pandeo teoria 2012 mec

UniversidadTecnolgicaNacional

FacultadRegional

Santa Fe

TEORAPANDEO

Marzo de 2012

P P

PP

Marzo de 2012

Mg. Alejandro Carrere

Ing. CIVIL

RE

SIS

TE

NC

IA

DE

MA

TE

RIA

LE

SJTP:

Ing. Hugo Tosone

Marzo de 2012

Profesor:

Dr. Federico Cavalieri

Ing. ELCTRICA

ES

TA

BIL

IDA

DPy

x

Ing. MECNICA

ES

TA

BIL

IDA

D I

I

Dr. Federico Cavalieri

P

Hiprbola de Euler

Recta de Tetmajer

k

lm

f

TEORAPANDEO

TEORAPANDEO

Ing. Hugo Tosone

Profesor Titular:

Ing. Hugo Tosone

Profesor Titular:

Ayudante de TP:JTP:

UniversidadTecnlogicaNacional

FacultadRegional

Santa Fe

UniversidadTecnlogicaNacional

FacultadRegional

Santa Fe

3 8 11

CONTENIDOS.

Pandeo, concepto.

Pandeo en el perodo elstico. Hiptesis. Planteo energtico.

Determinacin de la carga crtica de pandeo por anlisis geomtrico.

Diversos modos de vinculacin. Capacidad de carga de acuerdo al modo de sustentacin. So-

porte elstico.

Influencia de la calidad del acero.

Tensin crtica de pandeo, hiprbola de Euler. Esbeltez lmite para la validez de la frmula de

Euler.

Forma conveniente de la seccin. Eficacia de la forma de la seccin y parmetro que la define.

Influencia del esfuerzo de corte.

Pandeo con deformaciones inelsticas. Mtodo emprico-experimental (Tetmejer). Teoras del

mdulo tangente simple (Engesser) y del doble mdulo (Engesser-Karman). Comparacin entre

ambas teoras y conclusin. Carga crtica Real.

Normas. Procedimiento omega utilizando la norma DIN 4114. Tensin admisible al pandeo.

Dimensionado directo (mtodo Domhke), forma de proceder.

Carga excntrica aplicada a barras esbeltas (inexactitud en la aplicacin de la carga). Deforma-

ciones y tensiones que se producen. Influencia de la inexactitudes en la forma recta.

Otras frmulas para el proyecto de columnas.

Aplicaciones.

ESTABILIDAD - ESTABILIDAD - RESIST. DE MATERIALES PANDEO

PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00 - 1 -

Pandeo de barras rectas

Concepto: Se denomina pandeo al estado especial de equilibrio que se presenta en barras que soportan una fuerza axial de compresin, siendo su longitud relativamente importante en relacin con sus dimensiones laterales.

En tal caso puede no ser suficiente verificar la resistencia mecnica por el mtodo de las tensiones mediante la comprobacin:

admF

P [1]

Ello se debe a que interviene la longitud de la barra como nueva variable y consecuente-mente la tensin de compresin admisible que pueda soportar teniendo en cuenta esta nueva

variable, ser menor que la resistencia a la compresin adm.

PANDEO EN EL PERODO ELSTICO. Hiptesis admitidas.

Se realizar el anlisis de la barra comprimida sobre la base de las siguientes hiptesis cla-sificadas de acuerdo a:

FORMA DE LA BARRA MATERIAL CARGA

Eje rectilneo Homogneo, istropo, elstico.

Cumple con la ley de Hooke

Direccin colineal con el eje de la barra.

Seccin uniforme Los mdulos de elasticidad a traccin y a compresin son igua-les: Etracin. = Ecompr = E

Aplicada en el centroide G de la seccin transversal.

Planteo energtico:

Sea la barra articulada en ambos extremos representada en la fig.1, a la que se le aplica una carga P de cierta intensidad cumpliendo con las hiptesis anteriores.

En las condiciones establecidas la barra permanecer rectilnea y en equilibrio.

Se busca establecer en que condicin de equilibrio se encuentra la barra en relacin con la intensidad de P luego de perturbarla late-ralmente con una pequea fuerza H que se retira inmediatamente.

Hecho lo anterior, P bajar una pequea cantidad estipulada en-

tregando el trabajo (energa) L=P., la barra se curvar almacenando

energa potencial de deformacin elstica 20( ) /(2 )l

U M dz E Ix , y podr ocurrir una de las tres siguientes posibilidades:

1. Recobrar su forma rectilnea original.

2. Permanecer ligeramente doblada (elsticamente).

3. Se doblar hasta la destruccin.

Caso 1: Si U > L, al desaparecer la perturbacin H, la barra recobrar su forma original. El estado de la barra es de equilibrio estable.

P P

fig.1



Caso 2: Si U = L ambas energas son iguales y la barra permanecer levemente curvada. El estado de la barra ser de equilibrio indiferente.

Caso 3: Es U < L al desaparecer la perturbacin H la energa P. entregada por P, es mayor que la energa de deformacin elstica U almacenada por la barra, siendo el proceso irreversible y producindose el colapso. El estado de la barra es de equilibrio inestable.

Interesa el caso 2 (equilibrio indiferente). Se deber determinar la intensidad de la carga Pk que produce tal condicin. A la carga Pk se la denomina carga crtica de pandeo.

Determinacin de la carga crtica de pandeo Pk (anlisis geomtrico)

Para un pequeo tramo de barra de longitud dz ubicado en la coordenada z (fig.2), al efec-tuar la reduccin de Pk al centroide de la correspondiente seccin, surgir un momento flector

kM=P y adems de la fuerza Pk trasladada a dicho centroide, la que

no se ha representado en dicho lugar.

La ecuacin diferencial de la lnea elstica, por la accin del mo-mento M (despreciando el esfuerzo de corte), es la siguiente:

"kM P

y yE Ix E Ix

y haciendo: kP

kE Ix

resulta: " . 0y k y [2]

En la expresin de k es necesario considerar al momento de inercia mnimo de la seccin, ya que la flexin se producir naturalmente en relacin con el eje de mnima inercia. Hay excepciones que se vern en los trabajos prcticos.

La ecuacin diferencial homognea [2] tiene por solucin general:

)cos()( 21 zkCzksenCy

en la que C1 y C2 pueden determinarse en base a condiciones de con-torno.

Por ejemplo para z=0 la flecha resulta y=0.

Reemplazando dichos valores en la solucin se obtiene:

1 20 0 1C C de donde: 2 0C

Queda: 1 ( )y C sen k z que representa una senoide de amplitud C1.

Para determinar C1 se tiene en cuenta que para: z=l, es y=0, por lo tanto:

10 ( )C sen k

En este producto la amplitud C1 no es nula y en consecuencia deber ser:

( ) 0sen k

lo que se cumple para: 0 , 1 , 2 , ....k n

l

M

M

fig. 2

Pk

Pk

y

z

zy



Si: 0k resulta: 0k , pero: 2k

x

Pk

E I

lo que implica Pk = 0, cosa que no resulta de inters para el caso.

Si: k resulta:

k 2

22

k pero:

kPk

E Ix

Teniendo en cuenta que Ix es el mnimo momento de inercia, queda finalmente:

2min

2k

E IP

[3]

Esta expresin permite obtener el valor de la carga Pk que mantenga a la columna en situa-cin de equilibrio indiferente. Representa una hiprbola en el plano (l,Pk) denominada hiprbola de Euler, que tiene la misma forma que la de la fig.6

A Pk se la denomina carga crtica de pandeo y es el valor lmite por sobre el cual se produce el colapso. Por tal motivo a ese valor se lo deber afectar por un coeficiente de seguridad.

La carga crtica de pandeo se conoce tambin con el nombre de carga crtica de Euler que se identificar como Pe.

Si 2 , 3 ,....k n , resultara una carga n veces mayor que Pe, pero como el co-lapso se produce al superar la primera, no resulta de inters ninguna otra solucin.

La carga crtica de pandeo de Euler obtenida corresponde a extremos articulados.

Para esa situacin los extremos de la barra no soportan momento flector alguno (tener en cuenta que: M=P.y siendo y=0 en los extremos.

En consecuencia la curvatura tiende a ser nula en dichos extremos, donde estn los puntos de inflexin de la senoide y=C1.sen(k.z).

Consecuentemente la longitud l es la distancia entre puntos de inflexin.

Se la denominar le (longitud efectiva de pandeo).

La expresin para pandeo elstico puede entonces gene-ralizarse as:

2min

2k e

e

E IP P

[3]

Otros tipos de vnculo:

De acuerdo a lo analizado antes, en casos como los re-presentados en la fig. 3, en los que es posible imaginar la forma que adquiere la barra al actuar la perturbacin H, la longitud efectiva de pandeo ser la distancia entre puntos de inflexin de la senoide.

Para cualquiera de ellos la longitud efectiva de pandeo se calcula con la expresin:

le = . l [4]

en la que depende del tipo de vnculo.

Pk

le

le

Pk

le = l le = 0,5 l le = 2 l

Pk

fig. 3

le

le



La carga crtica de pandeo Pk ser menor que la carga de rotura o la de fluencia, e inclusive menor que la de proporcionalidad del material.

Por ello es posible que al producirse el equilibrio indiferente, la barra est soportando tensio-nes menores a las mencionadaslo que se debe a una cuestin entre energas interior y exterior y no por haberse agotado la resistencia mecnica del material.

Otros casos diferentes:

Para otras situaciones distintas a las ya tratadas, se realiza el anlisis proce-diendo de modo similar al caso de la barra articulada en ambos extremos, pero al efectuar la integracin de la ecuacin diferencial se deben establecer condi-ciones particulares de acuerdo al caso que se trate.

En cualquier caso se obtiene al final una expresin del tipo:

k K , en la que K es un nmero real. Procediendo de modo similar que al deducir la frmula de Euler, se obtiene fi-nalmente la expresin:

2 2min min

2 2k

e

E I E IP

en la que el factor 2 es la inversa de 2K .

La longitud efectiva de pandeo le adquiere valores particulares de acuerdo al tipo de vincu-lacin. Por ejemplo, en el caso de extremo superior articulado y extremo inferior empotrado, fig.

3, resulta =0,7 lo que implica que la longitud efectiva de pandeo es el 70% de la real.

Capacidad de carga de acuerdo al modo de sustentacin

De acuerdo a lo visto anteriormente, se puede comprender la influencia que tienen las con-diciones de sustentacin de la barra en el valor de la carga crtica. Adems, cuanto mayor re-sulte la carga crtica mayor ser la carga admisible.

Se comprueba fcilmente que la barra empotrada en ambos extremos soporta 16 veces la carga correspondiente a la barra que posee un extremo libre y otro empotrado.

Por ello y siempre que sea posible es recomendable empotrar los extremos. Ello en la prctica no siempre puede considerarse factible ya que los elementos que sirven de apoyo sue-len poseer elasticidad en mayor o menor grado.

Esto ltimo introduce cierta incertidumbre en los clculos, por lo que ante la duda es conve-niente considerar la situacin ms desfavorable (extremos articulados), lo que implica un mayor grado de seguridad.

Soporte apoyo elstico:

Un caso de inters prctico se presenta cuando las restricciones en los extremos son elsti-

cas y con respuesta proporcional a los desplazamientos angulares : M=K. en la que K es

un factor de proporcionalidad, que opera como rigidez del apoyo elstico (=M/K).

En este caso la longitud efectiva de pandeo de la barra analizada, depende de la relacin entre la rigidez de los apoyos y la rigidez de la barra.

La rigidez de los apoyos oscila entre cero e infinito lo que equivale a una transicin entre extremos articulados y extremos empotrados.

Por lo tanto el factor que afecta a la longitud real l variar entre 1 (articulado-articulado) y 0,5 (empotrado-empotrado).

fig. 3

le

Pk



Como se dijo antes, si los extremos rotan un ngulo , entonces el par de momento M que surge en ambos

apoyos es directamente proporcional a la rotacin .

Realizando el anlisis con la misma condicin de bor-

de en ambos extremos, se obtienen los valores de en funcin de la rigidez relativa entre apoyos y la barra:

e

M

E I

[5]

que se muestran en la fig. 4 y en la tabla de valores numricos.

El numerador de la [5] representa la rigidez de cada uno de los apoyos (iguales) mientras que el denomina-dor corresponde a la rigidez de la barra.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 20 25

1 0,860 0,775 0,720 0,685 0,657 0,635 0,620 0,606 0,597 0,588 0,581 0,575 0,568 0,560 0,545 0,535

Ejemplo:

Calcular la longitud de pandeo para el tramo vertical de la estructura representada, la que soporta la accin de una carga P.

Calcular luego la carga Pk. siendo E =2,1x106 [kgf/cm2]

1 13

M a

E I

1 13M E I

a

1 1

2 2 2 2

3

M

E I L

E I a E I

L

Pero: 21 EE 21 II

entonces: 3 3 60

1,5120

L

a

interpolando en la tabla: 8175,0 cm49608175,0

e LL

adems:

32 1 1

12 6I

por lo que finalmente resulta:

2 2 6

min

2 2

2,1 10 (1/ 6)

491439k

e

E Ikgf

LP

1cm

2cm

M

P

P

E2

E1L

= 6

0 c

m

a=120 cm

fig. 5

C

A

P

D

5 10 15 20 25

1

0,5

fig. 4



Calidad del acero:

En la frmula de Euler (vlida solamente en el perodo elstico) se observa que la carga

crtica Pk no depende de la resistencia del material (adm), estando relacionada solamente con la constante elstica E.

Debido a que los aceros, independientemente de su mayor o menor calidad y resistencia (composicin qumica y tratamientos trmicos), poseen un mdulo de elasticidad que oscila entre 2 y 2,15x106 [kgf/cm], resulta que para pandeo en el perodo elstico no se justificara en principio utilizar aceros de alta calidad.

Tensin crtica de pandeo

Dividiendo ambos miembros de la frmula de Euler por la seccin transversal F de la barra, el primer miembro ser la tensin de compresin, obtenindose:

2 2 2 2min

min 22 2

min

k

ee e

P E I E E Ei

F F

i

El cociente entre la longitud efectiva de pandeo le y el radio de giro mnimo imn se denomina esbeltez de la columna y se

lo designar con la letra griega . La expresin de la tensin es entonces:

2

Ek

[6] siendo:

min

e

i

La frmula anterior permite calcular el valor de la tensin de compresin para la condicin de equilibrio indiferente y por lo tanto representa la tensin crtica de pandeo en funcin de la es-

beltez .

Se observa que la tensin es inversamente proporcional al cuadrado de la esbeltez . A la curva de la figura 6, que representa esa relacin se la conoce con el nombre de hiprbola de Euler para las tensiones.

Lmite de validez de la hiprbola de Euler:

En la fig. 6 se observa que a medida que disminuye (columnas cortas), la tensin crtica puede crecer indefinidamente.

Sin embargo, cuando k > p (p: lmite de proporcionalidad) la frmula de Euler ya no podr ser utilizada porque el mdulo de elasticidad E solamente es constante en el perodo elstico. En la figura 7 se muestra el diagrama de ensayo del acero y la hiprbola de Euler.

Si en la frmula de Euler se coloca p en lugar de k y se despeja le esbeltez , se obtie-ne el valor lmite inferior 0 resultando:

p

E

.0 [7]

Para esbelteces menores a ese valor no es de aplicacin la frmula de Euler.

A la esbeltez 0 se la suele denominar tambin lim.

k hiprbolade Euler

fig. 6



Ejemplos:

Para el acero St-37 con: E=2.100.000 [kgf/cm] y p=1900 [kgf/cm] resulta: 0104.

Para el acero St-52 con: E=2.100.000 [kgf/cm] y p=2880 [kgf/cm] resulta: 085.

En la fig. 7 se representa con lnea llena la parte de la hiprbola que es de aplicacin y con lnea de trazos la parte que no se considera por los motivos expuestos.

k

Hiprbola

de Euler

ep

Diagrama convencional ( - )

f

r

p

fig. 7 lm

Forma conveniente de la seccin transversal

a) Si el modo de pandeo es nico para cualquier plano de flexin

Es conveniente que la seccin posea el mayor radio de giro posible. Las secciones huecas como la corona circular mejoran notablemente esa condicin puesto que el radio de giro i re-sulta muy grande en relacin con el rea F de la seccin.

Se comportan mejor las secciones con formas regulares como lo son el tringulo equiltero, cuadrado, pentgono, crculo, etc, las que poseen radio de giro uniforme (momento de inercia uniforme) para cualquier posicin del eje centroidal de referencia (ver concepto de momento de inercia para rotacin de ejes).

b) Si el modo de pandeo es distinto para diferentes planos de flexin

En ciertos componentes, como por ejemplo una biela para la cual el modo de pandeo segn el plano que contiene al eje de los per-nos, es diferente al modo de pandeo para el plano que es perpendicular a dicho eje, pue-de ser conveniente que la seccin posea dis-tintos radios de giro en correspondencia con dichos modos de pandeo, de modo que la esbeltez resulte igual para ambos planos de flexin.

La fig. 8 ilustra bien la situacin. En la gua de trabajos prcticos se analiza este caso.

fig. 8

Articulado - Articulado

= 1 )

Empotrado - Empotrado

= 0,5 )

Pernos

Eje de flexin

( i: mnimo )Eje de flexin

( i: mximo )



Eficacia de la forma de la seccin. Parmetro que la define.

Una forma de medir la eficacia de la seccin transversal de una columna, es utilizando la

relacin adimensional: min mini I

FF [8] . En la siguiente tabla se brindan algunos valores:

Forma de la seccin min mini I

FF

Rectngulo, h/b = 2 0,204

Crculo 0,282

Cuadrado (h/b=1) 0,289

Tringulo equiltero 0,310

Perfil I 0,33 chicos, a 0,27 grandes, promedio:0,30

Perfil U 0,42 chicos, a 0,32 grandes, promedio:0,37

Perfil L 0,30 chicos, a 0,50 grandes, promedio:0,40

Anillo: di/de = 0,9a 0,96 0,87 a 1,4

Influencia del esfuerzo de corte Q sobre la carga crtica

En la deduccin de la carga crtica Pk se utiliz la ecuacin de la lnea elstica considerando solamente la accin del momento flector y despreciando la influencia del esfuerzo de corte Q.

En el presente anlisis se tendr tambin en cuenta dicho esfuerzo de corte.

Se analizar una barra de eje recto sometida a compresin axial y curvada por una pertur-bacin H que la saca de la posicin recta ideal, fig.9.

Una seccin genrica en la coordenada z, se encuentra sometida a un momento flector M y a una fuerza vertical Pk, la que se puede descom-poner en una fuerza N perpendicular al plano de la seccin y una fuerza Q contenida en dicho pla-no.

Debido a que las deformaciones son pequeas se puede escribir:

sentgdz

dy en la que el ngulo

est expresado en radianes.

Resulta entonces: dz

dysen kk PPQ

La rotacin adicional de la lnea elstica genera-da por la fuerza de corte Q, como primera aproxi-

macin es la distorsin del prisma de la fig. 9 (a la derecha):

'(Q)Q

yG F G

donde:

F

Q

Recordar que (coeficiente) permita calcular la mxima tensin de corte en corresponden-cia con la fibra central y dependa de la forma de la seccin. Su valor es 1,5 para la seccin

l

Pk

Pk

y

z

zyPk

Pk

M

N

Q

Q

fig. 9 sen

tg



rectangular, 4/3 para la circular, etc.

Pero para calcular el corrimiento angular para dos secciones contiguas se debera utilizar un

coeficiente denominado factor de cortadura , ver Belluzzi Tomo 1, pg. 241. Mediante un anlisis energtico se demuestra que dicho coeficiente se obtiene con siguiente expresin:

2''

4 '

1 y

y

Sdy

F i b

.

y su valor es 1,2 para la seccin rectangular, 1,11 para la circular, etc, mientras que para las secciones dispersas como los perfiles laminados puede estar comprendido entre 2 y 3.

En la expresin de , F es el rea, i el radio de giro, mientras que S y b son el momento esttico y el ancho de la seccin para cada valor de la variable y en la integral.

No obstantem si se considera simplemente a , la variacin de la pendiente causada por la fuerza de corte Q, representa la curvatura adicional por dicho motivo, y es la derivada primera

de y(Q). Reemplazando adems Q en funcin de Pk se obtiene y usando el coeficiente que

es un valor mayor que resulta:

2

2y( )

kk

dQ d dy P dyQ P

F G dz F G dz dz F G dz

La curvatura total de la elstica se obtiene sumando la curvatura originada por el momento flector M, a la curvatura producida por el esfuerzo de corte Q.

2

2

2

2

dz

yd

GF

P

IE

yP

dz

yd kk

: y

GF

Py

IE

Py kk

yIE

P

GF

Py kk

1 0

1

y

GF

PIE

Py

k

k

Haciendo:

GF

PIE

Pk

k

k

1

2 queda: 0

2 yky

Procediendo del mismo modo que al deducir la frmula de Euler, a partir de esta nueva ecuacin diferencial se obtiene:

l

nknklklsen

0)(

A la carga crtica kP se la obtiene con el menor valor de n es decir n=1 resultando.

GF

PIE

P

lk

k

k

12

22

ek

k P

GF

P

P

l

IE

12

2

siendo Pe la carga de Euler.

Operando: ke

ek PGF

PPP

ee

k PGF

PP

1



Resultando finalmente: 1

1

k e e

e

P P K PP

F G

[9] entonces: ek PP

Ello significa que debido a la accin de la fuerza de corte, la carga crtica disminuye por que-

dar afectada por la relacin

GF

Pe1

1 que es menor que la unidad.

Cuando se trata de barras macizas esta relacin difiere muy poco de la unidad.

Para acero con =1/3 es: 2(1 ) 2(1 0,333) 8/ 3

E E EG G

8

3 EG

y adems: 2

2

E

F

Pe

e : 222

2

3

80

3

810

G

E

GF

Pe

Resulta entonces:

2

1

801

3

k e eP P P K

Si se calcula el error que se comete al no tener en cuenta el corte Q, para tres valores de la

esbeltez y del coeficiente de forma , se obtienen los valores tabulados a continuacin:

=1 = 4/3 = 3/2

30 3 % 4 % 4,4 %

100 0,27 % 0,36 % 0,4 %

150 0,12 % 0,16 % 0,18 %

Si se hubiese utilizado en lugar de , los errores habran sido menores an. Como ejemplo de aplicacin calcular la carga crtica Pk para una barra de acero biarticulada de seccin circu-lar, si se sabe que posee un dimetro de 0,05 [m] y una longitud de 1,30 [m]. Calcular adems el error porcentual al no considerar al esfuerzo de corte.

PANDEO CON DEFORMACIONES ANELSTICAS

Mtodo Emprico experimental (Frm. de Tetmajer).

Realizada una gran cantidad de ensayos con probetas de distintos materiales, y para cada material con distintas esbelteces, Tetmajer propuso ajustar los resultados de dichos ensayos con una lnea que en particular para el acero es una recta del tipo:

bak [10]

denominada de Tetmajer en la que a y b son coefi-cientes que dependen del tipo de material.

Para el acero St 37 (A-37 F24): a=310, b=1,14[MPa]

Hiprbola de Euler

Recta de Tetmajer

fig. 10

k

a

lm

f

fluencia



resultando: k 310 1,14 a y b en [MPa]

Para esbelteces muy pequeas, la tensin K segn la recta de Tetmajer, se acercara al va-

lor 310. No obstante como el material alcanza la fluencia aproximadamente para el valor de f = 240 [MPa], dicha tensin de 310 [MPa] no se puede alcanzar.

Por lo tanto la recta de Tetmajer ser vlida entre la tensin de fluencia y la de proporcio-

nalidad P.

Se debe tener en cuenta que los resultados de los ensayos para pequeas esbelteces, se

alinearn sobre una recta horizontal de valor f (fig.10).

Teora del mdulo tangente simple (Engesser)

El planteo de esta teora propuesta por Engesser se basa en:

1. Se utiliza la verdadera curva del diagrama experimental tensin -

deformacin () para compresin. Se trata del tramo ED del diagrama de la fig.11.

2. Se suponen validas las hiptesis idealizantes: Barra perfectamente recta y seccin uniforme. Fuerza axial aplicada en G y colineal con el eje.

3. Es vlida la hiptesis de Bernoulli (las secciones originalmente planas se mantienen planas luego de la deformacin y giran al-rededor de la lnea neutra (eje neutro).

Anlisis previo:

Se considera la accin de una carga axial P creciente sobre una columna de esbeltez tal que pandea en el campo inelstico.

El diagrama - para el material es el que muestran las figuras 11,12(e) y (e), en los que representa la tensin normal de compresin (uniformemente distribuida en la seccin transver-sal).

La tensin crtica de pandeo k y la deformacin inelstica correspondiente estn represen-tadas por un punto en las cercanas de C sobre la curva, donde ocurren pequeas deformacio-nes plsticas.

El problema consiste en obtener la carga crtica Pk= F. k, es decir la carga mnima capaz de mantener a la columna en posicin ligeramente curvada luego de aplicar una perturbacin H simultneamente con el ltimo incremento de carga para alcanzar la carga Pk.

A medida que aumenta la carga P, crecen las deformaciones especficas pero se mantie-

nen uniformemente distribuidas. Graficando las deformaciones y las tensiones para los distin-

tos valores de la carga, se obtienen las rectas paralelas 1, 2, 3 y 4, tanto para como

para en las figuras 12(a) y 12(b).

Al aproximarse P al valor Pk, se le aplica una perturbacin H simultneamente con el ltimo incremento de carga, alcanzando el valor Pk.

El diagrama se deformaciones especficas presentar la distribucin lineal 5 de la figura 12(c), por ser vlida la hiptesis de Bernoulli (de las secciones planas), y por tratarse de un es-fuerzo combinado de flexo-compresin.

El diagrama de tensiones normales en la seccin nn correspondiente a la deformacin con la viga levemente curvada, es el indicado con AB en la fig. 12(d).

Se puede suponer una variacin lineal de las tensiones (lnea AB) debido a que el tramo cur-

[%]

k

E

D

Cc

fig. 11



vo CC del diagrama ampliado de la fig.12-e, puede reemplazarse por la tangente CC.

[%]

K

E

fig. 12

D

C

c

4321

5

+

P PPk Pk

H

(a) (b) (c) (d)

(e)

E1

k

P

nn n nn

n n n

C

B

A5

k

E

D

Cc

(e)

C

C

n n

Pk

Pk

M=Pk.y

-

- +

-(f)

La pendiente para el ngulo C es igual al mdulo de elasticidad Et (mdulo tangente) en las proximidades del punto C. Se puede considerar que Et es constante para el incremento de la

deformacin especifica desde hasta + para dicho tramo CC.

Esto equivale a sustituir el tramo CC de la curva por el tramo CC de la tangente en C, lo

que est justificado por ser muy pequeo.

Por tal motivo, al multiplicar (lineal) por E (constante), se obtiene finalmente una tensin lineal (AB).

El incremento de tensin entre A y B es = E 1 . .

Solucin por el mdulo tangente simple

Cuando se analiz la deformacin de vigas (lnea elstica) en el campo elstico con E= cte, se acept como vlida la hiptesis de Bernoulli de las secciones planas. Por lo tanto las defor-

maciones presentaban distribucin lineal en toda la seccin.

Siendo adems, el mdulo de elasticidad E constante para todas las fibras, entonces las

tensiones tambin tenan distribucin lineal en la seccin.

Bajo esa hiptesis se dedujo la ecuacin diferencial de la lnea elstica: IE

My

en la que E representa el mdulo de elasticidad en el perodo elstico.

En el caso de deformaciones inelsticas, si se acepta que las deformaciones varan muy

poco para todas las fibras de la seccin por ser muy pequeo como antes se plante, enton-

ces Et = tg C (mdulo tangente) se mantendr casi uniforme (constante) para todas las fibras

y las tensiones se distribuirn tambin linealmente.

Por lo tanto se puede recurrir al mismo razonamiento (para relacionar deformaciones con momento flector M) que el utilizado en el campo elstico y plantear:



IE

My

t

donde Et (considerado constante para todas las fibras) es el mdulo tangente.

Como: yPxM k )( entonces resulta: IE

yPy

t

k

02 yky con:

IE

Pk

t

k

2 que conduce finalmente a: k l

de donde:

2

2

tk

e

E IP

l

[11] : 2

2

tk

E [11 ]

La [11] representa la tensin crtica expresada en funcin del mdulo tangente Et, cuyo va-

lor en principio no se conoce ya que depende precisamente de la tensin k que se pretende calcular.

Resolucin grfica para mdulo tangente simple.

El clculo de k o de Pk para una barra de material y dimensiones dadas sometida a compresin, implica un proceso de aproximaciones sucesivas, ya que el valor

de Et no se conoce si no se conoce el valor de k.

De hecho, se debe disponer del diagrama de ensa-

yo - del material, con el que se pueden determinar los valores del mdulo tangente para distintas tensio-nes, para poder trazar una grfica como la de la figura 14.

Se puede calcular k ( Pk) en base a un valor de Et supuesto (tentativo), usando la [11] o la [11]. .

Luego de obtenida la tensin k con la expresin (11), se verifica si a esa tensin le corresponde en la grfica el valor Et que se supuso, caso contrario se

debe recalcular con otro valor de Et hasta obtener una tensin k a la que le corresponda en la

grfica un mdulo Et coincidente con el que se utiliz en el clculo de k.

Resolucin grfica: para evitar el proceso de tanteos se puede proceder del modo que sigue.

Suponiendo que el mdulo tangente es Et entonces se puede plantear la (11) as:

2

2

tk

E : ktE

2

2

en la que 2

2

posee un valor nico (constante) para una barra

en particular, por lo que resulta: Et = K . k [12]

Esa expresin corresponde a la recta representada con la lnea de trazos en la grfica de la

fig. 14, en la que el eje E coincide con el eje , pero se lo dibuja arriba junto a la zona cuadricu-lada, para una lectura ms cmoda.

E

Ak

Et

f

material: Et = f

O

barra: Et = f

fig. 14



El punto A de interseccin con la curva E= )(f posee las coordenadas k y Et que cumplen

con la ecuacin [12] deducida para pandeo segn el mdulo tangente, como as tambin con

los valores E- correspondientes al ensayo del material matrial.

Teora del Doble mdulo (o del mdulo de pandeo de Engesser - Karman)

En esta teora se suponen vlidas las mismas hiptesis utilizadas para la teora del mdulo tangente (simple) de Engesser, pero se introduce una modificacin en el proceso de aplicacin de la carga hasta alcanzar el valor de la carga crtica Pk.

Se considera una barra de eje recto de una esbeltez tal que pandee en el campo anelstico, cargada axialmente de modo que se encuentre en estado de equilibrio indiferente.

Estar sometida a una tensin de compresin uniforme k > P y la deformacin especifica

ser .

En la fig. 15 se ha representado el diagrama -, como as tambin a la propia barra dis-puesta paralela al eje horizontal, para representar las deformaciones en la seccin, y a la barra en forma vertical para representar las tensiones.

K

E

C

c

e = E e

fig. 15

n n

i = Et iS

T

lado c

onvexo

lado c

ncavo

lado convexo

lado cncavo

n

n

ie

BARRA

BARRA

TE

NS

ION

ES

DEFORMACIONES

A

B

A

B

-

El punto C del diagrama representa la tensin alcanzada luego de aumentar la carga P

hasta alcanzar el valor lmite al que le corresponde una deformacin .

Si se le aplica una perturbacin H, la barra se curvar. Al producirse la flexin las secciones originalmente planas y paralelas se inclinan una respecto de la otra lo que ocasiona que las

fibras exteriores (lado convexo) disminuyan su deformacin la cantidad e,y las fibras interio-

res (lado cncavo) aumenten su deformacin la cantidad i tal como muestra la lnea AB de la fig. 15.



Las fibras del lado cncavo que se acortan un poco ms, aumentan la tensin de compre-

sin. El diagrama - correspondiente es el tramo CS de la curva al que le corresponde un

mdulo de elasticidad Et dado por la tangente del ngulo C

Para las fibras del lado convexo que se relajan (se alargan en relacin con el estado de

acortamiento previo), el diagrama - correspondiente es el tramo CT de la curva al que le co-rresponde el mdulo de elasticidad E del perodo elstico, cuestin que se estudi en oportuni-dad de analizar el diagrama de ensayo en el curso anterior.

Significa que las fibras de la barra dispuestas a uno u otro lado (en la barra) trabajan con di-ferentes mdulos de elasticidad a diferencia de lo que ocurre en el caso del mdulo de elastici-dad simple (teora de Engesser).

Por tal motivo Karman propone una modificacin que consiste en el uso de un mdulo que denomina mdulo reducido, doble mdulo mdulo de pandeo que se identifica con la le-tra T, e involucra a los mdulos E y Et, dependiendo adems de la forma de la seccin.

Es posible demostrar que para cualquier seccin maciza puede usarse con suficiente aproximacin el valor de T calculado para la seccin rectangular, con el que se puede calcular

la tensin crtica de pandeo k:

2t

t

EE

EE4T

[13]

2

2

k

T

[14]

Como T es siempre mayor que Et las predicciones de las cargas de pandeo anelstico utili-zando la teora del doble mdulo T, son mayores que las que corresponden a la teora del mdulo tangente simple Et.

No obstante los valores de la carga crtica obtenidos por medio de ambas teoras difieren muy poco entre s y su diferencia no tiene importancia a los fines prcticos, habiendo sido am-bas plenamente comprobadas por experiencias y ensayos.

La diferencia fundamental entre ambas teoras radica en el momento en que se aplica la per-turbacin H que encorva a la barra.

Segn la teora del mdulo simple Et, la perturbacin H que encorva a la barra se aplica an-tes que se alcance la tensin crtica y en consecuencia todas las fibras se siguen acortando, por lo que corresponde el mismo mdulo de elasticidad Et a todas ellas.

Segn la teora del doble mdulo T, la perturbacin H se aplica luego de alcanzarse la ten-sin crtica, lo que trae como consecuencia que las fibras del lado convexo se comporten els-ticamente con un mdulo de elasticidad E (pues se produce en ellas una descarga) mientras que las del lado cncavo se comporten anelsticamente con un mdulo de elasticidad Et.

Anlisis crtico de las teoras del mdulo tangente simple y del doble mdulo.

El diagrama de la fig. 16 muestra la variacin de las tensiones crticas K obtenidas por me-dio de la frmula de Euler y por las dos teoras ya expuestas.

Corresponde preguntarse: hasta que punto el comportamiento de una barra comprimida real se acerca a lo supuesto al desarrollar dichas teoras ?.

Llamando:

Pkt : a la carga crtica segn teora del mdulo tangente

Pkd : a la carga crtica segn teora del Doble mdulo o Mdulo de pandeo.

Es de esperar que una columna real no se mantenga rectilnea hasta que se alcance la car-ga crtica Pkd como supone la teora del doble mdulo. Siempre habr alteraciones de las con-



diciones ideales que motiven que la barra se curve para valores de la carga axial an menores

que Pkt.

Si en una barra real cuyo material no posee un valor constante de Et se incrementara la car-ga por encima de Pkt, es improbable que se alcance el valor Pkd puesto que esas diferencias harn que se curve y colapse para una carga menor.

De los ensayos experimentales realizados tratando de reproducir las condiciones ideales se concluye que los valores de la carga crtica de pandeo se encuentran entre los valores dados por ambas teoras.

En conclusin: la carga de pandeo en el perodo anelstico para una barra o columna que se aparta relativamente poco de las condiciones ideales, puede predecirse satisfactoria-mente mediante la expresin dada por la teora del mdulo tangente, mientras que la teora del doble mdulo puede considerarse solamente para establecer el lmite superior de dicha carga, siendo improbable que se alcance en una barra real.

Carga crtica real Pkr

Puede efectuarse un estudio terico mucho mas profundo y complicado y obtener as una carga crtica ms prxima a la realidad, denominada carga crtica real que se identificar con

Pkr.

A tal fin se deber prescindir de las hiptesis idealizantes utilizando la curva real del dia-grama experimental, teniendo en cuenta adems las desviaciones de la alineacin recta de la barra, la excentricidad de la carga, la anisotropa del material, etc.

La dificultad para la determinacin y la complejidad del clculo necesario, crecen en el si-guiente orden:

Carga crtica ideal de Euler (lo ms sencilo).

Carga crtica usual determinada con mdulo de pandeo (un poco ms complicado)

Carga crtica real (mucho ms complicado).

Por tal motivo en el clculo de construcciones metlicas es frecuente utilizar para el dimen-sionado:

Carga crtica real Pkr slo en los casos sencillos.

Carrga crtica usual Pk en general.

Carga crtica ideal Pki en los casos de mayor dificultad.

Normas:

Sobre la base de las distintas teoras ya expuestas para el campo anelstico, con mayores o menores modificaciones, se han redactado normas en distintos pases con el fin de facilitar, ordenar y sistematizar el clculo.

Una de las ms difundidas, de uso generalizado en nuestro pas y con tendencia a ser re-emplazada por las normas CIRSOC, es la norma alemana DIN 4114 que fuera editada en el ao 1952.

En esa norma se aborda de modo total y completo el problema de los estados de equilibrio inestables en las estructuras metlicas. A continuacin se dan algunos detalles de las prescrip-ciones de la citada norma referidas a barras rectas comprimidas axialmente.

k mdulo simple (Engesser)

k Euler

k Doble mdulo (Engesser - Karman)

fig. 16

k



Norma DIN 4114

Esta norma acepta en el perodo elstico la validez de la frmula de Euler, pero en el perodo anelstico introduce los conceptos de la teora del doble mdulo o mdulo de pandeo y la teor-a de las inexactitudes iniciales (carga crtica real).

Plantea asimismo un mtodo directo (o semidirecto) de clculo que se denomina mtodo Domhke.

Para barras comprimidas axialmente distingue tres valores distintos de la carga crtica; ten-sin crtica y coeficiente de seguridad, segn sean las hiptesis que se tomen como bases para el clculo, las que se resumen en el siguiente cuadro utilizando la notacin de la norma.

Teora Notacin Denominacin Hiptesis

EULER

Pki

ki

ki

Carga ideal de pandeo.

Tensin ideal de pandeo.

Coeficiente ideal de seguridad.

Material idealmente istro-po.

Validez ilimitada de la ley de Hooke.

Eje de la barra idealmente recto.

Aplicacin de la fuerza ide-almente centrada.

Doble modu-lo

(Mdulo de pandeo)

Pk

k

k

Carga de pandeo de Engesser.

Tensin de pandeo de Enges-ser.

Coeficiente de seguridad de Engesser

Material idealmente istro-po.

Validez de la ley de Hooke solo en el perodo elstico

Eje de la barra idealmente recto.

Aplicacin de la fuerza ide-almente centrada.

Inexactitudes iniciales. (Carga crti-ca real)

Pkr

kr

kr

Carga real de pandeo.

Tensin real de pandeo.

Coeficiente real de seguridad.

Validez de la ley de Hooke solo en el perodo elstico

Se prescinde de las hipte-sis idealizantes del material, la carga y la geometra de la barra.

Los coeficientes de seguridad: ki , k , kr

Los coeficientes de seguridad han de estar comprendidos dentro de los lmites se establecen por motivos de seguridad y economa, como as tambin por experiencia y conocimientos teri-cos.

Por lo tanto han de establecerse tanto mayores cuanto ms se aparten de la realidad, las hiptesis simplificadoras admitidas.

Es por eso que se proponen coeficientes de seguridad distintos para las cargas crticas Pki, Pk Pkr.

Coeficiente de seguridad real: kr=1,71 siempre que para la determinacin de la carga crtica

Pkr se haya tenido en cuenta la mxima excentricidad posible en la aplicacin de la carga prcticamente inevitable.

Coeficiente de seguridad usual (Engesser): k=2,5 en el perodo elstico y disminuye hasta

1,71 en el perodo anelstico.

Coeficiente de seguridad ideal (Euler): ki=2,5.



Tensin admisible al pandeo d_adm

a) Calculada en base a las cargas crticas reales

El clculo de d_adm se basa en la determinacin de las tensiones crticas reales kr de acuerdo

a las siguientes hiptesis:

1) FORMA: la seccin de la barra es uniforme y tiene la forma

indicada en la figura 17.

2) CARGA: acta en los extremos de la barra biarticulada y

conserva su direccin durante el pandeo, siendo le l .

3) EXCENTRICIDAD: el punto A de aplicacin de la carga se

encuentra sobre el eje de simetra de la seccin, a la distancia u del centroide G, con lo

que se pretende tener en cuenta las inexactitudes inevitables (excentricidad, curvatura) de

los casos reales. La norma adopta para u el valor:

20 500

iu

e [15]

en la que i es el radio de giro mnimo de la seccin y le la

longitud efectiva de la barra (l=le) por ser biarticulada.

4) DIAGRAMA DE ENSAYO: se acepta para el acero el diagra-

ma de tensin deformacin simplificado de Prandt de la fig.

18, con un mdulo de elasticidad E= 2.100.000 [kgf/cm2] y con f = 2300 [kgf/cm2].

5) HIPTESIS FLEXIN ANELSTICA: son vlidas las hiptesis de la teora de la flexin en el

perodo anelstico del material.

6) COEFIC. DE SEGURIDAD: teniendo en cuenta que las hiptesis formuladas son muy desfavo-

rables, se adopta un coeficiente de seguridad kr=1,5.

A las cargas y a las tensiones crticas que se determinan sobre la base de las hiptesis enunciadas, se las denomina reales y se las identifica con el agregado del subndice r en su notacin.

Con la ubicacin desfavorable de la carga se ha pretendido tener en cuenta las inexactitu-des que son imposibles de evitar en un caso real, que representan en s una perturbacin no siendo necesaria la perturbacin para provocar la desviacin.

Sobre la base de las hiptesis anteriores se puede calcular la tensin crtica real Kr en fun-cin de , utilizando la siguiente ecuacin propuesta por la Norma:

fl

[%]

fl

fig. 18

uh

2 h

G

A

h/10

fig. 17



322

2 005,025,01krf

kr

krf

kr

krf

kr

kr

mmmE

[16]

donde:

50005,0317,2

m

La kr para cada valor de se puede obtener por tanteos mediante mtodos numricos.

b) Calculada en base a las cargas crticas ideales (Euler).

Se calculan con la expresin [6] las tensiones crticas ideales de pandeo (de Euler) para di-

versos valores de : 2

2

Eki

Determinacin de las tensiones admisibles al pandeo

Dividiendo los valores de kr por el coeficiente de se-

guridad kr=1,5 y los de ki por el coeficiente de seguri-

dad ki=2,5, se obtienen dos valores de la tensin ad-

misible a pandeo d_adm por cada valor de la esbeltez .

Con ellos se pueden trazar dos curvas que se cruzan.

El menor de ambos valores de d_adm para cada valor

de , se adopta como la tensin admisible a pandeo

d_adm. La curva de lnea continua de la figura repre-

senta dichos valores.

Coeficiente de pandeo (omega)

Una vez obtenidos los valores de d_adm para cada

valor de segn lo explicado antes, se establece el siguiente cociente:

adm

dadm

por lo tanto

adm

dadm

con el que se confeccionaron las tabla del Anexo para dos aceros.

En dicho cociente adm es la tensin admisible para traccin del acero y dadm es la tensin admisible al pandeo (compresin).

Como dadm < adm resulta 1.

Para una barra solicitada a compresin axial, la tensin debe ser menor o igual a la admisible al pandeo, lo que se indica as:

dadm

P

F [17] :

admP

F

[17] ya que: dadm

adm

adm

ki

kr1,5

2,5

d_adm

d_adm



Dimensionado directo de barras comprimidas (Mtodo Domhke)

Este mtodo se denomina directo, porque su aplicacin evita realizar muchos tanteos en el proceso de dimensionado y verificacin al pandeo.

Como se explic, se debe cumplir que:

admF

P

Explicitando F para dimensionar resulta:adm

PF

Pero depende de que a la vez depende del radio de giro mnimo de la seccin F que se pretende calcular.

Esto hace que el proceso se realice proponiendo un valor tentativo para F y por prueba y error continuar hasta encontrar un valor de F que cumpla con la verificacin.

Para evitar el proceso de prueba y error, Domhke propone un mtodo que segn el tipo de seccin puede resultar directo o semidirecto.

El mtodo se basa en la semejanza que poseen todas las secciones de un mismo tipo (ejemplo: todas las secciones de los perfiles doble te todas las secciones circulares) cuando cambia su tamao.

En el caso de los perfiles normalizados las dimensiones cambian en forma aproximadamente proporcional. En las geometras como el crculo, el cuadrado, etc, las dimensiones cambian en forma estrictamente proporcional.

Se puede entonces establecer el siguiente parmetro de semejanza:

cteF

Z

min

2

[18] casi constante segn el tipo de seccin.

La seccin necesaria se puede calcular con: adm

PF

Entonces: min

2

2

min

2

iF

FFZ

ya que: 2iFI

quedando: Z =min

2i

F pero como

min

e

i

entonces:

22

min 2

ei

Reemplazando se obtiene:

2 2

2 2e adm e

F PZ

En la expresin anterior hay factores que son datos de un determinado problema de dimen-

sionado como por ejemplo P, le y adm; al parmetro Z se lo encuentra en tablas segn el tipo de seccin.

Agrupando los factores conocidos en un mismo miembro se obtiene lo siguiente:

22 adm eZ

P

tambin:

2adm eZ

P

Haciendo:

2adm eZ

P

[19] queda finalmente:



Se puede confeccionar ahora una tabla con tres columnas. Las dos primeras columnas con

los valores de y , que se obtienen de la tabla de )( f . Los valores de la tercera colum-

na se calculan operando con las dos primeras columnas, quedando (tabla del Anexo):

Acero St-37 (A-37)

50 1,21 50 x 1,1=55

68,1 1,38 80

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

91,3 1,73 120

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

De esta tabla se puede obtener "" en base a "" para un clculo en particular.

Entonces para dimensionar una barra al pandeo el procedimiento es el que se sintetiza a continuacin:

1) Se calcula

2adm eZ

P

con Z de la tabla.

2) Con ese valor de se entra en la tabla de )( f para el acero que corresponda para el

clculo en particular (St-37, St-52, etc).

3) Con el valor de obtenido se calcula un primer valor de la seccin F:

adm

PF

Dicho valor de F podra no ser del todo correcto ya que en el clculo previo se utiliz Z que puede ser exacto en algunos tipos de secciones pero slo una aproximacin en otros (perfi-les).

4) Con el valor de la seccin calculada en el punto anterior, se busca en la tabla de perfiles la seccin F ms prxima (la anterior o la posterior).

5) Con la seccin seleccionada se procede a extraer imn y F de la tabla de perfiles.

Luego se calcula min

e

i

.

6) Con el valor de calculada en el paso anterior, se busca en la tabla (de doble entrada) )( f para el correspondiente acero, St-37, St-52, etc.

7) Se verifica entonces que:

admF

P , en la que F y son los valores obtenidos en los pasos

4 y 6.

8) Si no se cumple lo anterior se debe considerar la alternativa de tomar el perfil anterior o el posterior de acuerdo a como resulte la desigualdad.

El objetivo consiste en encontrar la menor seccin que cumpla con la verificacin.

Resumiendo: se debe lograr en definitiva que

admF

P con la mnima seccin.



Frmulas empricas para el proyecto de columnas.

Frmula de Rankine:

Adems de la frmula emprica de Tetmajer ya vista, existen otras frmulas obtenidas a travs de ensayos sistemticos de columnas al pandeo.

Una de las frmulas empricas ms antiguas se debe a Tredgold. Ha sido aceptada por Gor-don para representar los resultados de los ensayos realizados por Hodgkinson y su forma final se debe a Rankine.

La tensin de compresin dada por la frmula de Rankine es:

21

b

ak

en la que a es una tensin y b es un factor numrico, que dependen del material.

Eligiendo apropiadamente estas constantes la frmula puede representar bien los resultados de los ensayos entre ciertos lmites.

Frmula de Ostenfeld: esta expresin fue utilizada para establecer las tensiones admisibles a pandeo en la antigua norma alemana (antes de la DIN 4114)

Es del tipo parablico: 2

k a b En la que a y b dependen del material.

Para el acero corriente es a= 2650 [kgf/cm2], b= 0,09 [kgf/cm2]

CARGA EXCNTRICA EN COMPONENTES ESBELTOS

Carga aplicada en un plano que contiene a un eje principal de inercia.

Sea la barra originalmente recta representada en la fig.20, en la que la carga P acta con cierta excentricidad e por algn motivo como son las inexactitudes inevita-bles deformando a la barra del modo indicado. El plano de carga contiene al eje longitudinal de la barra y a uno de los ejes principales de inercia de la seccin transversal.

En este caso la ecuacin diferencial de la lnea elstica es la siguiente:

xIE

My

con: )( yePM

Siendo la flecha mxima al deformarse la barra por la accin de la carga P.

reemplazando M se obtiene: )( yeIE

Py

x

: )(2 yeky donde: 2k

IE

P

x

resultando: )( ekyky 22

[20]

La solucin para la ecuacin diferencial no homognea [20], es la suma de la solucin de la ecuacin homognea ms una solucin particular de la no homognea.

P

z

y

z

y

e

fig. 20



Es entonces: )()cos()( 21 ezkCzksenCy [21]

Para resolver las constantes se establecen condiciones de contorno.

Por ejemplo, en el empotramiento donde para z = 0, y = 0, resultando:

)()0cos(0 2 ekC de donde se obtiene: )(2 eC

En el empotramiento: z = 0, y = 0.

Hace falta conocer la derivada la ecuacin [21] que resulta:

)()cos( 21 zksenkCzkkCy

Reemplazando la condicin se obtiene: 010 21 kCkC C1=0 .

Reemplazando las constantes, la (21) queda entonces as:

)()cos()()()cos(2 ezkeezkCy

)zkcos(1)e(y [22] En la expresin [22] no se conoce . Para calcularla se plantea la siguiente condicin:

en el extremo derecho: z = l , y = . Reemplazando en la [22] se obtiene:

)kcos(1)e(

de donde se puede despejar la flecha mxima :

)kcos(ee)kcos( Y )kcos(1e)kcos(

Resulta entonces:

)kcos(

)kcos(1e

[23] sec( ) 1e k

La [22] queda entonces as:

)zkcos(11)kcos(

)kcos(1e)zkcos(1e

)kcos(

)kcos(1ey

)kcos(

)zkcos(1e)zkcos(1

)kcos(

)kcos()kcos(1ey

1 cos( )

cos( )

k zy e

k

[24] (Ecuacin de la lnea elstica)

En el empotramiento para z=0, y=0, ocurre el momento flector mximo.

Momento flector mximo: (valor absoluto)

1 cos( 1 cos( ) cos( ) 1( )

cos . cos( ) cos( )mx

k ) k kM P e P e e P e P e

k k k

l

l

sec( )mxM P e k [25] En el caso de una barra como la de la fig. 20, para adecuar las expresiones obtenidas, slo

hay que remplazar l por l/2 resultando:



2

kcos

2

kcos1

el

l

[23]

.

sec 12

ke

l

2

ksecePMmax

l [25]

No linealidad entre carga y deformacin

En las ecuaciones [23] y [23] se observa que no hay dependencia lineal entre carga y deformacin.

En efecto, reemplazando: IE

Pk

la [23] queda: 2

2

1 cos

cos

P

E I

P

E I

e

l

l

En la fig. 21 se representa la relacin entre el desplazamiento y k.l/2 (en el que k depende de P) para dos valores distintos de la excentricidad. La curva (2) corresponde a una excentricidad mayor

que la curva (1), como se puede corroborar con la expresin de .

Se observa que cuando 2

k tiende a 2

la flecha tiende a infinito

(inadmisible).

Tener en cuenta que para 2

k =2

correspon-

de:2

2

2

2

2 IEPIE

Pk

Que es la carga crtica de pandeo de Euler (Pe) para carga cen-trada. Ello implica que la carga de Euler es posible solamente si no existe excentricidad.

A medida que la excentricidad crece, la carga P, que es posible aplicar, es cada vez menor.

Tensiones que origina la carga excntrica.

Por ser flexin compuesta hay que superponer la tensin debida a la componente axial com-presora, ms la tensin de la componente flectora. Si C es la distancia a la fibra ms comprimi-da para cualquiera de las dos situaciones de la fig. 22, la mxima tensin de compresin ser:

PP

GG

CC

e e

PP

t.mx

fig. 22

c.mx

PP

fig. 20

l/2l/2

fig. 21

l2

2

(2)(1)

l2

k. PE.I

sec(

k.l/

2)

k.l/2



Cmx

P Mc

F I

Reemplazando la expresin de M dada por [25], la anterior queda as:

2sec sec

2 2Cmx

P P e c k P P e c P

F I F F i E I

21 sec

2Cmx

P e c P

F i E I

tambin: max 21 sec 2C

P e c P

F i i E F

[26]

Limitando Cmx al valor fl entonces la carga P que produce esa situacin seria el valor lmi-

te Pfl. A dicho valor se le debe aplicar un coeficiente de seguridad.

La tensin en la fibra ms alejada al momento de alcanzar la fluencia, queda expresada as:

21 sec

2

fl flfl

P e c P

F i i E F

: 21 sec 2

cfl c

e c

i i E

[27]

En la que c es la tensin calculada (uniforme) con la

componente axial, que provoca que la tensin mxima (de la

distribucin no uniforme) alcance el valor fl.

Por ser un valor lmite se debe aplicar un coeficiente de seguridad.

Si conocida fl, se grafica F

Pflc en funcin de

i

e

para distintos valores de la excentricidad e y para una cier-ta seccin transversal, se obtienen las curvas representadas en la fig. 23.

Para poder calcular es conveniente contar con una grfica

en la que en lugar de e figure 2i

ce (excentr. relativa), de

modo que para calcular c solo se debe evaluar 2ice

y i

e.

Luego con ese valor de c y un coeficiente de seguridad,

se puede finalmente calcular la tensin admisible:

c

Euler

fig. 23

c

Curvas para distintos

valores de "e"

e1

e2e3

e4

fig. 24

a/l=1/1000

a/l=1/700

a/l=1/400

Euler

c

a

Barra levemente

encorvada.



Caso de columna con deformacin inevitable.

Otro caso de inexactitud inevitable se presenta cuando la barra posee curvatura inicial con una flecha a.

Conocida fl, si la mxima flecha inicial es a y se resuelve c en funcin de la relacin

2i

ca y de la esbeltez

i

le, se obtienen las curvas de la fig. 24.

Considerando que la flecha a guarda relacin con el largo l de la barra (para l0, a0), entonces para distintos valores de a/l el anlisis proporciona curvas de ese tipo.

BIBLIOGRAFIA

Resistencia de materiales. Autor: Timoshenko. Editorial Espasa Calpe

Mecnica de materiales. Autor F.R Shanley. Editorial Mc Graw Hill

Resistencia de materiales. Autor: Alvin Sloane. Editorial Uteha

Resistencia de materiales. Autor: V.I.Feodosiev. Editorial: Mir (Mosc)

Teora de la estabilidad elstica. Autor: S. Timoshenko. Ed. EDIAR Soc. Anon. Editores

Resistencia de materiales. Autor: Luis Ortiz Berrocal. Editorial Mc Graw Hill

Este material de apoyo didctico, cuyos manuscritos originales fueran preparados por el ex-profesor de la Ctedra Estabilidad III, Ing. Guillermo Pons, fue adap-tado, modificado, ampliado y digitalizado, y est destinado exclusivamente para el uso de las asignaturas: Estabilidad II de la carrera Ingeniera Mecnica, Resis-tencia de Materiales de la Carrera Ingeniera Civil y Estabilidad de la Carrera In-geniera Elctrica de la Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N.

Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone.

Ayudantes de TP: Dr. Federico Cavalieri.

Mg Alejandro Carrere.

Marzo de 2012



Ejemplo 1 (P 561: Secc. cuadr., Dimens. p/ Euler y Tetmajer) La barra de acero representada posee una longitud de 2,29 [m], deber soportar una car-ga de trabajo de 190 [kN] y se dimensionar con seccin cuadrada maciza.

La tensin de proporcionalidad del acero es 200 [MPa], el mdulo de elasticidad es E=210[GPa] y los coeficientes para la frmula de Tetmajer son 310 [MPa] y 1,14 [MPa] respectivamente.

El extremo superior est vinculado por medio de una articulacin mvil mientras que el inferior est empotrado rgidamente.

Calcular el valor del lado t de la seccin, si se establece un coeficiente de seguridad para pandeo igual a 7.

RESOLUCIN: Suponiendo que fallar en el perodo elstico del acero, en base a la frmula de Euler resulta:

2

k2e

E IP P

L

mn

42 9

2

t200 10

12190000 7 t 0,06 [m](0,7 2,29)

Radio de giro: para figuras regulares como el cuadrado, es uniforme para cualquier posicin del eje enton-

ces:

4 2mn 2

mn2

I t t 6 10i 1,732 10

F 12 t 12 12

Resultando una esbeltez: e

2mn

L 0,7 2,2992

i 1,732 10

Esbeltez limite segn el material:

9

lm3

p

E 210 10102

200 10

Como lm se debe utilizar una frmula para perodo inelstico como por ejemplo la de Tetmajer:

k

k

Pa b

F entonces: ka F b F P 0

pero: mnt

i12

siendo: F=t2

Entonces:

2 2ke

12a t b t L P 0

t en la que: Pk=7.P

queda: 2

ea t 12 b L t 7 P 0 (ecuacin de 2 grado en t)

Resolviendo se obtiene:

2 2e12 b Le 12 b L 4 a ( 7 P)t

2 a

y reemplazando valores:

6 6 2 2 6

6

12 11,4 10 0,7 2,29 12 (1,14 10 ) (0,7 2,29) 4 310 10 7 190000t

2 310 10

El signo - no brinda solucin y corresponde usar el +, entonces: t 0,0765[m] 7,65[cm]

P

30 cm

26

cm

1 cm

3 c

m

SECCIN



Ejemplo 2 (P804: Secc. 1PNU, Dimens. p/Euler Tetmajer)

Una columna consistente en un perfil normalizado PNU 16, posee un extremo articulado, mientras que el otro extremo est empotrado.

Calcular la carga de trabajo Padm si se adopta un coeficiente de seguridad =3,5 en el caso de comportamiento elstico del material y de 2,5 si pandea en el perodo inelstico.

Datos: L=3,5m, E=2.100.000[kgf/cm2], p=1.900 [kgf/cm2]. Coeficientes para frmula de Tetma-

jer 3100 y 11,4 [kgf/cm2]. RESOLUCIN: La esbeltez lmite para la aplicacin de la frmula de Euler es:

6 2

lim2

2,1 10 /104,44

1900[ / ]P

kgf cmE

kgf cm

De la tabla de perfiles se obtiene: UPN 16 con F=24 cm2; imn = 1,89 cm; Imin = 85,3 [cm

4] La esbeltez resulta:

lim

min

0,7 350129,63

1,89

el cm

i cm

Para obtener la carga crtica corresponde aplicar la frmula de Euler: 2 2 6 2 4

min

2 2

2,1 10 [ / ] 85,3[ ]29453,43[ ]

(0,7 350[ ])k

e

E I kgf cm cmP kgf

l cm

La carga admisible resulta:

kP 29453,43P kgf ]

3,58415,27[



Ejemplo 3 Ensayo s/optimiz. de secc. c/perfiles) Se sabe que seccin triangular equiltera posee un Z=10,4 (ver mtodo Dohmke) resultando

ser el menor valor entre las figuras geomtricas regulares macizas, a la que le sigue el cuadra-do, pentgono, etc. y finalmente el crculo (si se lo concibe como de infinitos lados).

Por ejemplo, el cuadrado posee Z=12 y para el crculo es Z=12,57; recordar que las mejores secciones son las que poseen menor Z. Ello indica que la forma triangular otorga una ventaja gomtrica para el pandeo.

Si en lugar de formas macizas se piensa en perfiles laminados la tendencia debera ser pa-recida. Suponiendo contar con un perfil PNI 20 y dos perfiles PNU 16, de iguales longitudes (6m), se pretende armar dos columnas de 6m de longitud uniendo mediante soldadura y algunos refuerzos, cada uno de los PNU con medio PNI tal como indica la figura, previo corte longitudinal del PNI. En la figura se observa que si bien no se trata de una forma triangular, se logra aunque sea una cierta semejanza con ella y una mejora de comportamiento para pandeo.

Comprobar el valor de Z que surge de esa combinacin y compa-rar con los valores de tabla para los diversos perfiles simples y com-puestos. RESOLUCIN: Al cortar por la mitad al PNI 20, se requiere conocer las inercias propias para esa mitad (respecto a tus ejes cen-troidales), lo qu exige conocer la posicin de su centroide. La posicin se identificar con t. Operando en [cm] con los valores obtenidos de la tabla de perfiles resulta:

1257,463[ ]

/ 2 33,5 / 2

Sxt cmF

De tabla se obtiene para el PNI 20 lo siguiente: Ix=2140[cm4], Iy= 117[cm4] Por lo tanto el momento de inercia propio para medio per-fil, con respecto a sus ejes centroidales es:

2 42140 33,5 7,463 137,1[ ]2 2

Ix cm : 4117 [ ]

2Iy cm

Conocida la posicin del centroide del medio perfil, se puede ubicar el centroide de la figura compuesta, ubicando un eje x en la parte inferior del PNU:

33,5(7,463 6,5) 24 (6,5 1,84)

2 8,484[ ]33,5

242

G cmy

Con la informacin obtenida se pueden calcular las inercias de la figura compuesta:

2 2 433,5[137,1 (7,463 6,5 8,484) ] [85,3 24 (8,484 6,5 1,84) ] 1076[ ]2

x cmI

4117 925 983[ ]2

y cmI

El mnimo momento de inercia se da con respecto al eje y, resultando parecido al mximo (1076cm4) con lo que se logra cierta uniformidad geomtrica para pandeo.

2 2

m

(33,5 / 2 24)

I 983n

FZ

Resulta finalmente; 1,69Z (ver tabla de Z)

10

7,4

63

1,8

4

6,5

92

5

85,3

137,1

11

72

33,5

24

2

P-130

8,4

84

P-130

(medio)PNI 20

PNU 16



Ejemplo 4 ecc. 1PNL, Dimens. p/DIN 4114) La barra de acero St-37 representada en el croquis, cuyos ex-

tremos se consideran articulados, posee una longitud L=1,50[m] y est sometida a compresin axial por una fuerza P=7000 [kgf].

Si se adopta una tensin admisible a traccin de 1400 [kgf/cm2], seleccionar el perfil ngulo de alas iguales lo ms liviano posible, en base al criterio de la norma DIN 4114.

RESOLUCIN:

De Tabla 1 se obtiene Z=6,2, siendo adems e por ser ex-tremos articulados.

Resulta entonces:

2 26,2 150 1400

1677000

e admZ

P

De Tabla 2 y para acero St-37 se obtiene =2,22

La seccin necesaria resulta: 27000 2,22 11,1

1400adm

PF cm

De la tabla de perfles se deber ubicar un PNL que posea el mayor momento de inercia en re-lacin con su seccin transversal. Ello ocurre para los perfiles de menor espesor de pared para cada grupo que posee la misma dimensin de ala.

Por ejemplo: el PNL 60x10 posee una seccin F=11,1 cm2 y un radio de giro imn=1,15[cm] Verificacin:

Para dicho perfil se obtiene: 150

130,41,15

e

mni

, y de la Tabla A (acero ST-37) resulta

=2,85, y con dicho valor se procede a la verificacin del perfil seleccionado.

Es 27000

620 /11,1

Pkgf cm

F mientras que:

21400 491 /2,85

adm kgf cm

Resulta entonces: admP

F

que es contrario al objetivo perseguido.

Probando con otros perfiles se obtiene finalmente el PNL 75x7 que posee la seccin F=10,1 cm2 y un imn=1,45[cm]

Verificacin: 150

1031,45

e

mni

y de la Tabla A se obtiene =1,96 resultando entonces:

Es 27000 693 /

10,1

Pkgf cm

F mientras que:

21400 714 /2,96

adm kgf cm

Ahora s resulta: admP

F

Y con ello se consigue el objetivo perseguido: que la tensin de compresin resulte menor que la admisible al pandeo y lo ms cercana posible, de modo la seccin no resulte sobredimensio-nada.

L=1,5m

P

P

PANDE 290



Ejemplo 5 (P305: secc. 2PNU, Dimens. p/DIN 4114) Dimensionar la columna representada, con dos perfiles normales

(PNU) que se unirn por medio de soldadura, conformando un com-ponente de una sola pieza.

El extremo inferior est empotrado mientras que el extremo supe-rior queda libre y sometido a una carga P=300 [kN].

Utilizar el criterio de la norma DIN 4114, adoptando una tensin admisible de 140 [MPa]. Material: acero St-37 ( A-37)

RESOLUCIN: Clculo de Z: Por no disponer del valor de Z para este caso, consideramos el correspondiente a un caso similar.

Para 2 PNU (][) con una separacin de 1 cm es Z=6

Mejor an sera calculando Z para una seccin compuesta usando dos perfiles iguales de un grandor obtenido del medio de la tabla, para estar lo ms cerca posible de la solucin. Clculo de la longitud efectiva le:

A este tipo de vnculo le corresponde , por lo que la longitud efectiva de pandeo ser

2 5e m

Clculo de : A partir de los valores de Z y de le calculados y de los datos que aporta el enunciado, podemos

calcular .

2

62 6 5 140 10265

300.000

e admm PaZ

P N

Clculo del coeficiente de pandeo :

De la tabla para Acero St-37 y para el valor de calculado, se obtiene:

2653,44

76,95 76,95

Clculo del rea: Con ese primer valor (aproximado) del coeficiente de pandeo, se calcula el rea total necesaria:

4 2 2

6

300.000 3,4473,7 10 73,7

140 10adm

NPF m cm

Pa

Como son dos perfiles iguales, a cada perfil le corresponde la mitad del rea total, resultando:

2

1

73,7F 37

2cm

Eleccin y verificacin del perfil: Con ese valor tentativo se busca en la tabla de perfiles el ms cercano. El objetivo consiste en encontrar la menor seccin que cumpla con la verificacin de tensiones. Si se considera un PNU 22 resultan los siguientes valores segn tabla:

F2

137,4 cm ; 8,48xi cm ;

42690x

I cm ; 4197

yI cm ; =2,14e cm ; 8b cm

El pandeo se producir para el eje de menor radio de giro, o sea con respecto al eje x (tener en cuenta que los valores obtenido de la tabla corresponden a ejes que estn a 90 con res-pecto a los ejes de este problema). Por medio del teorema de Steiner se obtiene:

2 42 197 37,4 8 2,14 2962,6xI cm

2962,6

6,292 37,4

xx

Ii cm

F

Con Respecto al eje y

P

2,5 m

2PNU

Detallede la seccin

P-305



42 2690 5380[ ]yI cm 5380

8,482 37,4

y

y

Ii cm

F

(Obviamente igual al de tabla)

Como 6,29 8,48 se considerar dicho valor mnimo para el pandeo.

La esbeltez resulta entonces:

50079

6,29

ex

x

cm

i cm

Con este valor de se obtiene de la tabla de doble entrada, resultando 1,53

Resulta entonces: 4 2

300.000[ ]61,36

2 37,4 10

P NMPa

F m

140

91,51,53

admMPa

MPa

Como P

F resulta muy inferior a adm

el perfil seleccionado es excesivo (sobredimensionado),

por lo que se analizar un perfil ms chico.

Si se considera un PNU16: 2

124F cm ;

485,3y

I cm ; =1,84e cm ; 6,5b cm

2 4I 2 85,3 24 6,5 1,84 1213x cm

1213

5,032 24

xx

Ii cm

F

50099

5,03

ex

x

cm

i cm

de tabla: 1,88

4 2

300.000[ ]62,5

2 24 10

P NMPa

F m

14074,5

1,88

admMPa

MPa

Sigue siendo P

F notablemente inferior a adm

por lo que se intentar con un perfil ms chico.

Si se considera un PNU14 resulta:

2

120,4F cm ;

462,7y

I cm ; =1,75e cm ; 6b cm

2 42 62,7 20,4 6 1,75 862,35 xI cm

862,35

4,62 20,4

y

y

Ii cm

F

500108,7

4,6

ex

x

cm

i cm

2,09

4 2

300.000[ ]72,53

2 20,4 10

P NMPa

F m

14067

2,09

admMPa

MPa

Result P

F > adm

lo que significa que el perfil es insuficiente, por lo que se deber adoptar el

perfil verificado anteriormente. Se adopta finalmente 2 PNU 16



Ejemplo 6 (CARGA EXCNTRICA ) El PNU n20 representado en el croquis soportar una carga

de punta de intensidad P. Si se prev la posibilidad de que el punto de aplicacin de la carga se desplace hasta el borde del alma del perfil (sobre el eje de simetra), calcular:

1.- La mxima tensin de compresin esperada en las fibras ms alejadas del lado de la carga.

2.- Flecha esperada en el centro del vano.

Datos: P=3000 kgf, l=3m, E=2,1 x 106 kgf/cm2

RESOLUCIN: De tabla de perfiles se obtiene para el PNU 20: Ix= 1910 cm4 F= 32,2 cm2

Iy= 148 cm4 distancia al centroide: 2,01cm

iy= 2,14 cm b= 7,5 cm (ancho del ala)

Clculo de la mxima tensin normal:

Con la carga en la posicin prevista, tanto la excentricidad como la distancia a la fibra ms alejada, coinciden con la distancia al centroide obtenida de ta-bla de perfiles.

La mxima tensin por flexo-compresin se debe en parte a la excentricidad de la carga pe-ro tambin est condicionada por el aumento del momento flector debido a la deformacin els-tica de la barra. La expresin es:

EF

P

i2sec

i

ce1

F

P

y

2

y

maxc

en la que P es la carga aplicada, e es la excentricidad prevista, c la distancia a la fibra con-siderada, l la longitud de la barra (este caso coincide con el estudiado en teora), F la sec-cin transversal de la barra y iy es el radio de giro para el modo de flexin previsto para la ba-rra.

Reemplazando valores se obtiene:

62maxc 10x1,22,32

3000

14,22

300sec

14,2

01,201,21

2,32

3000 ]cm/kgf[2,185 2maxc

Deformacin mxima: el mximo desplazamiento transversal en el medio de la barra se obtiene

con:

2

kcos

2

kcos1

e

siendo: rad_466,0

148101,2

3000

2

300

IE

P

22

k6

y

resulta: )_466,0cos(

)_466,0cos(101,2

rad

rad finalmente cm24,0

P

l

P

PP

G

P Gx

y



Ejemplo 7 (CARGA EXCNTRICA )

Para la barra del problema anterior calcular la carga admisible Padm para que resulte un co-eficiente de seguridad = 3 aplicado a la carga P, en correspondencia con el inicio de la plastifi-cacin de las fibras ms alejadas del lado de la carga.

La tensin de fluencia del material es fl=240 MPa, con un mdulo E=210 GPa

RESOLUCIN: La carga que provocara la fluencia en la fibra ms alejada es:

P = Padm.

en la que el coeficiente de seguridad es =3. La expresin de la mxima tensin es:

EF

P

i2sec

i

ce1

F

P adm

y

2

y

adm

fl

Siendo: e=0,0201 m, c=0,0201 m, F= 32,2 x 10-4 m2, Iy= 148 x 10-8 m4, iy=0,0214 m, E=210

GPa, reemplazando valores resulta:

94

adm

24

adm6

10210102,32

P3

0214,02

3sec

0214,0

0201,00201,01

102,32

P310240

Resolviendo por tanteos por mtodos numricos de aproximaciones sucesivas resulta:

Padm=70.004 N .


El PNU n20 representado en el croquis soportar una carga de punta P.

Si se prev la posibilidad de que el punto de aplicacin de la carga se desplace hasta el borde derecho de la seccin (sobre el eje de simetra). Se pide calcular:

1.- La mxima tensin de compresin esperada en las fibras ms alejadas del lado de la carga.

2.- Flecha esperada en el centro del vano.

Datos: P=30 kN, l=3m, E=210 x 109 Pa

RESOLUCIN:

De tabla de perfiles, se obtiene para el PNU 20:

Ix= 1910 cm4 F= 32,2 cm2

Iy= 148 cm4 distancia al centroide: 2,01cm

iy= 2,14 cm b= 7,5 cm (ancho del ala)

La excentricidad de la carga es:

c= b - 0,0201= 0,075 - 0,0201= 0,0549 m

Adems en este caso es C=e=0,0549 cm

P

l

P

P P

G

PGx

y



La expresin de la tensin mxima que ocurrir en el lado derecho es:

EF

P

i2sec

i

ce1

F

P

y

2

y

mx.c

9424mx_c 10210102,32

30000

0214,02

3sec

0214,0

0549,00549,01

102,32

30000

_Pa77.982.677 mx_c 78_MPa mx_c

Deformacin mxima: el mximo desplazamiento se obtiene con:

2

kcos

2

kcos1

e

siendo: rad_466,01014810210

30000

2

3

IE

P

22

k89

y

resulta: )_466,0cos(

)_466,0cos(10549,0

rad

rad

finalmente: cmm _675,0_00655,0


En relacin con la expresin [26] de la teora, haciendo:

i

2i

CeR

F

Pc la misma queda de la siguiente forma:

1 sec2

cCmx c flR

E

1.- Construir curvas c= f() con los valores para : 60, 80, 100, 120, 140, 160, y para los si-

guientes valores del parmetro R: 0,4-0,6-0,8-1, de modo que la tensin de compresin en las

fibras ms exigida sea mx = 240 MPa. Considerar E=210 GPa

2.- Con dichas grficas resolver la aplicacin n 2.

RESOLUCIN: 1.- Haciendo R=0,4 la expresin es:

240 1 0,4 sec2 210.000

cc

Para los valores de propuestos en el enunciado se resuelve la ecuacin por aproximacio-nes sucesivas (por ejemplo por el mtodo de Newton-Rawson o por medio de calculadoras avanzadas) obtenindose los siguientes valores que se muestran en la primera columna de la



tabla. Se advierte que para cada resulta ms de un valor de c, debindose considerar el me-nor. Tener en cuenta adems que el ngulo debe consignarse en radianes.

Para completar la tabla se debe repetir el mismo procedimiento con los otros valores de R. Con los valores de la tabla se representan las curvas

R

0,4 0,6 0,8 1

60 152,0 131,8 116,9 105,3

80 136,2 118,2 105,3 95,3

100 117,0 102,7 92,2 84,1

120 97,6 87,1 79,2 73,0

140 80,2 73,0 67,3 62,7

160 66 61,1 57,1 53,7

2.- Para la aplicacin n2 era

94

adm

24

adm6

10210102,32

P3

0214,02

3sec

0214,0

0201,00201,01

102,32

P310240

882,00214,0

0201,00201,02

R 1400214,0

3

De la grfica para esbeltez 140 e interpolando R=0,882 entre las curvas de R=0,8 y R=1 se obtiene para

4102,32

3

admC

P un valor de aproximadamente 65 MPa.

Resulta entonces:

4

6

102,32

31065

adm

P de donde: Padm= 69766 70.000 N

Este material fue preparado para el uso en las asignaturas: Estabilidad II de la carrera Ingeniera Mecnica y Resistencia de Materiales de la Ca-rrera Ingeniera Civil, Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N.

Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone.

Ayudantes: Dr. Federico Cavalieri, Mg. Alejandro Carrere.

Marzo de 2012.

100

80

60

40

20

120

140

160

20

40

60

80

100

120

140

160

180

c[MPa]

180

200

R 0,6

R 0,8R 1,0

R 0,4



500

1000

1500

2000

2500

3000

0,1

0,2

0,3

0,6 0,80,4

0,5 0,7 0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

2,1

6 2

0,001 0,002 0,003

kgf/cm

PANDE_ACERO

2

EG10 kgf/cm

Et=f()

RESUMEN DE FRMULAS 2

min

2k e

e

E IP P

[3] le = . l [4]

2

Ek

[6]

p

E

.0 [7]

Coef. p/apoyos: art-art: 1, emp-emp: 0,5, libre-emp: 2, emp-art: 0,7 Apoyo elstico: e

M E I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 20 25

1 0,860 0,775 0,720 0,685 0,657 0,635 0,620 0,606 0,597 0,588 0,581 0,575 0,568 0,560 0,545 0,535

Influencia del esfuerzo de corte:

1

1

k e e

e

P P K PP

F G

[9] (crc. =4/3; rectng. =3/2)

Tetmajer: bak [10] (St 37 A-37:a=3100, b=11,4)

Mdulo tangente simple:

2

2

tk

e

E IP

l

[11]

2

2

tk

E [11] Et = K . k [12]

Doble mdulo:

2t

t

EE

EE4T

[13] 2

2

Tk

[14]

S/DIN 4114:

322

2 005,025,01krf

kr

krf

kr

krf

kr

kr

mmmE

[16]

Con:

50005,0317,2

m

mnI

FZ

2

2adm eZ

P

[19] como:

adm

PF

debe ser:

admF

P

Columnas compuestas con presillas: 2 2

1

2y i y

n 5021 n: n de perfiles

Frmula de Rankine: 21

b

ak

Frmula de Ostenfeld: 2 bak (acero corriente: a=2650, b=0,09]

Acero



Carga excntrica:

)kcos(

)kcos(1e

[23] (empotrada-libre)

)2/kcos(

)2/kcos(1e

[23] (artic-artic)

2

ksecePMmax

[25]

Cmx

P Mc

F I

FE

P

i2sec

i

Ce1

F

P2maxc

[26]

21 sec

2

cfl c

e c

i i E

[27]

F

Pfl

c

Profesor: Ing. Hugo A. Tosone.

Docentes Auxiliares: Dr. Cavalieri Mg. Carrere

Marzo de 2012.

100

Resumen frmulas

80

60

40

20

120

140

160

20

40

60

80

100

120

140

160

180

c[MPa]

180

200

R 0,6

R 0,8R 1,0

R 0,4

Acero comn E=210 [MPa]

e.ci2

R=

Extremos articulados



8

10

12

15

30

4,5

4,2

4,0

3,8

3,6

6,2

4,6

2,9

45x45x5

ngulo

pandeo teoria 2012 mec

Documents