osnovni pojmovi vjerojatnosti - poslovni.hr · korištenje tablica ... studentova - t-distribucija...

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti

Predavanje 2

2

Normalna distribucija – N(m,2)

Karakterizira mnoge empirijske pojave

Koristimo ju u teoriji procjene

S njom su u vezi mnoge druge distribucije: t, c2, F i druge.

3


Funkcija gustoće vjerojatnosti:

2

2

1

2

1)(

m

x

exf

x

0

4


Može se pokazati da vrijedi:

E(X)=m mjera centralne tendencije

Var(X)=2 mjera disperzije

Simetričnost f(x)=f(-x) → a3 0

Zaobljenost a4 3

5

Mjere asimetrije

Simetrična Pozitivno

asimetrična

Negativno

asimetrična

MeMx 0xMeM 0 0MMex

6

standardizirana mjera smjera i veličine asimetrije.

potpuna mjera asimetrije.

)

3

1

3

3

a

N

xxN

ii 22

3a

Koeficijent asimetrije

7

)

4

1

4

4

a

N

xxN

ii

Mjera zaobljenosti

(koeficijent zaobljenosti)

34 a

8

Normalna distribucija

0,34 aif

ix

34 a

Zaobljenost modalnoh vrha distribucije

9


Distribucija s vrhomzaobljenijim od normalne

0,34 a

0,34 a

if

ix

34 a


10


Distribucija s vrhomzaobljenijim od normalne

- Distribucija s vrhomspuštenijim od normalne

0,34 a

0,34 a

0,34 a

if

ix

34 a


11


Određivanje vjerojatnosti:

b

a

dxxfaFbFbXaP )()()()(

a b

12

Standardizirana normalna distribucija

Z(0,1)

Standardizacija:

))1,0(N

XXEXZ

m

13

Standardizirana normalna distribucija

Z(0,1)

Funkcija gustoće vjerojatnosti:

2

2

1

2

1)(

z

ezf

z

0

14

Korištenje tablica – Z(0,1)

)()0( zpzZP

15

Normalna distribucija, X – N(m,2)

)

m

m

m

m

m

bZ

aP

bXaPbXaP

16

Normalna distribucija, X – N(m,2)

) ) 6826,011 ZPXP mm

) ) 9544,02222 ZPXP mm

) ) 9947,03333 ZPXP mm

17


Važno svojstvo:

Svaka linearna kombinacija normalno distribuiranih slučajnih varijabli je normalno distribuirana slučajna varijabla.

18


Specijalno:

ako su varijable X1~ N(m1,12) i X2~ N(m2,2

2)

tada je

je koeficijent linearne korelacije između varijabli X1 i X2.

a1 i a2 su proizvoljne konstante (realni brojevi).

)2,( 2121

2

2

2

2

2

1

2

122112211 mm aaaaaaNXaXa

19


Važnost normalne distribucije proizlazi iz centralnog graničnog teorema

Slučajni uzorak

Neka su X1, X2 ,..., Xn varijable koje tvore slučajni uzorak → X1, X2 ,..., Xn su i.i.d :

Nezavisne

Identično (jednako) distribuirane

20

Centralni granični teorem

Neka su X1, X2 ,..., Xn varijable koje tvore slučajni uzorak iz beskonačne populacije sa sredinom m i varijancom 2 (za svaki i=1,…,n).

Tada je za n distribucija vjerojatnosti varijable

, pri čemu je

standardizirana normalna distribucija, bez obzira na oblik distribucije populacije iz koje potječu.

n

XZ

/

m

n

XXXX n

21

21

Centralni granični teorem

.......suma nezavisnih jednako distribuiranih slučajnih varijabli koje imaju konačnu varijancupribližno normalno distribuirana.

Važnost normalne distribucije u empirijskim istraživanjima i primjenama VELIKA –

mnoge realne pojave mogu se opisati distribucijama s konačnim varijancama

22

Bivarijatna normalna distribucija

Zajednička normalna funkcija gustoće n-dimenzionalnog slučajnog vektora

X=(X1, X2 ,..., Xn)

)(1)(2

1

2/12/)2(

1)(

mm

xx

nexf

) )

)

nnn XE

XE

XE

X

X

X

E

m

m

m

m

2

1

2

1

2

1

2

21

2

2

212

121

2

1

),(),(

),(),(

),(),(

nnn

n

n

XXCovXXCov

XXCovXXCov

XXCovXXCov

23


je determinanta matrice

određena s n+n(n+1)/2 parametra.

jiijjiijji njiXXCov ,,2,1,,),(

2

21

))((2)()()1(2

1

12),(

2

2

1

12

2

22

1

1

2

m

m

m

m

yxyx

eyxf

,im

,0i

1,1

24


ovisi o 5 parametara

je koeficijent korelacije

2

21

))((2)()()1(2

1

12),(

2

2

1

12

2

22

1

1

2

m

m

m

m

yxyx

eyxf

1,1

25


Važno svojstvo:!!!!

vrijedi samo za normalno distribuirane slučajne varijable.

Ako su X i Y međusobno nekorelirane slučajne varijable (0 ), tada su i nezavisne, jer je

)()(),( yfxfyxf

26

Svojstva višedimenzionalne normalne distribucije:

1. Ako slučajni vektor (X,Y) ima bivarijatnu normalnu distribuciju, tada su komponente X i Y jednodimenzionalne normalne slučajne varijable, tj.

),( 2

11 mNX ),( 2

22 mNY

27

Svojstva višedimenzionalne normalne distribucije:

2. uvjetne distribucije vjerojatnosti komponenata X i Y , f(x|y) i f(y|x), također su normalno

distribuirane s parametrima:

)1()( )()(

)1()( )()(

22

21

1

22

22

12

2

11

m

m

m

m

xYVarxxYE

yXVaryyXE

28

Primjer: Bivarijatna normalna distribucija

Funkcija gustoće bivarijatne normalne distribucije s parametrima

)0,1,1,0,0(),,,,( 2

2

2

121 mm

29

Distribucije vjerojatnosti povezane s

normalnom distribucijom

Neka su X1, X2 ,..., Xn međusobno nezavisne standardizirane normalne slučajne varijable,

tj. Xi ~ N(0,1) za svaki

Tada:

ima Hi-kvadrat distribuciju s n stupnjeva

slobode i označava se, Z~ c2n)

Hi-kvadrat - c2

)(2

1

2 nXZn

i

i c

30

Hi-kvadrat - c2 distribucija

Specijalno, za međusobno nezavisne centriranenormalne slučajne varijable X1, X2 ,..., Xn

E(Xi)=0, Xi ~ N(0, 2) za svaki i=1,2,...,n

Varijabla

ima Hi-kvadrat distribuciju s n stupnjeva

slobode, Z~ c2n)

)(2

12

2

nX

Zn

i

i c

31


poprima samo pozitivne vrijednosti i

pozitivno je asimetrična, a3 0.

Očekivana vrijednost hi-kvadrat distribucije jednaka je broju stupnjeva slobode n (n>0), tj. za

Z~ c2n)

EZ) n Var(Z)=2nn

8 3 a

n

123 4 a


Poprima samo pozitivne vrijednosti i pozitivno je asimetrična, a3 0.

33


Svojstvo aditivnosti:

Ako su Z1 i Z2 nezavisne i imaju Hi-kvadrat distribuciju, tada :

)(

)( i )(

2

21

2

2

2

1

mnZZ

mZnZ

c

cc

34

Studentova - t-distribucija

Ako je X ~ N(0, 1) i Z~ c2 (n),

te ako su X i Y međusobno nezavisne slučajne varijable, tada slučajna varijabla:

ima t-distribuciju s n stupnjeva slobode i

označava se Z ~ t(n)

)(nt

n

Y

XZ

35


Svojstva:.... Z ~ t(n)

E(Z)=0 za n>1

za n>2 (u protivnom nije definirano)

a3 0 za n>3 i za n>4

2Var(Z)

n

n

4

63 4

na

36


simetrična poput normalne distribucije (a3 0 ),

Plosnatija od normalne (a4 3 ) i

ima izdužene “repove”

za n→∞...............................t(n) →N

37

F - distribucija

Ako su X ~ c2 (n) i Y ~ c2(m) međusobno

nezavisne slučajne varijable, tada slučajna varijabla:

ima F-distribuciju s n stupnjeva slobode u brojniku i m stupnjeva slobode u nazivniku,

tj. Z ~ F(n,m),

),(/

/nmF

mY

nXZ

F - distribucija

(n>2)

(n>4) 2E(Z)

n

n ) ) )42

22Var(Z)

2

nnm

nmn

Inferencijalna statistika

40


skup statističkih metoda kojima se na osnovi prikupljenih mjerenja ili opažanja donose zaključci o populaciji, tj.

procjenjuju se nepoznati parametripopulacije i

testiraju statističke hipoteze.

41


Pretpostavke:

skup podataka u populaciji, odnosno proces koji generira podatke, opisuje se distribucijom vjerojatnosti,

vjerojatnosna svojstva te distribucije moguće je opisati pomoću nepoznatih parametara

Npr; sredina, varijanca i općenito momenti višeg reda.

42


Uzorak............podskup populacije

Uzorak od n podataka izabranih na slučajan način je slučajan uzorak veličine n.

Slučajni izbor je izbor kod kojeg se:

jedinice biraju neovisno jedna o drugoj, a

svaka jedinica ima unaprijed poznatu vjerojatnost izbora.

43

Slučajan uzorak

Slučajni uzorak kod kojeg svaka jedinica ima jednaku vjerojatnost izbora zove se jednostavni slučajni uzorak (simple random sample).

Slučajan način izbora jedinica u uzorak

osigurava reprezentativnost uzorka, te

omogućava primjenu teorije vjerojatnosti,

Može se kontrolirati pogreška učinjena procjenom

44

Slučajan uzorak

Uzorak od n opservacija vrijednosti jedne ili više varijabli, X1, X2,..., Xn, je

slučajni uzorak ako je n opservacija dobiveno nezavisno iz iste populacije.

45

Slučajan uzorak

Za uzorak se kaže da je nezavisan i jednako distribuiran uzorakopservacija (oznaka i.i.d.)

ako je zajednička funkcija gustoće uzorka (X1, X2,..., Xn):

);();();(...

);();();();,,,(

21

2211

21

n

nn

nxfxfxfdii

xfxfxftnezavisnosxxxf

46

Procjenjivanje parametara

Procjenjuje li se nepoznati parametar na temelju uzorka veličine n, odnosno na osnovi n podataka (x1, x2,..., xn), tada se slučajna varijabla

kojom se taj parametar procjenjuje zove procjenitelj (estimator) parametra .

),,,(ˆ21 nXXXf

47


Izborom konkretnog uzorka, varijable iz uzorka X1, X2,..., Xn poprimaju određene numeričke vrijednosti (x1, x2,..., xn),a

varijabla poprima vrijednost

Ta se vrijednost zove procjena parametra jednim brojem (point estimate).

),,,(ˆ21 nxxxf

48

Primjer 1: Procjena sredine populacije

Ako je m nepoznata sredina populacije, funkcija:

je procjenitelj od m.

Za konkretne vrijednosti iz uzorka, procjena jednim brojem nepoznate sredine osnovnog

skupa m je aritmetička sredina uzorka, .

n

XXXX n

21

x

49

Procjena sredine populacije - m

Distribucija procjenitelja

zove se sampling distribucija aritmetičkih sredina uzoraka.

X

50

Primjer:

X ~ N(m,2)

na osnovi jednostavnog slučajnog uzorka veličine n,

procjenjuje se sredina populacije m

tada je sampling distribucija procjenitelja od m također normalna distribucija (zašto?)

),(2

nNX

m

51

Očekivana vrijednost od

) )

) ) ) μ

XE

m

mmm

nn

XEXEXEn

XXXEnn

XXXE

n

n

n

11

1

21

21

21

Nepristran procjenitelj

52

Varijanca od

)

) ) )

n

σ

XVar

2

2

2

22

2

2

12

212

21

1

1

1

nn

XVarXVarXVarn

XXXVarn

n

XXXVar

n

nezavisne

n

n

53


Polazeći od sampling distribucije, moguće je osim procjene jednim brojem odrediti i intervalnu procjenu parametra , tj.

određen s 1 i 2 (granice) unutar kojeg će se uz određenu zadanu vjerojatnost (1-g) nalaziti stvarna vrijednost parametra

(1-g)· 100% - pouzdanost procjene.

) g 121P

54

Primjer:

Uz pouzdanost procjene(1-g)· 100%

nepoznata sredina m populacije nalaziti unutar intervala:

gdje je aritmetička sredina uzorka veličine n,

standardna devijacija populacije a

koeficijent pouzdanosti

odgovarajući g/2percentil N(0,1) distribucije

nzx

nzx

m

gg 2/2/

x

2/gz

55

Sampling distribucija

teorijska distribucija vjerojatnosti procjenitelja parametara

Izvire iz koncepta ponovljenih izbora slučajnih uzoraka iz dane populacije.

Različiti uzorci dovode do različitih vrijednosti procjena.

Procjenitelj je funkcija uzorka....procjenitelj je varijabla, koja se naziva sampling varijablom, zato što se mijenja od uzorka do uzorka.

56

Svojstva procjenitelja

Poželjna određena svojstva procjenitelja

Svojstva malog (konačnog) uzorka

nepristranost i efikasnost

Asimptotska svojstva (velikog uzorka)

asimptotska nepristranost i konzistentnost.

57

Nepristranost procjenitelja

je nepristran procjenitelj parametra ako je:

......čak i u malim uzorcima, procjene parametara u prosjeku su jednake stvarnim vrijednostima.

)ˆ(E

58


ako bi vrijednost parametra θ izračunavali za svaki uzorak i

postupak ponavljali beskonačno mnogo puta

prosječna vrijednost svih tih procjena bila bi jednaka stvarnoj vrijednosti parametra θ.

59


je pristran procjenitelj parametra ako je:

pristranost (bias)

)ˆ(E

)ˆ(EB

60

Procjenitelji parametra (s različitim varijancama)

61


Međutim:...nepristranost poželjno svojstvo!!!....Ali ne pod svaku cijenu!

Ponekad bolje

pristrani procjenitelj s malom varijancom

s vrijednostima blizu

u odnnosu na nepristran procjeniteljems velikom varijancom

koji može za neke uzorke biti daleko od

62


pored nepristranosti - poželjno svojstvo i mala varijanca.

kriterij pri izboru procjenitelja promatra se srednja kvadratna pogreška MSE (mean squared error)

kompromis između pristranosti i varijance

manja MSE – procjenitelj ''bolji''.

) )ˆ(ˆ)ˆ( 22

VarBEMSE

63

Primjer:

Procjenjuju se parametri populacije čija je distribucija normalna s parametrima m i 2, N(m,2), na osnovi jednostavnog slučajnog uzorka veličine n.

Dva procjenitelja parametra m su

Međutim, je nepristran procjenitelj (primjer 2), za razliku od procjenitelja koji je pristran. Dokažite!!

n

XXXX n

21

1

1

212

n

XXXX n

1X

2X

64

Primjer:

Pristranost procjenitelja

B →0 za n →∞

povećanjem uzorka n →∞, uzorak sve više

''približava'' populaciji.

2X

) mm

1

..................................................2n

nXE

) 01

1............................................2

mm

nXEB

65

Primjer:

Dva procjenitelja parametra 2 su

Povećanjem uzorka, pristranost se smanjuje

) ) )n

XXXXXX n

22

2

2

12

1ˆ

) ) )1

ˆ

22

2

2

12

2

n

XXXXXX n

) ,.....ˆ 22

1 E ) 222

21

..........ˆ

n

nE

) 01

1.............................................ˆ 222

2

n

EB n

66

Efikasnost procjenitelja

Svojstvo vezano za varijancu procjenitelja.

Nepristran procjenitelj je efikasan ako i samo ako u skupu svih nepristranih procjenitelja ima najmanju varijancu (MVUE - Minimum Variance Unbiased Estimator).

Kao kriterij ''kakvoće'' procjenitelja uzima se vrijednost MSE

67


za dva procjenitelja i parametra (ne

nužno nepristrana)

Procjenitelj efikasniji od (u smislu najmanje srednje kvadratne pogreške) ako i samo ako je:

1 2

1 2

)ˆ()ˆ( 21 MSEMSE

68


Ako se promatra samo skup linearnih nepristranih procjenitelja, procjenitelj:

je najbolji linearni nepristrani procjenitelj(BLUE), ako su konstante c1,c2,...,cn odabrane tako da je linearni procjenitelj g

nepristran (E(g) = ) i

ima najmanju varijancu (efikasan je).

i

n

i

inn XcXcXcXcg

1

2211

69

Procjenitelji parametra s različitim varijancama

i nepristrani procjenitelji, jer je

Procjenitelj efikasaniji je u odnosu na jer ima manju varijancu

1 2 ) ) 21ˆˆ EE

1 2

)ˆ()ˆ( 21 VarVar

70

Asimptotska nepristranost procjenitelja

Procjenitelj je asimptotski nepristran

procjenitelj parametra ako njegova

očekivana vrijednost teži pravoj vrijednosti parametra kad veličina uzorka neograničeno raste, tj.:

- procjenitelj na temelju uzorka veličine n

)ˆ(lim nn

E

n

71

Konzistentnost procjenitelja

Grubo govoreći, procjenitelj parametra je

konzistentan ako se povećanjem uzorka ''približava'' stvarnoj vrijednosti parametra

Formalno:

Niz procjenitelja je konzistentan niz ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj 0 vrijedi:

n

1ˆlim

nn

P

72


Formula:

vjerojatnost da procjena (izračunata na temelju uzorka veličine n) bude proizvoljno blizu

stvarne vrijednosti parametra teži prema 1

vjerojatnost sigurnog događaja).

po vjerojatnosti teži prema i zapisuje se:

n

1ˆlim

nn

P

n

np ˆlim P

nˆ

73


Dovoljan uvjet za konzistentnost procjenitelja je

da pristranost i varijanca procjenitelja teže nuli kad veličina uzorka raste

no taj uvjet nije nužan.

74

Testiranje statističkih hipoteza

Testiranje hipoteza polazi od pretpostavke da je distribucija vjerojatnosti slučajne varijable X poznata

Parametrijski testovi

Testiranje statističkih hipoteza o nepoznatom

parametru

Hipoteze H0 i H1

75


Dvosmjerni-

H0 - jednostavna (simple, point hypothesis)

određuje samo jedna vrijednost parametra: H0: 0

H1 - složena (composite, interval hypothesis)

specificira se interval vrijednosti od H0: 0

Jednosmjerni

obje hipoteze složene.

76


Postupak testiranja je pravilo odlučivanja

na osnovi prikupljenih informacija iz uzorka i

utvrđenih granica područja prihvaćanja, odnosno odbacivanja nulte hipoteze

odluka o prihvaćanju/ odbacivanju H0

kritične vrijednosti

odluka - na osnovi uzorka,

moguće dvije vrste pogrešaka: tipa I i tipa II.

77

) )lažnaHHprihvatitiP

istinitaHHodbacitiP

.............

.............

00

00

a


78

) )lažnaHHprihvatitiP

istinitaHHodbacitiP

.............

.............

00

00

a

a, planske veličine

…….određuju se nacrtom testa

1- snaga testa


79


Pri testiranju

nastoji se minimizirati obje pogreške,

to je nemoguće istovremeno

pogreške tipa I, smatra se ''opasnijom''

u praktičnim primjenama, određuje se prije postupka testiranja.

80

Primjer : Dvosmjerni test o m

Hipoteze:

Ako je XN(m, 2) →

Ako je H0 istinita tj. H0: mm0

sampling distribucija je

za zadanu razinu signifikantnosti a,

01

00

:

:

mm

mm

H

H

),(2

nNX

m

),(2

0n

NX

m

81


Kritične granice:

m0 je pretpostavljena vrijednost sredine osnovnog skupa, je standardna devijacija populacije, a za/2 je a/2-percentil N(0,1).

nzc

m a 201

nzc

m a 202

82


Odluka:

se uspoređuje s kritičnim granicama.

ako je , tj.

H0 se prihvaća kao moguća uz danu razinu signifikantnosti a.

u protivnom, ako je ili

H0 se odbacuje.

x

21 cxc 21,ccx

2cx xc 1

83


Alternativno:

ili

Odluka:

|z| ili |t| se uspoređuje s za/2 (ta/2)

ako je |z| <za/2 → H0 se prihvaća za a.

ako je |z| >za/2 → H0 se odbacuje za a.

)1,0(0 Nx

zx

m)1(0

nt

xt

x

m

84


Empirijska razina značajnosti – p-vrijednost:

Najmanja razina značajnosti u odnosu na koju se H0 odbacuje

Odluka:

ako je p > a→ H0 se prihvaća za a.

ako je p < a → H0 se odbacuje za a.

x

xz

m0 )zZP2 p

85

Primjer :

Prema standardu, prosječna trajnost električnih žarulja od 75W iznosi 2000 sati s prosječnim odstupanjem 250 sati.

Iz serija žarulja izabran je slučajni uzorak od 64 žarulje. Ispitivanjem je ustanovljeno da je prosječna trajnost žarulja u uzorku 1935 sati.

Može li se prihvatiti pretpostavka da je uzorak izabran iz osnovnog skupa kojemu je aritmetička sredina prema standardu? Testirati na razini značajnosti od 5%.

86

Primjer:

96,105,0%5

1935250642000

025,02/

0

zz

xn

aa

m

08,2

64

250

2000193500

n

xxz

x

m

m

87

Primjer:

25,206125,3196,12000

75,193825,3196,12000

2

1

2/02

2/01

c

c

c

c

z

z

x

x

m

m

a

a

021 Hcxc

88

Primjer :

89

Primjer:

) )

1

22

H

p

a0,0376

)2,08ZP)zZP

vrijednost-

Model jednostavne

linearne regresije

90

Regresijska analiza

najčešde korištena metodologija u ekonometriji

bavi se opisivanjem ovisnosti jedne varijable o jednoj ili više drugih varijabli

Varijabla od primarnog interesa, čije se varijacije objašnjavaju pomodu varijacija drugih varijabli naziva se zavisnom (regresand) varijablom...Y

varijable kojima se objašnjavaju varijacije zavisne varijable nazivaju se nezavisnim (regresorskim) varijablama....X

91

),,,( 21 Kxxxfy

),,,( 21 Kxxxfy

92

Regresijska analiza

93

Regresijska analiza

Varijabla y Varijabla x (x1, x2,...,xk)

Zavisna

Varijabla s lijeve strane

Regresand

Endogena

Output

Nezavisna

Varijabla s desne strane

Regresorska

Egzogena

Input

)(xfy xxf 10)(

94

Regresijska analiza

Modelom jednostavne linearne regresije izražena je stohastička linearna veza između zavisne varijable y i nezavisne varijable x

Formalni izraz

iii

iii

iii

xy

xy

xy

cos

ln

10

10

210

95

Linearnost

odnosi na način na koji se parametri i greške relacije pojavljuju u regresijskoj jednadžbi

Ne odnosi se na odnos među varijablama

Primjer linearnih modela

iexy ii 1

0

iii xy lnlnln 10

96

Linearnost

Primjer nelinearnih modela

Linearizacija

Što je s modelima

exy

a

1 eyx

21a

nixy iii ,...,2,1 10

nnn

iii

xy

xy

xy

xy

10

10

22102

11101

Xy 97

Model jednostavne linearne regresije

n

i

y

y

y

y

y

2

1

n

i

x

x

x

x

X

1

1

1

1

2

1

1

0

n

i

2

1

98


99


n-opažanja.....uzorak veličine n

jedna realizacija svih mogudih uzoraka veličine n odabranih iz iste populacije

za svako opažanje xi postoji distribucija vjerojatnosti varijable i

pa prema tome postoji i distribucija vjerojatnosti zavisne varijable yi.

nixy iii ,...,2,1 10

100

Polazne pretpostavke modela jednostavne linearne regresije

1. Veza između y i x je linearna

2. Varijabla x je deterministička varijabla ili se alternativno pretpostavlja da su njene vrijednosti fiksne u ponovljenim mjerenjima (uzorcima).

matrica X jednaka za svaki novi uzorak

u svakom novom uzorku - samo nove vrijednosti od i y.

Pretpostavka uvedena kako bi se zanemario izvor varijacija u x (analiza veze između y i x).

101


3. Greške relacije u prosjeku ne utječu na zavisnu varijablu, tj.

E(i)=04. Zbog jednostavnosti - pretpostavka da je analizirani

uzorak izabran na slučajan način, te da su stoga bilo koje dvije slučajne varijable i međusobno nezavisne, a time su i nekorelirane, tj.

Cov(i , j )=E(i )=0 za svako i≠j, i,j=1,2,...n

102


5.Za svako i=1,2,...,n.

nepromjenjivosti ili homoskedastičnosti varijance

varijacije i ne ovise o xi , tj.

ne razlikuju se u različitim područjima vrijednosti nezavisne varijable.

),0(~ 2 Ni2)( iVar

Pretpostavke (1) – (3), bez pretpostavke o obliku distribucije grešaka relacije, nazivaju se Gauss Markovljevim uvjetima.

103

Pretpostavke – formalan zapis

104


Varijable yi su:

1. međusobno nekorelirane

2. normalne slučajne varijable

3. s jednakom varijancom i

4. uvjetnim očekivanjima koja za zadane vrijednosti nezavisne varijable (xi) leže na regresijskom pravcu

nixy iii ,...,2,1 10

105

Statistička povezanost varijabli x i y

106


107

Matrica varijanci i kovarijanci vektora

kvadratna matrica n-tog reda

nezavisnosti komponenata i→Cov(i, j) = E(ij)=0 za svako i≠j, i,j=1,2,...n

Var(i)= 2, i=1,...,n

2

2

2

00

0

000

)(

Var IVar 2)(

osnovni pojmovi vjerojatnosti - poslovni.hr · korištenje tablica ... studentova - t-distribucija...

Documents