ecuacion del calor

ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGÍA Y MECÁNICA

CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA

SISTEMAS ENERGÉTICOS

ING. ERNESTO SORIA

TEMA: TIPOS DE CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTABLE CON GENERACIÓN DE ENERGÍA

Elizabeth Velasco

Paralelo A

Fecha de inicio:16-05-2011

Fecha de Entrega: 03-06-2011

Tipos de conducción en estado estable

Introducción: El presente trabajo tiene como finalidad desarrollar para los siguientes casos de conducción, la ecuación de distribución de temperatura y calor, y además indicar ejemplos aplicativos a cada caso, que ilustren el uso de las ecuaciones obtenidas.

ContenidosIntroducción:.........................................................................................................................................2

1. Pared esférica................................................................................................................................3

Analogía Eléctrica:.............................................................................................................................3

Ejemplo:.............................................................................................................................................3

2. Pared plana con generación de energía sin considerar convección...............................................4

Ejemplo:.............................................................................................................................................6

3. Pared plana con generación de energía considerando convección...............................................7

Ejemplo:.............................................................................................................................................9

4. Cilindro macizo con generación de energía sin convección...........................................................9

Ejemplo:...........................................................................................................................................10

5. Cilindro macizo con generación de energía considerando la convección....................................11

Ejemplo:...........................................................................................................................................12

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1. Pared esférica

Figura 1.1 : Pared esférica

Partiendo de la ecuación del calor para un sistema en coordenadas esféricas:

1r

ddr (kr dTdr )=0

Donde, por el momento k se trata como una variable. Si consideramos también la ecuación de Fourier. La rapidez a la que se conduce energía en cualquier superficie esférica se expresa como:

qr=−kAdTdr

=−k (4 π r2 ) dTdr

Donde A=4 π r2 es el área normal a la dirección de transferencia de calor.

Expresamos en forma integral:

qr∫r1

r 2

dr

r2=−∫

T s ,1

T s ,2

k (T )dT

Suponiendo k constante, entonces:

qr=4 πk (T s , 1−T s , )

1r1

− 1r2

Analogía Eléctrica:

R=1

4 πk ( 1r1

−1r2

)Ejemplo:3.59. Un tanque esférico para almacenar oxígeno líquido en un transbordador espacial se construye de acero inoxidable de 0.8m de diámetro exterior y una pared de 5mm de espesor. El punto de ebullición y la entalpía de fusión del oxígeno líquido son 90K y 213 kJ/kg, respectivamente. El tanque se instalara en un compartimiento grande cuya temperatura se mantendrá a 240K. Diseñe un

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sistema de aislamiento térmico que mantenga las pérdidas de oxígeno debidas a la ebullición por debajo de 1 kg/día.

2. Pared plana con generación de energía sin considerar convección

Considere la pared plana de la figura, en la que hay generación de energía uniforme por unidad de volumen ( q es constante), y las superficies se mantienen a T s ,1 y T s ,2. Para una conductividad térmica constante k , la forma apropiada de la ecuación de calor, es:

d2Td x2 + q

k=0

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Mediante integraciones sucesivas, obtenemos que:

dTdx

=−qk

x+C1

T=−q2k

x2+C1 x+C2

Donde C1 y C2

son las constantes de integración. Si establecemos

las condiciones de frontera:

T (−L )=T s ,1

T (L )=T s ,2

Reemplazando en la ecuación general, tenemos que:

T s ,1=+q2k

L2−C1L+C2

T s ,2=−q2k

L+C1L+C2

Resolviendo el sistema de ecuaciones que resulta, tenemos que:

C1=T s , 1−T s ,2

2 L

C2=q

2kL2+

T s ,1−T s ,2

2

En cuyo caso la distribución de temperaturas es:

T ( x )=˙q L2

2k (1− x2

L2 )+T s , 2−T s ,1

2xL+T s ,2+T s ,1

2

Esta fórmula se simplifica cuando tenemos la misma temperatura a los 2 lados

T ( x )=˙q L2

2k (1− x2

L2 )+T s

La temperatura máxima se tiene en el plano medio

T (0 )=T 0=q L2

2k+T s

En cuyo caso la distribución de temperaturas, se expresa como:

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T ( x )−T 0

T s−T 0

=( xL )2

Ejemplo:Considere la conducción unidimensional en una pared plana compuesta. Las temperaturas externas

son de 25°C. La pared intermedia B experimenta una generación uniforme de calor qB=4×106

W/m3 mientras que no hay generación en las paredes A y C.

a) Suponiendo una resistencia de contacto insignificante en las interfases, determine las temperaturas T2 y T3, y los flujos de calor en las paredes A y C.

b) Elabore una gráfica de la distribución de temperaturas mostrando sus características importantes.

Analogía eléctrica:

q1} = {{T} rsub {2} - {T} rsub {1}} over {{{L} rsub {A}} over {{k} rsub {A}}} = {{T} rsub {2} -25} over {{0.03 m} over {25 {W} over {m∙K}} } =833,33 left ({T} rsub {2} -25 right ) (1 ¿

q2} = {{T} rsub {3} - {T} rsub {4}} over {{{L} rsub {c}} over {{k} rsub {c}}} = {{T} rsub {3} -25} over {{0.02 m} over {50 {W} over {m∙K}} } =2500( {T} rsub {3} -25) (2¿

La distribución de temperatura en la pared B es:

T ( x )=−qB LB

2

2kb (1− x2

LB2 )+T 3−T 2

LB

+T 2−T1

2

Aplicando la ley de Fourier:

Si x=−LB:

q1} = {q} rsub {x} rsup { (−LB )−kB ¿

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Si x=+LB:

q1} = {q} rsub {x} rsup { (LB )−kB ¿

1=3:

833,33 (T 2−25 )=−4 ×106 Wm3 ∙0.03m+15

Wm∙K

∙T 3−T 2

2 ∙0.03m

250T 3+583,33T 2=20866.25(5)

2=4

2500 (T 3−25 )=+4×106 Wm3 ∙0.03m−15

Wm∙ K

∙T3−T 2

2 ∙0.03m

250T 3−2750T2=−62500(6)

Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos que:

T 2=25.11℃

T 3=25.09℃

Reemplazando en los flujos de calor, encontramos que:

q1} ==833,33 left (25.11-25 right ) =91.67 W/ {m} ^ {2¿

q2} ==2500 left (25.909-25 right ) =225 W/ {m} ^ {2¿

3. Pared plana con generación de energía considerando convección

8 | P a g i n a


Tomamos nuevamente:

d2Td x2 + q

k=0

Cuya solución general es:

T=−q2k

x2+C1 x+C2

Donde C1 y C2 son las constantes de integración. Para las condiciones de frontera que se establecen:

C1=T s , 1−T s ,2

2 L

C2=q

2kL2+

T s ,1−T s ,2

2

En cuyo caso la distribución de temperaturas es:

T ( x )=˙q L2

2k (1− x2

L2 )+T s , 2−T s ,1

2xL+T s ,2+T s ,1

2

Una situación común es aquella para la que se conoce la temperatura de un fluido contiguo (T ∞), y

no T s. Por lo que es necesario relacionar T scon T ∞.

Considere la superficie en x=L para la pared plana simétrica o la pared plana aislada:

−kdTdx |

x=L

=k (T s−T ∞)

Reemplazando esta relación en la ecuación:

T ( x )=˙q L2

2k (1− x2

L2 )+T s

Tenemos que:

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T s=T ∞+q Lh

Por lo tanto T s se calcula a partir del conocimiento de T ∞, q,L y h.

Ejemplo:Una pared plana de espesor 0.1m y conductividad térmica 25W/m.K, con una generación de calor volumétrica uniforme de 0.3MW/m^3, se aísla en uno de sus lados mientras q el otro lado se expone a un fluido a 92°C. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la pared y el fluido es de 500 W/M^2.K. Determine la temperatura máxima en la pared.

El mismo resultado puede obtenerse resolviendo con un balance de energías:

Donde: , y

Y por lo tanto:

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4. Cilindro macizo con generación de energía sin convección

A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzaremos con la forma apropiada de la ecuación del calor. Para una conductividad térmica constante k :

1r

ddr (r dTdr )+ q

k=0

Al separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión se integra para obtener:

rdTdr

=−q2k

r2+C1

Si el procedimiento se repite, la solución general para la distribución de temperaturas se convierte en

T (r )=− ˙q4 k

r2+C1ln r+C2

Para obtener las constantes de integración C1 y C2, aplicamos las condiciones de frontera

dTdr |

r=0

=0

T ( r0 )=T s

De la condición de simetría en r=0 es evidente que C1=0. Al usar la condición de frontera de la

superficie en r=r0 obtenemos que

T (r )=q r0

2

4 k (1− r2

r0)+T s

Evaluando en la línea central y dividiendo el resultado en la ecuación anterior, obtenemos la distribución de temperaturas en la forma adimensional.

T (r )−T s

T 0−T s

=1−( rr0 )2

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Donde T 0 es la temperatura de la línea central.

T 0=q r0

2

4 k+T s

Ejemplo:Un sistema de calefacción de 3kW contiene una resistencia de aleación Ni-Cr, que puede soportar una temperatura máxima de 1200°C. Si el diámetro del alambre es de 1mm

a) Calcule la longitud del alambre y la máxima corriente que puede pasar por el mismo si se opera con una tensión de 120V

b) Encuentre el calor máximo generado y la temperatura T S de la superficie del alambre.

I=Pelect

V=3000W

120=25 A

L=V ∙ AC

Imax ∙ ρ e

=110V [ π (0.001m )2

4 ]25. A (10−6Ω∙m)

=3.45m

qmax=I 2ρ e

Ac2 =

I 2ρ e

( π D2

4 )2=

(25. A )2(10−6Ω ∙m)

[ π (0.001m)2

4 ]2 =1.01×109W /m3

T S=T 0−q r0

2

4k=1200−

1.01×109W /m3 ∙ (0.0005m )2

4 (25W /m∙ K )=1197.5℃

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5. Cilindro macizo con generación de energía considerando la convección

A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzaremos con la forma apropiada de la ecuación del calor. Para una conductividad térmica constante k :

1r

ddr (r dTdr )+ q

k=0

Al separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión se integra para obtener:

rdTdr

=−q2k

r2+C1

Si el procedimiento se repite, la solución general para la distribución de temperaturas se convierte en

T (r )=− ˙q4 k

r2+C1ln r+C2

Para obtener las constantes de integración C1 y C2, aplicamos las condiciones de frontera

dTdr |

r=0

=0

T ( r0 )=T s

De la condición de simetría en r=0 es evidente que C1=0. Al usar la condición de frontera de la

superficie en r=r0 obtenemos que

T (r )=q r0

2

4 k (1− r2

r0)+T s

T 0=q r0

2

4 k+T s

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Aplicando un balance global de energía para relacionar T S con la temperatura del fluido externo T ∞

Eg=E sale

Y se obtiene:

q (π r0 L ) (T S−T ∞ )

Que es lo mismo:

T S=T ∞+q r2h

Ejemplo: Se muestra la sección transversal de un elemento de combustible. Cilíndrico, largo en un reactor nuclear. La generación de energía ocurre dez manera uniforme en la varilla de combustible de torio, que tiene un diámetro, D=25mm y está envuelto en un encamisado delgado de aluminio. Se propone que, en condiciones de estado estable, el sistema opere con una rapidez de generación de

˙q=7×188W /m3 y con características del sistema de enfriamiento de T ∞=95℃ y

h=900W /m2∙ K . Es satisfactoria la propuesta?

Aluminio puro: PF=933 K

Torio: PF=933 K ,k=60W /m ∙K

El sistema fallará si se excede el punto de fusión para cualquiera de los 2 materiales.

Si x=0 , T Torio=max

T (0)=q r0

2

4 k+T s

La temperatura externa del torio es la misma que del aluminio

Por lo tanto:

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Operando bajo estas condiciones, el aluminio se funde, por lo tanto es necesario aumentar h o reducir q

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ecuacion del calor

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