PARTICIJE PRIRODNIH BROJEVA I PRIMENE

MARKO PetkovIĆDexter_of_Nis@neobee.net

Teorija particija prirodnih brojeva je matematička disciplina koja se nalazi izmedju kombinatorike i teorije brojeva i predstavlja lep primer povezanosti ovih širokih oblasti matematike.

Teorija particija ima široku primenu u teoriji polinomnih identiteta [3] (i specijalnih funkcija uopšte).

Mnogi, naizgled nerešivi identiteti se veoma lako rešavaju kada se prevedu na jezik kombinatorike konstrukcijom tzv. kombinatornog modela.

Ne postoji jednostavna formula za efektivno računanje broja particija [1,5] što je jedan od razloga zašto je ova teorija tako bogata i zanimljiva.

1.UVOD

Definicija 2.2. Neka je n, i neka su in prirodni brojevi takvi da važi 1 2 kn n n i

1 kn n n . Tada uredjenu k -torku 1( , , )kn n nazvamo k -točlanom particijom prirodnog broja n . Skup svih particija broja n označavaćemo sa

( )nP a broj elemenata skupa ( )nP sa ( )p n . Po dogovoru je (0) 1p .

Definicija 2.1. Neka je dat neprazan konačan skup X . Pod particijom skupa X podrazumevaćemo familiju njegovih podskupova 1, , ( )kX X P X pri

čemu su svaka dva skupa iX i jX disjunktna i 1

k

ii

X X

2. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA

Primer 2.1. Neka je 6n . Tada je (6) 11p i

(6) (6),(5,1),(4,2),(3,3),(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2),(2,2,1,1),(2,1,1,1,1),(1,1,1,1,1,1)P

Definicija 2.3. Sa ( )nQ označimo skup svih particija 1( , , ) ( )kn n nP čiji su svi članovi različiti, tj i jn n za i j a sa ( )q n broj elemenata skupa ( )nQ . Označimo sa

( )o n odnosno ( )e n brojeve particija broja n čiji su svi članovi parni odnosno neparni brojevi.

Fererovi dijagrami

Definicija 2.4. Fererov dijagram particije 1( , , )kn nn je skup tačaka Gn sa celobrojnim koordinatama odredjen sa

1( , ) | 1 0, 0 1yG x y k y x n n

Slika 2.1. Fererov dijagram za particiju (6,3,3,2,1) broja 15.

Slika 2.2. Fererov dijagram za particiju (5,4,3,1,1,1) broja 15.

Teorema 2.1. Preslikavanjem Fererovog dijagrama bilo koje particije 1( , , )kn n prirodnog broja n simetrijom odnosu na pravu y x , dobija se takodje Fererov dijagram neke particije broja n .

Slika 2.3. Fererov dijagram za samokonjugovanu particiju (9,7,5,3,3,2,2,1,1) broja 33.

Slika 2.4. Fererov dijagram za samokonjugovanu particiju (9,3,2,1,1,1,1,1,1) broja 20.

Teorema 2.2. Broj samokonjugovanih particija broja n jednak je broju particija broja n čiji su svi članovi neparni i različiti.

Posledica 2.1. Broj particija broja n čiji je najveći član jednak m jednak je broju m -točlanih particija broja n .

Slika 2.5. Grupisanje tačaka u Fererovom dijagramu pri dokazu Teoreme 2.2.

Slika 2.6. Fererov dijagram rezultujuće particije.

Definicija 2.4. Uredjena k -točlana particija broja n je svaka k -torka 1( , , )kn n tako da važi

1 kn n n . Sa ( )n označićemo broj uredjenih particija broja n .

Posledica 2.2. 1( ) 2nn

Teorema 2.5.

Broj uredjenih k -točlanih particija broja n jednak je ,

1

1n k

n

k

.

Teorema 2.4. Broj particija broja n čiji su svi članovi neparni brojevi jednak je ( )q n .

Teorema 2.3. Neka su n i r prirodni brojevi. Broj particija broja n u kojima nema više od r delova jednak je broju particija broja n r koje imaju tačno r delova.

Definicija 3.1.

Funkciju 0

( ) nn

n

f x a x

nazivamo funkcijom generatrisom niza na .

3. PARTICIJE I FUNKCIJE GENERATRISE

Teorema 3.1. 1. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova na i nb , tada je f g

funkcija generatrisa niza n na b . 2. Ako je f funkcija generatrisa niza na , tada je cf funkcija generatrisa niza

nca , gde je c bilo koja realna konstanta. 3. Ako su f i g funkcije generatrise redom nizova na i nb tada je f g

funkcija generatrisa niza 0

n

n i n ii

c a b

.

Teorema 3.2.

Funkcija generatrisa niza ( )p n jednaka je 1

1

( ) 1 i

i

P x x

.

Teorema 3.3. Neka je 1 2, ,T t t beskonačan prebrojiv skup. Neka je ( )Tp n broj particija

broja n čiji svi članovi pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza ( )Tp n

jednaka 1

1

( ) 1 itT

i

P x x

.

Teorema 3.4.

Funkcija generatrisa niza ( )q n jednaka je 1

( ) 1 i

i

Q x x

.

Teorema 3.6. Broj ( )a n particija broja n čiji su delovi kongruentni sa 1 (mod 6) jednak je broju

( )b n particija čiji su delovi različiti i kongruentni sa 1 (mod 3).

6 2 6 4

3 1 3 2

3 1 3 2 6 1 6 51 1 1

1 1 1( ) 1 1 ( )

1 1 1 1

k k

k k

k k k ki i i

x xB x x x A x

x x x x

Teorema 3.5. Neka je 1 2, ,T t t beskonačan skup. Neka je ( )iq n broj particija broja n čiji

su svi članovi različiti i pripadaju skupu T . Tada je funkcija generatrisa niza ( )iq n

jednaka 1

( ) 1 itT

i

Q x x

.

4. DOKAZIVANJE POLINOMNIH IDENTITETA

Lema 4.1. Razlika brojeva particija broja n na neparan i paran broj različitih delova jednaka je nuli

osim za (3 1)2

k kn , k. Ako je (3 1)2

k kn onda je razlika jednaka ( 1)k .

Slika 4.1. Fererov dijagram za particiju (7,6,5,3,2) broja 23.

Slika 4.2. Fererov dijagram za particiju (8,7,5,3) broja 23.

Slika 4.3. Fererovi dijagrami za particije kod kojih je kl k n odnosno 1kl k n .

“Loši Momci”

Teorema 4.1. (Ojler-Ležandrov identitet)

(3 1) 2

1

1 ( 1)i k k k

ki

x x

NEKI POLINOMNI IDENTITETI

Teorema 4.2. (Gausov identitet, 1886)

1 22

2 11 1

11

1

i m

mi m

xx

x

Teorema 4.3. (Jacobijev identitet trostrukog proizvoda)

( 1)

1 12

1

1 1 1m m

m n n n

m n

x t x tx t x

.

Teorema 4.4. (1. Rogers-Ramanujanov identitet)

2

5 4 5 10 1

1

1

1 11

n

n n nin n

i

x

x xx

5. REKURZIVNE FORMULE ZA ( )p n I ( )q n

Za ( ; )p n k važe sledeće rekurentne formule:

1

( ; ) ( , ) ( ; )k

i

p n k p n k i p n k k

( ; ) ( ; 1) ( ; ) ( ; 1) ( ; )p n k p n k p n k p n k p n k k

Početni uslovi su: (1; ) 1p k i (0; ) : 1p k (po dogovoru), gde je 1,2,k .

U slučaju da je k n važi: ( ) ( ; ) ( ; 1) ( ; 2)p n p n n p n n p n n

Za ( ; )q n k i ( ; )q n k važe slične relacije:

1

1

( ; ) ( , ) ( ; )k

i

q n k q n k i q n k k

( ; ) ( ; 1) ( ; 1) ( ; 1) ( 1; 1)q n k q n k q n k q n k q n k k

sa početnim uslovima: (1; ) 1q k i (0; ) : 1q k (po dogovoru), gde je 1,2,k .

Takodje u slučaju da je k n važi: ( ) ( ; ) ( ;1) ( ; ) 1q n q n n q n q n n

ASIMPTOTSKA FORMULA

• Ovo su aproksimativne formule koje približno opisuju ponašanje komplikovane funkcije za odredjeni interval vrednosti argumenta.

• Koristimo ih kad ne znamo tačnu formulu ili kad hoćemo da je uprostimo.

• Primer: Za funkciju važi sledeća aproksimativna formula

2! ( )nnn en g n

( ) !f n n

2 4 6 8 10

100000

200000

300000

400000

0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5

6

Aproksimativna i tačna formula za faktorijelnu funkciju

Za manje vrednosti argumenta

2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

50

60

5 10 15 20 25 30

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

Apsolutna i relativna greška aproksimacije

! ( )n g n

( )

!

g n

n

A šta ćemo sa našom funkcijom ?

• Pokušajmo da “naslutimo” asimptotsku formulu za • Koristićemo program Table Curve, koji za zadati skup

tačaka odredjuje aproksimativnu krivu

( )p n

( )p n

5 10 15 20 25 30

1000

2000

3000

4000

5000

Grafik funkcije( )p n

Rank 1 Eqn 1376 lny=a+bx0.5+clnx

r2=1 DF Adj r2=1 FitStdErr=212323.449 Fstat=9.33903003e+14

a=-2.1091242 b=2.5626092

c=-0.96655212

50 92.8571 135.714 178.5710

5e+11

1e+12

1.5e+12

2e+12

2.5e+12

3e+12

3.5e+12

4e+12

Slika 5.1. Grafik zavisnosti zajedno sa asimptotskom formulom.( )p n

( ) b nAp n e

n aA e

2

31( )

4 3

n

p n en

Na ovaj način smo dobili formulu:

Pri čemu su konstante redom jednake:

Hardy i Ramanujan su (naravno ne pomoću računara ) odredili (i dokazali) sledeću formulu

koja ima isti oblik kao i naša!

2.5626b2.109a

Još nekoliko lepih tvrdjenja vezanih za particije

• MacMahonov-a formula:

Sumiranje ide po svim generalisanim pentagonalnim brojevima

• Nejednakost:

• Nejednakost slična MacMahonovoj formuli:

( 1) ( 1)( )

2

p n p np n

( ) ( 1) ( 2) ( 5) ( 7) ( 12) ( 15) 0p n p n p n p n p n p n p n

(3 1)( 1) 0

2

nm

m n

m mp n

(9 1)( 1) 0

2

nm

m n

m mp n

I za kraj, tačna formula za )(np

Hehe, što bi rek’o Billy: AJDEEEE!