Đáp án chuyên đề: phương trình và bất phương trình quy về ... filetruy cập...
TRANSCRIPT
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đáp án chuyên đề:
Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai - Đại số 10
Bài 4.113: a) Ta thấy 2x 2x 3 0 x + + nên phương trình đã cho
2 2
2 2
x 2x 3 3x 2 x x 5 0 5 21x
2x 2x 3 3x 2 x 5x 1 0
+ + = − − + = − = + + = − + + + =
.
b) Phương trình 2 2
2 2
x 2 0 x 2
2x 7x 2 x 2 2x 8x 0
2x 7x 2 x 2 2x 6x 4 0
+ − − + = + − = − + = − − − + =
Phương trình đã cho có bốn nghiệm 0; 1; 2; 4x x x x= = = = .
c) 4, 0x x= − =
d) ĐKXĐ: 1x . Với ĐK đó:
PT2
2 2 2 2 1.
1 1 1 11
x x x x
x x x xx
2 11 0
1 12
01
x
x xx
x
hoặc
2 11 0
1 12
01
x
x xx
x
Giải ra ta có nghiệm của phương trình là 0x và 2x .
Bài 4.114: a) * Nếu x 2 0 x 2 bpt− luôn đúng.
* Nếu x 2
2
2
x 5x 4 x 2bpt
x 5x 4 x 2
− + − − + − +
2
2
x 6x 6 0
x 4x 2 0
− + − +
x 3 3 V x 3 3
2 2 x 2 2
− +
− +
.
Kết hợp với x 2 ta có: 2 x 2 2 V x 3 3 + + .
Vậy nghiệm của bất phương trình : 2 x 2 2
x 3 3
+
+
.
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b) Bất phương trình 22
2
x 0x 0
x 2x 6 0x x x 6 x
x 6 0
− − − − −
−
6 x 1 7 + .
Vậy nghiệm bất phương trình : 6 x 1 7 + .
c) ( )1
; 5;5
T
= − +
d) 3
0;2
T
=
e) Đặt 2
3 2
3 2
1 1 1 1 1 1, 0 1 3t x t x x x x x
x x x x x x
= − − = − + + = − − +
Đáp số: 1, 0 1x x −
Bài 4.115: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đường thẳng y 5m 3= − và đồ thị (C) :
2y x 1 x 3x 2= − − − +
Ta có:
2
2
2
x 4x 3 khi x 2
y x 2x 1 khi 1 x 2
x 2x 1 khi x 1
− + −
= − + − + −
Lập bảng biến thiên ta có
• Nếu 4
5m 3 1 m5
− phương trình vô nghiệm.
• Nếu 4
m5
= phương trình có một nghiệm.
• Nếu 4
m5
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4.116: PT2 22x 10x 8 x 5x m − + − + =
Xét hàm số ( )( )
( )
22 2
2
x 5x 8 khi x ;1 4;f x 2x 10x 8 x 5x
3x 15x 8 khi x 1;4
− + − += − + − + =
− + −
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt Đồ thị hàm số ( ) 2 2f x 2x 10x 8 x 5x= − + − + cắt
đường thẳng y m=43
4 m4
.
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Bài 4.117: Bất phương trình 2 22x 3x 2 8x 2x 5m − − + + .
Xét hàm số
)2 14x 5x 2 khi x ; 2;
2y f (x)
111x 2 khi x ;2
2
+ − − − +
= =
+ −
.
Lập bảng biến thiên của hàm số
)2 14x 5x 2 khi x ; 2;
2y f (x)
111x 2 khi x ;2
2
+ − − − +
= =
+ −
Ta có 57
min16
y = − suy ra yêu cầu bài toán 57 57
516 80
m m − −
Bài 4.118: Đặt t x 2 , t 0= − ta có phương trình: 2t 3t 2m 6 0− + − = (*)
a) 2, 6x x= − =
b) Yêu cầu bài toán (* ) có hai nghiệm dương phân biệt
27 8m 0 273 m
2m 6 0 8
= −
− .
Bài 4.119: a) 2, 0x x b) 1m .
Bài 4.120: a) Bpt2 2
12 1 0 2
3 0 3
3 (2 1) 4 5 4 0
xx
x x
x x x x
3x
b) Bpt
2
2 2
1 08
3 07
1 ( 3)
x x
x x
x x x
c) Bpt 2
4 3 04 3 0
3 2 0 3 2 (4 3)
xx
x x x
2 323 4 1
3 314
xx
x
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
d) Bpt
2
2 2
1 0 43 4 0 3
1 0 1 41
43 4 ( 1)
xxx x
xx
x x x
Bài 4.121: a) Ta xét hai trường hợp
TH 1: 2 12 3 2 0 2,
2x x x x . Khi đó BPT luôn đúng
TH 2:
2
2
12 3 2 0 1 V 2Bpt V 323 0 20 V 3
x x xx x
x x x x.
Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: 1
( ; ] {2} [3; )2
T .
b) ĐK: 1x
* Với 0x ta thấy Bpt luôn đúng
* Với 0 1 1 0x x . Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được
2 22
2 2
(1 1)4 (1 1) 4 1 3 8
(1 1) (1 1)
x xx x x x x
x x
Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: [ 1;8)T .
c) Bất phương trình 2( 3) ( 3) 1 1 0x x x x
2 2 2 2( 3)( 1) ( 1) 0x x x x x
2 21 1 3 0x x x (*)
Do 2 21 0x x x x x x
2 2(*) 1 3 8 2 2 2 2x x x .
Vậy 2 2 2 2x là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Bài 4.122: a) 2 2
88 0
1 12 1 0 5
2 22 1 (8 ) 18 65 0
xx
bpt x x x
x x x x
b) 22
2 02 6 1 2
2 6 1 0
xbpt x x x
x x
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
hoặc 22
2 0
2 6 1 2
x
x x x
2
3 7
23 7
2
x
x
x
hoặc 2
323 72 3 0
2
xx
x x x
c) ĐS: 3 5x
d) ĐKXĐ:
3 0
2 8 0 4 7
7 0
x
x x
x
2
2
2
3 2 8 7 3 1 2 2 8 7
2 2 8 7 4 2 22 56
511 30 0
6
bpt x x x x x
x x x x
xx x
x
Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là 4 5
6 7
x
x
e) ĐKXĐ :
2 0
1 0 0
0
x
x x
x
2 1 2 2 1 2 ( 1)bpt x x x x x x x
1 01 2 ( 1)
0
xx x x
x hoặc 2
1 0
1 4 ( 1)
x
x x x
3 2 3
33 2 3
3
x
x
Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là 3 2 3
3x
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
f) ĐKXĐ :
99 2 02
3 9 2 0 0
x x
x x
22
2
2 3 9 2 721 9 2 4
24
x xbpt x x x
x
Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là
9 7
2 20
x
x
Bài 4.123: a) ĐKXĐ :4
13
0
x
x:
Với 4
03
x :2
23 4 22 3 4 2 2
x xBPT x x x
x
2 22
2 2 0 1 97 9 0 73 4 2 2
x xx
x xx x x
Suy ra nghiệm của bất phương trình là 9 4
7 3x
Với 1 0 :x bpt luôn đúng
Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là
1 0
9 4
7 3
x
x
b) ĐKXĐ:
2
2
2
3 2 04
4 3 01
5 4 0
x xx
x xx
x x
1 2 1 3 2 1 4bpt x x x x x x
Dễ thấy 1x là nghiệm của bpt.
+ Với 1x : Bpt 1 2 1 3 2 1 4x x x x x x
2 3 2 4x x x
Ta có : 2 3 4 4 2 4x x x x x
Suy ra 1x bpt vô nghiệm .
+) Với 4 :x 2 3 2 4bpt x x x
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có : 2 3 4 4 2 4, , 4x x x x x x x
Suy ra : 4x bất pt luôn đúng .
Vậy nghiệm của bpt là :1
4
x
x
c) ĐS: 17
5, 3, 53
x x x
d) ĐKXĐ:1 0
1 11 0
xx
x:
Khi đó :4
2 21 1 2 1 416
xbpt x x x x
42 21 2 1 1 0
16
xx x
4221 1 0
16
xx (luôn đúng)
Vậy nghiệm của bpt là : 1 1x
Bài 4.124: a) 2
24( 1) 1 3 2 2 10 0bpt x x x
ĐS: 1, 3x x
b) 0 1x c) 0 5x d) 45
08
x
e) 9 4
1 0,7 3
x x f) 35
x4
g) 17
3x
h) 2 3 2 29 16 2 23 2 4 )2x xbpt x x x
Chia hai trường hợp và giải ta được 2 4 2
2 , 23 3
x x
Bài 4.125: a) Đặt : 2
2 2 43 6 4, 0 2
3
tt x x t x x
Bất phương trình trở thành 2 4
23
tt
2 3 10 0 0 2( 0)t t t t
Ta có 2 23 6 4 2 3 6 4 4x x x x 23 6 0 2 0x x x
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Vậy nghiệm bpt là 2 0x .
b) ĐKXĐ: 3 1x
Đặt : 2 2 2 2 23 2 , 0 3 2 2 3t x x t t x x x x t
Bất phương trình trở thành 22 3 3 1t t
2 52 3 5 0 0 ( 0)
2t t t dot
Ta có 2 53 2
2x x
2
3 13 125
3 24
xx
x x
Vậy nghiệm bpt là 3 1x 2 0x .
c) ĐKXĐ:
2
31
x
x
Đặt 2 2 23 5 2, 0 3 5 2t x x t x x t
Bất phương trình trở thành 2 5 1t t 22 25 1 5 1 2t t t t t
Ta có
2
22
3 5 2 03 5 2 2
3 5 2 4
x xx x
x x
22 13
1 2 11 3 323
xx
xx
x
d) ĐKXĐ: 1x
2 2 31 1 1 1
2bpt x x
31 1 1 1
2x x
Đặt 1, 0t x t
Bất phương trình trở thành 3
1 12
t t (*)
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
+) Với 1t ta có 3 3
(*) 22 4
t t
Suy ra nghiệm bpt(*) là 1t do đó 1 1 2x x
+) Với 0 1t ta có 3
(*) 22
đúng mọi t
Do đó1
0 1 12
xx
x
Vậy nghiệm bpt là 1x
e) ĐKXĐ : 0x
1 15 2 4
22bpt x x
xx
Đặt 21 1 12 . 2, 2 1
42 2t x x t x t
xx x
Bất phương trình trở thành 2 2
15 2 1 4 2 5 2 0 2
2
tt t t t
t
Vì 2 2t t ta có 1
2 2 4 1 02
x x xx
2 2 3 2 20 0
2 22 2 3 2 2
2 2
x x
x x
Vậy nghiệm bpt là 3 2 2
02
x và 3 2 2
2x .
f) ĐKXĐ: 1, 0x x
Đặt:2
1 1, 0
1
x xt t
x x t
Ta được : 3 2 2
2
12 3 2 3 1 0 1 2 1 0t t t t t t
t
10
2t (vì 0t )
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có 1 1 4
0 12 3
xx
x
Vậy nghiệm bpt là 4
13x .
g) ĐKXĐ: 21
1 01
xx
x
+) Với 1x : bpt VN
+) Với 1x :2 2
2
2 2
12252.
1441 1
x xbpt x
x x
4 2
2 2
12252. 0
1441 1
x x
x x
Đặt : 2
2, 0
1
xt t
x, bất phương trình trở thành
2 1225 252 0 ( 0)
144 12t t t dot
Do đó ta có 2
4 2
2
25144 625 625
121
xx x
x
2
4 2
2
25 50 1
16 4144 625 625 0 ( ox 1)25 5
9 3
x xx x d
x x
Bài 4.26: a) ĐKXĐ: 1 7x .
Ta có: PT 1 2 7 2 1 7 1 0x x x x x
1 1 2 7 1 2 0x x x x
1 2 1 7 0x x x
1 2 5
41 7
x x
xx x.
b) ĐKXĐ: 1 3
2 2x
Phương trình đã cho 2 22 (4 4 1)
2 1 3 24
x xx x
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 22 (4 4 1)
4 2 4 4 34
x xx x .
Đặt 2 24 4 3= 4 (2 1) 0 2t x x x t . Ta có phương trình :
2 2 4 2 316 8 (4 ) 8 8 0 ( 8 8) 0t t t t t t t t
20 (n)
( 2)( 2 4) 01 5 (l)
tt t t t
t.
2 2
1
20 4 4 3 0 4 4 3 03
2
xt x x x x
x.
Vậy 1 3;
2 2x x là nghiệm của phương trình đã cho.
c) ĐKXĐ: 5
3x .
Phương trình 10 1 9 4 3 5 2 2 0x x x x
3 30
10 1 9 4 3 5 2 2
x x
x x x x
1 1( 3) 0 3
10 1 9 4 3 5 2 2x x
x x x x (thỏa điều kiện).
Vây 3x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
d) PT 3 21 2 9 0x x x x
22( 2)( 4) 0
1 1
xx x x
x
21( 2) 4 0 2
1 1x x x x
x
Bài 4.127: a) Theo côsi ta có: 2
2 2 12
2
x xx x ;
22 2 3 3
1 3 32
x xx x
Suy ra 2
2 2 2 32 1 3 3
2
x xx x x x
Mà 2 2 3
2.2
x x
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Dấu bằng xảy ra <=>x=1. Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1.
b) ĐKXĐ: 2 2 1 0x x
Do 2 2 1 0x x nên 3 314 2x x
3 2 3 214 8 12 6 2 1 0x x x x x x
Suy ra phương trình có nghiệm thì 2 2 1 0 1 2x x x
Thử lại ta thấy phương trình cso nghiệm duy nhất 1 2x .
c) ĐK: 0x . Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có: 2
1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3x x x x
Suy ra 2 2
2 1 3 2 1 5x x xx x
.
Đẳng thức xảy ra khi 1x và đó cũng là nghiệm của phương trình.
Bài 4.128: ĐKXĐ: 2
2 3 0
1 0 511 33 0 3
3 5 0
x
xx
x x
x
Phương trình tương đương với 2 22 2 3 1 11 24 2 11 33 3 5x x x x x x x
2 22 2 3 1 11 33 3 5 11 24x x x x x x x
32
2
3 40 149 1682 11 24
2 3 1 11 33 3 5
x x xx x
x x x x x
2
2
2
3x 7 11 242 11 24
2 3 1 11 33 3 5
x xx x
x x x x x
2
2
2 3 711 24 1 0
2 3 1 11 33 3 5
xx x
x x x x x
23
11 24 08
xx x
x (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là 3x và 8x .
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Bài 4.129: Phương trình (1) ( ) ( ) ( )
22 2
1 0
x 2 1 1 2
x
m x m m x
−
− + + + = −
Đặt 1t x= − , vì 1 0x− nên ta có điều kiện 0t , thay vào phương trình (2) ta được phương trình:
( ) ( )2 22 1 0 3t m t m m− − + − =
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 0t
TH1: Phương trình (3) có nghiệm 2
1 20 0 0 0 1t t P m m m − .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm 2
1 2
1 0' 0
0 0 0 1
0 1 0
m
t t P m m m
S m
−
− = −
.
Kết luận: Với 0;1m thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm
2
1 2
1 00
0 0 0
0 1 0
m
t t P m m
S m
−
− −
(vô nghiệm)
Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 0t
TH1: Phương trình (3) có nghiệm 2
1 20 0 0 0 1t t P m m m − .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm 2
1 2
1 00
0 0 0 0
0 1 0
m
t t P m m m
S m
−
= = − = = −
.
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 1 2
0 1 00 1
0 1 0
mt t m
S m
= − = = =
− .
Kết luận: Với 0;1m thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 4.130. ĐK x R . Đặt 2 1 1 0t x t suy ra 22 1 1x t , thay vào phương trình (1)
ta được phương trình: 2 2 3 2 0 2t m t m
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 0t
TH1: Phương trình (2) có nghiệm 1 2
20 0 3 2 0
3t t P m m .
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
TH2: Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 16 4 0
0 0 3 2 0 8 68
0 2 0
m m
t t P m m
S m
Kết luận: với 2
; 8 68;3
m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:
2
1 2
0 16 4 0
0 0 3 2 0 8 68
0 2 0
m m
t t P m m
S m
Kết luận: Với 8 68;m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 16 4 02
0 0 3 2 03
0 2 0
m m
t t P m m
S m
.
TH2: Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 16 4 00
0 2 0
m mt t
S m (vô nghiệm)
Kết luận: với 2
3m thì pt (1) có nghiệm duy nhất.