(p1x q1)(p2x q (pnx q -...

Valószínűségszámítás [email protected]

Poisson mintavételn darab urnában fehér és fekete golyók vannak. Annak valószínűsége hogy fehér golyót húzunk pi, annak a valószínűsége hogy fekete golyót húzunk qi=1-pi.Minden urnából egy golyót húzunk ki. Annak az A eseménynek a valószínűsége, hogy k darab fehér és n-k darab fekete legyen az xk

együtthatója:

)(...))(()( 2211 nn qxpqxpqxpxp

p1;q1 p2;q2 pn;qn

………….


2

Visszatevés nélküli mintavétel

Egy urnában N golyó van, a darab fehér és b darab fekete.

n darab golyót húzunk ki visszatevés nélkül. Annak az A eseménynek a valószínűsége, hogy k darab fehér és n-kdarab fekete legyen:

nN

knb

ka

CCCAP

)(

b darab feketea darab fehér

összesen N darab golyó


3

Visszatevéses mintavétel

(Bernoulli)

Egy urnában fehér és fekete golyók vannak. Annak valószínűsége hogy fehér golyót húzunk p, annak a valószínűsége hogy fekete golyót húzunk q=1-p.

n darab golyót húzunk ki visszatevéssel. Annak az A eseménynek a valószínűsége, hogy k darab fehér és n-k darab fekete legyen:

knkkn qpCAP )(


4

5. Írjuk fel az 1,2,3,4,5 elemek mindazon permutációit, melynek a harmadik jegye 1-es!


58. Egy pénzdarabot háromszor feldobva egymás után, mind a háromszor fejet dobunk. Mi a valószínűsége, hogy negyedszer is fejet dobunk?

21

21111)( AP


6

24. Hányféleképpen oszthatunk ki 32 kártyát négy játékos között úgy, hogy minden játékos 8 kártyát kapjon?

300.518.108...2125...3132

8328

32

C


38. 100 alkatrész közül 20 hibás. 10-et kiválasztunk közülük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 3 hibás van közöttük, ha a kiválasztást visszatevés nélkül végezzük, a sorrendre nem vagyunk tekintettel?

209208,0)( 10100

320

780

CCC

CCCAP nN

knb

ka


Egy cég 4 gyárból rendel kinézetre azonos órákat. Az első gyár az összes óra 25%-t szállítja és a selejtes órák aránya 1%. A második az összes óra 30%-t szállítja, 3%-a nem működik az óráknak. A harmadik gyár az órák 15%-t adja, és 2%-os hibaaránnyal dolgozik. A negyedik gyár szállítja az órák fennmaradó hányadát, 5%-a hibás az óráknak

a) Mennyi a valószínűsége, annak, hogy a találomra választva egy órát, az óra működőképes

b) Tudva, hogy a kiválasztott óra hibás, mekkora a valószínűsége annak, hogy a második gyárból származik?

a) P(A)=0,25*0,01+0,3*0,03+0,15*0,02+03*0,05=0,0295

b) %3030,00295,0

03,0*3,0)( BP


Egy cég 4 gyárból rendel kinézetre azonos órákat. Az első gyár az összes óra 30%-át szállítja és a selejtes órák aránya 2%. A második az összes óra 10%-t szállítja, 3%-a nem működik az óráknak. A harmadik gyár az órák 35%-t adja, és 4%-os hibaaránnyal dolgozik. A negyedik gyár szállítja az órák fennmaradó hányadát, 4%-a hibás az óráknak

a) Mennyi a valószínűsége, annak, hogy a találomra választva egy órát, az óra működőképes

b) Tudva, hogy a kiválasztott óra hibás, mekkora a valószínűsége annak, hogy a második gyárból származik?

a) %3,3033,004,0*25,004,0*35,003,0*1,002,0*3,0)( AP

b) %909,0033,003,0*1,0)( BP


41. Egy dobozban 15 db ellenállás és 5 db kondenzátor van. Egymás után kiveszünk 5 alkatrészt. Mi a valószínűsége, hogy

a) Csak a két utolsó alkatrész kondenzátor, ha az alkatrészeket visszatesszük?

02636,0102427

41

41

43

43

43

205

205

2015

2015

2015)( AP

b) Csak a két első kondenzátor, ha az alkatrészeket nem tesszük vissza?

029347,0186048054600

1613

1714

1815

194

205)( BP


c) Pontosan két kondenzátor van, ha visszatesszük az alkatrészeket?

n=5; k=2

2636,06427

16110

6427

161

2145)

2015()

205()( 322

5

CCP

20151

205

pq

p


12

42. Egy urnában 6 piros, több fehér és fekete golyó van. Egyet kihúzunk. Annak valószínűsége, hogy egy fehér vagy egy fekete golyót húzunk ki: 3/5, hogy pirosat vagy feketét húzunk: 2/3. Hány fehér és hány fekete golyó van az urnában?

54123

1826261822

12623

6

32

66

53

6

xyy

yyxy

yxxy

yxyxyyxyx

x fehér golyó

y fekete golyó


45. Tíz darab egyforintost egyszerre feldobunk. Mi a valószínűsége, hogy mindegyiken fejet vagy mindegyiken írást dobunk

21;

21;10 qpn

10241)

21()

21()( 1000

10 CqpCAP knkkn

21;

21;10 qpn

10241)

21()

21()( 1000

10 CqpCAP knkkn


62. Mi a valószínűsége, hogy két kockával négyszer egymás után dobva, legalább egyszer 10 lett a dobott számok összege?

1211;

121

363;4 qpn

293933,0706067,01)(

706067,0)916667,0()1211()

121()( 4400

4

AP

CqpCAP knkkn


65. Két dobozban csavarokat helyeztünk el. Az egyikben van 5 jó és 4 selejt, a másikban 3 jó és 6 selejt.Mi a valószínűsége, hogy a két dobozból egyszerre húzva egyet-egyet, két jót húzunk ki?

9495

1

1

q

p

9693

1

1

q

p

)96

63)(

94

95()( xxxp

A keresett valószínűség az x2 együtthatója: 275

93

95


Egy szabályos 6 oldalú dobókockát 9-szer feldobunk. Mekkora a valószínűsége hogy:a) Pont egyszer dobunk 6-ost?

457341,0542659,01)(

542659,0348852,0193807,0)6()5(9

)6()5(11)

65()

61()

65()

61()( 9

8

9

9811

9900

9

BP

CCBP

b) Legalább kétszer 4-est dobunk?

348852,0)6()5(9)

65()

61()( 9

8811

9 CAP


348852,0)6()5(9)

65()

61()( 9

8811

9 CAP



348852,0)6()5(9)

65()

61()( 9

8811

9 CAP



348852,0)6()5(9)

65()

61()( 9

8811

9 CAP



348852,0)6()5(9)

65()

61()( 9

8811

9 CAP

c) Legalább egyszer dobunk 1-est

5121

21)

63()

63()(

9099

9

CDP

d) Mindig párosat dobunk806193,0193807,01)(

193807,0)65()

61()( 900

9

CP

CCP


17

47. Egy szabályos kockát 10-szer dobunk fel. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább két egyest dobunk?Megoldás: visszatevéses mintavétel:

A1 egy darab egyest dobunk:

A0 nem dobunk egyest:

A esemény – legalább két egyest dobunk: 1-P(A1)-P(A0)=0,5155

65;

61;10 qpn

3230,06510)

65()

61()( 10

9911

101 CAP

1615,065)

65()

61()( 10

101000

100 CAP


63. Három kockával dobunk. Mi a valószínűsége, hogy az egyik kockával hatost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 12?

Összes esetek száma: 21663

Kedvező esetek száma:15

725

21615)(

nkAP


19

Egy ládában van 10 piros, 7 kék és 8 zöld golyó. Mekkora a valószínűségeannak, hogy: a) Ha 5 golyót kiveszünk abban pontosan 2 darab zöld van?b) Ha 4 golyót kiveszünk akkor nincs köztük kék?c) Ha 6 golyót kiveszünk akkor van köztük legalább egy piros?

a) A esemény: 5 golyóból pontosan 2 zöld

358366,053130

68028)( 525

317

28

CCCAP

b) B esemény: 4 golyóból nincs kék241897,0

1265030601)( 4

25

418

07

CCCBP

c) C esemény: legalább egy piros

028261,01771050051)( 6

25

615

010

CCCCP

971739,0028261,01)(1)( CPCP


20

33. 32 lapos magyar kártyából egymás után 5 lapot húzunk visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, hogy a)három zöld lesz közöttük,b)csak az első és harmadik húzás zöld?

a)076752,0

20137627656)( 5

32

224

38

CCCAP

b) zöld; nem zöld; zöld; nem zöld; nem zöld;

028142,02822

2923

307

3124

328)( BP


21

48. 40 munkadarabból, amelyek között 8 darab selejtes, találomra kiveszünk négyet. Mi a valószínűsége annak, hogy

a) Két jót és két selejteset húzunk ki?b) A minta legfeljebb három selejtest tartalmazMegoldás: visszatevés nélkül mintavétel:

N=40 munkadarab; a=8 selejtes; b=32 jó; n=4

a) A esemény: két jó és két selejtes:

b) B esemény: legfeljebb három selejtest tartalmaz

151964,091390

49628)( 440

232

28

CCCAP

999233,0019608,0151964,0434183,0393478,0)( 440

132

38

440

232

28

440

332

18

440

432

08

CCC

CCC

CCC

CCCBP

vagy 999234,0000766,011)(1)( 440

032

48 CCCBPBP


49. 32 lapos magyar kártyából visszatevés nélkül kihúzunk 3 lapot.Mi a valószínűsége annak, hogy:a) Két piros lesz köztükb) Az első és harmadik húzás piros, ha egymás után húzunk?

135484,04960

2428)( 332

124

28

CCCAP

(piros; nem piros; piros)

04516,0307

3124

328)( BP


61. Mi a valószínűség, hogy két kockával háromszor egymás után dobva, mindháromszor mindkét kockán egyenlő számokat dobunk.

összes esetek: 36

kedvező esetek: 6

A esemény: egyenlő számokat dobunk

háromszor dobunk: n=3

mindháromszor: k=3

B esemény – a feladat kérdése

65

611)(

61

366)(

qAP

pAP

2161)

65()

61()( 033

3 CBP


64. Egy dobozban 5 piros és 7 fehér golyó van. Visszatevés nélkül húztunk ki 5 golyót egymás után. Eredményül 3 piros és 2 fehér golyó adódott. Mi a valószínűsége, hogy először piros golyót húztunk?

%63,636363,0416666,0265152,0

)()()(

41666,0125)(

265152,07922110)( 5

12

27

35

BPAPCP

BP

CCC

CCCAP nN

knb

ka


69. Egy üzem három részlegében sorrendben 100, 150 illetve 250 alkatrészt készítenek naponta. Az egyes részlegekben 3, 9 valamint 5 db a selejtes. Az összesített termelésből kiveszünk egy darabot ami hibás.Mi a valószínűsége, hogy az első részlegben készítették?

%64,17176471,0034,0006,0

)()()(

006,003,0*2,0)(034,002,0*5,006,0*3,003,0*2,0)(

APBPCP

BPAP

03,01003

2,0250150100

100

Matematika érettségi 2012 [email protected]

26

Egy terméket 3 üzemben szerelnek össze. A termelés 25%-át az 1. üzem, 37%-át a második üzem gyártja. Az első üzem 7%, a 2.üzem 4% és a 3. üzem 2%-os selejtaránnyal dolgozik. Mennyi a valószínűsége, hogy egy kiválasztott selejtes (nem selejtes) terméket az 1. üzem gyártott?

4386,00399,00175,0

)()()(

0175,007,025,0)(0.039902,038,004,037,007,025,0)(

APBPCP

BPAP

Selejtes terméket az 1. üzem gyártott:

Nem selejtes terméket az 1. üzem gyártott:

2422,00,96012325,0

)()()(

2325,093,025,0)(0,960198,038,096,037,093,025,0)(

APBPCP

BPAP


Eloszlásfüggvény: 1) F(x) függvény monoton növekvő2)

3)F(x) minden x pontban balról folytonos:

RxxPxF );()(

1)(

0)(

limlim

xF

xF

x

x

)()(lim0

aFxFax

)()()( aFbFbaP


Sűrűségfüggvény: Ha a folytonos valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye differenciálható, akkor az F deriváltját a sűrűségfüggvényének nevezzük

)()( ' xFxf Tulajdonságok:

b

a

x

aFbFdxxfbaP

dxxf

dttfxF

Rxxf

)()()()(

1)(

)()(

;0)(


Várható érték:Ha diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1; x2;…;xn és P(=xi)=pi akkor:

i

n

ii pxM

1

)(

Ha folytonos valószínűségi változó és f a sűrűségfüggvénye, akkor várható értéke:

dxxxfM )()(


Szórás:Ha diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1; x2;…;xn és P(=xi)=pi akkor:

]))([()( 2 MMD

Szórásnégyzet:222 ))(()()( MMD


31

Legyen:

79.020,0511,0403,0322,0101,0209,0323,0511,06px)(M i

n

1ii

20,011,003,022,001,009,023,011,054312356

Várható érték:

Szórás:

15,41859,176241,0576,127,022,004,081,075,596,3

)79.0(20,0511,0403,0322,0)1(01,0)2(09,0)3(23,0)5(11,0)6(

)()()(222222222

22

MMD


32

Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

6xha0

6x0ha36x2

0xha0)x(f

a) Mutassuk meg, hogy f(x) valóban sűrűségfüggvény!b) Mi a valószínűsége annak, hogy x<3c) Mennyi X várható értéke és szórásnégyzete?

a)

1dx)x(f

Rx0)x(fRDfa)

1dx)x(f

Rx0)x(fRDf

b)

3

41dx)x(f)3(Pb)

3

41dx)x(f)3(P

c) várható érték:

4dx)x(xf)X(M

216dx)x(fx

))X(M()X(M))X(MX(M)X(D

2

2222

szórásnégyzet:


78. 10 lövést adunk le egy r sugarú kör alakú céltálára. A valószínűségi változó jelentse az r/3 sugarú körbe eső találatok számát.a) Adjuk meg a eloszlásátb) M()=?c) Mennyi a valószínűsége, hogy a 10 lövésből legalább egy az r/3 sugarúkörbe talál?

31

30

00

)( 2

2

rxha

rxharx

xha

xP

31

30

00

)( 2

2

rxha

rxharx

xha

xF

31

302

00)( 2

rxha

rxharx

xhaxf


91. Egy játékkockát kétszer dobunk.a) Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege osztható 4-

gyel?b) jelentse a 6-os dobások számát. Adja meg a eloszlását és

eloszlásfüggvényét.

369)(

összeskedvezőAp

361

3610

3625

210

a)

b)

21

213635

103625

00

)(

xha

xha

xhaxha

xF


Binomiális eloszlás

npqD

npMqpCkP knkk

n

)(

)()(

1)(

)(

)(

NnNnpqD

NMp

npMCCCkP KN

knMN

kM

)(

)(!

)(

D

M

ek

kPk

Hipergeometrikus eloszlás

Poisson eloszlás

Geometriai eloszlás

pq

D

pkpqM

pqkP

k

k

k

)(

1)(

)(

1

1

1


Normális eloszlás

x

mx

dttfxF

exf

)()(

21)( 2

2

2)(

m - a várható érték - szórás

Standard normális eloszlás mxz


37

Naponta egy áruházba érkező vásárlók száma normál eloszlású valószínűségi változó, amelynek várható értéke 1600, szórása 400.

2266,07734,01)75,0(1)75,0()1300(

75,0400300

40016001300

)1300(4001600

zPzPP

mz

P

m

)1300() Pa


38


)17001100() Pb

1493,00,1056-0,59870,89441-0,5987))25,1(1()25,0()25,025,1()13001100(

25,1400500

40016001100

25,0400100

40016001700)17001100(

4001600

2

1

zPzPzPP

mz

mz

P

m


39


)1200() Pb

0,8413))1(1(1)1(1)1200(1)1200(

1400400

40016001200

)1200(4001600

1

zPzPPP

mz

P

m


Egy automata gép által kiválasztott folyékony mosószer mennyisége normál eloszlású. A térfogat átlagos értéke 4 liter, szórása 0,1 liter. Mekkora a valószínűsége, hogy :

a) A mosószer mennyisége kevesebb mint 3,9 liter?b) A mosószer mennyisége több mint 4,3 liter?c) Milyen eltérés megengedése esetén lesz a valószínűség 85%?

1587,08413,01)1(1)1()9,3(

11,01,0

1,049,3

)9,3(1,0

4

zPzPxP

mxz

xPllm

a)


b)

00135,099865,01)3()3,4(

31,03,0

1,043,4

)3,4(1,0

4

zPxP

mxz

xPllm


104,4104,041,0404,1

)04,1(85,085,0%85

1,04

xxxzP

Pllm


Egy munkaberendezés átlagos súlya 5 kg a szórása 2dkg, a szórása normál eloszlású valószínűségi változó. Azt a munkadarabot nevezzük megfelelő súlyúnak amelynek legfeljebb 1,6 dkg-al tér el a súlya átlagától.

a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy találomra kivett munkadarab nem megfelelő súlyú?

b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a találomra kivett munkadarab 5,05 kg-nál nehezebb

57629,021186,078814,0)78814,01(78814,0)8,0()8,0(

)8,08,0()016,5984,4(

8,002,0016,0

02,05016,5

8,002,0016,0

02,05984,4)016,5984,4(

)16,05016,05(02,0

5

22

11

zPzPzPxP

mxz

mxz

xPxP

kgkgm

z<-0,8z<0,8


0062,09938,01)5,2()05,5(

5,202,005,0

02,0505,5

)05,5(02,0

5

zPxP

mxz

xP

kgm


104. Egy csővágó automatacsövének hossza normális eloszlásúvalószínűségi változó 2m várható értékkel.Annak valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott cső hossza 1,95 és 2,05m közé esik 0,8.a) Mekkora a valószínűsége, hogy e készletből vásárolt cső hossza a várható értéktől kevesebbel különbözik, mint a szórás kétszerese?

283,19,08,12

8,018,0)1(

038971,0283,105,0205,2)05,295,1(

)05,0205,02(?2

2

zpp

pppp

mxz

xPxP

mmm

9772,0)2()2(

22)2(?)2(

039,02

zPmxP

mmmxz

mxPm

mm


b) Mekkora a valószínűsége, hogy 3 véletlenszerűen kiválasztott csőmindegyike rövidebb 2,05m-nél?

8998,0)282051,1()05,2(

282051,1039,005,0

039,0205,2

?)05,2(039,0

2

zPxP

mxz

xPm

mm

729,09,0)( 3 AP


Exponenciális eloszlás(sűrűség és eloszlásfüggvénye)

000

)(xhaxhae

xfx

0001

)(xhaxhae

xFx

1)()( DM

Várható érték és szórás


Egyenletes eloszlás(sűrűség és eloszlásfüggvénye)

egyébkéntha

bxahaabxf

0

1)(

bxha

bxahaabax

axhaxF

1

0)(

32

2abD

baM

(p1x q1)(p2x q (pnx q -...

Documents