puntos de lagrange.pdf

5/20/2018 Puntos de Lagrange.pdf

1/20

Puntos de Lagrange

Juan David Garca Fuentes

24 de mayo de 2012

Resumen

En este trabajo se estudia el problema de los tres cuerpos restringido a orbitas circu-lares. Deduciendo tambien los conocidos como puntos de Lagrange, los cuales son solu-ciones estacionarias, en el sistema de referencias solidario con las masas principales1, deeste problema. Asimismo, tambien se estudiara la estabilidad de dichos puntos. Por ulti-

mo se hablara acerca de los asteroides troyanos y el aprovechamiento de los puntos deequilibrio para expediciones cientficas.

1. Introduccion

Cuando pensamos en orbitas, imaginamos un cuerpo celeste describiendo un crculo ouna elipse alrededor de otro. Esta es la situacion mas simple, pero no es la unica posible,ni mucho menos. En nuestro Sistema Solar los planetas estan muy separados entre s, ysus masas son muchsimo menores que la del Sol; por eso se mueven en orbitas elpticasalrededor de este, y las perturbaciones que ejercen unos sobre otros son muy pequenas. Aefectos practicos, se puede calcular el movimiento de cada planeta con bastante precisionconsiderando unicamente la atraccion gravitatoria del Sol. Este problema es resoluble y

tambien reducible al problema de un cuerpo ba jo la accion de un potencial central; sussoluciones son las sencillas orbitas elpticas.

Cuando hay mas de dos cuerpos involucrados, el problema no se puede resolveranalticamente. Debemos, por tanto, recurrir a aproximaciones o a calculos numericos. Nisiquiera el llamado problema de los tres cuerpos, el que plantea el estudio del movimientode tres cuerpos de cualquier masa sometidos a su atraccion gravitatoria mutua, tiene unasolucion general que pueda expresarse con formulas matematicas. S que la tiene un casoparticular del problema de los tres cuerpos, el llamado problema de los tres cuerpos re-stringido circular, en el que se postula que la masa de uno de los cuerpos es despreciablerespecto a la de los otros dos, y que estos ultimos tienen orbitas circulares.

El problema de los tres cuerpos restringido circular tiene cinco soluciones estacionarias,cinco puntos en los que un objeto pequeno permanece en equilibrio estacionario respecto

de los otros dos; son los llamados puntos de Lagrange o puntos de libraci on. El objeto,visto desde los dos cuerpos grandes, parece inmovil en el cielo. Estos puntos de Lagrangese identifican con la letra L seguida de un numero, desde 1 hasta 5.

En 1772, el matematico talo-frances Joseph-Louis Lagrange estaba trabajando enel celebre Problema de los tres cuerpos cuando descubrio una interesante peculiaridad.Originalmente, trataba de descubrir una manera de calcular facilmente la interacciongravitatoria de un numero arbitrario de cuerpos en un sistema.

El trabajo de Lagrange lo llevo a plantear la hipotesis de un tercer cuerpo de masadespreciable en orbita alrededor de dos cuerpos mas grandes que ya estuvieran girandoa su vez en orbita cuasi circular. En un sistema de referencia que gira con los cuerpos

1Se entenderan las masas principales como aquellas dos cuyos efectos gravitatorios son apreciables sobre elresto de cuerpos que componen el sistema.

1


2/20

2 Problema restringido de tres cuerpos. Metodos matem aticos para la mecanica

mayores, encontro cinco puntos fijos especficos en los que el tercer cuerpo, al seguir laorbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos fueron llamadospuntos de Lagrange en su honor. En el caso mas general de orbitas elpticas no hay yapuntos estacionarios sino que mas bien se trata de un area de Lagrange.

2. Problema de los tres cuerpos restringido a orbitas

circulares.

Consideremos un sistema dinamico aislado que consista en tres masas interactuantesgravitatoriamentem1, m2 y m3. Supongamos que la tercera masa es mucho menor quelas otras dos, por lo que tiene efectos despreciables sobre el movimiento de las mismas.Mas aun, supongamos que las dos masas primarias m1 y m2 realizan orbitas circularesalrededor del centro de masas comun a ambas. A este problema se le conoce como elproblema de tres cuerpos restringido a orbitas circulares.

Figura 1: Movimiento de dos cuerpos en orbitas circularesentorno a su centro de masas.

Vamos a definir un sistema de coordenadas cartesiano ( , , ) en un referencial inercialcuyo centro coincida con el centro de masas C de los dos cuerpos masivos. Vamos a escogerlos ejer tal que el plano sobre el que orbitan las dos masas coincida con el plano , , yde forma que m1 y m2 esten situadas sobre el eje en el instante t=0 ver figura (1).

Supongamos que R es la distancia entre las dos masas primarias, que permanececonstante,r1 yr2 son las distancias al origen de las masas m1 ym2 respectivamente, lascuales son constantes. Si es la velocidad angular orbital, de la tercera ley de Kepler sededuce que,

2 = GM

R3 (1)

r1r2

= m2

m1(2)

dondeM=m1+ m2.Es conveniente elegir nuestra unidad de longitud de forma que R = 1, y nuestra

unidad de masa de forma que GM = 1. De aqu sigue, fijandonos en (1), que = 1.Sin embargo, continuaremos manteniendo en nuestras ecuaciones para mantener laclaridad. Definamos 1 = Gm1 y 2 = Gm2 = 1 1. Se ve facilmente2 que r1 = 2 y

2A partir del estudio del sistema de dos cuerpos en funcion de la partcula reducida se ve que la distancia

de las dos masas respecto al centro de masas de ambas vienen dadas por r1 = Rm2/M y r2 = Rm1/M. Ennuestro estudio hemos hecho R = 1, as como hemos escogido GM= 1, lo que conduce a que G = 1/M. Estasdos elecciones llevan a r1 = Gm2 = 2 y r2 = Gm1 = 1.

2


3/20

2.1 Integral de Jacobi Metodos matem aticos para la mecanica

r2= 1 r1= 1. Por tanto las masas orbitantes m1 y m2 poseen los vectores posicion,r1 = (1, 1, 0) =2( cos t, sin t, 0) (3)r2 = (2, 2, 0) =1(cos t, sin t, 0) (4)

Digamos que la tercera masa, de la cual aun no hemos dicho nada, tiene el vectorposicion r = ( , , ). Su movimiento sera producido por la interaccion gravitatoria conlas dos masas primarias. Las componentes cartesianas de su ecuaci on de movimientoseran,

= 1( 1)

31 2

( 2)32

(5)

= 1( 1)

31 2

( 2)32

(6)

= 1

31 2

32(7)

donde1 y 2 es la distancia de la tercera masa con las masas m1 y m2 respectivamentey tienen la siguiente forma,

21 = ( 1)2 + ( 1)2 + 2 (8)22 = ( 2)2 + ( 2)2 + 2 (9)

Ya hemos planteado por completo el problema y estamos en condiciones de buscar lospuntos de Lagrange. Sin embargo, vamos a hacer un inciso sobre el sistema de referenciasen el que vamos a trabajar, pues no va a ser el inercial visto en la figura (1), sino quesera uno no inercial.

2.1. Integral de Jacobi como constante de movimiento.

Vamos a ver ahora una constante de movimiento en este problema. Consideremos la

funcion

C= 2

11

+22

+ 2( ) 2 2 2 (10)

La derivada temporal de esta funcion puede ser escrita como,

C= 21 121

22 222

+ 2( ) 2 2 2 (11)

Pro otra parte, de las ecuaciones(3)-(4) y (8)-(9) que,

1 1 = (1+ 1) + (1 1) + + + (12)2 2 = (2+ 2) + (2 2) + + + (13)

Combinando las ecuaciones (5)-(7) con las expresiones previas, se obtiene que:

C= 0 (14)

En otras palabras, la funcion C conocida como Integral de Jacobi es una con-stante de movimiento.

Ahora podemos reordenar la ecuacion (10) para dar,

12

(2 + 2 + 2)

11

+22

= h C

2 (15)

donde es la energa (por unidad de masa) dem3,h= r r es el momento angular (porunidad de masa) y = (0, 0) es la velocidad angular orbital de las masas principales(m1 y m2).

Notese que h no es una constante de movimiento. De hecho, tampoco lo es. Laintegral de Jacobi es la unica constante de movimiento en el problema de trescuerpos restringido a orbitas circulares.

3


4/20

2.2 Sistema de referencias co-rotante. Metodos matem aticos para la mecanica

2.2. Sistema de referencias co-rotante.

Para el estudio del sistema de tres masas vamos a situarnos en un sistema de referenciasque rote con velocidad angular sobre un eje normal al pmano orbital de las masasprimarias. Con esta eleccion, dichas masas apareceran estacionarias en el nuevo marco dereferencias.

Vamos a definir el sistema cartesiano (x,y,z) en el sistema rotante. Elegimos los ejertal que las masas primarias esten situadas sobre el eje X, y el ejeZsea paralelo al definidopreviamente como , sobre el cual se situaba el vector velocidad angular en el sistemainercial. Por consiguiente, las masas primarias tienen vectores posici on fijos en el nuevosistemar1= 2(1, 0, 0) yr21(1, 0, 0). Por ultimo la masam3tendra una posicion dadapor r= (x,y,z) ver figura (2).

Figura 2: Sistema de referencia no inercial que utilizaremos enlos planteamientos.

El inconveniente de elegir un sistema no inercial para describir el movimiento es quedebemos considerar las fuerzas ficticias que aparecen. De acuerdo con las ecuaciones demovimiento para sistemas no inerciales, la ecuacion diferencial que describe la trayectoria

de la tercera masa en este sistema no inercial es,

r+ 2 r= 1(r r1)

31 2

(r r2)32

( r) (16)

donde= (0, 0, ) y,

21 = (x + 2)2 + y2 + z2 (17)

22 = (x 1)2 + y2 + z2 (18)Los terminos que aparecen el la ecuacion (16) corresponden a la aceleracion deCori-

olis, el segundo termino a la izquierda de la igualdad, y a la aceleracion centrfuga, elultimo de la ecuacion. Podemos escribir las ecuaciones para cada una de las coordenadas,

x 2 y = 1(x + 2)

31 2

(x

1)

32+ 2x (19)

y+ 2 x = 1y

31 2

y

32+ 2y (20)

z = 1z

31 2

z

32(21)

Ahora podemos intentar buscar la funcion potencialU que proporciona estas fuerzascomo F =U. Supondremos que el potencial no depende de la velocidad, por lo quetenemos,

x 2 y = Ux

(22)

y+ 2 x =

U

y (23)

z = Uz

(24)

4


5/20

2.3 Puntos de Lagrange Metodos matem aticos para la mecanica

DondeUes la suma de los potenciales centrfugo y gravitatorio, dado por,

U= 11 2

2

2

2 (x2 + y2 + z2) (25)

Ahora, a partir de las ecuaciones (22),(23) y (24), multiplicando por x, y y z respec-tivamente:

xx 2 xy = x Ux

(26)

yy+ 2 xy = y Uy

(27)

zz = z Uz

(28)

Y si sumamos estas tres ecuaciones obtenemos que,

d

dt1

2 (x2

+ y2

+ z2

) + U

= 0 (29)

En otras palabras,C= 2 U v2 (30)

es una constante de movimiento conocida como la integral de Jacobi, donde v2 = x2 +y2 + z2.

Notese que la integral de Jacobi es menos el doble de la energa total por unidad demasa en el marco de referencia giratorio: el primer termino se refiere a la energa energacinetica y el segundo representa un potencial que engloba el gravitatorio y el centrfugo.Observemos que la masa m3 esta restringida a moverse en regiones para las cuales severifique que,

2 U

C (2,4) (31)

debido a quev2 es una cantidad no negativa.

2.3. Puntos de Lagrange

Ahora que tenemos la expresion algebraica del potencial, podemos buscar los puntosde equilibrio quem3 puede encontrar en el sistema de referencias giratorio, los conocidoscomo puntos de Lagrange o de libracion. Esto es, en el sistema rotante, la masa m3permanecera en reposo cuando este situada en uno de estos puntos. Si volvieramos alsistema inercial, la masa m3 situada en un punto de Lagrange girara en torno al centrode masas con una velocidad angular . En los calculos siguientes consideraremos, sinperdida de generalidad, que m1 m2.

Los puntos de Lagrange satisfacen que r = 0 y r = 0 en el sistema no inercial. Esto

conduce, fijandonos en las ecuaciones (22)-(24),

U

x =

U

y =

U

z = 0 (32)

Si combinamos (21) y (24)vemos que:

U

z =

131

+232

z (33)

Como lo que aparece entre parentesis es positivo, concluimos que la unica solucion posiblepara encontrar un punto de equilibrio es quez = 0, es decir, la masam3tendra sus puntosde equilibrio en el plano X Y.

Si z = 0, a partir de (17) y (18) es trivial obtener que,

121+ 2

22= x

2 + y2 + 12 (34)

5


6/20


donde hemos hecho uso de que 1+ 2= 1.Podemos escribir el potencial obtenido anteriormente, haciendo = 1 como,

U= 1

1

1+

212

2

1

2+

222

+

122

(35)

Los puntos de Lagrange satisfacen que,

U

x =

U

1

1x

+ U

2

2x

= 0 (36)

U

u =

U

1

1y

+ U

2

2y

= 0 (37)

lo cual se convierte, tras muchas cuentas, en lo siguiente:

1

1 31

21

x + 2

1

+ 2

1 32

22

x 1

22

= 0 (38)

11 3121

y1+ 21 32

22 y

2 = 0 (39)

Estas ecuaciones son las que nos proporcionan las coordenadas (x, y) que son extremosde la funcion potencial.

Ahora bien, una solucion obvia de (39) es y = 0, correspondiente a puntos de La-grange situados sobre el eje X. Entonces debemos usar la ecuacion (38) para obtener lacoordenadaXde los puntos de Lagrange con y = 0.

Llamamos L1 al situado entre las masas m1 y m2, L2 al situado a la derecha de lamasam2 y L3 el que esta a la izquierda de m1 (ver figura (2)).

Deduccion de L1

Con lo expuesto anteriormente, y sabiendo que 1 y 2 son las distancias (valores

positivos) deL1a las masasm1ym2respectivamente, tenemos quex= 2+1= 12y que 1= 1 2.

Figura 3: Esquema entre las distancias de ambas masas a L1

Entonces, a partir de (38), junto con las expresiones anteriores y la condicion y = 0,llegamos a la ecuacion,

231

= 32(1 2+ 22/3)(1 + 2+ 22)(1 2)3

(40)

Asumiendo que 2 13, podemos encontrar una solucion aproximada de (40) medi-nate la expansion en potencias de 2,

= 2+22

3 +

323

+5142

81 + O(52) (41)

3En el sistema Sol-Tierra 2 0,01

6


7/20


Esta ecuacion puede ser invertida para dar,

2= 2

3

3

9 23

4

81 + O(5) (42)

donde:

=

231

1/3

(43)

se ha asumido que es un parametro pequeno4.Hemos obtenido que el punto L1 esta situado entre las masas m1 y m2 a una

distancia de, aproximadamente, (2/31)1/3 de la masa m2.

Deduccion de L2

En este punto de equilibrio tenemos la siguiente situacion,


Se ve que en este caso x = 2+ 1= 1+ 2 y 1= 1 + 2. Con estas expresiones,a partir de(38) se llega a que,

231

= 32(1 + 2+

22/3)

(1 + 2)2(1 32) (44)

Si seguimos el mismo proceso que anteriormente y expandimos en potencias de 2para luego invertir se obtiene,

= 2 22

3 +

323

+4281

+ O(52) (45)

2 = +2

3

3

9 31

4

81 + O(5) (46)

Observamos que las diferencias con el valor de2para el puntoL1estan a partir de los

terminos de segundo orden. Como 1, resulta queL1yL2estan aproximadamentea la misma distancia de m2, sobre la recta que une m1 y m2, uno a cada ladode m2.

Deduccion de L3

Finalmente, para L3 tenemos que x = 2 1= 1 2 y 2= 1 + 1.A partir de (38) se llega a,

21

= (1 31)(1 + 1)2

31(21+ 31+ 3)

(47)

4Como 2 1, por la ecuacion (41) 2

7


8/20



Ahora hemos utilizado1 en lugar de 2, lo hacemos as porque1< 2. A continuacionhacemos1= 1 , expandimos (47) en potencias dee invertimos,

21

= 12

7 +

1442

49 +

15673

343 + O(4) (48)

= 7

12

21

7

12

21

2+

13223

20736

21

3+ O(

21

4) (49)

donde se ha asumido que 2/1 es un parametro pequeno5.Hemos obtenido, por tanto, que el punto de equilibrio L3 esta situado a la

izquierda de m1 (lado opuesto a m1) a una distancia, aproximadamente de72/121 de la masa m1.

Deduccion de L4 y L5.

Para los puntos L4 y L5 ya no tenemos que las coordenadas y sean cero. Acudimosde nuevo a las condiciones de equilibrio dadas en (36) y (37). Una solucion obvia es quese verifique,

U

1=

U

2= 0 (50)

lo que conduce, a partir de la ecuacion (35) a,

1= 2= 1 (51)

o bien, escribiendo los valores de 1 y 2,

(x + 2)2 + y2 = (x

1 + 2)

2 + y2 = 1 (52)

donde se ha utilizado que 1 = 1 2. Las dos soluciones a las ecuaciones anterioresson:

x = 1

2 2 (53)

y =

3

2 (54)

Una forma bonita de visualizar estas soluciones es dibujar algunas de las curvas de lasfamilias de curvas dependientes del parametro2. Se ve que las ecuaciones que se debenverificar estan dadas en (52). Tenemos dos circunferencias, centradas en las posiciones delas masas, que se cortaran en dos puntos. Dichos puntos son las soluciones que buscamos.

5En el sistema Sol-Tierra, para L3, 2/1

8


9/20


Figura 6: Algunas de las curvas pertenecientes a la familiadada en (52). Las intersecciones entre ellas son las

soluciones a dichas ecuaciones. Sobre el eje X se situan las

masas correspondientes a cada una de las situaciones. Para un

mismo color, la masa de la izquierda es m1 y la de la derecham2

Se observa claramente como las circunferencias estan centradas en cada una de lasmasas, con radio unidad. Los puntos de corte de una pareja de circunferencias forman

dos triangulos equilateros con las posiciones de las masas m1y m2, situadas en los centrosde dichas circunferencias.

Por tanto, concluimos que Los puntos de Lagrange L4 y L5 foman triangulosequilateros con las posiciones de las masas primarias. De modo que la distanciade cualquiera de las masas a uno de estos puntos es 1 (en nuestro sistema de unidades).

Hemos calculado todos los puntos de equilibrio de este sistema de dos masas primariasen orbitas circulares alrededor del centro de masas comun a ambos. Un esquema se exponeen la figura (7).

L1 L2 L3 L4 L5

x 2 (2/31)1/3 2+ (2/31)1/3 1 72/121 1/2 2 1/2 2

y 0 0 0

3/2

3/2

1 1 (2/31)1/3 1 + (2/31)1/3 72/121 1 1

2 (2/31)1/3 (2/31)

1/3 1 + 72/121 1 1

Cuadro 1: Tabla con algunos valores aproximados para losdistintos puntos de libracion. Se han tomado solo los primeros

terminos de los desarrollos en serie.

9


10/20

2.4 Superficies de velocidad cero. Metodos matem aticos para la mecanica

Figura 7: Esquema de todos los puntos de libracion. Se hanrepresentado para 2= 0,1.

2.4. Superficies de velocidad cero.

Ahora que tenemos la situacion de los puntos L, vamos a estudiar las superficies develocidad cero. Estas son importantes fsicamente porque delimitan las regiones de lasque la masa m3 queda excluida dinamicamente.

Consideremos la superficieV(x,y,z) =C (55)

donde

V = 2U= 211

+22

2+ x2 + y2 (56)

Por como se ha construido V 0, lo que conduce a partir de (30)que si m3 tiene laintegral de Jacobi C y esta situada en la superficie especificada en (55), entonces debetener velocidad cero. Regiones en las cuales se cumpla que V < Cquedan excluidas parael movimiento de la masa con dicha integral de Jacobi C.

Camos a evaluar los distintos Ci, integral de Jacobi correspondiente al punto Li.Cuando2 1, es sencillo ver que,

C1 3 + 34/32/32 102/3 (57)C2 3 + 34/32/32 142/3 (58)

C3 3 + 2 (59)C4 3 2 (60)C5 3 2 (61)

Fijemonos en que C1 > C2 > C3 > C4 = C5. En (8) se representan algunas curvas denivel de estas superficies (todas para 2= 0,1).

10


11/20

2.4 Superficies de velocidad cero. Metodos matem aticos para la mecanica

(b) Situacion C > C1. La masa m3 esta ex-cluida de la region interior a las dos curvasinternas y la exterior a la externa.

(d) Situacion C= C1. La masa m3 esta ex-cluida de la region situada entre las curvasinternas y la externa.

(f) Situacion C=C2. La masa m3 esta ex-cluida de la region contenida entre las su-perficies interna y externa.

(h) Situacion C= C3. La masa m3 esta ex-cluida de la region interior a la curva.

(i) Situacion C > C1. La masa m3 esta ex-cluida de la region interior a las curvas.

Figura 8: Estas figuras muestran la interseccion entre lassuperficies de velocidad cero y el plano XY para distintos

valores de C. Se ilustra as las zonas que son prohibidasdinamicamente para

m3 para distintos valores de

C.

11


12/20

2.5 Estabilidad de los Puntos de Lagrange. Metodos matem aticos para la mecanica

Si agrupamos en un mismo grafico varias de estas curvas de nivel, se obtiene algocomo esto,

Figura 9: Superficies de velocidad cero calculadas para 2= 0,1

En la figura anterior se puede ver que para pequenos calores de2, los puntosL1y L2son casi equidistantes de la masa m2. Ademas,m2, L3, L4y L5se situan aproximadamenteen una circunferencia de radio unidad centrada en m1. Cuando2 es pequeno, los puntosL3, L4 y L5 comparten la misma orbita que m2 realiza alrededor de m1 (en el sistema

inercial). Por ultimo, visto desde cualquiera de las masas principales, L4 y L5 forman unangulo de60o con respecto a la lnea que une ambas masas.

2.5. Estabilidad de los Puntos de Lagrange.

Hemos obtenido cinco puntos de equilibrio para la masa m3en el sistema de refetenciasrotante. Vamos ahora a determinar cuales de dichos puntos son estables ante pequenosdesplazamientos.

Las ecuaciones de movimiento param3en el sistema no inercial estan especificadas enlas ecuaciones (22)-(24). Notese que el movimiento en el plano XY es complicado debidoa los terminos de aceleracion de Coriolis. Sin embargo, el movimiento paralelo al ejeX simplemente corresponde a la contribucion del potencial U6. Debido a esto, podemosestudiar la estabilidad frente a pequenos desplazamientos en Z viendo la segunda derivada

del potencial. Como todos los puntos de Lagrange estan situados en el plano z = 0, sievaluamos la segunda derivada para ese valor de z ,

2U

z2

z=0

= 131

+232

>0 (62)

Esta condicion se satisface en cualquier punto del plano XY. Con esto se ve que lospuntos de Lagrange son estables frente a pequenos desplazamientos paralelos al eje Z. Esmomento de estudiar pequenos desplazamientos contenidos en el plano XY.

Supongamos que un punto de Lagrange esta situado en las coordenadas (x0, y0, 0).

6La aceleracion de Coriolis no involucra componente Z, ya que es perpendicular al eje Z porque tiene la

forma t.

12


13/20


Consideremos que los pequenos desplazamientos vienen dados por,

x = x0+ x

y = y0+ y

z = 0

donde x y y representan los desplazamientos del equilibrio. Expandiendo U(x,y, 0)alrededor de dicho punto de Lagrange en derie de potencias y quedandonos con los termi-nos de segundo orden,

U=U0+ Uxx + Uyy +1

2Uxx(x)

2 + Uxyxy+1

2Uyy(y)

2 (63)

donde U0 representa el potencial en el punto de equilibrio y el resto de los subndicesindican derivadas parciales con respecto a las variables indicadas en ellos7.Sin embargo,por como buscamos los puntos de equilibrio, Ux = Uy = 0, simplificando la expresion,

U =U0+1

2

Uxx(x)2 + Uxyxy+

1

2

Uyy(y)2 (64)

Finalmente, sustituyendo (63)-(63), y (64) en las ecuaciones de movimiento (22) y(23), resulta,

x 2y = Uxxx Uxyy (65)y+ 2x = Uxyx Uyyy (66)

donde hemos hecho = 1.Buscamos a continuacion soluciones para las ecuaciones anteriores de la forma x(t) =

x0 exp(t) y y(t) =y0 exp(t). Obtenemos,

2 + Uxx 2+ Uxy2+ Uxy

2 + Uyy x0y0 =

00 (67)

Esta ecuacion solo tiene solucion distinta de la trivial si el determinante de la matrizde coeficientes es cero. Se debe verificar,

4 + (4 + Uxx+ Uyy)2 + (UxxUyy U2xy) = 0 (68)

Ahora es conveniente definir las siguientes cantidades,

A = 1

31+

232

(69)

B = 3

151

+252

y2 (70)

C = 31(x + 2)

51 +

2(x

1)

52

y (71)

D = 3

1(x + 2)2

31+

2(x 1)232

(72)

donde todos los terminos estan evaluados en el punto (x0, y0, 0). Se sigue entonces que,

Uxx = AD 1 (73)Uyy = AB 1 (74)Uxy = C (75)

Consideremos los puntos de Lagrange co-lineales con las masas principales, L1, L2 yL3. Todos ellos se situan en el eje X y est an caracterizados por y = 0,

21 = (x+2)

2

7Se ha considerado, por motivos fsicos, que el orden de la derivacion parcial con respecto a x e y esindiferente

13


14/20


y 22 = (x 1)2. Debido a esto, de las ecuaciones (69)-(72) sigue que B = C = 0 yD = 3A. A su vez, se llega a que Uxx =1 2A, Uyy = A 1 y Uxy = 0. Con todasestas simplificaciones, la ecuacion (2.5) se convierte en,

2 + (2 A) + (1A)(1 + 2A) = 0 (76)

donde = 2. Ahora bien, para que un punto de Lagrange sea estable debe darse quetodas las races de la ecuacion () sean imaginarias puras (recordemos que hemos buscadosoluciones con exp(t)). Para que se cumpla esta condicion, las dos races de la ecuacionprevia,

=A 2

A(9A 8)

2 (77)

deben ser reales y negativas. Eso significa que el criterio de estabilidad es el siguiente,

8

9 A 1 (78)

La figura (10) muestraA calculada para los tres puntos de equilibrio co-lineales como

funcion de2, para todos los valores permitidos del parametro, es decir para 0< 2< 0,58

. Se puede ver como A es siempre mayor que la unidad para los tres puntos de equilibrio.Concluimos entonces que los puntos de Lagrange co-lineales, L1, L2 y L3 soninestables.

Figura 10: Las lneas continua y dicontinuas de trazoscorto y largo hacen referencia a los puntos L1, L2 y L3,respectivamente.

A continuacion vamos a considerar los puntos L4 y L5. Estos puntos se caracterizanporque1= 2= 1.Esto conduce a que, con las mismas definiciones hechas anteriormenteen (69)-(72),A = 1,B = 9/4,C=

27/16(122) yD = 3/4. Sigue queUxx = 3/4,

Uyy = 9/4 y Uxy =

27 160(1 22), donde el signo superior se refiere al L4 y elsigno inferior a L5. La ecuacion (2.5) se convierte en,

2 + +27

42(1 2) = 0 (79)

8Recordemos que estamos haciendo los calculos param1 > m2

14


15/20

3 El Sistema Solar Metodos matem aticos para la mecanica

para ambos puntos, donde = 2. Como antes, el criterio de estabilidad es que las dosraces deben ser reales y negativas. Este es el caso siempre que 1 < 272(1 2), lo queproporciona el criterio de estabilidad,

2< 1

21

23

27 = 0,0385 (80)

En unidades sin normalizar,m2

m1+ m2


16/20

3.1 Asteroides Troyanos. Metodos matem aticos para la mecanica

Concluimos, por tanto, que los calculos realizados en la seccion anterior son aplicables acualquier sistema binario formado por Sol-Planeta-Asteroide, con la excepcion de Mer-curio cuya excentricidad es notable y la aproximacion a orbita circular sera un pocoforzada. Como consecuencia, cualquiera de estos planetas podra tener acompanantes,asteroides que esten situados en sus puntos de Lagrange L4 y L5 (los estables) y que

orbiten alrededor del dentro de masas del sistema Sol-Planeta con la misma velocidadangular que ellos.

3.1. Asteroides Troyanos.

Se conocen comoAsteroides Troyanosa aquellos asteroides que comparten orbita conalgun planeta, situandose en alguno de los puntos de libracion estables (L4 o L5) delsistema Sol-Planeta.

El nombre troyanos se debe a que, por convencion, cada miembro recibio el nombrede una figura mitologica de la Guerra de Troya. El desarrollo de los acontecimientos sepodra resumir en lo que sigue,

- E. E. Barnard realizo la primera observacion registrada de un asteroide troyano,

1999 RM11, en 1904, pero no lo identifico como tal ni le dio especial importancia.Barnard creyo probablemente que lo que observaba era una estrella o el sateliteFebe, de Saturno, que haba sido descubierto recientemente y que en el momentode la observacion se encontraba a una distancia angular muy pequena del asteroide.La identidad del objeto no se descubrio hasta que su orbita se reconstruyo en 1999.

- En febrero de 1906 cuando Max Wolf descubrio el primer asteroide troyano que seclasifico como tal. Se trataba de (588) Aquiles, un troyano situado en el punto deLagrangeL4 del sistema Sol-Jupiter.

- En los anos 1906-1907 el aleman August Kopff descubrio otros dos troyanos deJupiter: (617) Patroclo y (624) Hector.

- Se siguieron descubriendo asteroides troyanos de Jupiter.

- En 1990 se descubrio el primer troyano en un planeta distinto de Jupiter; (5261)Eureka, un troyano perteneciente a Marte.

- El 21 de agosto de 2001 se descubrio el primer troyano de Neptuno, el asteroide2001QR322, que fue el primer troyano descubierto en un planeta gigante del SistemaSolar distinto de Jupiter.

- A fecha de abril de 2010 se conocan mas de 4000 troyanos y solamente 10 de ellosno pertenecen a Jupiter.

- En octubre de 2010 fue descubierto por el telescopio espacial WISE (Wide-FieldInfrared Survey Explorer) el primer troyano que acompana a la Tierra. Se trata deun asteroide de entre 200 y 300 metros de diametro, al que se ha bautizado como2010 TK7 [5].

La forma de detectarlo ha sido medir su posicion a lo largo del ano y reconstruirsu orbita alrededor del Sol. Como la orbita de la Tierra no es circular sino elptica,lo que hay no es un punto de equilibrio, sino un area (en el plano que contienea la orbita terrestre) donde los cuerpos situados all estan confinados. Por eso laposicion relativa de este troyano terrestre variara con los anos con un cierto periodo(acercandose y alejandose su orbita), que se estima que es de unos 395 anos[6].

El asteroide esta a una distancia aproximada de 80 millones de kil ometros de laTierra en una orbita estable por lo menos durante los proximos 10.000 anos y en supunto mas cercano a la tierra estara en un mnimo de 20 millones de kilometros, locual sera unas 50 veces la distancia entre la Tierra y la Luna.

16


17/20

3.2 Misiones espaciales Metodos matem aticos para la mecanica

3.2. Misiones espacialesNo solo se situan cuerpos naturales en estos puntos de equilibrio, el hombre los

aprovecha para mandar all tanto telescopios como estaciones cientficas con el fin deque permanezcan en una region del espacio conocida y estable al menos durante alguntiempo.

Cuando hablamos del sistema Sol-Tierra, los puntos utilizados son el L1 y L2 pormotivos de cercana y por tanto economicos. Recordemos que tanto L3 como L4 estan aunos 150 millones de kilometros, mientras que L1 y L2 estan unas 100 veces mas cerca.Algunas de las misiones que se estan llevando a cabo en el sistema Sol-Tierra son lassiguientes,

17


18/20

3.3 Colonizacion de los puntos de Lagrange Metodos matem aticos para la mecanica

Mision SituacionGRAIL (Gravity Recovery and Interior Laboratory) L1

ACE (Advanced Composition Explorer) L1SOHO (Observatorio Solar Helioesferico) L1

WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe ) L2

- GRAIL [7]tiene como objetivo estudiar la estructura interna de la Luna mediantelos efectos gravitatorios que esta le produce.

- ACE [8] se encarga de analizar la composicion de partculas como por ejemplo elviento solar, el propio medio interestelar, etc.

- SOHO [9] estudia el Sol. En condiciones normales transmite continuamente a 200Kbps de fotografas y otras medidas solares. Los datos de actividad solar del SOHOse usan para predecir las llamaradas solares, que tan perjudiciales pueden resultarpara los satelites.

- WMAP [10], sumision es estudiar el cielo y medir las diferencias de temperaturaque se observan en la radiacion de fondo de microondas, un remanente del Big Bang.

Figura 11: Imagen tomada por WMAP del fondo cosmico demicroondas donde se muestran las diferencias de temperatura.

A parte de las mencionadas, hay algunas otras misiones activas, as como otras muchasprevistas para el futuro. Tambien hay algunas misiones en puntos de Lagrange del sistemaTierra-Luna (THEMIS [11]) que se encargan de estudiar la energa que se libera de lamagnetosfera y que intensifica las auroras boreales cerca de los polos.

3.3. Colonizacion de los puntos de Lagrange

La existencia de puntos que comparten orbita con la Tierra ha hecho incluso quese cree una subseccion de la NSS (National Space Society) llamada L5 Society. Sefundo en 1975 y promovan la colonizacion de los puntos de equilibrio L4 y/o L5 del

sistema Tierra-Luna. Publicaron sus propias revistas hasta 1987 [12].En verano de 1975 la NASA propuso un estudio estival sobre como podran ser las

futuras colonias espaciales que fue conducido por la Universidad de Stanford. El resultadofue el Toro de Stanford, un diseno propuesto para un habitat espacial capaz de albergarhasta 140000 residentes permanentes. Consiste en un toroide con un diametro de 1.8 kmque gira una vez por minuto para proveer una gravedad artificial de 1g debido a la fuerzacentrfuga.

Wernher von Braun ya haba propuesto con anterioridad una estacion espacial deforma anular rotativa en 1952.

Generalmente se considera a Arthur C. Clarke como el creador de la idea, ya que ensu obra 2001: Una odisea espacial(1968) aparece la idea a menor escala, implementadaen una nave espacial. En otra de sus historias, Cita con Rama (1973), se muestra unaidea similar, en el interior de un cilindro giratorio.

Pero no se debe olvidar que la Tierra posee un escudo magnetico natural del que noestaramos provistos en esas colonias espaciales, lo que representa un gran inconveniente.

18


19/20

3.3 Colonizacion de los puntos de Lagrange Metodos matem aticos para la mecanica

Figura 12: Recreaciones artsticas del Toro de Stanford.

19


20/20

REFERENCIAS Metodos matem aticos para la mecanica

Referencias

[1] Fitzpatrick, R.:Newtonian Dynamics.The University of Texas. Austin. 2011.

[2] Cornish, N. J.:The Lagrange Points

[3] Wang Sang Koon et. al.:Dynamical Systems, The Three-Body Problem, and SpaceMission Design. Caltech. Pasadena. 2006.

[4] Chenciner, A.:Three Body ProblemScholarpedia. 2007.

[5] Web de N.A.S.A.1.

[6] Web de N.A.S.A.2.

[7] G.R.A.I.L

[8] A.C.E

[9] S.O.H.O.

[10] W.M.A.P.

[11] Sonda espacialTHEMIS.

[12] L5 news[13] Toro de Stanford.

20
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton.pdfhttp://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton.pdfhttp://map.gsfc.nasa.gov/ContentMedia/lagrange.pdfhttp://www.cds.caltech.edu/~koon/book/KoLoMaRo_DMissionBk.pdfhttp://www.cds.caltech.edu/~koon/book/KoLoMaRo_DMissionBk.pdfhttp://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problemhttp://www.nasa.gov/mission_pages/WISE/news/wise20110727.htmlhttp://www.nasa.gov/mission_pages/WISE/news/wise20110727.htmlhttp://neo.jpl.nasa.gov/news/news173.htmlhttp://neo.jpl.nasa.gov/news/news173.htmlhttp://www.nasa.gov/mission_pages/grail/main/index.htmlhttp://www.srl.caltech.edu/ACEhttp://sohowww.nascom.nasa.gov/http://map.gsfc.nasa.gov/http://www.nasa.gov/mission_pages/themis/main/http://www.nss.org/settlement/L5news/index.htmlhttp://www.nss.org/settlement/L5news/index.htmlhttp://www.nss.org/settlement/L5news/index.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Stanford_torushttp://en.wikipedia.org/wiki/Stanford_torushttp://www.nss.org/settlement/L5news/index.htmlhttp://www.nasa.gov/mission_pages/themis/main/http://map.gsfc.nasa.gov/http://sohowww.nascom.nasa.gov/http://www.srl.caltech.edu/ACEhttp://www.nasa.gov/mission_pages/grail/main/index.htmlhttp://neo.jpl.nasa.gov/news/news173.htmlhttp://www.nasa.gov/mission_pages/WISE/news/wise20110727.htmlhttp://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problemhttp://www.cds.caltech.edu/~koon/book/KoLoMaRo_DMissionBk.pdfhttp://www.cds.caltech.edu/~koon/book/KoLoMaRo_DMissionBk.pdfhttp://map.gsfc.nasa.gov/ContentMedia/lagrange.pdfhttp://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton.pdf

puntos de lagrange.pdf

Documents