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ANTONIO RODRIGUES FILHO
INTERPOLA9AO DE LAGRANGE: UM METODO PARA DETERMINAR
ISOCURVAS DE VIBRA9AO POR ONDAS SiSMICAS
Monografia apresentada como requisitoparcial a obten~ao do titulo de Especialistaem Educal,tao Matematica, Curso de P6s~Gradua4;ao em Educa~ao Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.
Orientador: Prof. Dr. Marco Andre Mazzarotto
CURITIBA
2003
AGRADECIMENTOS
o fim de uma etapa na vida de uma pessoa nao quer dizer que todo 0
caminho tenha side percorrido. Deve servir muito mais como urn momento no tempo
em que muitas e novas perspectivas sejam abertas. Mas para chegar ate este
momenta muitas coisas se passaram. Cabe agora lembrar me apenas dos bans
momentos e dos bans amigos que ao longo deste periodo contribuiram
acrescentando algo mais em minha vida.
Agradeyo primeiramente a DEUS, a luz deste ser maior me da foryas para
viver.
Agradeyo a me us pais Antonio Rodrigues de Freitas e Maria Rodrigues de
Lima pelo dam da vida e par entenderem as muitissimos dias deles afastado para
poder realizar meus projetos de vida.
Agradec;:o aos meus amigos, aos novos da especializac;:ao e aos antigos que
estiveram comigo tambem na graduagc3o, jamais as esquecerei.
Oesejo fazer urn agradecimento especial ao meu orientador Dr. Marcos Andre
Mazzarotto, obrigado pelos conhecimentos transmitidos, desde a tempo da
graduac;ao, pel0 exemplo como profissional, um grande matematico e ser humano.
Quero agradecer de forma muito carinhosa a minha querida esposa Helena
Cristina, pelo apoio dado ao 10ngo de toda minha trajetoria estando sempre comigo.
Este trabalho divido com voce.
jij
SUMARIO
LlSTA DE ILUSTRACOES.
LlSTA DE TABELAS ...
1 RESUMO ..
1 INTRODUCAo ..
11 CONSIDERACOES ...
. v
. vi
. __ __ __ vii
. 01
.... ..01
1.2 TEORIAS DE FRAGMENTA<;;AO DA ROCHA 02
1.3 TIPOS DE ONDAS SISMICAS 04
1.4 MEDICAO DA VELOCIDADE DE PROPAGA<;;AO DAS ONDAS 05
1.5 VIBRA<;;OES TRANSMITIDAS ATRAVES DOS CORPOS ROCHOSOS 06
1.6 DETERMINA<;;Ao DAS CURVAS DE ISOVELOCIDADE VIBRAT6RIA EM
TORNO DOS DESMONTES 10
1.7 LlMITES DE DANOS DE VIBRA<;;AO .... . 11
2 METODOS SEQOENCIAIS DE INTERPOLACAo.. . 12
2.1 INTERPOLA<;;AO POR LAGRANGE 12
2.2 INTERPOLA<;;AO POR GREGORY-NEWTON 14
3 METODOLOGIA DO TRABALHO ... . 15
3.1 COLETA DE DADOS 15
3.2 DETERMINA<;;AO DAS ISOCURVAS DE VIBRA<;;AO POR INTERPOLA<;;AO
MATEMATICA METODO DE LAGRANGE 16
4 CONCLusAo ... . 23
5~~~~~ ~
iv
LlSTA DE ILUSTRA90ES
ANEXO 01 - EFEITOS CAUSADOS POR DETONA<;:OES DE ROC HAS COM
EXPLOSIVO ... .............. 25
ANEXO 02 - PRINCiplOS DE FRAGMENTA<;:AO DA ROCHA POR
EXPLOSIVOS .. .............. 25
ANEXO 03 - SISM6GRAFO ... . 26
ANEXO 04 - SISM6GRAFO COM GEOFONE ..................... 26
ANEXO 05 - RESUMO DE CAPTA<;:Ao SISMOGRAFICA E SISMOGRAMA 26
ANEXO 06 - LEI DE PROPAGA<;:AO AJUSTADA. .. . 26
ANEXO 07 - TELA DO PROGRAMA CALCULO NUMERICO .. . 27
ANEXO 08 - LOCALlZA<;:AO DOS PONTOS ON DE FORAM COLETADAS AS
SISMOGRAFIAS .. . 27
RESUMO
o usa de explosives continua a ser mundialmente justificavel para escavar
rochas duras, em operagoes mineiras e obras elvis, a ceu aberto ou subterraneas,
naD obstante a crescente aplic8g8o de metodos alternativQs. Os impactos
ambientais que esse usc provQca, face a requisitos de protegao ambiental cada vez
mais restritivQs, obrigam as utilizadores a abandonarem as praticas empiricas e a
melhorarem constantemente a qualidade das suas atividades, com 0 objetivo de
minimizar danos e queixas dos proprietfuios de estruturas localizadas nas
proximidades. Par outro lado, hi! necessidade de avaliar a legitimidade desses
protestos atraves da aplic8c;ao de criterios tecnicos de previsao e de analise dos
danos, 0 que ao nivel das empresas executantes pode ser realizado par meio de
auditarias internas especializadas.
Este trabalho apresenta a correla~ao matematica existente entre as ondas
sismicas geradas par detona~6es de rochas em uma sequencia de pontes pelc
metodo de Lagrange e busca prever a intensidade destas ondas em um ponto
qualquer, dentro de um peri metro pre-determinado, gerando uma tabela de dados
interpolados.
Palavras-chave: Interpo/aqao por Lagrange, Vibrayao, Ondas Sismicas
vii
1 INTRODUt;;AO
1.1 CONSIDERAt;;OES
Os des montes de rocha com utilizac;:ao de explosivos originam efeitos
secundarios de varios tipos, que podem ter grande influencia sobre 0 ambiente
vizinho, constituindo muitas vezes fatores limitantes nas operac;oes de explorag8o de
recurSDS minerais, au de dificuldades na execul(ao de obras eivis.
Apesar de freqOentemente S8 admitir que sao fen6menos inevitaveis,
tecnicamente sabe-S8 que tais impactos possuem intensidades que estao
relacionadas com 0 excesso de carga explosiva existente nos pianos de fogo, aeirna
da carga minima necessaria para fragmentar apenas a roch8.
Desses efeitos, os mais importantes sao: vibrac;:oes transmitidas aos terrenos
e estruturas adjacentes, andas de cheque atraves da atmosfera (conhecidas
vulgarmente por ruido), projeyao de blocos de rocha, gerayc30 de poeiras e, ainda,
ultraquebra do maciyo rochoso remanescente, com possibilidade de criar
instabilizay6es futuras (anexo 01).
Cada um desses efeitos secundiuios e susceptivel de ser eliminado, ou pelo
menos reduzido, atraves do estabelecimento criterioso dos parametres dos pianos
de fogo utilizados para a escavayc30 dos maciyos rochosos, seja em trabalhos na
superficie, seja em obras subterraneas.
Muitas vezes, a necessidade de proteger 0 ambiente de determinado efeita
secunda rio (mais critico) sobrep6e-se, para fins de dimensionamento dos
des montes, aos requisitos de proteyao impostos pelos restantes impactos
ambientais.
Quando assim acontece, 0 principal problema a resolver consiste na pesquisa
do processo mais econ6mico de realizar a proteyao ambiental, nao s6 evitando
soluyoes inviaveis, mas tambem analisando, entre as varias alternativas disponiveis
para minimizar a influencia do efeilo secunda rio critico, aquela que originar menores
custos de implantay13o.
A principal conclusao a retirar das correla90es entre a magnitude dos
impactos ambientais e os custos das opera90es de desmontes de rocha com
explosivos revelam que a sua minimiza9c3o e simultanea. Assim, a aplica9ao de
tecnologia adequada it solw;ao dos dais problemas e 0 caminho para a
compatibilizac;ao que devera alcan9ar-se entre a realiza9ao de desmontes de rocha
com explosivos e os seus impactos ambientais.
1.2 TEORIAS DE FRAGMENTACAo DA ROCHA
Existem muitas teorias e modelos que procuram descrever 0 processo que
ocorre durante e depois da detona9ao de uma carga explosiva em um macic;o
rochoso. Em termos gerais, este processo envolve a rapida liberaC;8o de energia
pelo explosivo, a aplicac;ao desta energia na rocha e a res posta subseqOente da
rocha pela aplical'ao da energia. Isto e complicado por latores tais como tipo,
quantidade e velocidade de liberal'ao de energia pelo explosivo, plano de logo e
propriedades do macic;o rochoso. A teo ria mais aceita e da Energia de Choque e
Deslocamento do Gas (Hagan 1967 & 1973 e Mercer, 1980): Quando um explosivo e
detonado, ele e convertido dentro de poucos milissegundos em um gas de alta
temperatura. Quando confinado em um furo de mina, esta reac;ao muito rapida
provoca pressoes muito elevadas sobre suas paredes, normalmente ultrapassando
18.000 atm. Esta energia e transmitida para 0 maci90 rochoso vizinho na forma de
uma onda de compressao, ou onda de choque, que se propaga a uma velocidade de
2.000 a 6.000 metros por segundo.
Os mecanismos de fragmenta.yao da rocha que pod em ser atribuidos ao
componente de choque da energia liberada por um explosivo sao: pulverizac;ao e
quebra, movimento radial relativo, liberac;ao de pressao e lasqueamento. A
pulveriza9ao e a quebra ocorrem ao redor da parede do furo quando a pressao
exercida pela frente da onda de detonacyao excede a resistencia a compressao
dinamica da rocha (Hagan, 1973 e Bauer, 1978). 0 pulso de delormal'ao de partida,
gerado pela frente de detona9ao a alta temperatura se dispersa e perde energia
rapidamente. A pulveriza9ao cessa quando 0 nivel de ten sao no pulso cai abaixo do
limite elastico da rocha. Isto ocorre normalmente muito proximo it parede do furo.
A rocha que forma a parede do furo alem da zona de pulveriza9ao e de
quebra esta sujeita a uma compressao muito repentina devido ao pulsa de tenSElOdispersante. Esta compressao (movimento radial relativo) resulta 8m tens6es
tangenciais que podem causar fissuras radiais que S8 desenvolvem radialmente a
partir do furo. As fissuras S8 desenvolvem inicialmente em todas as direc;6es a partir
da parede do furo de mina e nao sao influenciadas pela face livre local.
o mecanisme de fraturamento causado pela liberac;ao de pressao ocorre
imediatamente ap6s a passagem do pulsa de trac;ao ou de compressao r8sultando
em decrescimo local na densidade com esforgos de trayao subseqOentes. Estesesfor90s de tra9ao produzem fraturas perpendiculares a dire9ao trajeto da onde de
tensao (Clay et aI., 1965).
o lasqueamento ocorre quando uma frente de onda de compressao ou de
traryao e refletida pela superifcie livre. Neste ponto duas ondas sao geradas: uma
onda de traryao e uma onda de cisalhamento. A onda de traryao pode causar
fissuramento e fazer a rocha se lascar na regiao da superiicie livre. Ambas as ondas
de traryao e de cisalhamento podem estender as fissuras pre-existentes ou as novas
fissuras (isto e, farmadas pelo pulso inicial de tensao).
Uma zona de gases a uma pressao e temperatura muito altas ocupa 0 furo de
mina atras da frente de detonaryao. Estes gases penetram a zona fraturada ao redar
do furo e fluem para as fissuras radiais e pre-existentes. A pressao do gas atua
como uma cunha para abrir as fissuras, causando 0 seu alargamento.
A pressao na parede do furo causada pelos gases gerados pelo explosivo e 0
campo de tensao devido as fissuras pressurizadas desloca 0 maciryo rochoso entre 0
furo de mina e a face livre. Par causa da geometria da carga explosiva e do maciryo
rochoso a rocha se dobra (anexo 02) na face causando fraturamento par ruptura
flexural (Mercer, 1980).
1.3 TIPOS DE ONDAS SiSMICAS
o planeta Terra e constituido par diversos setores ou ambientes, alguns dos
quais permitem acesso direto, como a atmosfera, a hidrosfera (incluindo rios, lagos,
aguas subterraneas e geleiras), a biosfera (conjunto dos seres vivos) e a supeliicie
da parte rochosa. Oesta superficie para baixo, 0 acesso e muito limitado.
As escav890es e sondagens mais profundas ja chegaram a cerea de 13 km
de profundidade, enquanto 0 raia da terra e de quase 6.400 km. Par isso, para S8
obter informa90es deste interior inacessivel, existem metodos indiretos de
investigay03o: a sismologia e a compara9ao com meteoritos.
A sismologia e 0 estudo do comportamento das andas sis micas ao atravessar
as diversas partes internas do planeta. Estas ondas elasticas propagam-se gerando
deformac;oes, sendo geradas por explosoes artificiais e, sobretudo, pelos terremotos;
as ondas sismicas mudam de velocidade e de direc;c3o de propagac;c3o com a
variaC;80 das caracteristicas do meio atravessado. A integrac;c3o das observac;oes
das numerosas estac;oes sismograficas espalhadas pelo mundo todo fornece
informac;oes sobre como e 0 interior do planeta, atravessado em todas as direc;oes
por ondas sismicas geradas a cad a terremoto e a cada explos80. As Informac;oes
sobre a velocidade das ondas sismicas no interior da Terra permitiram reconhecer
tres camadas principais (crosta, manto e nuc!eo), que tem suas pr6prias
caracteristicas de densidade, estado fisico, temperatura, pressao e espessura.
A sismologia e, em ultima analise, 0 estudo da propagaC;80 de ondas s61idas
pela Terra. A propagagiio destas ondas depende das propriedades mecanicas dos
materiais que atravessam, pelo que a compreensao dessas propriedades sera
importante para compreender 0 fen6meno sismico.
Existem diversos tipos de ondas elasticas que sao liberadas quando ocorre
um tremor de terra. Os tipos mais importantes S80:
- ondas P (ou prim arias) - movimentam as particulas do solo comprimindo-as e
dilalando-as. A diregiio do movimento das particulas e paralela a diregiio de
propagagiio da onda.
- ondas S (ou secundarias) - movimentam as particulas do solo perpendic:ularmente
a direc;c3o da propagaC;80 da onda.
As ondas P propagam-se pela litosfera terrestre com velocidade tipica de 6 a
8 km/s em rochas consolidadas; a velocidade das andas S e tipicamente pr6xima a
70% da velocidade da cnda P no material.
Apesar da velocidade das andas variar com as propriedades das rochas
(densidade, rigidez, compressibilidade), a razao entre a velocidade das ondas PeS
e praticamente constante. Isto permite que, observando 0 tempo de chegada destas
andas, possamos 85timar a dist€mcia do local cnde ocorreu 0 sismo (basta
multiplicar 0 tempo S-P, em segundos, pela velocidade de 8 km/s para uma
estimativa grosseira da distancia entre a foea e a 8St89:3.0).
As andas sismicas sao registradas per sismografos (anexo 03) eqllipamentos
sensiveis que detectam e registram a movimento das particulas do solo em urna
determinada dire~ao. A diferenga no tempo de chegada das ondas S e P pode
fornecer a localiz89BO do epicentro do terremoto, S8 ele for adequadamente
registrado par no minima tres e5ta90e5.
1.4 MEDlvAO DA VELOCIDADE DE PROPAGA9AO DAS ONDAS
A determinac;:ao das propriedades dinamicas dos macic;:os onde detonam
explosivos possui urna dupla finalidade: a caracteriz8c;:8.0 propriamente dita dos tipos
de rocha presentes e a utilizac;:ao desses dados na previsao dos mecanismos de
propagaC;Elo das vibrac;6es pelo terreno.
No primeiro aspecta, as trabalhos de campo iniciam-se pelo registro de
vibrac;5es provenientes dos desmontes normais das minas au pedreiras, atraves de
sismografos dotados de geofones de multiplos canais, apropriadamente localizados
no terrena em relac;ao a geometria do desmonte.
Tais geofones (anexo 04) transformam a energia mecanica de vibrac;ao que
os atinge em energia eletrica com intensidade proporcional ao movimento oscilat6rio
do solo, sendo instalados sobre uma linha de propagac;ao cuja natureza dinamica se
pretender caracterizar.
Ap6s cada detona,iio, os geolones colocados a superficie do terreno
recebem os impulsos sismicos a diferentes instantes, registrando-os
magneticamente au sobre filme de papel fotografico que se move a velocidade
constante au na memoria de seu processador para analise computacional em
software especifico para este fim.
Nesse registro fiearn assinalados os instantes da detonacao, que constitu; 0
inicio da contagem de tempo e sabre as linhas de tempo, com intervalo geralmente
de 0,01s inscrevem-se os espectros de movimentos verticais gerados em cada
geofone.
As amplitudes dos movimentos sao expressas em termos de deslocamentos,
as quais sao depois convertidos para velocidades vibrat6rias, pela rela98o: V;::. 2n:fd.
Onde f e a freqOencia de vibrayao, diretamente lida no sismograma (em
hertz), e d a amplitude maxima de deslocamento, tambem lida no sismograma
(anexo 05).
Alem deste para metro, a sismograma pode ser utilizado para a determinac;:ao
da velocidade de propagac;:ao das ondas longitudinais atraves da formac;:ao rochosa
onde se instalaram as geofones.
1,5 VIBRA!;OES TRANSMITIDAS ATRAVES DOS CORPOS ROCHOSOS
Cerca de 5 a 15 % da energia liberada pelas detona,oes de explosivos em
rocha sao efetivamente usados na fragmentayao da rocha, constituindo ° fim uti I do
seu emprego. Isto significa que, em geral, 90% da energia contida nos explosivos e
transferida ao ambiente circundante sob a forma de calor, de ruido e de vibrac;:oes
susceptiveis de causar impactos significativos.
As vibrac;:oes constituem a causa mais comum de preocupac;:oes e de
protestos, par parte das pessoas afetadas nas vizinhanyas desses trabalhos e a
metodologia atualmente disponivel para tratar esse problema consiste na previsao
das amplitudes verificadas em pontos afastados da explosao, tendo em
considerac;:ao as propriedades geomecanicas dos macic;:os rochosos e as diversos
tipos de pianos de logo e a quantidade de explosivos detonados.
Investiga90es empreendidas em diversos paises tais como E.U.A., Japao,
Suecia, Inglaterra, etc, sao concordantes em admitir que as danos em estruturas se
correlacionam com a amplitude das andas sismicas que as atingem, e dentre as
grandezas fisicas que as caracterizam: deslocamentos, aceleray6es e velocidades
vibratorias sao as ultimas que melhor se ajustam a reterida correla~ao.
Dos varios criterios existentes, a que tern merecido maior aceitayao e 0 da
velocidade vibratoria de particula (PPV), sendo confirmado per numerosos exemplos
conhecidos.
Com efeito, urn limite inferior de 50 mm/s pareee garantir a seguran<;a de
edificios construidos com resistencia normal, e certos estudos estatisticos revelam
que mais de 97% dos cases de dana real, estao associados a velocidades
vibratorias superiores a 71 mm/s. Ha tambem ev;dencia que uma probabilidade de
50% corresponde a ocorrencia de danos em construc;6es submetidas a velocidades
vibratorias da ordem de 137mm/s (Berger,1971).
Os fen6menos de quebra de rochas sob a aC;80 explosiva exigem velocidades
vibratorias da ordem de 700 a 1000 mm/s, segundo Holinberg (1982).
Convem notar que as faixas de sensibilidade humana S80 muito inferiores aos
niveis de vibraC;8o suportados pelas estruturas correntes. Assim, 0 limite inferior da
percepC;80 humana situa-se em cerca de 10 mm/s, send a a velocidade de 50 mm/s
considerada into Ieravel.
Na pratica, a amplitude das vibra90es, expressa em termos da velocidade de
particula, depende fundamental mente de duas grandezas principais: A quantidade
da carga explosiva que detona e a distancia entre os pontos de detonaC;80 e de
interesse podendo ser estabelecida matemat;camente a partir de dados registrados
em sism6grafos apropriados.
Na sua forma mais geral, e dada por uma rela9ao do tipo: V ~ a ObOC
Em que V e a amplitude maxima da velocidade de particula resultante, a e a
quantidade de explosivo detonado por retardo do plano de fogo e 0 e a citada
distancia. Os coeficientes a, b, c sao constantes dependentes do local, do tipo de
esquema de fogo e da forma das ondas propagadas.
Pode-se comparar esta relaC;ao empirica com a lei de propagaC;ao te6rica,
proveniente da teoria da similitude, que se expressa por: V = a ( Q I D3) b
Varios especialistas indicam que esta relayao e valida para a vizinhanya
imediata das explosoes, aceitando-se que a diminuiyao do expoente de 0 (de 3 para
2) resulta da modifica,ao de caracteristicas de atenua,ao da onda, ao passar de
uma forma instavel para uma forma elastica estavel, it distancias maiores de origem
da explosao.
A experiemcia tambem mostra que a lei empirica de propagayao e
essencialmente baseada em detonayoes de cargas cilindricas, e a considerayclo de
uma simetria cilindrica na propagar;ao implica uma lei quadnitica de atenuayao.
Os dados publicados pelo U.S. Bureau of Mines (Duvall, Fogelson e outros),
na Inglaterra (Attewell e Farmer), na Suecia (Langefors, Person, etc.) e no Canada
(Bauer), revelaram que a lei quadratica e aproximadamente seguida na grande
maioria dos casos, sendo freqGente representar graficamente os pontos
correspondentes aos registros de sismografos, sabre diagramas que relacionam a
velocidade vibratoria com a distancia escalon ada D/Q 112. A regressao linear efetuada
sabre tais pontos reproduz a lei empirica acima mencionada, vista que:
v = a (Q I 0') b= a (Q"').2b
Os referidos diagramas pod em ser obtidas par cada uma das componentes
do vetor velocidade (vertical, radial e transversal), sendo representados em fun,ao
da distancia escalonada e para as cargas explosivas aplicadas.
Tais diagramas podem ser obtidos em fun,ao ou da quantidade total de
explosivo detonado, ou da quantidade detonada por cada retardo do plano de fogo,
dependendo da gama de distancias entre 0 desmonte e as estruturas a proteger.
Com efeito, it medida que esta distancia aumenta, tem lugar uma atenuat;ao seletiva
de freqOemcias (simultanea com dispersao de velocidades) que arigina uma
sobreposiyao dos trens de ondas provenientes dos varios retard os, a qual nao
permite a distinyao entre ondas individuais.
Geralmente, para distancias superiores a 1000 m e farmulada a lei de
propagayao das ondas resultantes da carga explosiva total e, para distancias
inferiares aquela, utiliza-se a equayao das ondas provenientes das cargas
detonadas par retardo.
Em qualquer dos casos, a amplitude da velocidade de particula e expressa
em funyEio da quantidade (em quilos) de explosivo considerado e da distancia,
servindo essa relaC;8o para 0 calculo da amplitude em Qutras condic;oes de trabalho,
mantendo-se constante a tipo de formaC;8o geologica.
Conhecida a amplitude da velocidade de particula pode-se prever as
circunstancias de perigo para a estabilidade de estruturas vizinhas, atraves da
utiliz8yao das relac;oes empiricas entre a grandeza das vibrac;6es e as danos fisicos
que elas pod em prOVDcar.
Tais relac;6es, utilizadas no sentido inverso, sao susceptiveis de fornecer as
cargas maximas que devem detonar nurn desmonte, a fim de proteger instalac;6es
pr6ximas dos prejuizos resultantes de niveis de vibrac;aoexcessivQs para a
respectiva seguranC;8.
A correlac;ao entre amplitudes de vibraC;;ao e os danos causados em edificios
e instalat;:oes vizinhas e usual mente feita per meie de dades experimentais tirades
de numeroses exemplos conhecidos.
Depois de analisadas as circunstancias que provocaram prejuizos, atribui-se
a eles urn grau de importancia (par exemplo, em termos de seguranc;a, precauC;ao,
perigo e colapso) e quantificando as vibrat;:6es por meio de urn parametro
apropriado, estabelecem-se os criterios de dano estrutural.
Todavia, a tendemcia moderna consiste em desenvolver criterios de dana
mais cientificos, tomando em considerat;:ao as verdadeiras propriedades das
edificat;:6es e, par outro lado, quantificando as vibrac;oes em termos de tens6es
dinamicas, que sao conceitos mais face is de tratar do que acelerac;oes, velocidades
ou deslocamentos.
Essas novas abordagens do problema da estabilidade dinamica de estruturas
parecem ser aplicaveis a determinat;:ao das quantidades das cargas explosivas que
podem detonar a diferentes distancias, atribuindo a cada uma delas um fator de
seguranc;a que pode ser utilizado para estabelecimento de decis6es sobre a farma
como devem ser executados os desmontes (Gama, 1978).
Enquanto tais metodologias nao sao implantadas com generalidade,
continuam-se a empregar os criterios empiricos convencionais.
10
1.6 DETERMINACAO DAS CURVAS DE ISOVELOCIDADE VIBRATORIA EM
TORNO DOS DES MONTES
Os equipamentos utilizados nos registros de campo proporcionaram amplas
tabelas de valores de velocidades vibratorias resultantes das detona90es e para
variadas gamas de distancias.o registro dessas grandezas e feito em sismografos de Engenharia com
captayao atraves de urn au mais geofones triortogonais (nas direc;;oes vertical,
longitudinal e transversal). enquanto que as sismografos de Geofisica de multiplos
canais (12. 24, etc.), sao adequados para medi9ao das restantes grandezas
dinamicas embora apenas registrem vibrac;oes na direc;ao vertical.
Os dados registrados nos primeiros sao processados de maneira a calcular 0
valor resultante das velocidades de particulas medidas segundo as tres
componentes do espa90.
Assim, dispondo dos valores das velocidades resultantes de particula obtidasem cad a desmonte, correlacionam-se com as distancias (entre 0 centro do plano de
fogo e 0 local de capta9ao) e com as quantidades de explosivos detonados par
retardo.
Em virtude da dispersao observavel de valores que resultaria da considerayao
dessas tres variilVeis, sem atender as litologias de propagayao das vibrayoes,
podem-se estabelecer leis de propagayao especificas para cad a tipo de rochas
presentes em determinada obra, e ainda, estabelece-Ias para cada direy8.o relevante
do espa90.
Assim, a velocidade de vibrayao em determinado ponto pede ser calculada
pela expressao da lei de propaga9ao ajustada (anexo 06).
Onde:
Q e a carga detonada por espera de retardo em Kilos
d e a distemcia em metros
me 0 coeficiente de impedancia da rocha que no caso do calcario e de - 1,3.
II
K e 0 pan,metro da rocha Jigado a capacidade de dispersao das ondas (em kg/s),
tendo como valores norma is: 400 para granito sao, 200 para rocha branda (que
sera 0 estudo de nosso trabalho) e 100 para rocha decomposta.
Portanto, para calcular a velocidade de particula num ponto situ ado a 500 m
de distancia de uma detonac;;ao onde a carga maxima por espera e de 460 kg.
fazemos:
V= 200 • (600/ sqrt(460)' -1,3) => V = 2.63 mm/s
Este metoda para determinayao da velocidade de particula, embora muito
te6rico podendo gerar erros, e amplamente aC8;to entre as engenheiros e tecnicos
de minas servindo como ferramenta basica para prevenir danos em constrw;:6es
adjacentes as minerac;:6es.
o que vamos mostrar adiante e urn metoda matematico alternativQ e mais
confiavel utilizando interpolac;:oes polinomiais de acordo com uma tabela de
medic;:6es realizadas de velocidade de particula.
1.7 LlMITES DE DANOS DE VIBRA<;fAO
Muito trabalho tern sido feito para se determinar niveis de vibra9aO limite para
danos em diversos tipos de estruturas. Estes niveis de velocidades de particula de
pica (tabela 01), tem side estabelecidos atraves de diversas ebserva90es no campo
e agora sao usados com confian9a na elabora98o de planas de fogo. No entanto, a
variabilidade nas condi90es do local indica que um cuidado deve ser tomado
sempre que as niveis de vibra9ao estiverem pr6ximos aos valores de limite
apresentados. 0 criteria de dana rna is freqGentemente usado em areas urbanas e a
velocidade de particula de pico de 50 mm/s, que e e nivel abaixe do qual as danos
da maiaria das estruturas residenciais e peuco significativo. No entanto, para
edificios men as resistentes, e velhos edificies de interesse hist6rico, as niveis
permitides de vibra90es podem se situar abaixo de 10 mm/s. 0 limite exigido deve
ser determinado atraves das condi90es estruturais do edificio.
\2
2 METODOS SEQOENCIAIS DE INTERPOLACAO
Seja uma tabela com valores de x e y associados. Para se obter 0 valor de y
para urn dado x naD con stante na tabela e necessaria encontrar uma funy80 que
relaciona estas variaveis. As fun90es mais utilizadas para determinar estas rela90es
sao as polinomios. Urn polinomio construido com a intuito de aproximar uma funy80
e denominado polinomio interpolador.
Existem varios metodos para construir urn polinomia interpolador a partir de
urn conjunto de pares de dad os. Serao apresentados a seguir os metodos utilizados
para construir urn polinomio interpolador de Lagrange, e Gregory-Newton.
2.1 INTERPOLACAO POR LAGRANGE
Os polin6mios de Lagrange de grau n sao dados por:
Por exemplo, se temas as pontcs Xc. Xl, Xz e X3, as 4 polin6mios de Lagrange
(de grau 3) sao dados por:
LOC') (x-x\)(x-x2)(x-Xl)(xo-xJl(xo -X2)(xO-'.\)
(, - xo)(x- x \ )(x - X))
L2(X) (X2 -xO)(x2 -X\)(x2 -X3)
L\(x) (x-XO)(X-X2)(x-x3)(X\-xO)(X\-x2)(X\-X\)
(x - xo)(, - 'Il(' - x2)L)(x) ('.\-xo)(X)-X\)(X\-X2)
13
Portanto, 0 polinomio:
~I( X) = Yo L.O( X) + YI L.I (X) + ... +)')) L)) (X) •, constrUido a partir dos
polinomios de Lagrange Lk(x) (k = 0, 1, ... , n) para uma labela de ponlos { (xi, Vi), i =
0, 1, ... , n ) e tal que:
Par exemplo. 5e quisermos determinar 0 polin6mio interpolador de Lagrange
para a seguinte tabela de pontes:
Neste caso, 0 polinomio fix) sera:
(x-2)(x-)Xx-4) _(x-IX,-))(x-4) (,-IXx-2Xx-4) (x-I){x-2)(x-»).(.,) = (, (1-2)(1- ))(1-4) +,. (2- IX2- ))(2-4) +2.(.1-I)(.1-2X)-4) +(-9).(4- 1)(4-2)(4-))
(xl_9.t2+16X_24) (.'(:'_8.'(2+19.'(_12) (x~-ix2+14x-8) (;.:3_6x2+II1._6)o(x}=6. -6 +5. 2: +2. -2 +(-9). 6
ou seja: .p{x) = 11-9x +5x2 _x.l
Evidentemente, para calcular urn valor interpolado nao e necessaria escrever
o polin6mio de Lagrange na forma padrao. Por exemplo, f(2.5) " $1(2.5) pode ser
calculado, diretamente, como:
A(J"))2i-1)(15- J)(LH) i(15-1)(15-J)(1H) 1 (1,i-1)(15-1)(15-4)(_e) (15-1)(2i-l)(15-J)_v".) \\ t.. t , t j.
(1-1)(1-»)(1-4) (1-1)(1-1)(1-4) (1-1)()-1)(J-4) (4-1)(H)(4-J)=4m
14
2.2 INTERPOLA~AO POR GREGORY-NEWTON
Uma Dutra maneira de determinar a polin ami a de interpolac;ao para uma
tabela de pontos e atraves do usa de diferen,as divididas. 0 polinomio assim obtido
denomina-se polinomio de interpola<;ao de Newton. Vamos explanar aqui uma
particularidade do metoda de Newton onde todos as pontos Xi (i = O. 1•...• n) sao
igualmente espac;ados, ja que nossa trabalho adiante estara correlacionado a esta
condic;ao. A este metoda denominou-se Metoda de Interpo1acao par Gregory-
Newton.
Seja a fun,ao y = fIx) definida pelos pontos { (Xi. Yi). i = O•...• n } tais que Xi+1 -
Xi = h. para todo i (i = 0.... n-1). Entao:
!-)11" ...,I1,\r. = ._1_,·1 " I n!hll
Portanto, par este teorema, pade-se escrever 0 polinomio interpolador como:
~ ~h ~$(x) = Yo+(x- xO)-ll + (x-xO)(x-x1)-2112 + ..+(x-xo)(x- xd ..(x- xn-d--..1'Q.n! hll
Par exemplo, se quisermos determinar f(0.5) dada a tabela:
i '" y, A'y, A'y, A'y, A'y,0 0.2 0.40 0.39 -0.02 0.01 -0.04
1 0.4 0.79 0.37 -0.01 -0.03
2 0.6 1.16 0.36 -0.04
3 0.9 1. 52 0.32
4 1.0 1. 94
15
Neste casa, pelo polinomio de interpolaC;8o de Gregory-Newton, temas:
r (0.5) " o(O.j) = 0.40 + (0.5 - 0 .2) ~+ (0.5 - 0.2)( O.j _ 0.4) (-0.02; +0.2 1(0.2)-
+ (0.5 - 0.2)( 0.5 - 0.4)(0.5 - 0.6) ~ +3~(0.2 )
+ (0.5 - 0.2)( 0.; - 0.4)(0.5 - 0.6~ 0.5 _ 0.8) (-0.04~ =4! (0.2)
= 0.91
3 METODOLOGIA DO TRABALHO
3.1 COLETA DE DADOS
o trabalho foi desenvolvido na minerac;ao da Cimento Vateran, no municipio
de Rio Branco do Sui - PR, denominada de Mina Saiva.
Foi utilizado urn sismagrafo com geofone modelo SSU3000LC da Geosonic
Em todos os desmonte de rochas executados durante 0 trabalho fixau-se uma
carga maxima de 460 kg de explosivo par espera de retardo e seguiu-se
rigorosamente este valor para evitar discrepancias entre os valores das medi90es
sismograficas.
Todos os pontos onde foram coletados os dados das velocidades de particula
resultante (PPV) estavam sob uma lente de calcaria de aproximadamente 250 m de
espessura 0 que proporcionou men or distorc;ao dos dados devido a geologia
constante da rocha.
Os pontcs a serem interpolados foram coletados segundo duas orienta96es:
norte e leste, da mina Saiva distanciados 200 m urn do outro (segundo tabelas 02 e
03, e anexo 08), e a 600 m da fonte sismica (desmonte de rocha).
16
3.2 DETERMINA9Ao DAS ISOCURVAS DE VIBRA9Ao POR INTERPOLA9Ao
MATEMATICA METODO DE LAGRANGE
o que sera feite aqui e simplesmente a determina~ao das possiveis
velocidades de particu1atomando se como base as tabelas 02 e 03 nas quais estao
contidas as informac;:6es das localizac;:Oes dos pontcs coletados, as velocidades em
cada componente vetorial e a componente da velocidade de particula resultante, que
e determinada pelo maior valor das demais componentes. Estas tabelas serao
reduzidas a novas tabelas contendo somente as dados pertinentes ao nossa
trabalho com interpolac;ao, ou seja: 85 distancias entre as pontcs de coleta e as
niveis de PPV resultantes.
De acordo com a tabela 02 temos que, para a dire9aOnorte da mina Saiva os
seguintes niveis de PPV sao:
Para efeito de demonstra9ao do metodo de Lagrange, calcularemos a PPV
para intervalos quaisquer da tabela aeirna. Para facilitar as calculos trabalharemos
com as distancias em unidades. Assim, por exemplo, 648m sera equivalente a 6.48.
a que nos da a tabela seguinte
1X 1 6,001 8,001 10,001 12,001 14,001 16,001 18,0011y 1 2,751 2,431 2,29 1 2,01 1 1,85 1 1,50 1 0,51 1
Calcularemos entao a PPV nos pontos 6.48m, 10.87m e 12.23m da fonte
geradora (0 desmonte):
Lembremos que:
(k = 0,1, ... , 11)
17
e
Valor de k: 7
Para 648m (au 6.48), temos:
(6,48-8,00)(6,48-1 0,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)(6,48-18,00)L(O)= ----------------------------------------------------------------------------------------------
(6,00-8,00)(6,00-10,00)(6,00-12,00)(6,00-14,00)(6,00-16,00)(6,00-18,00)
24357,49L(O)=-------------- = 0,53
46080,00
(6,48-6,00)(6,48-1 0,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)(6,48-18,00)L(1)= --------------------------------------------------------------------------------------
(8,00-6,00)(8,00-1 0,00)(8,00-12,00)(8,00-14,00)(8,00-16,00)(8,00-18,00)
-7691,84L(1)= ------------- = 1,00
-7680,00
(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16, 00)(6 ,48-18, 00)L(2)= ---------------------------------------------------------------------------------
(10,00-6,00)(10,00-8,00)(10,00-12,00)(1 0,00-14,00)(1 0,00-16,00)(1 0,00-18,00)
-3321,48L(2)= ---------- = -1,08
3072,00
(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-1 0,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)(6,48-18,00)L(3)= -----------------------------------------------------------------------------------
(12,00-6,00)(12,00-8,00)(12,00-1 0,00)(12,00-14,00)(12,00-16,00)(12,00-18,00)
-2118,04L(3)= ------------ = 0,92
-2304,00
18
(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-10, 00)(6,48-12,00)(6,48-16, 00)(6,48-18, 00)L(4)= -------------------------------------------------------------------------------------------------------
(14,00-6,00)(14,00-8,00)(14,00-10,00)(14,00-12,00)(14,00-16,00)(14,00-18,00)
-1554,73L(4)= ------------ = -0,51
3072,00
(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-10,00)(6,48-12,00)(6,48-14, 00)(6,48-18,00)L(5)= --------------------------------------------------------------------------------------------------------
(16,00-6,00)( 16,00-8, 00)( 16, 00-1 0,00)( 16, 00-12, 00)( 16,00-14,00)( 16, 00-18,00)
-1228,11L(5)= ------------- = 0,16
-7680,00
(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-10,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)L(6)= --------------------------------------------------------------------------------------------------------
(18,00-6,00)(18,00-8,00)(18,00-1 0,00)(18,00-12,00)(18,00-14,00)(18,00-16,00)
-1014,90L(6)= ------------ = -0,02
46080,00
Entao temos que:
Lo= 0.53 L,=1.00 L2= -1.08 L3= 0.92 L,=-0.51 Ls= 0.16 L6=-0.02
o prov8vel nivel de vibrac;:ao no ponto 648m afastado da fonte sismica sera
de:
P(6.48)= + (2,75"0,53) + (2,43"1,00) + (2,29"-1,08) + (2,01"0,92) + (1,85"-
0,51) + (1,50"0,16) + (0,51"-0,02) P(6.48)= 2,55 mm/s
Para 1087 m (ou 10.87), lemos:
(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(10,87-14,00)( 10,87-16,00)(10,87-18,00)L(O)= -----------------------------------------------------------------------------------------
(6,00-8,00)(6,00-10,00)(6,00-12,00)(6,00-14,00)(6,00-16,00)(6,00-18,00)
323,02L(O)= -------------- = 0,01
46080,00
19
(10,87-6,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(10,87 -14,00)(10,87-16,00)(10,87-18,00)
L(1)= ----------------------------------------------------------------------------------------------(8,00-6,00)(8,00-10,00)(8,00-12,00)(8,00-14,00)(8, 00-16, 00)(8,00-18,00)
548,12L(1)=------------ = -0,07
-7680,00
(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-12,00)(10,87 -14,00)(10,87-16,00)(10,87-18,00)
L(2)= -------------------------------------------------------------------------------------------------------(10,00-6,00)(10,00-8,00)(10,00-12,00)(10,00-14,00)(10,00-16,00)(10,00-18,00)
1808,18L(2)= -------------- = 0,59
3072,00
(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-14,00)(10,87-16,00)(10,87-18,00)L(3)= ------------------------------------------------------------------------------------------------------
(12,00-6,00)(12,00-8,00)(12,00-10,00)(12,00-14,00)(12,00-16,00)(12,00-18,00)
-1392,13L(3)= ------------ = 0,60
-2304,00
(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(1 0,87-16,00)(10,87-18,00)L(4)= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(14,00-6,00)(14,00-8,00)(14,00-1 0,00)(14,00-12,00)(14,00-16,00)(14,00-18,00)
-502,59L(4)= ------------- = -0,16
3072,00
(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(1 0,87-14,00)(10,87-18,00)L(5)= -------------------------------------------------------------------------------------------------------
(16,00-6,00)(16,00-8,00)(16,00-1 0,00)(16,00-12,00)(16,00-14,00)(16,00-18,00)
-306,65L(5)= ------------- = 0,04
-7680,00
(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87 -12,00)(10,87-14,00)(10,87-16,00)L(6)=--------------------------------------------------------------------------------------- _
(18,00-6,00)(18,00-8,00)(18,00-1 0,00)(18,00-12,00)(18,00-14,00)(18,00-16,00)
20
-220,63L(6); ---------------; -0,00
46080,00
Entao temos que:
Lo; -0.01 L,;-0.07 L2; 0.59 L,; 0.60 L,;-0.16 L,; 0.04 L,;-O.OO
o provc3vel nivel de vibra980 no ponto 1087m afastado da fonte sismica sera
de:
P(10.87); + (2,75'0,01) + (2,43'-0,07) + (2,29'0,59) + (2,01'0,60) + (1,85'-
0,16) + (1,50'0,04) + (0,51'-0,00).- P(10.87); 2,16 mm/s
Para 1223m(eu 12.23), lemes
(12,23-8,00)( 12,23-10,00)( 12,23-12,00)( 12,23-14,00)( 12,23-16 ,00)( 12 ,23-18,00)L(O); ----------------------------------------------------------------------------------------------
(6,00-8,00)(6,00-1 0,00)(6,00-12,00)(6,00-14,00)(6,00-16,00)(6,00-18,00)
-83,53L(O); ------------; -0,00
46080,00
(12,23-6,00)(12,23-10,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)
L(1); ----------------------------------------------------------------------------------------------------(8,00-6,00)(8,00-10,00)(8,00-12,00)(8,00-14,00)(8,00-16,00)(8,00-18,00)
-123,03L(1); ----------; 0,02
-7680,00
(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)L(2); -----------------------------------------------------------------------------------------------------
(10,00-6,00)(10,00-8,00)(10,00-12,00)(1 0,00-14,00)(1 0,00-16,00)(1 0,00-18,00)
-233,37L(2); ------------; -0,08
3072,00
21
(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-10,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)L(3)= ------------------------------------------------------------------------------------------------------
(12,00-6,00)(12,00-8,00)(12,00-1 0,00)(12,00-14,00)(12,00-16,00)(12,00-18,00)
-2262,68L(3)= --------------- = 0,98
-2304,00
(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-1 0,00)(12,23-12,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)L(4)= ---------------------------------------------------------------------------------------------------
(14,00-6,00)(14,00-8,00)(14,00-1 0,00)(14,00-12,00)(14,00-16,00)(14,00-18,00)
294,02L(4)= ----------- = 0,10
3072,00
(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-1 0,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-18,00)L(5)= -------------------------------------------------------------------------------------------
(16,00-6,00)(16,00-8,00)(16,00-1 0,00)(16,00-12,00)(16,00-14,00)(16,00-18,00)
138,04L(5)= ------------- = -0,02
-7680,00
(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-1 0,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)
L(6)= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(18,00-6,00)(18,00-8,00)(18,00-1 0,00)(18,00-12,00)(18,00-14,00)(18,00-16,00)
Entao temos que:
90,19L(6)= ----------- = 0,00
46080,00
L,= -0.00 L,=0.02 L,= -0.08 L3= 0.98 L,=0.10 L5= -0.02 L6=0.00
o prov8vel nivel de vibra9ao no ponto 1223m afastado da (ante sismica sera
de:
P(12.23)= + (2,75"-0,00) + (2,43"0,02) + (2,29"-0,08) + (2,01"0,98) +
(1,85"0,10) + (1,50"-0,02) + (0,51"0,00) P(12.23)= 1,99 mm/s
22
De fata, poderiamos calcular qualquer valor da velocidade de particula
compreendido no intervale de 600 a 1800 m, que e 0 intervalo de interesse neste
estudo.
o metoda de Lagrange e urn metoda muito eficiente para aproximat;5es
polinomiais. Se temas valores de K razoavelmente pequenos e passivel executar as
calculos para determinac;:ao de urn valor qualquer, como no caso aeima. Porem,
para valores de K multo grandes a melhor alternativa e recorrer a metodos
computacionais. Em anexo a este trabalho se encontra urn programa denominado
de "Calculo Numerico" desenvolvido em Iinguagem Delphi com 0 qual foi possivel
determinar as possiveis niveis de vibra980 em intervalos de SOm nas direc;:6es norte
e leste da mina Saiva (Tabela 04).
23
4 CONCLUSAO
Existe uma gama de atividades desenvolvidas pelo homem, cada uma com
seu processo, metodologia e objetivo especifico. Nao obstante a isso, ciemcias como
a rnaternatica e a fisica estao intima mente ligadas de forma intrinseca a essas
atividades. Tais ci€mcias, se analisadas de forma racional e 16gica, podem contribuir
significativamente na melhoria e ate mesma na mudan<;a de procedimentos para a
realiza9ao destas atividades. A rnatematica e uma ciencia viva e dinamica. Par ela
podem-se observar fen6menos naturais que se encaixam perfeitamente em modelos
que vao muito alt~m de nossa imaginagao. Porem, mesmo a matematica sendo
composta de cit leu los e expressoes consideradas muitas vezes de
incompreensiveis, e preciso sensibilidade e paixao para se trabalhar com ela. Epreciso imaginar 0 imaginavel, ver adiante, 0 pronto. Esta sensibilidade junto acapacidade de extra polar nossos pensamentos geraram matematicos como
Pitagoras, Galileu, Newton, Fibonnacci e Lagrange, entre outros grandes.
Porem, face ao avanc;o tecnologico, fundamentado nos principios e teoremas
desenvolvidos por grandes mate maticos, a verdadeira matematica passou a ser urna
ferrarnenta para poucos. Tornou-se facil 0 calculo de operac;:Oes que ate alguns
seculos atras s6 erarn desenvolvidos por pessoas eruditas, estudiosas no assunto.
Hoje basta apenas usar a calculadora e temos as soluc;oes que queremos. A
fundamentac;:ao logica esta sendo esquecida. A matematica real, da vida real, se
baseia em equipamentos sofisticados e descomplicados sem dar muita importancla
a questionamentos tais como: como se chegou a isso, au em que se baseia isso.
Neste trabalho procurou-se unir esta ambigOidade. Aqui foi trabalhada a
utiliza~aoreal de uma ferramentamatematica, Interpola~aode Lagrange, sem
perder sua fundamentac;:ao teorica, porem utilizando-se a informatica como apoio
para resoluc;:ao dos calculos mate maticos mais complexos.
Sugiro que, tanto na graduac;ao como em especializac;:oes, estas ideias de
fundamentac;:6es das ferramentas matematicas nao passem desapercebidas, seja
nas disciplinas filos6ficas, seja nas disciplinas metodol6gicas.
24
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