกบ b แลว a b a b

(ข) ถา 2 2 2a b a b แลว a ต �งฉากกบ b

(ค) ถาเวกเตอร a b ต �งฉากกบเวกเตอร a b แลว a b






8

28. กาหนดให a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวกสอดคลองกบ

a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3


(ก) c + e < b + d

(ข) c < b < e < d

(ค) a + d < b + c





29. กาหนดขอมลชดหน�ง ดงตารางตอไปน �

คะแนน จานวน

0 – 2 3

3 – 5 5

6 – 8 a

9 – 11 3

เม�อ a เปนจานวนเตมบวก

ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดน �เทากบ 5 แลวมธยฐานของขอมลชดน � เทากบเทาใด

1. 3.8 2. 4.3

3. 4.8 4. 4.9

5. ไมมคาตอบ

30. จากการสารวจประชากรของหมบานแหงหน�ง มผหญงรอยละ 60 ของประชากรท �งหมดในหมบานน �

และมอตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอจานวนผหญงท�มสายตาปกต เทากบ อตราสวนของ

จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาปกต

พจารณาขอสรปเก�ยวกบประชากรในหมบาน ตอไปน �

(ก) ผหญงท�มสายตาผดปกตมจานวน 1.5 เทาของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต

(ข) ผชายท�มสายตาปกตมจานวนมากกวาจานวนผหญงสายตาปกต

(ค) อตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผหญงท �งหมดในหมบานน � มากกวา

อตราสวนของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผชายท �งหมดในหมบานน �






9

ตอนท� 2 แบบอตนย ระบายคาตอบท�เปนตวเลข จานวน 15 ขอ(ขอ 31 – 45) ขอละ 8 คะแนน

31. ในการสารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหน�ง

พบวา มนกเรยนชอบเรยนวชาคณตศาสตร 150 คน

มนกเรยนชอบเรยนวชาภาษาไทย 80 คน

มนกเรยนชอบเรยนภาษาองกฤษ 60 คน

และ มนกเรยน 30 คน ชอบเรยนท �งสามวชา

นกเรยนกลมน �มจานวนอยางมากก�คน

32. ให A แทนเซตคาตอบของสมการ x x 4 x 4 x 43 9 3 3 3

และให B 59 x x A

ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต B เทากบเทาใด

33. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R R เปนฟงกชนท�สามารถหาอนพนธได และ

สอดคลองกบ 2

x 2

x x 6lim 6

1 f(x) 3

และ 1 f(x) 0 สาหรบทกจานวนจรง x

ถาเสนตรง 6x – y = 4 ตดกบกราฟ y = f(x) ท� x = 2 แลวคาของ f (2) เทากบเทาใด

34. กาหนดใหฟงกชน 3

2

x , x 1ax b , 1 x 1f(x)

3x 2 , x 1


ถาฟงกชน f ตอเน�อง สาหรบทกจานวนจรง x แลวคา 2

2

f(x) dx เทากบเทาใด

35. กาหนดให a > 1 และ

นยาม nn

2L(n) log a สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

ถา 1 1 1... 77

L(1) L(2) L(10) แลวคาของ a เทากบเทาใด


10

36. ถา a และ b เปนจานวนจรงท�สอดคลองกบ 1 b 0a 4 1 175 a a

แลวคาของ 5 2a 2 58 a 2b a2 a 0 a

เทากบเทาใด

37. ให na เปนลาดบเลขคณตของจานวนจรง

โดยท� 1 3 5 49 2 4 6 50a a a ... a a a a ... a 1275 และ 100a 200

คาของ 51 52 53 100a a a ... a เทากบเทาใด

38. ตองการสรางจานวนหาหลก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยท�แตละหลกมตวเลขซ �ากนได และจานวนหาหลก

ประกอบดวยตวเลข 1 อยางนอย 1 หลก ตวเลข 2 อยางนอย 1 หลก และตวเลข 3 อยางมาก 2 หลก

จะมจานวนหาหลกดงกลาวไดท �งหมดก�จานวน

39. จากการสารวจปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวชนดหน�ง จานวน 8 ตว ไดขอมลซ�งแสดงความสมพนธ

ระหวางอาย(ป) ของสตวชนดน � และปรมาณอาหารเสรม(กโลกรม)ท�ใชเล �ยงสตวดงกลาวตอสปดาห

ปรากฏผลดงน �

อาย(ป) : x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x

ปรมาณอาหารเสรมตอสปดาห(กโลกรม) : y 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y

โดยท� 8

ii 1

x 40

, 8

ii 1

y 48

, 8

2i

i 1

x 210

, 8

2i

i 1

y 380

8

i ii 1

x y 270

และ 3 = 1 2 8x x ... x 10

สมมตวากราฟแผนภาพการกระจายท�แสดงความสมพนธระหวางปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอ

สปดาห และอายของสตวดงกลาว อยในรปแบบเสนตรง ถาสตวชนดน �มอาย 4 ป จะตองใชปรมาณอาหาร

เสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาหประมาณก�กโลกรม

40. ถา 2 2Ax By Dx Ey 21 เปนสมการของไฮเพอรโบลารปหน�งมแกนตามขวางขนานแกน x

มเสนตรง 2x y 1 0 เปนเสนกากบ(asymptote)เสนหน�ง และมจด (1 2 5, 3) เปนโฟกสจดหน�ง

แลวคาของ 2 2 2 2A B D E เทากบเทาใด


11

41. ให S เปนเซตของคอนดบ (a, b) ท �งหมด โดยท� a, b เปนจานวนเตมบวกท�สอดคลองกบ 1 1 1

a b 10

จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด

42. ให A เปนเซตของจานวนจรง x ท �งหมด ท�สอดคลองกบอสมการ

2x1 x

1 x 1 x

ถา a เปนขอบเขตบนนอยสดของเซต A และ b เปนขอบเขตลางมากสดของเซต A

แลวคาของ 2 2a b เทากบเทาใด

43. ให A เปนเซตของคอนดบ (x, y) โดยท� x และ y เปนจานวนจรงบวกท�สอดคลองกบ

2 x y 2 และ 24 23 log 16x 6 6 log y

ให 2 2B x y (x, y) A

คามากท�สดของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด

44. กาหนดขอมลกลมตวอยาง 5 จานวนคอ 1 2 3 4 5x , x , x , x , x

โดยท� 5

2i

i 1

x 214

และ 5

2i

i 1

(x x) 34

เม�อ x คอคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลกลมตวอยางน � และ x 0

ถาขอมลกลมตวอยางใหม 5 จานวนคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x

มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 16

แลว คาเฉล�ยเลขคณตของขอมล 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x , x x , x x , x x , x x เทากบเทาใด

45. ให S เปนเซตของจานวนสองหลก ab ท �งหมด

โดยท� ab + ba = 143 เม�อ a, b {1,2, 3,..., 9} และ a b

ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต S เทากบเทาใด


12

เฉลยคาตอบ ตอนท� 1

1. 2 2. 5 3. 3 4. 2 5. 5 6. 4 7. 4 8. 2 9. 3 10. 5

11. 3 12. 3 13. 1 14. 1 15. 2 16. 4 17 3 18. 4 19. 2 20. 3

21. 1 22. 4 23. 4 24. 4 25. 5 26. 4 27. 3 28. 1 29. 2 30. 1

ตอนท� 2

31. 230 32. 126 33. 5 34. 9.25 35. 32

36. 68 37. โจทยผด 38. 160 39. 3 40. 117

41. 4 42. 1.5 43. 2 44. 78.7 45. 429


13

ตอนท� 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก จานวน 30 ขอ(ขอ 1 – 30) ขอละ 6 คะแนน

1. กาหนดให p, q และ r เปนประพจน โดยท� (p r) ( p q) เปนประพจนท�มคาความจรงเปน จรง


1. (q r) p มคาความจรงเปน จรง 2. (p q) (r p) มคาความจรงเปน จรง

3. (r q) (p q) มคาความจรงเปน จรง 4. (q p) (q r) มคาความจรงเปน เทจ

5. (r q) (p r) มคาความจรงเปน เทจ

เฉลย 2.

แนวคด

กาหนดให p, q และ r เปนประพจน

โดยท� (p r) ( p q) เปนประพจนท�มคาความจรงเปน จรง

กรณท� 1 กรณท� 2

(p r) ( p q) (p r) ( p q)

p เปน F , q เปน F , r เปน T p เปน F , q เปน T , r เปน F

จากท �งสองกรณจะพบวา p เปน F และ q เปนนเสธกบ r

น �นคอ q r F , q r T , q r F

พจารณาตวเลอก

1. (q r) p F F F ตวเลอกท� 1. ผด

2. (p q) (r p) (F q) (r F) T (r F) T ตวเลอกท� 2. ถก

3. (r q) (p q) (r q) (F q) (r q) F F ตวเลอกท� 3. ผด

4. (q p) (q r) (q F) F (q T) F T F T ตวเลอกท� 4. ผด

5. (r q) (p r) T (F r) T T T ตวเลอกท� 5. ผด

T

F

T T

T T

F

F T

T

T

F F

F F

F

F

T


14

2. ให S แทนคอมพลเมนตของ S และ n(S) แทนจานวนสมาชกของเซต S

ให A, B และ C เปนเซตใดๆ โดยท� A (B C) , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16,

n(A B C) 20 และ n(A B) n(B C) n(A C) ขอใดตอไปน �ไมถกตอง

1. n(A B C) 10 2. n(A B) 11

3. n(A B) 4 4. n((A B) C) 12

5. n((A B) C) 5

เฉลย 5. แนวคด

ให n(A B C) x และ n(A B) n(B C) n(A C) y

จากท�กาหนดให A (B C) จะได A (B C) ทาให A B C B C

น �นคอ n(B C) n(A B C) 20

จาก n(B C) n(B) n(C) n(B C)

20 = 15 + 16 – y

y = 11

ดงน �น n(A B) n(B C) n(A C) 11

จาก n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(B C) n(A C) n(A B C)

20 = 12 + 15 + 16 – y – y – y + x

3y – x = 23

แต y = 1; 33 – x = 23

x = 10

ดงน �น n(A B C) x 10 ตวเลอกท� 1. ถก

n(A B) y 11 ตวเลอกท� 2. ถก

n(A B) n(B A) n(B) n(A B) 15 11 4 ตวเลอกท� 3. ถก

n((A B) C) n((A C) (B C))

n(A C) n(B C) n((A C) (B C))

n(A C) n(B C) n(A B C)

11 11 10

= 12 ตวเลอกท� 4. ถก

n((A B) C) n(C (A B))

n(C A B) n(A B)

20 n(A) n(B) n(A B)

20 (12 15 11)

= 4 ตวเลอกท� 5. ผด


15

3. ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ x 1 1 1

และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 2

1 2x 2

x 1 x 3x 2

เซต A B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน �

1. (–5, –1) 2. (–3,1)

3. (–1, 3) 4. (0, 4)

5. (1, 5)


หาเซต A: x 1 1 1

2 2x 1 1 1

2

x 1 2 x 1 1 1

2

x 1 2 x 1 0

x 1 x 1 2 0

ดงน �น A = (–1, 3) – {1}

หาเซต B; 2

1 2x 2

x 1 x 3x 2

2(x 1)1

x 1 (x 1)(x 2)

เม�อ x 1 จะได 1 2

x 1 x 2

1 2

0x 1 x 2

ดงน �น B = ( , 4] ( 1,2) {1}

จะได A B ( 1,2) {1} ( 1, 3)

เน�องจาก x 1 0 เม�อ x 1

แสดงวา x 1 2 0

x 1 2

2 x 1 2

1 x 3

2

1

4

1

2

1

4

1

3

B

A

x 2 2x 20

(x 1)(x 2)

(x 4)0

(x 1)(x 2)

x 40

(x 1)(x 2)


16

4. 2 o 2 o 2 o 2 o(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 ) มคาเทากบเทาขอใดตอไปน �

1. 0 2. 1 3. 2

4. otan 9 5. ocot9

เฉลย 2.

แนวคดท� 1 จาก 3

2 3 sin 4 sin sin 33 4 sin

sin sin

ดงน �น 2 o 2 o 2 o 2 o(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 )

o o o o

o o o o

o

sin 3(9 ) sin 3(27 ) sin 3(81 ) sin 3(243 )

sin 9 sin27 sin 81 sin243

sin 27

o

o

sin 81

sin 9

osin27

osin 243

osin 81

o

o

sin 729

sin 243

o

o

o o

o

o

o

sin 729

sin 9

sin(720 9 )

sin 9

sin 9

sin 9

1

แนวคดท� 2 จาก 2 2cos2 1 2sin 2 sin 1 cos2 จะได

2 o 2 o 2 o 2 o

o o o o

o o o o

(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 )

3 2(1 cos18 ) 3 2(1 cos 54 ) 3 2(1 cos162 ) 3 2(1 cos 486 )

(2 cos18 1)(2 cos 54 1)(2 cos162 1)(2 cos 486

o126

o o o o

o o o o o o o o

o o

1)

(2 cos18 1)(2 cos162 1) (2 cos 54 1)(2 cos126 1)

4 cos162 cos18 2 cos162 2 cos18 1 4 cos126 cos 54 2 cos126 2 cos 54 1

2(cos144 cos180

1

o) 2( cos 90

0

o o ocos 72) 1 2(cos 72 cos180

1o) 2( cos 90

0

o

o o

o o o o

o o

cos 36 ) 1

(2 cos144 1)(2 cos 72 1)

4 cos144 cos 72 2 cos144 2 cos 72 1

2(cos 72 cos 216

360 144

o o

o

) 2 cos144 2 cos 72 1

2 cos 72

o2 cos144 o2 cos144 o2 cos 72 1

1


17

5. ถา 22 cot (1 cot )2

และ 0

2

แลวคาของ

2(1 sin )sec

cos2


1. 0.125 2. 0.25

3. 1 4. 2

5. 4

เฉลย 5.

แนวคด

แกสมการหาคา จากสมการ 22 cot (1 cot )2

โดยเอกลกษณ sintan

2 1 cos

จะได 1 cos

cot2 sin

จากสมการ

2

2

2

2 2

2

2 cot (1 cot )2

1 cos cos2 1

sin sin

2 2 cos sin cos

sin sin

2 2 cos sin 2 sin cos cos

sin sin

1 2 sin cos2 2 cos

sin

2 sin 2 sin os

1 2 sin cos

1sin

2

เพราะ 02

;

6

ดงน �น

22

2

(1 sin )sec(1 sin )sec 6 6

cos2cos2( )

6

1 2(1 )

2 3

1

2

3 4 2

2 3 1

4


18

6. คาของ 2 2 3sec (arctan 2) cosec (arccot 3) cosec(2 arccot2 arccos )

5 เทากบขอใดตอไปน �

1. 335

24 2.

351

24

3. 375

24 4.

385

24

5. 399

24

เฉลย 4.

แนวคด

กาหนดให A = arctan 2 B = arccot 3 C = arccot 2 D = arccos 3

5

จะได

2 2 3

sec (arctan2) cosec (arccot3) cosec(2 arccot2 arccos )5

2 2

2 2

2 2

2 2

sec A cosec B cosec(2C D)

15 10

sin(2C D)

15 10

sin 2C cosD cos 2C sin D

115

2 sinCcosCcosD (cos C sin C)sinD

115

1 2 3 2 1 42( )( )( ) ( ) ( ) ( )

5 55 5 5 5

115

12 12

25 25

2515

24

385

24

2

1

5

A B

1

3

10

B B

1

2

5

C DB

4

3

5

D

เอกลกษณท�ใช

2 2

sin(2 ) 2 sin cos

cos(2 ) cos sin

sin( ) sin cos cos sin


19

7. กาหนดให A arcsin(cos )3

และ 0 B

2

2 2 2sin B sin (A B) sin (5A B) ตรงกบขอใดตอไปน �

1. 0 2. 1

3. 3sin 2B

2 4. 3

cos 2B2

5. 32 cos 2B

2

เฉลย 4.

แนวคด

จาก A arcsin(cos )3

จะได 1

A arcsin( ) A2 6

จะได

2 2 2

2

sin B sin (A B) sin (5A B)

1 cos2(A B) 1 cos 2(5A B)1 cos 2B 1 cos 2[ sin ]

2 2 2 2

3 1cos2B cos(2 A 2B) cos(10 A 2B)

2 2

(2A 2B) (10A 2 B) (2A 2 B) (10 A 2B)3 1cos2B 2 cos cos

2 2 2 2

3 1cos2B 2 cos

2 2

(6A 2B)cos( 4 A)

3 1 6 4cos2B 2 cos( 2B)cos( ) [ A ]

2 2 6 6 6

3 1 2cos2B 2 cos( 2B)cos( )

2 2 3

3 1 1cos2B 2 cos(2B)

2 2 2

3 1cos2B cos(2B)

2 2

3 1(2 cos2B)

2 2

3cos2B

2


20

8. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกท�มากกวา 2 และสอดคลองกบ

2a a alog (b 2) log 3 log (b 2) และ 2

b a alog a log b 1 log b

แลว a + b เทากบขอใดตอไปน �

1. 183 2. 210

3. 216 4. 225

5. 239


จาก 2a a alog (b 2) log 3 log (b 2)

จะได 1 2

2

1

2a a

a

log (b 2) log 3 log (b 2)

a a a

1

2a a a

1

2a a

112log (b 2) log 3 log (b 2)

1 2

2

log (b 2) log 3 log (b 2)

log (b 2) log 3(b 2)

แทน b = 14 ในสมการ และแกสมการหาคา a ดงน �

1

2

2b a a

214 a

a

2

a aa

aa

2

a a

log a log b 1 log b

log a log 14 1 log 14

1 1log 14 1 log 14 ... *

log 14 1

2

11 2 log 14

log 14

1 log 14 2 log 14

ดงน �น a b 196 14 210

1

2

21

2 2

2

2

b 2 3(b 2)

(b 2) 3(b 2)

b 4b 4 9(b 2)

b 13b 14 0

(b 14)(b 1) 0

b 14, 1

แต b = –1 จะทาให

a alog (b 2) log ( 3) ซ�งไมหาคาไมได

ดงน �น b = 14

2

a a

a a

a

112

2 log 14 log 14 1 0

2 log 14 1 log 14 1 0

1log 14 , 1

2

a 14 , a 14

1a 196 , a

14

จากการแทนในสมการ * จะไดวา a = 196, 1

14

เปนคาตอบของสมการ

แตโจทยกาหนด a > 2 ดงน �น a = 196


21

9. ให R แทนเซตของจานวนจรง

ความสมพนธในขอใดตอไปน �ไมเปนฟงกชน

1. ความสมพนธ 1r (x, y) R R xy 1 0

2. ความสมพนธ 2r (x, y) R R y tan x

3. ความสมพนธ 2 23r (x, y) R R x y 1

4. ความสมพนธ 4r (x, y) R R y 2 x

5. ความสมพนธ 25

yr (x, y) R R x

y 1

เฉลย 3.

แนวคด

นยามของฟงกชน

ความสมพนธ r จะเปนฟงกชน กตอเม�อ ถา 1x, y( ) r และ 2(x, y ) r แลว 1 2y y

ดงน �น ความสมพนธ r จะไมเปนฟงกชน กตอเม�อ ม 1x, y( ) r และ 2(x, y ) r แต 1 2y y

พจารณาความสมพนธ

ความสมพนธ 1r (x, y) R R xy 1 0

สมมตให 1 1(x, y ) r และ 2 1(x, y ) r จะได 1xy 1 0 และ 2xy 1 0

แสดงวา 1 2xy 1 xy 1 1 2xy xy

แต 0 1r

D ดงน �น x 0 ทาให 1 2y y ดงน �น 1r เปนฟงกชน

ความสมพนธ 2r (x, y) R R y tan x

สมมตให 1 2(x, y ) r และ 2 2(x, y ) r จะได 1y tan x และ 2y tan x

แสดงวา 1 2y y ดงน �น 2r เปนฟงกชน

ความสมพนธ 2 23r (x, y) R R x y 1

ม x = 2 ซ�ง 2 2 2 22 y 1 y 1 4 y 3 y 3, 3

แสดงวา 3(2, 3) r และ 3(2, 3) r แต 3 3 ดงน �น 3r ไมเปนฟงกชน

ความสมพนธ 4r (x, y) R R y 2 x

สมมตให 1 3(x, y ) r และ 2 3(x, y ) r จะได 1y 2 x และ 2y 2 x

แสดงวา 1 2y y ดงน �น 4r เปนฟงกชน

ความสมพนธ 25

yr (x, y) R R x

y 1

สมมตให 1 5(x, y ) r และ

2 5(x, y ) r จะได 2 1

1

yx

y 1

และ 2 2

2

yx

y 1

แสดงวา 1 2

1 2

y y

y 1 y 1

1 2 1 2 1 2y y y y y y 1 2y y

ดงน �น 5r เปนฟงกชน


22

10. ใหวงกลม C มสมการเปน 2 2x y ax 6y 12 0 เม�อ a > 0

โดยระยะทางจากจดศนยกลางของวงกลม C ไปยงเสนตรง 4x + 3y = 71 เทากบ 14 หนวย

ถาพาราโบลารปหน�ง มโฟกสอยท�จดศนยกลางของวงกลม C และ ม y = 7 เปนไดเรกตรกซ

แลวสมการของพาราโบลารปน �ตรงกบขอใดตอไปน �

1. 2x 4x 4y 16 0 2. 2x 4x 4y 16 0

3. 2x 4x 4y 20 0 4. 2x 4x 8y 44 0

5. 2x 4x 8y 36 0

เฉลย 5.

แนวคด

จากสมการ 2 2x y ax 6y 12 0 จดรปมาตรฐานดงน �

2 22 2 2 2

22 2

a a ax 2(x)( ) y 2(y)(3) 3 12 3

2 4 4

a a(x ) (y 3) 21

2 4

จะไดวงกลมมจดศนยกลางอยท�จด a( , 3)

2

โดยระยะทางจากจดศนยกลางของวงกลม C ไปยงเสนตรง 4x + 3y – 71 = 0 เทากบ 14 หนวย

และจากสตรระยะทางจากจด 1 1(x , y )ไปยงเสนตรง Ax + By + c = 0 คอ 1 1

2 2

Ax By C

A B

จะได 2 2

a4( ) 3(3) 71

2a 622 14 1454 3

2a 62 70

2a 62 70 , 2a 62 70

a 4 , a 66

แสดงวาวงกลมมจดศนยกลางอยท�จด a( , 3) ( 2, 3)

2

ถาพาราโบลารปหน�งม y = 7 เปนไดเรกตรกซ

แสดงวาแกนสมมาตรของพาราโบลาขนานกน y

โดยมสมการมาตรฐานคอ 2(x h) 4c(y k)

และโจทยกาหนดใหมโฟกสอยท�จดศนยกลางของวงกลม C

จากรปจะไดจดยอด V เปนจดก�งกลางของ A และ F

น�น V(h, k) = 2 ( 2) 3 7

( , ) ( 2, 5)2 2

และ c = 5 – 7 = –2

ดงน �นสมการพาราโบลาคอ

2 2

2

(x 2) 4( 2)(y 5) x 4x 4 8y 40

x 4x 8y 36 0

x

y

F( 2, 3)

y 7

0

V( 2, 5)

A( 2, 7)

c 2


23

11. ใหพาราโบลารปหน�ง มสมการเปน 2y 4y 40x 236 0

โดยม V และ F เปนจดยอด และโฟกสของของพาราโบลาตามลาดบ

ถาวงรรปหน�ง ผานจด (4, 6) และมโฟกสอยท� V และ F แลวสมการของวงรรปน �ตรงกบขอใดตอไปน �

1. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 2. 2 24x 9y 8x 36y 140 0

3. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 4. 2 29x 4y 36x 8y 180 0

5. 2 29x 4y 36x 8y 180 0

เฉลย 3.

แนวคด

จากสมการพาราโบลารป 2y 4y 40x 236 0 จดเปนรปแบบมาตรฐานไดดงน �

2 2 2 2

2

2

y 4y 40x 236 0 y 2(y)(2) 2 40x 236 2

(y 2) 40(x 6)

(y 2) 4( 10)(x 6)

เปนพาราโบลาเปดทางซาย (เพราะมคา c = –10 < 0 )

มจดยอด V(6, 2)

จดโฟกส F(6+(–10), 2) = F(–4, 2)

พจารณาวงร

เน�องจากโจทยกาหนดใหมโฟกสอยท� V และ F

จะไดจดโฟกสของวงรอยท�จด (6, 2) และ (–4, 2) ทาใหแกนเอกขนานกบแกน x

ซ�งจะไดจด ศ.ก. ของวงรคอ จดก�งกลางของ (6, 2) และ (–4, 2) ซ�งคอ 6 ( 4) 2 2( , ) (1,2)

2 2

และ คาคงท� c = 6 – 1 = 5

โดยนยามของวงร

จะไดวา ผลบวกของระยะทางจากจด (4, 6) ท�อยบนวงรไปยงจดโฟกส (6,2) และ (–4, 2) เทากบ 2a

น�นคอ 2 2 2 2(4 6) (6 2) (4 ( 4)) (6 2) 2a

2 5 4 5 2a

a 3 5

จากความสมพนธของคา a, b, และ c :

2 2 2 2 2 2 2a b c (3 5) b 5 b 20

ดงน �นสมการวงรคอ 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

(x h) (y k) (x 1) (y 2)1 1

45 20a b

4(x 1) 9(y 2) 180

4x 9y 8x 36y 140 0

x

y

F ( 4, 2)

0

V (6, 2)

x

y

( 4, 2)

0

(6, 2)(1, 2)

(4, 6)


24

12. กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนตรรกยะ

ให P(x) คอ 38x 4x 1 0

Q(x) คอ 4 28x 8x x 1 0

และ R(x) คอ 3 2x x 0


(ก) x[P(x) Q(x)] มคาความจรงเปนจรง

(ข) x[Q(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง

(ค) x[P(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง





เฉลย 3.

แนวคด

กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนตรรกยะ

พจารณาหาจานวนจรงท�ทาให P(x), Q(x) และ R(x) เปนจรง

จาก P(x) คอ 38x 4x 1 0

จะได 21(x )(8 x 4x 2) 0

2

1 1 5x ,

2 4

จะไดวา P(x) เปนจรงเม�อ 1x

2 (เพราะวา 1 5

4

ไมเปนจานวนตรรกยะ)

จาก Q(x) คอ 4 28x 8x x 1 0

จะได 21(x )(x 1)(8x 4x 2) 0

2

1 1 5x , 1,

2 4

จะไดวา Q(x) เปนจรงเม�อ 1x , 1

2 (เพราะวา 1 5

4

ไมเปนจานวนตรรกยะ)

จาก R(x) คอ 3 2x x 0

จะได 2x (x 1) 0

เน�องจาก 2x 0 เม�อ x 0 จะไดวา x + 1 > 0 ดวย

น�นคอ x > –1 และ x 0

จะไดวา R(x) เปนจรงเม�อ x เปนจานวนตรรกยะท�มคามากกวา –1 และไมเทากบ 0

1 8 0 4 12

4 2 1

8 4 2 0

1 8 0 8 1 12

4 2 3 1

8 4 6 2 01

8 4 2

8 4 2 0


25

(ตอ แนวคดขอ 12 )

พจารณาขอความ

(ก) พบวาคา x ท�ทาให P(x) เปนจรง คอ 1

2

และคา x ท�ทาให Q(x) เปนจรง คอ 11,

2

แสดงวาไมมท�ทาให P(x) Q(x) เปนจรง

ดงน �น x[P(x) Q(x)] มคาความจรงเปนเทจ

ขอความ (ก) ผด

(ข) พบวาม x = –1 ท�ทาให Q(x) เปนจรง แตทาให R(x) เปนเทจ

แสดงวาม x = –1 ท�ทาให P(x) Q(x) เปนเทจ

x[Q(x) R(x)] มคาความจรงเปนเทจ

ขอความ (ข) ผด

(ค) กรณท� 1 โดยท� 1x

2 เปนคาเดยวทาให P(x) เปนจรง

แตละมคามากกวา – 1 และไมเทากบ 0 น�นคอ 1x

2 ทาให R(x) เปนจรงดวย

แสดงวา P(x) R(x) เปนจรงเม�อ 1x

2

กรณท� 2 สาหรบจานวนตรรกยะ x ใดๆซ�ง 1x

2 จะทาให P(x) เปนเทจ

แสดงวา P(x) R(x) เปนจรงเม�อ 1x

2 (F T T )

x[P(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง

ขอความ (ค) ถก


26

13. คาของ 3

2x 1

1 2xlim 1

1 x x 1


1. 0 2. 0.5

3. 1 4. 2

5. 4

เฉลย 1.

แนวคด

3 3

2 2x 1 x 1

2 3

2x 1

3 2

2x 1

2

2x 1

2

2x 1

1 2x 1 2xlim 1 lim 1

1 x 1 xx 1 x 1

1 x 1 2xlim

1 x x 1

1 2x x 1lim

1 x x 1

(x 1)(2x x 1)1lim

1 x x 1

(x 1)(2x x 1)1 xlim

(1 x) x 1

x 1

1 xlim

(1 x)

(1 x) 2

2

(2x x 1)

x 1

4(0)

2

0

1 2 1 0 12 1 1

2 1 1 0


27

14. กาหนดให C เปนเสนโคง y = 2 + x|x – 1| เม�อ x เปนจานวนจรง

ถา L เปนเสนตรงท�สมผสกบเสนโคง C ท�จด (0, 2) และให N เปนเสนตรงท�ต �งฉากกบเสนตรง L ณ

จด (0, 2) แลวเสนตรง N ผานจดในขอใดตอไปน �

1. (–1, 3) 2. (1, 5)

3. (–2, 5) 4. (3, –2)

5. (–3, 4)

เฉลย 1.

แนวคด

โดยท� x 1 , x 1

x 1x 1 , x 1

ดงน �น C เปนเสนโคงท�มสมการเปน

2

2

2 x( x 1) , x 1 x x 2 , x 1y 2 x x 1

2 x(x 1) , x 1 x x 2 , x 1

ดงน �น เม�อ x = 0 จงพจารณาเสนโคง C จากสมการ 2y x x 2

(หาความชนของ L, N)

จาก 2y x x 2 จะได dy

2x 1dx

และจะไดความชนของเสนตรง L เทากบ x 0

dy2(0) 1 1

dx

เน�องจากเสนตรง N ต �งฉากกบเสนตรง L จะไดวา ผลคณความชนของเสนตรง N และ L เทากบ –1

N Lm m 1

Nm 1 1

Nm 1

(หาสมการของN)

เน�องจาก Nm 1 และ N ผานจด (0, 2)

จะไดสมการเสนตรง N คอ y 2 1(x 0)

x y 2 0

(ตรวจสอบตวเลอกท� แทน x และ y ในสมการของเสนตรง N แลวทาใหสมการเปนจรง)

(–1, 3) – 1 + 3 – 2 = 0 เปนจรง

(1, 5) 1 + 5 – 2 = 0 เปนเทจ

(–2, 5) – 2 + 3 – 2 = 0 เปนเทจ

(3, –2) 3 + (–2) – 2 = 0 เปนเทจ

(–3, 4) – 3 + 4 – 2 = 0 เปนเทจ

จะไดจด (–1, 3) อยมเสนตรง N ผาน


28

15. ให f เปนฟงกชนหน�งตอหน�ง ซ�งมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง

โดยท� 1 2xf (x)

x 1

สาหรบทกสมาชก x ในเรนจของ f


(ก) 2f (4) f(4) 3

(ข) f (f(4)) f(f (4))

(ค) f เปนฟงกชนเพ�มบนชวง (0, 2)





เฉลย 2.

แนวคด

โดยท�ให f เปนฟงกชนหน�งตอหน�ง และ 1 2xf (x)

x 1

จะได 2xx f

x 1

...(1)

สมมตให 2x AA x

x 1 2 A

แทนลงใน (1) จะไดเปน A

f(A)2 A

น�นคอ f(x) = x

2 x หรอจดใหมเปน 2

f(x) 12 x

และจะได 2 2

2

2f (x) 0 2( 1)(2 x) ( 1) 2(2 x)

(2 x)

3 3

3

4f (x) 2( 2)(2 x) ( 1) 4(2 x)

(2 x)

พจารณาขอความ

(ก) 2

2 22f (4) f(4) 2 1 1 ( 2) 3

2 4(2 4)

ขอความ ก ถก

(ข) 3

3

2 4 1f (f(4)) f 1 f ( 2)

2 4 16(2 ( 2))

4 1 2 1f(f (4)) f f( ) 1

2 1 5(2 4) 2 ( )2

f (f(4)) f(f (4)) ขอความ ข ผด

(ค) ให f (x) 0 2

20

(2 x)

...(2)

โดยท� 2(2 x) 0 เม�อ x R {2}

ดงน �นอสมการ (2) เปนจรงสาหรบทกๆ x R {2}

แสดงวา f (x) 0 สาหรบทกๆ x R {2}

น�นคอ f เปนฟงกชนเพ�มในชวง ( , ) {2}

ทาให f เปนฟงกชนเพ�มบนชวง (0, 2) ขอความ ค ถก


29

16. กาหนดให A

และ B

เปนเวกเตอรในระนาบ

โดยท� A 16 i a j

และ B 8 i b j


ถา A B

และเวกเตอร B


แลวคาของ 2(a b) เทากบขอใดตอไปน �

1. 8 2. 16

3. 64 4. 192

5. 320

เฉลย 4.

แนวคด

A 16 i a j

2 2 2A (16) a 256 a

B 8 i b j

2 2 2B 8 b 64 b

โจทยกาหนด A B

2 2256 a 64 b

2 2256 a 64 b

2 2b a 192

2 2b a 192 ...(1)

เวกเตอร B


โดยท� 16 8A B 16(8) ab 128 ab

a b

...(2)

และสมบตการคณเชงสเกลาร A B A B cos

เม�อ เปนมมระหวางเวกเตอร A

กบ B

2 2

o 2 21 1 256 aA B A B cos60 A A ( ) (16) a ( )

2 2 2

...(3)

โดยท� (2) = (3) ; 2256 a

128 ab 2562

2ab 256 2

2

2

a

2ab a

2ab a 0

(2b a)a 0

2b a , a 0 ...(4)

ถา a = 2b จาก (1) จะได 2 2

2 2

2 2

2

b a 192

b (2b) 192

b 4b 192

3b 192

ขดแยง 2b 0 แสดงวา a 2b

ถา a = 0 จาก (1) จะได 2 2 2b a 192 0 192 192

ดงน �น 2 2 2(a b) (0 b) b 192


30

17. ในการจดนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน มายนเรยงเปนแถวตรงเพยงหน�งแถว

ความนาจะเปนท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน หรอ ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน

มคาตรงกบขอใดตอไปน �

1. 1

70 2.

1

35

3. 4

35 4.

1

7

5. 2

7

เฉลย 3.

แนวคด

ให S แทนปรภมตวอยางของการจดนกเรยนชาย 4 คน และหญง 4 คน มายนเรยงเปนแถวตรงเพยงหน�งแถว

จะได n(S) = 8!

ให A แทนเหตการณท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน

B แทนเหตการณไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน

n(A) : จานวนวธท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน

จดหญง 4 คน ยนสบเปล�ยนกนกอน ได 4! วธ

ในแตละวธ แทรกชาย 4 คน ในท�วางระหวางหญงสองคน ท�วางละคน ได 5 4 3 2 วธ

n(A) = 4! 5 4 3 2 = 1204! วธ

n(B) : จานวนวธท�ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน

จดชาย 4 คน ยนสบเปล�ยนกนกอน ได 4! วธ

ในแตละวธ แทรกหญง 4 คน ในท�วางระหวางชายสองคน ท�วางละคน ได 5 4 3 2 วธ

n(B) = 4! 5 4 3 2 = 1204! วธ

n(A B) : จานวนวธท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน และ ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน

: จานวนวธท�นกเรยนชายและนกเรยนหญงยนสลบกนคร �งละ 1 คน

กรณ 1 ชายยนหวแถว กรณท� 2 หญงยนหวแถว

จดชาย 4 คน ยนได 4! วธ จดชาย 4 คน ยนได 4! วธ

จดหญง 4 คน ยนได 4! วธ จดหญง 4 คน ยนได 4! วธ

จดคน 8 คนน � ยนได 4!4! วธ จดคน 8 คนน � ยนได 4!4! วธ

n(A B) = 4!4! + 4!4! = 24!4! วธ

ดงน �น

P(A B ) = n(A B)

n(S)

= (120 4 !) (120 4 !) (2 4 ! 4 !) 240 4 !

8 !

48 4!

8 7 6 5 4 !

4

35


31

18. ให f และ g เปนฟงกชน โดยท�

9 x , x 0f(x)

7 x , x 4

และ x 2 , x 1g(x)

x 4 , x 1


(ก) ถา x 0 แลว (g f)(x) 9 x 4

(ข) ถา 4 x 6 แลว (g f)(x) 3 x

(ค) ถา x 6 แลว (g f)(x) 9 x






บทนยามฟงกชนคอมโพสท (Composite Functions)

ให f และ g เปนฟงกชนท�มโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ Rf Dg

ฟงกชน g f หาได โดยท� ( g f )(x) = g(f(x)) สาหรบทก x ซ�ง f(x) Dg

(หาเรนจของ f)

เม�อ x 0 จะได f(x) 9 x ให y 9 x y 0 และ 2y 9 x

y 0 และ 2x 9 y

y 0 และ 29 y 0

y 0 และ (3 y)(3 y) 0

y [3, )

เม�อ 4 < x 6 จะได f(x) 7 x ให y 7 x x = 7 – y

4 < 7 – x 6 [เพราะวา 4 < x 6 ]

–3 < –y –1

1 y < 3

y [1,3)

เม�อ x > 6 จะได f(x) 7 x ให y 7 x x = 7 – y

7 – y > 6 [เพราะวา x > 6 ]

y < 1

y ( ,1)

3

0

3


32

(ตอแนวคดขอ 18.)

ดงน �น f

[3, ) , x 0

R [1, 3) , 4 x 6

( ,1) , x 6

โดยท� x 2 , x 1g(x)

x 4 , x 1

จะได gD ( , )

ขอ (ก) ถา x < 0 จะได f(x) g[3, ) D

แสดงวาหา gof ได โดยท� g(x) x 4 , f(x) 9 x

ดงน �น (g f)(x) g(f(x))

f(x) 4

9 x 4

แสดงวาขอความ (ก) ถก

ขอ (ข) ถา 4 < x 6 จะได f(x) g[1,3) D



f(x) 4

(7 x) 4

3 x

แสดงวาขอความ (ข) ถก

ขอ (ค) ถา x > 6 จะได f(x) g( ,1) D



f(x) 2

(7 x) 2

9 x

แสดงวาขอความ (ค) ถก


33

19. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนท�สอดคลองกบสมการ (9 7i)(z z)(1 i)z 6 2i

3 i

เม�อ 2i 1 และ z แทนสงยค(conjugate)ของ z


(ก) z 8 2

(ข) z 3i 10

(ค) iz 2 8





เฉลย 2.

แนวคด

กาหนดให z = x + yi เปนจานวนเชงซอนท�สอดคลองกบสมการ (9 7i)(z z)(1 i)z 6 2i

3 i

ดงน �น

2

2 2

(9 7i) (x yi) (x yi)(1 i)(x yi) 6 2i

3 i

(9 7i)( 2yi)(x xi yi y) 6 2i

3 i

(9 7i)( 2yi)(3 i)(x y) (x y)i 6 2i

(3 i)(3 i)

( 2)(30 y 20 yi)(x y) (x y)i 6 2i (zz z )

3 1

( 20)(3 y 2 yi)(x y) (x y)i 6 2i

10

(x y) (

x y) i 2(3 y 2 yi) 6 2i

(x 7y) (x 3 y)i 6 2i

โดยการเทากนของจานวนเชงซอน 2 จานวน จะตองมสวนจรงเทากน และสวนจนตภาพเทากน

ดงน �น x + 7y = 6 ...(1)

x + 3y = –2 ...(2)

แกระบบสมการ (1) และ (2) จะได x = –8 และ y = 2 น�นคอ z = –8 + 2i


(ก) z 8 8 2i 8 2i 2 แสดงวา ขอความ ก. ถก

(ข) 2 2z 3i 8 2i 3i 8 5i ( 8) 5 89 10 แสดงวา ขอความ ข. ผด

(ค) iz 2 i( 8 2i) 2 8i 2 2 8i 8 แสดงวา ขอความ ค. ถก


34

20. กาหนดให 3n

n 2n 1

n2a

3 เม�อ n = 1, 2, 3, ... อนกรม

nn 1

a

ตรงกบขอใดตอไปน �



3. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 24 4. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 64

3

5. อนกรมลออก

เฉลย 3

แนวคดท� 1 แนวคดน �จะหา nS แลวนาไปหา nnlim S

ถา nnlim S

หาคาไดเทากบ S จะไดวา nn 1

a

ลเขา และมผลบวกเทากบ S

ถา nnlim S

หาคาไมได จะไดวา nn 1

a

ลออก

จากท�กาหนด n3 n3n

n n n2n 1 2 n

n(2 )n2 n 8a a a

3 93 3 (3 )

ให in n

n ii 1 i 1

i 8S a

3 9

น�นคอ 2 3 n 1 nn

1 8 8 8 8 8S 1( ) 2( ) 3( ) ... (n 1)( ) n( )

3 9 9 9 9 9

...(1)

8(1)

9 ; 2 3 4 n n 1

n8 1 8 8 8 8 8

S 1( ) 2( ) 3( ) ... (n 1)( ) n( )9 3 9 9 9 9 9

...(2)

(1)-(2); 2 3 n 1 n n 1n n

8 1 8 8 8 8 8 8S S ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n( )

9 3 9 9 9 9 9 9

n

n 1n

8 81 ( )

1 1 89 9S n( )9 3 8 9

19

n n 1n

1 1 8 8S 8 1 ( ) n( )

9 3 9 9

n n 1

n9 8 8

S 8 1 ( ) n( )3 9 9

n n 1n

n n

n n 1

n n

n n 1

n n 1

n n 1

8 8lim S 3 lim 8 1 ( ) n( )

9 98 8

3 8 lim 1 ( ) lim n( )9 9

n3 8 1 0 lim

9( )8

dn

dn3 8 limd 9

( )dn 8

13 8 lim

9 9( ) ln8 8

3 8 0

24

จากเดมอยในรปท�ไมกาหนด 0

จดใหใหมใหอยอย 00

อาศยกฎของโลปตาล

และสมบตของการอนพนธเอกโพเนนเชยล x

xd(a )a ln a

dx

nn 1

a 24

พบวา nnlim S

หาคาไดเทากบ 24 และ


35

(ตอ ขอ 20)

แนวคดท� 2

จะได n n

nn 1 n 1 n 1

n 8 1 8a n

3 9 3 9

...(*)

สมมตให

n

n 1

8S n

9

2 3 48 8 8 8S 1( ) 2( ) 3( ) 4( ) ...

9 9 9 9 ...(1)

(1) 8

9; 2 3 4 58 8 8 8 8

S 1( ) 2( ) 3( ) 4( ) ...9 9 9 9 9

...(2)

(2) – (1); 2 3 48 8 8 8 8S S ( ) ( ) ( ) ( ) ...

9 9 9 9 9

81 9S9 8

19

1 8 9S

9 9 1

S 72 ... * *

แทนคา S = 72 ใน nn 1

a

จะได

n

nn 1 n 1

1 8 1a n (72) 24

3 9 3

1a

1 r

ผลบวกของอนกรมเรขาคณต

อนนตเทากบ


36

(ตอ ขอ 20)

แนวคดท� 3 n n n n

nn 1 n 1 n 1 n 2 n 2

n 1 n n

n 1 n 2 n 2

n 8 1 8 1 8 8 1 8 8S a n n S n ...(1)

3 9 3 9 3 9 9 3 9 9

8(1)

9

8 1 8 1 8 8 1 8S n (n 1) S (n 1) ...(2)

9 3 9 3 9 9 3 9

(1) (2)

n n

n 2 n 2

n n

n 2 n 2

n n

n 2 n 2

n n

;

8 1 8 8 1 8S S n (n 1)

9 3 9 9 3 9

1 8 1 8 8S n (n 1)

9 27 3 9 9

1 8 1 8 8S n (n 1)

9 27 3 9 9

1 8 1 8 8S n (n 1)

9 27 3 9 9

n 2

n

n 2

1 8 1 8S

9 27 3 9

641 8 1 81S9 27 3 8

19

1 72S

9 27

S = 72

9 2427


37

(ตอ ขอ 20)

แนวคดท� 4 ใชการทดสอบอตราสวน (Ratio Test) เพ�อตรวจสอบอนกรมลเขาหรอลออก

ทฤษฎบท กาหนดอนกรม nn 1

a

โดยท� an 0 สาหรบจานวนเตมบวก n และ n 1

n n

alim L

a

(1) ถา L < 1 แลว อนกรมน �จะเปนอนกรมลเขา

(2) ถา L > 1 หรอ L = แลว อนกรมน �จะเปนอนกรมลออก

(3) ถา L = 1 แลว การทดสอบน �ใชไมได

จาก n3n n

n 2n 1 n

n2 n8 n 8a

3 93 3 9

จะได

n 1

n 1n 1 8

a3 9

n 1

n 1n

n

n 1 8a n 1 8 8n 83 9a n 9 9nn 8

3 9

พบวา

n 1

n 1

nn n n nn

n 1 8a n 1 8 8n 8 83 9lim lim lim lim 1a n 9 9n 9n 8

3 9

โดยทฤษฎบทขางตน จะไดวา อนกรม nn 1

a

เปนอนกรมลเขา

พจารณา 2 3 4 11 x x x x ...

1 x

เม�อ |x| < 1

2 3 d 10 1 2x 3x 4x ...

dx 1 x

2 3

2

11 2x 3x 4x ...

(1 x)

...(1)

(1) คณ x ; 2 3 4

2

xx 2x 3x 4x ...

(1 x)

...(2)

ถาให 8x

9 แทนใน (2) จะได 2 3 4

2

n

n 1

88 8 8 8 92( ) 3( ) 4( ) ...9 9 9 9 8

(1 )9

8n( ) 72

9

จะได n n

nn 1 n 1 n 1

n 8 1 8 1a n (72) 24

3 9 3 9 3


38

21. กาหนดใหขอมลชดท� 1 คอ 1 2 20x 4, x 4, ..., x 4

และขอมลชดท� 2 คอ 1 2 202x 4,2x 4,..., 2x 4

เม�อ 1 2 20x , x , ..., x เปนจานวนจรง

ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดท� 1 เทากบ 50 และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท� 1 เทากบ 10

แลวขอมลชดท� 2 มคาเฉล�ยเลขคณต และ ความแปรปรวนเทากบขอใดตอไปน �





5 คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 104 และ ความแปรปรวนเทากบ 576


โดยอาศยสมบตของการวดคากลางของขอมล และการวดการกระจายของขอมล

กาหนดขอมล 1 2 3 na ,a ,a ,..., a มคาเฉล�ยเลขคณตเทากบ A และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ B

ถาขอมล 1 2 3 nka m,ka m,ka m,..., ka m เม�อ k, m เปนจานวนจรงคงตว

จะไดวาขอมลน �มคาเฉล�ยเลขคณตเทากบ kA + m และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ |k|B

กาหนดใหขอมลชดท� 1 คอ 1 2 20x 4, x 4, ..., x 4

มคาเฉล�ยเลขคณต เทากบ 50 และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน เทากบ 10

โดยท� i i2x 4 2(x 4) 4 สาหรบ i = 1, 2, 3,..., 20

จากขอมลชดท� 2 คอ 1 2 202x 4,2x 4,..., 2x 4

คอ 1 2 202(x 4) 4, 3(x 4) 4,..., 2(x 4) 4

ดงน �น คาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดท� 2 เทากบ 2(50) – 4 = 96

และ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท� 2 เทากบ 2(10)= 20

น �นคอขอมลชดท� 2 มคาเฉล�ยเลขคณต เทากบ 96 และ ความแปรปรวน เทากบ 220 400


39

22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหน�งมการแจกแจงปกต โดยมสมประสทธ�ของการแปรผนของ

คะแนนสอบวชาน � เทากบ 25% และมนกเรยนรอยละ 15.87 ท�สอบไดคะแนนมากกวา 85 คะแนน

ถานาย ก เปนนกเรยนคนหน�งในหองน � สอบไดคะแนน 47.6 คะแนน จะอยในตาแหนงเปรเซนไทลตรงกบ

ขอใดตอไปน � เม�อกาหนดพ �นท�ใตเสนโคงปกต ระหวาง 0 ถง z ดงน �

z 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

พ �นท� 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032

1. 34.46 2. 18.41

3. 13.57 4. 11.51

5. 9.68

ตอบ 4.

แนวคด

จากโดยมสมประสทธ�ของการแปรผนของ คะแนนสอบวชาน � เทากบ 25%

จะได 254

100

...(1)

จากท�กาหนดใหมนกเรยนรอยละ 15.87 ท�สอบไดคะแนนมากกวา 85 คะแนน

โดยจานวนรอยละท�มากกว 85 คะแนน ดงกลาวนอยกวารอยละ 50

แสดงวาคะแนน 85 อยทางขวาของแกนสมมาตรของเสนโคงปกต

ทาใหพ �นท�ใตเสนโคงปกตมาตรฐานทางขวาของคะแนน 85 เทากบ 15.870.1587

100

และพ �นท�ใตเสนโคงปกตมาตรฐานจากแกนสมมาตรถงคะแนน 85 เทากบ 0.5 – 0.1587 = 0.3413

เม�อตารางพ �นท�ใตเสนโคงปกต จะไดวา คะแนน 85 จะมคะแนนมาตรฐานเทากบ 1

จาก xz

จะได 85

1 85

...(2)

แกระบบสมการ (1) และ (2) จะได 17 , 68

นาย ก สอบไดคะแนน 47.6 คะแนน

จะมคะแนนมาตรฐาน เทากบ x 47.6 68z 1.2

17

ซ�งอยทางซายของแกนสมาตรของเสนโคงปกต

จากตารางคามาตรฐานท�กาหนด

จะไดวาพ �นท�ใตเสนโคงระหวาง z = 0 และ z = 1.2 เทากบ 0.3849

จะไดวาพ �นท�ใตเสนโคงระหวาง z = –1.2 และ z = 0 เทากบ 0.3849 ดวย

ดงน �นพ �นท�ทางซายของ z = –1.2 เทากบ 0.5 – 0.3849 = 0.1151

ซ�งคดเปนรอยละ 11.51% ของจานวนนกเรยนท �งหมด

ดงน �นนาย ก สอบไดคะแนนท�อยในตาแหนงเปรเซนไทล 11.51

1

1

x 47.6

z 1.2

0.5 0.3849 0.1151

0.3849

68

z 0

x 85

z 1

0.5 0.1587 0.3413

15.8715.87% 0.1587

100

z 0


40

23. กาหนดให 2 3 n

n 2n

1 2 2 2 ... 2a

3

เม�อ n = 1, 2, 3, ...

คาของ 1 2 3 nnlim a a a ... a


1. 2

9 2. 1

8

3. 9

56 4. 2

7

4. 25

56

เฉลย 4.

แนวคด

2 3 n

n 2n

1 2 2 2 ... 2a

3

n 1

2 n

1(1 2 )

1 2

(3 )

n 1

n

2 1

9

1 2 3 n nn n 1

n 1

nn 1

n 1

n nn 1 n 1

n n

n 1 n 1

2 3 2 3

lim a a a ... a a

2 1

9

2 1

9 9

2 12

9 9

2 2 2 1 1 12 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ...

9 9 9 9 9 9

2 1

9 922 1

1 19 9

22

9

9

1

7 9

9

8

25

56

ม n + 1 พจน

ผลบวกอนนตอนกรมเรขาคณต

1 2 3a a a ...

เทากบ 1a; r 1

1 r

]

ผลบวก n พจนแรกอนกรมเรขาคณต

1 2 3 na a a ... a

เทากบ n

1a (1 r )

1 r

]


41

24. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม และ R แทนเซตของจานวนจรง

ถา 2x 2

r (x, y) R R y4 x 2x 1

และ 2rA x x I D

แลวผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต A เทากบขอใดตอไปน �

1. 6 2. 10

3. 19 4. 29

5. 30

เฉลย 4.

แนวคด

2x 2

r (x, y) R R y4 x 2x 1

จากเง�อนไขใน r ท�กาหนด y ในเทอมของ x แลวคอ 2x 2

y4 x 2x 1

จะหาคา y ไดเม�อ

4 x 0 และ 2x 1 0 และ 4 x 2x 1 0

โดย

ถา 4 – x 0 จะได 4 x

ถา 2x + 1 0 จะได 1x

2

ถา 4 x 2x 1 0 จะได 4 x 2x 1

4 x 2x 1

x 1

ดงน �นจะหาคา y ไดเม�อ x 4 และ 1x

2 และ x 1

แสดงวาโดเมนของ r เทากบ 1, 4 {1}

2

และจะได 2 2rA x x I D x x 0,2, 3,4 0, 4,9,16

ดงน �น ผลบวกของสมาชกในเซต A เทากบ 29

1

4

1

2


42

y

x0

1L

(2,1)

(1, 0)

( 2, 3)

(4, 0)

2L

3L

(0, 2)

(0,1)

(0, 1)

25. ภายใตอสมการขอจากด ตอไปน �

x 2y 4 , x y 1 , x y 1 , x 0 และ y 0

สมการจดประสงคในขอใดตอไปน � ท�มคามากท�สด

1. z = 2x + 2y 2. z = 3x + 2y

3. z = 2x + 3y 4. z = x + 4y

5. z = 4x + y

ตอบ 5. แนวคด อสมการขอจากดไดแก x 2y 4

x y 1

x y 1

x, y 0

โดยการแกระบบสมการเชงเสนจะได

จดตดระหวาง 1L และ 2L คอ (2, 1)

จดตดระหวาง 2L และ 3L คอ (1, 0)

จดตดระหวาง 1L และ 3L คอ (–2, 3)

ดงน �นเซตท�เปนไปได (feasible set) คอบรวเวณแรเงา

โดยมจดมมไดแก (0,1), (0, 2), (2, 1), (1, 0)

จากตารางจะพบวาสมการจดประสงค z = 4x + y มคามากท�สด

จดมม(x, y) z = 2x + 2y z = 3x + 2y z = 2x + 3y z = x + 4y z = 4x + y

(0, 1) 2 2 3 4 1 (0,2) 4 4 6 8 2 (2,1) 6 8 7 6 9 (1,0) 2 3 2 1 4

สมการเสนตรง จดตดแกน x จดตดแกน y

1L (4, 0) (0, 2)

2L (1, 0) (0, –1)

3L (1, 0) (0, 1)

ให 1L แทนสมการ x + 2y = 4

2L แทนสมการ x – y = 1

3L แทนสมการ x + y = 1


43

26. กาหนดให 1 2A

2 1

และ a bB

c d

เม�อ a, b, c และ d เปนจานวนจรงบวก

โดยท� abcd = 9 และ ad bc

ถา 1 1AB B A และ tdet(A B) 24 แลวคาของ a + b + c + d เทากบเทาใด

1. 5 2. 6

3. 7 4. 8

5. 9

ตอบ 4.

แนวคด จาก 1 2

A det(A) 1(1) 2(2) 32 1

tdet(A ) 3

และ tdet(A B) 24 tdet(A )det(B) 24

(–3) det(B) = –24

det(B) = 8

ad bc 8 ...(1)

จะได 1 d b d b1 1B

c a c adetB 8

จาก 1 1 1 2 1AB B A

2 1 8

d b 1c a 8

d b 1 2c a 2 1

1 2 d b d b 1 22 1 c a c a 2 1

d 2c b 2a d 2b 2d b2d c 2b a c 2a 2c a

ดงน �น d – 2c = d – 2b b = c

–b + 2a = 2d – b a = d

จาก(1) และ (2) จะได ad – bc = –8 2 2a b 8 ...(3)

จากท�โจทยกาหนด abcd = 9 และ (2)

abcd = 9 2 2a b 9 ab 3 , 3 ^ 3b

a ...(4)

แทน (4) ใน (3) ; 2

2 4 2

2 2

2

3a 8 a 8a 9 0

a

(a 9)(a 1) 0

(a 3)(a 3)(a 1) 0

a = 3, –3

แต a > 0 จะได a = 3

และ d = 3 , b =3 3

1a 3

และ c = 1

ดงน �น a + b + c + d = 3 + 1 + 1 + 3 = 8

...(2)


44

27. กาหนดให a และ b เปนเวกเตอรใดๆ ท�ไมเปนเวกเตอรศนย


(ก) ถา a ขนานกบ b แลว a b a b

(ข) ถา 2 2 2a b a b แลว a ต �งฉากกบ b

(ค) ถาเวกเตอร a b ต �งฉากกบเวกเตอร a b แลว a b






(ก) สมมตให a ขนานกบ b

จะได a ขนานกบ b ในทศทางเดยวกน หรอ ทศทางตรงขาม o o0 , 180

ซ�งถา o180 จะได cos 1 เม�อ เปนมมระหวางเวกเตอร a และ b

2 2 2

2 2

2 2

2

a b a 2 a b cos b

a 2 a b ( 1) b

a 2 a b b

a b

พบวา a b a b น�นคอ a b a b เม�อ a ขนานกบ b ในทศทางตรงขาม

ขอความ (ก) ผด

(ข) สมมตให 2 2 2a b a b

จะได 2 2 2

2 2 2 2

a b a 2a b b

a b a 2a b b

0 2a b

พบวา a b 0 แสดงวา a ต �งฉากกบ b

ขอความ (ข) ถก

(ค) สมมตให a b ต �งฉากกบ a b

จะได (a b) (a b) 0 a a a b a b b b 0

a b 0

a b

ขอความ (ค) ถก


45

28. กาหนดให a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวกสอดคลองกบ

a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3


(ก) c + e < b + d

(ข) c < b < e < d

(ค) a + d < b + c





เฉลย 1.

แนวคด

สมมตให a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3 = k

เน�องจาก a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวก ทาให k > 0

a + b – 4 = k ...(1)

b + c + 5 = k ...(2)

c + d + 1 = k ...(3)

d + e – 2 = k ...(4)

e + a + 3 = k ...(5)

แทน (6) และ (7) ใน (3); (a – 9) + (a + 5) + 1 = k 2a – 3 = k k 3

a2

จาก (1); b = k + 4 – a = k + 4 k 3

2

=

k 5

2

จาก (2); c = k – 5 – b = k – 5 – k 5

2

=

k 15

2

จาก (3); d = k – 1 – c = k – 1 – k 15

2

=

k 13

2

จาก (4); e = k + 2 – d = k + 2 –k 13

2

=

k 9

2

k 15 k 9 2k 24c e k 12

2 2 2

และ k 5 k 13 2k 18

b d k 92 2 2

โดยท� k 12 k 9 จะได c + e < b + d แสดงวาขอความ (ก) ถก

โดยท� k 15 k 9 k 3 k 5 k 13

2 2 2 2 2

จะได c < e < a < b < d แสดงวาขอความ (ข) ผด

k 3 k 13 2k 16a d k 8

2 2 2

และ k 5 k 15 2k 10

b c k 52 2 2

โดยท� k + 8 > k – 5 จะได a + d > b + c แสดงวาขอความ (ค) ผด

(1) – (2) ; a – c – 9 = 0 c = a – 9 ...(6)

(4) – (5) ; d – a – 5 = 0 d = a + 5 ...(7)


46

(ตอขอ 28)

เฉลย 1.

แนวคดท� 2 ใชการดาเนนการตามแถวเบ �องตนบนเมทรกซแตงเตม

สมมตให a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3 = k

เน�องจาก a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวก ทาให k > 0

a + b – 4 = k ...(1)

b + c + 5 = k ...(2)

c + d + 1 = k ...(3)

d + e – 2 = k ...(4)

e + a + 3 = k ...(5)

5 1

1 2

5 2

1 1 0 0 0 k 4

0 1 1 0 0 k 5

0 0 1 1 0 k 1

0 0 0 1 1 k 2

1 0 0 0 1 k 3

1 1 0 0 0 k 4

0 1 1 0 0 k 5

0 0 1 1 0 k 1

0 0 0 1 1 k 2

0 1 0 0 1 7 R R

1 0 1 0 0 9 R R

0 1 1 0 0 k 5

0 0 1 1 0 k 1

0 0 0 1 1 k 2

0 0 1 0 1 k 12 R R

1 0 0 1 0 k 8

0 1 0 1 0

1 3

2 3

5 3

R R

4 R R

0 0 1 1 0 k 1

0 0 0 1 1 k 2

0 0 0 1 1 11 R R

ดงน �น k 3a

2

, b =

k 5

2

, c =

k 15

2

, d =

k 13

2

, e =

k 9

2

จะได c + e < b + d แสดงวาขอความ (ก) ถก

c < e < a < b < d แสดงวาขอความ (ข) ผด

a + d > b + c แสดงวาขอความ (ค) ผด

1 4

2 4

3 4

5 4

5

1 0 0 0 1 6 R R

0 1 0 0 1 k 2 R R

0 0 1 0 1 3 R R

0 0 0 1 1 k 2

0 0 0 0 2 k 9 R R

1 0 0 0 1 6

0 1 0 0 1 k 2

0 0 1 0 1 3

0 0 0 1 1 k 2

k 9 10 0 0 0 1 R

2 2

k 31 0 0 0 0

2k 5

0 1 0 0 02

k 150 0 1 0 0

2k 13

0 0 0 1 02

k 90 0 0 0 1

2

1 5

2 5

3 5

4 5

R R

R R

R R

R R

1 1 0 0 0 a k 4

0 1 1 0 0 b k 5

0 0 1 1 0 c k 1

0 0 0 1 1 d k 2

1 0 0 0 1 e k 3


47

29. กาหนดขอมลชดหน�ง ดงตารางตอไปน �

คะแนน จานวน

0 – 2 3

3 – 5 5

6 – 8 a

9 – 11 3

เม�อ a เปนจานวนเตมบวก

ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดน �เทากบ 5 แลวมธยฐานของขอมลชดน � เทากบเทาใด

1. 3.8 2. 4.3

3. 4.8 4. 4.9

5. ไมมคาตอบ


คะแนน จานวน ( if ) จดก�งกลางช �น( ix ) i if x ความถ�สะสม

0 – 2 3 0 2

12

31 = 3 3

3 – 5 5 3 5

42

5 4 = 20 8

6 – 8 a 6 87

2

a 7 = 7a 9

9 – 11 3 9 11

102

3 10 = 30 12

จากคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลเทากบ 5 3 20 7a 305

3 5 a 3

7a 535

a 11

7a 53 5a 55

a 1

ตาแหนงมธยฐาน เทากบ 1 (12) 62

ซ�งอยในอนตรภาคช �นท� 2 ชวงคะแนน 3 – 5

และม ขอบลาง(L) = 2.5, ความกวางอนตรภาคช �น( I) = 3 , ความถ� = 5

ความสะสมของอนตรภาคช �นท�มคะแนนนอยกวาช �นท�มมธยฐาน( Lf ) 3

ดงน �น มธยฐาน = L

Nf

2L If

= 6 3

2.5 35

= 4.3


48

30. จากการสารวจประชากรของหมบานแหงหน�ง มผหญงรอยละ 60 ของประชากรท �งหมดในหมบานน �

และมอตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอจานวนผหญงท�มสายตาปกต เทากบ อตราสวนของ

จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาปกต

พจารณาขอสรปเก�ยวกบประชากรในหมบาน ตอไปน �

(ก) ผหญงท�มสายตาผดปกตมจานวน 1.5 เทาของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต

(ข) ผชายท�มสายตาปกตมจานวนมากกวาจานวนผหญงสายตาปกต

(ค) อตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผหญงท �งหมดในหมบานน � มากกวา

อตราสวนของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผชายท �งหมดในหมบานน �





เฉลย 1.

แนวคด โดย มผหญงรอยละ 60 ของประชากรท �งหมด มผชายรอยละ 100 60 40 ของประชากรท �งหมด

ดงน �น อตราสวนจานวนผหญง ตอจานวนผชาย เทากบ 60 3

40 2 ...(1)

กาหนดคาคงท�แทนจานวนประชากรดงน �

และมอตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอจานวนผหญงท�มสายตาปกต เทากบ

อตราสวนของ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาปกต

จะได d b d a c b d a b a b1 1 ...(2)

c a c c d c d c d

a c...(3)

b d

ให a ck

b d

จาก (1) และตารางจะได d(k 1)c d 3 dk d 3 3 d 3

a b 2 bk b 2 b(k 1) 2 b 2

...(4)

ดงน �น 3d b 1.5b

2 แสดงวาขอความ (ก) ถก

จาก (2) และ (4) ; a b a 2 2a c a c

c d c 3 3 แสดงวาขอความ (ข) ผด

จาก (3) ;

a c a c a b c d b d

1 1b d b d b d a b c d

แสดงวาขอความ (ค) ผด

ชาย หญง รวม

สายตาปกต a c a + c

สายตาผดปกต b d b + d

รวม a + b c + d a + b + c + d


49

ตอนท� 2 แบบอตนย ระบายคาตอบท�เปนตวเลข จานวน 15 ขอ(ขอ 31 – 45) ขอละ 8 คะแนน

31. ในการสารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหน�ง

พบวา มนกเรยนชอบเรยนวชาคณตศาสตร 150 คน

มนกเรยนชอบเรยนวชาภาษาไทย 80 คน

มนกเรยนชอบเรยนภาษาองกฤษ 60 คน

และ มนกเรยน 30 คน ชอบเรยนท �งสามวชา

นกเรยนกลมน �มจานวนอยางมากก�คน

เฉลย 230

แนวคด

ให M แทนเซตของนกเรยนท�ชอบเรยนวชาคณตศาสตร

T แทนเซตของนกเรยนท�ชอบเรยนวชาภาษาไทย

E แทนเซตของนกเรยนท�ชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ

โจทยกาหนดให

ในการสารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหน�ง

แสดงวา n( ) n(M T E) U

n(M) = 150, n(T) = 80 , n(E) = 60 และ n(M T E) 30

จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร จะได

a + b + c + d = 150

b + d + e + f = 80

c + d + f + g = 60

d = 30

จากสมบต

n(M T E) n(M) n(T) n(E) n(M T) n(M E) n(T E) n(M T E)

150 80 60 (b 30) (c 30) (f 30) 30

230 (b c f)

แต b, c, d เปนจานวนเตมท�มคามากกวาหรอเทากบ 0

ดงน �น b + c + f 0

แสดงวา n(M T E) 230 (b c f) 230

ดงน �น n( ) 230U

แสดงวา นกเรยนกลมน �มจานวนอยางมาก 230 คน

E

T M

a b

cd

e

f

g


50

32. ให A แทนเซตคาตอบของสมการ x x 4 x 4 x 43 9 3 3 3

และให B 59 x x A

ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต B เทากบเทาใด

เฉลย 126

แนวคด

จากสมการ

x x 4 x 4 x 4

x x 4 x 4 x 4

3 9 3 3 3

3 9 3 3 3 3 3 ...(1)

ให a = x3 และ x 4b 3

จากสมการ (1) จะได 3 9 ab b 81a

81a 3ab b 27 0

3a(27 b) (27 b) 0

(3a 1)(27 b) 0

1a , b 27

3

แทนคากลบจะได x x 413 , 3 27

3

พจารณา

ถา x 13 x 1

3

สมการไมมคาตอบเพราะวา |x| 0

ถา x 43 27 x 4 3

x 4 3 , x 4 3

x 1 , x 7

ดงน �น A = {–1, –7}

ทาให B 59 x x A {59 ( 1) , 59 ( 7)} {60, 66}

ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต B เทากบ 60 + 66 = 126


51

33. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R R เปนฟงกชนท�สามารถหาอนพนธได และ

สอดคลองกบ 2

x 2

x x 6lim 6

1 f(x) 3

และ 1 f(x) 0 สาหรบทกจานวนจรง x

ถาเสนตรง 6x – y = 4 ตดกบกราฟ y = f(x) ท� x = 2 แลวคาของ f (2) เทากบเทาใด

เฉลย 5

แนวคด

จากเสนตรง 6x – y = 4 จดใหมจะได y = 6x – 4 ซ�งมความชนเทากบ 6

และเน�องจากเสนตรงน �ตดกบกราฟ y = f(x) ท� x = 2 จะได y = 6(2) – 4 = 8 แสดงวา f(2) = 8

โดยนยามของ x 2

f(x) f(2)f (2) lim

x 2

และ f(2) 8

จากโจทยกาหนด 2

x 2

x x 6lim 6

1 f(x) 3

2

x 2

2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

1 f(x) 3x x 6lim 6

1 f(x) 3 1 f(x) 3

(x x 6)( 1 f(x) 3)lim 6

(1 f(x)) 9

(x 2)(x 3)( 1 f(x) 3)lim 6

f(x) 8

(x 3)( 1 f(x) 3)lim 6

f(x) f(2)

x 2

lim(x 3)( 1 f(x) 3)6

f(x) f(2)lim

x 2

(5)( 1 8 3)

f (2)

6

306

f (2)

f (2) 5

แนวคดท� 2 ใชกฎของโลปตาล

22

11x 2 x 2 x 2 x 222

d(x x 6) 2(2x 1) 1 f(x)x x 6 2x 1dxlim lim lim lim

f (x)1 f(x) 3 1d 1 f(x) f (x)(1 f(x)) 32dx

น�นคอ 2

x 2

2(5) 1 f(2)x x 6lim

f (2)1 f(x) 3

แต f(2) = 8

ดงน �น 2(5) 1 86 f (2) 5

f (2)


52

34. กาหนดใหฟงกชน 3

2

x , x 1ax b , 1 x 1f(x)

3x 2 , x 1


ถาฟงกชน f ตอเน�อง สาหรบทกจานวนจรง x แลวคา 2

2

f(x) dx เทากบเทาใด

เฉลย 9.25

แนวคด

จากฟงกชน f ตอเน�อง สาหรบทกจานวนจรง x จะไดวา f ตอเน�องท� x = –1 และ x = 1

จาก f ตอเน�องท� x = –1 จะได x 1 x 1 x 1

f( 1) lim f(x) f( 1) lim f(x) lim f(x)

น�นคอ x 1

3

x 1

f( 1) lim f(x)

a( 1) b lim x

a b 1 ...(1)

จาก f ตอเน�องท� x = 1 จะได x 1 x 1 x 1

f(1) lim f(x) f(1) lim f(x) lim f(x)

น�นคอ x 1

2

x 1

f(1) lim f(x)

3(1 ) 2 lim (ax b)

5 a b

a + b = 5 ...(2)

จาก (1) + (2) ; 2b = 4 b = 2

แทน b = 2 ใน (2) ; a + 2 = 5 a = 3

และจะได ฟงกชน f ดงน �

3

2

x , x 13x 2 , 1 x 1f(x)

3x 2 , x 1

ดงน �น

2 1 1 2

2 2 1 1

1 1 23 2

2 1 1

1 14 2

2 1

f(x)dx f(x) dx f(x)dx f(x) dx

x dx 3x 2 dx 3x 2 dx

3x 3x2x

4 2

3x

3

2

1

2x

1 16 3 3( 2) ( 2) (8 4) (1 2)

4 4 2 2

9.25


53

35. กาหนดให a > 1 และ

นยาม nn

2L(n) log a สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

ถา 1 1 1... 77

L(1) L(2) L(10) แลวคาของ a เทากบเทาใด

เฉลย 32

แนวคด

n

n

n

n

2

1

n2

2

22

L(n) log a

log a

1log a

n

1log a

n

ดงน �น 2

2a

2

1 nn log 2

L(n) log a

จากสมการ 1 1 1... 77

L(1) L(2) L(10)

2 2 22 2 2

2 2 22

2 2 2a

a

a

1

5

1 log a 2 log a ... 10 log a 77

(1 2 ... 10 ) log a 77

10(10 1)(2 10 1) n(n 1)(2n 1)log 2 77 [ 1 2 ... n ]

6 6

385 log 2 77

1log 2

5

a 2

ดงน �น a = 52 32


54

36. ถา a และ b เปนจานวนจรงท�สอดคลองกบ 1 b 0a 4 1 175 a a

แลวคาของ 5 2a 2 58 a 2b a2 a 0 a

เทากบเทาใด

เฉลย 68

แนวคดท� 1

จากท�กาหนด

2

2

1 b 0a 4 1 17 ( 4 a 5b 0) (0 a a b) 175 a a

a b 5a 5b 17

จะได

5 2a 2 58 a 2b a ( 10ab2 a 0 a

2 24 a b) (4 a 2a ) 0 (20 b 10 ab 2) ( 16a 2 a

2

2

) 0

4a b 20a 20b

4(a b 5a 5b)

4( 17)

68

แนวคดท� 2 ใชการดาเนนการตามแถว(row operations) เครดต Tantalus Chokesiriphol

t

1 3

12

5 2a 2 5 2a 5 8 a 2 a8 a 2b a 2 2b 02 a 0 a 5 a a

2a 5 8 a 2 a2 2b 05 a a

2a 8 2 R R2 2b 05 a a

a 4 12 2 1 1b 0

5 a a

1 b 02 2 ( 1) a 4 1 R

5 a a

2 2 ( 1) 17

68


55

37. ให na เปนลาดบเลขคณตของจานวนจรง

โดยท� 1 3 5 49 2 4 6 50a a a ... a a a a ... a 1275 และ 100a 200

คาของ 51 52 53 100a a a ... a เทากบเทาใด

เฉลย โจทยผด แนวคด

กาหนดให na เปนลาดบเลขคณต โดยม d เปนผลตางรวม น�นคอ n 1 nd a a

1 3 5 49a a a ... a 1275 ...(1)

2 4 6 50a a a ... a 1275 ...(2)

(2) – (1) ; d d d ... d 0

25d = 0

d = 0

แสดงวาลาดบ na เปนลาดบคงท� ทกพจนมคาเทากน

และโจทยกาหนดให 100a 200

แสดงวาทกพจนมคาเปน 200

ซ�งจะพบวา 1 3 5 49a a a ...a 200 200 200 ... 200 5000

โดยขดแยงกบเง�อนไขท�โจทยกาหนดวา 1 3 5 49a a a ... a 1275

ดงน �นโจทยขอน �ไมสามารถหาคาตอบน �เน�องจากเง�อนไขในโจทยขดแยงกน


56

38. ตองการสรางจานวนหาหลก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยท�แตละหลกมตวเลขซ �ากนได และจานวนหาหลก

ประกอบดวยตวเลข 1 อยางนอย 1 หลก ตวเลข 2 อยางนอย 1 หลก และตวเลข 3 อยางมาก 2 หลก

จะมจานวนหาหลกดงกลาวไดท �งหมดก�จานวน

เฉลย 160

แนวคด

แบงเปน 3 กรณ

กรณท� 1 ในจานวนหาหลกไมมเลข 3

กรณท� 1.1 ใน 5 หลกมเลขโดด 1,2,2,2,2 มจานวนหาหลก 5 !5

1 ! 4 ! จานวน


2 ! 3 ! จานวน


3 !2 ! จานวน



ดงน �นกรณท� 1 มจานวนหาหลกท �งหมด 5 + 10 + 10 + 5 = 30 จานวน

กรณท� 2 ในจานวนหาหลกมเลข 3 อย 1 ตว โดยเลข 3 อยในหลกใดกไดท �งหมด 51

5 !C 5

4 !1! วธ

กรณท� 2.1 ใน 4 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,2,2,2 มจานวนหาหลก 4 !4

1 ! 3 ! จานวน





ดงน �นกรณท� 2 มจานวนหาหลกท �งหมด 5( 4 + 6 + 4) = 70 จานวน

กรณท� 3 ในจานวนหาหลกมเลข 3 อย 2 ตว โดยเลข 3 อยในหลกใดกไดท �งหมด 52

5 !C 10

3 !2 ! วธ

กรณท� 3.1 ใน 3 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,2,2 มจานวนหาหลก 3 !3


กรณท� 3.2 ใน 3 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,1,2 มจานวนหาหลก 3 !3

2 !1! จานวน

ดงน �นกรณท� 3 มจานวนหาหลกท �งหมด 10( 3 + 3) = 60 จานวน

จากกรณท� 1 – 3 จะไดจานวนหาหลกดงกลาวมท �งหมด 30 + 70 + 60 = 160 จานวน


57

39. จากการสารวจปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวชนดหน�ง จานวน 8 ตว ไดขอมลซ�งแสดงความสมพนธ

ระหวางอาย(ป) ของสตวชนดน � และปรมาณอาหารเสรม(กโลกรม)ท�ใชเล �ยงสตวดงกลาวตอสปดาห

ปรากฏผลดงน �

อาย(ป) : x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x

ปรมาณอาหารเสรมตอสปดาห(กโลกรม) : y 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y

โดยท� 8

ii 1

x 40

, 8

ii 1

y 48

, 8

2i

i 1

x 210

, 8

2i

i 1

y 380

8

i ii 1

x y 270

และ 3 = 1 2 8x x ... x 10

สมมตวากราฟแผนภาพการกระจายท�แสดงความสมพนธระหวางปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอ

สปดาห และอายของสตวดงกลาว อยในรปแบบเสนตรง ถาสตวชนดน �มอาย 4 ป จะตองใชปรมาณอาหาร

เสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาหประมาณก�กโลกรม

เฉลย 3

แนวคด

เพราะวากราฟแผนภาพการกระจายท�แสดงความสมพนธระหวางปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอ

สปดาห และอายของสตวดงกลาว อยในรปแบบเสนตรง

และตองการทานายปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาห เม�อทราบสตวชนดน �

จะไดสมการท�วไปของความสมพนธน �คอ y = ax + b

และสมการปกตคอ 8 8 8

i ii 1 i 1 i 1

8 8 82

i i i ii 1 i 1 i 1

y a x b 48 40a 8b ...(1)

x y a x b x 270 210a 40b ...(2)

(2) 5 (1); 30 10a

a 3

แทนคา a = 3 ใน (1) จะได 48 = 120 + 8b

b = –9

จะไดความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล x และ y คอ y = 3x – 9

ดงน �น ถาสตวชนดน �มอาย 4 ป

จะตองใชปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาหประมาณ 3(4) – 9 = 3 ก�กโลกรม


58

40. ถา 2 2Ax By Dx Ey 21 เปนสมการของไฮเพอรโบลารปหน�งมแกนตามขวางขนานแกน x

มเสนตรง 2x y 1 0 เปนเสนกากบ(asymptote)เสนหน�ง และมจด (1 2 5, 3) เปนโฟกสจดหน�ง

แลวคาของ 2 2 2 2A B D E เทากบเทาใด

เฉลย 117

แนวคด

จากท�จดโฟกสจดหน�งอยท�จด (1 2 5, 3) จะไดจดศนยกลาง (h, k) คอ (h, 3)

จากเสนกากบ 2x y 1 0 ผานจด ศ.ก. (h, 3)

จะไดวาแทน x = h , y = 3 จะทาใหสมการ 2x – y + 1 = 0 เปนจรง

น�นคอ 2h – 3 + 1 = 0 h = 1

แสดงวาจดศนยกลางของไฮเพอรโบลาคอ (1, 3)

และจะไดอกวา c = (1 2 5) 1 2 5 ...(1)

จากเสนกากบ 2x y 1 0 จดใหมเปน y = 2x + 1 ซ�ง จะไดความชน เปน 2

แตสาหรบไฮเพอรโบลาน �จะมความชนเสนหน�งเปน b

a

น�นคอ b2

a b = 2a ...(2)

จาก (1) , (2) และความสมพนธของ a, b, c

2 2 2 2 2 2 2c a b (2 5) a (2a) a 4

ดงน �น 2 2b 4a 16

โดยท�ไฮเพอรโบลามแกนตามขวางขนานกบแกน x จะไดสมการดงน �

2 2 2 2

2 2

2 2

(x h) (y k) (x 1) (y 3)1 1

4 16a b

4x y 8x 6y 21

ดงน �น A = 4, B = –1, D = –8, E = 6

2 2 2 2 2 2 2 2A B C D 4 ( 1) ( 8) 6 117

x

y

0

(1, 3)

a

b

2x y 1 0 y 2x 1

F(1 2 5, 3)


59

41. ให S เปนเซตของคอนดบ (a, b) ท �งหมด โดยท� a, b เปนจานวนเตมบวกท�สอดคลองกบ 1 1 1

a b 10

จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด

เฉลย 4 แนวคด

จากท�กาหนด 1 1 1

a b 10

10ab คณตลอด; 10ab 10ab 10ab

a b 10

10b – 10a = ab

10b – 10a – ab = 0

b(10 – a) – 10a = 0

b(10 – a) + 10(10 – a) = 100

(10 – a)(b + 10) = 10 ...(1)

เน�องจาก a และ b เปนจานวนเตมบวก แสดงวา b + 10 เปนจานวนเตมบวก

เพ�อใหผลคณ (10 – a)(b + 10) เปนจานวนเตมบวกคอ 10

จะได 10 – a เปนจานวนเตมบวกดวย

น�นคอ 0 < a < 10

แสดงวาคา a ท�เปนไปได ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

จากท�ไดวา (10 – a)(b + 10) = 10 จะไดวา

ถา a = 1 จะได (10 – 1)(b + 10) =100 b + 10 = 100

9 ขดแยงกบท� b + 10 I แสดงวา a 1

ถา a = 2 จะได (10 – 2)(b + 10) =100 b + 10 = 100


ถา a = 3 จะได (10 – 3)(b + 10) =100 b + 10 = 100


ถา a = 4 จะได (10 – 4)(b + 10) =100 b + 10 = 100


ถา a = 5 จะได (10 – 5)(b + 10) =100 b + 10 = 100

205

แสดงวา a = 5 และ b = 20

ถา a = 6 จะได (10 – 6)(b + 10) =100 b + 10 = 100

254


ถา a = 7 จะได (10 – 7)(b + 10) =100 b + 10 = 100


ถา a = 8 จะได (10 – 8)(b + 10) =100 b + 10 = 100

502


ถา a = 9 จะได (10 – 9)(b + 10) =100 b + 10 = 100 แสดงวา a = 9 และ b = 100

ดงน �น S = {(5, 20), (6, 25), (8, 50), (9, 100)}

แสดงวาจานวนสมาชกของ S เทากบ 4


60

42. ให A เปนเซตของจานวนจรง x ท �งหมด ท�สอดคลองกบอสมการ 2x1 x

1 x 1 x

ถา a เปนขอบเขตบนนอยสดของเซต A และ b เปนขอบเขตลางมากสดของเซต A

แลวคาของ 2 2a b เทากบเทาใด

เฉลย 1.5

แนวคด

เน�องจาก 1 x และ 1 x หาคาไดเม�อ 1 + x 0 และ 1 – x 0

น�นคอ x –1 และ x 1

ดงน �น 1 x และ 1 x หาคาไดเม�อ –1 x 1

จากอสมการท�กาหนด และท�ไดวา –1 x 1 จงแบงการหาเซตคาตอบอสมการเปน 2 กรณ ดงน �

กรณท� 1 ถา –1 x 0

จาก –1 x 0 จะได 1 1 – x 2 และ 0 1 + x 1

ทาให 1 1 x 2 และ 0 1 x 1

ดงน �น 2x0

1 x 1 x

แต 1 x 1

แสดงวาสาหรบจานวนจรง x ซ�ง –1 x 0 ทาให 2x1 x

1 x 1 x

เปนจรง

ดงน �นเซตคาตอบกรณท� 1 คอ [–1, 0] ...(1)

กรณท� 2 ถา 0 < x 1

2x

1 x1 x 1 x

2x 1 x 1 x 1 x

2x 1 x 1 x (1 x)

2( 2 1)x 1 1 x

22

2( 2 1)x 1 1 x

ดงน �นเซตคาตอบกรณท� 2 คอ 10,

2

...(2)

จาก (1) และ (2) เซตคาตอบท �งสองกรณ จะได A = 1 1

[ 1, 0] 0, 1,2 2

จะไดคาขอบเขตบนนอยสดของ A เทากบ 1

2 และคาขอบเขตลางมากสดของ A เทากบ –1

น�นคอ a = 1

2 และ b = –1

2 2 2( 2 1) x 2( 2 1)x 1 1 x

2(4 2 2)x 2( 2 1)x 0

22 2( 2 1)x 2( 2 1)x 0

2( 2 1)x 2x 1 0

x( 2x 1) 0

เง�อนไขจาก

1

2

0 1

0

เซตคาขอบเขตบน เซตคาขอบเขตลาง

เซต A

1 1

2


61

ดงน �น 2

2 2 21a b ( 1) 1.5

2

43. ให A เปนเซตของคอนดบ (x, y) โดยท� x และ y เปนจานวนจรงบวกท�สอดคลองกบ

2 x y 2 และ 24 23 log 16x 6 6 log y

ให 2 2B x y (x, y) A

คามากท�สดของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด

เฉลย 2

แนวคด

จากสมการ 24 23 log 16x 6 6 log y

24 4 23(log 16 log x ) 6 6 log y

2 24 2

22 23(log 2 log x ) 6 6 log y

22 2 2

4 13( log 2 log x ) 6 6 log y

2 2

22 2

13(2 log x ) 6 6 log y

2

ดงน �น x y

น�นคอ x = y หรอ –x = y

ดงน �น A = {(1, 1), 1 1

,4 4

}

กรณท� 1 x = y

จากสมการ 2 x y 2

จะได 2 x x 2

2 x 2 x

ยกกาลงสอง ; 2 x 4 4 x x

4 x 2x 2

2 หารตลอด; 2 x x 1

ยกกาลงสอง; 24x x 2x 1

2

2

x 2x 1 0

(x 1) 0

x 1

แต y = x จะได y = 1

กรณท� 2 – x = y

จากสมการ 2 x y 2

จะได 2 y y 2

2 y 2 y

ยกกาลงสอง; 2 y 4 4 y y

4 y 2

2 หารตลอด; 2 y 1

ยกกาลงสอง; 4y 1

1

y4

แต –x = y จะได x = 1

4

22 2

36 log x 6 6 log y

2

22 2

3log x 6 log y

2

22 2

1log x 2 log y

2

1 2

2 22 2log (x ) log y

2 2log x log y


62

ทาให 2 2B x y (x, y) A = { 2 21 1 , 2 21 1( ) ( )

4 4 } = {2 ,

1

8}

ดงน �น คามากท�สดของสมาชกในเซต B เทากบ 2

44. กาหนดขอมลกลมตวอยาง 5 จานวนคอ 1 2 3 4 5x , x , x , x , x โดยท� 5

2i

i 1

x 214

และ 5

2i

i 1

(x x) 34

เม�อ x คอคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลกลมตวอยางน � และ x 0

ถาขอมลกลมตวอยางใหม 5 จานวนคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x

มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 16

แลว คาเฉล�ยเลขคณตของขอมล 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x , x x , x x , x x , x x เทากบเทาใด

เฉลย 78.7 แนวคด

สตรท�ใชคานวณคาสถตของกลมตวอยาง

n n n2 2 2i i i

i 1 i 1 i 1

x (x x) x nx

x , sn n 1 n 1

(หาคา x ของขอมลกลมตวอยาง 5 จานวนคอ 1 2 3 4 5x , x , x , x , x )

จาก 5

2i

i 1

x 214

และ 5

2i

i 1

(x x) 34

จะได

5 52 2 2

i i2 i 1 i 1

(x x) x 5(x )

s5 1 5 1

34

4

2214 5(x )

4

2(x) 36

แตโจทยกาหนด x 0 แสดงวา x 6

(ตอไปจะหาคา 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x x x x x x x x x )

พจารณาขอมลกลมตวอยางใหม 5 จานวนคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x

จะไดคาเฉล�ยเลขคณต( x ) = 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1(x 2x ) ( x 2x ) ( x 2x ) ( x 2x ) ( x 2x )

5

= 1 2 3 4 53(x x x x x )

5

= 3(x)

= 18

จากขอมลคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x ท�มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 16 จะได

2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 4 4 5 5 1(x 2x ) (x 2x ) (x 2x ) (x 2x ) (x 2x ) 5(x )

165 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 221 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 1 5 5(x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) 5(18)

(16)5 1

2 2 2 2 21 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 1 55(x x x x x ) 4(x x x x x x x x x x ) 1620

2564

1 2 2 3 3 4 4 5 1 5

5(214) 4(x x x x x x x x x x ) 1620 256 4

1 2 2 3 3 4 4 5 1 5x x x x x x x x x x 393.5


63

ดงน �น คาเฉล�ยเลขคณตของขอมล 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x , x x , x x , x x , x x

เทากบ 1 2 2 3 3 4 4 5 1 5x x x x x x x x x x 39378.7

5 5

45. ให S เปนเซตของจานวนสองหลก ab ท �งหมด

โดยท� ab + ba = 143 เม�อ a, b {1,2, 3, ..., 9} และ a b

ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต S เทากบเทาใด

เฉลย 429

แนวคด

จานวนสองหลก ab มคาเทากบ 10a + b

จานวนสองหลก ba มคาเทากบ 10b + a

จากท�กาหนด ab + ba = 143

(10a + b) + (10b + a) = 143

10(a + b) + (a + b) = 143

11(a + b ) = 143

a + b = 13

จะได a = 9, b = 4

a = 8, b = 5

a = 7, b = 6

a = 6, b = 7

a = 5, b = 8

a = 4, b = 9

แสดงวาจานวนสองหลกดงกลาวไดแก 94, 85, 76, 67, 58, 49

น�นคอ S = {94, 85, 76, 67, 58, 49}

ดงน �นผลบวกของสมาชกใน S เทากบ 94 + 85 + 76 + 67 + 58 + 49 = 429


64

pat1 ต.ค. 58

Education