Parte II:

Ottimalità, rilassamenti e bound

Sommario• Definizioni di bound primali e duali.• Rilassamento di un problema di OC.• Esempi di rilassamenti per il problema del TSP:

– Il rilassamento 1-albero.– Il rilassamento 2-abbinamento.

• Bound primali per il TSP:– Nearest Neighbor e Insertion.– Algoritmi approssimati (Double Tree, Christofides).

• Bound dal rilassamento lineare:– Il rilassamento lineare del knapsack.– Bound primali: algoritmo greedy.

• Bound per dualità.• Formulazioni di PL.• Formulazioni ideali e matrici TU.

Ottimalità, rilassamenti e boundConsideriamo il seguente problema

z* = max {cTx : x ∈ X, X ⊆ {0,1}n }

dove z* è il valore della soluzione ottima x*.

Domanda: In che modo è possibile certificare che la soluzione x*è ottima?

In generale, se disponessimo di un algoritmo che genera le due sequenze di soluzioni:

zUB 1 > zUB 2 > …> zUB h > z*

zLB 1 < zLB 2 < …< zLB k < z*

potremmo fornire come criterio di arresto

zUB h - zLB k < ε (> 0)

Lower (upper) bound

Bound primali

Ogni soluzione x ∈ X ammissibile è un lower (upper) bound

per un problema di massimizzazione (minimizzazione)

z*

zLB 2

zLB 1

z*

zUB 1

zUB 2

Upper (lower) bound

Bound duali

Al contrario dei bound primali, trovare upper (lower) bounddi buona qualità per problemi di massimo (minimo) ètipicamente difficile.

Buoni bound duali si ottengono attraverso lo studio delle proprietà strutturali del problema di OC.

Le proprietà di un problema di OC si caratterizzano tramite:

1. Rilassamenti del problema

2. Definizione e studio di problemi duali.

Rilassamento

Definizione: Il problema

(RP) zR = max {f(x) : x ∈ T, T ⊆ Rn } (zR = min {f(x) : x ∈ T, T ⊆ Rn })

si definisce rilassamento del problema

(P) z = max {cTx : x ∈ X, X ⊆ {0,1}n } (z = min {cTx : x ∈ X, X ⊆ {0,1}n })

se e solo se:

i) X ⊆ T,

ii) f(x) > cTx per ogni x ∈ X (f(x) < cTx per ogni x ∈ X)

Proprietà 1: Se RP è un rilassamento di P, allora zR > z* (zR < z*).

Proprietà 2: Se xR sol. ottima di RP è ammissibile per P allora xR = x*.

Esempi di rilassamenti

Problema del commesso viaggiatore (simmetrico).

Dati: grafo G = (V, E); pesi sugli archi ce per ogni arco e ∈E.Domanda: trovare il ciclo hamiltoniano di peso minimo.

Definizione: Un 1-albero è un sottografo di G che consiste di due archi adiacenti al nodo 1 più gli archi di un albero ricoprente i nodi {2, …, n}.

1

2

3

5

4

Esempio

Rilassamenti per il TSPOsservazione: Un ciclo hamiltoniano è un particolare 1-albero.

1

2

3

5

4

Pertanto, il problema

Dati: grafo G = (V,E), pesi sugli archi ce per ogni arco e ∈E.

Domanda: trovare l’1-albero di peso minimo.

è un rilassamento del problema del TSP, perché l’insieme X di tutti i cicli hamiltoniani è contenuto nell’insieme T di tutti gli 1-alberi.

Definizione: Dato un grafo G = (V, E), un 2-abbinamento su G è un insieme di archi M tale che ogni nodo in V è estremo di esattamente due archi in M.

Rilassamenti per il TSP

1

2

3

6

4

5

Un 2-abbinamento forma un insieme di cicli disgiunti.

Rilassamenti per il TSPOsservazione: Un ciclo hamiltoniano è un particolare 2-abbinamento, difatti è un 2-abbinamento privo di sottocicli (subtour).

5

1

2

3

6

4

Pertanto, il problema

Dati: grafo G = (V,E), pesi sugli archi ce per ogni arco e ∈E

Domanda: trovare il 2-abbinamento di peso minimo

è un rilassamento del problema del TSP, perché l’insieme X di tutti i cicli hamiltoniani è contenuto nell’insieme T di tutti i 2-abbinamenti.

Un esempio

-9999116

10-1199995

991-199994

9911-10993

1999910-12

19999991-1

654321

Consideriamo la seguente istanza del problema del Commesso Viaggiatore:

Un esempio1

2

3

6

4

5

-9999116

10-1199995

991-199994

9911-10993

1999910-12

19999991-1

654321

Un esempio1

2

3

6

4

5

-109999116

10-1199995

991-199994

9911-10993

1999910-12

19999991-1

654321

Il 2 abbinamento di peso minimo

ha valore 6

Un esempio1

2

3

6

4

5

-109999116

10-1199995

991-199994

9911-10993

1999910-12

19999991-1

654321

L’1-albero di peso minimo ha

valore 15

Un esempio1

2

3

6

4

5

-109999116

10-1199995

991-199994

9911-10993

1999910-12

19999991-1

654321

Il ciclo hamiltoniano di peso

minimo ha valore 24

Un esempio (2)1

2

3

6

4

5

-59999116

5-10199995

9910-1099994

99110-5993

199995-12

19999991-1

654321

Il 2 abbinamento di peso minimo

ha valore 24

Un esempio (2)1

2

3

6

4

5

-59999116

5-10199995

9910-1099994

99110-5993

199995-12

19999991-1

654321

L’1-albero di peso minimo

ha valore 19

Un esempio (2)1

2

3

6

4

5

-59999116

5-10199995

9910-1099994

99110-5993

199995-12

19999991-1

654321

Il ciclo hamiltoniano di peso

minimo ha valore 32

Ricapitolando…

Abbiamo definito per il TSP due lower bound con le seguenti proprietà:

1. Sono lower bound “combinatori”, ovvero si ottengono tramite la soluzione di un problema di OC.

2. Tutti e due i problemi la cui soluzione genera i lower bound sono “facili”, ovvero hanno complessità polinomiale.

La proprietà 2. è una proprietà chiave per ogni bound duale. Infatti, se il calcolo del bound fosse un problema NP-completosappiamo che calcolare il bound diventa almeno tanto difficile quanto risolvere il problema stesso.

Domanda: Come si possono calcolare bound primali (ovvero soluzioni ammissibili di buona qualità) per il problema del TSP?

Algoritmi euristici

Definizione: Un algoritmo A si dice euristico per un problema P se restituisce una soluzione ammissibile zA che non è garantito essere la soluzione ottima.

Definizione: Sia P un problema di minimizzazione. Un algoritmo euristico si dice δ-approssimato se

1. ha complessità polinomiale, e2. per ogni istanza I di P con soluzione ottima z*(I), si ha

zA(I) / z*(I) < δ (1)

Osservazione: Se P è un problema di massimo, allora δ < 1 e la condizione (1) vale con il segno di >.

Euristiche per il TSP

Sia G = (V, E) un grafo completo e sia cuv il costo di ciascun arco uv ∈ E.

Euristiche costruttive: tentano di costruire un “buon” ciclo hamiltoniano a partire da un sottociclo eventualmente vuoto.

Euristiche migliorative: a partire da una soluzione ammissibile, si tenta di migliorarla attraverso miglioramenti “locali”.

Euristica Nearest NeighborInput: G = (V,E).Output: ciclo hamiltoniano T.

procedure nearest_neighbor ()

Scegli un vertice u ∈∈∈∈ V qualsiasi;

W = V \ {u}, aggiungi u alla lista T

while |W| > 0 {

scegli v ∈∈∈∈ W tale che cuv = min {cuj : j ∈∈∈∈ W}

Aggiungi {v} alla lista T

W = W \ {v}

u = v

}

Esempio Nearest Neighbor

1000

2

1

2

5 4

La soluzione di valore 1005 è ottima?

Esempio Nearest Neighbor

1000

2

1

2

5 4

La soluzione ottima vale 12.

Osservazione: il rapporto zA(I)/z*(I) può essere reso grande a piacere.

Euristiche di inserimento

Euristiche di inserimento

Euristiche di inserimento

Euristiche di inserimentoInput: G=(V,E).

Output: ciclo hamiltoniano T.

procedure insertion_heuristic ()

Inizializza T con un sottociclo

W = V /T;

while (|W| > 0) {

scegli un vertice u ∈∈∈∈ W;

scegli la posizione in cui inserire u in T;

inserisci u in T;

elimina u da W;

}

Selezione del vertice da inserire

Definizione: Si definisce distanza di un vertice u da un ciclo T il peso del più piccolo arco che collega il vertice ad un altro qualsiasi vertice del ciclo.

T = (1, 2, .., k) ⇒ dist (u, T) = min { cuv: v ∈∈∈∈ T}.

Nearest Insertion:Inserisci il vertice u che minimizza dist (u, T), u ∉T.

Farthest Insertion:Inserisci il vertice u che massimizza dist (u, T), u ∉T.

Selezione della posizione di inserimento

Osservazione: Scegliere la posizione equivale a scegliere l’arco da eliminare nel ciclo T. Un vertice può essere inserito in ogni posizione di T.

Siano T = (v1, v2, …, vn) il ciclo corrente e c(T) il costo di T e sia u il nodo da aggiungere al ciclo.

Se c(T(i)) è il costo del ciclo ottenuto da T inserendo il nodo unella posizione i-esima, il costo di inserimento è pari a

c(T(i)) - c(T).

Si seleziona la posizione che minimizza c(T(i)) - c(T).

Esempio7

9

6

14

29

5

3

12

1

d = 7

d = 1

7

9

6

14

29

5

3

12

1

d = 7

d = 1

2

3 1

T = {1, 2, 3}

Esempio

7

9

6

14

29

5

3

12

1

2

3 1

C = 21

Esempio

7

9

6

14

29

5

3

12

1

2

3 1

C = 16

Esempio

7

9

6

14

29

5

3

12

1

2

4 1

C = 7

3

Esempio

Altre regole di selezione del vertice

Random Insertion:Si sceglie un vertice a caso fra quelli non ancora inseriti nel ciclo.

Cheapest Insertion:Si sceglie il vertice che può essere aggiunto al ciclo con il minimo aumento di costo.

Una proprietà strutturale

Si dice che la matrice delle distanze di un grafo G soddisfa la disuguaglianza triangolare se comunque prendo un triangolo e1, e2, e3 in G si ha cei + cej > cek per i ≠ j ≠ k, i, j, k∈ {1, 2, 3}

5

4

7

6

5 4

Richiamo

Definizione: G = (V, E) è un grafo euleriano se e solo se il grado di ogni nodo è pari.

Se G = (V, E) è un grafo euleriano e v è un vertice di G allora èpossibile costruire un percorso che inizia e finisce in v e che attraversa ogni arco esattamente una volta.

Teorema: Sia H = (V, F) un grafo completo con la matrice dei costi che soddisfa la disuguaglianza triangolare. Sia G = (V, E) un sottografo euleriano connesso di H. H contiene un ciclo

hamiltoniano di lunghezza al più Σe∈E ce.

Dimostrazione (idea)

1

2

3

4

5

Sottografo euleriano

Come posso ricavare un ciclo hamiltoniano?

Poiché vale la disuguaglianza triangolare, c25 < c23 + c35.

Euristica Double Tree

1. Calcola un minimo albero ricoprente K.

2. Raddoppia gli archi di K, formando un percorso euleriano.

3. Ricava un ciclo hamiltoniano dal percorso euleriano.

Indichiamo con zHDT il valore della soluzione che si ottiene

applicando l’euristica Double Tree.

Da un percorso euleriano ad un ciclo hamiltoniano

Consideriamo un percorso euleriano (v1, …, vk).

procedure obtain_hamiltonian ()

T = {v1}, i=2, v = v1while |T| < n {

if vi ∉∉∉∉ T

T = T ∪ {vi}

collega v a viv = vii ++

}

collega v a v1

T è un ciclo hamiltoniano.

Esempio

1

2

3

4

5

6 711

10

9

8

Tour euleriano (5,4,5,3,2,3,1,3,5,6,5,8,9,8,10,8,7,11,7,8,5)

Tour hamiltoniano (5,4,5,3,2,3,1,3,5,6,5,8,9,8,10,8,7,11,7,8,5)

Proprietà

Double tree è un algoritmo 2-approssimato per il TSP.

Dimostrazione:

1. z* > zTREE (1-albero è un rilassamento per TSP).2. Per costruzione, la lunghezza del “doppio albero” è 2 * zTREE.3. zH

DT < 2 * zTREE.

Pertanto:zH

DT / z* < 2 * zTREE / zTREE = 2.

Euristica di Christofides

1. Calcola un minimo albero ricoprente K.

2. Sia V ’⊆ V l’insieme dei vertici che hanno grado dispari in K.

3. Trova il matching perfetto M di peso minimo sui nodi V’’.

4. M ∪ K è un percorso euleriano.

5. Ricava un ciclo hamiltoniano dal percorso euleriano.

Indichiamo con zHCH il valore della soluzione che si ottiene

applicando l’euristica di Christofides.

Esempio

1

2

3

4

5

6 711

10

9

8

Tour euleriano (1,2,3,6,5,4,9,8,10,11,7,8,5,3,1)

Nodi di grado dispari

Tour hamiltoniano (1,2,3,6,5,4,9,8,10,11,7,8,5,3,1)

Matching perfetto

L’algoritmo di Christofides per il TSP è 3/2-approssimato.

Dimostrazione:

1. z* > zTREE (1-albero è un rilassamento per TSP)

Siano {t1, t2, ..., t2k} i vertici di grado dispari del minimo albero ricoprente etichettati nell’ordine in cui si incontrano nel ciclo hamiltoniano ottimo.

Esempio:

T* = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Min albero ricoprente in rosso

{t1, t2, ..., t2k} = {1, 3, 5, 6}

Proprietà

1

2 3

4

56

DimostrazioneSia C il ciclo formato dai vertici {t1, t2, ..., t2k} e z(C) il suo costo.Si ha che:

1. C è l’unione di 2 matching perfetti{t1t2, t3t4, ... t2k-1t2k} ∪ {t2t3, t4t5, ... t2kt1}

e quindi z(C) > 2zM, con zM valore del matching perfetto di costo minimo.

2. z(C) < z* per la disuguaglianza triangolare. Difatti ognuno degli archi di C ha un costo minore o uguale al corrispondente sottocammino in T.

Pertanto, z* > z(C) > 2 zM, ovvero zM < z*/2.Quindi:

zHCH < zTREE + zM < z* + z*/2 < 3/2 z*

Il problema della bisaccia

Avete a disposizione un budget b per gli investimenti dell’anno 2008.

Ad ogni progetto è associato - un costo aj (> 0)- un guadagno atteso cj (>0).

Problema: Scegliere l’insieme di progetti in modo che sia massimizzato il guadagno atteso senza eccedere il budget b.

Se ogni progetto può essere attivato non solo per intero ma anche in parte si parla di knapsack continuo.

Il knapsack continuo

Consideriamo il seguente problema

1per 10

(KRL)

st

max

1

1

, ..., njx

bxa

xc

j

n

j jj

n

j jj

=≤≤

≤∑

∑

=

=

KRL è un rilassamento del problema di knapsack 0-1.

Infatti, la collezione degli insiemi ammissibili del problema di knapsack 0-1 è contenuta nella regione ammissibile del problema di knapsack continuo.

Il knapsack continuo

Come si risolve il problema di knapsack continuo?

Essendo formulato come problema di Programmazione Lineare, si può risolvere utilizzando il metodo del simplesso.

In alternativa: Supponiamo di riordinare gli elementi della bisaccia in modo che:

n

n

a

c

a

c

a

c≥≥≥ ...

2

2

1

1 ∑=

>h

j

j ba1

e sia h l’indice minimo per cui

La soluzione

è ottima per (KLR).

0,...,0,,1,...,1,1 1121 ====== +− nhhh xxfxxxx

h

h

j

j

a

ab

f

−

=

∑−

=

1

1

con

DimostrazioneSupponiamo, senza perdita di generalità, che gli elementi del problema soddisfino

e sia xLP = (x1, …, xn) la soluzione ottenuta con la formula precedente. Consideriamo una soluzione x’ ottima, diversa da xLP. Ora, x’ differisce da xLP per almeno un elemento x’k con k > h. Infatti, se x’ fosse diversa da xLP soltanto perché x’h= 0, allora x’non sarebbe ottima. Ciò significa che esiste un indice i < h tale che x’i < 1 e un indice k > h tale che x’k > 0. Sia

Per costruzione, d > 0. Consideriamo la soluzione:

n

n

a

c

a

c

a

c>>> ...

2

2

1

1

{ })1(,'min iikk xaxad −=

> > >

Dimostrazione

che si ottiene da x’ sostituendo x’i e x’k con:

è ammissibile. Infatti:

Inoltre, . Infatti:

Ma, allora, la soluzione x’ non è ottima (contraddizione).

)',...,,..,,...,','( 21 nki xxxxxx =

k

kka

dxx −= '

i

iia

dxx += '

x

ba

da

a

daxaxa

k

kn

ji

ijj

n

j jj =−+=∑∑ == 11'

'cxxc >

∑∑∑ ===>

−+=

n

j jj

n

jk

k

i

ijj

n

j jj xca

c

a

cdxcxc

111''

<

Bound primale per il knapsackIl seguente algoritmo, applicato agli elementi della bisaccia riordinati secondo il criterio

restituisce, invece una soluzione ammissibile per il problema diknapsack:

Algorithm Greedy_knapsack ()

d = 0; z = 0;

for (j = 1; j < n; j ++) {

if (d + aj < b) then

xj = 1;

d = d + aj;

z = z + cj;

else xj = 0;

}

return z;

n

n

a

c

a

c

a

c≥≥≥ ...

2

2

1

1

RicapitolandoAbbiamo definito per il knapsack 0-1 un upper bound con le seguenti proprietà:

1. L’upper bound è “continuo”, nel senso che si ottiene dalla soluzione di un problema di Programmazione Lineare e non da un problema di OC.

2. L’upper bound può essere calcolato con un algoritmo piùefficiente rispetto al metodo del simplesso e polinomiale.

Domanda: Può essere generalizzata questa tecnica di rilassamento?

Sostituendo la “stipula” x ∈ {0, 1} con il vincolo 0 < x < 1 di una formulazione di un problema di PL-{0,1}, si ottiene sempre un rilassamento denominato Rilassamento Lineare.

DualitàDefinizione: Due problemi di ottimizzazione

z = max {f(x) : x ∈X}

w = min {g(y) : y ∈Y }

formano una coppia duale “debole” se f(x) < g(y) per ogni x ∈X e y ∈Y.

Se z = w si dice che formano una coppia duale “forte”.

Vantaggio fondamentale rispetto al rilassamento:Per ottenere un bound attraverso il rilassamento, il problema rilassato va risolto all’ottimo. Invece, per una coppia duale ognisoluzione ammissibile y ∈Y (x ∈X) è un upper (lower) bound per z (w).

Esempi

1. Il problema di trovare un matching di massima cardinalitàe quello di trovare un node cover di minima cardinalitàformano una coppia duale debole per ogni grafo G.

2. Il problema di trovare un insieme stabile di massima cardinalità e quello di trovare un edge cover di minima cardinalità formano una coppia duale debole per ogni grafo G.

Entrambe queste coppie di problemi godono della dualitàforte se G è bipartito (Teorema di Konig e Teorema di Gallai).

Formulazioni

Consideriamo il seguente problema di Knapsack 0-1

max (5x1 + 2x2)st3x1 + 4x2 < 6 x ∈ {0,1}2

Insiemi ammissibiliF = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}

Rappresentiamo sul piano gli insiemi ammissibili.

Insiemi ammissibili

x1

x2

(0, 0)

(0, 1)

(1, 0)

(1, 1)

Formulazione

Un poliedro P è una formulazione di un problema di OC se e solo se P ∩ {0,1}n = F

x1

x2

Il rilassamento lineare …

Il problema di knapsack 0-1

max 5x1 + 2x2

3x1 + 4x2 < 6 x ∈ {0,1}2

ha come rilassamento lineare

max 5x1 + 2x2

3x1 + 4x2 < 6 x1 > 0x2 > 0x1 < 1x2 < 1

x1 < 1

x2 < 1

x1 > 0

x2 > 0

… è un poliedro …

3x1 + 4x2 < 6

x1

x2

… ovvero, è una formulazione

x1

x2

Gerarchia di formulazioni

Quando una formulazione è “migliore” di un’altra?

Definizione: Se un poliedro P1, formulazione di F, è contenuto in P2, formulazione di F, diciamo che P1 è migliore di P2.In generale

P1 ⊆ P2 ⊆ P3 …

Esiste una formulazione “ideale”?

Formulazione ideale“Geometricamente” la formulazione ideale coincide con il più piccolo poliedro contenente F.

Come si ottiene la formulazione ideale?

x1

x2

Proprietà

Osservazione: Ogni vertice del poliedro associato alla “formulazione ideale” è in corrispondenza biunivoca con un insieme ammissibile.

Definizione: Dati due vettori x1 e x2 di Rn si definisce combinazione convessa il vettore

y = λx1 + (1 – λ) x2 con λ ∈ [0, 1]

Esempio:

x1 x2y

Involucro convesso

Definizione: L’insieme di tutte le possibili combinazioni convesse di un insieme di vettori X di Rn prende il nome di involucro convesso e si indica con conv(X).

Osservazione: conv(X) è un poliedro.

Pertanto, la formulazione ideale di F è conv (F).

Calcolo di conv (F)

In linea di principio …Dati gli insiemi ammissibili

F = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}y ∈ conv(F) se e solo se si può esprimere come

0,,

1

0

1

1

0

0

0

321

321

321

2

1

≥

=++

+

+

=

λλλ

λλλ

λλλy

y

… a questo punto

Attenzione: questo sistema è nello spazio Rn+m, se m sono gli insiemi ammissibili.

Quindi per ottenere la formulazione ideale è necessario “proiettare” il sistema nello spazio Rn.

A questo scopo è possibile utilizzare l’algoritmo di Fourier-Motzkin che consente di “eliminare” le variabili λ.

Punto della situazioneDato un problema di OC

1. Elenco tutti gli insiemi ammissibili.

2. Rappresento gli insiemi ammissibili come vettori a componenti in {0,1}.

3. Scrivo l’involucro convesso applicando la definizione.

4. Con l’algoritmo di Fourier-Motzkin elimino i coefficienti della combinazione convessa e ottengo una formulazione ideale nello spazio Rn.

5. Applico il metodo del simplesso e trovo la soluzione ottima.

È efficiente questo algoritmo?

Efficienza del calcolo di conv(F)Problemi del precedente algoritmo

1. Gli insiemi ammissibili sono tipicamente in numero esponenziale.

2. L’algoritmo di Fourier-Motzkin non ha complessitàpolinomiale.

Però sappiamo che una formulazione ideale esiste sempre equindi

1. Caso MOLTO fortunato: abbiamo una formulazione che èproprio la formulazione ideale.

2. Tentiamo di approssimare la formulazione ideale costruendo una gerarchia di formulazioni a partire da una formulazione iniziale.

Gerarchia di formulazioni

Quando una formulazione è “migliore” di un’altra?

Definizione: Se un poliedro P1, formulazione di F, ècontenuto in P2, formulazione di F, diciamo che P1 è migliore di P2.

In generale, una gerarchia di formulazioni è costituita da un insieme di poliedri P1 ⊆ P2 ⊆ P3 …

EsempioConsideriamo un problema di knapsack con il vincolo che l’oggetto k può essere scelto se e solo se nella bisaccia sono stati scelti gli oggetti i e j.

Formulazione 1. Formulazione 2.

n

jk

ik

x

xx

xx

bax

xc

}1,0{

st

maxT

∈

≤

≤

≤

n

jik

x

xxx

bax

xc

}1,0{

2

st

max T

∈

+≤

≤

Esempio (II)Il rilassamento lineare della Formulazione 1 è migliore di quello della Formulazione 2.Infatti, il vincolo

è implicato dai vincoli

jk

ik

xx

xx

≤

≤

jik xxx +≤2

Quindi, P1 ⊆ P2.

Formulazione ideale

La formulazione del problema di knapsack NON è una formulazione ideale.

Domanda: Esistono casi “fortunati” in cui la formulazione coincide con la formulazione ideale?

E’ possibile “caratterizzare” le formulazioni ideali in modo da riconoscerle in tempo polinomiale?

Il caso “fortunato”Consideriamo il seguente problema di PL in forma standard, in cui A è una matrice intera e b è un vettore intero:

min cTx

Ax = bx > 0

con rg (A) = m < n.

Se il problema ammette soluzione ottima finita, allora il metododel simplesso restituisce la soluzione ottima in corrispondenza di una SBA del tipo:

=

=

0

-1

* bB

x

xx

N

B

Il caso “fortunato” (II)

Osservazione: Se la base ottima B ha determinante det(B )= + 1, allora RL ha una soluzione intera.

Infatti:B–1 = Ba/det(B), dove Ba è la matrice aggiunta. Gli elementi di Ba sono tutti prodotti di termini di B. Pertanto Ba è una matrice intera e, poiché det(B)=+1, B–1 è ancora intera.

Pertanto la soluzione di base xB = B–1b è intera per ogni intero b.

Matrici unimodulari

Definizione: Una matrice A intera m × n (m < n) si dice unimodulare se ogni sua sottomatrice B di dimensioni m × mha det(B) = {-1, 0, +1}.

Dall’osservazione precedente si ottiene il seguente risultato:

Teorema: Se A è una matrice unimodulare e b è un vettore intero, il poliedro P = {Ax = b, x > 0} è intero.

Matrici totalmente unimodulari

min cTx

Ax ≥ b (P )

x > 0

Per portare questo problema in forma standard bisogna inserire le variabili di slack y:

min cTx

Ax –Iy = b (P’)

x, y > 0

Consideriamo ora il rilassamento lineare di una formulazione di PL-{0,1}. In generale, sarà del tipo:

Matrici totalmente unimodulari

Definizione: Una matrice A si dice TOTALMENTE UNIMODULARE (TU) se ogni sottomatrice quadrata di A ha determinante {0, +1, -1}.

Proprietà delle matrici TU

Una matrice A è TU se e solo se

i) la matrice trasposta AT è TU.

ii) la matrice (A, I) è TU.

Teorema

Teorema (Hoffman-Kruskal [1956]):

Sia A una matrice intera. Il poliedro P definito da Ax ≥ b, x ≥0 è intero per ogni vettore intero b se e solo se A è TU.

Attenzione: Il teorema non vale se P = {x ∈ Rn; Ax = b}. Infatti, in questo caso P può essere intero ma A può non essere TU.

Condizioni per la TU

Osservazione: Se A è TU, allora aij ∈{-1, 0, 1}.

Teorema: A è TU se

i) aij ∈{-1, 0, 1}

ii) Ogni colonna ha al più due coefficienti non nulli

iii) Esiste una partizione (M1, M2) dell’insieme delle righe M tale che ogni colonna j contenente due coefficienti non nulli soddisfa

∑∑ ∈∈=

21 Mi ijMi ij aa

Osservazione:- se la colonna j contiene due elementi aij ≠ 0 e akj ≠ 0 dello stesso segno allora i∈ M1 e k∈ M2.- se la colonna j contiene due elementi aij ≠ 0 e akj ≠ 0 di segno opposto allora i, k ∈ M1 oppure i,k ∈ M2.

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che ogni sottomatrice quadrata B di A ha det(B)∈{–1, 0, 1}.

Procediamo per induzione:

Se B è una sottomatrice 1×1, banalmente det(B)∈{–1,0,1}.

Supponiamo ora che la tesi valga per ogni sottomatrice di A di dimensioni (n – 1)×(n – 1) e consideriamo una sottomatrice B n×n.

• Se B contiene una colonna nulla, det(B) = 0.

• Se ogni colonna di B contiene due elementi ≠ 0, dall’ipotesi si ottiene

Questo implica che det(B) = 0.

∑∑ ∈∈=

21 Mi ijMi ij aa

• Se B contiene una colonna con un unico elemento diverso da zero, allora det(B) = +det(B’), dove B’ è di ordine (n – 1)×(n – 1). Pertanto, dall’ipotesi induttiva, det(B)∈{–1,0,1}.

Dimostrazione

Esempi di matrici TUG (N, A) grafo diretto

a

b

c

ei

g

d

f

h

l

1

2 3

4 5

6

-1-1000000006

10-1-100-10005

00011001-104

0110-1-100003

0000011-10-12

00000000111

lihgfedcba

A Matrice di incidenza

nodi-archi

M1= M, M2 = ∅

Formulazione del problema di cammino minimo

Dati: G (N, A) grafo diretto, due nodi (s, t), vettore c ∈R+|A|

||

)()(

)()(

)()(

),(

}1,0{

per 1

},{\ ogniper 0

per 1

st

min

A

ik kiik ik

ik kiik ik

ik kiik ik

Aji ijij

x

tixx

tsVixx

sixx

xcz

∈

=−=−

∈=−

==−

=

∑∑

∑∑

∑∑

∑

−+

−+

−+

∂∈∂∈

∂∈∂∈

∂∈∂∈

∈

Cammino minimo

||

),(

}1,0{

1

0

1

0

1

st

min

A

Aji ijij

x

x

x

Ax

xcz

∈

≤

≥

−

=

= ∑ ∈

La stipula di interezza può essere

rimossa in quanto A è TU

Matrice di incidenza di grafi bipartiti

101005

010114

110003

001102

000011

edcba1

2

3

4

5

M2

M1

a

b

c

d e

Esercizio: Quali problemi di OC noti ammettono una formulazione avente come matrice dei coefficienti la matrice di incidenza di un grafo bipartito?

Matrici di incidenza

Domanda:Tutte le matrici di incidenza sono TU?

NO!!!

1

2

3

1013

1102

0111

cbaa

b c