Paradoksy i sofizmaty

dr inż. Tomasz MartynInstytut Informatyki

Wydział Elektroniki i Technik InformacyjnychPolitechnika Warszawska

Warszawa, 9.10.2012 r.

Paradoks a sofizmat

• Paradoks – twierdzenie prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków.

• Sofizmat – rozumowanie świadomie błędne, mające na celu oszukanie słuchacza.

Sofizmat 1. Arytmetyczny

Twierdzenie. .

Dowód (przy wykorzystaniu liczb zespolonych):

Q.E.D.

Długi w dobrym stanie

tanio sprzedam

Sofizmat 2. Arytmetyczny

Twierdzenie. .

Dowód (całkowanie przez części):

Q.E.D.

∫ 𝑓 (𝑥 )𝑔 (𝑥 )𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )𝑔 (𝑥 )−∫ 𝐹 (𝑥 )𝑔 ′ (𝑥 )𝑑𝑥

Nic nie ma!!!

Sofizmat 3. „Wszyscy ludzie są tego samego wzrostu”

Twierdzenie. Każdy niepusty, skończony zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu.

Dowód (indukcja):

1) Każdy jednoelementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby jednakowego wzrostu.

2) Załóżmy teraz, że dowolny -elementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu.

Niech będzie dowolnym -elementowym zbiorem ludzi.

Wtedy zbiór zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu; analogicznie zbiór .

Zatem osoba jest tego samego wzrostu co osoba .

Q.E.D.

Sofizmat 4. „Warto wnosić bomby na pokład samolotu pasażerskiego”

Prawdopodobieństwo, że w samolocie pasażerskim jest bomba wynosi

Prawdopodobieństwo, że w samolocie są bomby wynosi więc

Q.E.D.

Zatem najlepiej, dla dobra swojego i pasażerów, wnieść na pokład własną bombę, bowiem swojej nie odpalimy, a prawdopodobieństwo, że na pokładzie jest jeszcze jedna jest astronomicznie małe.

Wypożyczalnia bomb pokładowych

Sofizmat 5. Geometryczny„60 = 58 = 59”

60 cm2 58 cm2 59 cm2

(nowojorski psychiatra L. Vosburgh Lyons)

Paradoks 1. Paradoks kłamcy

Epimenides (VI w. p.n.e.):

Eubulides (IV w. p.n.e.):

„To, co teraz mówię, jest kłamstwem.”Czyli:

Z: zdanie Z jest fałszywe

Jako Kreteńczykowi, uczciwość nakazuje mi

Państwa ostrzec, że wszyscy Kreteńczycy

to kłamcy.

Paradoks 2. Antynomia Russella

„Cyrulik sewilski goli w Sewilli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami.”

Czy cyrulik goli się sam?

Z = { X: X X }. Czy ZZ ?

• Jeśli ZZ, to Z spełnia warunek należenia do Z, więc ZZ.

• Jeśli ZZ, to Z nie spełnia warunku należenia do Z, więc ZZ.

ZatemZZ ZZ

Paradoks 2. Antynomia Russella (cd.)

A może istnieje „trzecia możliwość logiczna”?

Może, na przykład, cyrulik jest kobietą...

Niestety na golenie będzie musiał Pan

jeszcze trochę poczekać... Właśnie ktoś udowodnił, że w rzeczywistości cyrulik

nigdy nie istniał.

Paradoks 3. Dodatkowa wartość logiczna?

Z: zdanie Z jest fałszywe lub zdanie Z nie ma wartości logicznej

• Jeśli Z prawdziwe, to Z fałszywe lub nie ma wartości logicznej. Zatem antynomia:

Z prawdziwe Z nie jest prawdziwe

• Jeśli Z fałszywe, to Z prawdziwe i ma wartość logiczną. Zatem antynomia:

Z fałszywe Z prawdziwe

• Jeśli Z nie ma wartości logicznej, to Z nie jest fałszywe.

Paradoks 4. Paradoks Banacha-TarskiegoAksjomat wyboru: Dla każdej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych, można skonstruować zbiór (tzw. selektor) zawierający dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru tej rodziny.

Paradoks Banacha-Tarskiego: Istnieje rozkład kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na skończoną liczbę rozłącznych części, z których można złożyć, korzystając jedynie z obrotów i translacji, dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.

Delfijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?

Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie ołtarz Apolla, zachowując jego kształt sześcianu.

Banach i Tarski: A czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Dziękuję za uwagę