sadržaj poglavlja: 3. slučajna varijabla 3.1. pojam slučajne

Predavanja za kolegij 'Analiza poslovnih podataka' Šarlija, 2007.

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________________1 3. Slučajna varijabla

Sadržaj poglavlja:

3. Slučajna varijabla 3.1. Pojam slučajne varijable 3.2. Diskretna slučajna varijabla 3.3. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable 3.4. Empirijska distribucija diskretne slučajne varijable 3.5. Kontinuirana slučajna varijabla 3.6. Empirijska distribucija kontinuirane slučajne varijable 3.7. Zadaci - empirijske distribucije


__________________________________________________________________________


3. Slučajna varijabla Slučajna varijabla – funkcija koja svakom pojedinom ishodu danog slučajnog

pokusa pridružuje realan broj. Oznake za slučajne varijable: X, Y, Z, U, V, ....

Primjeri:

Bacanje igraće kockice dva puta. X: suma brojeva na obje kockice

Prilikom analize uvjeta za investiranje kapitala u danom slučaju utvrĎeno je da

će, ako se realiziraju uvjeti opisani u odreĎenim grupama dobit/gubitak iznositi

kako je navedeno u tablicama:

Grupa I, dobit će biti 100 000 kn

Grupa II, dobit će biti 200 000 kn

Grupa III, dobit će biti 200 000 kn

Grupa IV, dobit će biti 100 000 kn

(X) je skup svih mogućih realizacija slučajne varijable X odnosno skup svih brojeva

koje slučajna varijabla može primiti.

3.1. Pojam slučajne varijable Nad skupom svih mogućih ishoda nekog pokusa definirat ćemo funkciju

X: R, koja svakom ishodu iz pridružuje realan broj:

RX )(

PRIMJER 1. Pokus se sastoji u bacanju dva novčića. Treba definirati funkciju X, tako da njezine vrijednosti predstavljaju broj pojavljivanja pisma u ishodu.

DEFINICIJA

Neka je skup svih mogućih ishoda i A algebra dogaĎaja. Tada funkciju

X: R nazivamo SLUČAJNA VARIJABLA ako za svaki RX vrijedi:

AxXAx ,)(:


__________________________________________________________________________


Ako je X: R slučajna varijabla onda skup:

:)()()( XXX

nazivamo skupom vrijednosti slučajne varijable.

Vjerojatnost dogaĎaja xXAx )(: ćemo označiti:

)()( xXPAP x

To je vjerojatnost da slučajna varijabla X ima vrijednost manju ili jednaku x. PRIMJER 2. Pokus se sastoji u bacanju dva novčića. Slučajna varijabla predstavlja broj

pojavljivanja pisma. Treba odrediti vjerojatnost P(X1).

FUNKCIJA DISTRIBUCIJE Funkciju RRF : definiranu s:

)()( xXPXF

nazivamo funkcija distribucije ili funkcija razdiobe slučajne varijable X. Funkcija distribucije je vjerojatnost da slučajna varijabla X primi vrijednost iz intervala

(-,x R, odnosno vjerojatnost dogaĎaja Ax A.

3.2. Diskretna slučajna varijabla Ukoliko je (X) konačan ili prebrojiv skup kažemo da je slučajna varijabla diskretna.

DEFINICIJA Slučajna varijabla X je diskretna ako je skup njezinih vrijednosti

ki xxxxX ,,,,,)( 21 prebrojiv i ako za svaki ix s pripadajućom

vjerojatnošću 0)( ii pxXP vrijedi 11

k

i

ip


__________________________________________________________________________


FUNKCIJA DISTRIBUCIJE DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE

xx

i

i

xpXF )()(

Vrijednost ove funkcije u točki X pokazuje kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla X primi vrijednost manju ili jednaku x odnosno da vrijedi:

xx

i

i

xpxXPXF )()()(

PRIMJER 3. Neka je X varijabla čije vrijednosti predstavljaju broj ishoda “pismo” u jednom bacanju tri novčića. Odredite distribuciju vjerojatnosti slučajne varijable X i vrijednosti funkcije distribucije.

3.3. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable OČEKIVANJE Neka je X diskretna slučajna varijabla sa skupom vrijednosti

ki xxxxX ,,,,)( ,21 i pripadajućim vjerojatnostima )(),( XxxXPp iii .

Broj:

k

i

ii pxXE1

zove se matematičko očekivanje ili sredina slučajne varijable X. PRIMJER 4. Neka je X varijabla čije vrijednosti predstavljaju broj ishoda „pismo“ u jednom bacanju tri novčića. Kolika je očekivana vrijednost slučajne varijable? VARIJANCA I STANDARDNA DEVIJACIJA Varijanca pokazuje veličinu rasipanja slučajne varijable oko očekivanja.


__________________________________________________________________________


DEFINICIJA Neka je X diskretna slučajna varijabla sa skupom vrijednosti

ki xxxxX ,,,,)( ,21 i pripadajućim vjerojatnostima )(),( XxxXPp iii .

Tada kažemo da je broj:

2XEXEXV

disperzija ili varijanca slučajne varijable X u odnosu na očekivanje.

k

i

ii pXExXV1

2

odnosno:

2

11

2

k

i

ii

k

i

ii pxpxXV

Kao mjera odstupanja slučajne varijable X od očekivanja uzima se broj:

XV

koji nazivamo standardna devijacija. PRIMJER 5. Neka je X varijabla čije vrijednosti predstavljaju broj ishoda “pismo” u jednom bacanju tri novčića. Kolika je varijanca, a kolika standardna devijacija?

3.4. Empirijska distribucija diskretne slučajne varijable

Pridružimo li neko obilježje elementima zadanog skupa, dobivamo statistički skup elemenata. Takav skup elemenata, čija su obilježja, u pravilu, numeričke vrijednosti nazivamo skupom empirijskih podataka ili EMPIRIJSKA DISTRIBUCIJA. Kažemo da je statistički skup diskretan, ako njegova obilježja, koja označavamo sa X, primaju konačni ili beskonačni niz vrijednosti x1,x2,…


__________________________________________________________________________


Pišemo:

...

...

...

...

321

321

21

21

ppp

xxxXodnosno

ppp

xxxX

n

n

i takvu tablicu zovemo distribucija diskretne slučajne varijable. Proučavamo obilježje kojega možemo modelirati diskretnom slučajnom varijablom X.

Ponavljamo isti pokus nezavisno n puta i bilježimo pojedinačne realizacije. Označimo

s ni frekvenciju i-te realizacije.

Stvarnu distribuciju zapravo ne znamo.

Odredimo empirijsku distribuciju:

(X) = x1, x2, x3,..., xn

nnnn

n

n

n

n

n

n

xxx

X kk

k

...

...

...

2121

21

Npr.

5

2

10

1

10

1

5

1

5

154321

X

PRIMJER 1. U školi ,koja ima 10 razreda po 30 učenika, kao varijablu ćemo uzeti broj učenika u razredu koji su školsku godinu završili izvrsnim uspjehom. Pregledom uspjeha ustanovili smo sljedeće:

razred 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

izvsni 1 0 3 2 2 3 4 1 5 3

O kakvoj se varijabli radi?


__________________________________________________________________________


FREKVENCIJE DEFINICIJA

Neka je S statistički skup od n elemenata tj. S =n. Kažemo da je fi APSOLUTNA FREKVENCIJA i-tpg razreda ako u tom razredu ima fi elemenata statističkog skupa.

Broj n

f i nazivamo RELATIVNA FREKVENCIJA i-tog razreda.

Suma svih apsolutnih frekvencija jednaka je ukupnom broju elemenata statističkog skupa:

11

1

k

i

i

k

i

i

n

f

nf

PRIMJER 2. Za podatke iz primjera 1. (poglavlje 3.4.) napravite grupiranje i izračunajte relativne frekvencije. GRAFIČKI PRIKAZ 1. Histogram (površinski grafikon) 2. Poligon frekvencija (linijski grafikon) KUMULATIVNA FUNKCIJA

tx

x

n

ftKRt )(

PRIMJER 3. Za podatke iz primjera 1. (poglavlje 3.4.) izračunajte kumulativnu funkciju i protumačite četvrti član.


__________________________________________________________________________


NUMERIČKE KARAKTERISTIKE EMPIRIJSKE DISTRIBUCIJE ARITMETIČKA SREDINA DEFINICIJA

Neka je nxxxS ,,, 21 statistički skup. Za broj

n

x

xn

x

n

i

in

i

i

1

1

1

kažemo da je aritmetička sredina statističkog skupa. Ako je statistički skup zadan preko empirijske distribucije:

=(xi,n

f i ):i=1,..,k

onda se aritmetička sredina izračunava:

n

fx

fxn

x

k

i

iik

i

ii

1

1

1

VARIJANCA Ako želimo odredite veličinu rasipanja elemenata statističkog skupa od njegove aritmetičke sredine, izračunat ćemo varijancu odnosno standardu devijaciju. DEFINICIJA

Neka je nxxxS ,,, 21 statistički skup, a x njegova aritemtička sredina. Za broj:

2

1

1

1

2

22 1

n

x

n

x

xxn

n

i

in

i

n

i

i

i

Ako je statistički skup zadan preko empirijske distribucije:

=(xi,n

f i ):i=1,..,k


__________________________________________________________________________


onda se disperzija izračunava:

2

11

2

2

1

2 1

n

xf

n

xf

xxfn

k

i

ii

k

i

ii

i

k

i

i

Pozitivni drugi korijen iz varijance nazivamo standardna devijacija:

n

i

i xxn 1

22 1

odnosno, za empirijsku distribuciju:

21

2 1xxf

ni

k

i

i

PRIMJER 4. Za podatke iz primjera 1.(poglavlje 3.4.) izračunajte disperziju odnosno varijancu i standardnu devijaciju. MEDIJAN Medijan je srednja vrijednost koja statistički skup, ureĎen po veličini, dijeli na dva jednaka dijela: u prvoj polovici članovi imaju vrijednost varijable jednaku ili manju od medijana, a u drugoj polovici članovi imaju vrijednost varijable veću ili jednaku medijanu:

2

1)()( MexPMexP

Ako su dane pojedinačne vrijednosti varijable, prvo se vrijednosti urede po veličini (od najmanje prema najvećoj) te se medijan odredi slijedeći sljedeće pravilo:

2,

2,

2

12

,2

,

1 nrINT

nxx

nINTrINT

nX

Merr

r

Ako je zadana emprijska distribucija, medijan se odreĎuje pomoću kumulativne funkcije pomoću koje se pronalazi središnja jedinica.


__________________________________________________________________________


MOD Ako su zadane pojedinačne vrijednosti varijable, mod je najčešća vrijednost varijable. U empirijskoj distribuciji diskretne varijable, mod je vrijednost varijable s najvećom frekvencijom.

3.5. Kontinuirana slučajna varijabla Kontinuirana varijabla je kvantitativna varijabla koja može poprimiti bilo koju numeričku vrijednost iz nekog neprebrojivog intervala realnih brojeva. Npr. visina osobe u m masa osobe u kg kolesterol u mg/dl starost prihod domaćinstava itd.

Za kontinuirane slučajne varijable karakteristično je da je (X) neprebrojiv skup, npr.

(X) = R; (X) = [0,), (X) = [1,4], ...

Očigledno nema smisla očekivati da možemo računati vjerojatnost dogaĎaja kao u

diskretnom slučaju tj. sumiranjem vjerojatnosti pojedinačnih ishoda.

Vjerojatnosna svojstva kontinuirane slučajne varijable karakterizirane su funkcijom gustoće f(x). Neka je u izabranom slučajnom pokusu dana slučajna varijabla sa neprebrojivim

skupom svih mogućih vrijednosti. Ukoliko postoji nenegativna realna funkcija f(x) za

koju vrijedi da je

b

a

dxxfbaXP )(,

kažemo da je X kontinuirana slučajna varijabla, a funkciju f(x) zovemo funkcija

gustoće kontinuirane slučajne varijable X ili samo funkcija gustoće slučajne varijable.


__________________________________________________________________________


baXP , je zapravo površina izmeĎu osi X i krivulje f(x) na segmentu [a,b].

Očigledno mora vrijediti PX (X) = 1 pa je površina koja ta krivulja

zatvara s osi x jednaka 1.

Odavde slijedi da funkcija gustoće vjerojatnosti ima svojstva:

1)(

0)(

dxxf

xf

Neka je X kontinuirana slučajna varijabla s gustoćom f(x).

Očekivanje ove slučajne varijable je realan broj (ako postoji):

dxxxfEX )(

a varijanca realan broj (ako postoji):

dxxfxVarX )(22

Empirijska distribucija je općenito jedna aproksimacija za stvarnu distribuciju slučajne

varijable.

Tablica 1: Usporedba diskretne i kontinuirane slučajne varijable

DISKRETNA SLUČAJNA VARIJABLA

KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA

Poprima vrijednosti x1,x2,…xi,…,xk Poprima vrijednosti iz intervala (x1,x2)

Za svaki xi postoji vjerojatnost pi P(xi)=pi

Vjerojatnost da se X nalazi izmeĎu x1 i x2 je površina izmeĎu x1 i x2

P(X(x1 i x2))

Distribucija vjerojatnosti Funkcija gustoće

Teoretske distribucije: binomna, Poissonova

Teoretske distribucije: uniformna, normalna, Studentova, F-distribucija,

2 distribucija

Npr. broj studenata u dvorani Npr. vrijeme provedeno u učenju statistike


__________________________________________________________________________


3.6. Empirijska distribucija kontinuirane slučajne varijable Statistički skup je kontinuiran ako njegova obilježja mogu poprimiti svaku vrijednost iz

nekog intervala (x1,x2) R. Područje vrijednosti podijelim na konačno mnogo disjunktnih intervala:

I1, I2 , I3 ,..., In

Za svaki interval odredimo relativnu frekvenciju i nacrtamo histogram.

Oblik histograma će ovisiti o izboru intervala.

PX [a,b] aproksimiramo relativnom frekvencijom intervala [a,b].


__________________________________________________________________________


PRIMJER 1.

Na preciznoj vagi izmjerena je stvarna težina praška za pranje rublja u pakovanju 4.5

kg. Izmjerene vrijednosti kreću se u rasponu od 3.955 kg do 5.102 kg.

Dijeljenjem intervala [3.5, 5.5] na četiri jednaka dijela dobijemo slijedeću tablicu

frekvencija i histogram:

(X) 3.5 – 4 4 – 4.5 4.5 – 5 5 – 5.5

frekvencije 2 186 210 2

Dijeljenjem intervala [3.5, 5.5] na 20 jednakih dijelova dobijemo slijedeći niz

frekvencija (prvi interval je od 3.5 do 3.6, slijedeći intervali se dobivaju korakom 0.1):

0,0,0,0,2,7,23,31,47,78,77,65,37,27,4,1,1,0,0,0


__________________________________________________________________________


Dijeljenjem intervala [3.5, 5.5] na 20 jednakih dijelova dobijemo histogram:

PRIMJER 2. Tijekom jednog dana svakog sata je za jedan potrošač mjerena potrošnja električne energije (u kWh):

3,45 3,39 3,69 3,59 3,67 3,75

3,53 3,79 3,59 3,63 3,65 3,73

3,71 3,53 3,35 3,84 3,51 3,82

3,68 3,57 3,85 3,49 3,63 3,65

Ovako zadane podatke treba grupirati.

POTROŠNJA EL.EN. U kWh

RAZREDI

3,30-3,40

3,40-3,50

3,50-3,60

3,60-3,70

3,70-3,80

3,80-3,90


__________________________________________________________________________


RELATIVNE FREKVENCIJE

k

i

ii fn

n

f

1

,

GRAFIČKO PRIKAZIVANJE Histogram Poligon frekvencija IZRAČUNAVANJE ARITMETIČKE SREDINE, VARIJANCE I STANDARDNE DEVIJACIJE Varijabla je grupirana u razrede pa će vrijednost varijable, u svrhu izračunavanja

,x ,biti predstavljena sredinom razreda:

2

granicagornjagranicadonjaxi

Kako je statistički skup zadan preko empirijske distribucije:

ki

n

fx i

i ,...,1:,

aritmetička sredina računa se na slijedeći način:

n

fx

x

k

i

ii 1

a varijanca:

2

11

2

1

2

2

n

xf

n

xf

n

xxfk

i

ii

k

i

ii

k

i

ii

standardna devijacija:

2


__________________________________________________________________________


3.7. Zadaci - empirijske distribucije Zadatak 1. Igrači bacaju kockicu. Ako padne prim broj 2,3,4 igrač dobije toliko kuna, a ako padne broj koji nije prim 1,4,6 igrač gubi toliko kuna. Što igrači mogu očekivati? Zadatak 2. Neka je diskretna slučajna varijabla X zadana:

1,02,03,04,0

8642:X

Izračunajte očekivanje. Zadatak 3. Procjenjuje se učinak investicija na jednom području. Učinak investicije izražen je u obliku dobiti odnosno gubitka. Distribucija vjerojatnosti učinaka investicija navedena je u tablici:

Dobit/gubitak u 000 kn

Vjerojatnost

-400 0,05

-200 0,15

-100 0,30

0 0,10

100 0,30

200 0,03

300 0,04

400 0,03

a) Odredite očekivanu vrijednost i standardnu devijaciju distribucije vjerojatnosti b) Kolika je vjerojatnost da će investicija rezultirati gubitkom? c) Kolika je vjerojatnost da će dobit biti izmeĎu 100 i 300 tisuća kn? d) Prikažite distribuciju poligonom frekvencija Zadatak 4. Posudba knjiga u jednoj knjižnici po danima u tjednu bila je kako slijedi: 202,206,190,196,198,208; Izračunajte i protumačite aritmetičku sredinu.


__________________________________________________________________________


Zadatak 5. Zadane su vrijednosti diskretne varijable X: 10,14,7,12,1,5,3; Koliko iznosi medijan? Zadatak 6. Test sadrži 5 zadataka. Broj riješenih zadataka 43 studenta bilo je kako slijedi:

Broj riješenih zadataka

Broj studenata

0 3

1 7

2 12

3 13

4 3

5 2

Koliki je medijalni broj riješenih zadataka? Zadatak 7. Istražuje se učestalost kupovine kave “Elite”. Modaliteti su: A-stalno kupuje, B-povremeno kupuje, C-ne kupuje. Podaci za 20 kupaca su:

A B B C A C B B A B

A A C B A B B C A C

Koliki je mod? Zadatak 8. Distribucija kutija prema broju neispravnih proizvoda:

Broj neisprav. Proizvoda

Broj kutija

0 35

1 150

2 200

3 80

4 30

5 5

Odredite vrijednost moda.


__________________________________________________________________________


Zadatak 9. Rezultati ispita iz statistike na jednom ispitnom roku:

Ocjena Broj studenata

1 35

2 57

3 90

4 25

5 10

Izračunajte: a) aritmetičku sredinu b) varijancu i standardnu devijaciju c) medijan d) mod Nacrtajte histogram, poligon frekvencija i kumulativnu funkciju. Zadatak 10. Stroj za pakiranje šećera pakira vrećice od 1 kg. Prilikom kontrole rada stroja izvagano je 50 vrećica:

Masa vrećice u g Broj vrećica

970-976 1

976-982 1

982-988 4

988-994 7

994-1000 14

1000-1006 13

1006-1012 6

1012-1018 3

1018-1024 0

1024-1030 1

Izračunajte: a) relativne frekvencije b) vrijednosti kumulativne frekvencije c) aritmetičku sredinu d) varijancu i standardnu devijaciju e) nacrtajte histogram i poligon frekvencija


__________________________________________________________________________


Zadatak 11. U svojoj trgovini ste uveli novi proizvod. Nakon nekog vremena zanima vas sviĎa li se taj proizvod vašim kupcima pa stoga provodite istraživanje modelirajući: Ne sviĎa mi se: - 1 Indiferentan: 0 SviĎa mi se: 1 Bilježeći odgovore na ovaj način, ispitivanjem 50 kupaca, dobili ste niz nula, jedinica i minus jedinica koje preglednije bilježimo pomoću frekvencija:

xi -1 0 1

ni 24 11 15

Sastavite empirijsku distribuciju i prikažite je histogramom. Zadatak 12. U bazi podataka o poduzećima ('podaci_analiza poslovnih podataka_32_studenti.sta') nalaze se i podaci o broju zaposlenih u analiziranim poduzećima.

a) Nacrtajte histogram b) Odredite empirijsku distribuciju c) Grupirajte broj zaposlenih u tri kategorije: 'do 10 zaposlenih'; 'izmeĎu 11 i 50

zaposlenih'; 'više od 50 zaposlenih'. Odredite empirijsku distribuciju na takvim podacima.

d) Koliko iznosi prosječan broj zaposlenih, a koliko standardna devijacija e) Koliki je prosječan broj zaposlenih u poduzećima iz Osijeka, a koliki iz Poreča. f) Kolika je vjerojatnost da poduzeće u Hrvatskoj ima više od 50 zaposlenih

Zadatak 13.

U bazi podataka 'carsold.sta' nalaze se podaci o broju prodanih automobila jednog prodajnog salona za proteklih 100 dana. Analizom tih podataka mogu se donijeti neki zaključci o budućoj prodaji što će pomoći managerima u donošenju poslovnih odluka.

a) Nacrtajte histogram b) Odredite emprijsku distribuciju c) Koliko iznosi proječna dnevna prodaja, a koliko stnadardna devijacija d) Kolika je vjerojatnost da će ova prodajna kuća ostvariti prodaju veću od 13

automobila dnevno e) Kolika je vjerojatnost da bude prodano izmeĎu 9 i 12 automobila

Zadatak 14.

U bazi podataka o poduzećima ('podaci_analiza poslovnih podataka_32_studenti.sta') nalaze se podaci o dobiti poduzeća prije oporezivanja za 2002. godinu (02DobitPo) i 2003. godinu (03DobitPo). Nacrtajte histogram i izračunajte prosjek i standardnu devijaciju empirijske distribucije za obje godine. Koliko iznose kvartili i što oni znače? Kolika je vjerojatnost da će dobit biti veća od 100 tisuća kn, a kolika da će biti izmeĎu 150 tisuća i 200 tisuća kuna?

podaci_analiza%20poslovnih%20podataka_32_studenti.sta


carsold.sta




__________________________________________________________________________


Zadatak 15.

Vijeće jednog MBA studija ima zadatak odrediti graničnu vrijednost za primanje studenata na MBA koristeći GMAT test (Graduate Management Admission Test). Vijeće predlaže da se odabere takva granična vrijednost koja će odobriti upis za 25% prijavljenih studenata. Koja bi to bila? Jedan od profesora pak predlaže da se primi 1/3 studenata. Koliko bi u tom slučaju trebala biti granična vrijednost? Nacrtajte histogram. (podaci se nalaze u 'mba.sta')

Zadatak 16.

U bazi podataka o poduzećima ('podaci_analiza poslovnih podataka_32_studenti.sta') nalaze se ocjene managementa poduzeća i to: ocjena vizije, ocjena odnosa prema zaposlenicima i ocjena treniranja i razvoja. Izračunajte prosječnu ocjenu za za svako od navedenih područja. Koje je područje najbolje ocijenjeno? Kolika je vjerojatnost da je svaka ocjena pojedinačno veća od 90? Razlikuje li se meĎusobno te vjerojatnosti? Kolike su prosječne ocjene s obzirom na to usavršava li se vlasnik poduzeća ili ne? Možete li izvući neki zaključak?

Zadatak 17.

U bazi podataka o poduzećima ('podaci_analiza poslovnih podataka_32_studenti.sta') nalaze se podaci o poslovnom prihodu poduzeća. Izračunajte aritmetičku sredinu, standardnu devijaciju, medijan te minimalnu i maksimalnu vrijednost i to s obzirom na intenzitet konkurencije. Zadatak 18. U bazi podataka o poduzećima 'poduzeca_hrvatska.sta' nalaze se i podaci o broju zaposlenih u analiziranim poduzećima (AAOP164).

a) Nacrtajte histogram b) Odredite empirijsku distribuciju c) Grupirajte broj zaposlenih u tri kategorije: 'do 10 zaposlenih'; 'izmeĎu 11 i 50

zaposlenih'; 'više od 50 zaposlenih'. Odredite empirijsku distribuciju na takvim podacima.

d) Koliko iznosi prosječan broj zaposlenih, a koliko standardna devijacija u 2004. a koliko u 2005 (BAOP164)?

e) Koliki je prosječan broj zaposlenih u poduzećima iz osječko-baranjske županije, a koliko u zagrebačkoj

f) Kolika je vjerojatnost da poduzeće u Hrvatskoj ima više od 50 zaposlenih

mba.STA





poduzeca%20hrvatska.sta


__________________________________________________________________________


Zadatak 19. U bazi podataka o poduzećima 'poduzeca_hrvatska.sta' nalaze se podaci o dobiti poduzeća nakon oporezivanja za 2004. godinu (AAOP159). Nacrtajte histogram i izračunajte prosjek i standardnu devijaciju empirijske distribucije. Koliko iznose kvartili i što oni znače? Kolika je vjerojatnost da će dobit biti veća od 100 tisuća kn, a kolika da će biti izmeĎu 150 tisuća i 200 tisuća kuna? Napravite to posebno za mala, srednja i velika poduzeća. Zadatak 20. U bazi podataka o poduzećima 'poduzeca_hrvatska.sta' nalaze se podaci o poslovnim prihodima poduzeća (AAOP097). Izračunajte aritmetičku sredinu, standardnu devijaciju, medijan te minimalnu i maksimalnu vrijednost za mala poduzeća (vel=1) i to prema županijama u Hrvatskoj. Možete li izvući neki zaključak? Zadatak 21. Izračunajte koeficijent tekuće likvidnosti za poduzeća u bazi podataka 'poduzeca_hrvatska.sta'. Nacrtajte histogram i izračunajte prosjek i standardnu devijaciju empirijske distribucije. Koliko iznose medijan i mod? S obzirom na koje kriterije bi bilo interesantno pogledati likvidnost za poduzeća u Hrvatskoj? Kakve zaključke ste izveli vezano uz likvidnost poduzeća u Hrvatskoj?




sadržaj poglavlja: 3. slučajna varijabla 3.1. pojam slučajne

Documents