parte ii-2b differenze finite...

CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli

Dipartimento di Ingegneria Industriale

Lucidi del corso di

Fluidodinamica delle Macchine

Capitolo II-2b: Differenze Finite



Pagina2

• Hoffmann,K.A.,eChiang,S.T.,1993,ComputationalFluidDynamicsforEngineers,Vol.1eVol.2,EngineeringEducationSystem

• Hirsch,C.,2007,NumericalComputationofInternalandExternalFlows:FundamentalsofComputationalFluidDynamics,2ndEdition,Butterworth-Heinemann,ISBN978-0-7506-6594-0

• DifferenzeFinite• MetodiEspliciti• MetodiImpliciti

TestieProgramma



Pagina3

DiscretizzazionedelleEquazioni

• L’obiettivoèquelloditrasformareunproblemacontinuo inunodiscreto sostituendoallederivatedeglioperatoridiscreti.

• Sonopossibilitrediversiapprocci:§ DifferenzeFinite(FiniteDifference)

Siapplicaalleequazioniinformadifferenziale (didivergenza)§ VolumiFiniti(FiniteVolume)

Siapplicaalleequazioniinformaintegrale (coniflussi)§ ElementiFiniti(FiniteElements)

Siapplicaalleequazioniinformadifferenzialemacontecnichechelericonduconoallaricercadiminimi(formadifunzionale oresiduipesati)



Pagina4

• Questometodosibasasullasostituzionedellederivateconrapportiincrementali chepossonoesseredefinitiattraversol’espansioneinseriediTaylordiunaqualunquefunzione,purchésiacontinuaconlesuederivatediordinen.

• Daquestaespressionegeneralepossiamodedurreapprossimazionidellederivatedellafunzionef inx,attraversolaconoscenzadellastessainpuntidistantiΔx.

( ) ( ) ( )å¥

=

D¶¶

+=D+1 !n

n

n

n

nx

xfxfxxf

Metododelledifferenzefinite(1)



Pagina5

• Dataunafunzioneanaliticaf(x),lafunzionef(x+Δx) puòquindiesserescrittacome:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xOx

xfxxfxf

xxfx

xf

xxfxxf

xf

xxfx

xfx

xfxfxxf

nx

xfxfxxf

n

n

n

n

D+D

-D+=

¶¶

Þ+D

¶¶

-D

¶¶

-D

-D+=

¶¶

Þ+D

¶¶

+D

¶¶

+D¶¶

+=D+

ÞD

¶¶

+=D+ å¥

=

...!32

...!32

!

2

3

3

2

2

3

3

32

2

2

1

• Questaespressionerappresentaunaapprossimazionedelladerivataprimadellafunzionef indirezionex.

Metododelledifferenzefinite(2)



Pagina6

MetododelleDifferenzeFinite(3)

• Questaapprossimazionepuòessereanchevistacomel’inclinazionediunacurvainunpuntocalcolataconsiderandounacordadefinitadaipuntii ei+1 ordinatisullacurvastessa:

• Seavessimoconsideratoilvaloredif(x-Δx) avremmo:

• Questedueespressionivengonochiamatefirstforwarddifference efirstbackwarddifferenceapproximation diordine(Δx) .

( )xOxff

xf ii

i

D+D-

=¶¶ +1

( ) ( ) ( ) ( )xOxff

xfxO

xxxfxf

xf ii

i

D+D-

=¶¶

ÞD+D

D--=

¶¶ -1



Pagina7

MetododelleDifferenzeFinite(4)• Considerandoiduesviluppiinserieappenavistisiha:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )211

2

3

3

3

3

3

32

2

2

3

3

32

2

2

2

2

...!3

22

...!32

...!32

xOxff

xf

xOx

xxfxxfxf

xxfx

xfxxfxxf

xxfx

xfx

xfxfxxf

xxfx

xfx

xfxfxxf

ii

i

D+D-

=¶¶

ÞD+D

D--D+=

¶¶

Þ+D

¶¶

+D¶¶

=D--D+

Þ

ïïþ

ïïý

ü

+D

¶¶

-D

¶¶

+D¶¶

-=D-

+D

¶¶

+D

¶¶

+D¶¶

+=D+

-+

• Centraldifferenceapproximation diordine(Δx)2 .



Pagina8

MetododelleDifferenzeFinite(5)• Abbiamovistotretipiapprossimazionidelladerivataprima

dellafunzionef(x).Sidevonoperòconsiderareancheapprossimazionidiordinesuperiore.Dallosviluppodif(x+Δx)ef(x+2Δx) siottiene:

• Questaequazionerappresentalaforwarddifferenceapproximation delladerivatasecondadif diordine(Δx) .Analogamentesipossonoottenere:

( )( )xO

xfff

xf iii

i

D+D

+-=

¶¶ ++

212

2

2 2

( )( )

( )( )22

112

2

212

2

2 2 e 2 xOx

fffxfxO

xfff

xf iii

i

iii

i

D+D

+-=

¶¶

D+D

+-=

¶¶ -+--



Pagina9

MetododelleDifferenzeFinite(6)• Abbiamovistol’espressioneperderivateprimeeseconde

considerandodifferenzeinavantioindietrodiordine(Δx) edifferenzecentratediordine(Δx)2 .

• Utilizzandopiùterminidellaespansionesipossonoottenereespressionidiordinepiùelevato:

• Sostituendol’espressionedelladerivatasecondainavantisiottieneun’espressionealsecondoordineperladerivataprimadellafunzionef:

( ) ( ) ( ) ...!32

2

3

3

2

2

+D

¶¶

-D

¶¶

-D

-D+=

¶¶ x

xfx

xf

xxfxxf

xf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2122

234

2342 xO

xfffxO

xxfxxfxxf

xf ii D+

D-+-

=D+D

-D++D+-=

¶¶ ++



Pagina10

MetododelleDifferenzeFinite(7)- Polinomi

• Unapossibilealternativaall’usodellaseriediTaylorèscriverelefunzioniinformapolinomialeeeffettuarelederivatedellafunzioneperviaanalitica.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )212

2

2

2

2

1212

212

22

21

2

12

22 teAnalogamen

2342 ma

234

22

222

0

xfff

xfA

xf

xfff

xfBAx

xf

fCx

fffB

xfffA

CxBxAfCxBxAf

Cf

xxxx

xCBxAxxf

iii

i

iii

i

i

iii

iii

i

i

i

i

i

i

D+-

=¶¶

Þ=¶¶

D-+-

=¶¶

Þ+=¶¶

=D

-+-=

D+-

=

ïî

ïí

ì

+D+D=+D+D=

=Þ

ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

D=D=

=«++=

++

++++

++

+

+

+

+

0=ix



Pagina11

• Supponiamodiavereun’equazioneditipoparabolico:

• Vogliamochel’equazionesiaaccurataalprimoordineneltempoealsecondoordinecentratanellospazio,quindi:

Esempidiapplicazionedelledifferenzefinite

÷÷ø

öççè

æ¶¶

+¶¶

=¶¶

2

2

2

2

yf

xf

tf a

( )

( )( )

( )( )22

1,,1,2

22

2,1,,1

2

2

,1

,

2 e

2yO

yfff

yfxO

xfff

xf

tOtff

tf

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

D+D

+-=

¶¶

D+D

+-=

¶¶

D+D

-=

¶¶

-+-+

+



Pagina12

PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(1)

• Supponiamodiaverel’equazione:

• Siconsideraunadiscretizzazioneinavantialprimoordineneltempoealsecondoordinecentratanellospazio:

• E’ chiarocheconquestaformulazionel’unicaincognita,unavoltanotalasoluzionealtempon,èui altempon+1.

• Pervalutarelasoluzioneèsufficienteindicarelacondizioneiniziale(altempot0)eduecondizionialcontorno(sistemadiequazioniparabolico).

2

2

xu

tu

¶¶

=¶¶ a

( ) ( )( )n

ini

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni uuu

xtuu

xuuu

tuu

1121

211

1

22-+

+-++

+-DD

+=ÞD

+-=

D- aa



Pagina13

PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(2)• Quandolasoluzionealtempon+1 dipendesolodavariabili

notesiparladimetodoESPLICITO.• Seconsideriamol’avanzamentoneltempo,sivedecheal

tempon+4 lasoluzionenondipendedallecondizionialcontornoaltempon+4,equestoèfisicamentenonaccettabile.



Pagina14

PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(3)• Seconsideriamoinvececheledifferenzecentratealsecondo

ordinevalutatealtempon+1 siha:

( )

( ) ( ) ( )ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

uuxtu

xtu

xt

xuuu

tuu

-=DD

+×úû

ùêë

é

DD

+-DD

ÞD

+-=

D-

++

++-

+-

+++

+

112

12

112

2

11

111

1

21

2

aaa

a

( )( )n

ini

ni

ni

ni uuu

xtuu 112

1 2 -++ +-

DD

+=a

• Consideriamoledifferenzecentratealsecondoordinevalutatealtempon siaveva:



Pagina15

PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(4)• Inquestomodoleincognitesonotre(itrenodialtempo

n+1)percuiènecessarioscriverel’equazioneinformadiscretapertuttiinodierisolveretuttalagrigliadicalcoloinunavoltasola.QuestoapprocciosichiamaIMPLICITO.

• Perilmetodoimplicitoovviamentelecondizionialcontornodeltempon+1 influenzanolasoluzionealtempon+1,comesivededallaformadiscreta.Conl’approccioesplicitoleequazionisipossonorisolvereinmanieradisaccoppiataneltempo.Unadelledomandecherimangonoè:cisonolimitinellasceltadeivaloridiΔx eΔt?



Pagina16

Formematricialiperiduemetodi(1)

• Sedefiniamoθ ilcoefficientedellevariabilisiha:

• Sesiconsideranotuttiglielementidellagrigliaesiscrivonoleequazioniinformamatricialesipuòintuiremeglioladifferenzatraiduemetodi.

( )( )

( ) ( ) ( )implicito 21

esplicito 2

112

12

112

1121

++

++-

-++

DD

-×úû

ùêë

é

DD

++DD

-=

+-DD

+=

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

uxtu

xtu

xtu

uuuxtuu

aaa

a

( )( ) implicito 2

esplicito 21

111

11

111

+-

+++

+

-++

+-×-=

+-×+=ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

uuuuuuuuuu

q

q



Pagina17

Formematricialiperiduemetodi(2)

• Neimetodiimpliciti,ilcalcolodelvettorealtempon+1richiedel’inversionedellamatricedeicoefficienti.

implicito ...

...120

12...012

...

esplicito ...

...210

21...021

...

2

11

1

2

1

2

1

1

2

1

nmnm

nmnm

u

uu

u

uu

u

uu

u

uu

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

------

--

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

--

-

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

+

+

qqqqqq

qq

qqqqqq

qq



Pagina18

CondizionediCFL(1)• Consideriamol’equazioned’ondamonodimensionale:

implicito 22

esplicito 22

implicito 2

esplicito 2

11

111

111

11

11

1

111

+-

+++

-++

+-

++

+

-++

DD

-+DD

=

DD

++DD

-=

ïïî

ïïí

ì

D-

-=D-

D-

-=D-

Þ¶¶

-=¶¶

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

uxtauu

xtau

uxtauu

xtau

xuua

tuu

xuua

tuu

xua

tu

• Inognicasosiapprossimailvaloredia tran en+1.



Pagina19

CondizionediCFL(2)• Supponiamodiconsiderareilvaloredia (mapotrebbeessere

unqualunqueparametro).• AsecondadeivaloridiΔx eΔt l’approssimazioneconcui

valutoilparametropuòmigliorareopeggiorare.



Pagina20

CondizionediCFL(3)• Sipuòancheosservareun’altracosarelativaalledirezioni

caratteristichesulpiano(x,t) .Siconsideril’elementoi-esimoaltempon ealtempon+1.

• Sidefinisconoidominidiinfluenzaedipendenzarelativiallelineecaratteristiche,esipossonoconsideraredalpuntoaltempon (blu)ealtempon+1(rosso).



Pagina21

CondizionediCFL(4)• Affinchéilvalorediunavariabilevengadecisoinbaseallo

sviluppodellasoluzione(neltempo)ènecessariocheilpuntositrovinelgiustodominiodiinfluenza.

• Perquestoènecessariochesiverifichilaseguenterelazionetralavelocitàdell’informazionedipressioneeledimensionispazialietemporalidellagriglia:

max

max1

ttCFL

tacxt

acxt

DD

=

D=+D

£DÞ+

£DD

• IlnumerodiCFL(Courant-Frederichs-Levy)ciindicailrapportotraledimensionitemporalidellagrigliaeiltempodipropagazionedell’informazioneperunnodo.



Pagina22

CondizionediCFL(5)• LacondizionediCFLharipercussionidiversetraimetodi

implicitieimetodiespliciti.Perquestiultimiassumeun’importanzafondamentale.

esplicito 21

21

111 n

ini

ni

ni u

xtauu

xtau -+

+ ÷øö

çèæDD

++÷øö

çèæDD

-=



Pagina23

Metodiespliciti

• Forwardtime/centralspace (FTCS),èdiordine[Δt,(Δx)2]:

• Richardsonmethod:siottienecondifferenzecentrateinspazioetempo,maèincondizionatamenteinstabile.

• DuFort-Frankelmethod, ordine[(Δt)2,(Δx)2,(Δt/Δx)2]:èunosviluppodelmetododiRichardsonmailterminediffusivoi-esimoaltempon-simoèsostituitodallamediadellostessotermineneitempin-1 en+1:

( )( )

( ) 21per stabile 2 2112

1 £DD

+-DD

+= -++

xtuuu

xtuu n

ini

ni

ni

ni

aa

( )( ) stabile sempre 2

111

1211 n

ini

ni

ni

ni

ni uuuu

xtuu -

-++

-+ +--DD

+=a

2

2

xu

tu

¶¶

=¶¶ a Lineardiffusion

equation



Pagina24

Metodiimpliciti

• Laasonenmethod:

• Cranck-Nicholsonmethod:ilterminediffusivoèottenutodallamediadeiterminicalcolatialtempon+1 ealtempon.Èunamediatraunmetodoesplicitoeunoimplicito.

( )211

111

1 2x

uuutuu n

ini

ni

ni

ni

D+-

=D- +

-++

++

a

( )

( )211

111

211

211

21

22

22

xuuu

tuu

xuuu

tuu

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

D+-

=D-

D+-

=D-

+-

+++

++

-++

a

a

2

2

xu

tu

¶¶

=¶¶ a Lineardiffusion

equation



Pagina25

Considerazionigenerali• Imetodiesplicitisonospessoinstabili ostabilisolopercerti

valoredelCFL.

• Imetodiimplicitisonoquasisemprestabili epermettonolasceltadiΔt piùaltirispettoaimetodiespliciti.

• L’aumentodiΔt portaperòadunadiminuzionedell’accuratezzanumerica eall’aumentodierroreditroncamento.

parte ii-2b differenze finite...

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