UNIVERZA NA PRIMORSKEM

Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije

Osnove numeričnega računanja:

Zbirka kolokvijev in izpitov

doc. dr. Vito Vitrih

DRUGO UČNO GRADIVO

55 strani

Matematika in Matematika v ekonomiji in financah dodiplomska študijska programa

PRVA IZDAJA

Koper, 2015

brought to you by COREView metadata, citation and similar papers at core.ac.uk

provided by Repository of University of Primorska

Predgovor

Pred vami je zbirka kolokvijev in pisnih izpitov, ki so se zvrstili med leti2008 in 2014 pri predmetu Osnove numeričnega računanja, ki je obvezni pred-met drugega letnika na dodiplomskem študiju Matematike ter Matematike vekonomiji in financah na Fakulteti za matematiko, naravoslovje in informacij-ske tehnologije, Univerze na Primorskem. Gre za nabor sedmih kolokvijev inenaindvajsetih izpitov. Snov, ki je obravnavana pri tem predmetu in posledičnozajeta v gradivu te skripte, med drugim vključuje reševanje nelinearnih enačbin sistemov nelinearnih enačb, reševanje kvadratnih in predoločenih sistemov li-nearnih enačb, računanje lastnih vrednosti, interpolacijo, numerično odvajanjein integracijo ter Bézierove krivulje.

2

Kazalo

1 KOLOKVIJI 4

2 IZPITI 152.1 Šolsko leto 2008/2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Šolsko leto 2009/2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Šolsko leto 2010/2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Šolsko leto 2011/2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Šolsko leto 2012/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Šolsko leto 2013/2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

POGLAVJE 1

KOLOKVIJI

5

KOLOKVIJ

4. december 2008

[10] 1. Za iskanje ničel realne funkcije f : R→ R poznamo več metod.

(a) Naštej vsaj tri izmed njih in eno opiši.

Poišči pravilen odgovor za naslednje trditve:

(b) O tem, ali navadna iteracija v bližini rešitve konvergira ali ne, odloča

(i) prvi odvod iteracijske funkcije,

(ii) drugi odvod iteracijske funkcije,

(iii) tretji odvod iteracijske funkcije.

(c) Metoda s kvadratično konvergenco v bližini rešitve v primerjavi z metodoz linearno konvergenco

(i) počasneje kovergira,

(ii) hitreje konvergira,

(iii) hitrost konvergence je za obe metodi enaka.

(d) Pri tangentni metodi moramo na začetku poznati

(i) en začetni približek,

(ii) dva začetna približka,

(iii) enako število začetnih približkov kot pri sekantni metodi.

(e) Tangentna metoda ima v bližini rešitve α kubično konvergenco, če velja

(i) f(α) = 0, f ′(α) = 0,

(ii) f(α) = 0, f ′(α) = 0, f ′′(α) = 0,

(iii) f(α) = 0, f ′(α) 6= 0, f ′′(α) = 0.

[10] 2. Za reševanje linearnih sistemovAx = b, z obrnljivo matriko A, uporabljamoLU razcep (A = L · U).

(a) Kaj velja za matriki L in U?

(b) V kakšnem primeru LU razcep odpove? Kakšno modifikacijo LU razcepauporabimo v tem primeru? Kaj naredimo na vsakem koraku?

(c) Kakšna je časovna zahtevnost LU razcepa?

(d) Za posebne matrike lahko podoben razcep naredimo v pol krajšem času.Za kakšne matrike to velja? Kako imenujemo ta razcep?

[10] 3. Linearni sistem Ax = b lahko rešujemo tudi iterativno.

(a) Naštej dva primera, kdaj se poslužimo tega postopka.

6 1 KOLOKVIJI

(b) Zapiši Jacobijevo metodo v obliki iteracije.

(c) Zapiši Gauss-Seidelovo metodo v obliki iteracije.

(d) Privzemimo, da je matrika A zgornje trikotna. Katera izmed metod iztočk (b) in (c) v tem primeru konvergira hitreje? Odgovor utemelji.

[10] 4. Zapiši število −111.625 v dvojni natančnosti v premični piki (64 bitov).

[15] 5. Naj bo fµ(x) = xµ+2 − a xµ, µ ∈ R, a > 0. S tangentno metodo želimoizračunati

√a kot ničlo funkcije fµ.

(a) Določi parameter µ tako, da bo red konvergence tangentne metode v bližini√a vsaj kubičen.

(b) Zapiši tangentno metodo za izračunani µ iz točke (a) in z njo izračunaj√10 na 4 decimalna mesta natančno, pri čemer za začetni približek vzemi

x0 = 3.Če točke (a) ne znaš rešiti, vzemi µ = − 1

2 .

[15] 6. Naj bo matrika A ∈ Rn×n definirana kot

A =

1 1 1 · · · 10 1 1 · · · 1....... . .

. . ....

0 0 · · · 1 10 0 · · · 0 1

.

Izračunaj ‖A‖1, ‖A‖∞ in ‖A‖F . Poskusi še čimbolje oceniti ‖A‖2 za n = 4.

[15] 7. Naj bo A ∈ Rn×n. Dokaži ali ovrži naslednje trditve:

(a) Če je ‖A‖∞ = ‖A‖1, potem je A simetrična.

(b) Če je A simetrična, potem je ‖A‖∞ = ‖A‖1.

(c) Če je ‖A‖∞ ≤ 1, potem je∑ni,j=1 |aij | ≤ n.

[15] 8. Naj bo

A =

1 2 3 4−2 −3 −5 −71 4 6 4−2 −3 −4 −8

.

Izračunaj LU razcep matrike A brez pivotiranja.

7

KOLOKVIJ

13. maj 2010

[10] 1. Obkroži pravilne trditve:

(a) Bisekcija ni primerna metoda za iskanje ničel sodih stopenj.

(b) Različne iteracijske funkcije lahko imajo različne rede konvergenc v bližinirešitev.

(c) Tangentna metoda ima v okolici trojne ničle kubično konvergenco.

(d) Konvergenca tangentne metode je zagotovljena za vsak začetni približek.

(e) Metoda, ki ima kvadratično konvergenco v bližini rešitve, lahko daleč stranod rešitve konvergira počasneje od metode, ki ima linearno konvergenco vbližini rešitve.

(f) Newtonova metoda za reševanje nelinearnih sistemov je posplošitev tan-gentne metode za reševanje ene nelinearne enačbe.

(g) Za matriko A rečemo, da je pozitivno definitna, če za vsak vektor x 6= 0velja xTA−1 x > 0.

(h) Operatorske norme matrik so posebni primeri matričnih norm, za katerene velja trikotniška neenakost.

(i) Za ortogonalne matrike velja (AAT )−1 = I.

(j) Za vsako matriko obstaja lastna vrednost, ki je po absolutni vrednostivečja od spektralne norme matrike.

[15] 2. Odgovori na naslednja vprašanja:

(a) Za reševanje linearnih sistemov Ax = b, z obrnljivo matriko A, upora-bljamo LU razcep (A = L · U). Kaj velja za matriki L in U?

(b) Recimo, da je matrika A diagonalna matrika. Kakšni sta potem matrikiL in U v LU razcepu. Koliko operacij potrebujemo za izračun LU razcepav tem primeru?

(c) Kakšna je časovna zahtevnost LU razcepa za splošno matriko? Za posebnematrike lahko podoben razcep naredimo v pol krajšem času. Za kakšnematrike to velja? Kako imenujemo ta razcep?

(d) Ali je matrika A, za katero velja detA = −1, lahko pozitivno definitnamatrika? Odgovor utemelji.

(e) Če uporabljamo LU razcep z delnim pivotiranjem, so v matriki L vsielementi po absolutni vrednosti ≤ 1. Zakaj?

8 1 KOLOKVIJI

[15] 3. Zapiši število −80.34375 v enojni natančnosti v premični piki (32 bitov).

[15] 4. Izračunaj negibne točke iteracijske funkcije

xr+1 = g(xr) =2xr − 1

x2r.

Določi, katere od teh točk so privlačne in katere odbojne. Določi red konvergencev bližini privlačnih točk.

[15] 5. Za naslednji sistem nelinearnih enačb naredi en korak Newtonove metodez začetnim približkom (x0, y0)

T = (−1,−2)T :

x3 + y3 = −2, x2 + xy + y = 1.

[15] 6. Naj bo

An =

2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 1 0...

. . .

0 0 0 1 2

∈ Rn×n.

Izračunaj LU razcep matrike An brez pivotiranja. S pomočjo tega razcepaizračunaj detAn.

[15] 7. Naj bo An matrika iz naloge 6. Izračunaj ‖An‖1, ‖An‖∞, ‖An‖F inN∞(An). Poskusi še čimbolje oceniti ‖An‖2 za n = 5.

9

KOLOKVIJ

4. november 2010

[20] 1. Obkroži pravilne trditve (obkroži največ 5 odgovorov):

(a) Pomembno je, da je napaka metode Dm bistveno manjša od neodstranljivenapake Dn.

(b) Z bisekcijo ne moremo poiskati ničel 3. stopnje.

(c) Tangentna metoda ima kubično konvergenco v okolici ničle α, če veljaf(α) = 0, f ′(α) 6= 0 in f ′′(α) = 0.

(d) Tangentna metoda konvergira za poljubni začetni približek.

(e) Identična matrika je simetrična pozitivno definitna matrika.

(f) Frobeniusova norma ni operatorska norma, je pa matrična norma.

(g) Če je matrika obrnljiva, potem lahko vedno izvedemo LU razcep z delnimpivotiranjem.

(h) Sistem Ax = b rešujemo tako, da poiščemo inverz matrike A.

(i) Prema in obratna substitucija sta časovno manj zahtevni od LU razcepa.

(j) Za ortogonalne matrike Q velja Q−1 = Q−T .

[15] 2. Zapiši število 2010.65625 v enojni natančnosti v premični piki (32 bitov).

[15] 3. Poišči negibne točke iteracijske funkcije

xr+1 = g(xr) = (γ + 1)xr − x2r,1

2≤ γ ≤ 1.

Za vsako od fiksnih točk določi ali je odbojna ali privlačna točka za funkcijo g.Za katere γ ima metoda kvadratično konvergenco v okolici privlačnih točk?

[15] 4. Za naslednji sistem nelinearnih enačb naredi en korak Newtonove metodez začetnim približkom (x0, y0)

T = (1,−1)T :

x2 + 3y2 = 1, (x− 2)2 + (y − 1)2 = 4.

[20] 5. Naj bo

A =

1 −1 0−1 4 10 1 5

.

Razcepi matriko A na produkt A = L·U , kjer je L spodnje in U zgornje trikotnamatrika, pri čemer naj velja:

(a) diagonalni elementi matrike L so enaki 1,

10 1 KOLOKVIJI

(b) diagonalni elementi matrike U so enaki 1,

(c) U = LT .

[15] 6. Naj bosta A ∈ Rm×n in B ∈ Rp×n. Dokaži ali ovrzi (poišči protiprimer)neenakosti

(a)∥∥∥∥[ AB

]∥∥∥∥1

≤√‖A‖21 + ‖B‖21,

(b)∥∥∥∥[ AB

]∥∥∥∥∞≤√‖A‖2∞ + ‖B‖2∞,

11

KOLOKVIJ

5. december 2011

1. Odgovorite na naslednja vprašanja:

a) Dana je enačba x+x2+ex = 0. Katere numerične metode za reševanjete enačbe poznate? Eno izmed njih opišite.

b) Opišite razcep Choleskega. Kaj velja za matriko A, za katero tarazcep obstaja?

c) Zapišite iteracijsko funkcijo Jacobijeve in Gauss-Seidelove metode.Opišite razliko med obema. Kdaj metodi konvergirata?

2. Za poljubno pozitivno število a lahko računamo kvadratni koren√a z

iteracijskim predpisom

xr+1 =1

2

(xr +

a

xr

).

a) Poiščite obe negibni točki iteracije in določite ali sta privlačni aliodbojni. Določite red konvergence v bližini

√a.

b) Zapišite, kako bi to metodo predstavili v Octavu.

3. Naj bo dana tridiagonalna simetrična matrika

An =

1 11 2 11 3 1. . .

. . .. . .

1 n− 1 11 n

∈ Rn×n.

Izračunajte ‖An‖1, ‖An‖∞, ‖An‖F in N∞(An). Zapišite tudi najboljšooceno norme ‖An‖2 za primer n = 4.

4. Izračunajte LU razcep matrike

A =

2 0 112 1 52 2 3

z delnim pivotiranjem. S pomočjo tega razcepa rešite sistem Ax = b, kjerje b = [0 6 12]T.

12 1 KOLOKVIJI

KOLOKVIJ

13. december 2012

1. [10] Odgovorite na naslednja vprašanja:

a) Ali je matrika

A =

(1 55 1

)simetrična pozitivno definitna matrika? Odgovor utemeljite. Katerije najcenejši način, da to preverite?

b) Katere metode za računanje QR razcepa poznate? Katero metodobi uporabili za QR razcep matrike

1 3 5 05 −1 5 10 0 3 10 0 0 −4

?

c) Naj bo In ∈ Rn×n identična matrika. Izraqv cunajte ‖In‖1, ‖In‖∞,‖In‖2 in ‖In‖F .

d) Zapišite iteracijsko funkcijo Jacobijeve in Gauss-Seidelove metode zasistem Ax = b, kje je

A =

(−8 31 4

), b =

(25

).

V čem se metodi razlikujeta?

2. [10] Zapišite število −20.4 v IEEE aritmetiki s premično piko v dvojni natanč-nosti. Določite predznak s, mantiso m in eksponent e.

3. [10] Tabelarično podano funkcijo

x 0.1 0.2 0.5 1y 100 25 5 2

aproksimirajte s funkcijo f(x) = ax2 + b po metodi najmanjših kvadratov.

4. [10] Želimo poiskati ničle funkcije f(x) = xn − a, a > 0, n ∈ N, n > 1.

a) Katere metode poznate? Eno natančno opišite.

b) Izberemo tangentno metodo. Določite iteracijsko funkcijo in negibnotočko iteracije. Dokažite, da metoda konvergira za poljuben začetnipribližek x0 = (0,∞). Kakšen je red konvergence?

13

KOLOKVIJ

25. november 2013

1. [2] S pomočjo bisekcije iščemo ničle funkcije f(x) = x(x− 1)3(x− 2).H kateri ničli bo metoda skonvergirala, če izberemo začetni interval [−1, 4]?Kaj pa v primeru, ko izberemo začetni interval [0.5, 3]?

2.[4] Katero število (v desetiškem zapisu) je v IEEE aritmetiki s premično pikov dvojni natančnosti predstavljeno kot

1 10000000001 101 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸49

?

3. [4] S tangentno metodo rešujemo enačbo x5 = 3. Zapišite ustrezno iteracijskofunkcijo. Kaj lahko poveste o redu konvergence?

4. [7] Dana je iteracijska funkcija g(x) = −ax2 + 2x, kjer je a > 0. Določitenegibne točke iteracije. Poiščite največji možen interval na katerem boiteracijska funkcija konvergirala k neničelni negibni točki. Za katere zače-tne približke nam konvergenco zagotavlja konvergenčni izrek?

5. [8] Dana je matrika

A =

0 1 31 2 −11 4 1

.

a) Izračunajte ‖A‖1, ‖A‖∞, ‖A‖F in ocenite ‖A‖2.b) Izračunajte razcep oblike A = P>LU, kjer je P permutacijska ma-

trika, L spodnje trikotna z enicami na diagonali, U pa zgornje tri-kotna matrika in s pomočjo dobljenega razcepa izračunajte determi-nanto matrike A.

6. [5] Naj bo A simetrična pozitivno definitna matrika dimenzije n × n. Zapoljuben x ∈ Rn definiramo normo ‖x‖ =

√x>Ax. Pokažite, da je ‖ · ‖

norma na Rn.

14 1 KOLOKVIJI

KOLOKVIJ

9. december 2014

1. [2] Kje so težave s stabilnostjo, če želimo numerično izračunati x√1 + x−x

√x

? Zapišite izraz v stabilnejši obliki za računanje.

2. [8] V enačbic = lnx+ x2 (1.1)

naj bo c določen tako, da je rešitev enačbe (1.1) enaka α = 13 . Odločimo

se, da bomo poskusili enačbo rešiti iterativno s funkcijama

g1(x) =√c− lnx,

g2(x) =2

11

(x+

9

2ec−x

2

).

Pokažite, da je fiksna točka vsake iteracijske funkcije rešitev enačbe (1.1).Za vsako iteracijsko funkcijo preverite ali imamo konvergenco v bližini αin določite red konvergence.

3. [10] Dana je matrika

A =

1 2 0 32 5 3 60 3 10 13 6 1 14

.

a) Izračunajte ‖A‖1, ‖A‖∞ in ‖A‖F .b) S pomočjo razcepa Choleskega rešite sistem Ax = b, kjer je b =

(1, 0, 1, 0)>.

4. [3] Poiščite Givensovo rotacijo, ki zavrti vektor x = ( 13 ,−1)> v vektor y =

(β, 0)>, β ∈ R. Določite β!

5. [7] Naj bo ‖ · ‖ poljubna vektorska norma na Cn. Za poljubno matriko A ∈Cn×n definiramo

α(A) = min‖x‖=1

‖Ax‖.

Pokažite, če je α(A) > 0, potem velja:

a) A je obrnljiva,

b) ‖A−1‖ ≤ 1α(A) .

POGLAVJE 2

IZPITI

2.1 Šolsko leto 2008/2009

Šolsko leto 2008/2009

2.1 Šolsko leto 2008/2009 17

IZPIT

5. februar 2009

[10] 1. Poišči pravilen odgovor za naslednje trditve:

(a) LU razcep uporabljamo pri

(i) reševanju nelinearnih enačb,

(ii) reševanju linearnih sistemov,

(iii) reševanju linearnih sistemov s simetrično matriko,

(iv) računanju lastnih vrednosti.

(b) LU razcep ima časovno zahtevnost

(i) O(n2),

(ii) 13n3 + O(n2),

(iii) 23n3 + O(n2),

(iv) n3 + O(n2).

(c) Kako preko LU razcepa rešimo sistem Ax = b?

(i) naredimo razcep A = LU , rešimo sistema Ly = b ter nato Ux = y,

(ii) naredimo razcep A = LU , rešimo sistema Uy = b ter nato Lx = y,

(iii) naredimo razcep A = LU , izračunamo y = Lb ter nato x = Uy.

(iv) naredimo razcep A = LU , izračunamo y = Ub ter nato x = Ly.

(d) LU razcep z delnim pivotiranjem uporabimo na matriki A

(i) samo v primeru, če so vsi pivoti enaki 0,

(ii) samo v primeru, če so vsi pivoti različni od 0,

(iii) če je kateri izmed pivotov enak 0,

(iv) če je kateri izmed pivotov različen od 0.

(e) Za matriki L in U iz LU razcepa velja:

(i) obe sta zgornje trikotni,

(ii) obe sta spodnje trikotni,

(iii) L je zgornje trikotna, U pa spodnje trikotna,

(iv) L je spodnje trikotna, U pa zgornje trikotna.

[10] 2. Za matrike dimenzije vsaj 5 ne obstaja eksaktna formula za izračun lastnihvrednosti in lastnih vektorjev, zato jih moramo računati numerično.

(a) Zapiši definicijo lastne vrednosti in lastnega vektorja.

(b) Ena izmed metod za računanje lastnih parov matrike je potenčna me-toda. Ta metoda nam da približek za lastni vektor, ki pripada največ- jilastni vrednosti po absolutni vrednosti. Kako nato s pomočjo pri- bližkaza lastni vektor dobimo najboljši približek za lastno vrednost?

18 2 IZPITI

(c) Če želimo izračunati približek za lastni vektor, katerega pripadajoča la-stna vrednost ni največja po absolutni vrednosti, katero metodo lahkouporabimo?

(d) Gerschgorinov izrek nam določa območje v kompleksni ravnini, kjer ležijovse lastne vrednosti matrike. Zapiši ta izrek.

[10] 3. V teoriji aproksimacije je pomembno področje polinomska interpolacija.

(a) Koliko vnaprej predpisanih točk lahko v splošnem zadanemo z interpola-cijskim polinomom stopnje n?

(b) Zapiši formulo za interpolacijski polinom stopnje n.

(c) Kaj je deljena diferenca? Zapiši rekurzivno zvezo za izračun deljenih di-ferenc.

(d) Z besedami opiši, kakšna je povezava med interpolacijskim polinomom inNewton- Cotesovimi integracijskimi pravili.

[10] 4. Za matriko

An =

1 1 0 0 · · · 00 1 1 0 · · · 0....... . .

. . .. . .

.......... . .

. . .. . .

...0 0 · · · 0 1 10 0 · · · 0 0 1

∈ Rn×n, n ≥ 3,

izračunaj ‖ATnAn‖∞ in ‖ATnAn‖1.

[15] 5. V iteracijski formuli

xr+1 = g(xr) = αxr +β

xr, r = 0, 1 . . .

določi koeficienta α in β tako, da bo za a > 0 zaporedje {xr}r∈N konvergiralo klimiti

√a vsaj s kvadratično konvergenco.

[15] 6. Za matriko A in vektor b,

A =

1 1 20 1 11 0 −1−1 1 0

, b =

1121

,

poišči rešitev predoločenega sistema Ax = b, x ∈ R3, po metodi najmanjšihkvadratov. Uporabi normalni sistem in ga reši z LU razcepom brez pivotiranja.

[15] 7. Za funkcijo f(x) = x6 poišči interpolacijski polinom p, za katerega velja

p(−1) = f(−1), p′(−1) = f ′(−1), p(0) = f(0),

2.1 Šolsko leto 2008/2009 19

p′(0) = f ′(0), p(1) = f(1), p′(1) = f ′(1).

[15] 8. Izpelji odprto Newton-Cotesovo integracijsko pravilo∫ x3

x0

f(x) dx = Af(x1) +Bf(x2) + Cf (m)(ξ).

20 2 IZPITI

IZPIT

11. junij 2009

[10] 1. Obkroži pravilne trditve:

(a) Naj bo α rešitev enačbe x = g(x) in naj velja g(k)(α) = 0 za k = 1, 2, . . . , p,in g(p+1)(α) 6= 0. Potem pravimo, da je red konvergence iteracije xr+1 =g(xr) v bližini α enak p.

(b) Metoda z visokim redom konvergence povsod konvergira hitreje kot me-toda z nižjim redom konvergence.

(c) Tangentna metoda ima za enostavne ničle vsaj kvadratično konvergencov bližini te ničle.

(d) Matriko A imenujemo simetrična matrika, če velja A = AT .

(e) Za matrično normo mora med drugim veljati ‖AB‖ ≥ ‖A‖‖B‖.

(f) Za vsako matrično normo in poljubno lastno vrednost λ matrike A velja|λ| ≤ ‖A‖.

(g) LU razcep s pivotiranjem uporabljamo za simetrične pozitivno definitnematrike.

(h) Matrika A je simetrična pozitivno definitna, če velja A = AT in xTAx > 0za vsak x 6= 0.

(i) Za razcep Choleskega potrebujemo 13n

3 + O(n2) operacij.

(j) Rešitev normalnega sistema ATAx = AT b maksimizira ‖Ax− b‖2.

[10] 2. Linearni sistem Ax = b lahko zapišemo v obliki x = Rx+ c in ga rešujemoiterativno kot x(r+1) = Rx(r) + c.

(a) Kaj mora veljati za ρ(R) := max |λ(R)| iteracijske matrike R, da zaporedjex(r+1) = Rx(r) + c, r = 0, 1, . . ., konvergira za poljuben začetni približekx(0)?

(b) Zapiši Jacobijevo metodo v obliki iteracije.

(c) Zapiši Gauss-Seidelovo metodo v obliki iteracije.

(d) Privzemimo, da je matrika A zgornje trikotna. Katera izmed metod iztočk (b) in (c) v tem primeru konvergira hitreje? Odgovor utemelji.

[10] 3. V teoriji aproksimacije je pomembno področje polinomska interpolacija.

(a) Zapiši formulo za interpolacijski polinom stopnje n.

(b) Ali je interpolacijski polinom primeren za interpolacijo velikega številainterpolacijskih točk? Odgovor utemelji.

2.1 Šolsko leto 2008/2009 21

(c) Z besedami opiši, kakšna je povezava med interpolacijskim polinomom inNewton-Cotesovimi integracijskimi pravili.

(d) Kakšna je razlika med odprtim in zaprtim tipom Newton-Cotesovih pravil?Naštej in na kratko opiši dva pravila zaprtega tipa.

[15] 4. S pomočjo Gerschgorinovega izreka določi območje v C, kateremu pripa-dajo lastne vrednosti matrike

A =

0 −1 11 2 01 1 −2

Za natančnejšo določitev območja uporabi Gerschgorinov izrek tudi na AT .

[15] 5. Dokaži, da je red konvergence iteracije

xr+1 = g(xr) :=xr(1− lnxr)

1 + 2xr, r = 0, 1 . . . ,

za reševanje nelinearne enačbe e2x − 1x = 0, vsaj dva.

[15] 6. Izračunaj LU razcep brez pivotiranja za matriko

A =

1 2 3 4−3 −5 −10 −130 1 0 00 1 −3 −2

.

[15] 7. Za funkcijo f(x) = sinx poišči interpolacijski polinom p, za katerega velja

p(kπ

2

)= f

(kπ

2

), p ′

(kπ

2

)= f ′

(kπ

2

),

za k = −1, 0, 1.[10] 8. Iščemo rešitev nelinearnega sistema

x2 + y = 2, y2 − x2 = 0.

Naredi dva koraka Newtonove metode z začetnim približkom (x0, y0) = (−1,−1)T .

22 2 IZPITI

IZPIT

26. junij 2009

[10] 1. Za iskanje ničel realne funkcije f : R→ R poznamo več metod.

(a) Naštej vsaj tri izmed njih in eno opiši.

Poišči pravilen odgovor za naslednje trditve:

(b) O tem, ali navadna iteracija v bližini rešitve konvergira ali ne, odloča

(i) prvi odvod iteracijske funkcije,

(ii) drugi odvod iteracijske funkcije,

(iii) tretji odvod iteracijske funkcije.

(c) Metoda s kvadratično konvergenco v bližini rešitve v primerjavi z metodos kubično konvergenco

(i) počasneje kovergira,

(ii) hitreje konvergira,

(iii) hitrost konvergence je za obe metodi enaka.

(d) Pri sekantni metodi moramo na začetku poznati

(i) en začetni približek,

(ii) dva začetna približka,

(iii) enako število začetnih približkov kot pri tangentni metodi.

(e) Tangentna metoda ima v bližini rešitve α kubično konvergenco, če velja

(i) f(α) = 0, f ′(α) = 0,

(ii) f(α) = 0, f ′(α) = 0, f ′′(α) = 0,

(iii) f(α) = 0, f ′(α) 6= 0, f ′′(α) = 0.

[10] 2. Za reševanje linearnih sistemovAx = b, z obrnljivo matriko A, uporabljamoLU razcep (A = L · U).

(a) Kaj velja za matriki L in U?

(b) V kakšnem primeru LU razcep odpove? Kakšno modifikacijo LU razcepauporabimo v tem primeru? Kaj naredimo na vsakem koraku?

(c) Kakšna je časovna zahtevnost LU razcepa?

(d) Za posebne matrike lahko podoben razcep naredimo v pol krajšem času.Za kakšne matrike to velja? Kako imenujemo ta razcep?

[10] 3. Za matrike dimenzije vsaj 5 ne obstaja eksaktna formula za izračun lastnihvrednosti in lastnih vektorjev, zato jih moramo računati numerično.

(a) Zapiši definicijo lastne vrednosti in lastnega vektorja.

2.1 Šolsko leto 2008/2009 23

(b) Ena izmed metod za računanje lastnih parov matrike je potenčna me-toda. Ta metoda nam da približek za lastni vektor, ki pripada največ- jilastni vrednosti po absolutni vrednosti. Kako nato s pomočjo pri- bližkaza lastni vektor dobimo najboljši približek za lastno vrednost?

(c) Če želimo izračunati približek za lastni vektor, katerega pripadajoča la-stna vrednost ni največja po absolutni vrednosti, katero metodo lahkouporabimo?

(d) Gerschgorinov izrek nam določa območje v kompleksni ravnini, kjer ležijovse lastne vrednosti matrike. Zapiši ta izrek.

[10] 4. Naj bo

An =

−1 1−1 1−1 1

. . .. . .

. . . 1−1

∈ Rn×n.

Izračunaj ‖An‖∞, ‖An‖1 in ‖An‖F .[15] 5. Z Jacobijevo iteracijo rešujemo sistem linearnih enačb

4x1 + 2x2 − x3 = 5

2x1 + 6x2 − 2x3 = 6

−x1 + x2 + 3x3 = 3.

Za začetni približek vzemi x1 = 1, x2 = 1 in x3 = −1 ter poišči naslednjipribližek.

[15] 6. Naj bosta

L =

1 0 0 01 1 0 02 −1 1 02 3 −1 1

in A =

1 2 3 41 4 5 62 2 7 52 10 9 16

.

Določi zgornje trikotno matriko U , da bo veljalo A = L · U . Zapiši vse korakeračunanja.

[15] 7. Po metodi najmanjših kvadratov poišči rešitev predoločenega sistemaAx = b, kjer sta

A =

1 23 45 6

, b =

121

.

[15] 8. Iščemo rešitev nelinearnega sistema

xy = 2, xz = 3, yz = 6.

Naredi en korak Newtonove metode z začetnim približkom x = y = z = 1.

24 2 IZPITI

IZPIT

31. avgust 2009

[10] 1. Obkroži pravilne trditve:

(a) Tangentna metoda v okolici dvojne ničle konvergira kvadratično.

(b) Pri metodi s kvadratično konvergenco se v bližini rešitve število točnihdecimalk na vsakem koraku podvoji.

(c) Za matriko A rečemo, da je pozitivno definitna, če za vsak vektor x 6= 0velja xTAx > 0.

(d) Operatorska norma matrike A je definirana kot ‖A‖ = max‖x‖=0x∈Cn

‖Ax‖.

(e) Sistem Ax = b je najbolje reševati kot x = A−1b.

(f) Linearen sistem Ax = b rešujemo iterativno, če je matrika A velika in imamalo neničelnih elementov.

(g) Če rešujemo sistem ATAx = AT b, pravimo, da rešujemo normalni sistem(prirejen sistemu Ax = b).

(h) Reyleighov kvocient je formula, s katero dobimo dober približek za lastnivektor.

(i) Polinom, ki se z dano funkcijo ujema v izbranih točkah, imenujemo inter-polacijski polinom.

(j) Interpolacija z zlepki je v praksi povsem neuporabna.

[10] 2. V teoriji aproksimacije je pomembno področje polinomska interpolacija.

(a) Zapiši formulo za interpolacijski polinom stopnje n.

(b) Ali je interpolacijski polinom primeren za interpolacijo velikega številainterpolacijskih točk? Odgovor utemelji.

(c) Z besedami opiši, kakšna je povezava med interpolacijskim polinomom inNewton-Cotesovimi integracijskimi pravili.

(d) Kakšna je razlika med odprtim in zaprtim tipom Newton-Cotesovih pravil?Naštej in na kratko opiši dva pravila zaprtega tipa.

[10] 3. Za iskanje ničel realne funkcije f : R→ R poznamo več metod.

(a) Na kratko opiši metodo bisekcije.

(b) Na kratko opiši metodo navadne iteracije.

(c) Na kratko opiši tangentno metodo.

2.1 Šolsko leto 2008/2009 25

[15] 4. S pomočjo Gerschgorinovega izreka določi območje v C, kateremu pripa-dajo lastne vrednosti matrike

A =

1 0 2 00 0 1 10 1 −1 01 1 −1 0

.

Za natančnejšo določitev območja uporabi Gerschgorinov izrek tudi na AT .

[15] 5. V iteracijski formuli

xr+1 = g(xr) := αxr + βx2r, r = 0, 1 . . . ,

določi koeficienta α in β, tako da bo zaporedje (xr)r∈N0 konvergiralo k izbranemurealnemu številu a > 0 s kvadratično konvergenco.

[20] 6. Naj bo

A =

1 2 3 4−2 −3 −5 −71 4 6 4−2 −3 −4 −8

.

Poišči matriki L in U iz LU razcepa brez pivotiranja za matriko A. Izračunajše ‖L‖1 · ‖U‖∞.

[20] 7. Za funkcijo f(x) = sinx + cosx − 1 poišči interpolacijski polinom p, zakaterega velja

p(kπ

2

)= f

(kπ

2

), p ′

(kπ

2

)= f ′

(kπ

2

), p ′′

(kπ

2

)= f ′′

(kπ

2

)za k = 0, 1.

2.2 Šolsko leto 2009/2010

Šolsko leto 2009/2010

2.2 Šolsko leto 2009/2010 27

IZPIT

8. junij 2010

[10] 1. Obkroži pravilne trditve:

(a) Pri Newtonovi metodi nelinearen sistem enačb rešujemo tako, da rešimoveč linearnih sistemov.

(b) Spektralno normo simetrične n×n matrike lahko izračunamo kot ‖A‖2 =mini=1,2,...,n |λi(A)|.

(c) Za občutljivost κ2(A) matrike A velja formula κ2(A) = ‖A‖ · ‖A‖−1.

(d) Permutacijske matrike P imajo občutjivost κ2(P ) enako 1.

(e) LU razcep brez pivotiranja ima časovno zahtevnost O(n3).

(f) Za spodnje trikotne matrike Gauss-Seidelova in Jacobijeva metoda za ite-rativno reševanje linearnih sistemov konvergirata enako hitro.

(g) Reševanje predoločenih sistemov preko normalnega sistema je numeričnozelo stabilno.

(h) Zapis interpolacijskega polinoma preko Lagrangeevih polinomov je prime-ren le, če so vse interpolacijske točke med seboj različne.

(i) Polinomi visokih stopenj se običajno v praksi obnašajo bolje kot zlepki.

(j) Pri formulah za numerično odvajanje moramo paziti, da interpolacijskihtočk ne vzamemo preblizu skupaj.

[15] 2. Odgovori na naslednja vprašanja:

(a) Zakaj pri formulah za numerično odvajanje interpolacijskih točk ne smemovzeti preblizu skupaj?

(b) Ali podobno velja tudi pri formulah za numerično integriranje? Odgovorutemelji.

(c) Kakšno povezavo imajo Newton-Cotesova integracijska pravila in polinom-ska interpolacija?

(d) Zapiši sestavljeno 38 -pravilo.

(e) Opiši Rombergovo metodo. Kaj je bistvena ideja te metode?

[15] 3. Poišči spodnje trikotno matriko V iz razcepa Choleskega za matriko

A =

2 −1 0 0 0−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 2

.

28 2 IZPITI

Preko tega razcepa izračunaj še determinanto matrike A.

[15] 4. Izračunaj QR razcep matrike

A =

1 3 11 3 71 −1 −41 −1 2

.

[15] 5. Poišči interpolacijski polinom, ki se s funkcijo f(x) = e−2x ujema trojnov točki x = 0 in dvojno v točki x = 1.

[15] 6. Določi konstante A,B,C,D,E in m v integracijskem pravilu∫ x1

x0

f(x) dx = h (Af(x0) +Bf(x1)) + h2 (Cf ′(x0) +Df ′(x1)) + Ef (m)(ξ).

[15] 7. Čim bolje določi območje v C, kjer ležijo lastne vrednosti matrike

A =

2 1 0 0 01 1 1 0 00 1 0 2 00 0 −1 1 10 0 0 1 2

.

2.2 Šolsko leto 2009/2010 29

IZPIT

22. junij 2010

[10] 1. Obkroži pravilne trditve:

(a) Matrika je nesingularna, če je njena determinanta različna od 0.

(b) Frobeniusova norma ni operatorska norma.

(c) Razcep A = U ·L, kjer je U zgornje trikotna matrika in L spodnje trikotnamatrika z enicami na diagonali, imenujemo LU razcep.

(d) Pri reševanju predoločenih sistemov Ax = b želimo minimizirati ‖Ax− b‖.

(e) Reševanje predoločenih sistemov preko normalnega sistema je stabilnejšeod reševanja preko QR razcepa.

(f) Singularne vrednosti matrike so nenegativna realna števila.

(g) Deljena diferenca je polinom stopnje 3.

(h) Zlepek je neskončnokrat zvezno odvedljiva funkcija.

(i) Simpsonovo pravilo je točno za polinome stopnje ≤ 3.

(j) Poljubna Bézierova krivulja interpolira vse svoje kontrolne točke.

[15] 2. Odgovori na naslednja vprašanja:

(a) Zapiši primer iteracijske funkcije za iskanje ničel funkcije f(x) = x2−3x+1.

(b) V čem se razlikujeta Jacobijeva in Gauss-Seidelova metoda za iterativnoreševanje linearnih sistemov?

(c) Zakaj predoločenih sistemov ne rešujemo preko LU razcepa?

(d) Kaj je Reyleighov kvocient?

(e) Zakaj za računanje določenega integrala uporabljamo sestavljene formule?

[15] 3. Reši sistem linearnih enačb Ax = b, kjer sta

A =

1 2 01 4 21 2 41 4 2

, b =

312712

.

[15] 4. Dana je matrika

An =

−2 n− 1n− 1 −4 n− 2

n− 2 −6 n− 3. . .

. . .. . .

2 −2(n− 1) 11 −2n

∈ Rn×n.

30 2 IZPITI

Izračunaj ‖An‖1 in ‖An‖∞. Določi še N∞(An).

[15] 5. Poišči negibne točke iteracijske funkcije

xr+1 =1

2

(xr +

4

xr

).

Ugotovi red konvergence v bližini teh točk.

[15] 6. Določi konstante A,B,C,D,E in m v integracijskem pravilu∫ 3h

0

f(x) dx = Af(h) +Bf(2h) + Cf ′(0) +Df ′(3h) + Ef (m)(ξ).

[15] 7. Podani sta začetna in končna kontrolna točka kubične Bézierove krivulje p:b0= (1, 0)T in b3 = (0, 1)T . Določi še preostali kontrolni točki oblike b1 = (1, a)in b2 = (a, 1), tako da bo krivulja pri parametru t = 1

2 šla skozi točko p(12

)=(√

2,√2). Približno skiciraj krivuljo.

2.2 Šolsko leto 2009/2010 31

IZPIT

25. avgust 2010

[10] 1. Obkroži pravilne trditve:

(a) Tangentna metoda v okolici dvojne ničle konvergira kvadratično.

(b) Pri Newtonovi metodi nelinearen sistem enačb rešujemo tako, da rešimoveč linearnih sistemov.

(c) Permutacijske matrike P imajo občutjivost κ2(P ) := ‖P‖2 · ‖P−1‖2 enako1.

(d) Za matriko A rečemo, da je pozitivno definitna, če za vsak vektor x 6= 0velja xTAx > 0.

(e) Sistem Ax = b je najbolje reševati kot x = A−1b.

(f) Če rešujemo sistem ATAx = AT b, pravimo, da rešujemo normalni sistem(prirejen sistemu Ax = b).

(g) Reševanje predoločenih sistemov preko normalnega sistema je numeričnozelo stabilno.

(h) Reyleighov kvocient je formula, s katero dobimo dober približek za lastnivektor.

(i) Simpsonovo pravilo je točno za polinome stopnje ≤ 3.

(j) Poljubna Bézierova krivulja interpolira vse svoje kontrolne točke.

[15] 2. Odgovori na naslednja vprašanja:

(a) Kaj odloča o tem, ali navadna iteracija v bližini rešitve konvergira ali ne?

(b) Zapiši primer iteracijske funkcije za iskanje ničel funkcije f(x) = ex+lnx.

(c) Z vidika hitrosti konvergence primerjaj metodo s kvadratično konvergencov bližini rešitve z metodo z linearno konvergenco?

(d) Koliko začetnih približkov moramo na začetku poznati pri tangentni me-todi?

(e) Kaj mora veljati, da ima tangentna metoda v bližini rešitve α kubičnokonvergenco?

[15] 3. Reši sistem linearnih enačb Ax = b, kjer sta

A =

1 0 1 11 1 0 11 1 1 00 1 1 1

, b =

8769

.

Izračunaj še ‖L‖1 · ‖U‖∞.

32 2 IZPITI

[15] 4. Za naslednji sistem nelinearnih enačb naredi en korak Newtonove metodez začetnim približkom (x0, y0)

T = (1, 1)T :

x2 + y2 = 2, x2 − 2xy + y = 2.

[15] 5. Poišči negibne točke iteracije

xr+1 = Axr − x3r.

Za katere vrednosti parametra A so negibne točke privlačne točke? Za katerovrednost parametra A je asimptotočni red konvergence zaporedja {xr} protinegibni točki α vsaj kvadratičen?

[15] 6. Določi konstante A,B,C,D in E v integracijskem pravilu∫ h

−hf(x) dx = Af(−h) +Bf(0) + Cf(h) +Df ′(−h) + Ef ′(h) + Ff (m)(ξ).

[15] 7. Podani sta začetna in končna kontrolna točka kubične Bézierove krivulje p:b0= (1, 0)T in b3 = (0, 1)T . Določi še preostali kontrolni točki oblike b1 = (1, a)in b2 = (a, 1), tako da bo krivulja pri parametru t = 1

2 šla skozi točko p(12

)=(√

2,√2). Približno skiciraj krivuljo.

2.2 Šolsko leto 2009/2010 33

IZPIT

8. september 2010

[10] 1. Obkroži pravilne trditve:

(a) Tangentna metoda v okolici dvojne ničle konvergira kvadratično.

(b) Pri Newtonovi metodi nelinearen sistem enačb rešujemo tako, da rešimoveč linearnih sistemov.

(c) Permutacijske matrike P imajo občutjivost κ2(P ) := ‖P‖2 · ‖P−1‖2 enako1.

(d) Za matriko A rečemo, da je pozitivno definitna, če za vsak vektor x 6= 0velja xTAx > 0.

(e) Sistem Ax = b je najbolje reševati kot x = A−1b.

(f) Če rešujemo sistem ATAx = AT b, pravimo, da rešujemo normalni sistem(prirejen sistemu Ax = b).

(g) Reševanje predoločenih sistemov preko normalnega sistema je numeričnozelo stabilno.

(h) Reyleighov kvocient je formula, s katero dobimo dober približek za lastnivektor.

(i) Simpsonovo pravilo je točno za polinome stopnje ≤ 3.

(j) Poljubna Bézierova krivulja interpolira vse svoje kontrolne točke.

[15] 2. Odgovori na naslednja vprašanja:

(a) Kaj odloča o tem, ali navadna iteracija v bližini rešitve konvergira ali ne?

(b) Zapiši primer iteracijske funkcije za iskanje ničel funkcije f(x) = ex+lnx.

(c) Z vidika hitrosti konvergence primerjaj metodo s kvadratično konvergencov bližini rešitve z metodo z linearno konvergenco?

(d) Koliko začetnih približkov moramo na začetku poznati pri tangentni me-todi?

(e) Kaj mora veljati, da ima tangentna metoda v bližini rešitve α kubičnokonvergenco?

[15] 3. Reši sistem linearnih enačb Ax = b, kjer sta

A =

1 0 1 11 1 0 11 1 1 00 1 1 1

, b =

8769

.

Izračunaj še ‖L‖1 · ‖U‖∞.

34 2 IZPITI

[15] 4. Za naslednji sistem nelinearnih enačb naredi en korak Newtonove metodez začetnim približkom (x0, y0)

T = (1, 1)T :

x2 + y2 = 2, x2 − 2xy + y = 2.

[15] 5. Poišči negibne točke iteracije

xr+1 = Axr − x3r.

Za katere vrednosti parametra A so negibne točke privlačne točke? Za katerovrednost parametra A je asimptotočni red konvergence zaporedja {xr} protinegibni točki α vsaj kvadratičen?

[15] 6. Določi konstante A,B,C,D in E v integracijskem pravilu∫ h

−hf(x) dx = Af(−h) +Bf(0) + Cf(h) +Df ′(−h) + Ef ′(h) + Ff (m)(ξ).

[15] 7. Podani sta začetna in končna kontrolna točka kubične Bézierove krivulje p:b0= (1, 0)T in b3 = (0, 1)T . Določi še preostali kontrolni točki oblike b1 = (1, a)in b2 = (a, 1), tako da bo krivulja pri parametru t = 1

2 šla skozi točko p(12

)=(√

2,√2). Približno skiciraj krivuljo.

2.3 Šolsko leto 2010/2011

Šolsko leto 2010/2011

36 2 IZPITI

IZPIT

3. december 2010

[20] 1. Obkroži pravilne trditve (obkroži največ 5 odgovorov):

(a) Gauss-Seidelova metoda za iterativno reševanje sistemov linearnih enačbkonvergira hitreje kot Jacobijeva metoda.

(b) Zaporedje približkov pri iterativnem reševanju sistemov linearnih enačbne konvergira, če je neskončno norma iteracijske matrike večja od 1.

(c) Pri metodi najmanjših kvadratov za reševanje sistema Ax = b iščemovektor x, tako da je (Ax− b)T (Ax− b) minimalno.

(d) Klasični in modificirani Gram-Schmidtov postopek se eksaktno v ničemerne razlikujeta.

(e) Za vsako Givensovo rotacijo R velja RTR = I.

(f) Predoločene sisteme lahko rešujemo tudi preko singularnega razcepa.

(g) Reyleighov kvocient je najboljši približek za lastni vektor, ki pripada do-minantni lastni vrednosti.

(h) Z večanjem števila interpolacijskih točk, interpolacijski polinom konver-gira k funkciji, ki jo interpolira.

(i) Lagrangeevi bazni polinomi tvorijo particijo enote (se povsod seštejejo vena).

(j) Z Rombergovo metodo lahko zelo izboljšamo približek za točno vrednostintegrala, a ker je ta postopek zelo potraten, ga v praksi ne uporabljamo.

[15] 2. Poišči matrike L, U in P iz LU razcepa z delnim pivotiranjem za matriko

A =

1 1 12 3 44 9 16

.

Če veš, da je občutljivost κ∞(A) = 435, izračunaj ‖A−1‖∞.

[15] 3. S pomočjo Givensovih rotacij izračunaj QR razcep matrike

A =

8 40 126 30 −9

.

[15] 4. Naj bo M ∈ Rn×n matrika z nenegativnimi elementi, za katero velja

n∑j=1

mij = 1, i ∈ {1, 2, . . . , n}.

2.3 Šolsko leto 2010/2011 37

S pomočjo Gerschgorinovega izreka dokaži, da vse lastne vrednosti matrike Mležijo znotraj enotskega kroga {z ∈ C, |z| ≤ 1}.

Če naloge ne znaš dokazati v splošnem, jo dokaži za matriko

M =

0.8 0.1 0.10.3 0.2 0.50.2 0.6 0.2

.

Pokaži še, da enak razultat velja tudi za matrike M z nenegativnimi elementi,za katere velja

∑ni=1mij = 1 za vsak j ∈ {1, 2, . . . , n}.

[20] 5. Funkcijo

f(x) =5− x5 + x

interpoliramo v različnih točkah x0, x1, . . . , xn.

(a) Izpelji splošno formulo za deljeno diferenco f [x0, x1, . . . , xn].

(b) Kakšna je napaka interpolacije v točki x?

Namig : Upoštevaj formulo f(x) − In(x) = f [x0, x1, . . . , xn, x] (x − x0)(x −x1) · · · (x− xn).

[15] 6. Določi konstante A,B,C,D in m v pravilu za numerično odvajanje

f ′′(x1) = Af(x0) +Bf(x1) + Cf(x2) +Df (m)(ξ).

38 2 IZPITI

IZPIT

28. januar 2011

[20] 1. Obkroži pravilne trditve (obkroži največ 5 odgovorov):

(a) Dolžina mantise pri dvojni natančnosti je 64 bitov.

(b) Neodstranljiva napaka je napaka, ki nastane zaradi napake začetnih pri-bližkov.

(c) Pri bisekciji vedno uspešno poiščemo neko ničlo funkcije, če le začnemo zintervalom, v katerega krajiščih je funkcija različno predznačena.

(d) Pri tangentni metodi so vse fiksne točke odbojne točke.

(e) Za vsako simetrično matriko obstaja lastna vrednost, ki je po absolutnivrednosti večja od ∞-norme matrike.

(f) Za reševanje sistema linearnih enačb s spodnje trikotno matriko potrebu-jemo le O(n) operacij.

(g) Matrika, ki nastopa v normalnem sistemu je simetrična.

(h) Z inverzno iteracijo lahko poiščemo najmanjšo lastno vrednost po absolu-tni vrednosti.

(i) Gerschgorinov izrek nam natančno pove, kakšni sta najmanjša in največjalastna vrednost matrike.

(j) Konveksna ovojnica kontrolnih točk Bézierove krivulje vsebuje vse kon-trolne točke te krivulje.

[15] 2. Izračunaj ‖An‖1, ‖An‖∞, N∞(An) in ‖An‖F za matriko

An =

−n 0 0 · · · 0 10 −n 0 · · · 0 10 0 −n · · · 0 1...

......

. . ....

...0 0 0 · · · −n 11 2 3 · · · n− 1 −n

∈ Rn×n.

[15] 3. S pomočjo Gram-Schmidtove ortogonalizacije poišči QR razcep matrikeA in nato reši predoločen sistem Ax = b, pri čemer sta

A =

8 40 126 30 −9

, b =

1505−25

.

[20] 4. Poišči negibne točke iteracijske funkcije

xr+1 = g(xr) =x(x2 + 12)

3x2 + 4.

2.3 Šolsko leto 2010/2011 39

Za vsako od fiksnih točk ugotovi, ali je odbojna ali privlačna točka za funkcijog. Kakšen je red konvergence v okolici privlačnih točk.

[15] 5. Zapiši enačbo interpolacijskega polinoma stopnje 5, ki se s funkcijo f(x) =−x7 + x6 ujema trojno v točki 0 in trojno v točki 1.

[15] 6. Dana je parametrična polinomska krivulja

p(t) =

(t3 + 2t2 + 12t2 − t+ 2

), 0 ≤ t ≤ 1.

Zapiši jo v Bézierovi obliki.

40 2 IZPITI

IZPIT

28. junij 2011

[20] 1. Obkroži pravilne odgovore:

(a) Napaka metode je napaka, ki nastane zaradi zaokroževanja.DA NE

(b) Z bisekcijo najdemo vse ničle na izbranem intervalu.DA NE

(c) O konvergenci oz. divergenci iteracijske metode v bližini rešitve nelinearneenačbe odloča drugi odvod iteracijske funkcije.

DA NE

(d) Konvergenca tangentne metode je zelo odvisna od začetnega približka.DA NE

(e) Faktor Choleskega ima vse lastne vrednosti pozitivne.DA NE

(f) Gauss-Seidelova metoda ne konvergira nujno hitreje kot Jacobijeva me-toda.

DA NE

(g) Matrika Q v QR razcepu je simetrična matrika.DA NE

(h) Gerschgorinov izrek nam določa območja v kompleksni ravnini, kjer ležijolastni vektorji dane matrike.

DA NE

(i) Deljena diferenca je simetrična funkcija svojih argumentov.DA NE

(j) Če vse kontrolne točke Bézierove krivulje ležijo na neki premici, potemtudi Bézierova krivulja sama leži na tej premici.

DA NE

[15] 2. Izračunaj LU razcep brez pivotiranja za matriko

A =

4 3 1 4 34 7 3 6 50 16 10 12 90 0 6 13 40 0 0 2 3

.

Izračunaj še ‖U‖∞, ‖U‖1 in ‖L‖F .

2.3 Šolsko leto 2010/2011 41

[15] 3. Naredi dva koraka Newtonove metode za sistem nelinearnih enačb

x2 + 2y2 = 2, x2 − xy + y = 0,

pri začetnem približku (x0, y0)T = (1, 1)T .

[20] 4. Poišči negibne točke iteracijske funkcije

xr+1 = g(xr) = xr(3− 3 a xr + a2x2r), r = 0, 1, . . . , a 6= 0.

Za vsako od negibnih točk ugotovi, ali je odbojna ali privlačna točka za funkcijog. Kakšen je red konvergence v okolici privlačnih točk. Za x0 = 0.25 in a = 3izračunaj prva dva približka.

[15] 5. Določi konstante A,B,C,D in m v integracijskem pravilu∫ 4

0

f(x) dx = Af(0) +B f(2) + C f(4) +Df (m)(ξ).

[15] 6. Poišči pogoje, katerim morajo zadoščati kontrolne točke Bézierove krivuljestopnje 4, da bo le-ta v resnici krivulja stopnje 1.

42 2 IZPITI

IZPIT

5. september 2011

[20] 1. Obkroži pravilne odgovore:

(a) Napaka metode je napaka, ki nastane zaradi zaokroževanja.DA NE

(b) Z bisekcijo najdemo vse ničle na izbranem intervalu.DA NE

(c) O konvergenci oz. divergenci iteracijske metode v bližini rešitve nelinearneenačbe odloča drugi odvod iteracijske funkcije.

DA NE

(d) Konvergenca tangentne metode je zelo odvisna od začetnega približka.DA NE

(e) Faktor Choleskega ima vse lastne vrednosti pozitivne.DA NE

(f) Gauss-Seidelova metoda ne konvergira nujno hitreje kot Jacobijeva me-toda.

DA NE

(g) Matrika Q v QR razcepu je simetrična matrika.DA NE

(h) Gerschgorinov izrek nam določa območja v kompleksni ravnini, kjer ležijolastni vektorji dane matrike.

DA NE

(i) Deljena diferenca je simetrična funkcija svojih argumentov.DA NE

(j) Če vse kontrolne točke Bézierove krivulje ležijo na neki premici, potemtudi Bézierova krivulja sama leži na tej premici.

DA NE

[15] 2. Izračunaj LU razcep brez pivotiranja za matriko

A =

4 3 1 4 34 7 3 6 50 16 10 12 90 0 6 13 40 0 0 2 3

.

Izračunaj še ‖U‖∞, ‖U‖1 in ‖L‖F .

2.3 Šolsko leto 2010/2011 43

[15] 3. Naredi dva koraka Newtonove metode za sistem nelinearnih enačb

x2 + 2y2 = 2, x2 − xy + y = 0,

pri začetnem približku (x0, y0)T = (1, 1)T .

[20] 4. Poišči negibne točke iteracijske funkcije

xr+1 = g(xr) = xr(3− 3 a xr + a2x2r), r = 0, 1, . . . , a 6= 0.

Za vsako od negibnih točk ugotovi, ali je odbojna ali privlačna točka za funkcijog. Kakšen je red konvergence v okolici privlačnih točk. Za x0 = 0.25 in a = 3izračunaj prva dva približka.

[15] 5. Določi konstante A,B,C,D in m v integracijskem pravilu∫ 4

0

f(x) dx = Af(0) +B f(2) + C f(4) +Df (m)(ξ).

[15] 6. Poišči pogoje, katerim morajo zadoščati kontrolne točke Bézierove krivuljestopnje 4, da bo le-ta v resnici krivulja stopnje 1.

2.4 Šolsko leto 2011/2012

Šolsko leto 2011/2012

2.4 Šolsko leto 2011/2012 45

IZPIT

30. januar 2012

1. Dane so točke v R2 :

(−2,−6), (0, 2), (1, 0), (2,−8).

Te točke aproksimirajte s parabolo y = ax2 + b po metodi najmanjšihkvadratov.

2. a) Kaj so to deljene diference? Kako jih računamo?

b) Zapišite interpolacijski polinom p za katerega velja

p(0) = −2, p′(0) = 2, p′′(0) = 6, p(2) = 6, p(3) = −2

in izračunajte njegovo vrednost v točkah 1 in 2.

3. Naj bodo točke xi = x0 + ih, i = 1, 2, 3, izbrane ekvidistantno in naj veljafi := f(xi).Z metodo nedoločenih koeficientov izpeljite Milneovo pravilo∫ x4

x0

f(x)dx =4

3h(2f1 − f2 + 2f3

)+

14

45h5f (4)(ξ).

4. Naj bosta A in B kvadratni matriki, A,B ∈ Rn×n. Dokažite naslednjitrditvi:

a) Matriki AB in BA imata enake lastne vrednosti.

b) Če sta AB in BA simetrični matriki, potem velja

‖AB‖F ≤ ‖BA‖F .

2.5 Šolsko leto 2012/2013

Šolsko leto 2012/2013

2.5 Šolsko leto 2012/2013 47

IZPIT

24. januar 2013

1. [9] Odgovorite na naslednja vprašanja:

a) V ravnini imamo danih 6 točk. Želimo konstruirati polinom, ki tetočke interpolira. Kakšne stopnje bo ta polinom? Kako bi ga določili?

b) V ravnini imamo danih 100 točk. Bi bil interpolacijski polinom pri-meren za interpolacijo teh točk ali bi uporabili kaj drugega? Kaj?Odgovor utemeljite.

c) V čem je razlika med interpolacijo in aproksimacijo, kamor med dru-gim spada tudi reševanje predoločenih sistemov?

2. [13] Dana je matrika

A =

1 1 0 11 5 4 50 4 8 61 5 6 7

.

Poiščite matriko V iz razcepa Choleskega za matriko A. Izračunajte še‖V ‖1 in ‖V ‖∞ ter ocenite ‖V ‖2.

3. [13] Dane so točke (0, 0)>, (1, 1)>, (3,−1)>. Zapišite kvadratno Bézierovo kri-vuljo, ki te točke interpolira pri parametrih 0, 1

3 , 1. Dobljen kontrolnipoligon in krivuljo tudi skicirajte.

4. [15] Naj bodo točke ekvidistantne. Izpeljite integracijsko pravilo∫ x2

x0

f(x)dx = h (Af(x0)+Bf(x1)+Cf(x2))+h2 (Df ′(x0)+Ef

′(x2))+Ff(m)(ξ),

kjer je x0 < ξ < x2, z metodo nedoločenih koeficientov: konstante A,B,C,D,E,F in m določite tako, da bo pravilo čim višje stopnje.

48 2 IZPITI

IZPIT

7. februar 2013

1. [10] a) Zapišite Newtonov interpolacijski polinom p, za katerega velja:

p(0) = 1, p′(0) = 0, p(3) = 0, p′(3) = 1.

b) Opišite dve lastnosti Bézierovih krivulj. Ali Bézierova krivulja inter-polira svoje kontrolne točke?

2. [30] Želimo izračunati 3√17. Katero izmed naslednjih metod bi izbrali:

a) xn+1 =

(17

xn

) 12

, b) xn+1 = xn−x3n − 17

3x2n, c) xn+1 = xn−

x4n − 17xnx2n − 17

?

Odgovor natančno utemeljite.

3. [30] S pomočjo LU razcepa brez pivotiranja rešite sistem linearnih enačb:

2x1 + x2 = 2,

x1 − x2 +1

2x3 = 3,

2x1 −1

2x2 + 3x3 = −1.

4. [30] Imamo tabelarično podano funkcijo:

x 1.9 2.0 2.1f(x) 12.703 14.778 17.149 .

Želimo izračunati vrednost drugega odvoda funkcije f v točki x = 2.0.Izpeljite ustrezno formulo za numerični odvod in f ′′(2.0) tudi izračunajte.

Namig: Z metodo nedoločenih koeficientov izpeljite formulo za ekvidis-tantne točke:

f ′′(x1) = Af(x0) +Bf(x1) + Cf(x2) +Df (m)(ξ),

kjer je x0 < ξ < x2.

2.5 Šolsko leto 2012/2013 49

IZPIT

3. junij 2013

1. [10] Tri točke P0, P1, P2 in pripadajoče tangente d0, d1, d2 interpoliramo z Bé-zierovo krivuljo.

a) Kakšne stopnje je dobljena krivulja? Ali je pomemben vrstni red vkaterem interpoliramo podatke?

b) Kaj mora veljati za prvi kontrolni točki sosednje Bézierove krivulje,če želimo, da bo njun zlepek reda G1?

2. [30] Dana je matrika

A =

0 1 11 −1 −21 −3 1

.

a) Izračunajte razcep oblike A = P>LU, kjer je P permutacijska ma-trika, L spodnje trikotna z enicami na diagonali, U pa zgornje tri-kotna matrika. Utemeljite zakaj so elementi matrike L po absolutnivrednosti ≤ 1.

b) S pomočjo točke a) izračunajte determinanto matrike A.

3. [30] Dana je funkcija

f(t) = cos

(πt

2

)in vrh robotske roke, ki se giblje po ravnini. Določite polinom p po kateremse mora ta premikati, tako da se bo s funkcijo f ujemal v točkah t0 = 0,t1 = 2/3 in t2 = 1. Ocenite tudi napako max |f(t)− p(t)| za t ∈ [0, 1]!

4. [30] Želimo določiti x ∈ R za katerega velja∫ x

0

1√2πe−

t2

2 dt = 0.31. (2.1)

a) Uporabite tangentno (Newtonovo) metodo in zapišite iteracijsko for-mulo za reševanje enačbe (2.2).

b) Naj bo prvi približek dobljene iteracijske formule enak x0 = 0.5.S pomočjo sestavljenega Simpsonovega pravila (n = 4) izračunajtenaslednji približek x1.

50 2 IZPITI

IZPIT

29. avgust 2013

1. [10] Tri točke P0, P1, P2 in pripadajoče tangente d0, d1, d2 interpoliramo z Bé-zierovo krivuljo.

a) Kakšne stopnje je dobljena krivulja? Ali je pomemben vrstni red vkaterem interpoliramo podatke?

b) Kaj mora veljati za prvi kontrolni točki sosednje Bézierove krivulje,če č zelimo, da bo njun zlepek reda G1?

2. [30] Dana je matrika

A =

0 1 11 −1 −21 −3 1

.

a) Izračunajte razcep oblike A = P>LU, kjer je P permutacijska ma-trika, L spodnje trikotna z enicami na diagonali, U pa zgornje tri-kotna matrika. Utemeljite zakaj so elementi matrike L po absolutnivrednosti ≤ 1.

b) S pomočjo točke a) izračunajte determinanto matrike A.

3. [30] Dana je funkcija

f(t) = cos

(πt

2

)in vrh robotske roke, ki se giblje po ravnini. Določite polinom p po kateremse mora ta premikati, tako da se bo s funkcijo f ujemal v točkah t0 = 0,t1 = 2/3 in t2 = 1. Ocenite tudi napako max |f(t)− p(t)| za t ∈ [0, 1]!

4. [30] Želimo določiti x ∈ R za katerega velja∫ x

0

1√2πe−

t2

2 dt = 0.31. (2.2)

a) Uporabite tangentno (Newtonovo) metodo in zapišite iteracijsko for-mulo za reševanje enačbe (2.2).

b) Naj bo prvi približek dobljene iteracijske formule enak x0 = 0.5.S pomočjo sestavljenega Simpsonovega pravila (n = 4) izračunajtenaslednji približek x1.

2.6 Šolsko leto 2013/2014

Šolsko leto 2013/2014

52 2 IZPITI

IZPIT

27. januar 2014

1. [10] a) Linearni sistem enačb

8x1 + 2x2 + x3 = 5

5x2 + x3 = 1

6x3 = 2

želimo rešiti iterativno. Kateri metodi poznate? Katera bi za dansistem konvergirala hitreje?

b) S pomočjo deljenih diferenc zapišite polinom p za katerega velja

p(0) = 1, p′(0) = 2, p(2) = −1, p′(2) = 1.

Kakšne stopnje bi bil interpolacijski polinom, če bi dodatno interpo-lirali še vrednosti drugih odvodov?

c) Integracijsko pravilo∫ 1

−1 f(x)dx =̇Af(−1)+Bf(0)+Cf(1) je točnoza vse polinome stopnje ≤ 2. Določite konstante A,B,C.

2. [10] Za matriko

A =

4 −2 0 2−2 5 2 −10 2 10 02 −1 0 2

izračunajte matriko V iz razcepa Choleskega. Kaj vam to pove o matrikiA? Ocenite lastne vrednosti matrike A.

3. [15] Z metodo nedoločenih koeficientov izpeljite naslednjo metodo za nume-rično odvajanje:

f ′(x2) =1

h

(1

2f(x0)− 2f(x1) +

3

2f(x2)

)+h3

3f (3)(ξ), x0 < ξ < x2.

Nato s pomočjo dobljenega pravila ocenite f ′(1.2), če poznate vrednostfunkcije f v treh točkah, f(0.8) = 4.01, f(1) = 5.44, f(1.2) = 7.30.

4. [15] Naj za kubično Bézierovo krivuljo p velja

p(0) = (0, 0)>, p

(1

3

)=

(26

27,4

3

)>, p(1) = (2, 0)>.

Določite vse kontrolne točke krivulje p, Če sta druga in tretja kontrolnatočka oblike b1 = (x1, 2)

> in b2 = (2, y2)>. Zapišite iskano Bézierovo

krivuljo in jo skicirajte.

2.6 Šolsko leto 2013/2014 53

IZPIT

10. februar 2014

1. [5] Zapišite splošno obliko Bézierove krivulje. Ali lahko vsako polinomskokrivuljo zapišemo v Bézierovi obliki? Naštejte tri lastnosti Bézierovihkrivulj.

2. [15] Želimo izračunati 5√15. Dani imamo naslednji dve metodi:

a) xr+1 = xr −x5r − 15

40, b) xr+1 = xr −

x5r − 15

5x4r.

Za obe metodi preverite ali bosta konvergirali in določite red konvergence.Za tangentno metodo poiščite območje, kjer metoda zagotovo konvergira.

3. [10] Dana je matrika

A =

1 0 −11 0 −30 1 10 −1 1

.

a) Z Gram-Schmidtovim postopkom izračunajte QR razcep matrike A.

b) S pomočjo dobljenega razcepa izračunajte produkta QTQ in QQT .Kaj opazite?

4. [10] V statistiki večkrat uporabljamo matriko H,

H = X(XTX)−1XT , X ∈ Rm×n, m ≥ n, rangX = n,

in pogosto nas zanimajo le diagonalni elementi te matrike.Sestavite učinkovit algoritem za izračun teh diagonalnih elementov. Na-mig: Pomagajte si s QR razcepom matrike X.

5. [10] Določite interpolacijski polinom p, ki se s funkcijo f(x) = ex ujema trojno(v točkah ter prvih in drugih odvodih) pri x = 0 in x = 1. Ocenite napakointerpolacije.

54 2 IZPITI

IZPIT

11. junij 2014

1. [7] Kaj so deljene diference? Za funkcijo f(x) = x cos(x) izračunajte f [0, 0, π, π].Pojasnite, kaj predstavlja dobljena deljena diferenca.

2. [14] S pomočjo Givensovih rotacij in QR razcepa rešite sistem enačb

x− y = 0,

−x+ 2y = 1,

−y + 2z = 1.

3. [14] Rešiti želimo enačbo ex = 1x .

a) Katere numerične metode za reševanje te enačbe poznate? Eno na-tančno opišite.

b) Denimo, da uporabimo iteracijsko formulo

xr+1 =x2r + xr

1 + 2xr + lnxr.

Določite red konvergence.

4. [15] Naj bodo točke ekvidistantne. Izpeljite integracijsko pravilo∫ x2

x0

f(x)dx = h (Af(x0)+Bf(x1)+Cf(x2))+h2 (Df ′(x0)+Ef

′(x2))+Ff(m)(ξ),

kjer je x0 < ξ < x2, z metodo nedoločenih koeficientov: konstante A,B,C,D,E,F in m določite tako, da bo pravilo čim višje stopnje.

2.6 Šolsko leto 2013/2014 55

IZPIT

1. september 2014

1. [5] Naj bo α rešitev enačbe x = g(x). Kdaj pravimo, da je red konvergenceiteracije xr+1 = g(xr) v bližini α enak 4?

2. [12] Za

A =

−2 3 4−4 7 80 4 4

izračunajte LU razcep z delnim pivotiranjem. Zakaj so elementi matrikeL po absolutni vrednosti ≤ 1? Izračunajte ‖L‖1‖U‖∞.

3. [10] Zapišite interpolacijski polinom, ki se s funkcijo f(x) = e−x ujema trojnov točki x = 0 in dvojno v točki x = 1.

4. [10] Z uporabo Newtonove metode poiščite prvi približek za rešitev sistema

xy = 4, xz = 12, yz = 6.

Za začetni približek vzamite (x, y, z) = (1, 1, 1).

5. [13] Izpeljite integracijsko pravilo∫ h

−hf(x)dx = Af(−h) +Bf(0)+Cf(h) +Df ′(−h) +Ef ′(h) +Ff (m)(ξ),

kjer je−h < ξ < h, z metodo nedoločenih koeficientov: konstante A,B,C,D,E,F in m določite tako, da bo pravilo čim višje stopnje.