Particiones.Representaci on geometrica de particiones.La funci on generadora de p(n).Otras funciones generadoras.Dos teoremas de Euler.BeihuiYe,AndreuCorreaCasablanca17deDiciembre,2010Indice1. Particiones 12. Representaci ongeometricadeparticiones 43. Lafunci ongeneradoradep(n) 74. Otrasfuncionesgeneradoras 95. DosteoremasdeEuler 111 1. Particiones1. ParticionesEnestetemaintroduciremoselconceptodepartici ondeunn umeronaturalndado,ascomolasfuncionesquenosdaneln umerodeparticionesdenconysinrestricciones.Hablaremos tambien de algunos resultados teoricos que relacionar an las citadas funcionesentreellas.Empecemosentoncesporalgunasdeniciones:Denici on1. Unapartici ondeunn umeronatural nesunatuplaa Nrparaalg unr Ntalquesia = (a1, a2, . . . , ar)entoncessecumplequea1 a2 aryadem asa1 + a2 + + ar= n.Lacondiciondeordenseestableceparasimplicarladenicionynotenerqueesta-blecerrelacionesdeequivalenciaentretuplasquetenganlosmismoselementosperocondistintoorden. Intuitivamente, unapartici onvieneaser unaformadedescomponer ncomosumaden umerosnaturalesm aspeque nosquen.Denici on2. Dadon N, seaX(n) el conjuntodetodas las particiones den(delquef acilmentepodemosverqueesnecesariamentenito), entoncespodemosdenirlafuncionpartici oncomop : N Nn X(n)Por conveniencia, podremos extender la funci on partici on para todos los enteros, estable-ciendop(0) = 1yp(n) = 0n < 0.Ejemplo3. Presentamosunatabladelosvaloresdepparalosprimeros5naturales:n p(n) X(n)1 1 {(1)}2 2 {(1, 1), (2)}3 3 {(1, 1, 1), (2, 1), (3)}4 5 {(1, 1, 1, 1), (2, 1, 1), (2, 2), (3, 1), (4)}5 7 {(1, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (2, 2, 1), (3, 1, 1), (3, 2), (4, 1), (5)}Es practicamente obvio que la funcion p es creciente, pero es mas interesante a un notar quesu crecimiento es realmente r apido. Podemos comprobarlo en WolframMathematica1conlafunci onPartitionP,queseencuentraenelpaqueteCombinatorica,oenlaaplicaciononlinewolframalpha.comconlamismafunci on.ConelsoftwareSAGE2podemosencon-trarelconjuntodeparticionesdeunn umerondado,ascomosucardinalmediantelasexpresionesPartitions(n).list()yPartitions(n).cardinality()respectivamente.Comoejemplos del crecimientode p, tenemos que p(100) =190569292, p(200) =3972999029388yp(1000) = 24061467864032622473692149727991.1SoftwarecientcoorientadoamanipulaciondedatosmatematicoscreadoporStephenWolfram,setratadeunproductoquecomercializasuempresaWolfram2SAGE es un sistema algebraico computacional escrito en lenguaje Python. Fue creado en el a no 2005conlaintenciondecrearunsubconjuntodelafuncionalidaddel softwareMagmaenlaUniversidaddeWashington, hoy en da aglutina una gran cantidad de funcionalidades y puede integrarse con muchas otrasaplicaciones cientcas. Se trata de software libre y puede ser encontrado enhttp://www.sagemath.org.2 1. ParticionesLema4. Lafuncionparticionpescreciente.Demostracion. Seap(n) =X(n), entonces podemos construir unconjuntodeY conelementos(a1, . . . , as, 1), donde(a1, . . . , as) X(n). ClaramenteYX(n + 1)yaquea1 + . . . + as + 1 = n + 1,adem as,podemosarmarqueY= X(n).Como(n + 1)/ Yytambien(n + 1) X(n + 1),deducimosqueX(n + 1) > X(n).Ahoraqueyaconocemoslafuncionpartici onyhemosvistoalgosobresucrecimientopasaremosadenirotrasfuncionesparticion,peroestavezconciertasrestricciones.Denici on5.pm(n) = eln umerodeparticionesdenensumandosmenoresqueobienigualesam.po(n) = eln umerodeparticionesdenensumandosimpares.pd(n) = eln umerodeparticionesdenensumandosdistintos.qe(n) = eln umerodeparticionesdenenunn umeropardesumandosdistintos.qo(n) = eln umerodeparticionesdenenunn umeroimpardesumandosdistintos.Tomaremoslaconvenci onpm(0)=po(0)=pd(0)=qe(0)=1, qo(0)=0otravezparafacilitarcalculosposteriores.Teorema6. Podemosarmarlosiguiente:a) pm(n) = p(n)sin m,b) pm(n) p(n)paratodon 0,c) pm(n) = pm1(n) + pm(n m)sin m > 1,d) pd(n) = qe(n) + qo(n).Demostracion. Tanto(a),como(b)como(d)soninmediatasapartirdelasdeniciones,jemonosenelcaso(c).Observemosquecadaunadelasparticionesdencontadaporpm(n)puedetenerelsumandomobiennotenerlo, lassegundassoncontadasporpm1(n), mientrasquelasprimeras se pueden obtener a nadiendo el entero m por la izquierda a las tuplas que cuentapm(n m)sindejarnosninguna.Aspues,lasumadeambascantidadesesprecisamentepm1(n) + pm(n m),comoqueramosprobar.El siguiente teoremanos servir aparaestablecer unaequivalenciaentre dos de lasfunciones que hemos denido anteriormente, lo que a su vez servira para facilitar calculosposteriores.Teorema7. Sin 1entoncespd(n) = po(n).Demostracion. La prueba consistir a endemostrar dos desigualdades no estrictas qued andosealavezsolodejancomoposibilidadquesecumplapd(n) = po(n).3 1. Particiones(po(n) pd(n)): Consideremos cualquier partici on contada por po(n), que estar a for-mada por sumandos impares. Esta partici on estara formada por r1sumandos a1, r2sumandosa2,. . .,yrssumandosasdondelosaisonenterosimparesdistintosyn =si=1riaiPodemos escribir ahora cada uno de los ricomo suma de potencias de 2, de la formari=j b(i)j2j,dondeb(i)j= 0 o 1.Ahoraestonospermiteexpresarncomon =si=1jb(i)j2jaiEstaformulanos proporcionaunaparticionconsumandos 2jaiparacadaparti-ci onconsumandosimpares(escogiendolossumandosdelaformulaconb(i)j=1).Adem as,comotodaslasaisondiferentestenemosquelossumandosdeestanuevapartici onsontodosdiferentesentres.Paraacabarestapartehacefaltaa nadirunpeque noinciso.Tenemosquecompro-bar que la correspondencia que hemos establecido es inyectiva. Supongamos que dosparticionesaybconsumandosimparessondistintas, esdecir, quealgunodesussumandosai(quepuedeaparecer0om asveces)aparecem asvecesenunaqueenla otra. Escogemos el mayor de los sumandos en que dieran las dos particiones (encuanto a n umero de apariciones). Sea aiese sumando y ray rblos respectivos n ume-rosdeaparicionesdeesteenayenb.Esclaroentoncesquesusexpresionescomosumasdepotenciasde2,quesondiferentes,daranlugaraparticionesdiferentes.(pd(n) po(n)): Consideremos cualquier partici on contada por pd(n), que estar a for-mada por sumandos todos ellos diferentes entre s. Tenemos que n =tk=1 ck. Pode-mos escribir los ckcomo ck= 2ekdk, con dkimpar. Escojamos de entre los d1, . . . , dts oloaquellosqueseandiferentes,yllamemoslesa1, . . . , as.Podemosescribirb(i)j=1si 2jaiesigual aalg unck, yencasocontrariob(i)j=0.Aspuestenemosquen =tk=1ck=si=1jb(i)j2jaiConloquepodemosregresaralaexpresiondelaformasi=1 riaiconaiimparesyyaestamos.Lainyectividaddelacorrespondenciaesm asclaraenestepasoqueenelanterior.Aspues,quedademostradoelteorema.4 2. Representaci ongeometricadeparticiones2. Representaci ongeometricadeparticionesEn este captulo trataremos la representaci on graca de particiones, que nos ayudara,entreotrascosas,aintuiralgunosresultadoste oricosacercade estas.Denici on8. UndiagramadeFerrersdeunaparticion(a1, . . . , ak)esunconjuntodepuntossobreunplanodispuestosequiespaciadamenteenlasconsecutivastambienequiespaciadas, de forma que haya klas, y en la la i-essima haya aipuntos. Dichas lasgeneralmenteestar analineadasporlaizquierda.Ejemplo9. VeamosalgunosdiagramasdeFerrersparaalgunasparticiones.Sean=8y(3, 2, 2, 1)unadesusparticiones,entoncessudiagramadeFerrerses: jemonosenqueestediagramaavecesnospermiteencontrarotrapartici ondeformaautom atica,mirandolascolumnasenvezdeenlaslas. Esteejemploenparticularnospermitir aintroducirunanuevadenicion.Denici on10. DecimosqueunaparticionaesconjugadadeotraparticionbcuandoeldiagramadeFerrersdebsecorrespondeconeldiagramatraspuestodea(entendiendolatransposicioncomoenelcasodelasmatrices).Teorema11.El n umero de particiones de n con m sumandos es el mismo que el n umerodeparticionesdenconel sumandomaximoigual am.Demostracion. A partir de los diagramas de Ferrers podemos ver que unas son conjugadasde las otras, y que por tanto existe una correspondencia biyectiva entre ellas y su n umeroeselmismo.Denici on12. Decimos que una particion es autoconjugada cuando es su propia con-jugada.Ejemplo13. Veamosunejemplodepartici onautoconjugada. Escogeremosn=10ylapartici on(4, 3, 2, 1). Veamos ahoraunteoremamenos intuitivosobre el n umerode particiones consu-mandosdistintos, quedemostraremosenpartegraciasalaayudadelosdiagramasdeFerrers.5 2. Representaci ongeometricadeparticionesTeorema14. Sean 0,entoncesqe(n) qo(n) =

(1)jsin =3j2j2paraalg unj {0} N0 encualquierotrocasoDemostracion. Consideremosenprimerlugarelcason=0.Cogiendoj=0estamosenelprimercaso,yqe(0) qo(0) = 1.Supongamosahoran 1yconsideremoslapartici onn = a1 + + arensumandosdistintos. En la gr aca de la particion daremos nombre a algunos puntos; al punto situadom asaladerechadelalasuperiorledaremoselnombreA1,yiremosnombrandoalospuntos situados m as a la derecha de las las anteriores mientras su n umero de puntos seaigual al n umerodepuntosdelalaanteriormenosuno. As tendremosunconjuntodepuntosA1, . . . , Asconcardinal menoroigual al n umerodelasdelagraca. Tambiendaremosnombrealospuntosdela ultimala,empezandoporeldem asalaizquierdayavanzandohacialaderecha,losllamaremosB1, . . . , Bt. A1 A2 A3 B1B2Ahorapodramoscontemplarlaposibilidaddeconstruirunanuevapartici onensu-mandos distintos mediante transformaciones en el diagrama de Ferrers. En particular unaposibleformaconsisteentomar lospuntosB1, . . . , BtycolocarlosaladerechadelospuntosA1, . . . , At, B1aladerechadeA1, B2aladerechadeA2yas sucesivamente.Esclaroqueestonopuedehacersesi t >s, ni tampocosi t =syadem asAs=Bt,podrahacersesi t