calculo vectorial guia unidad3 cv-p44

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CALCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 3

GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE

UNIDAD 3 : UNIDAD 3 : UNIDAD 3 : UNIDAD 3 : DERIVADAS PARCIALES DERIVADAS PARCIALES DERIVADAS PARCIALES DERIVADAS PARCIALES

Objetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicos

� Evaluar una función de dos o más variables en un punto dado � Usar software apropiado para producir gráficas 3D y o curvas de nivel � Establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables � Interpretar geométricamente y físicamente la primera derivada parcial � Calcular el incremento y la diferencial de una función de dos y tres variables y usar el concepto de diferencial

para estimar errores � Obtener derivadas de funciones compuestas � Obtener derivadas de funciones implícitas � Reconocer y clasificar puntos críticos y estacionarios observando las curvas de nivel y su gráfica 3D de una

función dada, usando cuando sea necesario el software matemático � Calcular los valores máximos locales y mínimos locales de una función de dos variables dada y demostrarlos

aplicando el Hessiano � Comprender el significado de derivada direccional. � Calcular la derivada direccional de una función de dos o tres variables en la dirección de un vector unitario

dado. � Obtener la derivada direccional de una función escalar y su tasa máxima de cambio en un punto � Determinar la ecuación del plano tangente y recta normal a la superficie de nivel. � Explicar el fundamento geométrico del método de los Multiplicadores de Lagrange. � Aplicar el método de los Multiplicadores de Lagrange en la solución de problemas de optimización con

restricciones

1. 1. 1. 1. PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :

Los temas necesarios para esta unidad son:

� Dominio y rango de funciones de una variable � Cálculo de funciones de una variable . � Identificación y grafica de curvas en 2D. � Identificación de superficies

2. 2. 2. 2. MATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYO

� Libro de texto: STEWART J., “Cálculo de Varias Variables: Trascendentes tempranas”, Editorial Cengage Learning , Séptima edición, México, 2012.

� Tabla de derivadas e integrales � Software matemático � Calculadora con CAS

3. 3. 3. 3. ACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICAS

� Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase.

2


� Elaboración de las respuestas de los ejercicios propuestos de la guía, justificación de cada etapa del

desarrollo de ejercicios. � Análisis sobre resultados de los ejercicios desarrollados.

4.4.4.4. METODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍA DE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJO

� El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad usando el texto recomendado por el Docente.

� En clase los estudiantes organizan grupos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar los ejercicios propuestos de la guía

� El docente solucionará las dudas referentes a la guía y orientará su desarrollo.

5. 5. 5. 5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)

5.1 5.1 5.1 5.1 El dominio de la función √2 − G es:

a) (-∞,2] b) (-∞,-2] c) [2,+ ∞) d) [-2, ∞)

5.2 5.2 5.2 5.2 Encontrar la ecuación de la recta tangente y la normal en el punto P(1,3) y trazarlas en la misma gráfica de la curva.

5.3 5.3 5.3 5.3 Hallar la ecuación de la elipse o circunferencia completando cuadrados y graficar

a) x² + y² – 2x – 6y = 12 b) 12x² + 20y² –12x + 40y –37 = 0

5.4 5.4 5.4 5.4 Hallar el centro, vértices de la hipérbola, y trazar su gráfica usando sus asíntotas.

a) 9 ²- ²-36 - 6 +18 = 0x y x y b) ²- 9 ²+36 -72= 0y x x

5.5 5.5 5.5 5.5 Identificar y dibujar la superficie cuadrática.

a) 2 2 216 - +16 = 4x y z

b) 2 2 2- + = 0x y z

c) 2

2= +4

yz x

−2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

4

x

y

3


d) 2 2 2

+ + =116 25 25x y z

e) 2

2 2- - =14

yz x

6. 6. 6. 6. REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE

3.13.13.13.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Muchas magnitudes que nos son familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el

área A de un rectángulo (A=xy) y el volumen V de un cilindro circular recto ( πhrV 2= ) son ambas funciones de dos variables.

Denotaremos una función de dos variables por una notación similar a la de las funciones de una sola variable. Así z = f (x, y)

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par (x, y) de D le corresponde un número real f (x,y) , entonces se dice que f es función función función función de x e yde x e yde x e yde x e y. El conjunto D es el dominiodominiodominiodominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x,y) es el recorridorecorridorecorridorecorrido o rangorangorangorango de f.

Para la función dada por z = f(x,y) , llamamos variables independientesvariables independientesvariables independientesvariables independientes a x e y, siendo z la variable dependientedependientedependientedependiente. Al igual que con las funciones de una variable, generalmente usamos ecuaciones para describir funciones de varias variables, y a menos que se restrinja en otro sentido, suponemos que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está bien definida.

Generalmente el dominio es un conjunto que representa regiones restringidas (delimitadas) del plano xy.

Ejemplo 1 Ejemplo 1 Ejemplo 1 Ejemplo 1 Encontrar el dominio de las siguientes funciones.

a)x

yxyxf

9),(

22 −+=

SoluciónSoluciónSoluciónSolución

a) La función f está definida en todos los pares ordenados (x,y) tales que x sea distinto de

cero y 922 ≥+ yx . Por lo tanto, el dominio

es el conjunto de todos los puntos que están

fuera del círculo 922 =+ yx o en la

circunferencia, excepto los del eje y, como se muestra en la figura 1

b) 22416),( yxyxf −−=

SoluciónSoluciónSoluciónSolución

b) La función f está definida en todos los

puntos (x,y) tales que 164 22 ≤+ yx . Es

decir, el conjunto dominio está formado por todos los puntos al interior de la elipse

1164

22

=+ yx, incluyendo la frontera como

muestra la figura 2

4


Figura 1

Figura 2

3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 Grafica de funciones de dos variablesGrafica de funciones de dos variablesGrafica de funciones de dos variablesGrafica de funciones de dos variables

De la misma forma que las funciones de una variable, puede resultar muy importante, en lo concerniente al "comportamiento" de una función de dos variables, el dibujo de su gráfica. La gráfica de una función de dos variables f es el conjunto de puntos (x,y,z) para los que z= f(x,y) y (x,y) está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espaciosuperficie en el espaciosuperficie en el espaciosuperficie en el espacio. En la figura 1 nótese que la gráfica de z= f(x,y) es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en el dominio D.

Ejemplo 2 Ejemplo 2 Ejemplo 2 Ejemplo 2 Dibujar la gráfica de la función . ¿Cuál es el recorrido?

El dominio D implicado por la ecuación que define a f es el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que

. Por lo tanto, D es el conjunto de todos los puntos que están en interior o en el borde de la elipse dada por

El recorrido de f consta de todos los valores z= f(x,y) tales que 0≤ z ≤ 4. Un punto (x,y,z) está en la gráfica de f si y sólo si

5


Como vemos en la figura 3, la gráfica de f es la mitad superior de un elipsoide.

Figura 3

3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 Curvas de nivelCurvas de nivelCurvas de nivelCurvas de nivel

Otra forma de visualizar una función de dos variables es como un campo escalcampo escalcampo escalcampo escalarararar, que asigna al punto (x,y) el escalar z = f(x,y) .Un campo escalar se puede caracterizar por sus curvas de nivelcurvas de nivelcurvas de nivelcurvas de nivel o líneas de contornolíneas de contornolíneas de contornolíneas de contorno a lo largo de las cuales el valor de f(x,y) es constante.

Las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobarasisobarasisobarasisobaras. En los mapas meteorológicos cuyas curvas de nivel representan puntos de igual temperatura se llaman isotermasisotermasisotermasisotermas.

Otro uso frecuente de las curvas de nivel aparece en la representación de campos de potencial eléctricos, donde las curvas de nivel reciben el nombre de curvas equipotencialescurvas equipotencialescurvas equipotencialescurvas equipotenciales.

Los mapas de contorno se utilizan a menudo para representar regiones de la superficie terrestre, en cuyo caso las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapasmapasmapasmapas se llaman topográficos. Por ejemplo, las alturas de las montañas quedan reflejadas en un mapa topográfico (ver figura 4).

El mapa topográfico es una representación de la superficie terrestre mediante curvas de nivelcurvas de nivelcurvas de nivelcurvas de nivel para mostrar el relieve topográfico de una región. Cada línea representa la intersección entre la tierra y una altitud determinada por encima o por debajo del nivel del mar. Suelen incluirse también otros rasgos morfológicos como la vegetación, los suelos y todos los rasgos creados en el paisaje por los esfuerzos humanos.

x

y

z

x = 2sin(u)cos(t); y = 4sin(u)sin(t); z = 4cos(u)

(2.00,4.00,0.00)

(-2.00,-4.00,4.00)

6


Figura 4

Un mapa de contorno describe la variación de z con respecto a x e y por el espaciado entre sus curvas de nivel. Mucho espacio entre curvas de nivel significa que z está cambiando lentamente, mientras que curvas de nivel muy próximas entre si denotan una variación muy rápida de z. Por otra parte, con el fin de dar buena sensación tridimensional en un mapa de contorno es importante escoger valores de c que estén igualmente espaciados.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 3333 Para la función , dibujar un mapa de contorno para esta superficie usando curvas de nivel correspondientes a c = 0, 1, 2, ... ,8

Para cada valor de c, la ecuación f(x,y) = c es un círculo (o un punto) en el plano xy. Así cuando c=0 la curva de nivel es x2 + y2 =64 círculo de radio 8. La figura 5 muestra las nueve curvas de nivel pedidas para el hemisferio.

Figura 5

3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 Gráficas con SoftwareGráficas con SoftwareGráficas con SoftwareGráficas con Software El uso de la computadora simplifica notablemente la tarea de representar gráficamente una superficie en el espacio. Aunque hay muchas formas de representación, la mayor parte de ellas efectúan algún tipo de análisis de trazas para dar una ilusión tridimensional. Para utilizar uno de esos software gráficos hay que introducir en primer lugar la ecuación de la superficie, la escala en el eje z y el número de trazas que desean tomarse. Aquí se presentan algunos ejemplos de graficas obtenidas mediante estas herramientas.

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

xx+yy= 48

xx+yy=39

xx+yy=29

xx+yy=15

7


cos((x2+y2)/4)-z

3.2 3.2 3.2 3.2 LÍMITES Y CONTINUIDADLÍMITES Y CONTINUIDADLÍMITES Y CONTINUIDADLÍMITES Y CONTINUIDAD

Dada la función f (x,y) = sen( x\ + y\ ) / ( x\ + y\), observe los valores que toma f (Tabla 1) en puntos (x, y) cercanos al (0,0), según se indica en la tabla 1 . ¿Cómo se comporta esta función cuando (x, y) se aproxima a (0,0)? ¿Este comportamiento depende del camino elegido para acercarse a (0,0)?

8


y

x -1.000 -0.750 -0.500 -0.250 0.000 0.250 0.500 0.750 1.000

-1.000 0.455 0.640 0.759 0.822 0.841 0.822 0.759 0.640 0.455

-0.750 0.640 0.802 0.894 0.936 0.948 0.936 0.894 0.802 0.640

-0.500 0.759 0.894 0.959 0.984 0.990 0.984 0.959 0.894 0.759

-0.250 0.822 0.936 0.984 0.997 0.999 0.997 0.984 0.936 0.822

0.000 0.841 0.948 0.990 0.999 1.000 0.999 0.990 0.948 0.841

0.250 0.822 0.936 0.984 0.997 0.999 0.997 0.984 0.936 0.822

0.500 0.759 0.894 0.959 0.984 0.990 0.984 0.959 0.894 0.759

0.750 0.640 0.802 0.894 0.936 0.948 0.936 0.894 0.802 0.640

1.000 0.455 0.640 0.759 0.822 0.841 0.822 0.759 0.640 0.455

TRAYECTORIA

USADA y = x

Tabla 1

Se puede observar en la figura 6 que la función no está definida en el origen además de que cuando (x,y) se aproxima a (0,0), los valores de f(x,y) se aproximan a 1. Por lo tanto el comportamiento depende del camino elegido para acercarse a (0,0).

Figura 6

EEEEjemplo 4 jemplo 4 jemplo 4 jemplo 4 Analice el límite

lim(],^)(_,_)

G`

aG\ + `\

bcd`efghcid ` = G

lim(]→_)

]k

a]kl]k

lim(]→_)

]k

a\]k

lim(]→_)

]k

]√\

lim(]→_)

]

√\ → _

√\ → 0

3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 ContinuidadContinuidadContinuidadContinuidad

Se dice que una función f de dos variables es continua en (a, b) si

lim

(],^)→(m,n)o(G, `) = o(d, p)

f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a, b) de D.

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El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x, y) cambia una pequeña cantidad, entonces el valor de f(x, y) cambia una pequeña cantidad. Esto quiere decir que una superficie que es la gráfica de una función continua no tiene agujeros ni grietas.

Al aplicar las propiedades de los límites, puede ver que las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuos son continuos en sus dominios. Se usa este hecho para dar ejemplos de funciones continuas.

Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5 Identifique el subconjunto de R2 para la cual la función f(x,y)=Sen(xy)/(e] − `\) es continua.

e] − `\ ≠ 0

√e] ≠ `

e]\ ≠ `

3.3 3.3 3.3 3.3 DERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALES

En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión.

Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcialderivada parcialderivada parcialderivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcialderivada parcialderivada parcialderivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783) publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o más variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.

Definición Definición Definición Definición Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales derivadas parciales derivadas parciales derivadas parciales primerasprimerasprimerasprimeras de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas mediante

siempre y cuando existan los límites.

Leonhard EulerLeonhard EulerLeonhard EulerLeonhard Euler

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Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular ffff xxxx consideramos que y es constantey es constantey es constantey es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener ffff yyyy consideramos que x x x x es constantees constantees constantees constante y derivamos con respecto a y.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 6666 Calcular f x y f y para la función

Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes:

Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7777 Para la función encontrar f x y f y ; evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln2)

Como la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es

Como la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2) es

3.4 INTERPRETACI3.4 INTERPRETACI3.4 INTERPRETACI3.4 INTERPRETACIÓN GEOMÓN GEOMÓN GEOMÓN GEOMÉTRICA ÉTRICA ÉTRICA ÉTRICA

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 7. Por lo tanto,

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Figura 7

representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=c).

De forma similar,

representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 8

Figura 8

Se dice que los valores de f x y f y en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente pendiente pendiente pendiente de la superficie en las direcciones x e yde la superficie en las direcciones x e yde la superficie en las direcciones x e yde la superficie en las direcciones x e y respectivamente.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 8888 Encontrar la pendiente de la superficie dada por en el punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.

En la dirección x, la pendiente viene dada por

(ver figura 9)

En la dirección y, la pendiente viene dada por

(ver figura 10)

Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambiorazones de cambiorazones de cambiorazones de cambio.

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Figura 9 Figura 10

3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 DDDDerivadas parciales de orden superiorerivadas parciales de orden superiorerivadas parciales de orden superiorerivadas parciales de orden superior Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadasderivadas parciales cruzadasderivadas parciales cruzadasderivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

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indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 9999 Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el valor de f xy(-1,2)

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, f xy(-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema Teorema Teorema Teorema

Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 10101010 Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función

Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

3.5 3.5 3.5 3.5 INCREMENTOS Y INCREMENTOS Y INCREMENTOS Y INCREMENTOS Y DIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALESDIFERENCIALES

En esta sección generalizamos los conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de dos o más variables. Para una función de dos variables, dada por z=f(x,y), usamos una terminología similar a las de las funciones de una variable. Llamamos ∆x y ∆y a los incrementos de x y de y,incrementos de x y de y,incrementos de x y de y,incrementos de x y de y, y el incremento de zincremento de zincremento de zincremento de z viene dado por

Las diferenciales dxdxdxdx, dydydydy y dzdzdzdz se definen como sigue.

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Definición Definición Definición Definición

Si z=f(x,y) y ∆x , ∆y son incrementos de x y de y, entonces las diferencialesdiferencialesdiferencialesdiferenciales de las variables independientes x e y son

dx=∆x dy= ∆y

y la diferencial totaldiferencial totaldiferencial totaldiferencial total de la variable dependiente z es

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 11111111 La diferencial total dz para la función es

3.5.1 3.5.1 3.5.1 3.5.1 Aproximación por diferencialesAproximación por diferencialesAproximación por diferencialesAproximación por diferenciales

Si los valores de ∆x y ∆y son pequeños podemos usar la aproximación

∆z ≃ dz

Recordemos que las derivadas parciales pueden interpretarse como las pendientes de la superficie en las direcciones x e y, respectivamente. Esto significa que

representa la variación en altura de un plano tangente a la superficie en el punto (x,y,f(x,y)). Puesto que un plano del espacio se representa por una ecuación lineal en las variables x, y ,z, llamamos a esta aproximación de ∆z por dz aproximación linealaproximación linealaproximación linealaproximación lineal.

Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 12222 Usar la diferencial dz para aproximar la variación en cuando (x,y) va desde el punto (1,1) a (1.01,0.97). Comparar esta aproximación con la variación exacta de z.

Haciendo (x,y)=(1,1) y (x+∆x ,y+∆y)=(1.01,0.97) tenemos que

dx=∆x=0.01 dy=∆y =-0.03

luego la variación en z puede aproximarse por

En x=1 e y=1, resulta

Ahora calculamos la variación exacta (observe que la diferencia es mínima)

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Esta teoría se extiende la funciones de tres variables como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 13333 El posible error involucrado al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es de 0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x=50 centímetros, y=20 centímetros y z=15 centímetros. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja. El volumen de la caja viene dado por V=xyz, luego

Como 0.1 milímetros es igual a 0.01 centímetros, tenemos que dx=dy=dz= 0.01 y el error propagado es

Puesto que el volumen es V=(50)(20)(15)=15000 centímetros cúbicos, el error relativo es

3.6 3.6 3.6 3.6 REGLA DE LA CADENAREGLA DE LA CADENAREGLA DE LA CADENAREGLA DE LA CADENA

El trabajo con diferenciales nos proporciona la base para la extensión de la regla de la cadena a funciones de dos variables. en esta extensión, consideramos dos casos. En el primero interviene w como función de x e y, donde x e y son funciones de una única variable independiente t.

Las cadena puede representarse en forma de diagrama, como muestra la figura 11

Figura 11

Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(t) e y=h(t), siendo g y h funciones de t, entonces w es una función derivable de t, y

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Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 14444 Sean , donde . Encontrar dw/dt cuando t=0.

Por la regla de la cadena para una variable independiente tenemos

Cuando t=0, x=0 e y=1, entonces dw/dt=0-2=-2.

Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(s,t) e y=h(s,t), de forma tal que las derivadas

parciales primeras t

y

s

y

t

x

s

x

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

,,,existen todas, entonces s

w

∂∂

y t

w

∂∂

existen y vienen dadas por:

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

Las cadena puede representarse en forma de diagrama, como muestra la figura 12

Figura 12

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 11115555 Usar la regla de la cadena para encontrar s

w

∂∂

yt

w

∂∂

para w=2xy, donde

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La regla de la cadena del teorema puede extenderse a un número cualquiera de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x1,x2, ..., xn, donde cada xi es una función diferenciable de m variables t1,t2, ..., tm , entonces w=f(x1,x2, ..., xn) tenemos

3333.7 .7 .7 .7 DDDDIFERENCIACIIFERENCIACIIFERENCIACIIFERENCIACIÓN ÓN ÓN ÓN IMPLÍCITAIMPLÍCITAIMPLÍCITAIMPLÍCITA

Finalizamos esta sección con una aplicación de la regla de la cadena para determinar la derivada de una función definida implícitamenteimplícitamenteimplícitamenteimplícitamente. Supongamos que x e y están relacionadas mediante la ecuación F(x,y)=0, donde se supone que y=f(x) es una función derivable de x. Para hallar dy/dy consideramos la función

w=F(x,y)=F(x,f(x))

entonces podemos aplicar regla de la cadena para obtener:

Como w=F(x,y)=0 para todo x en el dominio de f, sabemos que dw/dx=0 y tenemos

Y si Fy(x,y) es distinto de cero, podemos concluir que

18


Un procedimiento similar puede usarse para encontrar las derivadas parciales de funciones de varias variables que se encuentran definidas implícitamente.


a) Si la ecuación F(x,y)=0 define a y implícitamente como función de x, entonces

b) Si la ecuación F(x,y,z)=0 define a z implícitamente como función de x e y, entonces

Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas implícitamente con un número cualquiera de variables.

Ejemplo 16 Ejemplo 16 Ejemplo 16 Ejemplo 16 Calcular dy/dx, sabiendo que .

Definimos una función F mediante

Usando el teorema tenemos

luego

Ejemplo 17 Ejemplo 17 Ejemplo 17 Ejemplo 17 Calcular , sabiendo que

Definimos

entonces

Por lo tanto,

19


3.8 3.8 3.8 3.8 DERIVADAS DIRECCIONALES Y DERIVADAS DIRECCIONALES Y DERIVADAS DIRECCIONALES Y DERIVADAS DIRECCIONALES Y SU VECTOR SU VECTOR SU VECTOR SU VECTOR GRADIENTEGRADIENTEGRADIENTEGRADIENTE Supongamos que estamos en la ladera de la colina dibujada en la figura 13 y quisiéramos determinar la inclinación de la colina en la dirección al eje z. Si la colina estuviese representada por z=f(x,y), entonces ya sabríamos cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes -la pendiente en la dirección y vendría dada por la derivada parcial f y y la pendiente en la dirección x vendría dada por la derivada parcial f x . En este sección vamos a ver que se pueden usar estas dos derivadas parciales para encontrar la pendiente en una dirección arbitraria.

Figura 13

Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccionalderivada direccionalderivada direccionalderivada direccional. Comenzamos haciendo que z=f(x,y) sea una superficie y P(x0,y0) un punto del dominio de f, como se muestra en la figura 14 Especificamos una dirección mediante un vector unitario jiu θθ sincos += ,

dondeθ es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Ahora, para hallar la pendiente deseada, reducimos el problema a dos dimensiones mediante la intersección de la superficie con un plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo al vector u, como se ve en la figura 15. Este plano vertical corta a la superficie para formar una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en (x0 ,y0,f (x0,y0)) como la pendiente de la curva C en ese punto.

Figura 14 Figura 15

20


Podemos escribir la pendiente de la curva C como un límite muy parecido a aquellos que se usan en el cálculo de una variable. El plano vertical empleado para formar C corta al plano xy en una recta L que se representa por las ecuaciones paramétricas

Luego para cualquier valor de t, el punto Q(x,y) pertenece a la recta L. Para cada uno de los puntos P y Q, existe el punto correspondiente sobre la superficie

(x0 ,y0,f (x0,y0)) Punto sobre P

(x,y,f(x,y)) Punto sobre Q

Además, puesto que la distancia entre P y Q es

podemos escribir la pendiente de la recta secante que pasa por (x0,y0,f(x0,y0)) y (x,y,f(x,y)) como

Finalmente, haciendo que t tienda a cero, llegamos a la definición


Sea f una función de dos variables x e y, y sea jiu θθ sincos += un vector unitario. Entonces la derivada derivada derivada derivada

direccional de f en la dirección de udireccional de f en la dirección de udireccional de f en la dirección de udireccional de f en la dirección de u se denota por DDDDuuuu ffff, y es

El cálculo de la derivada direccional mediante esta definición es comparable al de encontrar la derivada de una función de una variable. Una fórmula de trabajo más simple para obtener derivadas direccionales recurre a las derivadas parciales fx y fy.


Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario

jiu θθ sincos += es

Observar que hay infinitas derivadas direccionales en un punto dado de una superficie -una para cada una de las direcciones especificadas por el vector u, como se muestra en la figura 16. Dos de ellas resultan ser las derivadas parciales fx y fy.

21


Figura 16

El vector u especifica una dirección en el plano xy

1) En la dirección positiva del eje x (θ=0):

2) En la dirección positiva del eje y (θ=π/2):

Ejemplo 18 Ejemplo 18 Ejemplo 18 Ejemplo 18 Calcular la derivada direccional de:

en (1,2) en la dirección de

Evaluando en , x=1 e y=2, tenemos:

Ejemplo 19 Ejemplo 19 Ejemplo 19 Ejemplo 19 Calcular la derivada direccional de )2sin(),( 2 yxyxf = en )4

,1(π

, en la dirección de v=3i-4j

Comenzamos obteniendo un vector unitario en la dirección de v:

Usando este vector unitario, tenemos

22


3.8.1 3.8.1 3.8.1 3.8.1 GradienteGradienteGradienteGradiente

La derivada direccional DDDDuuuu f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector unitario

y el vector

Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de fvector gradiente de fvector gradiente de fvector gradiente de f.


Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que se denota mediante ),( yxf∇ , es el vector

Otra notación para el gradiente es grad fgrad fgrad fgrad f (x,y)(x,y)(x,y)(x,y)

Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la dirección de u u u u como

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema.


Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario uuuu es

Ejemplo 20 Ejemplo 20 Ejemplo 20 Ejemplo 20 Calcular la derivada direccional de 22 23),( yxyxf −= en (-1,3) en la dirección que va desde P(-

1,3) a Q(1,-2)

Un vector en la dirección especificada es

y un vector unitario en esta dirección es

23


Como

el gradiente (-1,3) es

En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema.


Si f es una función diferenciable en el punto (x,y)

1) Si 0),( =∇ yxf , entonces 0),( =yxfDu para todo uuuu.

2) La dirección de máximo crecimientomáximo crecimientomáximo crecimientomáximo crecimiento de f viene dada por ),( yxf∇ .

El valor máximo de ),( yxfDu es ),( yxfDu .

3) La dirección de mínimo crecimientomínimo crecimientomínimo crecimientomínimo crecimiento de f viene dada por - ),( yxf∇ .

El valor mínimo de ),( yxfDu es

- ),( yxfDu .

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, consideremos un esquiador descendiendo una de las laderas de una montaña. Si f(x,y) denota la altitud del esquiador, entonces yf (x,y) indica la dirección que el esquiador debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima pendiente (Recordemos que el gradiente indica dirección en el plano xy y por si mismo no señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña).

Ejemplo 21 Ejemplo 21 Ejemplo 21 Ejemplo 21 La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por

midiendo x e y en centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

El gradiente es

Se sigue que la dirección de más rápido crecimiento viene dada por

24


como se muestra en la figura 17, y que la razón de crecimiento es

por centímetro

figura 17

Dirección de más rápido crecimiento en (2,-3)

La solución que se presenta en el ejemplo 21 puede resultar engañosa. A pesar de que el gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la temperatura, no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local al problema de encontrar un crecimiento relativo a la temperatura en el punto (2, -3). Una vez que abandonamos esa posición, la dirección de más rápido crecimiento puede cambiar.

Ejemplo 22 Ejemplo 22 Ejemplo 22 Ejemplo 22 Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto (2,-3) de una placa metálica cuya

temperatura en (x,y) es . Encontrar la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura.

Representaremos la trayectoria por la función posición

Un vector tangente en cada punto (x(t),y(t)) viene dado por

Puesto que la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de

son las mismas en cada punto de la trayectoria. Luego

Estas ecuaciones diferenciales representan un crecimiento exponencial y las soluciones son

25


Como la partícula parte de (2,-3) se sigue que 2=x(0)=C1 y -3=y(0)=C2. Luego la trayectoria se representa mediante

Eliminando el parámetro t, obtenemos

Mostramos esta trayectoria en la figura 18

figura 18

Camino seguido por una partícula que va hacia el calor

En la figura 18, la trayectoria de la partícula (determinada por el gradiente en cada punto) aparece como ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Esto se clarifica cuando consideramos el hecho de que la temperatura T(x,y) es constante sobre una curva, de nivel dada. Luego en un punto arbitario (x,y) de la curva, la razón de cambio de T en la dirección de un vector tangente unitario uuuu es 0, y podemos escribir

uuuu es un vector tangente unitario. Puesto que el producto escalar de y f (x,y) y uuuu es cero, deben ser ortogonales. Este resultado se anuncia en el siguiente teorema:


Si f es diferenciable en (x0,y0) y 0),( ≠∇ yxf , entonces

),( 00 yxf∇ es normal a la curva de nivel que pasa por

),( 00 yx .

Ejemplo 23 Ejemplo 23 Ejemplo 23 Ejemplo 23 Dibujar la curva de nivel correspondiente a c=0 para la función xyyxf sin),( −= , y encontrar

vectores normales en diferentes puntos de la curva.

La curva de nivel para c=0 viene dada por

como se indica en la figura 19 . Como el vector gradiente de f en (x,y) es

26


figura 19

El gradiente es normal a la curva de nivel

podemos utilizar el teorema para concluir que ),( yxf∇ es normal a la curva de nivel en el punto (x,y). Algunos

vectores gradientes son

3.9 PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES 3.9 PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES 3.9 PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES 3.9 PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LAS SUPERFICIESA LAS SUPERFICIESA LAS SUPERFICIESA LAS SUPERFICIES

En el proceso de encontrar una recta normal a una superficie, se nos da la posibilidad de resolver el problema de encontrar un plano tangenteplano tangenteplano tangenteplano tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por F(x,y,z)=0, y sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S. Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial

Entonces, para todo t,

Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que

En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es

=(gradiente).(vector tangente)

Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente a cualquier curva sobre S que pase

por P. Por lo tanto, todas las rectas tangentes en P están en un plano que es normal a y contiene a P, como se ve en la figura 20.

Llamamos a este plano, plano tangente a S en Pplano tangente a S en Pplano tangente a S en Pplano tangente a S en P, y a la recta que pasa por P en la dirección de recta normal a S en Precta normal a S en Precta normal a S en Precta normal a S en P.

27


figura 20

Plano tangente a la superficie S en P

Definición Definición Definición Definición Sea F diferenciable en el punto P(x0,y0,z0) de la superficie S dada

por F(x,y,z)=0, con .

1) El plano que pasa por P y es normal a se conoce como el plano tangenteplano tangenteplano tangenteplano tangente a S en P.

2) La recta que pasa por P y tiene la dirección de se conoce como la recta normalrecta normalrecta normalrecta normal a S en P.

Ejemplo 24 Ejemplo 24 Ejemplo 24 Ejemplo 24 Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide

en el punto (1,-1,4)

Considerando tenemos

y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son

Luego una ecuación del plano tangente en (1,-1,4) es

La figura 21 muestra una parte del hiperboloide y del plano tangente.

28


figura 21

Plano tangente a la superficie

Ejemplo 25Ejemplo 25Ejemplo 25Ejemplo 25 Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie xyz=12 en el punto (2,-2,-3)

Sea F(x,y,z)=xyz-12

Entonces, el gradiente viene dado por

y el punto (2,-2,-3), tenemos

Por lo tanto, la recta normal en (2,-2,-3) tiene por números de dirección a 6, -6 y -4. El conjunto de ecuaciones simétricas correspondiente es

El hecho de que el gradiente es normal a la superficie dada por F(x,y,z)=0 nos permite resolver una gran variedad de problemas que tratan de superficies y de curvas en el plano.

Ejemplo 26Ejemplo 26Ejemplo 26Ejemplo 26 Encontrar las ecuaciones simétricas de la tangente a la curva intersección del elipsoide

y el hiperboloide

en el punto (3,-2,1), que se muestra en la figura 22

29


figura 22

Para encontrar la ecuación de la recta tangente, calculamos antes los gradientes de las dos superficies en el punto (3,-2,1). El producto vectorial de esos dos gradientes será un vector tangente a ambas superficies en el punto (3,-2,1). Para el elipsoide, hacemos

y obtenemos

Para el paraboloide hacemos y obtenemos

El producto vectorial de estos dos vectores es

Por lo tanto, los números 10, 6 y 9 dan la dirección de la recta tangente buscada. La ecuación simétrica de la recta tangente en (3,-2,1) resulta ser

3.3.3.3.10 M10 M10 M10 MÁXIMOS Y MÁXIMOS Y MÁXIMOS Y MÁXIMOS Y MÍÍÍÍNIMOS DE FUNCIONES NIMOS DE FUNCIONES NIMOS DE FUNCIONES NIMOS DE FUNCIONES DE VARIASDE VARIASDE VARIASDE VARIAS VARIABLESVARIABLESVARIABLESVARIABLES

30


En esta sección extenderemos las técnicas para encontrar los valores extremos de una función de una sola variable a funciones de dos variables. Extenderemos el teorema del valor extremo para una función de una variable a una función de dos variables. Este teorema es difícil de demostrar tanto en una como en dos variables. Aunque el teorema había sido utilizado por matemáticos anteriores, la primera persona que proporcionó una demostración rigurosa fue el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Esta no fue la única ocasión en que Weierstrass obtuvo una justificación rigurosa de resultados matemáticos que eran de uso común, y a él debemos mucho en la documentación lógica sólida sobre la cual se construye el cálculo moderno. Los valores f(a,b) y f(c,d) tales que ),(),(),( dcfyxfbaf ≤≤ para todo (x,y) en R

se conoce como mínimo absolutomínimo absolutomínimo absolutomínimo absoluto y máximo absolutomáximo absolutomáximo absolutomáximo absoluto de f en la región R, como se muestra en la figura 23. Como en el cálculo de una variable, distinguimos entre extremos absolutos y extremos relativosextremos relativosextremos relativosextremos relativos. En la figura 24 se indican varios extremos relativos.

figura 23

Extremos Absolutos

figura 24

Extremos Relativos

6.9.1 6.9.1 6.9.1 6.9.1 Extremos relativos y absoExtremos relativos y absoExtremos relativos y absoExtremos relativos y absolutos lutos lutos lutos

Teorema : Sea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada R del plano xy.

Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor mínimo. Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor máximo.


Sea f una función definida en una región R conteniendo el punto (x0,y0)

f(x0,y0) es un mínimo relativomínimo relativomínimo relativomínimo relativo de f si ),(),( 00 yxfyxf ≥para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (x0,y0).

f(x0,y0) es un máximo relativomáximo relativomáximo relativomáximo relativo de f si ),(),( 00 yxfyxf ≤para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (x0,y0).

Karl WeierstrassKarl WeierstrassKarl WeierstrassKarl Weierstrass

31


Decir que z0=f(x0,y0) es un máximo relativo de f significa que el punto (x0,y0,z0) es al menos tan alto como los puntos de su entorno en la gráfica de z=f(x,y). De forma similar, z0=f(x0,y0) es un mínimo relativo de f si (x0,y0,z0) está al menos tan bajo como los puntos de su entorno en la gráfica.

Para localizar extremos relativos de f, investigaremos los puntos en que su gradiente es cero o no está definido. Llamaremos a tales puntospuntospuntospuntos críticos críticos críticos críticos de f.


Sea f definida en una región abierta R conteniendo (x0,y0). Decimos que (x0,y0) es un punto crítico punto crítico punto crítico punto crítico de f si se verifica una de las siguientes afirmaciones:

Recordemos que si f es diferenciable y

entonces toda derivada direccional en (x0,y0) ha de ser cero. Eso implica que la función tiene un plano tangente horizontal en el punto (x0,y0) como se ilustra en las figuras 25 y 26. Es evidente que ese punto es candidato a que haya en el un extremo relativo.

figura 25

Máximo relativo

figura 26

Mínimo relativo


Si f(x0,y0) es un extremo relativo de f en una región abierta R, entonces (x0,y0) es un punto crítico de f.

El teorema nos dice que para encontrar los extremos relativos necesitamos solamente examinar valores de f(x,y) en puntos críticos. Sin embargo, al igual que se cumple para una función de una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre nos conduce a máximos o mínimos relativos. Algunos puntos críticos conducen a puntos de sillapuntos de sillapuntos de sillapuntos de silla, que no son ni máximos ni mínimos relativos. Por ejemplo, el punto de silla que se muestra en la figura 27 no es un extremo relativo, ya que en un disco abierto centrado en el (0,0) la función toma ambos, valores negativos (sobre el eje x) y valores positivos (sobre el eje y).

32


figura 27

Punto de silla en (0,0,0): fx(0,0=fy(0,0)=0

6.9.2 6.9.2 6.9.2 6.9.2 Criterio de las segundas derivadas parcialesCriterio de las segundas derivadas parcialesCriterio de las segundas derivadas parcialesCriterio de las segundas derivadas parciales


Sea una función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0. Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la función Hessiano :

Si d > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) en un mínimo relativomínimo relativomínimo relativomínimo relativo. Si d > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) en un máximo relativomáximo relativomáximo relativomáximo relativo. Si d < 0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de sillapunto de sillapunto de sillapunto de silla. Este criterio no da información si d=0.

Si d > 0, entonces fxx(a,b) y fyy(a,b) deben tener el mismo signo. Esto significa que se puede reemplazar fxx(a,b) por fyy(a,b) en las dos primeras partes del criterio.

siendo fxy(a,b)=fyx(a,b)

Ejemplo 27Ejemplo 27Ejemplo 27Ejemplo 27 Encontrar los extremos relativos de

Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Puesto que

están definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales primeras son nulas. Para localizar estos puntos, hacemos fx(x,y) y fy(x,y) cero y obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

De la segunda ecuación vemos que x=y, y sustituyendo en la primera obtenemos dos soluciones: y=x=0 e y=x=4/3. Como

fxx(x,y) = -6x, fyy(x,y) = -4 y fxy(a,b) = 4

33


se sigue que para el punto crítico (0,0),

y, por el criterio de las derivadas parciales segundas, concluimos que (0,0,1) es un punto de silla de f. Para el punto crítico (4/3,4/3),

y como

concluimos que f(4/3,4/3) es un máximo relativo, como se muestra en la figura 28

figura 28

El criterio de las derivadas parciales segundas puede fallar, a la hora de buscar los extremos relativos, de dos formas. Si una de las derivadas parciales primeras no está definida, entonces no podemos usar el criterio. También si d = 0 el criterio no es útil. En tales casos, debemos confiar en una gráfica o en algún otro tipo de tratamiento, como se ve en el ejemplo 28

Ejemplo 28Ejemplo 28Ejemplo 28Ejemplo 28 Hallar los extremos relativos de

vemos que ambas derivadas parciales son nulas si x = 0 o y = 0. Es decir, todo punto de el eje x o del eje y es un punto crítico. Como

vemos que si x = 0 o y = 0, entonces

Luego el criterio de las derivadas parciales segundas no decide. Sin embargo, como f(x,y)=0 para todo punto del

eje x o del eje y, y puesto que 0),( 22 >= yxyxf para los demás puntos, podemos concluir que cada un de estos

puntos críticos conduce a un mínimo absoluto, como se muestra en la figura 29

34


figura 29

Los extremos absolutos de una función pueden producirse de dos formas.

Primero, algunos extremos relativos también son extremos absolutos.

Segundo, pueden existir extremos absolutos en un punto del borde del dominio como se verá en el ejemplo 29

EjEjEjEjemplo 29emplo 29emplo 29emplo 29 Encontrar los extremos absolutos de la función f(x,y)=sen(xy) en la región cerrada dada porπ≤≤ x0 , 10 ≤≤ y

De las derivadas parciales

fx(x,y) = y cos(xy) , fy(x,y) =x cos(xy)

vemos, que cada punto de la hipérbola 2π=xy es un punto crítico. Además, en cada uno de estos puntos f toma

el valor uno, que sabemos que es el máximo absoluto, como se ve en la figura 30.

El otro punto crítico de f situado en la región dada es (0,0). Conduce a un mínimo absoluto de 0, ya que

figura 30

Para buscar otros extremos absolutos, consideremos las cuatro fronteras de la región formada al proyectar según

los planos verticales . Una vez hecho eso, vemos que sen(xy)=0 en todos los puntos

del eje x. del eje y, así como el punto . Cada uno de estos puntos proporciona un mínimo absoluto de la superficie de la figura 30.

6.9.3 6.9.3 6.9.3 6.9.3 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variablesAplicaciones de los extremos de funciones de dos variablesAplicaciones de los extremos de funciones de dos variablesAplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

35


Hay muchas aplicaciones de los extremos de funciones de dos (o más) variables. A continuación estudiaremos algunas de ellas.

Ejemplo 30Ejemplo 30Ejemplo 30Ejemplo 30 Máximo VolumenMáximo VolumenMáximo VolumenMáximo Volumen

Una caja rectangular descansa sobre el plano xy con un vértice en el origen. Encontrar el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano 6x+4y+3z=24, como se indica en la figura 31.

Puesto que un vértice de la caja pertenece al plano 6x+4y+3z=24, tenemos que z=(1/3)(24-6x-4y) y podemos escribir el volumen, xyz, de la caja como función de dos variables:

Haciendo iguales a cero las dos derivadas parciales primeras,

obtenemos los puntos críticos (0,0) y (4/3,2). En (0,0) el volumen es cero, por lo que aplicamos el criterio de las derivadas parciales segundas al punto (4/3,2)

Como

y

deducimos por el criterio de las derivadas parciales segundas que el volumen máximo es, en unidades cubicas:

Observar que el volumen es nulo en los puntos del borde del dominio triangular de V.

36


figura 31

3.11 3.11 3.11 3.11 MULTIPLICADORES DE LAGRANGEMULTIPLICADORES DE LAGRANGEMULTIPLICADORES DE LAGRANGEMULTIPLICADORES DE LAGRANGE El método de Multiplicadores de Lagrange dice que dadas f y g dos funciones con valores reales , con S = {x ∈ Rn : g(x) = c}. Asumiendo que ∇g(x0 ) ≠ 0. Si f restringida a S tiene un máximo y/o mínimo relativo en x0 ∈ S, entonces existe un número real λ tal que

∇f (x∇f (x∇f (x∇f (x0000)= λ∇g(x)= λ∇g(x)= λ∇g(x)= λ∇g(x0000))))

El Método de los Multiplicadores de Lagrange nos permite encontrar los puntos x ∈ Rn que optimizan (producen máximos y/o mínimos) una función dada f (x), sujeta a la restricción g(x)= 0.

Esta idea es esencialmente la extensión natural del método usual para funciones de una variable, buscar máximos y/o mínimos entre sus puntos críticos, es decir, los puntos x en que f‘(x) = 0. En este caso consideramos F (x) = f (x) − λg(x). Es claro que max F(x) = max f (x). Asi basta buscar valores de x and λ en los cuales ∇F = 0, es decir,

∇f (x)= λ∇g(x)

En el caso general que se tengan k restricciones, g1(x) = 0, g2(x) =0, ..., gk (x)= 0, el método usa la fórmula

∇f (x)= λ1 ∇g1 (x)+ λ2 ∇g2(x)+ ... + λk ∇gk (x)

Ejemplo 31Ejemplo 31Ejemplo 31Ejemplo 31 Optimizar la función f (x, y)= x3 − xy + y2 +3 sujeta a la condición que los puntos (x, y) satisfagan la ecuación de la elipse x2 + 2y2 = 1. Así la condición g(x, y)= 0 esta dada por la ecuación

g(x, y)= x2 + 2y2 − 1=0

Este problema está representado en la figura 32. En la figura 32 la condición g(x, y)= 0 está presentada por la elipse color violeta en el plano xy.

37


Figura 32

En la figura 32 se observa que mientras los puntos (x, y) recorren la elipse g(x, y) = 0 los valores f (x, y) generan cuatro puntos críticos.

Figura 33 : Tangencia de las cuervas de nivel y g(x,y)=0 Es importante observar (ver figura 33) que los puntos en el plano xy donde se producen los valores extremos es precisamente donde las curvas de nivel son tangentes a la curva dada por la condición g(x,y) = 0 , curva color violeta.

38


Si observamos los planos horizontales que generan las curvas de nivel podemos ver la relación de tangencia entre las curvas de nivel, los puntos extremos y la elipse. Esta observación esta graficada en la figura 34

Figura 34: Curvas de nivel y planos horizontales Así podemos ver en nuestro ejemplo que es precisamente en aquellos puntos tangenciales donde se puede visualizar el resultado de Lagrange, es decir donde los vectores gradientes de la función f (x, y) son paralelos a los vectores gradientes de la función g(x, y), ver la figura 35. El vector ∇f (x) es múltiplo de el vector ∇g(x) el los puntos de tangencia, es decir los puntos extremos.

Figura 35: Curvas de niveles, ∇f (x, y) y ∇g(x, y).

39


Para terminar nuestro ejemplo debemos decir que desde el punto de vista computacional la ecuación de Lagrange se reduce resolver un sistema de ecuaciones en las variables x, y y λ. La computación de los valores extremos se obtienen aplicando la ecuación de Lagrange :

GRAD(x - x·y + y + 3) = λ·GRAD(x + 2·y - 1) 2 3·x - y, 2·y - x, 0 = [2·λ·x, 4·λ·y, 0] 2 3·x - y = 2·λ·x ∧ x - 2·y = - 4·λ·y 2 2 x + 2·y - 1 = 0 2 2 2 SOLVE(3·x - y = 2·λ·x, x - 2·y = - 4·λ·y, x + 2·y - 1 = 0, [x, y, λ]) [x = 0.9 ∧ y = -0.2 ∧ λ = 1.5, x = -0.8 ∧ y = -0.1 ∧ λ = -1.5, x = 0.5 ∧ y = 0.5 ∧ λ = 0.2, x = -0.3 ∧ y = 0.6 ∧ λ = 0.6] f = 3.9 f = 2.4 f = 3.1 f = 3.5 OOOObservación : bservación : bservación : bservación : La condición del Método de Lagrange es una condición necesaria pero no una condición suficiente. Por ejemplo si consideramos la función f (x, y)= x + y , sujeta a la condición que xy = 1, es decir g(x, y)= xy − 1= 0, se obtiene λ = 1, y (x0, y0) = (±1, ±1), pero f no tiene ni máximo ni mínimo. Esto se puede observar claramente en la figura 36.

Figura 36: f(x,y) = x+y sujeta a xy=1.

40


7. 7. 7. 7. EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS y PROBLEMAS y PROBLEMAS y PROBLEMAS y PROBLEMAS PROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOS 7.17.17.17.1 Conceptos Conceptos Conceptos Conceptos

Revisar el repaso de los conceptos del capítulo 14 ( texto guía-pag.991).

7.2 7.2 7.2 7.2 Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios y problemas de aplicaciy problemas de aplicaciy problemas de aplicaciy problemas de aplicaciónónónón

LIBRO LIBRO LIBRO LIBRO –––– STEWARTSTEWARTSTEWARTSTEWART séptima edición séptima edición séptima edición séptima edición

EJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOS

Seccion 14.1 5,10,35,53,54,76 Seccion 14.3 10,12,75,82,87,95,96 Seccion 14.4 8,20,34,36,37,38,41

Seccion 14.5 9,35,37,40,43

Seccion 14.6 19,27,30,32,34,38,47,50,64

Seccion 14.7 26,36,45,49,50,52

Seccion 14.8 6,24,27,42,44

8.8.8.8. OBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALES � Revise los conceptos vistos en clase y el material subido al AVAC. � Desarrollar todas las actividades, los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el

docente. � Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes � Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de los ejercicios. � Ante cualquier duda, pregunte a su profesor y asista a las tutorías

calculo vectorial guia unidad3 cv-p44

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