phƯƠng trÌnh vÀ hỆ phƯƠng trÌnh

ĐẠI SỐ 10

GV: PHAN NHẬT NAM

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I. lý thuyết:

1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)

x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.

Chú ý:

+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x

1

( )

thì cần điều kiện P(x) 0.

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) 0.

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số

y = f(x) và y = g(x).

2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.

(1) (2) khi và chỉ khi S1 = S2. {(1) , (2) là hai phương trình tương đương nhau}

(1) (2) khi và chỉ khi S1 S2. { (2) là phương trình hệ quả của (1)}

3. Phép biến đổi tương đương

Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được

một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:

– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.

Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả.

Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

II. Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình 21 1 2 3 0x x x x

Giải:

Điều Kiện: 1 0 1

11 0 1

x xx

x x

Thay x = 1 vào phương trình ta thu được “21 1 1 1 1 2.1 3 0 ” là mệnh đề đúng .

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1S

http://www.toanhocdanang.com/



Ví dụ 2: Chứng tỏ hai phương trình sau tương đương nhau:

2 2

2 1 01

xx

x

(1) và 4 22 7x x (2)

Giải:

Giải phương trình 1:

Điều kiện: 1x

22

20 ( )2 1 2

(1) 0 2 02 ( )1

x loaix xx x

x loaix

Do đó tập nghiệm của (1) là 1S

Giải phương trình 2:

2 2

4 0 4 4(2)

2 3( 4) 22 7 6 0

x x x

x xx x x x

không tồn tại x R

Do đó tập nghiệm của (2) là 2S

Từ đó ta có: 1 2S S nên (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhau (đpcm)

III. Bài tập áp dụng:

Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) xx x

5 53 12

4 4

b) xx x

1 15 15

3 3

c) xx x

2 1 19

1 1

d) xx x

2 23 15

5 5


a) x x1 1 2 b) x x1 2

c) x x1 1 d) x x1 1

e) x

x x

3

1 1

f) x x x21 2 3 *


a) x x x2

3( 3 2) 0 b) x x x2

1( 2) 0

c) x

x

x x

12

2 2

d) x x

x

x x

24 3

1

1 1


a) x x2 1 b) x x1 2

c) x x2 1 2 d) x x2 2 1





a) x x

x x1 1

b) x x

x x

2 2

1 1

c) x x

x x2 2

d) x x

x x

1 1

2 2

Bài 6. Tìm tập nghiệm của phương trình: 1x x x

Bài 7. Giải các phương trình:

a. 21 1x x

b. 2 12 3 0x x x

x

Bài 8. Tìm m để hai phương trình sau tương đương nhau

1 3 7x x , 2( 1) ( 3) 2 2 0m x m x m

Bài 9. Sử dụng phép biến đổi hệ quả để giải phương trình sau:

a. 2

2 2

7 7x x x

x x

b. 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

I. Lý thuyết:

Chú ý: Khi a 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn

II. Bài tập áp dụng:

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) m x m x2( 2) 2 3 b) m x m x m( ) 2

b) m x m m x( 3) ( 2) 6 d) m x m x m2( 1) (3 2)

e) m m x x m2 2( ) 2 1 f) m x m x m

2( 1) (2 5) 2

ax + b = 0 (1)

Hệ số Kết luận

a 0 (1) có nghiệm duy nhất b

x

a

a = 0 b 0 (1) vô nghiệm

b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x




Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:

a) x a x b

b a a b

a b

( , 0)

b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)

c) x ab x bc x b

b a b c

a c b

2

3 ( , , 1)

1 1 1

d) x b c x c a x a b

a b c

a b c

3 ( , , 0)

Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:

i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x R.

a) m x n( 2) 1 b) m m x m2( 2 3) 1

c) mx x mx m x2

( 2)( 1) ( ) d) m m x x m2 2( ) 2 1

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) x x x x

2 10 501

2 3 (2 )( 3)

b) x x x

x x x

1 1 2 1

2 2 1

c) x x

x x

2 1 1

3 2 2

d)

x x

x

2

2

3 51

4

e) x x x x

x x

2 22 5 2 2 15

1 3

f)

x x

x x2 2

3 4 2

( 1) (2 1)

Bài 5. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) mx m

x

13

2

b)

mx m

x m

23

c)

x m x

x x m

12

1

d) x m x

x x

3

1 2

e)

m x mm

x

( 1) 2

3

f)

x x

x m x 1


a) mx 1 5 b) mx x x1 2 c) mx x x2 1

d) x m x m3 2 2 e) x m x m 2 f) x m x 1

Bài 7. Tím tất cả các gia trị nguyên của m để phương trình ( 1)( 1)m x x m có nghiệm nguyên

Bài 8. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :

1 (2 3) (1 ) 3 0x m x m m x

Bài 9. Tìm m để phương trình 2 3mx x m

x x

có nghiệm duy nhất




Bài 10. Tìm a, b để các phuong trình sau đúng với x R

a. 4 2( 1) 0a x a x b

b. (2 1) 3 2 3a x a x b

Bài 11. Tìm m để phương trình (2 1) 3 2 3m x m x m có nghiệm thuộc khoảng (0, 3)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. Lý thuyết:

1. Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c

a

.

– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c

a

.

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b

b

2

.

2. Định lí Vi–et

Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c

20 khi và chỉ khi chúng thoả mãn

các hệ thức b

S x x

a1 2

và c

P x x

a1 2

.

II. Các Dạng toán:

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax bx c2

0

Để giải và biện luận phương trình ax bx c2

0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:

– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0 .

– Nếu a 0 thì mới xét các trường hợp của như trên.

Dạng 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax bx c a2

0 ( 0) (1)

(1) có hai nghiệm trái dấu P < 0

(1) có hai nghiệm cùng dấu P

0

0

ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)

b ac24 Kết luận

> 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt b

x

a1,2

2

= 0 (1) có nghiệm kép b

x

a2

< 0 (1) vô nghiệm




(1) có hai nghiệm dương P

S

0

0

0

(1) có hai nghiệm âm P

S

0

0

0

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì > 0.

Dạng 3: Ứng dụng định lí Vi–et:

1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số

Ta sử dụng công thức b c

S x x P x x

a a1 2 1 2

; để biểu diễn các biểu thức đối xứng của

các nghiệm x1, x2 theo S và P.

Ví dụ: x x x x x x S P2 2 2 2

1 2 1 2 1 2( ) 2 2

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 ( ) 3x x x x x x x x S PS

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

b c

S x x P x x

a a1 2 1 2

; (S, P có chứa tham số m).

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.

3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

x Sx P2

0 , trong đó S = u + v, P = uv.

III. Bài tập áp dụng:


a. x x m25 3 1 0 b. x x m

22 12 15 0

c. x m x m2 22( 1) 0 d. m x m x m

2( 1) 2( 1) 2 0

e. m x m x2

( 1) (2 ) 1 0 f. mx m x m22( 3) 1 0

Bài 2. Giải biện luận phương trình:

a. 3 2(4 1) ( 5) 6 6 0mx m x m x m

b. 2 2( 1) 8 5 1mx m x m x

Bài 3. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:

a. x mx m x2 3

1 0;

2

b. x m x m x2 22 3 0; 1

c. m x m x m x2

( 1) 2( 1) 2 0; 2 d. x m x m m x2 22( 1) 3 0; 0

Bài 4. Xác định m để phương trình:

i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt




iii) có hai nghiệm dương phân biệt

a) x x m25 3 1 0 b) x x m

22 12 15 0

c) x m x m2 22( 1) 0 d) m x m x m

2( 1) 2( 1) 2 0

e) m x m x2

( 1) (2 ) 1 0 f) mx m x m22( 3) 1 0

g) x x m24 1 0 h) m x m x m

2( 1) 2( 4) 1 0

Bài 5. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:

A = x x2 2

1 2 ; B = x x

3 3

1 2 ; C = x x

4 4

1 2 ; D = x x

1 2 ; E = x x x x

1 2 2 1(2 )(2 )

a) x x2

5 0 b) x x22 3 7 0 c) x x

23 10 3 0

d) x x22 15 0 e) x x

22 5 2 0 f) x x

23 5 2 0

Bài 6. (Trích TSĐH Khối A - 2003) Tìm m để đồ thị (C) của hàm số 2

1

mx x my

x

cắt trục hoành tại

hai điểm có hoành độ dương.

Bài 7. (Trích TSĐH Khối A - 2003) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C) và d tương ứng của

hàm số sau (C): 2 2 4

2

x xy

x

và d: 2 2y mx m .

Bài 8. (Trích TSĐH Khối B - 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x

Bài 9. (Trích TSĐH Khối D - 2006) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để

đường thẳng d cắt đồ thị (C): 3 3 2y x x tại ba điểm phân biệt.

Bài 10. (Trích TSĐH Khối D - 2009) Tìm m để đường thẳng : 2d y x m cắt đồ thị (C) của hàm số 2x x m

yx

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.

Bài 11. (Trích TSĐH Khối A - 2010) Tìm m để phương trình : 3 22 (1 ) 0x x m x m có ba nghiệm

1 2 3, ,x x x sao cho 2 2 2

1 2 3 4x x x

Bài 12. (Trích TSĐH Khối A - 2011) Tìm m để phương trình: 1

2 1

xx m

x

có hai nghiệm phân biệt

1 2,x x sao cho 2 2

1 2

1 1

(2 1) (2 1)f

x x

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 13. Cho phương trình: m x m x m2

( 1) 2( 1) 2 0 (*). Xác định m để:

a) (*) có hai nghiệm phân biệt.

b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.

c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.




Bài 14. Cho phương trình: x m x m22(2 1) 3 4 0 (*).

a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.

b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.

c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 3

1 2 .

d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.

e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 2

1 2, .

HD: a) m2

2

b) x x x x1 2 1 2

1 c) A = m m m2

(2 4 )(16 4 5)

d) m1 2 7

6

e) x m m x m

2 2 22(8 8 1) (3 4 ) 0

Bài 15. Cho phương trình: x m x m m2 22( 1) 3 0 (*).

a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.

b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.

c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 2

1 28 .

HD: a) m = 3; m = 4 b) x x x x x x2

1 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0 c) m = –1; m = 2.

Bài 16. Cho phương trình: x m m x m2 2 3( 3 ) 0 .

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.

HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7 .

Bài 17. (nâng cao) Cho phương trình: x x x2 22 2 sin 2 cos ( là tham số).

a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi .

b) Tìm để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.




PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. Lý thuyết:

1. Định nghĩa và tính chất phương trình chứa trị tuyệt đối

A khi A

AA khi A

0

0

A A0,

A B A B. . A A2

2

A B A B A B. 0 A B A B A B. 0

A B A B A B. 0 A B A B A B. 0

Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 1: f x g x( ) ( )

C

f x

f x g x

f x

f x g x

1

( ) 0

( ) ( )

( ) 0

( ) ( )

C g x

f x g x

f x g x

2( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

Dạng 2: f x g x( ) ( ) C

f x g x

12 2

( ) ( )

C

f x g x

f x g x

2

( ) ( )

( ) ( )

Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.

2. Phương trình chứa căn

Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.

Dạng 1: f x g x( ) ( ) f x g x

g x

2

( ) ( )

( ) 0

Dạng 2: f x g x

f x g xf x hay g x

( ) ( )( ) ( )

( ) 0 ( ( ) 0)

Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0 t f x t

at bt c2

( ), 0

0

Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )

Đặt u f x v g x( ), ( ) với u, v 0.

Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.

Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )

Đặt t f x g x t( ) ( ), 0 .

3. phương trình trùng phương ax4 + bx

2 + c = 0 (a 0)

a. Cách giải: t x t

ax bx c

at bt c

24 2

2

, 00 (1)

0 (2)




b. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.

(1) vô nghiệm

voâ nghieäm

coù nghieäm keùp aâm

coù nghieäm aâm

(2)

(2)

(2) 2

(1) có 1 nghiệm coù nghieäm keùp baèng

coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm

(2) 0

(2) 1 0,

(1) có 2 nghiệm coù nghieäm keùp döông

coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm

(2)

(2) 1 1

(1) có 3 nghiệm coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0,

(1) có 4 nghiệm coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2

c. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn

Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,

– Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )

– PT trở thành: t cd ab t K2( ) 0

Dạng 2: x a x b K4 4

( ) ( )

– Đặt a b

t x

2

a b b ax a t x b t,

2 2

– PT trở thành:a b

t t K vôùi4 2 2 42 12 2 0

2

Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2

0 ( 0) (phương trình đối xứng)

– Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được:

PT a x b x c

xx

2

2

1 10

(2)

– Đặt t x hoaëc t x

x x

1 1

với t 2 .

– PT (2) trở thành:at bt c a t2

2 0 ( 2) .



a) x x2 1 3 b) x x4 7 2 5 c) x x23 2 0

d) x x x26 9 2 1 e) x x x

24 5 4 17 f) x x x

24 17 4 5

g) x x x x1 2 3 2 4 h) x x x1 2 3 14 i) x x x1 2 2


a) mx 1 5 b) mx x x1 2 c) mx x x2 1

d) x m x m3 2 2 e) x m x m 2 f) x m x 1





a) x x4 7 4 7 b) x x2 3 3 2 c) x x x1 2 1 3

d) x x x x2 22 3 2 3 e) x x x

22 5 2 7 5 0 f) x x3 7 10


a) x x x22 1 1 0 b) x x x

22 5 1 7 0 c) x x x

22 5 1 5 0

d) x x x24 3 2 0 e) x x x

24 4 2 1 1 0 f) x x x

26 3 10 0


a) x x2 3 3 b) x x5 10 8 c) x x2 5 4

d) x x x2

12 8 e) x x x22 4 2 f) x x x

23 9 1 2

g) x x x23 9 1 2 h) x x x

23 10 2 i) x x x

2 2( 3) 4 9


a) x x x x2 26 9 4 6 6 b) x x x x

2( 3)(8 ) 26 11

c) x x x x2

( 4)( 1) 3 5 2 6 d) x x x x2

( 5)(2 ) 3 3

e) x x2 2

11 31 f) x x x x22 8 4 (4 )( 2) 0


a) x x1 1 1 b) x x3 7 1 2

c) x x2 29 7 2 d) x x x x

2 23 5 8 3 5 1 1

e) x x3 31 1 2 f) x x x x

2 25 8 4 5

g) x x3 35 7 5 13 1 h) x x

3 39 1 7 1 4





a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 ) b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16

c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1 d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3

e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5 f) x x x x x2

3 2 1 4 9 2 3 5 2

g) x x x x22

1 1

3

h) x x x x2

9 9 9


a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14

b) x x x x5 4 1 2 2 1 1

c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4


a) x x4 23 4 0 b) x x

4 25 4 0 c) x x

4 25 6 0

d) x x4 23 5 2 0 e) x x

4 230 0 f) x x

4 27 8 0

Bài 7. Tìm m để phương trình:

i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm

iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm

a) x m x m4 2 2(1 2 ) 1 0 b) x m x m

4 2 2(3 4) 0 c) x mx m

4 28 16 0


a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297 b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36

c) x x4 4( 1) 97 d) x x

4 4( 4) ( 6) 2

e) x x4 4

( 3) ( 5) 16 f) x x x x4 3 26 35 62 35 6 0

g) x x x x4 3 2

4 1 0




Bài 9. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc 2

1. 2 25 10 1 7 2x x x x 2.

12 3

1

x x

x x

3. 2

31212

xxxxx 4. 211 24 2 xxxx

5. xxxx 33)2)(5( 2 6. 22 4324 xxxx

7. 5 1

5 2 422

x xxx

8. xxxx 13

21 2

9. 234413 2 xxxx 10. 63297 2 xxxx

Bài 10. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

a. (D - 2006)22 1 3 1 0x x x b. (D - 2013)

2

2 21

xx x

x

c. (B – 2012) 21 4 1 3x x x x d. (D - 2011)

281 1

4

xx x

e. (B - 2011) 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x f. (A. 2009) 32 3 2 3 6 5 8 0x x

Bài 11. Giải các phương trình sau bằng phép nhân liên hợp:

a. (B - 2010) 23 1 6 3 14 8 0x x x x

b. (Tích B - 2013) 23 3 3 1 5 4x x x x

c. (TNTHPTQG - 2015) 2

2

2 81 2 2

2 3

x xx x

x x

d. (Trích A - 2014) 3 28 1 2 10x x x

e. (Tích B - 2014) 22 3 2x x x

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

I. Lý thuyết:




1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y c

a b a ba x b y c

2 2 2 21 1 1

1 1 2 2

2 2 2

( 0, 0)

Giải và biện luận:

Tính các định thức: a b

D

a b

1 1

2 2

, x

c b

D

c b

1 1

2 2

, y

a c

D

a c

1 1

2 2

.

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế,

phương pháp cộng đại số.

2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay

hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại

số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.


Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) x y

x y

5 4 3

7 9 8

b)

x y

x y

2 11

5 4 8

c)

x y

x y

3 1

6 2 5

d)

x y

x y

2 1 2 1

2 2 1 2 2

e) x y

x y

3 216

4 3

5 311

2 5

f) x y

y

3 1

5x 2 3


a) x y

x y

1 818

5 451

b) x y

x y

10 11

1 2

25 32

1 2

c) x y x y

x y x y

27 327

2 3

45 481

2 3

d) x y

x y

2 6 3 1 5

5 6 4 1 1

e)

x y x y

x y x y

2 9

3 2 17

f)

x y x y

x y x y

4 3 8

3 5 6

Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

Xét D Kết quả

D 0 Hệ có nghiệm duy nhất yxDD

x y

D D

;

D = 0 Dx 0 hoặc Dy 0 Hệ vô nghiệm

Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm




a) mx m y m

x my

( 1) 1

2 2

b)

mx m y

m x m y

( 2) 5

( 2) ( 1) 2

c)

m x y m

m x y m

( 1) 2 3 1

( 2) 1

d) m x m y

m x m y m

( 4) ( 2) 4

(2 1) ( 4)

e)

m x y m

m x y m m2 2

( 1) 2 1

2

f)

mx y m

x my m

2 1

2 2 5

Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy:

i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) m x y m

m x y m m2 2

( 1) 2 1

2

b)

mx y

x m y m

1

4( 1) 4

c)

mx y

x my m

3 3

2 1 0

Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:

i) Giải và biện luận.

ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.

a) mx y m

x my m

2 1

2 2 5

b)

mx m y

m x my

6 (2 ) 3

( 1) 2

c)

mx m y m

x my

( 1) 1

2 2


a) ax y b

x y3 2 5

b)

y ax b

x y2 3 4

c)

ax y a b

x y a2

d) a b x a b y a

a b x a b y b

( ) ( )

(2 ) (2 )

e) ax by a b

bx ay ab

2 2

2

f)

ax by a b

bx b y b

2

24


a)

x y z

x y z

x y z

3 1

2 2 5

2 3 0

b)

x y z

x y z

x y z

3 2 8

2 6

3 6

c)

x y z

x y z

x y z

3 2 7

2 4 3 8

3 5

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN




I. lý thuyết:

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

2. Hệ đối xứng loại 1

Hệ có dạng: (I) f x y

g x y

( , ) 0

( , ) 0

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Đặt S = x + y, P = xy.

Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.

Giải hệ (II) ta tìm được S và P.

Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2

0 .

3. Hệ đối xứng loại 2

Hệ có dạng: (I) f x y

f y x

( , ) 0 (1)

( , ) 0 (2)

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) f x y f y x

f x y

( , ) ( , ) 0 (3)

( , ) 0 (1)

Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) x y g x y( ). ( , ) 0 x y

g x y( , ) 0

.

Như vậy, (I)

f x y

x y

f x y

g x y

( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

.

Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).

4. Hệ đẳng cấp bậc hai

Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d

a x b xy c y d

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

.

Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).

Khi x 0, đặt y kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình

bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).

Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x

0 0( ; ) cũng là nghiệm của hệ.

Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0 .



a) x y

x y

2 24 8

2 4

b) x xy

x y

224

2 3 1

c) x y

x y

2( ) 49

3 4 84

d) x xy y x y

x y

2 23 2 3 6 0

2 3

e)

x y

xy x y

3 4 1 0

3( ) 9

f)

x y

xy x y

2 3 2

6 0




g) y x x

x y

24

2 5 0

h)

x y

x y y2 2

2 3 5

3 2 4

i)

x y

x xy y2 2

2 5

7


a) x y

x y m2 2

6

b)

x y m

x y x2 2

2 2

c)

x y

x y m2 2

3 2 1


a) x xy y

x y xy x y2 2

11

2( ) 31

b)

x y

x xy y2 2

4

13

c)

xy x y

x y x y2 2

5

8

d)

x y

y x

x y

13

6

6

e) x x y y

x y xy

3 3 3 317

5

f)

x x y y

x xy y

4 2 2 4

2 2

481

37


a) x y xy m

x y m2 2

3 2

b)

x y m

x y xy m m2 2 2

1

2 3

c)

x y m

xy x y m

( 1)( 1) 5

( ) 4


a) x x y

y y x

2

2

3 2

3 2

b)

x y x y

y x y x

2 2

2 2

2 2

2 2

c)

x x y

y y x

3

3

2

2

d)

yx y

x

xy x

y

3 4

3 4

e)

yy

x

xx

y

2

2

2

2

23

23

f)

x y

y

y x

x

2

2

12

12


a) x x my

y y mx

2

2

3

3

b)

x y m m

y x m m

2 2

2 2

(3 4 ) (3 4 )

(3 4 ) (3 4 )

c)

xy x m y

xy y m x

2

2

( 1)

( 1)


a) x xy y

x xy y

2 2

2 2

3 1

3 3 13

b)

x xy y

x xy y

2 2

2 2

2 4 1

3 2 2 7

c)

y xy

x xy y

2

2 2

3 4

4 1

d) x xy y

x xy y

2 2

2 2

3 5 4 38

5 9 3 15

e)

x xy y

x xy y

2 2

2 2

2 3 9

4 5 5

f)

x xy y

x xy y

2 2

2 2

3 8 4 0

5 7 6 0


a) x mxy y m

x m xy my m

2 2

2 2( 1)

b)

xy y

x xy m

2

2

12

26

c)

x xy y m

y xy

2 2

2

4

3 4




BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III


a) m x m x m2 24 3 b) a b x a a a b a b x

2 2 2 2( ) 2 2 ( ) ( )

c) a x ab b x a b2 2 2 22 d) a ax b ax b

2( ) 4 5

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x m x m

x x

2 11

1

b)

m xm x m

x

2

2 1

1

c) mx m

x

x x

2 1 12 1

1 1

d) x x m1 2 3


a) x x m22 12 15 0 b) x m x m

2 22( 1) 0

b) x mx m2

1 0 d) x m x m m22( 2) ( 3) 0

Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:

a) x mx m x2

0

31 0;

2

b) x m x m x2 2

02 3 0; 1 .

Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để:

i) PT có hai nghiệm trái dấu

ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt

iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt

iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x

3 3

1 20 ; x x

2 2

1 23

a) x m x m m22( 2) ( 3) 0 b) x m x m

2 22( 1) 0

c) x m x m2 22( 1) 2 0 d) m x m x m

2( 2) 2( 1) 2 0

e) m x m x m2

( 1) 2( 4) 1 0 f) x x m24 1 0

Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:




i) Giải và biện luận phương trình.

ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x

1 2, độc lập với m.

a) x m x m2( 1) 0 b) x m x m m

22( 2) ( 3) 0

c) m x m x m2

( 2) 2( 1) 2 0 d) x m x m2 22( 1) 2 0


a) x x2 2

6 12 b) x x2 2

11 31

c) x x16 17 8 23 d) x x x22 8 3( 4)

e) x x x23 9 1 2 0 f) x x x

251 2 1

g) x x x2 2

( 3) 4 9 h) x x3 1 3 1


a) x x4 3 10 3 2 b) x x x5 3 2 4

c) x x x3 4 2 1 3 d) x x x x2 23 3 3 6 3

e) x x x2 2 3 3 5 f) x x x3 3 5 2 4

g) x x x2 2 2 1 1 4 h) 811 xxx


a) x x x x2 1 2 1 2 b) x

x x x x3

2 1 2 1

2

c) x x x x4 2 2

1 1 2 d) x x x x2 2

13 7

e) x x x x2 22 3 1 3 4 f) x x x x

2 22 3 2 1 9

g) x x x x2 2

2 4 2 2 h) x x x x2 2

2 5 3 5 23 6




Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:

i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.

a) mx y m

x my a

2 1

2 2 1

b)

mx y m

x my m

3

2 1

c) x y m

x y m

2 4

2 3 3

d)

x y

y x m

2 5

2 10 5


a) x xy y

x y y x2 2

1

6

b)

x y

x x y y

2 2

4 2 2 4

5

13

c)

x y y x

x y

2 2

3 3

30

35

d) x y

x y x y

3 3

5 5 2 2

1

e)

x y xy

x y x y

2 2

4 4 2 2

7

21

f)

x y xy

x y x y2 2

11

3( ) 28


a)

x y

xy

x y

x y

2 2

2 2

1( )(1 ) 5

1( )(1 ) 49

b) y x x y

x y

x y

2 2

2 2

2 2

( 1) 2 ( 1)

11 24

c)

x y

x y

x y

x y

2 2

2 2

1 14

1 14

d)

x y

x y

x y

xy

2 2

2

31 1

1( )(1 ) 6

e) x y y x y x xy

y xxy

xy x y

2 22 2 6

14

f)

xy

xy

x y

xy

14

1( ) 1 5


a) x x y

y y x

2

2

3 2

3 2

b)

x x y

y y x

3

3

2

2

c)

x x y

y y x

3

3

3 8

3 8

d)

x y

y

y x

x

2

2

12

12

e)

x y

x

y x

y

2

2

32

32

f)

yy

x

xx

y

2

2

2

2

23

23


phƯƠng trÌnh vÀ hỆ phƯƠng trÌnh

Education