paper de socavaciones

Estudio experimental de la influencia del estrato rocoso en la forma del foso de erosión producida por jet en salto de esquí.

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1. Introducción.

La mayor parte de los estudios de los foso de erosión aguas debajo de caídas de agua han sido motivados por la necesidad de evaluar la erosión máxima posible aguas abajo de los vertederos de las grandes presas. Todos estos estudios consideran que el material erosionable es no cohesivo y cuyo espesor es infinito. Muy pocos estudios abarcan otras características geométricas del foso (como longitud y anchura del foso) de erosión y sólo un estudio trata sobre la evolución temporal de la profundidad del foso de erosión. No existe ningún estudio en que se trate la influencia de un lecho rocoso en la geometría del foso que se produce en el material aluvial situado sobre él, en otras palabras, ningún artículo trata sobre la erosión sobre un lecho bifásico.

En la actualidad existe otra línea de investigación en el mundo de los fosos y es la erosión que se produce las caídas de agua en estratos rocosos. Estos estudios no serán tratados en esta tesina ya que consideramos que nuestro lecho rocoso es no erosionable. Por tanto, estos estudios quedan fuera de nuestro marco de estudio.

El siguiente capítulo trata básicamente sobre las diferentes fórmulas que existen para determinar la profundidad máxima de un foso de erosión en un lecho de espesor infinito de material no cohesivo. Este problema ha sido ampliamente estudiado a lo largo de la historia reciente de la hidráulica. En Mason et al. (1985) y del Agua (1993) podemos ver un resumen histórico de los diferentes autores y teorías.

La longitud del foso de erosión producido por un jet horizontal ha sido ampliamente estudiada y existen muchas formulaciones al respecto. En cambio, sólo hemos encontrado dos formulaciones sobre la longitud y la anchura del foso de erosión producido por una caída de agua.

2. Estimaciones de la profundidad máxima de erosión.

Existe una coincidencia histórica importante en cuanto a las variables que intervienen en el proceso, apareciendo únicamente discrepancias en los coeficientes de ajuste de los datos experimentales. Como problema endémico de estos estudios veremos que casi todos ellos se basan en datos tomados a nivel de modelo en laboratorio, por lo tanto se ajustan con variables escaladas, y si bien existe un acuerdo generalizado sobre la semejanza a aplicar para la modelización hidráulica (semejanza de Froude), la semejanza a aplicar en el caso de la granulometría no es tan sencilla, ya que las fuerzas preponderantes en el fenómeno de erosión / sedimentación son diferentes.

Todo ello conduce a dos problemas: en primer lugar hay muchas formulaciones que dimensionalmente no son correctas ya que los exponentes de ajuste obligan a utilizar constantes de corrección de unidades dimensionales, y por otra parte la mayor parte de fórmulas no resisten la aplicación de la semejanza de Froude, lo que en principio no las valida ni descarta, pero que obliga a emplearlas con las variables adaptadas a la escala de experimentación con que se ajustaron (modelo-prototipo).


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2.1. Bases teóricas.

Las bases teóricas de la erosión por chorro de agua no son muy diferentes a las usadas en el resto de fenómenos relacionados con el transporte de sedimentos. Se trata de compensar fuerzas. El primer caso que veremos es el resultado de compensar la velocidad ascensional del chorro con la velocidad de caída de la partícula. En el segundo caso veremos que el enfoque que se le da es ligeramente diferente, se trata de compensar las tensiones de fondo con las tensiones de inicio de movimiento. El primer caso sería más típico del transporte en suspensión mientras que el segundo sería característico del transporte de fondo. El tercer caso que veremos es el resultado de aplicar directamente la segunda ley de Newton, aplicando el equilibrio horizontal de fuerzas específicas. Finalmente veremos la influencia que tiene la aireación en la profundidad de los fosos de erosión

En primer lugar veremos la teoría desarrollada en Mirtskhulava (1967), que a pesar de estar algo anticuada resulta ilustrativa. Se basa en el equilibrio entre la velocidad de salida del foso y la velocidad de caída de las partículas, más allá de este punto no es posible el acarreamiento de partículas por el flujo. Un detalle importante es que compensa las velocidades a la salida del foso no en el fondo.

Dos puntos resultan fundamentales en su cálculo, por una parte la velocidad de caída de partícula, por otra parte la fórmula de cálculo de la velocidad de salida del flujo del foso.

La velocidad de caída se calcula según la expresión 1 dada en Goncharov (1954), donde � es la velocidad de caída de la partícula (m/s), �� es el diámetro característico (m), γ es el peso específico del agua (N/m3),

�γ es el peso específico del sedimento (N/m3) y g es la gravedad (m/s2). Evidentemente el valor 1.75 está relacionado con la fuerza de drag que actúa sobre la partícula.

γγγ

��

��

−= (1)

La parte más cuestionable de la teoría es la fórmula de donde obtenemos la velocidad del chorro dentro del foso, se descompone en dos partes, en la primera obtenemos las velocidades axiales durante el descenso del chorro, en la segunda obtenemos las velocidades en el ascenso, tal como vemos en la figura 2.

La expresión 2 determina la expansión del chorro dentro del foso, donde B es el espesor del chorro (m) a una determinada distancia x (m) del punto de entrada, b es el espesor en punto de entrada (m).

�� += (2)


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Figura 2. Esquema del foso según Mirtskhulava.

Esta fórmula es análoga a la que define la difusión de un jet, por tanto ahora para definir la nueva velocidad media del chorro dentro del foso bastaría con realizar la conservación de caudal para el nuevo ancho del chorro, tal como muestra la expresión 3, donde B es el espesor del chorro (m) a una determinada distancia x (m) del punto de entrada, b es el espesor en el punto de entrada (m), � es la velocidad media en el fondo del foso (m/s), � es la velocidad media de entrada del chorro en el colchón de agua.

��

�

�

=

+ ��

(3)

Sin embargo, a efectos de cuantificar la capacidad erosiva del chorro sobre el foso la velocidad que nos interesa es la máxima del flujo, por tanto teniendo en cuenta la distribución de velocidades dentro de un jet, la fórmula que debemos es la expresión 4, donde � es ahora la velocidad máxima en el fondo del foso (m/s), � es la velocidad de entrada del chorro en el colchón de agua (m/s), �� es la longitud que recorre el chorro a la entrada hasta llegar a la cota original del terreno, �� es la distancia que recorre el chorro hasta llegar hasta el fondo y b es el espesor del chorro a la entrada en el colchón de agua (m).

� ��

�

�

� �

� �

=+ +

(4)

En la expresión 4 se tienen en cuenta la diferencia que existe entre el tramo recorrido a través del colchón ( �� ) y el recorrido dentro del foso propiamente dicho ( �� ).


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Una vez que el chorro ha impactado contra el fondo su difusión se modifica notablemente, de manera que para determinar la velocidad de salida del foso de utiliza la expresión 5, donde Ua es la velocidad (m/s) a la salida del foso, Um es la velocidad (m/s) en el punto inferior del foso, z es la distancia recorrida (m) desde el punto más bajo del foso hacia la salida y B el ancho del jet en ese punto (m).

�

��

��

�+=

�

�

�

(5)

Con las expresiones 4 y 5 ya es posible determinar la velocidad de salida del foso combinando ambas. Si no utilizamos ninguna otra hipótesis tendríamos dos incógnitas, que serían la longitud del recorrido de estrada y la longitud del recorrido de salida. Para simplificar esta situación se hace una nueva hipótesis, el ángulo de salida del foso es el mismo que el ángulo incidente de entrada del chorro α β≡ , con lo que la longitud de entrada se iguala con la longitud de salida, es decir, � �� = + .

Con todos estos elementos determinados ya solo falta igualar la velocidad de salida del foso con la velocidad de caída del sedimento (fall velocity). Al igualar se aplica un factor de seguridad �� η = ÷ , tal como nuestra la expresión 6.

�η = (6)

Por otra parte para tener en cuenta el efecto del ángulo de incidencia del chorro se incluye un factor de corrección de la profundidad total del foso, este factor sólo se aplica para ángulos de entrada menores de 30 grados. Este factor se obtiene tal como muestra la expresión 7, donde β es el ángulo de entrada del chorro, x es la longitud total recorrida por el chorro y t es la profundidad del foso (m).

� �

� ��

��

ββ

=−

(7)

Con todos estos elementos ya podemos establecer equilibrio obtenido con un cierto fundamento teórico, tal como muestra la expresión 8, donde β es el ángulo de entrada del chorro, t es la profundidad del foso (m), �� es el colchón de agua disponible (m), b es el espesor del chorro en el punto de entrada (m), � es la velocidad de entrada del chorro en el colchón de agua (m/s), η es un factor de seguridad y � es la velocidad de caída de la partícula (m/s).

��

��

�

��

��

� ��

+

−��

��

� −=β

βη (8)


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De hecho si eliminamos la influencia del ángulo de entrada la expresión 8 se reduce a la expresión 9, donde t es la profanidad del foso (m), q es el caudal unitario (m2/s), �� es el colchón de agua disponible (m), b es el espesor en punto de entrada (m), � es la velocidad de caída de la partícula (m/s) y K es una constante.

��

��

�= − + (9)

Uno de los elementos más interesantes de esta formulación es que es dimensionalmente correcta, además de admitir la aplicación de la semejanza de Froude. Por otra parte obtienen los coeficientes a partir de datos de prototipo y de modelo, lo que garantiza un amplio rango de aplicabilidad.

La segunda teoría que vamos a analizar de modo ilustrativo es la recogida en Bormann et al (1991). En este caso el criterio de determinación de fosos de erosión se basa en el equilibrio entre las tensiones de drag del flujo y las tensiones de inicio de movimiento del sedimento. La idea global es que al incrementarse el tamaño del foso se reducen las tensiones superficiales que ejerce el flujo sobre el contorno del foso, llegando el equilibrio cuando las tensiones son inferiores al inicio de movimiento del sedimento.

Quizás uno de los puntos ambiguos de la teoría es que no tiene en cuenta el transporte del sedimento, sino únicamente su resuspensión, a diferencia de Mirtskhulava que consideraba la capacidad de arrastre del flujo de sedimento fuera del foso.

La primera parte va a consistir en determinar las tensiones de fondo en función del tamaño del foso.

Figura 3. Esquema de las variables que intervienen en la teoría de Bormann et al.


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Para determinar las tensiones generadas por el chorro es necesario conocer las velocidades asociadas al mismo. Se distinguen dos zonas, el núcleo del jet y la zona de difusión. Albertson et al (1950), ya determino el comportamiento de ambas, la zona de difusión se ve afectada por la interacción entre el jet y el colchón de agua, en el núcleo del jet las velocidades se ven inalteradas, es decir se mantienen constantes axialmente con el chorro. El núcleo tiene una longitud determinada, según muestra la expresión 10, donde

�� es la longitud del núcleo del chorro (m), � es el espesor a la entrada en el

colchón (m) y �� es el coeficiente de difusión del jet. La representación de las variables la podemos encontrar en la figura 3.

�

� �� = (10)

Dentro de esta longitud las velocidades serían las asociadas al chorro de entrada. Los coeficientes de difusión fueron determinados por múltiples autores (Albertson, Rajaratnam, Beltaos, Yuen...) dando valores que oscilan de 2 a 2.4. En general el foso de erosión se prolonga más allá de la longitud del núcleo con lo que las velocidades en el eje del chorro, es decir en principio las máximas, se ven modificadas según nuestra la expresión 11, donde es la velocidad de entrada del chorro (m/s) , � es la velocidad en fondo del foso, Je es la longitud total del foso en la dirección del chorro (m), esta longitud debe ser mayor que la correspondiente al núcleo �� , � es el espesor del chorro a la

entrada en el colchón (m) y �� es el coeficiente de difusión del jet.

�

� �

��

�= > (11)

Si suponemos un coeficiente de difusión del jet de 2.47 (Bormann), podemos rescribir esta última ecuación de una manera algo parecida a la presentada por Mirtskhulava, según muestra la expresión 12, donde es la velocidad de entrada del chorro (m/s) , es la velocidad a una determinada distancia J del punto de entrada (m), esta distancia debe ser mayor de la correspondiente a �� longitud del núcleo, � es el espesor a la entrada en el colchón (m).

��

��

�

�

=� ��

(12)

Podemos comparar la expresión 12 con la fórmula propuesta por Mirtskhulava para las velocidades máximas en el tramo descendente del chorro, renombrando las variables, a las usadas por Bormann. El resultado se puede ver en la expresión 13.


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��

�

�

=� �

+ � ��

(13)

Vemos diferencias entre ambas, estando más generalizada la aceptación de la utilizada por Bormann. Podemos realizar una gráfica, ver figura 4, donde se vean las relaciones existentes para las velocidades del chorro para los dos autores.

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

J / Y0

Ub /

U0

Comparación de anchos de velocidades de chorro

MirtskhulavaBormann

Figura 4. Velocidades máximas de chorro fuera del núcleo del chorro.

Mirtskhulava obtiene velocidades de chorro algo menores, por lo que en principio debería tener valores de erosión algo menores. Una vez determinada la velocidad en función de la longitud del chorro, buscamos las tensiones de fondo provocadas por estas velocidades de chorro. En general se definen las tensiones de drag que actúan sobre las partículas según la expresión 14, donde �τ es la tensión de fondo (N/m2), �� es el coeficiente de fricción local,

ρ es la densidad y � es la velocidad del chorro (m/s) .

�

� � �� τ ρ= (14)

La expresión 15 muestra la determinación de los coeficientes de fricción utilizando las formulaciones propuestas por Bogardi (1974), donde �� es el diámetro característico de las partículas (m), �� es el ancho del chorro en el fondo del foso (m), ��ϑ es el parámetro de Shields, que en general podemos considerar con un valor de 0.047. B y x son dos parámetro que en función de


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los diferentes autores tienen valores de B 2.9-2 y x 0.19-0.33, Straub (1953), Bogardi (1974) y Neill (1968).

�

��

�

�

��

� �

ϑ � �= � �

� � (15)

Una vez determinadas las tensiones de inestabilización falta determinar las de resistencia, en este caso podemos utilizar el criterio de inicio de movimiento de Shields, en el que las tensiones críticas de inicio de movimiento en (N/m2) se calculan por medio la expresión 16, donde ��ϑ es el parámetro de Shields, que en general podemos considerar con un valor de 0.047, �� es el diámetro característico de las partículas (m), g es la gravedad (m/s2) y ��ρ ρ son las densidades del sediento y del agua (kg/m3).

� �� τ ϑ ρ ρ= − (16)

Ahora se trata de igualar las dos tensiones, tal como muestran las expresiones 17, 18 y 19.

�� ττ = (17)

( ) �

�� ρρρϑ =− (18)

( ) �

�

�

�

��

�

�

�� ρϑρρϑ ��

�

��

�=− (19)

Podemos modificar la expresión 19 para obtener algo más ordenado, tal como muestran las expresiones 20 y 21. Finalmente obtenemos la expresión 22, donde C es una constante, �� es el diámetro característico de las partículas (m), g es la gravedad (m/s2) y ��ρ ρ son las densidades del sediento y del agua (kg/m3), �� es el ancho del chorro en el fondo del foso (m). B y x son dos

parámetros constantes, � es la velocidad del chorro (m/s) y w es la velocidad de caída de una partícula tal como aparecía en las formulaciones de Mirtskhulava.

��

�

�

��

�

�

�� ρρρ ��

�

��

�=− (20)

��

�

�

��

�

�

��

��

�=

−ρ

ρρ (21)

��

�

�

�

� �

�

�

��

�

��

�= (22)


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Reordenando la expresión 22 obtenemos la expresión 23 que muestra una nueva formulación de la teoría de Bormann que recuerda a las hipótesis de Mirtskhulava, ver expresión 24, donde C es una constante, �� es el diámetro característico de las partículas (m), �� es el ancho del chorro en el fondo del

foso (m). B, x y η son dos parámetros constantes, � es la velocidad del chorro (m/s) y w es la velocidad de caída de una partícula.

�

�

�

�

� �

�

�

� =��

��

� (23)

�

�=η (24)

En esta formulación vemos que el equilibrio de las tensiones de arrastre y de las de inicio de movimiento puede conducir a un resultado similar a equilibrar las velocidades de salida y las velocidades de caída.

Ahora la teoría de Bormann al igual que la de Mirtskhulava recibe una corrección debido al ángulo de entrada del chorro, tal como muestra la expresión 25, donde φ es el ángulo de reposo del sedimento sumergido, α ángulo del talud del foso, ��τ son tensiones críticas de inicio de movimiento (N/m2) y �τ es la tensión de fondo (N/m2).

� � � �

� ��

�

��

τφ αφ τ+ = (25)

Evidentemente para un ángulo de 90 grados el factor de corrección vale 1. De todas las alternativas que existen para determinar el exponente x se adopta el valor de 0.5. Combinando todos estos elementos llegamos finalmente a la expresión 26 propuesta por Bormann para el cálculo de erosiones por chorros, donde φ es el ángulo de reposo del sedimento sumergido, α ángulo del talud del foso, �� es el diámetro característico de las partículas (m), g es la gravedad (m/s2) y ��ρ ρ son las densidades del sediento y del agua (kg/m3), B es un parámetro de valor 2-2.9, es la velocidad de entrada del chorro (m/s) ,

� es el espesor a la entrada en el colchón (m), �� es el espesor del colchón del agua (m), � es la profundidad de la erosión del foso (m) y �β es el ángulo que forma el chorro.

( )( ) ( ) �

�

�

�

��

��

�� −

��

�

��

��

��

��

�

−+= ��

� �

� ��

��

��

��

βρραφ

φ (26)

Esta fórmula se puede reordenar adoptando el estilo más extendido para fórmulas de erosión, tal como muestra la expresión 27, donde q es el caudal unitario (m2/s).


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��

��

�

� � � �

� �β+ = (27)

Ahora hemos agrupado todos los términos del corchete de la expresión 26 en una K, para conseguir un formato comparable al estandarizado por Mason et al (1985), tal como muestra la expresión 28, donde q es el caudal unitario (m2/s), h el espesor del chorro (m), H la altura de la caída de agua (m), d el diámetro característico de las partículas (m), g la gravedad (m/s2) y K una constante.

� � �

� �

� � ��

� �= (28)

Existe una relación evidente entre U y q / h . Quizás la ecuación de Bormann no sea la ecuación que mejor ajuste los datos, sin embargo sigue una deducción física para llegar a una formula del tipo Mason et al (1985), de manera que de alguna manera justifica la validez teórica de ese tipo de ecuaciones empíricas.

La tercera teoría que vamos a ver consiste en la aplicación directa de la segunda ley de Newton. La concepción es bien sencilla, se trata de realizar el equilibrio horizontal de fuerzas específicas, de manera parecida a como se hace en los resaltos hidráulicos en la ecuación de Belanger. Fundamentalmente se considera que la fuerza ejercida por el chorro es inercial y la fuerza ejercida dentro del foso es esencialmente de presión hidrostática, tal como se representa en la figura 5.

Figura 5. Esquema de fuerzas que interviene en el equilibrio de la 2ª ley de Newton.

Es evidente que esta hipótesis es inadecuada en muchos casos, ya que las presiones en el foso distan mucho de ser hidrostáticas. Por otra parte se descartan las presiones aguas arriba del chorro, así como las fuerzas inerciales


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ejercidas en la salida del foso. Esto es debido a que en general las velocidades de salida son mucho menores que las de entrada, siendo el caudal el mismo.

Así que podemos escribir el equilibrio de fuerzas tal como muestra la expresión 29, donde las fuerzas inerciales del chorro son igual a las fuerzas de presión. Operando llegamos a la expresión 30, donde g es la gravedad (m/s2), K una constante adimensional, α es el ángulo que forma el jet medido según la Figura 5 y Y es la profundidad total del foso (m).

��

� ραρ �� = (29)

��

�� =α� �

(30)

Esta fórmula la obtiene Fahlbusch (1994) ajustando para la constante un valor de 2.79 resultado de 104 experimentos a nivel de modelo. Un valor de 2.83 lo encontró Veronese en 1937 y además encontramos estudios de Hoffmans (1998) que tratan de relacionar la constante con el diámetro de la partícula, que de otra forma no aparece en la ecuación.

Continuando con la descripción de conceptos teóricos de influencia en la evaluación de erosión por chorros podemos describir el efecto que causa la aireación del chorro. La influencia de la aireación en la suspensión y posterior transporte de los sedimentos no cohesivos viene impuesta por una capacidad de arrastre diferente (coeficientes de drag). Desde el punto de vista de la turbulencia la influencia del aire dentro del foso de erosión es importante ya que modifica la disipación turbulenta del flujo, por tanto la energía disponible para el acarreamiento y transporte de los sedimentos.

Las formulaciones de concentración de aire en los chorros de caída son de origen experimental, la primera proviene de Ervine (1976) y corresponde con la expresión 31, donde β es la aireación en tanto por uno del volumen, � y � son la velocidad mínima de aireación de un flujo (1.1 m/s) y la velocidad de entrada del chorro en el colchón de agua. H es altura de la caída (m) y t el espesor del chorro a la entrada (m).

��

��

� �β � �� = − � ��

� �� (31)

Posteriormente el propio Ervine en 1987 propuso una fórmula alternativa que parece ajustarse mejor a los datos, tal como muestra la expresión 32, donde β es la aireación en tanto por uno del volumen, D es la profundidad del foso (m). K una constante entre 0.1 y 0.4, t es el espesor del chorro a la entrada en el colchón de agua (m).

��

�β = (32)


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En 1997 el propio Ervine corrige su fórmula volviendo a incluir la corrección por la velocidad mínima de aireación, tal como se ve en el expresión 33, donde β es la aireación en tanto por uno del volumen, D es la profundidad del foso (m). K una constante entre 0.1 y 0.4, � y � son la velocidad mínima de aireación de un flujo (1.1 m/s) y la velocidad de entrada del chorro en el colchón de agua y t es el espesor del chorro a la entrada en el colchón de agua (m).

� ��

� �β � �= −� �

� � (33)

Finalmente Bohrer y Abt complementaron estas formulaciones con un análisis en función del grado de desarrollo del jet, tal como muestran las expresiones 34 y 35, donde β es la aireación en tanto por uno del volumen, � es la velocidad de entrada del chorro en el colchón de agua, g es la gravedad (m/s2), t es el espesor del chorro a la entrada en el colchón de agua (m) y l es el ancho del jet (m).

��

+��

��

�=

��

��β Parcialmente desarrollado (34)

��

+��

��

�=

��

��β Completamente desarrollado (35)

Para ver como se pueden incluir la aireación en el cálculo del foso de erosión utilizamos la metodología propuesta por Mason (1989). La metodología escogida por Mason para determinar la influencia del aire es sencilla, ensayos sin aire primero y posteriormente ensayos con aire. La teoría combina unos ciertos fundamentos teóricos con otros de origen empírico. Así el punto de partida para la evaluación de la influencia del aire es la expresión 36 que es la ecuación genérica de erosión en fosos, donde las variables tienen el sentido y unidades definidas anteriormente.

� �

�

� ��

�= (36)

En un primer momento aplica esta ecuación a una serie de ensayos en los que no hay entrada de aire en el flujo, a partir de estos ensayos se ajustan los coeficientes correspondientes a la altura de caída y al caudal unitario. La única pega que se puede poner a estos ensayos es que se hacen con granulometría única, gravas de 5-10 mm. Esto hace que no se puede ajustar la influencia correspondiente a la granulometría, ni en cuanto al diámetro característico de una granulometría ni sobre el exponente de ajuste.

Un resultado sorprendente de estos ajustes es la independencia del foso con respecto al desnivel de la caída. Con lo que finalmente Mason llega a la expresión 37, donde q es el caudal unitario (m2/s), D la erosión desde el nivel de la lámina de agua (m) y K una constante.


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� � �= (37)

Sorprende por otra parte que el exponente asociado al caudal unitario sea 1. Al realizar los ensayos con la incorporación de aire la fórmula resultante da la expresión 38, donde si que aparece influencia del salto de agua, aunque con un exponente pequeño 0.1, estos coeficientes se parecen más a los históricamente obtenidos en hidráulica.

�� = (38)

Todo ello hizo pensar a Mason que la diferencia en coeficientes de ajuste de las diversas fórmulas podía provenir de la influencia del aire.

Este punto de partida de Mason es puramente empírico, ahora para ponderar la influencia del aire hace una serie de consideraciones teóricas, supongamos que con aire o sin aire la fuerza necesaria para desplazar una partícula es la misma, sabemos que la fuerza de drag se puede obtener según la expresión 39 en newtons, donde �� es el coeficiente de drag asociado a la partícula, A es el área de la partícula (m2), ρ es la densidad (kg/m3) y v es la velocidad del flujo de arrastre (m/s).

�

�� ρ= (39)

Ahora hacemos otra hipótesis, si el tamaño total del foso es D, dimensionalmente es correcto suponer que la velocidad media del flujo dentro del foso será del orden, del caudal q dividido por la profundidad del foso D, por una constante k, tal como muestra la expresión 40.

��

! �= (40)

Sustituyendo la expresión 40 en la 39 obtenemos la expresión 41.

�

�

��

! �ρ � �

= � ��

(41)

Para el caso del flujo aireado el caudal unitario en volumen se incrementa, y la densidad disminuye, con lo que la fórmula del drag sobre la partícula se calcula según la expresión 42, donde todas las variables tienen el significado y las unidades definidas anteriormente, y además β es la aireación en tanto por uno del volumen, el tamaño del foso tiene el subíndice “a” porque se trata del foso aireado.

�

�

��

ββ

ρ +��

��

�

+=

� !�

� �� (42)


24

Ahora ya tenemos las dos fuerzas de arrastre que actúan sobre el grano y deben ser iguales para caso aireado y no aireado, tal como muestra las expresiones 43, 44 y 45.

�� = (43)

�

�

�

��

��

��

�=+��

��

�

+ !�

� �

!�

� � �

� ρββ

ρ (44)

�� β+=�

� (45)

De la expresión 45 podemos sacar una expresión general para fosos que aplica la corrección debida a la presencia de aire, la expresión 46, donde D la erosión desde el nivel de la lámina de agua (m) y K una constante, q es el caudal unitario (m2/s) y β es la aireación en tanto por uno del volumen.

�� β+= �� (46)

En general la corrección será muy pequeña ya que el tanto por ciento de aire suele ser pequeño. Se puede realizar un desarrollo análogo para un jet tridimensional en lugar de bidimensional y se llega a la expresión 47, donde las variables son las mismas que en el caso anterior. La ecuación tiene sentido ya que el coeficiente de aireación incluye el efecto asociado a la longitud de la caída y por otra parte dentro de la constante K se introducen el efecto de la granulometría.

�� β+⋅⋅= �� (47)

2.2. Clasificación global de las fórmulas hasta 1985.

Para obtener una visión general y conjunta de la investigación realizada sobre el tema de la erosión en caídas con fondo granular no cohesivo podemos recurrir a la clasificación que se encuentra en Mason et al (1985), donde se concentra toda la dispersión presente en el estado del arte en unos pocos grupos, demostrando por otra parte que las ideas de fondo de la mayoría de teorías eran las mismas en la mayoría de casos. Además unificaron el sistema de unidades de todas ellas al S.I. para lo que tuvieron que reajustar las constantes de muchas de ellas.

Después de la recopilación de datos realizada para su trabajo, ajustaron los coeficientes de una nueva fórmula propuesta por ellos que era la que mejor reproducía todo el conjunto de datos recopilados.

Se recogen 31 autores con fórmulas para el calculo de fosos de erosión la mayoría de ellos , concretamente 17, usan una formulación del tipo la expresión 48, donde q es el caudal unitario (m2/s), H la altura de la caída de agua (m), d el diámetro característico de las partículas (m) y K una constante.


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� �

�

� ��

�= (48)

La única diferencia entre los diversos autores proviene de los exponentes x, y , z. De todos ellos únicamente Damle (1966) utilizó datos de prototipo, el resto eran datos de modelo. Los clasificaremos como Grupo I. En la tabla 1 podemos ver los exponentes utilizados.

Autor Año K x y z d

Schoklitsch 1932 0.521 0.57 0.20 0.32 d90

Veronese (a) 1937 0.202 0.54 0.225 0.42 dm

Veronese (a) 1937 1.90 0.54 0.225 0 --

Eggenburger 1944 1.44 0.60 0.50 0.40 d90

Hartung 1959 1.40 0.64 0.36 0.32 d85

Franke 1960 1.13 0.67 0.50 0.50 d90

Damle (a) 1966 0.652 0.50 0.50 0 --

Damle (b) 1966 0.543 0.50 0.50 0 --

Damle (c) 1966 0.362 0.50 0.50 0 --

Chee y Padiyar 1969 2.126 0.67 0.18 0.063 dm

Bisaz y Tschopp 1972 2.76 0.50 0.25 1 d90

Chee y Kung 1974 1.663 0.60 0.20 0.10 dm

Martins (b) 1973 1.50 0.60 0.10 0 --

Taraimovich 1978 0.633 0.67 0.25 0 --

Machado 1980 1.35 0.50 0.3145 0.0645 d90

SOFRELEC 1980 2.30 0.60 0.10 0 --

INCYTH 1981 1.413 0.50 0.25 0 -- Tabla 1. Valor de la constante, los exponentes y diámetro a utilizar en la expresión 48 para los

diferentes autores

Destaca un valor medio para la x de 0.5, un valor para la y de 02-0.3 y una cierta dispersión para los exponentes del diámetro. Esto puede ser consecuencia de varios factores, entre ellos está la dificultad de caracterizar


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una granulometría con un solo valor, la consideración o no del acorazamiento, etc.

En el segundo grupo, Grupo II, se incluyen las fórmulas que consideran la influencia del colchón de agua presente en el foso, en este grupo encontramos dos autores: Jaeger (1956) y Martins (1973), donde las expresiones 49 y 50 son sus fórmulas de erosión respectivamente. En estas expresiones q es el caudal unitario (m2/s), H la altura de la caída de agua (m), d el diámetro característico de las partículas (m), h es el colchón de agua (m) y Q es el caudal total (m3/s).

�

��

� � ��

� �= � ��

(49)

��

� ��

�

��

�

" � ��

� " �

�

� �= − +� �

� � � ��

(50)

El Grupo III, en el que aparecen varios autores que utilizan fórmulas simplificadas. El primer de estos autores es Cola cuya fórmula es que la profundidad del foso de erosión es igual a cuarenta veces el espesor del chorro de agua. En segundo lugar encontramos a Davis y Sorensen cuya fórmula es que la profundidad del foso de erosión es igual a dos tercios la altura de la caída de agua. Finalmente tenemos a Hartung y Haustler cuya fórmula para un chorro circular es que la profanidad del chorro de erosión es igual a veinte veces el diámetro del jet.

En el Grupo IV aparecen los autores soviéticos que aportaban fórmulas de mayor complejidad, entre ello aparecen tres importantes: Mirtskhulava, Mikaley y Rubinstein. La expresión 51 corresponde a la fórmula dada por Mirtskhulava en el año 1967 y cuyo desarrollo hemos visto en el apartado anterior. La expresión 52 corresponde a la fórmula obtenida por Mikaley en el año 1960 y que podemos encontrar en Levy (1961). La expresión 53 corresponde a la fórmula de Rubinstein obtenida en el año 1965 y que podemos encontrar en Gunko (1965). En todas estas expresiones β es el ángulo de entrada del chorro, D es la profundidad del foso desde la lámina de agua (m), b es el espesor del chorro en el punto de entrada (m), h es el colchón de agua disponible (m), q es el caudal unitario (m2/s), η es un factor de seguridad, � es la velocidad de caída de la partícula (m/s), H es la caída del chorro (m) y d es el diámetro de las partículas.

� ��

� ��

��

�

η ββ

� �= − +� � −� � (51)

� ��

�

��

� ��

��

��

ββ

� �= −� � −� �

(52)


27

��

��

�

��

� ��

� � � �+= + � � � ��

(53)

Los autores soviéticos consideran la influencia del ángulo de entrada del chorro en el colchón de agua.

Finalmente se consideran los autores que dan una descripción temporal del fenómeno y que Mason clasifica como grupo V. Introduciendo en estas fórmulas un tiempo suficientemente grande podemos obtener el valor de la profundidad del foso de erosión. Esto fue lo que hizo Thomas, obteniendo la expresión 54, donde D es la profundidad del foso (m), h el espesor del colchón de agua (m), H la diferencia de cota entre la superficie del colchón de agua y la superficie del agua a la salida del salto en metros, q es el caudal unitario (m2/s) y Wn es la velocidad de caída del sedimento (m/s).

�

�

�

�

� ��

��

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��

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��

�+= ��#

�

� �

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�#

�� (54)

Un resultado interesante se obtiene del análisis dimensional de las diferentes formulaciones, como habíamos comentado con anterioridad. Si se trata de aplicar la semejanza de Froude a las diferentes fórmulas resulta que la mayoría de ellas no la verifican, sin embargo se observa que el error que aparece en estas fórmulas a medida que nos acercamos a escalas cercanas al prototipo es proporcional a lo que se desvían de la semejanza de Froude, lo que hace pensar que la fórmula correcta para modelar el fenómeno debe verificar dicha semejanza.

Esto no debería ser estrictamente cierto ya que resulta muy dudoso que en fenómenos de transporte de sedimentos la semejanza correcta sea la de Froude. Con todas estas consideraciones Mason et al buscan el ajuste óptimo de todos los datos disponibles para esta clasificación y obtienen dos expresiones, la 55 y 56.

La expresión 55 se ha obtenido utilizando los datos correspondientes a modelos a escala, siendo este su rango de aplicación. En la expresión 55 D es la profundidad del foso desde la lámina de agua (m), h es el colchón de agua disponible (m), q es el caudal unitario (m2/s), H es la caída del chorro (m), g es la gravedad (m/s2) y d corresponde al diámetro medio de las partículas. Esta fórmula verifica los requisitos de ser dimensionalmente correcta y cumplir la semejanza de Froude.

��

� ��

� � ��

� �= (55)

La expresión 56 se ha obtenido utilizando datos de prototipos y modelo. El significado de las variables es el mismo que en la expresión 55, excepto el valor de d que se considera que es constante e igual a 0.25m. El valor de las


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constante y los coeficientes es: �� −= , �=� , ��=� ,

��

��

� −=

��

� , ��

��

� +=�

��

� y ��=� .

��

��

��

�� = (56)

2.3. Fórmulas de los autores no clasificados.

En este apartado presentaremos las fórmulas que hemos encontrado en la bibliografía y no se encuentran clasificadas según Mason et al (1985). Todas estas fórmulas se encuentran en Del Agua (1993). A pesar de realizar una búsqueda exhaustiva en la bibliografía e internet, estamos seguros que existen muchísimas más fórmulas que las citadas en este apartado.

Bisaz y Tschopp obtienen en el año 1972 la expresión 57 donde H es la diferencia de niveles entre aguas arriba y aguas abajo en metros (m), D es la profundidad de erosión en metros (m) medida desde el nivel aguas abajo y d90 diámetro en metros m.

�

�� ⋅−⋅⋅= (57)

Esta fórmula la podemos encontrar en Mason (1995) y en Del Agua (1993), pero en ambos trabajos no aparece el valor de la constante K’.

Chian Min Wu obtuvo la expresión 58 en el año 1973 utilizando datos de modelo y de prototipos de presas de Taiwan. Las variables que intervienen en la fórmula son: H carga total en metros (m) desde el nivel de aguas abajo hasta la línea de energía aguas arriba, S profundidad de erosión en metros (m) medida desde el nivel de agua de aguas debajo de la estructura, q caudal unitario en m2/s y g aceleración de la gravedad en m/s2.

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��

��

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⋅⋅=

��

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�

$ ( 58)

Altinbilek y Okyay obtuvieron la expresión 59 en 1973, donde ST profundidad final de la fosa de erosión, medida desde el nivel del lecho original, b espesor del chorro, U velocidad del agua a la salida de la tobera, Dg diámetro medio geométrico, W velocidad de caída de las partículas de diámetro Dg , Fr número de Froude tomado como �� ⋅ y h profundidad del colchón de agua aguas abajo. La fórmula sirve para calcular la erosión terminal generada por un chorro bidimensional.


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��

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��

��

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��

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��

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% (59)

Elvíro García, en el año 1989, no llega a obtener una fórmula para evaluar la erosión local, pero lo que sí obtiene son unos ábacos de los que se puede extraer la profundidad de erosión. Estos ábacos se pueden ver en las figuras 6, 7, 8 y 9 donde H diferencia de niveles entre aguas arriba y aguas debajo de la estructura en dos puntos suficientemente separados de la misma, f profundidad de la fosa de erosión medida del nivel del lecho original y q caudal unitario en m2/s.

Estos ábacos han sido obtenidos en ensayos en modelo reducido a escala 1:10 en el laboratorio de hidráulica del CEDEX por encargo de la Confederación Hidrográfica del Tajo. El ámbito de aplicación de los ábacos es para caudales unitarios entre 1 y 6 m2/s, para saltos de altura entre 1 y 6 metros y para los cuatro tipos de escollera ensayados.

Los tipos de escollera son:

1. Escollera comprendida entre 30 y 50 cm,

2. Escollera comprendida entre 20 y 40 cm

3. Escollera comprendida entre 10 y 30 cm

4. Escollera comprendida entre 20 y 50 cm.

Las granulometrías de estas escolleras pueden verse en la figura 10.

El rango de las variables a estudiar, se escogió para que la experimentación reflejara de la mejor manera posible las condiciones existentes en las subcuencas del río Tajo. Es por esto que los resultados obtenidos por García en el CEDEX, son indicativos para el proyecto de pequeñas estructuras de corrección de cauces de gran pendiente en pequeñas cuencas de montaña.


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Figura 6. Profundidad de erosión para la escollera entre 30 y 50 cm.

Figura 7. Profundidad de erosión para escollera entre 20 y 40 cm.


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Figura 10. Curvas granulométricas de los 4 tipos de escollera ensayadas por García.

Ramírez et al obtuvieron la fórmula (60) en el año 1990, donde v1 velocidad de entrada del agua en la lámina de agua, q caudal unitario, g aceleración de la gravedad y S profundidad de la fosa medida desde el nivel del agua aguas abajo.

�

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� ��

��

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��

�⋅=

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�$ (60)

La fórmula está desarrollada a partir de un análisis teórico basado en la teoría de los chorros turbulentos y en el criterio del esfuerzo cortante crítico. Se supone como mecanismo básico para alcanzar un estado de socavación límite independiente del tiempo es el de la disminución de la velocidad de un chorro sumergido en la dirección de su movimiento medio. Así, el chorro excava el material del fondo hasta que su velocidad ha decrecido lo suficiente como para que las tensiones tangenciales en el lecho alcancen un valor crítico en el sentido de Shields.

3. Longitud y anchura del foso de erosión.

Definimos longitud del foso L como la longitud máxima entre extremos del foso de erosión en la dirección principal del flujo en la caída de agua. Definimos anchura del foso A como la longitud máxima entre extremos del foso en la dirección transversal a la dirección principal del flujo en la caída del agua. La longitud y la anchura del foso se representan gráficamente en la figura 11.


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Figura 11. Esquema de la definición de longitud L y anchura A de un foso de erosión.

La longitud del foso formado aguas abajo de una traviesa o debido a un jet horizontal ha sido ampliamente estudiada. El flujo que se forma en estas estructuras no corresponde al flujo que genera una caída de agua, no pudiendo aplicar estos estudios en nuestro caso.

Solamente hemos encontrado un estudio que aborda las características geométricas del foso para una caída de agua, concretamente Martins (1973). Martins realizó una serie de ensayos tridimensionales utilizando como material no cohesivo pequeños cubos de mortero.

La expresión 61 fue la que obtuvo Martins para la longitud del foso (L), donde � profundidad del foso de erosión (m), medida des del lecho original, α ángulo de impacto del chorro con respecto a la horizontal y espesor del chorro de agua.

� �� & ++= α (61)

La expresión 62 fue la que obtuvo Martins para la anchura del foso A en metros, donde las variables tienen el mismo significado que en la expresión 61.

� �� += (62)

paper de socavaciones

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