Matemtica bsica II Sistema de ecuaciones lineales

ContenidoContenido1INTRODUCCIN:2I.EXPLICAR METODO3SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES3SISTEMAS SIMTRICOS4MTODO DE CHOLESKY4II.DEDUCCION DE FORMULAS5III.PROGRAMA ALGORITMO MTODO CHOLESKY12IV.EJERCICIOS DESARROLADOS CON EL PROGRAMA DEL MTODO DE CHOLESKY EN MATLAB.14

INTRODUCCIN:La solucin de los sistemas de ecuaciones lineales es un tema clsico de las matemticas, en ideas y conceptos, de gran utilidad en ramas de cono cimiento tan diversas como la economa, biologa, fsica, psicologa, etc.La resolucin de sistemas casi de cualquier nmero de ecuaciones (10, 100, 1000, etc.) es una realidad hoy en da gracias a las computadoras, lo cual proporciona un atractivo especial a las tcnicas de soluciones directas interactivas: su propagacin, los clculos necesarios, la propagacin de errores, etc.sin embargo, todo lo anterior requiere una revisin de los conceptos bsicos sobre matrices, ortogonalizacin de vectores y la existencia y unicidad delas soluciones.

I. EXPLICAR METODOSOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESGran nmero de problemas prcticos de ingeniera se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo: Puede citarse la solucin de sistemas de ecuaciones no lineales, la aproximacin polinomial la solucin de ecuaciones diferenciales parciales. Un sistema de m ecuaciones lineales en n incognitas tiene la forma general

Puede demostrarse que el nmero mximo de vectores columna linealmente independientes de una matriz A es igual al numero mximo de vectores fila linealmente independientes Con la notacin matricial se puede escribir la ecuacin anterio como:Y correctamente como Ax=b.

Donde A es una matriz del sistema, el vector incgnita y b el vector de trminos independientes Dados a y b, se entiende por resolver el sistema, encontrar el valor x que lo satisfaga. Antes de estudiar las tcnicas que permita encontrar x se expondrn algunas consideraciones tericas

SISTEMAS SIMTRICOSEn caso de que la matriz coeficiente del sistema Ax = b sea simtrica, los clculos de la factorizacin (si es posible) se simplifican, ya que se reduce a:Esto disminuye considerablemente el trabajo, en particular cuando n es grande.

MTODO DE CHOLESKYUna matriz A cuyas componentes son nmeros reales, es positiva definida si y solo si los determinantes de A son positivas.

0, 0,, 0En caso de tener un sistema AX=b, con A positiva definida, la factorizacin de A en la forma L U es posible y muy sencilla ya que toma la forma L LT, donde L es triangular inferior.

L

Los clculos se reducen, ya que ahora vasta estimar n(n+1) elementos (los 0), en lugar de los n2 elementos de una factorizacin nominal (los tales que i j y los tales que i j). El nmero de clculos es prcticamente la mitad.II. DEDUCCION DE FORMULAS1. si se tiene un sistema de la forma AX=b donde la matriz A es simtrica y su determinante es mayor que cero.2. se aplica EL METODO CHOLESKY que es la factorizacin de A en la forma LU que toma la forma LLT 3. para poder factorizar la matriz L debe ser triangular superior.4. una vez hallado la matriz L 5. Se resolver el sistema Lc=b donde se encontrara la matriz columna C 6. luego con la matriz transpuesta LT se resuelve el sistema LTx=c de donde nos dar el resultado de las X

DEDUCCION AX=b

FACTORIZA A

= Matemtica bsica II Sistema de ecuaciones linealesPrimera fila por columnas (1, 2, 3, 4, 5)U.N.P.R. FICSA ING. CIVIL l21,1 = a1,1

= a1, 1 l1,1 l2,1 = a1,2

=

=

=

=

Segunda fila por columna (2, 3, 4, 5)

Tercera fila por columna (3, 4, 5)

Cuarta fila por columna (4, 5)

Quinta fila por columna (5)

Formulas de la deduccin de este algoritmo para un sistema de n ecuaciones

Luego resolver el sistema Lc = b

Luego resolver el sistema

III. PROGRAMA ALGORITMO MTODO CHOLESKY

El resultado de ejecutar este Programa, con las matrices de ejemplo sera:

IV.

IV. EJERCICIOS DESARROLADOS CON EL PROGRAMA DEL MTODO DE CHOLESKY EN MATLAB.Ejercicio N 1. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Mtodo de Cholesky, donde la Matriz A es Simtrica y Definida Positiva de orden 3 x 3:

Ejercicio N 2. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Mtodo de Cholesky, donde la Matriz A es Simtrica y Definida Positiva de orden 4 x 4: