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Parte 1. Resolucion de una ecuacionf (x) = 0
Gustavo Montero
Escuela Universitaria PolitecnicaUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria
Curso 2006-2007
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Planteamiento del problema. Separacion de raıces
Metodos de Biparticion y de Punto Fijo
Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de RegulaFalsi
Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas
Resumen
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Planteamiento del problema. Separacion de raıces
Metodos de Biparticion y de Punto Fijo
Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de RegulaFalsi
Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas
Resumen
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Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la funcion f (x), es decir, las raıces de la ecuacionf (x) = 0
Ejemplo
d = z1 − z0 =h−z0nα
α =log
h−z0d
log n
zn−1 =h−z0nα (n − 1)α + z0
log (n−1)log n
=log
h−z0−Dd
logh−z0
d
Llamando
0BB@k =
logh − z0 − D
d
logh − z0
d
1CCA, se puede
comprobar facilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,la ecuacion se transforma en
n = 1 + nk
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Separacion de raıces
Existencia de raıces: Teorema de BolzanoSupongamos que f ∈ C [a, b] y f (a)f (b) < 0. Entonces existe un numeroc ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Unicidad de raıces: Teorema de RollePara que en un intervalo existan mas de una raız, necesariamente se debecumplir el teorma de Rolle tomando como extremos dos de las raıces ySuponiendo que f ∈ C [a, b] y es derivable en (a, b).
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Ecuaciones polinomicas
P(x) = a0xn + a1x
n−1 + ... + an−1x + an = 0
Teorema de acotacion
Si λ = maxi
˛ai
a0
˛, todas las raıces reales y complejas z de la ecuacion polinomica
verifican |z| ≤ λ + 1
Sucesion de SturmSean f0, f1, ..., fm, m + 1 funciones reales continuas en [a, b], con f0 ∈ C1 [a, b]. Se diceque estas funciones forman una sucesion de Sturm en [a, b] si se verifican lassiguientes condiciones:
I f0 no tiene ceros multiples en [a, b].
I fm no se anula en [a, b].
I Si para algun r ∈ [a, b] y algun j(0 < j < m), se tiene fj (r) = 0, entoncesfj−1(r)fj+1(r) < 0.
I Si para algun r ∈ [a, b] se tiene f0(r) = 0, entonces f ′0 (r)f1(r) > 0.
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Ecuaciones polinomicas
Teorema de SturmSi {f0, f1, ..., fm} es una sucesion de Sturm en [a, b] y si a y b no son raıces def0(x) = 0, el numero de raıces de esta ecuacion comprendidas en (a, b) es igual a ladiferencia entre el numero de cambios de signo que hay en {f0(a), f1(a), ..., fm(a)} y en{f0(b), f1(b), ..., fm(b)}.
Obtencıon en la practica de una sucesion deSturm
I f0(x) = P(x)
I f1(x) = P′(x)
I −Resto
„f0(x)
f1(x)
«I ......................
I −Resto
„fm−2(x)
fm−1(x)
«Siendo fm+1 = 0.
Separacion de raıces
Si sabemos que todas las raıces deP(x) = 0 estan en [a, b], podemosdividir el intervalo en dos,»a,
a + b
2
–y
»a + b
2, b
–, y aplicar
el teorema de Sturm para saber elnumero de raıces que tiene cadauno. Aplicando esta tecnicasucesivamente podemos aislarcada raız en un intervalo.
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Planteamiento del problema. Separacion de raıces
Metodos de Biparticion y de Punto Fijo
Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de RegulaFalsi
Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas
Resumen
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Metodo de Biparticion
Algoritmo
Supongamos que f (a)f (b) < 0a0 = a, b0 = b
c0 =a0 + b0
2
Si f (a0)f (c0) < 0 entoncesa1 = a0, b1 = c0Caso contrario a1 = c0, b1 = b0........................
cn =an + bn
2
Si f (an)f (cn) < 0 ⇒ an+1 = an ,bn+1 = cnSi f (cn) = 0 ⇒ cn es cero de fSi f (an)f (cn) > 0 ⇒ an+1 = cn ,bn+1 = bn
Representacion grafica
Convergencia
Sea f ∈ C [a, b], con f (a)f (b) < 0. En el n-esimo paso, el metodo de biparticion aproxima una raız con un error
maximo deb − a
2n.
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Metodo de Punto Fijo
DefinicionSe dice que x es un punto fijo de g(x) si x = g(x).Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver laecuacion x − g(x) = 0
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]xn+1 = g(xn)xn+1 → xn
Representacion grafica
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Planteamiento del problema. Separacion de raıces
Metodos de Biparticion y de Punto Fijo
Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de RegulaFalsi
Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas
Resumen
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Metodo de Newton-Raphson
Representacion grafica
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn)xn+1 → xn
Convergencia (condicion debil)
˛g ′(x)
˛=|f (x)f ′′(x)||f ′(x)|2
≤ c < 1 ∀x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ) .
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Metodo de la Secante
Deduccion del algoritmo
f ′(xn) ≈f (xn)− f (xn−1)
xn − xn−1
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]xn+1 =
xn −f (xn) (xn − xn−1)
f (xn)− f (xn−1)xn+1 → xn
Representacion grafica
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Metodo de Regula Falsi
Representacion grafica
Algoritmo
Elegir un a0 = a, b0 = b
cn = bn −f (bn) (bn − an)
f (bn)− f (an)Si f (an)f (cn) < 0 ⇒ an+1 = an , bn+1 = cnSi f (cn) = 0 ⇒ cn es cero de fSi f (an)f (cn) > 0 ⇒ an+1 = cn , bn+1 = bn
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Planteamiento del problema. Separacion de raıces
Metodos de Biparticion y de Punto Fijo
Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de RegulaFalsi
Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas
Resumen
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Velocidad de convergencia
Orden de una raızSupongamos que f (x) y sus derivadas f ′(x), ..., f (M)(x) estan definidas y soncontinuas en un intervalo centrado en el punto x∗. Se dice que f (x) = 0 tiene unaraız de orden M en x = x∗ sif (x∗) = 0, f ′(x∗) = 0, ..., f (M−1)(x∗) = 0, f (M)(x∗) 6= 0
Orden de convergencia
Supongamos que {xn}∞n=0 converge a x∗ y sea En = x∗ − xn para cada n ≥ 0. Siexisten dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que
limn→∞
|x∗ − xn+1||x∗ − xn|R
= limn→∞
|En+1||En|R
= A,
entonces se dice que la sucesion converge a x∗ con orden de convergencia R y elnumero A se llama constante asistotica del error.Si R = 1 se llama convergencia linealSi R = 2 se llama convergencia cuadratica
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Orden de convergencia de algunos metodos
Orden de convergencia del metodo de Newton-Raphson
I Si el grado de multiplicidad de x∗ es M = 1 entonces se obtiene convergencia cuadratica:
|En+1| ≈˛f ′′(x∗)
˛2 |f ′(x∗)|
|En|2
I Si el grado de multiplicidad de x∗ es M > 1 entonces se obtiene convergencia lineal:
|En+1| ≈M − 1
M|En|
Orden de convergencia del metodo de la Secante
I Si el grado de multiplicidad de x∗ es M = 1 entonces se obtiene una orden de convergencia igual a 1.618:
|En+1| ≈
˛˛ f ′′(x∗)
2f ′(x∗)
˛˛0.618
|En|1.618
Metodo de Newton-Raphson acelerado para raıces multiples
xn+1 = xn − Mf (xn)
f ′(xn)siendo M es grado de multiplidad de la raız x∗.De esta forma, obtenemos convergencia cuadratica a x∗,
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Planteamiento del problema. Separacion de raıces
Metodos de Biparticion y de Punto Fijo
Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de RegulaFalsi
Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas
Resumen
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Planteamiento del problema
Ecuacion compleja
Sea f : C → C , con f ∈ C2 [C , C ].f (z) = 0 z = x + iy , f (z) = u(x , y) + iv(x , y)
Metodo de Newton
zn+1 = zn −f (zn)
f ′(zn)
Condicion de Cauchy-Riemann
∂f
∂x=
∂u
∂x+ i
∂v
∂x=
∂f
∂z
∂z
∂x=
∂f
∂z
∂f
∂y=
∂u
∂y+ i
∂v
∂y=
∂f
∂z
∂z
∂y= i
∂f
∂z
Por tanto,
∂f
∂z=
∂u
∂x+ i
∂v
∂x=
∂v
∂y− i
∂u
∂y
∂u
∂x=
∂v
∂y,
∂v
∂x= −
∂u
∂y
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Obtencion de la parte real e imaginaria de la raız
Obtencion del algoritmo
zn+1 = xn+1 + i yn+1 = xn + i yn −u(xn, yn) + i v(xn, yn)
∂u(xn, yn)
∂x+ i
∂v(xn, yn)
∂x
Parte real
xn+1 = xn −u(xn, yn)
∂u(xn, yn)
∂x− v(xn, yn)
∂u(xn, yn)
∂y»∂u(xn, yn)
∂x
–2
+
»∂u(xn, yn)
∂y
–2
Parte compleja
yn+1 = yn −v(xn, yn)
∂u(xn, yn)
∂x+ u(xn, yn)
∂u(xn, yn)
∂y»∂u(xn, yn)
∂x
–2
+
»∂u(xn, yn)
∂y
–2
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Planteamiento del problema. Separacion de raıces
Metodos de Biparticion y de Punto Fijo
Metodos de Newton-Raphson, de la Secante y de RegulaFalsi
Analisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalizacion del metodo de Newton para raıces complejas
Resumen
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Resumen
I Al resolver una ecuacion debemos localizar la zona (intervalo) de existencia decada raız y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
I En el caso de ecuaciones polinomicas, el metodo de Sturm junto con labiseccion permite separar las raıces en intervalos diferentes.
I Disponemos de una gran variedad de metodos. En cada caso debemos elegir elmas adecuado. En cuanto a rapidez, el metodo de Newton-Raphson gana al serde orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de lafuncion de forma explıcita. Entonces habrıa que pensar en otros metodos.
I Hay que tener cuidado con las raıces multiples. La convergencia puede ser muylenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
I En caso de raıces complejas, debemos aplicar la version generalizada deNewton-Raphson.