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Preparation a l’agregation de Sciences-Physiques ENS Physique

Fluides - Capillarite

Capillarite

– De Gennes, Brochard-Wyart, Quere, Gouttes, Bulles, Perles et Ondes

– Bruhat, Mecanique.– Fleury Mathieu, Mecanique Physique.– Guinier, La structure de la matiere.– Bouasse, Capillarite – Phenomenes superficiels

Hydrodynamique

– E. Guyon, J.-P. Hulin et L. Petit, Hydrodynamique physique

– D. J. Tritton, Physical fluid dynamics

– L. Landau, Mecanique des fluides

– Giles, Mecanique des fluides et hydraulique, serie Schaum– consulter aussi les notices des appareils. . .

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Ce T.P. traite des phenomenes de capillarite, d’hydrodynamique et de transport diffusif.Attention : il comporte deux grandes parties d’egale importance (Hydrodynamique et

Capillarite). A l’interieur de ces parties, il est precise le degre d’importance des experiences.Faites l’impasse sur celles facultatives dans un premier temps.

CAPILLARITE

Note Pour les experiences quantitatives, utiliser de l’eau distillee et du materiel propre etrince a l’alcool.

I) Experiences qualitatives sur les lames de savon

On dispose des objets suivants :

A B C

D E

fil

élastiques

Plonger l’objet A dans l’eau savonneuse et percer l’un des cotes de la lame. On illustre ainsila loi de la surface minimale (en tenant compte des contraintes imposees a la lame) et on metaussi directement en evidence la force de tension superficielle agissant sur le fil.

Plonger l’objet B et percer les parties superieures et inferieures de la lame. Tirer sur le filinferieur et verifier que cela n’a aucune action sur la forme de l’elastique superieur. On illustreainsi que la force par unite de longueur ne depend pas de la surface de la lame, le comportementest donc tres different de celui d’une lame elastique usuelle (ballon de baudruche).

Remarque

la tension de surface A (T ) est independante de l’aire Σ de la surface pour un corps pur. Dansle cas present, A (T,C) depend de la concentration surfacique Σ de savon. Si on depose unequantite n0 tres faible de savon, C = n0

Σet A depend de Σ via C. En pratique, la quantite de

savon est tres importante, et la surface est saturee (estimez la quantite necessaire) quelle quesoit la valeur de Σ. Dans cette limite, A est independante de Σ, comme pour un corps pur.

Plonger l’objet C. Interpreter la forme obtenue en termes de surface minimale. La symetrieobservee obeit-elle aux lois de Curie ? (pour la reponse, cf. BUP n 689). Verifier que l’angle deraccordement entre les differentes parties de la lame est 120 ce qui illustre indirectement le faitque la force exercee par chaque lame sur une unite de longueur de la ligne de raccordement nedepend pas de sa surface. En effet, pour que la somme de trois forces faisant entre elles des

21 octobre 2011 Preparation a l’agregation Ens–Montrouge

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angles de 120 soit nulle, il faut que les trois forces soient identiques. Le cube D presente lememe phenomene mais attention, les lames ne sont pas planes.

Avec l’objet E, on obtient en general une lame sur chaque anneau. Pour obtenir une lameunique les liant (ce qui correspond a une surface plus faible s’ils sont suffisamment proches, cf.Landau de mecanique des fluides, p.294) il faut transitoirement les rapprocher et souffler desorte que les deux lames adherent l’une a l’autre. Verifier que les signes des rayons de courbureprincipaux en un point de la lame sont opposees (les deux cotes de la lame etant a la pressionatmospherique, la loi de Laplace impose 1

R+ 1

R′= 0. Il est difficile de verifier quantitativement

que R = −R′).

Note

les lames etant de petites dimensions, on rendra l’experience visible de loin en formant une ombrequi les agrandit 2 a 4 fois. Alternativement, on pourra utiliser une webcam et un videoprojecteur.

II) Loi de Laplace

Rappelons que c’est une loi generale de la tension superficielle. On propose de la verifier icidans le cas d’une bulle de savon. Elle s’ecrit alors : ∆P = 4 A

Rou R est le rayon de la bulle, A

la tension de surface et ∆P la surpression a l’interieur de la bulle.

1) Experience qualitative, spectaculaire

Former a chaque extremite du (( generateur de bulles )) des bulles de tailles differentes. Lesmettre en communication. Verifier que la grosse (( mange )) la petite.

2) Experience quantitative

Utiliser le (( generateur de bulles )) compose d’une poire et de trois robinets (il vaut mieuxregarder la notice pour son emploi). En utilisant le capteur de pression dont l’une des entreesest a la pression atmospherique, mesurer la surpression pour differentes valeurs du rayon dela bulle (la mesure du rayon a l’aide d’une regle est relativement delicate). On pourra faire lamesure, a la volee, sur une meme bulle, en prenant soin de prendre des points pour la pluspetite et la plus grosse bulle possible. Verifier la loi de Laplace en tracant ∆P en fonction dela courbure de l’interface et en deduire la valeur de A pour l’eau savonneuse.





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III) Loi de Jurin (important)

Il s’agit de verifier experimentalement la loi de Jurin qui prevoit l’ascension des liquidesdans les tubes capillaires.

Realiser l’experience avec de l’alcool pur, l’eau posant trop de problemes de mouillage im-parfait. On dispose de 4 tubes de differents diametres. Avant de les immerger dans l’alcool,chasser tout liquide residuel pour eviter la formation de bulles.

Faire l’image des tubes avec une lentille comme indique ci-dessous (attention, les imagessont inversees sur l’ecran !)

Tracer l’ascension h du liquide dans le tube en fonction du rayon r du tube. Montrer que larelation h = 2A/ρgr est verifiee et en deduire A.

IV) Tensiometre a lame mouillee (important)

Cet appareil sert a mesurer la tension superficielle des liquides.

1) Principe

On mesure avec une balance la force qui s’exerce sur une lame solide lorsqu’elle affleure lasurface libre d’un liquide.

On etablit que la lame mince est soumise de la part du liquide a une force dirigee vers lebas qui vaut :

F = 2 LA cos θ





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ou L est la largeur de la lame, θ l’angle de raccordement du liquide sur la lame et A est latension superficielle du liquide etudie. La mesure de la force conduit directement a la valeur deA cos θ. Dans la pratique, on fait en sorte d’avoir cos θ ≈ 1 en utilisant une lame specialementtraitee pour etre parfaitement mouillee par les liquides usuels. On s’arrange aussi pour que la

lame effleure l’eau au moment de la mesure de facon a annuler la poussee d’Archimede.

2) Experience

Choisir une des deux lames metalliques (cylindrique ou plate). La chaınette etant sur zero,regler le contrepoids pour retablir l’horizontalite du bras de la balance. Monter le liquide jusqu’aeffleurement. La lame est attiree vers le liquide. Retablir l’horizontalite du fleau au moyen dela chaınette. Lire la valeur de la masse qui equilibre la force de tension superficielle. Attention,l’arrachement de la lame hors du liquide intervient pour une force plus grande a cause de lapoussee d’Archimede.

On a : m g = 2 AL. Or par construction, L = 4,905 cm donc 2 Lg

= 10−2s2. La mesure de m

en milligrammes divisee par 10 donne directement la valeur de A en mN/m.

a) Precaution importante

avant d’effectuer les mesures, bien rincer les recipients et la lame a l’eau puis a l’alcoolordinaire. Ceci permet d’eliminer toute trace de graisse et de savon (la graisse empeche lemouillage parfait et le savon abaisse considerablement la tension superficielle de l’eau (voirci-dessous)).

– Faire la mesure avec de l’eau distillee.– Sans changer l’equilibre de la balance, ajouter une goutte de savon. Interpreter l’effet

puis mesurer la nouvelle valeur de A. Rajouter du savon et verifier que A ne varie plus.Interpreter.





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V) Mouillage, angle de raccordement

Il s’agit de comparer l’etalement d’une goutte d’eau sur des materiaux differents, plus oumoins mouillants. On dispose de quatre types de substrat : une plaque en teflon, une plaqueen verre non traite, des lamelles recouvertes de poudre de lycopode et des lamelles recouvertesd’un film fluore. Il est essentiel, pour la validite des mesures, de ne pas toucher les plaques,avec quoi que ce soit. Disposer une grosse goutte d’eau distillee (environ 2 cm de diametre)sur le substrat choisi, et l’observer par le cote, a l’aide d’une camera CCD ou d’une webcam.Alternativement, on peut faire l’image de la goutte sur un ecran avec une lentille.

Comparer les angles de contact. On illustre ainsi le fait que l’eau mouille le verre alorsqu’elle ne mouille pas le teflon (les vetements en Gore-tex sont une application directe de cephenomene : il s’agit d’un tissu de teflon perce de tres petits trous (diametre ≈ 0.2 µm) quilaisse passer la vapeur d’eau degagee par le corps humain mais pas l’eau liquide degagee par lesnuages), et encore moins les lamelles : celles enduites de la poudre de lycopode permettent unmouillage quasi nul, l’angle de contact etant proche de 180 .

On peut exploiter quantitativement le cas d’une goutte d’eau sur du teflon. En mesurant apartir de l’image sur l’ecran la hauteur de la goutte et l’angle de raccordement (des proceduresIGOR permettent de faire ces mesures sur les images capturees a partir de la webcam, apresetalonnage en ce qui concerne la mesure de h), obtenir une valeur approchee de la constante detension superficielle de l’eau, sachant que :

h =

√

2 A (1 − cos α)

ρ g

v1

Attention cette formule n’est valable que pour une goutte suffisamment large pour qu’onpuisse la considerer comme plane dans sa partie superieure.

Biblio

Bruhat mecanique p.474. Voir egalement la notice N87 qui donne plus de details.





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VI) Cuve a ondes : ondes capillaires, ondes de gravite

(important)

Il s’agit d’une des experiences les plus simples a mettre en œuvre et les plus riches de l’agre-gation : mesure de longueur d’onde en ondes progressives et ondes stationnaires (interferences) ;relation de dispersion dispersive, vitesse de phase et vitesse de groupe ; ondes capillaires etondes de gravite. Si elle n’a pas ete abordee dans le TP sur les ondes, il convient de la faire ici.

HYDRODYNAMIQUE

VII) Ecoulements visqueux laminaires

1) Ecoulement de Poiseuille

Reference

– Tritton Physical fluid dynamics, 2e edition, pp. 9 a 17.On veut verifier la loi de Poiseuille qui donne le debit de l’ecoulement en fonction du gradient

de pression ∆PL

mesuree entre deux points de l’ecoulement, dans le cas du tube cylindrique :

D =π r4 ∆P

8 η L

ou η est la viscosite dynamique de l’eau, r le rayon et L la longueur du tube. Cette loi estvalable en regime laminaire ; elle est liee au profil parabolique de l’ecoulement dans le tube. Lesnombres de Reynolds dans cet ecoulement sont superieurs a 1 (le verifier), a la difference del’experience de la loi de Stokes. Neanmoins, les memes equations, qui ne contiennent pas le termenon lineaire (v ·grad)v, s’appliquent car ce dernier est rigoureusement nul pour cet ecoulementparallele aux parois et independant de la position sur l’axe du tube. Il faut toutefois verifierqu’on ne depasse pas Re = vmaxrρ/η = 2000. Au-dessus de cette valeur, le regime devientturbulent en raison d’une instabilite de l’ecoulement de Poiseuille.

P1 P

2

Patm

h

h’

L

La surpression dans le tube est imposee en ajustant la hauteur du tube insere dans labouteille. La hauteur h′, legerement superieure a h, donne la difference de pression entre lesdeux extremites du tube. Cependant, l’etude de l’ecoulement est faite entre les deux derivations,a l’endroit ou le regime de Poiseuille est bien etabli. Nous mesurerons ∆P = P1 − P2 = ρ g h a





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l’aide de papier millimetre. Pour mesurer le debit, utiliser un chronometre et un becher de 40ml. Attendre que le regime soit permanent.

Verifier que, dans une gamme ou le debit est suffisamment faible, D est effectivement pro-portionnel a h et en deduire la viscosite η de l’eau. Au-dela, l’ecoulement devient turbulent etle debit devient saccade. Le transport de quantite de mouvement n’est alors plus diffusif maisconvectif. On peut, par abus de langage, trouver un coefficient de diffusion equivalent. Dans lecas present, trouver par l’analyse dimensionnelle une expression de la (( viscosite turbulente ))

ηtur ne dependant plus de la viscosite η et montrer que D varie alors comme la racine carree deh. Le verifier experimentalement 1.

2) Loi de frottement sur une sphere : regime de Stokes et regimeturbulent

a) Illustration des regimes laminaire et turbulent

Remplir une seringue d’encre et la vider dans un becher. Observer que le filet d’encre estparallele et ne presente pas de fluctuation spatiale ou temporelle, lorsqu’il est cree a tres bassevitesse. Observer le panache turbulent, conique, lorsqu’au contraire la vitesse est elevee. Deposerdans un becher d’eau claire une unique goutte d’encre au repos (important). Observer lesinstabilites successives.

b) Loi de Stokes

On se propose de mesurer la viscosite de la glycerine.

On laisse tomber une bille d’acier. Quand le mouvement est uniforme (s’en assurer), onmesure la vitesse v en prenant le temps que la bille met a parcourir une distance fixee auprealable. Repeter l’experience avec des billes de differents rayons R.

Tracer vlimite en fonction de R, et determiner η en ajustant vos resultats par la loi de StokesF = 6πηRvlimite.

La loi de Stokes n’est valable que pour les ecoulements a nombre de Reynolds tres inferieur a1. Est-on dans ce regime ? (Voir LANDAU Mecanique des Fluides p. 86, formule 20,17). Quelles

1Si le long tube n’est pas tout a fait horizontal, il peut y avoir h 6= 0 sans ecoulement ; il faut alors corriger

cette erreur systematique.





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valeurs de R sont a preferer ? Un parametre qui influe beaucoup est le rapport de R au diametredu tube (voir BUP n 814, mai 1999).

Pour expliquer l’ecart eventuellement observe entre la viscosite mesuree et celle tabulee, onpourra considerer l’influence de la temperature et surtout de la teneur en eau (voir Handboook).

Donnees

– Masse volumique de l’acier : 7,8 103 kg m−3

– Masse volumique de la glycerine : 1,26 103 kg m−3

c) Frottement turbulent

On se concentrera sur la relation entre force de frottement et vitesse dans le cas d’une sphere,qui permet de completer l’experience precedente a haut nombre de Reynolds.

La force de traınee F exercee par l’air sur le corps immobile depend de nombreuses grandeursdont principalement :

– la vitesse moyenne du fluide loin du corps v ,– les dimensions du corps paralleles a v,– la surface S de la section du corps perpendiculaire a v,– la masse volumique ρ du fluide,– la viscosite ν du fluide. Pour reduire le nombre de parametres, on travaille avec des

grandeurs sans dimension (l’idee etant que les phenomenes physiques sont independantsdes unites de mesure choisies). On definit alors Cx le coefficient de traınee tel que :

F = Cx Sρv2

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ou Cx depend de nombres sans dimensions tels que Re et un nombre qui caracteriserait laforme aerodynamique de l’objet (difficile a quantifier en pratique). Sρv2/2 correspond a la forceF dans le cas completement turbulent (pas de dependance avec la viscosite moleculaire), ce quisignifie que Cx devient constant dans ces conditions (tres grand Re). Dans le cas laminaire,F va dependre de la viscosite, ce qui implique que Cx va varier avec Re (construit avec laviscosite) ; on peut meme prevoir cette dependance dans le cas d’un ecoulement sur plaqueplane (Cx ∝ Re−1/2, cf. serie SCHAUM Mecanique des Fluides et Hydraulique, p.263).

d) Etude du coefficient de traınee en fonction de ces parametres

On utilisera pour cela une soufflerie adaptee a la mesure de la force exercee sur des obstaclesde formes diverses. On peut penser a plusieurs series d’experiences :

– en variant le debit pour un meme obstacle : Cx(Re),– a debit constant en changeant les obstacles et leur sens : Cx en fonction de la forme

aerodynamique.





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VIII) Ecoulement autour d’un obstacle

1) Visualisation d’un ecoulement autour d’un obstacle ; changementde regime (qualitatif)

On dispose d’une cellule permettant de visualiser des ecoulements bidimensionnels autourd’un objet circulaire.

RobinetÉvier

La cellule peut se placer sur un retroprojecteur. La visualisation se fait a l’aide de filetsd’encre injectes en amont de l’obstacle. Bien verifier l’etancheite de la cellule avant de la posersur le retro ! Utiliser de preference de l’encre noire qui diffuse moins vite que les encres decouleur.

a) Manipulation

– Injecter un nuage d’encre au repos, puis etablir un tres leger courant : en regime station-naire, les lignes de courant autour de l’obstacle doivent etre bien visibles et symetriquesentre l’amont et l’aval.

– Augmenter lentement le debit et observer l’etablissement d’une zone de recirculation quipiege le colorant en aval de l’obstacle.

– Augmenter encore le debit : la zone de recirculation devient turbulente.

b) Interpretation

L’interpretation en terme de nombre de Reynolds ≪ 1 ou ≫ 1 est delicate car deux taillesinterviennent : le rayon R de l’obstacle et l’epaisseur (e = 3 mm) de la cellule. Le nombre

de Reynolds calcule a partir de R(

Re = RUν

)

ne controle pas le changement de regime del’ecoulement. Le verifier et montrer que l’ecoulement reste symetrique meme pour Re > 1.

On peut montrer que ce regime d’ecoulement a faible debit est potentiel, i.e. u(x, y) =Ae2

ηgradP , bien que les variations du champ de vitesse soient controlees par la viscosite dans la

direction transverse (e ≪ R). L’ecoulement a bas debit peut donc etre compare qualitativementa l’ecoulement potentiel sans circulation autour d’un obstacle cylindrique.

2) Portance d’une aile (facultatif)

Poser l’aile sur la balance electronique et en faire le zero en l’absence de flux.Mesurer la portance de l’aile et la relier au profil de pression sur et sous l’aile. On pourra

montrer l’influence de l’angle d’attaque et de la vitesse.





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IX) Relation de Bernoulli : mesure de la vitesse d’un

fluide avec un tube de Pitot

Dans un ecoulement parfait et incompressible (a quelles conditions sont valables ces ap-proximations ?), on a le long d’une ligne de courant :

1

2v2 + gz +

p

ρ= Cste

Le tube de Pitot est un tube double :

O

O’

Raccorder chacun des deuxtubes à une extrémité du

manomètre

– Utiliser la grosse soufflerie.– La difference entre les pressions en O et O’ donne acces a la vitesse en O’ (etablir la

relation). Pour mesurer cette difference de pression, on utilisera le capteur prevu a ceteffet, en branchant chacun des deux tubes a un embout du boitier. Le capteur delivre unsignal de tension continu, lineaire en fonction de ∆P .

– Il faut faire attention a la position du tube, car il donne une valeur locale de la vitesse.– Utiliser aussi l’anemometre a fil chaud a affichage digital et le debimetre a helice.

X) Instabilite de Taylor-Couette (facultatif)

Cette experience quantitative permet de caracteriser une instabilite et d’observer la transi-tion entre regimes laminaires et turbulent.

References

– E. Guyon et al. Hydrodynamique physique, Ch. 10.– D. J. Tritton Physical fluid dynamics, Ch. 17.

Caracteristiques de la cellule





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On dispose d’une cellule constituee de deux cylindres coaxiaux, de rayons respectifs R1 = 35mm et R2 = 40 mm, menageant un canal de 5 mm d’epaisseur rempli d’une huile silicone (tresstable chimiquement et hydrophobe) de viscosite cinematique a 20 C : ν = 20 cSt (centistokes)= 2×10−5m2.s−1. Un moteur a courant continu, en prise directe sur le cylindre interieur, permetde communiquer a celui-ci une vitesse de rotation Ω1. Le cylindre exterieur est debloquable, cequi permet de le faire tourner a la main a une vitesse Ω2.

LASER

Mesure de Ω1

Un disque perce de 100 petits trous est fixe sur le cylindre interieur ; une (( fourche optique )),constituee d’une DEL en regard d’un phototransistor detecte le defilement des trous et fournitun signal alternatif a la frequence f (Ω1 = f/100 en tr.s-1), mesurable au frequencemetre.

Alimentations

Le moteur doit etre alimente par une source de tension continue. La tension nominale est de 24V et ne peut etre depassee que de facon transitoire. En sous-alimentant le moteur entre 0 et 24V, il est possible de faire varier continument la vitesse de rotation Ω1.

La fourche optique doit etre alimentee par une tension continue de 12 V convenablementpolarisee (utiliser par exemple une alimentation d’ampli. op.).

Visualisation

Les ecoulements sont visualises a l’aide de fines particules en suspension (il s’agit d’un pigmentnacre, l’iridescine). On pourra en outre detecter l’apparition de structures convectives dansle fluide en utilisant une (( nappe laser )) verticale formee a l’aide d’une lentille cylindrique(morceau d’agitateur en verre).

Manipulation

Alimenter le moteur et la fourche optique ; brancher le frequencemetre.– Debloquer le cylindre exterieur et mettre le cylindre interieur en rotation (Ω1 ≈ 1 tr.s−1) ;

que se passe-t-il et quel phenomene met-on ainsi en evidence ?– Bloquer le cylindre exterieur et augmenter progressivement Ω1 ; noter le changement de

nature de l’ecoulement. Une symetrie du systeme s’est spontanement brisee ; laquelle ?– Determiner la valeur critique Ωc de la vitesse de rotation a la bifurcation ; comparer a la

valeur theorique correspondant a un nombre de Taylor Ta,c = 1, 712 × 103, ou :

Ta =2Ω2

1R2

1(R2 − R1)

3

ν2(R1 + R2)





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– Augmenter encore Ω1 ; qu’observe-t-on ? Quelle est la symetrie brisee dans ce cas ?– Stopper le moteur et faire tourner le cylindre exterieur a la main ; observe-t-on une insta-

bilite ?

TRANSPORT DIFFUSIF

XI) Mesure du coefficient de diffusion du glycerol dans

l’eau

L’experience est decrite dans Optics de Sommerfeld (p. 347). Elle a fait l’objet d’une partiede la Composition 2002, en ligne sur le site de Montrouge. On s’y reportera pour les calculscorrespondant a l’experience.

1) Principe

L’eau et le glycerol ayant des indices optiques differents, la diffusion de l’un dans l’autre creeun gradient de concentration, et donc d’indice, dans la zone de melange. L’eau et le glyceroletant miscibles, il n’y a pas d’interface entre les deux. On propose d’utiliser la deviation d’unfaisceau lumineux par le gradient d’indice pour mesurer la diffusivite du glycerol dans l’eau.

arayonincident

n(x)

x

d

eau(n )

glycérol(n )

e

g

Si la deviation α du rayon est petite :

α = ddn

dx

La constante dielectrique est une fonction lineaire de la concentration, et on trouve finalementque la deviation maximum vaut :

αmax =(ng − ne)dC0

2√

πDt

ou D est la diffusivite et t le temps (t = 0 correspondrait a l’instant ou les 2 liquides n’ont pasencore diffuse). C0 est la fraction volumique du glycerol dans le melange eau-glycerol utilise(plus loin, on suggere C0= 50 %).





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2) Realisation de l’experience

Elargir un faisceau laser avec un agitateur en verre pour realiser une nappe, inclinee a 45par rapport aux cotes de la cuve. On fera les observations sur un ecran recouvert d’un papiermillimetre situe a environ 50 cm de la cuve.

Cuve

Faisceauinc ident

lent illecyl indrique

(agitat eur)

Ecr an

h

Quand la cuve est vide, la trace de la nappe sur l’ecran est une ligne inclinee a 45 (traitpointille sur la figure ci dessus). Reperer cette trace sur le papier.

Remplir a moitie d’eau, puis verser doucement le glycerol dans le fond de la cuve a l’aidede la burette. L’extremite de la burette doit etre sur le cote de la cuve et plonger jusqu’au fondpour limiter au maximum le melange des deux liquides par convection. La nappe laser est alorsfortement deformee : l’allure de la trace sur l’ecran est indiquee en trait gras sur la figure.

3) Precautions

– etre sur que tout est pret avant de verser le glycerol : la diffusion est un phenomeneirreversible ! En cas de fausse manœuvre, il faut tout recommencer apres avoir bien nettoyela cuve.

– purger la burette– ne pas secouer la cuve pendant l’experience (il ne faut surtout pas essayer d’enlever la

burette apres avoir verse le glycerol)– utiliser plutot un melange eau-glycerol (50%) que du glycerol pur, dont l’indice est trop

different de celui de l’eau ; la deviation est alors tres importante et on sort du domaine devalidite des formules ci-dessus. Si on utilise un melange, celui-ci doit etre bien homogene.

Relever la deflexion maximum hmax en fonction du temps ; il est souhaitable de prendredes points pendant au moins une vingtaine de minutes. L’origine des temps peut etre choisiearbitrairement, a condition d’en faire un parametre d’ajustement de la loi de hmax en fonctiondu temps. Montrer que l’on a affaire a une loi de diffusion.

A partir de la forme du plan laser, deduire le profil vertical du gradient de concentration etle comparer a une gaussienne. Pourquoi ?

Valeurs numeriques

indice de l’eau ne = 1, 33, du glycerol ng = 1, 47.





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