osnove elektrotehnike za mehatronike epublikacija

Peter Kitak

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE ZA

MEHATRONIKE skripta, E-publikacija

Maribor, 2012

Naslov publikacije: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE ZA MEHATRONIKE

Vrsta publikacije: skripta, E-publikacija

Avtor: doc. dr. Peter Kitak

Strokovna recenzija: red. prof. dr. Igor Tičar, UM FERI

red. prof. dr. Vitodrag Kumperščak, UM FERI

Jezikovna recenzija: Janja Kitak, prof. slov. jezika

Založništvo: Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru

Dostopno: https://estudij.uni-mb.si/course/view.php?id=5263

http://www.pe.feri.uni-mb.si/podrocje.aspx?id=60

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 621.3(075.8)(0.034.2) KITAK, Peter Osnove elektrotehnike za mehatronike [Elektronski vir] / Peter Kitak. - El. knjiga. - Maribor : Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, 2011 Način dostopa (URL): https://estudij.uni-mb.si/course/view.php?id=5263 Način dostopa (URL): http://www.pe.feri.uni-mb.si/podrocje.aspx?id=60 ISBN 978-961-248-309-8 COBISS.SI-ID 67838977

Copyright 2012, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru, Laboratorij za osnove in teorijo v elektrotehniki

https://estudij.uni-mb.si/course/view.php?id=5263


https://estudij.uni-mb.si/course/view.php?id=5263


II

PREDGOVOR

Pred vami je novo študijsko gradivo v elektronski obliki, namenjeno predvsem študentom mehatronike tako na visokošelskem kot univerzitetnem študijskem programu. S pomočjo te skripte bodo študenti mehatronike spoznali nekaj osnovnih pojmov in zakonitosti s področja elektrotehnike, saj le-ta predstavlja fizikalno osnovo elektromehanskih naprav ter elektronskih komponent.

Obseg snovi v skripti Osnove elektrotehnike za mehatronike je razdeljen v devet poglavij in je po obsegu prilagojen študijskemu programu mehatronike. Po uvodnem delu so vsebine podane v treh približno enako obsežnih sklopih. Prvi sklop zajema dve okvirni poglavji: - Elektrostatično polje, kjer so opisani fizikalni pojavi, ki jih mirujoče elektrine

povzročajo v dielektrikih (tj. v snoveh, ki so praktično brez gibljivih nosilcev elektrin). - Tokovno polje, kjer so opisani fizikalni pojavi, ki imajo za posledico enakomerno

gibane elektrine (enosmerne toke) v prevodnikih (tj. v snoveh, ki imajo obilo gibljivih nosilcev elektrin).

Drugi sklop zajema tri okvirna poglavja: - Časovno nespremenljiva magnetna polja (stacionarna magnetna polja), kjer so

opisani magnetni pojavi, ki jih povzročajo enosmerni toki, tj. enakomerno gibane elektrine ali pa trajni magneti.

- Časovno spremenljiva magnetna polja, kjer je opisana elektromagnetna indukcija in vsi pojavi, ki jih povzročajo časovno spremenljiva magnetna polja tj. časovno spremenljivi toki.

- Energijske razmere v magnetnem polju. Tretji sklop zajema tri okvirna poglavja: - Izmenične veličine, kjer so predstavljene harmonske časovne funkcije s trenutnimi

vrednostmi in v kompleksni ravnini. - Idealna izmenična vezja, kjer je obravnavana uporaba osnovnih zakonitosti

elektrotehnike v harmonično vzbujanih vezjih z idealnimi elementi. - Resonačni pojavi v vezjih z idealnimi elementi. Za nazornejšo predstavitev so nekatere skice dopolnjene z numeričnimi simulacijami električnih in magnetnih polj. To sicer ni stvar obravnave te snovi, vendar grafične predstavitve in računalniške animacije električnih ter magnetnih polj in pojavov omogočajo dodatno, še kako pomembno, utrjevanje teoretično dognanih spoznanj. avtor

Maribor, januar 2012

Kazalo vsebine

1 UVOD ...................................................................................................................................................... 1

1.1 ZAKONITOSTI NARAVNIH POJAVOV .............................................................................................................. 1 1.2 INTERNACIONALNI SISTEM ENOT (SI) ........................................................................................................... 2

2 ELEKTROSTATIČNO POLJE .................................................................................................................. 3

2.1 ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST ....................................................................................................................... 3 2.1.1 Elektrine ................................................................................................................................................ 3 2.1.2 Coulombov zakon ................................................................................................................................. 4 2.1.3 Površinska gostota elektrine ................................................................................................................. 6 2.1.4 Absolutna in relativna dielektrična konstanta ...................................................................................... 8 2.1.5 Grafična predstavitev elektrostatičnega polja s silnicami ................................................................... 8 2.1.6 Prevodno telo v električnem polju ........................................................................................................ 9

2.1.7 Izračun gostote električnega pretoka D in električne poljske jakosti E za osamljene elementarne elektrine v praznem prostoru....................................................................................................................... 11

2.2 ELEKTRIČNI POTENCIAL IN NAPETOST ........................................................................................................ 12 2.2.1 Definicija električnega potenciala in napetosti ................................................................................... 12 2.2.2 Določitev električnega potenciala za osamljene elektrine .................................................................. 14

2.3 ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST IN ELEKTRIČNI POTENCIAL ZA ELEKTRIČNO POLJE VEČ ELEKTRIN ................ 18 2.3.1 Električno polje vzporednih premih elektrin ....................................................................................... 18 2.3.2 Električno polje vzporednih naelektrenih ravnin ................................................................................. 23

2.4 ELEKTROSTATIČNO POLJE V SNOVNIH DIELEKTRIKIH .................................................................................. 25 2 4.1 Vpliv dielektrika na električno polje ................................................................................................... 25 2.4.2 Polarizacija dielektrika ....................................................................................................................... 25 2.4.3 Prehod električnega polja na meji dveh dielektrikov ......................................................................... 27 2.4.4 Uporaba slojnih dielektrikov ............................................................................................................... 31

2.5 KAPACITIVNOSTI IN KONDENZATORJI ......................................................................................................... 32 2.5.1 Definicija kapacitivnosti ...................................................................................................................... 33 2.5.2 Izračun kapacitivnosti kondenzatorjev ............................................................................................... 33 2.5.3 Vezave kondenzatorjev ....................................................................................................................... 36

2.6 ENERGIJA ELEKTRIČNEGA POLJA ................................................................................................................. 40

3 TOKOVNO POLJE ................................................................................................................................... 41

3.1 OSNOVNE ZAKONITOSTI TOKOVNIH POLJ ............................................................................................... 41 3.1.1 Definicija in enota električnega toka .................................................................................................. 41 3.1.2 Gostota električnega toka .................................................................................................................. 42 3.1.2 Električno polje v prevodni sovi .......................................................................................................... 45

3.2 OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI ................................................................................................... 47 3.2.1 Svojska prevodnost in svojska upornost ............................................................................................. 49

3.3 OHMOV ZAKON V INTEGRALNI OBLIKI ........................................................................................................ 51 3.4 MOČ IN DELO V TOKOVNEM POLJU ............................................................................................................ 52 3.5 OSNOVNE ZAKONITOSTI ENOSMERNIH ELEKTRIČNIH VEZIJ ....................................................................... 55

3.5.1 Viri električne napetosti ..................................................................................................................... 55 3.5.2 Viri električnega toka ......................................................................................................................... 57 3.5.3 Prvi Kirchhoffov zakon ali zakon vozlišča ............................................................................................ 59 3.5.4 Drugi Kirchhoffov zakon ali zakon zanke ............................................................................................ 60 3.5.5 Vezave ohmskih uporov ...................................................................................................................... 62

3.6 METODE IZRAČUNA LINEARNIH ELEKTRIČNIH VEZIJ .................................................................................. 65 3.6.1 Direktna metoda ................................................................................................................................. 66 3.6.2 Metoda zančnih tokov ........................................................................................................................ 67

4 ČASOVNO NESPREMENLJIVO MAGNETNO POLJE .................................................................................. 69

4.1 MAGNETNI POJAVI .................................................................................................................................. 69

IV

4.2 MAGNETNA POLJSKA JAKOST ................................................................................................................. 71 4.2.1 Eksperimentalno določanje oblike in jakosti magnetnega polja z magnetometrom .................... 71 4.2.2 Amperov zakon in magnetna napetost ......................................................................................... 74 4.2.3 Primeri določitve magnetne poljske jakosti z uporabo Amperovega zakona ................................ 75 4.2.4 Biot-Savartov zakon ...................................................................................................................... 80

4.3 SILE NA GIBANE ELEKTRINE V MAGNETNEM POLJU ............................................................................................... 83 4.3.1 Gostota magnetnega pretoka ....................................................................................................... 84 4.3.2 Magnetni pretok............................................................................................................................ 86 4.3.3 Sile na tokovodnik v magnetnem polju ......................................................................................... 88

4.4 MAGNETNA POLJA V MAGNETNIH SNOVEH ........................................................................................................ 91 4.4.1 Relativna permeabilnost ............................................................................................................... 91 4.4.2 Razlogi različnega magnetnega obnašanja snovi ......................................................................... 92 4.4.3 Magnetilne krivulje feromagnetnih snovi ..................................................................................... 94

5 ČASOVNO SPREMENLJIVO MAGNETNO POLJE ...................................................................................... 97

5.1 INDUCIRANO ELEKTRIČNO POLJE ................................................................................................................. 97 5.1.1 Elektromagnetna indukcija ........................................................................................................... 97 5.1.2 Inducirana napetost ...................................................................................................................... 99 5.1.3 Posplošena oblika zakona o inducirani napetosti........................................................................ 101

5.2 PRAKTIČNI ZGLEDI DOLOČANJA INDUCIRANE NAPETOSTI ................................................................................ 103 5.3 MAGNETNI SKLEP....................................................................................................................................... 107 5.4 INDUKTIVNOSTI ......................................................................................................................................... 108

5.4.1 Lastna induktivnost ..................................................................................................................... 109 5.4.2 Medsebojne induktivnosti ........................................................................................................... 110

6 ENERGIJA MAGNETNEGA POLJA.......................................................................................................... 113

7 IZMENIČNE VELIČINE ........................................................................................................................... 117

7.1 VRSTE IZMENIČNIH VELIČIN .............................................................................................................................. 117 7.2 OPREDELITEV ELEMENTOV V IZMENIČNIH TOKOKROGIH ......................................................................................... 118 7.3 HARMONSKE ČASOVNE FUNKCIJE ...................................................................................................................... 120 7.4 SREDNJE VREDNOSTI IZMENIČNIH VELIČIN ........................................................................................................... 122 7.5 PREDSTAVITEV HARMONSKIH ČASOVNIH FUNKCIJ V KOMPLEKSNI RAVNINI ................................................................. 124

7.5.1 Uporaba kompleksnega računa pri izračunu stacionarnih električnih vezij ..................................... 126 7.5.2 Primeri uporabe simbolične metode ................................................................................................. 127

7.6 FOURIERJEVA ANALIZA .................................................................................................................................... 131

8 IZMENIČNI TOKOKROGI Z IDEALNIMI ELEMENTI ................................................................................. 133

8.1 SPLOŠNO O TOKOKROGIH Z IDEALNIMI ELEMENTI .................................................................................................. 133 8.2 TOKOKROG Z IDEALNO OHMSKO UPORNOSTJO R .................................................................................................. 135 8.3 TOK IN NAPETOST NA IDEALNI TULJAVI ............................................................................................................... 137 8.4 TOK IN NAPETOST NA IDEALNEM KONDENZATORJU ............................................................................................... 139 8.5 TOK IN NAPETOSTI NA ZAPOREDNI VEZAVI R, L IN C .............................................................................................. 142 8.6 NAPETOST IN TOKI V VZPOREDNI VEZAVI R, L IN C ................................................................................................ 144 8.7 MOČI IN ENERGIJE NA IDEALNIH ELEMENTIH ....................................................................................... 146

8.7.1 Definicija trenutnih in kompleksnih moči.......................................................................................... 146 8.7.2 Moč in energija na idealnem ohmskem uporu ................................................................................. 149 8.7.3 Moč in energija na idealni tuljavi ..................................................................................................... 150 8.7.4 Moč in energija na idealnem kondenzatorju .................................................................................... 151 8.7.5 Moči in energiji v zaporedni vezavi RLC ............................................................................................ 152 8.7.6 Moči in energiji v vzporedni vezavi RLC ............................................................................................ 153 8.7.7 Moči in energije v poljubni vezavi RLC .............................................................................................. 154

9 RESONANČNI POJAVI V VEZJIH Z IDEALNIMI ELEMENTI ...................................................................... 155

9.1 UVOD V RESONANCO ...................................................................................................................................... 155

9.2 IDEALNA ZAPOREDNA RESONANČNA VEZAVA ....................................................................................................... 156 9.3 IDEALNA VZPOREDNA RESONANČNA VEZAVA ....................................................................................................... 160 9.4 KOMPENZACIJA JALOVE ENERGIJE ...................................................................................................................... 164

9.4.1 Fizikalno in ekonomsko ozadje kompenzacije................................................................................... 164 9.4.2 Čista kompenzacija ........................................................................................................................... 165 9.4.3 Kompenzacija ob dodatni obremenitvi ............................................................................................. 166

LITERATURA ................................................................................................................................................. 168

1

1 UVOD

1.1 ZAKONITOSTI NARAVNIH POJAVOV

Naravoslovna disciplina, ki se ukvarja z obravnavo in razlago naravnih pojavov, je fizika; disciplina, ki se ukvarja z njihovo uporabo, pa tehnika. Čeprav se obe ukvarjata z istim področjem, kljub temu nista eno in isto. Tako fiziki iščejo predvsem splošne naravne zakone, ki naj veljajo za čim več sorodnih področij. Nasprotno pa tehnike poleg osnovnih zakonitosti zanimajo predvsem razlike med sorodnimi pojavi.

Naravni zakon, ki opredeljuje zakonitost, veljavno za celo skupino sorodnih pojavov, imenujemo osnovni zakon. Naravni zakon, ki opredeljuje zakonitost le za enega od sorodnih naravnih zakonov, imenujemo specialni ali izpeljani zakon. Ime izvira iz dejstva, da ga je z nekaj matematične spretnosti vselej mogoče izpeljati iz osnovnega zakona.

Vse fizikalne veličine smemo razvrstiti v dve veliki skupini:

a) integralne in b) diferencialne veličine.

Pojma integralna in diferencialna veličina seveda nimata matematičnega pomena. Izraz integralni pomeni zgolj to, da velja za celoten prostor, izraz diferencialni pa, da le v določeni točki prostora. Tudi večina osnovnih zakonov se pojavlja v dveh oblikah. Integralna oblika osnovnega zakona zopet velja za celoten prostor, diferencialna pa le v dani točki prostora. V integralni obliki osnovnega zakona nastopajo le integralne veličine, v diferencialni obliki istega zakona pa le integralnim veličinam pripadajoče diferencialne veličine.

Pravkar zapisano si poglejmo na primeru Ohmovega zakona:

Osnove elektrotehnike za mehatronike

2

Integralna oblika Diferencialna oblika

I U G J E

I – enosmerni električni tok v vezju v A J – gostota električnega toka v A/m2,

U – nosmerna napetost v V E – električna poljska jakost v V/m G – ohmska prevodnost vezja v S – svojska ohmska prevodnost v S/m

Iz zapisanega je razvidno, da imata obe obliki povsem enako strukturo in da so pripadajoče diferencialne veličine vselej podane kot integralne veličine na enoto dolžine, ploskve ali prostornine.

1.2 INTERNACIONALNI SISTEM ENOT (SI)

V osnovnih (in seveda tudi izpeljanih) zakonih so fizikalne veličine povezane z nekim matematičnim predpisom. Vsaka od nastopajočih fizikalnih veličin je opredeljena, če poznamo njeno vrednost in enoto. Vrednost fizikalne veličine navedemo torej tako, da jo primerjamo z izbrano enoto veličine.

V zgodovinskem razvoju fizike niso takoj dojeli celovitosti vseh fizikalnih pojavov in so v začetku izbirali enote po praktičnem premisleku. To je imelo tako dobro kot tudi slabo stran. Dobra stran je bila, da je bila enota navadno izbrana lepo na sredini delovnega področja, slaba pa, da smo za medsebojno usklajevanje poljubno izbranih veličin potrebovali pretvorniške faktorje.

Zato so se dogovorili in uzakonili mednarodni sistem enot (SI), v katerem so svobodno izbrali enote le za sedem fizikalnih veličin, ki jih imenujemo osnovne fizikalne veličine. Njihove enote sestavljajo osnovni sistem enot. Enote vseh drugih veličin izpeljemo iz osnovnih zakonov ali definicij z uporabo osnovnega sistema enot. To so izvedene ali izpeljane enote, povezavo z osnovnimi enotami pa podaja dimenzijska enačba veličine. V tabeli 1.1 je podan osnovni sistem enot.

Tabela 1.1 Osnovni sistem enot

Veličina Osnovna enota Oznaka enote

dolžina meter m masa kilogram kg čas sekunda s električni tok amper A termodinamična temperatura kelvin K svetilnost kandela cd količina snovi mol mol

Če vstavljamo v enačbe vse veličine v osnovnih enotah, bo tudi rezultat v osnovni enoti. Enote izpeljanih veličin dobimo kot produkt in/ali kvocient osnovnih enot.

3

2 ELEKTROSTATIČNO POLJE

Elektrostatično polje je prostor, v katerem na mirujoče elektrine delujejo električne sile. Da bi elektrine mirovale, mora prostor izpolnjevati snov, ki nima prostih nosilcev elektrin, torej dielektrik oziroma izolator. Ker so tudi v snovni strukturi dielektrika vsebovane negibljive elektrine, bo zaradi sil nanje dielektrik v električnem polju v električno napetem stanju; v njem nakopičeno energijo imenujemo energija električnega polja.

2.1 ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST

Elektrostatično polje je v celoti določeno, če je mogoče v poljubni točki polja določiti silo

F , s katero elektrostatično polje učinkuje na elektrino Q. Zato moramo najprej definirati elektrino ali električni naboj.

2.1.1 Elektrine

Elektrine so povzročitelji prav vseh elektromagnetnih pojavov. Njihovega bistva ne poznamo, poznamo pa njihove lastnosti:

Elektrina nima izmerljive teže. Nosilec, na katerem sedi, ni zaradi njene prisotnosti nič težji.

Poznamo dve vrsti elektrin: pozitivno in negativno. Učinki dveh blizu ležečih enako velikih raznoimenskih elektrin se navzven kompenzirajo. Vse električne pojave povzročajo le presežki elektrin, zato bomo pod pojmom elektrina vedno razumeli presežek ene elektrine nad drugo.

Med elektrinami delujejo privlačne ali odbojne sile. Dve raznoimenski elektrini se privlačita, dve istoimenski se odbijata.


4

Slika 2.1: Sili med elektrinama

Elektrine so kvantizirane. Vsaka elektrina Q je vedno celoštevilčni mnogokratnik elementarnega kvanta elektrine e:

Q n e (2.1)

Nosilci elementarnih kvantov elektrine so nekateri delci atoma. Tako je proton nosilec pozitivnega kvanta elektrine +e in elektron nosilec negativnega kvanta elektrine -e. Elektrina je gibljiva le, če je gibljiv njen nosilec.

Enoto elektrine 1 C (Coulomb) tvori 186,25 10 elementarnih kvantov elektrine:

181C 6,25 10 e (2.2)

In obratno je velikost elementarnega kvanta elektrine e:

181 0,16 10 Ce (2.3)

Enoto elektrine 1C pogosto raje označujejo z 1As, kar izhaja iz dimenzijske povezave elektrine in električnega toka.

2.1.2 Coulombov zakon

Električne sile med elektrinami imenujemo tudi Coulombove sile. Ime so dobile po Charlesu A. Coulombu (1736–1806), ki je kvantitativno opredelil velikost električnih sil med elektrinami.

Coulombov zakon je eden prvih eksperimentalno ugotovljenih zakonov elektrotehnike. V svoji splošni obliki ne velja le za mirujoče elektrine, temveč za vsa področja elektrotehnike. Tako je leta 1785 Coulomb s torzijsko tehtnico meril sili med "točkastima" elektrinama 1 2 in Q Q , ki sta bili v medsebojni razdalji r, in prišel do

naslednjih sklepov:

Slika 2.2: Coulombova sila med dvema točkastima elektrinama

a) obe sili 12 21in F F tvorita dvojico sil, ki sta po vrednosti enaki in nasprotno

usmerjeni,

F+Q +Q

F

F+Q -Q

F

Q1

1 r

1r 21F

12F

2

Q2

Elektrostatično polje

5

b) obe sili sta premosorazmerni elektrinama Q1 in Q2 ter obratnosorazmerni kvadratu razdalje med elektrinama,

c) v sorazmernostnem faktorju k sta zajeti tako geometrijska oblikovanost prostora in snovna lastnost dielektrika, ki izpolnjuje prostor.

Ti sklepi predstavljajo analizo poskusa: z njihovo sintezo je Coulomb prišel do zakona o silah med točkastima elektrinama:

1 212 21 2

NQ Q

F F kr

(2.4)

Ker pa je sila vektorska veličina, jo je treba zapisati v vektorski obliki:

1 212 21 2

1 Nr

Q QF F k

r (2.5)

Pri tem prvi indeks označuje mesto elektrine, kjer silo merimo, drugi pa mesto elektrine, ki to silo povzroča. k je sorazmernostna konstanta, ki ima za dve točkasti elektrini in prazen prostor vrednost:

9

0

1 Vm9 10

4 Ask

V tem izrazu predstavlja:

9

120

10 As8,854 10

36 Vm

(2.6)

dielektrično konstanto praznega prostora (ali zraka).

V enačbi 2.5 je 1r enotin vektor, ki ima enako smer kor radij vektor r in je po dogovoru

usmerjen od naboja iQ proti naboju Q , na katerega silo določamo. Definiran je kot:

1r

r

r (2.7)

Dobljeni izraz 2.5 ima to pomanjkljivost, da ne predstavlja osnovnega zakona, saj enačba velja le za dve točkasti elektrini, torej gre v bistvu za specialni ali izpeljani zakon. Pod dvema točkastima elektrinama smemo razumeti dve elektrini, zbrani na dveh kroglicah, pri čemer je medsebojna razdalja središč kroglic r zelo velika v primerjavi s polmerom kroglic.

Če bi hoteli Coulombov zakon po sliki 2.2 zapisati v obliki osnovnega zakona, mu

moramo za določitev sile 12F dati obliko:

12 12 1 NF E Q

V tem izrazu pomeni:

212 2

N1

Asr

QE k

r (2.8)


6

električno poljsko jakost, ki jo v točki 1 povzroča elektrina 2Q . Če bi elektrina Q1 imela

vrednost +1As, bi bila električna poljska jakost 12E po vrednosti enaka sili 12F . Od tod

dobimo za električno poljsko jakost eno od možnih definicij:

Električna poljska jakost je v neki točki električnega polja podana kot sila, ki bi tam delovala na enoto pozitivne elektrine +1As.

Zato pišemo Coulombov zakon v obliki osnovnega zakona kar z:

NF EQ (2.9)

Ta oblika Coulombovega zakona velja za vsa področja elektrotehnike in ne samo za elektrostatična polja (pojem E ni omejen le na elektrostatiko).

Če poznamo električno poljsko jakost v poljubni točki elektrostatičnega polja, je s tem to polje v celoti določeno.

Točkaste oziroma krogelne elektrine so v elektrotehniki izjemno redke. Skoraj praviloma so elektrine nameščene na dolgih ravnih vodnikih krožnega prereza ali na ravnih ploskvah. Zato so za elektrotehniko valjne ali ravninske elektrine veliko pomembnejše od krogelnih. Tako je cilj poiskati pot, po kateri bomo za katerokoli od elementarnih elektrin (krogelno, valjno ali ravninsko) določili električno poljsko jakost

E , ki jo le-te povzročajo v neki točki prostora.

2.1.3 Površinska gostota elektrine

V elektrostatičnih poljih je elektrina (dejansko presežek) vedno zbrana na površini kovinskega nosilca elektrine. Elektrina se razdeli po površini nosilca tako:

a) da v notranjosti prevodne snovi električnega polja ni,

b) da je površinska gostota elektrine največja tam, kjer je površina najbolj ukrivljena navzven,

c) da stoji sila in s tem tudi električna poljska jakost pravokotno na površino.

Ker imamo gibljive elektrine tudi v notranjosti kovinskega nosilca elektrine, Coulombov zakon pa velja povsod, bodo gibljive elektrine v notranjosti kovine (elektroni) mirovale le, če bo električna poljska jakost tam enaka nič. Na površini nosilca pa to pomeni, da sila, ki deluje na elektrine na površini, ne sme imeti komponente v možni smeri gibanja, to je tangencialno na površino.

Slika 2.3: Elektrostatično polje obstaja le v dielektriku

+Q

nE E


7

Če je površina nosilca elektrine enakomerno ukrivljena (krogla, valj in ravna ploskev) ter v bližini ni nobene druge elektrine, se elektrina enakomerno razdeli po površini in je površinska gostota elektrine povsod enaka:

2

A

m

Q s

A (2.10)

Če površina nosilca elektrine ni enakomerno ukrivljena, bo površinska gostota elektrine v različnih točkah površine nosilca različna. V vsaki točki posebej jo določimo po enačbi:

0

2

A

mlimdA

Q dQ s

A dA (2.11)

V nadaljevanju sledi zapis površinske gostote elektrine za vse tri enakomerno ukrivljene površine:

- Za osamljeno krogelno elektrino je površinska gostota elektrine na površini krogle:

2 2

As

4 m

Q Q

A R (2.12)

Če je polmer krogle R glede na druge dimenzije majhen, govorimo o točkasti elektrini.

- Pri naelektrenem valju moramo obravnavati neskončno dolg valj. Pri tem ne moremo govoriti o celotni elektrini (ki je na neskončno dolgem valju seveda neskončna), temveč le o elektrini Q, ki je zbrana na l metrih valja. Elektrino, zbrano na dolžinski enoti valja, označimo s q:

As

m

Qq

l (2.13)

in govorimo o premi elektrini. Če je polmer valja glede na druge dimenzije majhen, govorimo tudi o električni premici ali premični elektrini.

Površinsko gostoto elektrine na površini naelektrenega valja polmera R določimo iz:

2

As

2 2 m

Q ql q

A Rl R (2.14)

- Če je površina ravna ploskev, moramo zopet obravnavati neskončno veliko ploskev, saj bi bila sicer na robu ploskve površinska gostota elektrine večja. Zato pod elektrino Q razumemo elektrino, zbrano na ploskvi površine A. Se pa ta primer nekoliko razlikuje od obeh prejšnjih, krogla in valj sta imela le eno (zunanjo) površino, ravnina pa ima dve enakovredni. Elektrina se razdeli na obe strani; na vsaki strani imamo površinsko gostoto elektrine:

2

As

2 m

Q

A (2.15)


8

2.1.4 Absolutna in relativna dielektrična konstanta

Razmerje med površinsko gostoto elektrine in vrednostjo električne poljske jakosti je za poljubno točko na površini naelektrenega telesa konstantno in je odvisno le od snovne lastnosti dielektrika - dielektričnosti 0 :

0

As

VmE

(2.16)

Za prazen prostor smo vrednost dielektričnosti 0 že podali z enačbo 2.6, imenujemo jo

absolutna dielektričnost praznega prostora. Za neki poljuben dielektrik je dielektričnost podana z:

o r (2.17)

kjer je r brezdimenzijska konstanta, ki pove, kolikokrat je dielektričnost nekega

snovnega dielektrika večja od dielektričnosti praznega prostora.

2.1.5 Grafična predstavitev elektrostatičnega polja s silnicami

Prostor, v katerem je v vsaki točki prostora opredeljena neka fizikalna veličina, imenujemo polje te fizikalne veličine, ki ga lahko ponazorimo tudi grafično. Grafična predstavitev polja nam tako nazorneje prikaže odvisnost veličine v prostoru. Če gre za skalarno veličino, govorimo o skalarnem polju, če gre za vektorsko veličino, govorimo o vektorskem polju.

Grafična predstavitev skalarnega električnega polja je mogoča z ekvipotencialnimi linijami (o tem bomo govorili pri potencialih), vektorskega električnega polja (npr. električne poljske jakosti) pa s silnicami. Silnice so namišljene črte, ki v vsaki točki električnega polja opredeljujejo tako smer kot velikost električne poljske jakosti. Velikost električne poljske jakosti je sorazmerna številu silnic, ki prebadajo na smer silnic enako veliko pravokotno ploskev; gostejše silnice ponazarjajo močnejše električno polje.

Slika 2.4: Konstrukcija električne silnice za dve krogelni elektrini

Konstrukcijo silnice si razlagamo takole. Izberimo na sliki 2.4 točko 0 na površini krogle

s pozitivno elektrino +Q. Električna poljska jakost 0E v tej točki stoji pravokotno na

površino. Sedaj se pomaknemo za dolžinski diferencial dl v smeri električne poljske

0

1 2

3

dl

4

dl

dl

+Q

dl

-Q


9

jakosti v točko 1. Nato določimo smer električne poljske jakosti 1E in se pomaknemo v

njeni smeri za dolžinski diferencial dl v točko 2. Če tako nadaljujemo, dobimo lomljeno krivuljo, ki se pravokotno končuje na krogli z negativno elektrino -Q. Krivulja se bo tem bolje ujemala s silnico, čim krajši bodo dolžinski diferenciali dl.

Silnice izstopajo (izvirajo) iz pozitivne elektrine in vstopajo (ponirajo) v negativno elektrino. Če se spremeni le predznak elektrine, se spremeni le smer polja.

Na sliki 2.5 so prikazane grafične predstavitve električnih polj treh elementarnih razporeditev elektrin (krogle, valja in ravnine).

a) b) c)

Slika 2.5: Grafična predstavitev elekričnih polj s silnicami:

a) prostorsko radialno polje osamljene krogelne elektrine, b) ravninsko radialno polje osamljene valjne elektrine, c) homogeno električno polje osamljene ravninske elektrine.

Vse tri elementarne elektrine ustvarjajo tri osnovne oblike električnih polj:

a) Krogelna elektrina ustvarja krogelno radialno polje, silnice se razmikajo v

obe smeri glede na smer silnice, električna poljska jakost E ima smer radia in upada s kvadratom razdalje.

b) Valjna elektrina ustvarja valjno radialno polje, silnice se razmikajo le glede na radij, v vseh ravninah pravokotno na valj pa je električno polje enako.

Električna poljska jakost E upada premo z razdaljo. c) Ravninska elektrina ustvarja homogeno polje, silnice so vzporedne,

električna poljska jakost ostaja enaka po vrednosti in smeri.

Ploskve, ki povsod v električnem polju stojijo pravokotno na smer polja, imenujemo Gaussove ali ekvipotencialne ploskve. Zaradi pravokotnosti ploskve na smer polja električna poljska jakost na njej ne more povzročiti nobenega pomika elektrin, tudi če bi jo okovinili.

2.1.6 Prevodno telo v električnem polju

Če v električno polje vnesemo prevodno telo, pride do spremembe električnega polja. Ko postavimo prevodno telo v električno polje, se prosti elektroni pomaknejo v nasprotni smeri električne poljske jakosti. Na drugi strani pa zaradi tega dobimo primanjkljaj

+Q

+q +Q


10

negativne elektrine, torej pozitivno elektrino. Pojav, ki se odvija v prevodniku, imenujemo razdelba ali influenca, ki povzroči lastno polje E1. Pojav traja tako dolgo, dokler ni lastno polje po jakosti enako zunanjemu polju – torej je električna poljska jakost v notranjosti prevodnega telesa enaka nič. V zunanjosti prevodnega telesa pa se zunanje električno polje in lastno električno polje seštevata v skupno spremenjeno električno polje.

Slika 2.6: Vpliv prevodnega telesa na električno polje

Prav nobene spremembe originalnega polja pa ne bi dobili, če bi se površina vnesenega kovinskega telesa ujemala z Gaussovo ploskvijo. To dejstvo omogoča določitev električne poljske jakosti tudi v točkah, ki niso na površini naelektrenega telesa.

Naelektrena krogla ima prostorsko radialno električno polje. Gaussove ploskve so koncentrične krogle. Če eno od teh okovinimo, bo prišlo na njej do razdelbe, kot to prikazuje slika 2.7. Ker silnice izhajajo iz pozitivne elektrine in se končujejo na enako veliki negativni elektrini, iz tega izhaja, da sta obe influencirani elektrini v tem primeru enaki elektrini, ki je razdelbo povzročila.

Slika 2.7: Okovinjenje Gaussove (ekvipotencialne) ploskve

Na krogli s polmerom R smo imeli površinsko gostoto elektrine:

24

Q

R (2.18)

+-

+-

+-

+-

+-

Ez

En

Ez

En=0

+Q

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+ +

- - -

-

-

-

-

-

- - -

-

-

-

-

-


11

na okovinjeni Gaussovi ploskvi s polmerom r pa influencirano površinsko gostoto elektrine:

2 2

As

4 m

QD

r

(2.19)

Influencirano površinsko gostoto elektrine, ki bi jo na Gaussovi ploskvi dobili, če bi jo

okovinili, imenujemo gostota električnega pretoka D .

V poljubni točki na površini neke Gaussove ploskve je torej gostota električnega pretoka enaka namišljeni površinski gostoti elektrine, ki bi jo dobili, če bi to Gaussovo ploskev okovinili.

2

As

m

QD

A

(2.20)

Razmerje med površinsko gostoto elektrine in električno poljsko jakostjo je odvisno le od dielektričnosti dielektrika, zato smo s tem dobili splošno veljaven izraz za električno

poljsko jakost E , ki velja za poljubno točko v dielektriku (torej je to osnovni zakon).

V

m

DE (2.21)

2.1.7 Izračun gostote električnega pretoka D in električne poljske jakosti E za osamljene elementarne elektrine v praznem prostoru

Sedaj smo ugotovili postopek za določitev gostote električnega pretoka in električne poljske jakosti za vse tri elementarne osamljene elektrine. Najprej določimo iznos gostote električnega pretoka:

Q

DA

(2.22)

in nato iz osnovnega zakona:

0

DE (2.23)

električno poljsko jakost. Če ju želimo zapisati v vektorski obliki, sta:

2

As1

mDD D (2.24)

in

V

1m

EE E (2.25)

1 in 1D E sta enotska vektorja v smeri gostote električnega pretoka oz. električne poljske

jakosti. Za krogelno in valjno elektrino je:


12

1 1 1D E r (2.26)

kjer je r radijvektor od središča krogle oz. valja do mesta, kjer obe veličini računamo. Predznak + velja za pozitivni in predznak - za negativni predznak elektrine.

Krogelna elektrina Valjna elektrina Ravninska elektrina Q

DA

24

QD

r

2 2

ql qD

rl r

2 2

QD

A

0

DE

2

04

QE

r

2 o

qE

r

02E

2.2 ELEKTRIČNI POTENCIAL IN NAPETOST

Poleg predstavitve električnega polja z električno poljsko jakostjo E poznamo še predstavitev električnega polja z električnim potencialom V. Ker je električni potencial skalarna veličina, pravimo, da gre za skalarno predstavitev elektrostatičnega polja. Računanje s skalarji je preprostejše kot računanje z vektorji. Med električno poljsko

jakostjo E in električnim potencialom V obstaja preprosta povezava. Če poznamo eno od njiju, potem drugo, s tem pa tudi vse preostale veličine elektrostatičnega polja, enostavno določimo.

2.2.1 Definicija električnega potenciala in napetosti

V elektrostatičnem polju, ki je na sliki 2.8 grafično ponazorjeno s silnicami, izberimo točko 1 in postavimo tja poskusno elektrino Q.

E V/m

ER

r

R 2R 3R 4R 5R 6R 7R

E V/m ER

r

R 2R 3R 4R 5R 6R 7R

E +Q

E

E V/m +Q

x

b) a)


13

Slika 2.8: Elektrostatično polje, grafično predstavljeno s silnicami

Na elektrino +Q, deluje v smeri polja sila F E Q . Pri premikanju v smeri poti dl opravi

električno polje delo

cosdA F dl Q E dl Q E dl Q dU (2.27)

kjer je diferencial napetosti dU definiran kot diferencial dela, ki ga v tem primeru opravi elektrostatično polje pri premiku pozitivne enote elektrine +1As na poti dl. Napetost med točkama 1 in 2 je za podano sliko:

2

12

1

cosU E dl (2.28)

Do premikanja elektrine v elektrostatičnem polju lahko torej pride na dva načina:

a) gibljivo elektrino (pozitivno) premikamo mi proti elektrostatičnemu polju in pri tem opravimo delo, kar se odraža v povečani delazmožnosti (potencialu) elektrostatičnega polja.

b) gibljivo elektrino (pozitivno) lahko premika polje v smeri električne poljske jakosti in pri tem polje opravlja delo na račun svoje delazmožnosti.

Za negativno elektrino sta smeri gibanja ravno nasprotni.

Pri premiku elektrine po ploskvi, ki stoji povsod pravokotno na smer električnega polja

(ekvipotencialna ploskev – njen vektor kaže v smeri polja), je kot 090 in pri premiku elektrine ne opravimo nobenega dela.

Za tri primere osamljenih elektrin (točkasta, valjna, ravninska) velja:

2

1

12 20 0 1 2

1 1( )

4 4

r

r

Q dr QU

r r r

(2.29)

2

1

212

0 0 1

ln2 2

r

r

rq dr qU

r r

(2.30)

12

0

QU E d

A

(2.31)

α 1

dl

E

F

2

+Q


14

Elektrostatično polje je prav tako v celoti opredeljeno, če znamo določiti električno napetost med dvema poljubnima točkama polja.

Električni napetosti je ekvivalentna veličina – električni potencial V. Za razlago električnega potenciala bomo uporabili primerjavo z zemeljskim gravitacijskim poljem. Električni potencial in električna napetost imata v zemeljskem gravitacijskem polju analogni veličini: višina in višinska razlika. Da izrazimo višino neke točke na zemeljski površini, smo gladino morja izbrali za ničelno višino. Nato je višinska razlika opredeljena kot razlika višin. Kot sta za količino potencialne energije vode pomembna količina (masa) vode in razpoložljiva višinska razlika, sta za količino energije električnega polja pomembna elektrina Q in potencialna razlika, to pa je napetost.

Povsem analogno je v električnem polju določen električni potencial V šele tedaj, ko smo v električnem polju opredelili točko 0, za katero izberemo vrednost potenciala V0=0. Potem je električni potencial v točki 1 definiran kot delo, ki ga opravi električno polje, da prenese +1 A∙s iz točke 1 v točko s potencialom V0=0. Če bi za ta prenos morali vložiti delo mi, bi bil potencial točke 1 negativen.

0 1

1

1 0

V E dl E dl (2.32)

Za tri primere osamljenih elektrin (krogelna, valjna, ravninska) velja:

1

0

1 20 0 0 1

1 1( )

4 4

r

r

Q dr QV

r r r

(2.33)

1

0

01

0 0 1

ln2 2

r

r

rq dr qV

r r

(2.34)

1 1 0 1 0

0

( ) ( )Q

V x x E x xA

(2.35)

Napetost med dvema točkama izrazimo kot razliko električnih potencialov pripadajočih točk.

12 1 2U V V (2.36)

2.2.2 Določitev električnega potenciala za osamljene elektrine

V tem poglavju bomo za vse tri vrste elektrin (krogelna, valjna, ravninska) izpeljali izraze za električni potencial in električno napetost.


15

Osamljena krogelna elektrina

Električno polje osamljene krogelne elektrine je prostorsko radialno polje. Ekvipotencialne površine so koncentrične krogle.

a) b)

Slika 2.9: a) Skica za izračun potencialnega polja osamljene krogelne elektrine, b) diagram odvisnosti ( )V r za osamljeno krogelno elektrino

Vzemimo, da smo izhodišče potenciala izbrali v točki 0, ki leži na koncentrični krogli s polmerom 0r (slika 2.9a). Električni potencial 1V v točki 1 na koncentrični krogli s

polmerom 1r je definiran kot delo, ki ga opravi električno polje pri prenosu +1 As od

krogle s polmerom 1r po poljubni poti do krogle s polmerom 0r . Zato smemo integrirati

kar v smeri polmera:

00 0

11 1

1 20 0 0 1 0

1 1 1( ) ( ) V

4 4 4

rr r

rr r

Q dr Q QV E dr

r r r r (2.37)

V točki 2, na razdalji 2r od središča naelektrene krogle, bi imeli električni potencial:

2

0 2 0

1 1( ) V

4

QV

r r (2.38)

Napetost 12U pa ni prav nič odvisna od izbranega izhodišča potenciala. Tako za obe

obravnavani izhodišči dobimo isti izraz:

1

2

12 1 220 0 1 2

1 1( ) V

4 4

r

r

Q dr QU V V

r r r (2.39)

Osamljeno krogelno elektrino smemo reducirati v središče krogle in jo tako nadomestiti s točkasto elektrino. Pri tem se moramo zavedati, da je električni potencial za vse točke na površini in notranjosti krogle enak. V notranjosti kovine ni spremembe električnega potenciala, saj tam ni električnega polja.

Splošen izraz za električni potencial osamljene krogelne (ali točkaste) elektrine je:

V1

V2

1

2

0

R

r1 +Q

x

y

V0=0

r0

r2

V V

VR

r

R 2R 3R

RR

4RR 5RR 6RR 7R

V1

V2

U12=V1-V2

r1 r2 r0


16

0 0

1 1( ) ( ) V

4

QV r

r r (2.40)

Tu je 0r tisti polmer, kjer smo izbrali izhodišče potenciala in je 0( ) 0V r .

Če smo prikazovali električno poljsko jakost s silnicami, prikazujemo električne potenciale z ekvipotencialnimi ploskvami, ki jih rišemo za enako potencialno razliko. Tam, kjer so ekvipotencialne ploskve goste, imamo veliko spremembo potenciala in veliko električno poljsko jakost.

Osamljena valjna elektrina

Električno polje osamljene valjne elektrine je ravninsko radialno polje. Ekvipotencialne ploskve so koncentrični valji.

a) b)

Slika 2.10: a) Skica za izračun potencialnega polja osamljene valjne elektrine, b) diagram odvisnosti ( )V r za osamljeno valjno elektrino

Če izberemo izhodišče potenciala v točki 0 na razdalji 0r od osi valja, je električni

potencial 1V v točki 1 na razdalji 1r od osi valja:

0 0

0

1

1 1

01

0 0 0 1

(ln ) ln2 2 2

r rr

rr r

rq dr q qV E dr r

r r V (2.41)

kjer smo integrirali kar v smeri radia, saj je vrednost potenciala odvisna le od polmerov ekvipotencialnih ploskev.

Električni potencial 2V v točki 2 na razdalji 2r od osi valja je:

02

0 2

ln2

rqV

r V (2.42)

in v poljubni točki na razdalji r pa:

V1

V2

1

2

0

R

r1 +q

x

y

V0=0

r0

r2

V V

V

r

1 2 3 4 5 6 7

V1

V2

U12=V1-V2

r1

r2

r0

+q΄


17

0

0

ln2

rqV

r V (2.43)

Električno napetost 12U med točkama 1 in 2 na ustreznih ekvipotencialnih ploskvah

lahko izračunamo direktno (enačba 2.29) ali pa kot razliko pripadajočih potencialov:

212 1 2

0 1

ln2

rqU V V

r V (2.44)

Osamljena ravninska elektrina

Električno polje osamljene ravninske elektrine je homogeno električno polje. Ekvipotencialne ploskve so z naelektreno ravnino vzporedne ravnine.

a) b)

Slika 2.11: a) Skica za izračun potencialnega polja osamljene ravninske elektrine, b) diagram odvisnosti ( )V r za osamljeno ravninsko elektrino

Če izberemo izhodišče potenciala na razdalji 0x od koordinatnega izhodišča

(naelektrene ravnine), je električni potencial na razdalji 1x desno od naelektrene

ravnine:

0 0

1 1

1 0 1

0 0

( )2 2

x x

x x

V Edx dx x x (2.45)

na razdalji 2x pa:

2 0 2

0

( )2

V x x (2.46)

Splošno velja za desno stran:

0

0

( )2

V x x (2.47)

1

2

0

+ x

x

x0 x2 x1

V2 V0=0 V1

x0 x2 x1

V(x)

x V(x0)=0)

V(x2)

V(x1)


18

Na levi strani se spremeni le predznak, saj ima tam električno polje nasprotno smer.

Napetost med točkama 1 in 2 lahko izračunamo po direktni enačbi 2.31 ali pa kot razliko potencialov:

12 1 2 2 1

0

( )2

U V V x x V (2.48)

2.3 ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST IN ELEKTRIČNI POTENCIAL ZA

ELEKTRIČNO POLJE VEČ ELEKTRIN

Ugotovitve, do katerih smo prišli pri določanju električne poljske jakosti in električnega potenciala za osamljene elektrine (krogelno, valjno in ravninsko), bomo v tem poglavju

uporabili za določitev električne poljske jakosti E in električnega potenciala V v primerih, ko električno polje povzroča več elektrin.

V elektrotehniki le redko srečujemo osamljene elektrine. Večino električnih polj povzročajo vzporedne valjne (preme) in ravninske elektrine.

2.3.1 Električno polje vzporednih premih elektrin

Valjno elektrino smemo reducirati v električno premico, če je polmer valja majhen v primerjavi z drugimi razdaljami. Če gre za dve enaki raznoimenskih elektrini, tudi ta pogoj ni potreben. V primeru vzporednih premih elektrin gre za ravninski problem.

Od vzporednih premih (ali valjnih) elektrin sta za elektrotehniško prakso posebej zanimivi dve vzporedni, z dvema enako velikima premima elektrinama q, ki sta enako ali raznoimensko naelektreni.

Vzporedni istoimenski in enaki premi elektrini

Na sliki 2.12 sta prikazani vzporedni enaki istoimenski premi elektrini. Koordinatni sistem v primeru dveh vzporednih elektrin vselej postavimo tako, da sta obe premi elektrini na osi x, os y pa razdaljo vzporednih elektrin razpolavlja.


19

Slika 2.12: Vzporedni enaki istoimenski premi elektrini

Električni poljski jakosti v točki T sta:

1 21 2

0 1 0 2

1 12 2

T r r

q qE E E

r r V/m (2.49)

kjer so:

1 2

1 2

2 2 2 21 2

1 2

1 1 1 2 1 1

1 ( ) 1 , 1 ( ) 1

( ) , ( )

( ) ( )1 1 1 1 1 1

x y x y

r x y r x y

r x a y r x a y

r x a y r x a y

r rx a y x a y

r r r r r r

Pomembneje od določitve električne poljske jakosti (ta je povsem klasična) je, kaj bomo dobili za električni potencial. Če ni drugače opredeljeno (bližina zemlje), izberemo izhodišče električnega potenciala v koordinatnem izhodišču. Tedaj je:

10 20r r a

in je električni potencial v točki T:

2

1 2

0 1 0 2 0 1 2

ln ln ln2 2 2

T

q a q a q aV V V

r r r r V (2.50)

Vse točke v ravnini, ki izpolnjujejo pogoj:

1 2 konst.r r k (2.51)

ležijo na isti ekvipotencialni ploskvi. Krivulja, ki izpolnjuje ta pogoj, se imenujejo Cassinijeva krivulja. Krivulja, ki gre skozi koordinatno izhodišče, se imenuje lemniskata in podaja točke s potencialom 0V .

y

T(x,y) y

x 2

x-a a a

x+a

1

r2

r1

+q +q


20

a) b)

Slika 2.13: a) Slika silnic in ekvipotencialnih ploskev za istoimenski premi elektrini, b) električno polje dveh enako in istoimensko naelektrenih električnih valjev

Okovinjenje katerekoli ekvipotencialne ploskve ni zanimivo, saj tehnološko ne moremo izdelati vodnikov, ki bi imeli površino Cassinijevih krivulj, pač pa sta iz slike potencialnega polja razvidni dve za elektrotehniško prakso zelo pomembni dejstvi:

a) Na veliki razdalji so ekvipotencialne ploskve praktično valji. Obe istoimensko naelektreni premici smemo šteti kot eno z dvojno elektrino.

b) Električno polje v prostoru med elektrinama je močno oslabljeno, kar s pridom izkoriščamo pri cepljenih vodnikih v daljnovodih visoke napetosti za preprečitev korone.

Vzporedni raznoimenski in enaki premi elektrini

Za enaki raznoimenski elektrini se slika 2.12 spremeni le v toliko, v kolikor bomo vzeli 1 2 in q q q q

Slika 2.14: Vzporedni enaki in raznoimenski elektrini

Sedaj je električna poljska jakost v točki T:

1 21 2

0 1 0 2

1 12 2

T r r

q qE E E

r r V/m (2.52)

in električni potencial v točki T:

+q+q

y

T(x,y) y

x

2 a a

x+a

1

r2

r1

-q +q

x-a


21

21 2

0 1 0 2 0 1

ln ln ln2 2 2

T

rq a q a qV V V

r r r V (2.53)

Vse točke v ravnini, za katere je izpolnjen pogoj:

2

1

konst.r

kr

ležijo na isti ekvipotencialni ploskvi. Zanima nas, ali imajo krivulje, ki opredeljujejo površino ekvipotancialnih ploskev, zopet obliko kakšnih znanih krivulj.

Preden bomo to storili, si oglejmo simulacijo električnega polja dveh vzporednih električnih valjev z enakima raznoimenskima elektrinama (slika 2.15).

Iz slike 2.15 je razvidno, da so v primeru dveh vzporednih enako in raznoimensko naelektrenih valjev ekvipotencialne ploskve nekoncentrični valji.

a) b)

Slika 2.15: a) Slika silnic in ekvipotencialnih ploskev za raznoimenski premi elektrini, b) električno polje dveh enako in nasprotnoimensko naelektrenih električnih valjev

Električne silnice stojijo pravokotno na ekvipotencialne ploskve. Družina krivulj, ki stoji pravokotno na družino krožnic, je lahko zopet družina krožnic. Zato bomo brez dokazovanja verjeli, da so tudi silnice deli krožnic. Izvirajo na pozitivni elektrini in ponirajo na negativni elektrini.

Ekvipotencialne ploskve vedno rišemo za enake potencialne razlike. Zato smemo električni potencial vsake ekvipotencialne ploskve šteti kot celoštevilčni mnogokratnik izbrane potencialne razlike ΔV:

Metoda zrcaljenja

Če nad prevodno ravnino postavimo vzporedno naelektreno premico (ali valj), pride na prevodni ravnini do razdelbe. Nasprotnoimenska elektrina se je zbrala na površini ravnine, istoimenska pa je odtekla po prevodni snovi ravnine. Na površini ravnine nabrano nasprotnoimensko površinsko elektrino smemo nadomestiti z reducirano električno premico.

x

+q -q

V=0

y +ΔV

+2ΔV

+3ΔV

-3ΔV

-2ΔV

-ΔV


22

Površina zemlje je taka velika prevodna ploskev. Če imamo vzporedno z zemljo nameščene vodnike, ti na površini zemlje z razdelbo ustvarijo elektrine. Električno polje v prostoru nad zemljo ustvarjajo elektrine na vodnikih, na površini zemlje pa influencirane elektrine. Za izračun električnega polja nad površino zemlje lahko te influencirane elektrine nadomestimo z zrcaljenimi elektrinami.

Oglejmo si to na primeru. Na višinah h1 in h2 nad zemljo in v medsebojni razdalji d sta vzporedno nameščena vodnika z elektrinama q1 in q2 (slika 2.16). Polmera vodnikov r1 in r2 naj sta zelo majhna v primerjavi s h1 in h2, zato smemo elektrine reducirati v os vodnika.

Slika 2.16: Zrcaljenje vodnikov nad zemljo

Električni potencial na površini obeh vodnikov nad zemljo povzročajo štiri elektrine, obe dejanski in obe zrcaljeni. Tako dobimo na površini prvega vodnika potencial V1:

1 1 1 1 2 2 2 21 11 12 11 12

0 1 0 1 0 0

1 1 2

0 1 0

ln ln ln ln2 2 2 2 2

2ln ln

2 2

q h q h q h q hV V V V V

r h d f

q h q f

r d

(2.54)

in na površini drugega vodnika potencial V2:

1 1 1 1 2 2 2 22 21 21 22 22

0 0 0 2 0 2

1 2 2

0 0 2

ln ln ln ln2 2 2 2 2

2ln ln .

2 2

q h q h q h q hV V V V V

d f r h

q q hf

d r

(2.55)

Med obema vodnikoma imamo napetost:

12 1 2U V V

Zaradi 0 0V imata oba vodnika glede na zemljo napetosti:

10 1 20 2inU V U V

V0=0

1΄

h1

f

1

d q1

-q1 -q2

q2

h1

h2

h2

2

2΄


23

Obe enačbi 2.54 in 2.55 veljata splošno za poljubne razdalje in poljubne velikosti in predznake elektrin. Zrcaljenje smemo uporabiti tudi v primeru krogelnih elektrin nad zemljo. Je pa izračun preprost le v primeru, ko so razdalje krogelnih elektrin do zemlje velike v primerjavi s polmeri krogel.

2.3.2 Električno polje vzporednih naelektrenih ravnin

Pod ravninsko elektrino razumemo neskončno ravno ploskev z enakomerno površinsko gostoto elektrine. Če imamo opravka z več ravninskimi elektrinami, so to lahko le vzporedne ravninske elektrine.

Za osamljeno ravninsko elektrino se na prevodni ploskvi nameščena elektrina razdeli polovično na vsako stran ploskve. Kaj pa se zgodi, če imamo v prostoru več vzporednih naelektrenih ravnin? Kako se elektrina sedaj porazdeli na obe strani ploskve?

Do dognanj pridemo s superpozicijo električnih polj, ki jih povzročajo posamezne ravninske elektrine. Zato si oglejmo posamezni in nato superponirani električni polji, ki ju povzročata ravninski elektrini 1 0 2 0 in 2 :

a) b) c)

Slika 2.17: Električno polje naelektrenih ravnin: a) Električno polje elektrine 1

b) Električno polje elektrine 2

c) Skupno električno polje elektrin 1 2 in

Elektrina 1 ustvarja električno poljsko jakost:

01

1

0 02 2E V/m.

Elektrina 2 ustvarja električno poljsko jakost:

02

2

0 0

2

2 2E V/m.

Iz slike skupnega polja je razvidno, kako se seštevajo električne poljske jakosti. Tako dobimo v posameznih prostorih električne poljske jakosti:

1

1

2

1

aE

bE

1 cE

1

1

1 2

1

1E 2E


24

0

1 2

0

1 ( ) 12

a x xE E E (2.56)

0

1 2

0

1 ( ) 12

b x xE E E (2.57)

0

1 2

0

1 ( ) 12

c x xE E E (2.58)

V primeru dveh istoimensko naelektrenih ravnin se električni polji med ravninama odštevata, na obeh zunanjih straneh pa seštevata. Za 1 0 bi tako dobili:

0

1 2

0

1 ( ) 12

a x xE E E V/m (2.59)

0

1 2

0

31 ( ) 1

2b x xE E E V/m (2.60)

0

1 2

0

1 ( ) 12

c x xE E E V/m (2.61)

Poseben primer dobimo za 1 2 0 . Tedaj je:

0 0

0 0

1 V/m, 0, 1 V/ma x b a xE E E (2.62)

Za 1 0 2 0, pa:

0 0

0 0

1 V/m, 0, 1 V/ma x a c b xE E E E (2.63)

a) b)

Slika 2.18: Dve enaki ravninski elektrini a) istoimenski, b) raznoimenski

Elektrina se razdeli polovično na vsako stran le v primeru, če je v prostoru osamljena.

0

0

0 0


25

2.4 ELEKTROSTATIČNO POLJE V SNOVNIH DIELEKTRIKIH

2 4.1 Vpliv dielektrika na električno polje

Če postavimo v električno polje snovni dielektrik, delujejo na elektrine v snovni strukturi dielektrika električne sile: na protone v smeri električne poljske jakosti in na elektrone v nasprotni smeri. Zaradi teh sil je dielektrik v električnem polju v električno napetem stanju, v njem je nakopičena potencialna energija, ki jo bomo imenovali energija električnega polja.

Po vstavitvi dielektrika v električno polje se sile v dielektriku zmanjšajo glede na prazen prostor. Ker je:

F Q E (2.64)

se je zmanjšala torej električna poljska jakost, ki jo definira naslednji izraz:

D

E (2.65)

Zmanjšanje električne poljske jakosti je posledica povečanja dielektrične konstante dielektrika ε. Velja splošno:

0 r (2.66)

Vrednost r je število, ki pove, kolikokrat je dielektričnost nekega snovnega dielektrika

večja od dielektričnosti praznega prostora 0 ; imenujemo jo relativna dielektričnost.

2.4.2 Polarizacija dielektrika

Ko postavimo dielektrik v električno polje in ker v dielektriku nosilci elektrine niso gibljivi, ne more priti do razdelbe (influence) kot pri prevodnih materialih, temveč pride do polarizacije materiala.

Vse dielektrike delimo na nepolarne in polarne dielektrike.

Nepolarni dielektriki so takšni dielektriki, v katerih se težišči pozitivne in negativne elektrine v nevzbujenem stanju, ko nanje ne vpliva nobeno zunanje električno polje, ujemata. Tak dielektrik je električno navzven nevtralen. Tipični primeri nepolarnih dielektrikov so plini, pa tudi molekule nekaterih snovi.

Polarni dielektriki so takšni dielektriki, ki tudi v nevzbujenem stanju navzven učinkujejo kot električni dipol. To pomeni, da se težišči pozitivne in negativne elektrine v molekuli ne ujemata. Torej pod pojmom električni dipol razumemo dve enaki raznoimenski elektrini v zelo majhni razdalji.

Oglejmo si najprej, kako deluje tuje električno polje na nepolarne dielektrike. To bomo ponazorili na atomu vodika, čeprav bi isto veljalo za vsako električno nevtralno molekulo.


26

a) b)

Slika 2.19: Nepolarni dielektrik a) v nevzbujenem stanju, b) polarizacija pod vplivom električnega polja

Na pozitivno elektrino deluje v električnem polju sila v smeri električne poljske jakosti, na negativno elektrino pa v nasprotni smeri. Zaradi teh dveh sil se težišči obeh elektrin v molekuli ne ujemata več, elektronske lupine se pomaknejo v ekscentričen položaj, zato to polarizacijo imenujemo elektronska polarizacija.

Če električno polje deluje na polarni dielektrik, se lahko zgodi dvoje:

a) Če je molekula gibljiva (v tekočinah in plinih), zavrti dvojica sil dipol tako, da leži njegova os v smeri električnega polja in je vrtilni moment enak nič. Zato to polarizacijo imenujemo orientacijska polarizacija. Pri tem se razdalja med težišči elektrin poveča. Najbolj izrazit primer je kemično čista voda.

b) Če molekula ni gibljiva (je del kristalne strukture), se razdalja med elektrinama dipola spremeni. To polarizacijo imenujemo tudi molekularna polarizacija.

Slika 2.20: Polarni dielektrik

a) v nevzbujenem stanju, b) polarizacija pod vplivom električnega polja

Ko postavimo dielektrik v električno polje (slika 2.21), se vse njegove molekule polarizirajo. Znotraj dielektrika se ta dodatna polarizacijska gostota kompenzira, nekompenzirana pa ostane na njegovi površini. Pri konstantni gostoti elektrine 0

(konstantna elektrina Q0) bo polarizacijska gostota elektrine znižala rezultantno gostoto

elektrine. Električna poljska jakost E v dielektriku bi se znižala.

ali

E

+ + +

- - -

b) a)

e

F-

E

F+


27

Slika 2.21: Vpliv polarizacijske gostote elektrine

Če povečujemo priključeno napetost, v dielektriku električna poljska jakost narašča, sile na elektrine v strukturni zgradbi snovi so vse večje. Ko postane sila večja od privlačne sile najbolj šibko vezanega elektrona, se ta odtrga. Dobimo plaz elektronov, ki dielektrik prebijejo.

To mejno električno poljsko jakost, ki je v dielektriku ne smemo preseči, označimo z pE

in jo imenujemo električna prebojna trdnost.

2.4.3 Prehod električnega polja na meji dveh dielektrikov

Če električno polje prestopa mejo med dielektrikoma pravokotno ali normalno na mejno ploskev, govorimo o normalnem (pravokotnem) prehodu električnega polja. Če pa je električno polje na obeh straneh mejne ploskve med dielektrikoma vzporedno ali tangencialno z mejno ploskvijo, govorimo o tangencialnem prehodu električnega polja. Oba omenjena prehoda sta le posebna primera splošnega poševnega prehoda električnega polja.

Normalni prehod električnega polja

Pri izpeljavi fizikalnih zakonov zelo radi izhajamo iz najpreprostejšega primera. Tako bomo tudi zakonitosti prehoda električnega polja na meji dveh dielektrikov z različnima dielektričnostima izpeljali na primeru homogenega električnega polja, vendar bodo dobljene zakonitosti veljale za poljubno obliko nehomogenega električnega polja.

Med dve enako veliki ravni kovinski ploskvi s ploščino A postavimo zaporedno dve plasti dielektrikov z dielektričnostima 1 2 in . Če nanju priključimo potencialno razliko U, se

na obeh ploskvah (na notranji strani) nabereta enako veliki raznoimenski elektrini. Enakost elektrin izhaja iz dejstva, da je na eno ploskev pritekla ravno tako velika elektrina, kot je od druge ploskve odtekla.

P

U

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

- + U

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

-


28

Slika 2.22: Zaporedna namestitev dielektrikov

Zato vse gostotnice, ki začenjajo na levi ploskvi, končujejo na desni. Iz enakosti elektrin in enakosti ploskev izhaja:

1 2D D (2.67)

Ker imata pri zaporedni namestitvi dielektrikov gostoti električnih pretokov le normalni komponenti, je:

1 2n nD D (2.68)

in velja splošen sklep:

Normalni komponenti gostot električnega pretoka prestopata na meji dveh dielektrikov zvezno.

Enačba:

D E

zaradi konstantnosti velja tudi za komponente. Zato je:

1 0 1 1n r nD E

2 0 2 2n r nD E

Če to vstavimo v enačbo 2.68 dobimo za razmerje normalnih komponent električnih poljskih jakosti:

1 2

2 1

n r

n r

E

E (2.69)

Normalni komponenti električnih poljskih jakosti prestopata na meji dveh dielektrikov v obratnem sorazmerju z dielektričnostjo.

Na sliki 2.23 je prikazana grafična predstavitev električnega polja z E in D za razmerje dielektričnosti 1 2: 1:3r r . Električna poljska jakost je pri zaporedni namestitvi

dielektrikov večja v snovi z manjšo dielektričnostjo. Večja električna poljska jakost pa pomeni, da je dielektrik z manjšo dielektričnostjo električno bolj napet.

A

1

2

-Q +Q

- + U


29

a) b)

Slika 2.23: Grafična predstavitev električnega polja za normalni prehod: a) za gostote električnega pretoka, b) za električne poljske jakosti

Tangencialni prehod električnega polja

Dielektrika z dielektričnostima 1 2 in postavimo med dve vzporedni kovinski ploskvi s

ploščino A v medsebojni razdalji d tako, da bo mejna ploskev obeh dielektrikov vzporedna z električnim poljem, kot to prikazuje slika 2.24.

Slika 2.24: Vzporedna namestitev dielektrikov

Ker je vsaka od obeh kovinskih ploskev na vsej površini na enakem potencialu, je potencialna razlika za oba dielektrika enaka:

1 2U U U (2.70)

Ker pa je tudi razdalja d med ploskvama v obeh dieleketrikih enaka, izhaja:

1 2

UE E

d (2.71)

- +

1

-Q2

A1

+Q1

+Q2

-Q +Q

U

-Q1

A2

2

E2n E1n

- + U

1

2

1

D2n

- + U

D1n

2


30

da sta obe električni poljski jakosti na mejni ploskvi obeh dielektrikov za njuno tangencialno namestitev enaki:

1 2t tE E (2.72)

Tangencialne komponente električnih poljskih jakosti na mejni ploskvi dveh dielektrikov prestopajo zvezno.

Tangencialni komponenti gostot električnega pretoka v obeh dielektrikih sta:

1 0 1 1

2 0 2 2

t r t

t r t

D E

D E

Od tod izhaja:

1 1

2 2

t r

t r

D

D (2.73)

Tangencialni komponenti gostot električnega pretoka na mejni ploskvi dveh dielektrikov prestopata v premem sorazmerju z dielektričnostjo dielektrikov.

Na sliki 2.25 so podane grafične predstavitve E in D za vzporedno namestitev dielektrikov, kjer sta dielektričnosti v razmerju 1 2: 1:3r r .

Slika 2.25: Grafična predstavitev električnega polja za tangencialni prehod:

a) za gostote električnega pretoka, b) za električne poljske jakosti

Iz zornega kota graditelja električnih naprav gostota električnega pretoka D (oziroma gostota elektrine na kovinski ploskvi) ni nevarna. Nevarna je prevelika električna poljska jakost E. Zato moramo biti pri zaporedni namestitvi dielektrikov posebno previdni. Poleg tega so zaporedne namestitve dielektrikov zelo pogoste, vzporedne namestitve pa bolj izjemne.

a)

U

1

E2t 2

E1t

2

D1t 1

D2t

U

b)


31

2.4.4 Uporaba slojnih dielektrikov

S pravilno uporabo slojnih dielektrikov bistveno vplivamo na velikost električnih veličin v električnih poljih in s tem posledično na gospodarnost in zanesljivost naprav, ki delujejo na principu električnega polja. Predvsem pa moramo paziti, da električne poljske jakosti povsod v električnem polju ostanejo v varni razdalji od prebojnih trdnosti uporabljenih dielektrikov.

Zato je zelo pomembno, da za podano obliko električnega polja, tj. za podano snovno in geometrijsko konfiguracijo, znamo izračunati vse električne veličine, ki ga opredeljujejo. Če poznamo vse snovno-geometrijske podatke, moramo poznati vsaj eno električno veličino, da lahko izračunamo vse ostale. Če ena snovno-geometrijska veličina ni podana, potrebujemo dve neodvisni električni veličini itd.

Uporabo slojnih dielektrikov si bomo ogledali v ravninsko-radialnem polju.

Slika 2.26: Dvoslojni dielektrik v ravninskem radialnem polju

V ravninskem radialnem polju je zanimiva zaporedna namestitev dielektrikov, saj se večslojna izolacija kablov zelo pogosto uporablja. Zato si bomo ogledali oba postopka rešitve na primeru dvoslojne zaporedne namestitve dielektrikov, kot jo prikazuje slika 2.26.

Če bi bila podana elektrina q po dolžinski enoti, bi bile iz nje vse električne veličine enostavno določljive:

Obe električni poljski jakosti:

1 1 1 2

1 1

2 2 2 3

2 2

,2

,2

qE R r R

r

qE R r R

r

kjer sta maksimalni vrednosti obeh električnih poljskih jakosti:

U2

2r

1r

R3

R2

R1

U

U1


32

1max 2max

1 1 2 2

in2 2

q qE E

R R

in obe delni napetosti:

321 2

1 1 2 2

ln in ln2 2

RRq qU U

R R

Skupna napetost je:

1 2U U U

2.5 KAPACITIVNOSTI IN KONDENZATORJI

V elektrostatičnem polju smo spoznali dve diferencialni veličini, ki opisujeta elektrostatično polje v neki točki. To sta:

- gostota električnega pretoka D [As/m2],

- električna poljska jakost E [V/m].

Povezani sta s snovno konstanto elektrostatičnega polja - dielektričnostjo:

A

Vm

D s

E

Dobljeno odvisnost imenujemo osnovni zakon elektrostatičnega polja v diferencialni obliki.

Obema diferencialnima veličinama pripadata integralni veličini :

- elektrina Q [As]

- električna napetost (potencial) U [V]

Obe integralni veličini sta povezani s snovno-geometrijsko lastnostjo elektrostatičnega polja - kapacitivnostjo C:

C

V

QC

U (2.74)

Kapacitivnost ima kot snovno-geometrijska lastnost svojo lastno enoto Farad, definirana je kot:

C As

1 Farad 1 1V V


33

2.5.1 Definicija kapacitivnosti

Kapacitivnost je snovno-geometrijska lastnost. Če vzamemo dve poljubni kovinski ploskvi (elektrodi), med njima namestimo dielektrik in na elektrodi priključimo napetost U, se na elektrodah nabere elektrina Q. Če je dielektričnost konstantna, je razmerje med nabrano elektrino in napetostjo za fiksno snovno-geometrijsko oblikovanost prostora konstantno. Spreminja se le, če se spreminja velikost ali razporeditev elektrod ali dielektrik med njima. Napravo s tako razmestitvijo elektrod in izbiro dielektrika med njima, da dobimo pri majhni prostornini veliko kapacitivnost, imenujemo kondenzator. Kapacitivnost je najbolj izrazita in najbolj pomembna lastnost kondenzatorja.

Enoto kapacitivnosti 1F bi imel kondenzator, na katerem bi se pri napetosti 1 V zbrala na elektrodah elektrina 1 C.

1 Farad je zelo velika enota, zato uporabljamo manjše enote:

61μF 10 F - mikrofarad,

91 nF 10 F - nanofarad,

121 pF 10 F - pikofarad.

2.5.2 Izračun kapacitivnosti kondenzatorjev

V tem poglavju bomo določili kapacitivnosti za tiste oblike elektrostatičnih polj, ki so računsko enostavno dostopne. To so ravninsko-homogeno, ravninsko-radialno in prostorsko-radialno električno polje in vse tiste oblike polj, do katerih pridemo iz njih bodisi direktno ali z dopustno aproksimacijo.

Kapacitivnost kovinske krogle

Pri osamljeni naelektreni kovinski krogli si moramo nasprotnoimensko elektrino misliti zbrano na krogli z neskončnim polmerom, tam si lahko izberemo tudi izhodišče potenciala. Zato je potencial krogle enak njeni napetosti:

04

QU V

R (2.75)

Kapacitivnost osamljene kovinske krogle je:

04 FQ

C RU

(2.76)


34

Valjni kondenzator

Valjni kondenzator predstavljata dva koncentrična valja dolžine l, ki sta izolirana z dielektrikom.

Slika 2.27: Skica valjnega kondenzatorja – enoslojno izoliranega kabla.

V bistvu gre za enoslojno izoliran kabel, napetost med žilo in plaščem valja je:

2

1

ln V2

RqU

R

Odtod je kapacitivnost valjnega kondenzatorja z upoštevanjem Q ql :

2

1

2F

ln

Q lC

RU

R

(2.77)

Če bi nas zanimala kapacitivnost enožilnega kabla z zaporednim dvoslojnim dielektrikom, bi iz enačbe:

321 2

0 1 1 2 2

1 1( ln ln )

2 r r

RRqU U U

R R

za kapacitivnost l metrov dolgega kabla dobili:

0 1 2

322 1

1 2

2F

ln ln

r r

r r

lQC

RRU

R R

(2.78)

Ploščni kondenzator

Ploščni kondenzator sestavljata dve vzporedni kovinski ploskvi s ploščino A, med njima pa dielektrik z debelino d in dielektričnostjo . Pri tem je potrebno upoštevati, da gre za dve vzporedni enaki raznoimenski ravninski elektrini, ki sta nakopičeni le na notranji strani ploskev. Če v osnovni zakon elektrostatičnega polja

D

E

vnesemo izraza, ki veljata za ravninski elektrini:

inQ U

D EA d

U

R2

R1


35

preide izraz za kapacitivnost v:

FQ DA A

CU Ed d

(2.79)

Pri ploščnem kondenzatorju sta kovinski ploskvi slabo izkoriščeni, saj je elektrina le na eni strani ploskve. Večje kapacitivnosti dosežemo z večploščnimi in blok kondenzatorji.

Slika 2.28: Večploščni kondenzator

Večploščni kondenzator sestavlja sklop n kovinskih plošč. Ker sta neizkoriščeni le zunanji strani zunanjih plošč, je kapacitivnost večploščnega kondenzatorja:

( 1) FA

C nd

(2.80)

Pri bločnem kondenzatorju dve staniolni foliji ločimo z dvema plastema izolacijske snovi (papir) debeline d in dielektričnosti , vse skupaj zvijemo v tulec, izvoda od obeh staniolnih folij izpeljemo na nasprotnih koncih in vse skupaj zalijemo s smolo. Sedaj imamo v zvitem tulcu elektrino praktično nakopičeno na obeh straneh folije in je zato kapacitivnost blok kondenzatorja:

2

FA

Cd

(2.81)

Ker je kapacitivnost odvisna od debeline papirja in tudi od natega pri zvijanju v tulec, imajo blok kondenzatorji velika odstopanja od nazivne vrednosti.

Slika 2.29: Blok kondenzator

d

A

A d


36

2.5.3 Vezave kondenzatorjev

Kot vse elemente električnih vezij tudi kondenzatorje vežemo med seboj na več načinov. Osnovni vezavi sta zaporedna (ali serijska) in vzporedna (ali paralelna) vezava. Poljubno vezavo kondenzatorjev, v kateri srečujemo tako zaporedne kot vzporedne vezave, imenujemo kombinirana vezava.

Zaporedna vezava kondenzatorjev

Zaporedno vezavo kondenzatorjev bomo razložili na primeru treh zaporedno vezanih kondenzatorjev s kapacitivnostmi 1 2 3, in C C C (slika 2.30). Zanima nas s kolikšno

nadomestno kapacitivnostjo C bi smeli nadomestiti vezje, kako se napetost porazdeli na posamezne kondenzatorje in kolikšne elektrine se nakopičijo na posameznih kondenzatorjih in vezju kot celoti?

Slika 2.30: Zaporedna vezava kondenzatorjev

Elektrine pritečejo od zunaj le na zunanji plošči, na notranjih ploščah se ustvarijo z razdelbo. Ker z razdelbo vedno nastaneta dve enako veliki raznoimenski elektrini, od zunaj pa na eno zunanjo ploščo priteče tolikšna elektrina, kot od druge zunanje plošče odteče, morajo biti elektrine na vseh zaporedno vezanih kondenzatorjih enake:

1 2 3Q Q Q Q (2.82)

Priključena napetost se razdeli na zaporedno vezane kondenzatorje:

1 2 3U U U U (2.83)

Ker osnovni zakon električnega polja v integralni obliki ( Q UC ) velja tako za

posamezne kondenzatorje kot za nadomestno vezje, je:

31 2

1 2 3

QQ QQ

C C C C

Z upoštevanjem enačbe 2.82 dobimo:

1 2 3

1 1 1 1

C C C C (2.84)

Odtod izhaja pravilo za določitev nadomestne kapacitivnosti zaporedno vezanih kondenzatorjev:

Recipročna vrednost nadomestne kapacitivnosti zaporedno vezanih kondenzatorjev je enaka vsoti recipročnih vrednosti kapacitivnosti posameznih

C

-Q3

U

U1 U2 U3

+Q3 +Q2 +Q1

U

-Q +Q -Q2 -Q1


37

kondenzatorjev!

Zaradi enakosti elektrin iz:

1 1 2 2 3 3CU C U C U C U

dobimo:

1 1 2

1 2 1

,U U CC

U C U C (2.85)

Napetosti se razdelijo na posamezne kondenzatorje v obratnem razmerju njihovih kapacitivnosti. Največjo napetost vselej dobimo na kondenzatorju z najmanjšo kapacitivnostjo!

Enačbi

1 2 1 2

2 1 2 1

in n r

n r

U C E

U C E

predstavljata isto zakonitost, le enkrat v integralni in drugič v diferencialni obliki. Prva velja za zaporedno vezavo dveh kondenzatorjev, druga pa za normalni prehod električnega polja, torej za zaporedno namestitev dielektrikov.

Isto velja za enačbi

1 2 1 2in n nQ Q D D

Prva pove, da sta na zaporedno vezanih kondenzatorjih nabrani enaki elektrini, druga pa, da na meji dveh zaporedno nameščenih dielektrikov gostoti električnega pretoka prehajata zvezno.

Vzporedna vezava kondenzatorjev

Slika 2.31: Vzporedna vezava kondenzatorjev

Tudi vzporedno vezavo kondenzatorjev bomo razložili na vzporedni vezavi treh kondenzatorjev s kapacitivnostmi 1 2 3, in C C C , na katere je priključena napetost U.

+Q1

U U

+Q2

+Q3

+Q -Q

-Q1

-Q2

-Q3


38

Ta je za vse tri kondenzatorje in nadomestno vezavo enaka:

1 2 3U U U U (2.86)

Elektrina, ki priteče v nadomestno vezje, pa je enaka vsoti elektrin na posameznih kondenzatorjih:

1 2 3Q Q Q Q (2.87)

Za vsak kondenzator in za nadomestno vezje velja osnovni zakon ( Q CU ), zato enačba

za elektrine preide v obliko:

1 1 2 2 3 3UC U C U C U C

Če upoštevamo enakost napetosti, dobimo:

1 2 3C C C C (2.88)

Nadomestna kapacitivnost vzporedno vezanih kondenzatorjev je enaka vsoti kapacitivnosti posameznih kondenzatorjev.

Enačbo 2.86 lahko zapišemo tudi v obliki:

31 2

1 2 3

QQ QQ

C C C C

Odtod izhaja način, kako se elektrine delijo na posamezne kondenzatorje:

1 1 1 1

2 2

,Q C Q C

Q C Q C (2.89)

Elektrine se delijo na posamezne kondenzatorje v premem razmerju kapacitivnosti!

Enačbi

11 1 1

2 2 2 2

in t r

t r

DQ C

Q C D

zopet predstavljata integralno in diferencialno obliko iste zakonitosti. Prva velja za razmerje elektrin na dveh vzporedno vezanih kondenzatorjih, druga pa za prehod tangencialnih komponent gostote električnega pretoka, torej za vzporedno namestitev dielektrikov.

Isto velja za enačbi:

1 2 1 2in t tU U E E

Prva pove, da sta na vzporedno vezanih kondenzatorjih napetosti enaki, druga pa, da na meji dveh vzporedno nameščenih dielektrikov električni poljski jakosti prehajata zvezno.


39

Transformaciji trikot-zvezda in zvezda-trikot

V postopkih določanja nadomestne kapacitivnosti kondenzatorskega vezja oziroma njegove razrešitve se včasih zgodi, da naenkrat nimamo nobene čisto zaporedne ali čisto vzporedne vezave kondenzatorjev. V tem primeru moramo del vezave transformirati tako, da te dobimo. Navadno opravimo transformacijo trikotniške vezave kondenzatorjev v ekvivalentno zvezdno vezavo ali nasprotno.

Slika 2.32: Skica za določanje pogojev ekvivalentnosti

Na sliki 2.32 sta predstavljeni ekvivalentni trikotniški in zvezdni vezavi kondenzatorjev. Pogoj ekvivalentnosti obeh vezav je v tem, da imata za poljuben par sponk enako nadomestno kapacitivnost.

Za transformacijo trikotne vezave v ekvivalentno zvezdno vezavo veljajo naslednji izrazi:

12 311 12 31

23

23 122 23 12

31

31 233 31 23

12

C CC C C

C

C CC C C

C

C CC C C

C

(2.90)

Za transformacijo zvezdne vezave v ekvivalentno trikotniško vezavo pa veljajo naslednji izrazi:

1 212

1 2 3

2 323

1 2 3

3 131

1 2 3

C CC

C C C

C CC

C C C

C CC

C C C

(2.91)

Če sedaj primerjamo dobljene enačbe s sliko 2.32, vidimo, da velja naslednje pravilo: a) kapacitivnost v zvezdni vezavi je dana kot vsota trikotniških kapacitivnosti iz istega

vozlišča, ki mu prištejemo produkt teh dveh, deljen s tretjo kapacitivnostjo; b) kapacitivnost v trikotniški vezavi je dana kot produkt zvezdnih kapacitivnosti, ki jo

omejujeta in ga delimo z vsoto zvezdnih kapacitivnosti.

Zapomniti si moramo torej strukturo enačb. Zapomniti si enačbe ne koristi kaj dosti, kapacitivnosti v trikotniku ali zvezdi, ki ju bomo želeli transformirati, bodo imele v praksi čisto druge oznake od tistih, ki so dane na sliki 2.32.

C12

3

C23

C31 C1

C2

C3 3 2 2

1 1


40

2.6 ENERGIJA ELEKTRIČNEGA POLJA

Kondenzator lahko imenujemo tudi energijska posoda električnega polja. Pri kondenzatorjevem polnjenju energija vanj priteka, pri praznjenju pa zopet odteka in se pretvarja v drugo obliko energije. Zato pravimo tudi, da je kondenzatorjevo polnjenje in praznjenje reverzibilen ali obratljiv energijski proces.

Električno energijo, nakopičeno v celotnem električnem polju, ki ga povzroča neki nabor elektrin, označimo z eW . To je integralna veličina, navadno jo izrazimo s samimi

integralnimi veličinami.

Električno energijo, nakopičeno v enoti prostornine, imenujemo prostorninsko gostoto energije in jo označimo z ew . To je diferencialna veličina in jo izražamo s samimi

diferencialnimi veličinami. Če gostoto energije poznamo, določimo celotno energijo električnega polja z:

Je e

v

W w dV (2.92)

kjer V zajema celoten prostor, v katerem obstaja električno polje.

Zanimata nas oba izraza: izraz za celotno energijo električnega polja eW in izraz za

gostoto energije električnega polja ew . Če poznamo enega od njiju, lahko določimo

drugega.

Za gostoto energije električnega polja poznamo naslednji izraz:

2 2

2

J

2 2 2 me

DE E Dw (2.93)

kjer smo upoštevali D E .

Pri znani gostoti energije električnega polja lahko celotno v električnem polju nakopičeno energijo eW določimo z uporabo homogenega električnega polja in potem

izraz posplošimo za vse oblike električnih polj.

V homogenem električnem polju je nakopičena električna energija:

2 2

J2 2 2 2

e e

DE QU U C QW w V Ad

C (2.94)

kjer je A površina plošč kondenzatorja, d pa razmik med ploščama. To je integralna oblika še enega osnovnega zakona električnega polja, ki pa je le integralni ekvivalent 2.6.8. Če upoštevamo ustreznost analogije diferencialnih in integralnih veličin:

e ew W

E U

D Q

C

lahko iz ene oblike takoj preidemo v drugo.

41

3 TOKOVNO POLJE

V poglavju o elektrostatičnem polju smo govorili o električnem polju v snoveh, ki praktično nimajo gibljivih nosilcev elektrin, te pa smo označili z dielektriki ali izolatorji.

Snovi, ki pa imajo gibljive nosilce elektrin, smo označili kot prevodnike. Če imamo v prevodni snovi električno polje, se bodo zaradi Coulombove sile gibljive elektrine začele premikati. V prevodni snovi dobimo električni tok. V bodoče bomo pod pojmom električni tok razumeli vsako urejeno in usmerjeno gibanje elektrin. Prostor, v katerem imamo gibajoče se elektrine, bomo v bodoče imenovali tokovno polje.

3.1 OSNOVNE ZAKONITOSTI TOKOVNIH POLJ

Električni tok je usmerjeno in urejeno gibanje elektrin. Če imamo v prevodni snovi električno polje, se bodo prosti nosilci elektrine začeli premikati.

Pozitivna gibljiva elektrina se bo premikala v smeri električne poljske jakosti. Smer gibanja pozitivne elektrine so definirali kot pozitivno smer električnega toka. Takrat še ni bilo znano dejstvo, da so gibljivi nosilci elektrine v kovinah, plinih in vakuumu prosti elektroni, torej negativni kvanti elektrine. Zato bo smer gibanja elektronov nasprotna od pozitivne smeri električnega toka. Če želimo izrecno govoriti o gibanju elektronov, govorimo o elektronskem toku.

3.1.1 Definicija in enota električnega toka

Električni tok definiramo kot količino elektrine, ki v časovni enoti steče skozi vodnik:


42

AdQ

idt

(3.1)

torej kot spremembo elektrine po času. Da ne bo dvoma, za kakšno spremembo elektrine gre, se moramo odločiti, ali bomo gledali iz zornega kota izvora ali porabnika.

Pozitivna smer električnega toka je definirana s smerjo sile na pozitivno elektrino, tj. v smeri električne poljske jakosti, od točke višjega potenciala proti točki nižjega potenciala. Če gledamo iz zornega kota porabnika, to pomeni, da elektrina k porabniku priteka in bi električni tok izrazili kot:

AdQ

idt

(3.2)

V enačbi (zgoraj) bi lahko bil predznak tudi negativen, kar bi pomenilo gledanje smeri toka iz zornega kota izvora.

Če je električni tok časovno konstanten (po smeri in velikosti), govorimo o enosmernem toku in ga označimo s črko I, sicer pa o časovno spremenljivem toku in ga označejemo z malo črko i.

Enota električnega toka 1 A (Amper) je izbrana kot osnovna enota merskega sistema. Pri toku 1 A steče skozi vodnik v enoti časa 1 s elektrina 1 As .

3.1.2 Gostota električnega toka

Ko smo obravnavali elektrostatična polja, nas je poleg velikosti elektrine Q zanimala tudi

površinska gostota elektrine oziroma gostota električnega pretoka D . Povsem analogno sliko dobimo tudi v tokovnem polju: poleg električnega toka i nas zanima tudi

gostota električnega toka J .

Ločimo dve vrsti gostot električnega toka:

a) gostota konduktivnega električnega toka in b) gostota poljskega toka.

Do prve prihaja v prevodni snovi pod vplivom vsiljene električne poljske jakosti, do druge pa v dielektriku, kjer se električna poljska jakost zaradi pritekanja ali odtekanja elektrin spreminja, spričo česar pride do premika elektrin. Oglejmo si obe vrsti gostot.

Konduktivna gostota električnega toka

Tokovno polje grafično ponazarjamo z električnimi silnicami, ki imajo smer električne

poljske jakosti E , in tokovnicami, ki imajo enako smer in povsod oklepajo enako velik diferencialni tok di. Ploskve, ki v tokovnem polju stojijo povsod pravokotno na električni poljski jakosti, so zopet ekvipotencialne ploskve. Če v neki točki tokovnega polja tokovnica oklepa diferencialni tok di, naj ima presek ekvipotencialne ploskve in tokovnice ploščino dA.

Tokovno polje

43

Konduktivna gostota električnega toka je potem podana z:

k

diJ

dA A/m2 (3.3)

V vodnikih, ki imajo praviloma konstanten presek, je konduktivna gostota električnega toka:

k

iJ

A A/m2 (3.4)

Konduktivna gostota električnega toka J je vektorska veličina, ki ima v izotropnih

prevodnih snoveh vedno isto smer kot električna poljska jakost E , ki jo povzroča.

Če diferencialna ploskev dA ne stoji pravokotno na smer gostote (ali toka), moramo upoštevati samo tisto ploskev, ki stoji pravokotno na smer toka. Diferencial ploskve

zapišemo kot vektorsko veličino dA :

1ndA dA

kjer je 1n enotina normala na diferencial ploskve dA.

Slika 3.1: Definiranje gostote konduktivnega električnega toka

Sedaj je diferencial toka:

coskdi J dA JdA JdA (3.5)

kjer je:

cosdA dA

projekcija ploskve, ki stoji pravokotno na gostoto (projekcija ploskve dA na

ekvipotencialno ploskev) in je α kot med normalo ploskve 1n in smerjo gostote

električnega toka kJ . Električni tok di je podan s skalarnim produktom gostote

električnega toka kJ in diferencialne ploskve dA .

Električni tok i določimo pri znani gostoti električnega toka kJ skozi poljubno ležečo

ploskev A z:

1n

di

dA

dA

kJ

E α


44

d cos dk k

A A

i J A J A (3.6)

V praktičnih izračunih izbiramo presek A navadno tako, da stoji pravokotno na smer toka ( cos 1). Ker je presek vodnikov A poleg tega še navadno konstanten, preide izraz za tok v obliko:

Aki J A (3.7)

Tokovno polje v vodniku s konstantnim presekom imenujemo homogeno tokovno polje.

V tokovnem polju se elektrine ne morejo kopičiti: kolikor elektrine v neki diferencialni volumen tokovnega polja priteče, toliko je mora iz nje tudi odteči. Če vzamemo v tokovnem polju sklenjeno ploskev A, ki oklepa prostornino, mora zanjo veljati:

0kAJ dA (3.8)

Dobljeni izraz imenujemo 1. Kirchhoffov zakon tokovnega polja, ki pove: kolikor elektrine v zaključeno ploskev priteka, toliko je mora iz zaključene ploskve tudi odteči. Pri aplikaciji tega zakona v električnih uporovnih (in tudi drugih) vezjih bomo kasneje uporabljali tudi izraz Kirchhoffov zakon vozlišča.

Gostota poljskega toka

Do časovnega premika elektrin prihaja tudi v dielektrikih, če imamo v njih časovno spremenljivo električno polje. Električni tok i v kondenzator po sliki 3.2 priteka le, če se s časom spreminja napetost u na sponkah kondenzatorja. Tolikšen tok, kot priteka na levo ploščo, z desne odteka.

Slika 3.2: Skica za definicijo gostote poljskega toka pJ

Z naraščanjem elektrine Q se gostota električnega pretoka D sorazmerno veča:

Q DA

-Q

-

D

A i

u

i

+Q

+

Tokovno polje

45

Električni tok i, ki pri tem priteka na levo oz. odteka z desne plošče kondenzatorja, je:

dQ dD

i Adt dt

(3.9)

Če ta izraz primerjamo z izrazom za homogeno tokovno polje v prevodni snovi:

ki J A

je razvidno, da ima izraz:

pdD

Jdt

(3.10)

pomen gostote električnega toka, ki jo imenujemo gostota poljskega toka pJ . Pri

časovnem spreminjanju električnega polja v dielektriku kondenzatorja se električni tok v dovodih zaključuje prek dielektrika kot poljski tok. Dielektrik pomeni za enosmerne toke prekinitev (prekinjen tokokrog), za izmenične toke pa ne.

Če v enačbo 3.9 vstavimo za spremenljivo vrednost elektrine:

( )Q t Cu

in predpostavimo C=konst, dobi ta še drugo, izredno zanimivo obliko:

dQ du

i Cdt dt

(3.11)

Enačba 3.11 podaja za kondenzator (s konstantno kapacitivnostjo) povezavo med tokom

i skozi kondenzator in časovno spremembo napetosti du

dt na njem.

3.1.2 Električno polje v prevodni sovi

V elektrostatičnih poljih v notranjosti prevodne snovi električnega polja nismo imeli, na površini prevodne snovi pa le normalno komponento električne poljske jakosti, saj sicer tam prisotni gibljivi naboji ne bi mirovali.

V tokovnih poljih pa v prevodnih snoveh moramo imeti električno polje. Zaradi prisotnosti električnega polja se bodo gibljive elektrine premikale in tako ustvarjale električni tok.

Ker električne vodnike obdajajo izolatorji (dielektriki), se sprašujemo, kako je sedaj s prehodom električnega polja na meji prevodna snov ‒ izolator in kakšno električno polje imamo v izolatorju, ki vodnik obdaja z električnim tokom?


46

Slika 3.3: Električno polje v prevodni snovi in zunaj nje

V notranjosti prevodne snovi imata tako E kot J isto smer in glede na površino vodnika

le tangencialno komponento. Zato mora le-ta na mejni ploskvi prevodna snov ‒ izolator prehajati zvezno. Ker ima površina vodnika glede na okolico (zemlja) neki določen električni potencial (na sliki 3.3 predpostavljamo pozitiven predznak), se bo tam na površini nabrala površinska gostota elektrine p

, ki ji po zakonitosti:

0

p

nE (3.12)

pripada v izolatorju normalna komponenta električne poljske jakosti nE . V notranjosti

prevodne snovi pa normalne komponente ni, kar bi tudi izhajalo iz prehoda normalnih komponent, če menimo, da ima prevodna snov neskončno relativno dielektričnost.

V prevodni snovi so ekvipotencialne ploskve pravokotne na smer električnega polja; električni potencial pada v smeri električnega toka. V zunanjosti prevodne snovi pa ima električna poljska jakost obe komponenti, od teh je normalna komponenta dosti večja od tangencialne. Skupna električna poljska jakost na površini vodnika je:

n tE E E (3.13)

ali

2 2n tE E E (3.14)

Skupna električna poljska jakost na površini vodnika je nagnjena v smeri električnega toka. Ker so ekvipotencialne ploskve pravokotne na električno poljsko jakost, stojijo v zunanjosti vodnika poševno in se končujejo na površini vodnika. Površina vodnika ni več ekvipotencialna ploskev. Električni potencial na površini vodnika upada v smeri toka. Sprememba potenciala se porablja za pogajanje elektrine skozi vodnik.

J

+

tE

E nE

+ +

+ + +

izolator

V

prevodnik

Va

a

Va+ΔV

Va

Va+ΔV

Tokovno polje

47

3.2 OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI

Omejili se bomo le na kovine, ki predstavljajo pretežni del prevodnih snovi. V kovinah so gibljivi nosilci elektrin prosti elektroni.

Vzemimo za primer baker, za katerega velja, da je praktično vsak njegov atom brez elektrona na zadnji polzasedeni tirnici. Ta elektron se kot prosti elektron premika v kristalni strukturi bakra, saj je termična energija snovi večja od potencialne energije tega najbolj šibko vezanega elektrona.

Poznamo maso in elektrino elektrona:

319,11 10 kgem in 180,16 10 Ase

Na prosti elektron z elektrino -e deluje zaradi električne poljske jakosti E sila:

NeF eE m a

ki podeli masi elektrona pospešek:

e

ea E

m m/s2 (3.15)

Pospešek deluje zaradi negativnega predznaka elektrine v nasprotni smeri električne

poljske jakosti E .

V kovinskem prevodniku opravljajo prosti elektroni dvoje vrst gibanj: a) gibanje zaradi termične energije (brez prisotnega električnega polja) in b) gibanje zaradi vsiljenega električnega polja.

Brez zunanjega električnega polja posamični prosti elektroni zaradi različno velikih termičnih hitrosti opravljajo kaotično gibanje, ki pa v povprečju ne daje nobenega premika elektrin, torej nobenega toka. Njihova posledica je le to, da ob trkih s kristalno strukturo oddajajo ali prejemajo kinetično energijo in s tem posredujejo širjenje toplote po kovini.

Če imamo v prevodni snovi električno polje, dodatno dobimo še translacijsko gibanje prostih elektronov zaradi električnega polja. Pri tem moramo imeti v mislih, da električno polje pospešuje elektron le med dvema trkoma, zato je translacijska ali

"potovalna" hitrost prostega elektrona odvisna od povprečne termične hitrosti tv ,

pospeška prostega elektrona a in povprečnega časa prostega leta elektrona med dvema zaporednima trkoma.

Povprečna v času prepotovana razdalja s je:

ps v (3.16)

kjer je:

- pv ‒ povprečna potovalna hitrost prostega elektrona in


48

- ‒ povprečni čas prostega leta elektrona med dvema zaporednima trkoma.

V času med dvema trkoma deluje na prosti elektron pospešek po enačbi 3.15. Ob trku ima tako elektron maksimalno hitrost:

m

e

eEv a

m (3.17)

Povprečna potovalna hitrost je polovična:

2 2 2m

p

e

v a eEv

m (3.18)

Izberimo sedaj v električnem polju vodnika prostorski element v obliki valja s prostornino:

dV Adl

ki ima os valja v smeri polja. Če imamo v vodniku n gibljivih nosilcev elektrine na enoto prostornine, je v prostornini dV gibljiva elektrina:

dQ nedV neAdl (3.19)

Da bo v časovnem intervalu dt vsa ta elektrina zapustila valj, moramo dolžino dl izbrati tako, da bo:

pdl

vdt

Slika 3.4: Skica za izpeljavo Ohmovega zakona v diferencialni obliki

Tok i, ki vstopa v ploskev A, je:

pdQ dl

i neA neAvdt dt

(3.20)

Gostota električnega toka v vodniku je:

pi

J nevA

(3.21)

Če vstavimo sedaj izraz za povprečno potovalno hitrost in pri tem upoštevamo kolinearnost električne poljske jakosti in gostote električnega toka, dobimo:

A

n

dl

J

E i

Tokovno polje

49

2

2 e

neJ E E

m A/m2 (3.22)

Ker sta inJ E kolinearna vektorja, je izraz:

2 A

2 Vse

ne

m ( 3.23)

skalarna vrednost. Imenujemo jo svojska ali specifična prevodnost in je snovna lastnost prevodne snovi. Enačba 3.22 povezuje tri diferencialne veličine tokovnega polja. Imenujemo jo Ohmov zakon v diferencialni obliki.

3.2.1 Svojska prevodnost in svojska upornost

Svojska prevodnost je snovna lastnost prevodnikov. Za razliko od dielektričnosti ni konstanta. Odvisna je še od vrste drugih dejavnikov, v kovinah pa v prvi vrsti od temperature.

Iz izraza:

2

2 e

ne J

m E

je razvidno dvoje:

a) Svojska prevodnost predstavlja gostoto električnega toka pri električni poljski jakosti 1 V/m.

b) Svojska prevodnost je odvisna od števila gibljivih nosilcev elektrin n in

povprečnega časa prostega leta elektrona. Oba faktorja pa sta temperaturno odvisna. V kovinah je za manjša temperaturna območja število prostih elektronov praktično konstantno, čas prostega leta pa s porastom temperature pada. Zato tudi svojska prevodnost čistih kovin s porastom temperature pada.

Recipročno vrednost svojske prevodnosti:

E

J

1 Vm

A (3.24)

imenujemo svojska ali specifična upornost. Očitno je ta dana kot električna poljska jakost, pri kateri bo gostota električnega toka 1 A/m2.

Če iščemo temperaturno odvisnost svojske upornosti v ožjem temperaturnem območju (npr. od 0 do 100 0C), jo smemo brez večje napake aproksimirati s premico. Izpeljava izraza za linearno aproksimacijo temperaturne odvisnosti svojske upornosti izhaja iz slike 3.5.

Najprej izmerimo svojsko upornost pri temperaturi 0 in jo označimo z 0 . Svojsko

upornost pri poljubni temperaturi potem označimo z . V zgodovinskem razvoju


50

elektrotehnike so za izhodiščno temperaturo najprej izbrali 00 20 C , v zadnjem času

pa se vse bolj uveljavlja izbira 00 0 C .

Slika 3.5: Skica za izpeljavo temperaturne odvisnosti svojske upornosti

Iz linearizirane temperaturne odvisnosti svojske ohmske upornosti je razvidno:

0 1tan

K (3.25)

kjer je temperaturni količnik svojske upornosti. Prirastku temperature pripadajoči prirastek svojske upornosti je:

0

Svojska upornost pri temperaturi je:

0 0

Vm(1 )

A (3.26)

Temperaturni količnik je pozitiven, če svojska upornost s temperaturo narašča, in negativen, če pada.

Za nekatere prevodne snovi in velika temperaturna območja pa moramo temperaturno odvisnost svojske upornosti aproksimirati s parabolo višjega reda:

2 30

Vm(1 )

A (3.27)

0

0

0

0

1

0

Tokovno polje

51

3.3 OHMOV ZAKON V INTEGRALNI OBLIKI

Za znano diferencialno obliko Ohmovega zakona tokovnega polja lahko pripadajočo integralno obliko preprosto zapišemo tako, da vse diferencialne veličine in snovne lastnosti v diferencialni obliki zakona nadomestimo s pripadajočimi integralnimi veličinami in snovno geometrijskimi lastnostmi.

Iz očitne povezave:

2A/m A

V/m V

A/Vm A/V

Vm/A V/A

J

E V

G

R

ter iz diferencialne oblike Ohmovega zakona:

E

J E

takoj lahko zapišemo njeno integralno obliko:

U

I UGR

(3.28)

Razmerje toka in napetosti za določen prostor tokovnega polja definiramo kot ohmsko prevodnost G:

A/VI

GU

(3.29)

Ohmska prevodnost G je snovno geometrijska lastnost tokovnega polja. Definirana je kot tok, ki ga skozi določen prostor tokovnega polja požene potencialna razlika (napetost) 1 V. Kot vse integralne veličine ima ohmska prevodnost svojo enoto 1 S (Siemens):

A

1 S 1V

Razmerje napetosti in toka za določen prostor tokovnega polja definiramo kot ohmsko upornost R:

V

A

UR

I (3.30)

Ohmska upornost je recipročna vrednost ohmske prevodnosti in kot taka zopet snovno geometrijska lastnost tokovnega polja. Definirana je kot napetost, ki jo na določenem prostoru tokovnega polja povzroči tok 1 A. Ima svojo enoto 1 (ohm):

V

1 1A


52

Električni element, za katerega je ohmska upornost najizrazitejša lastnost, imenujemo ohmski upor.

Upornost 1 ima ohmski upor, na katerem bi pri toku 1 A dobili potencialno razliko 1 V. Oziroma obrnjeno: prevodnost 1 S ima ohmski upor, skozi katerega potencialna razlika 1 V požene tok 1 A.

Ker je v kovinskih prevodnikih odvisna tako ohmska upornost R kot njena recipročna vrednost G predvsem od temperature, uporabljamo za izračun temperaturne odvisnosti ohmskih upornosti strukturno enake odvisnosti kot za svojske upornosti:

0(1 )R R (3.31)

Izraz velja za ožja temperaturna območja.

Za določitev ohmske upornosti ali prevodnosti za neko snovno geometrijsko oblikovanost homogenega tokovnega polja velja:

U EI

in

I JA

Sedaj določimo R ali G direktno iz nastavka:

U EI I I

RI JA A A

(3.32)

SI JA A A

GU EI I I

(3.33)

kjer smo upoštevali Ohmov zakon v diferencialni obliki:

E

J E

3.4 MOČ IN DELO V TOKOVNEM POLJU

Če v prevodni snovi ni električnega polja, v prevodni snovi zaradi termičnega gibanja ne dobimo nobenega rezultantnega premika elektrin, pač pa ima gibanje za posledico prevod toplote od mesta z višjo temperaturo proti mestu z nižjo temperaturo. Prevodniki z obilico gibljivih nosilcev elektrin niso le dobri prevodniki električnega toka, ampak tudi dobri prevodniki toplote.

Če je v prevodni snovi električno polje, se prosti elektroni zaradi električne poljske jakosti pospešujejo v nasprotni smeri od smeri polja. Pri tem iz električnega polja črpajo energijo in jo kopičijo v kinetični energiji. Ko jo ob trku s kristalno strukturo oddajo

Tokovno polje

53

kristalni strukturi, ta močneje niha in njena notranja energija narašča. Električna energija se na ohmski upornosti spreminja v izgubno džulsko toploto. Količino električne energije, ki se v tokovnem polju v časovni enoti pretvori v toploto, imenujemo izgubna ali džulska moč P. Moč v enoti prostornine imenujemo tudi prostorska gostota moči p. Obe veličini sta povezani:

3W/mdP

pdV

(3.34)

WV

P pdV (3.35)

Zakonitost, ki opredeljuje odvisnost izgubne moči in njene gostote, se imenuje Joulov zakon.

Joulov zakon v diferencialni obliki

Zaradi pospeševanja v električnem polju bo prosti elektron v povprečnem času prostega

leta pridobil dodatno kinetično energijo:

2 222

2 2

meel

e

m v ew E

m (3.36)

kjer je:

m

e

ev E

m

maksimalna vrednost hitrosti, ki jo je pridobil prosti elektron v povprečnem času

prostega leta. V časovnem intervalu se vsak elektron enkrat zaleti, količina kinetične energije, ki jo v enoti prostornine predajo prevodni snovi, je:

222 3J/m

2el

e

new nw E

m (3.37)

in prostorska gostota izgubne moči:

2

2 2 3W/m2 e

w nep E E

m (3.38)

kjer smo vstavili:

2

2 e

ne

m

Če upoštevamo še Ohmov zakon v diferencialni obliki:


54

E

J E

dobimo vseh pet oblik izraza za prostorsko gostoto izgubne moči:

2 22 2 3W/m

E Jp JE E J (3.39)

Joulov zakon v integralni obliki

Do integralne oblike Joulovega zakona lahko najpreprosteje pridemo, če upoštevamo enako strukturno obliko diferencialne in integralne oblike zakona. Iz

2

3

A/m A,

V/m V,

m ,

S/m S,

W/m W,

J I

E U

R

G

p P

lahko iz enačbe 3.39 takoj zapišemo vseh pet oblik integralnega Joulovega zakona:

2 2

2 2 WU I

P UI GU RIR G

(3.40)

Če izhajamo iz diferencialne oblike Joulovega zakona, lahko integralno obliko tudi izpeljemo z uporabo enačbe 3.35. Ker splošna oblika osnovnega zakona vedno velja za vse primere, jo najraje izpeljemo iz najpreprostejšega, tj. iz homogenega tokovnega polja. Tako iz:

P pV

ob upoštevanju:

inp JE V Al

dobimo:

WP JE Al El JA UI

Oba načina določitve zakonitosti sta preprosta.

Enota električne moči je 1 W (vat). Na ohmskem uporu se porablja električna moč 1W, če napetost 1 V požene skozi njo tok 1 A.

V časovno konstantnem tokovnem polju (enosmerni toki) se v času t pretvori v džulsko toploto, oz. opravi električno delo:

2 22 2 J=Ws

U t I tW Pt UIt U Gt I Rt

R G (3.41)

Tokovno polje

55

3.5 OSNOVNE ZAKONITOSTI ENOSMERNIH ELEKTRIČNIH VEZIJ

Prostor, po katerem se zaključuje tokovno polje, imenujemo električni tokokrog ali tudi električno vezje. Če želimo imeti v električnem tokokrogu električni tok, tj, stalno gibanje elektrin, mora električno vezje vsebovati enega ali več virov električne energije, poskrbeti moramo za stalen dotok električne energije.

Če električnemu tokokrogu v nekem mestu dovajamo električno energijo, se ta na nekem drugem mestu pretvarja v druge oblike energije (toplotno, mehansko itd.) in s tem tokokrogu odvzema.

Naprave, ki pretvarjajo energije drugih oblik v električno, imenujemo generatorji ali viri električne energije. Naprave, na katerih električno energijo porabljamo (pretvarjamo nazaj v druge oblike energije), imenujemo porabniki. V električnem tokokrogu imamo torej pretok energije od virov do porabnikov.

Slika 3.6: Skica električnega tokokroga

V podani skici pomeni neW neelektrično obliko energije, elW pa električno obliko

energije.

Določeno vezavo virov električne energije in porabnikov, ki so med seboj povezani z vodniki, imenujemo električno vezje. Pod pojmom razrešitev električnega vezja razumemo določitev tokov in napetosti (s tem tudi moči) na vseh elementih vezja.

3.5.1 Viri električne napetosti

Vire električne napetosti imenujemo tudi generatorji električne napetosti. Idealen električni generator napetosti je tak vir električne napetosti, pri katerem je napetost na sponkah generatorja U (ali delovna napetost generatorja) neodvisna od priključenega

bremena in je enaka lastni napetosti generatorja 0U , le tok skozi generator mora imeti

končno vrednost.

I

-

neW

Porabnik Generator

neW

elW

-

+ +

Ug

I

Up


56

Slika 3.7: Nadomestna vezava napetostnega generatorja:

a) idealen napetostni generator, 00 in nR U U

b) realen napetostni generator, 00 in nR U U

Pri realnem napetostnem generatorju delovna napetost na sponkah generatorja U s porastom toka (t. j. porastom obremenitve) pada. To upoštevamo tako, da zaporedno z idealnim napetostnim generatorjem z lastno napetostjo U0 vežemo zaporedno ohmsko upornost Rn, ki ji pravimo notranja upornost napetostnega generatorja.

Delovna napetost U ali napetost na sponkah napetostnega generatorja je potem od lastne napetosti U0 manjša za notranji padec napetosti:

n nU IR (3.42)

in znaša:

0 nU U IR (3.43)

Notranja upornost Rn realnega napetostnega generatorja tudi opredeljuje največji možni tok realnega napetostnega generatorja Ik, ki bi ga dobili, če bi sponki napetostnega generatorja kratko vezali. Za U=0 dobimo kratkostični tok:

0k

n

UI

R (3.44)

oziroma če tega poznamo, notranjo upornost napetostnega generatorja:

0n

k

UR

I (3.45)

Iz obeh enačb izhaja delovna karakteristika realnega generatorja enosmerne napetosti na sliki 3.8.

Za Rn=0 je to karakteristika idealnega napetostnega generatorja. Pri realnem napetostnem generatorju z naraščanjem obremenitve delovna napetost pada. Tok izvora z obremenitvijo narašča in doseže največjo vrednost Ik, ko so sponke napetostnega generatorja kratko vezane.

U=U0 U0

I

U=Ug-IRn U0

I Rn

a) b)

Tokovno polje

57

Slika 3.8: Delovna karakteristika realnega napetostnega generatorja

Tipični predstavniki enosmernih napetostnih generatorjev so galvanski členi. Dober napetostni generator naj ima čim bolj položno karakteristiko, da se bo delovna napetost napetostnega generatorja z obremenitvijo čim manj spreminjala.

Element ali del električnega vezja z dvema priključnima sponkama imenujemo dvopol. Generator električne energije ali del električnega vezja, ki vsebuje vire električne energije, imenujemo aktivni dvopol.

3.5.2 Viri električnega toka

Idealni tokovni generator je generator električnega toka, ki daje od obremenitve neodvisno vrednost električnega toka, le napetost na sponkah tokovnega generatorja mora ostati končna.

Realnemu tokovnemu generatorju oddani tok z manjšanjem obremenitve upada. To upoštevamo tako, da vzporedno z idealnim tokovnim virom Ik vežemo notranjo prevodnost tokovnega vira Gn.

Slika 3.9: Tokovni generator:

a) Idealni tokovni generator, 0 in n kG I I

b) Realni tokovni generator, 0 in n kG I I

Tok na sponkah realnega tokovnega generatorja je dan z:

k nI I UG (3.46)

U

U0

U 0 nU U IR

lastna napetost

I

delovna napetost

I Ik

-

U=U0 Ik

I

U Ik

I

Gn

a) b) -

+ +


58

in izstopa iz sponke tokovnega vira z višjim potencialom in vstopa v sponko z nižjim potencialom.

Notranja prevodnost Gn opredeljuje največjo možno napetost na sponkah tokovnega generatorja, ki jo dobimo, ko sta sponki tokovnega generatorja odprti. Iz:

0 k nI UG

dobimo:

0k

n

IU

G (3.47)

Lastni tok Ik tokovnega generatorja imenujemo tudi kratkostični tok, saj se tok pri kratko sklenjenih sponkah tokovnega generatorja ves sklene prek njih. Na sliki 3.10 je prikazana delovna karakteristika realnega tokovnega generatorja.

Slika 3.10: Delovna karakteristika realnega tokovnega generatorja

Dober tokovni generator mora imeti čim položnejšo karakteristiko, da se bo tok skozi porabnik s spreminjanjem obremenitve čim manj spreminjal.

Že uvodoma smo omenili, da je vsak napetostni generator v bistvu tudi generator električnega toka in obrnjeno. V čem je torej razlika med obema?

Če v enačbi 3.43

0 nU U IR ,

obe strani enačbe delimo z Rn in upoštevamo:

1

n

n

GR

, (3.48)

dobimo:

k nI I UG

To pa je izraz za delovno karakteristiko realnega tokovnega generatorja. Od tod izhaja prva pomembna ugotovitev:

I

Ik

I

n kUG I I

lastni tok Ik

U

tok skozi porabnik

U U0

Tokovno polje

59

Vsak realni napetostni generator je mogoče nadomestiti z ekvivalentnim realnim tokovnim generatorjem.

Druga ugotovitev izhaja iz primerjave obeh delovnih karakteristik. Iz slik 3.8 in 3.10 izhaja, da je delovna karakteristika realnega tokovnega generatorja le okoli glavne diagonale zavrtena delovna karakteristika ekvivalentnega napetostnega generatorja. Torej položni delovni karakteristiki realnega napetostnega generatorja pripada strma delovna karakteristika ekvivalentnega tokovnega generatorja in obrnjeno.

Dobremu napetostnemu generatorju pripada slab ekvivalentni tokovni generator in obrnjeno.

3.5.3 Prvi Kirchhoffov zakon ali zakon vozlišča

V tokovnih poljih smo prvi Kirchhoffov zakon za zaključeno ploskev zapisali v obliki

0AJ dA

saj se elektrina v tokovnem polju ne more kopičiti.

V električnih vezjih tečejo električni toki le v vodnikih. Zato dobi prvi Kirchhoffov zakon v električnih vezjih obliko:

1

0n

ni

I (3.49)

Iz zaključene ploskve izstopajoče toke štejemo pozitivno, vstopajoče pa negativno. Vsota tokov, ki v zaključeno ploskev vstopajo, je enaka nič, ali vsota izstopajočih tokov je enaka vsoti vstopajočih tokov. V tej obliki je prvi Kirchhoffov zakon univerzalno veljaven.

Če postavimo zaključeno ploskev v električnem vezju tako, da oklepa eno samo vozlišče, pravimo prvemu Kirchhoffovemu zakonu tudi zakon vozlišča.

Slika 3.11: Aplikacija prvega Kirchhoffovega zakona na eno samo vozlišče

Za vozlišče po sliki 3.11 ima prvi Kirchhoffov zakon obliko:

1 2 3 0I I I (3.50)

I3

I2 I1

A


60

Lahko ga zapišemo tudi kot:

1 2 3I I I (3.51)

Kar pomeni, da je vsota tokov, ki v vozlišče (zaključeno ploskev) pritekajo, enaka vsoti tokov, ki iz vozlišča (zaključene ploskve) odtekajo.

3.5.4 Drugi Kirchhoffov zakon ali zakon zanke

Če smo v elektrostatičnem polju poiskali integral električne poljske jakosti po sklenjeni poti, smo ugotovili, da je ta v elektrostatičnem polju enak nič:

0lE dl

Ker je začetna točka sklenjene poti tudi že končna točka, med njima ne more obstajati potencialna razlika. Isto velja tudi za tokovno polje in za poljubno zaključeno pot v električnem vezju. Ta mora potekati po prevodnih snoveh, zato tudi zanjo velja:

0lE dl (3.52)

Sklenjeno pot v električnem vezju imenujemo tudi zanka. Drugi Kirchhoffov zakon, ki ga apliciramo na električna vezja, imenujemo zato tudi zakon zanke. Za praktično uporabo v električnih vezjih zapišemo ta zakon v drugačni, vezjem prilagojeni obliki, ki jo bomo prikazali na praktičnem zgledu.

Na sliki 3.12 je prikazano električno vezje, ki vsebuje dva realna napetostna generatorja (s podanima lastnima napetostima U01 in U02 in notranjima upornostima R1 in R2) in tri porabnike z ohmskimi upornostmi ( 3 4 5, inR R R ). Nakazana je tudi izbrana smer obhoda

zanke.

Slika 3.12: Zapis zakona zanke za izbrano sklenjeno pot (zanko)

Topografsko imenujemo točko v električnem vezju, v katero je vezano več elementov (tri ali več), vozlišče (tudi stičišče), povezavo med dvema vozliščema vejo, poljubno sklenjeno pot v vezju pa zanko.

+

U01

C

B A

U02

-

+

+ + +

-

- - - R5

R4

R3

R2 R1

I4

I2 I1

Tokovno polje

61

Medtem ko so za električne vire smeri delovanja virov s polaritetami virov podane, moramo smeri tokov v vejah izbrati. V vejah z virom izberemo smer toka v smeri delovanja vira, v vejah z ohmskimi upori pa poljubno. Če smo smer katerega od tokov napačno izbrali, se v postopku razrešitve vezja to kaže tako, da njegovo vrednost dobimo z negativnim predznakom.

Ko smo smer toka skozi ohmski upor izbrali, smo s tem opredelili tudi polariteto potencialne razlike na njem. Tok teče skozi ohmski upor od sponke z višjim potencialom proti sponki z nižjim potencialom.

Eni točki v električnem vezju smemo električni potencial izbrati. Naj ima vozlišče A električni potencial VA. Nato potujemo v izbrani smeri obhoda zanke in na vsakem elementu prištejemo potencialno razliko. Ta je pozitivna, če gremo prek elementa od točke nižjega proti točki višjega potenciala (prirastek potenciala), in negativna, če gremo od točke višjega proti točki nižjega potenciala (padec potenciala). Ko smo tako po sklenjeni poti zopet prišli nazaj v izhodišče (točka A), imamo tam seveda zopet potencial VA. Zapišimo to enačbo za izbrano zanko. Spremembo potenciala na ohmskem uporu imenujemo padec napetosti, njegova vrednost je dana po Ohmovem zakonu.

4 4 02 2 2 1 1 01A AV I R U I R I R U V (3.53)

V zaključeni zanki električnega vezja je sprememba potencialov enaka nič.

Sedaj prenesemo padce napetosti na nasprotno stran (prek enačaja), izhodiščni potencial VA se odšteje in dobimo:

01 02 1 1 2 2 4 4U U I R I R I R (3.54)

Za tako zapisan Kirchhoffov zakon zanke pravimo:

V zaključeni zanki je vsota napetosti virov enaka vsoti padcev napetosti na ohmskih uporih zanke.

Slika 3.13: Skica sprememb potenciala za zanko na sliki 3.12

Na sliki 3.13 so prikazane spremembe potencialov, ko obkrožimo zanko ABCA v nakazani (urni) smeri. Ko iz točke A pridemo do ohmskega upora z upornostjo R4, dobimo tam porast potenciala I4R4 na vrednost potenciala VB v točki B. Ko gremo prek napetostnega vira 2, dobimo za podano polariteto padec potenciala -U02 in nato na notranji upornosti vira R2 porast potenciala I2R2 na vrednost potenciala VC v točki C.

A

VB

U02

C B A

VA VA VC U01

I1R1

I4R4

I2R2


62

Nato dobimo na notranji upornosti R1 padec potenciala -I1R1 in nato zaradi polaritete vira 1 porast potenciala za U01 na velikost potenciala VA v točki A.

Izbrana smer obhoda je nepomembna, saj ima obrnjena izbira smeri za posledico originalno enačbo, pomnoženo z -1.

3.5.5 Vezave ohmskih uporov

Določeno vezje ohmskih uporov z dvema priključnima sponkama je tipičen pasivni dvopol. Nadomestiti ga smemo z enim samim ohmskim uporom in njegovo nadomestno ohmsko upornostjo. Obenem želimo določiti še tokove in padce napetosti na vseh uporih v vezju.

Zaporedna vezava ohmskih uporov

Naj pasivni dvopol predstavljajo trije zaporedno vezani ohmski upori z upornostmi

1 2 3, in R R R . Določiti želimo nadomestno upornost dvopola R in ugotoviti, kako se

napetost napetostnega vira deli na zaporedno vezane ohmske upore.

Skozi vse zaporedno vezane elemente teče enak tok:

1 2 3I I I I (3.55)

Priključena napetost vira pa je po zakonu zanke enaka vsoti padcev napetosti na zaporedno vezanih uporih:

1 2 3 1 2 3U U U U IR IR IR IR (3.56)

Slika 3.14: Zaporedna vezava ohmskih uporov:

a) zaporedna vezava, b) nadomestna vezava

Od tod izhaja:

1 2 3R R R R (3.57)

Nadomestna ohmska upornost zaporedno vezanih ohmskih uporov je enaka vsoti ohmskih upornosti zaporedno vezanih ohmskih uporov.

I

R2

U

U1 U2 U3

R3 R1

- + U

I

R

+ -

b) a)

Tokovno polje

63

Zaporedno vezavo ohmskih uporov imenujemo tudi delilnik napetosti. Če enačbo 3.55 zapišemo v obliki:

31 2

1 2 3

UU UU

R R R R

lahko iz nje določimo tako razmerje napetosti na elementu glede na priključeno napetost:

1 1

1

U R G

U R G (3.58)

kot tudi razmerje napetosti na dveh zaporedno vezanih ohmskih uporih:

1 1 2

2 2 1

U R G

U R G (3.59)

Vzporedno vezani ohmski upori

Naj pasivni dvopol predstavljajo trije vzporedno vezani ohmski upori z upornostmi

1 2 3, in R R R . Določiti želimo nadomestno upornost dvopola R in ugotoviti, kako se toki

delijo na vzporedne veje.

Slika 3.15: Vzporedna vezava ohmskih uporov:

a) vzporedna vezava, b) nadomestna vezava

Izhajamo iz obeh Kirchhoffovih zakonov. Za zakon vozlišča dobimo:

1 2 3I I I I (3.60)

Za vsak element in nadomestno vezje pa po zakonu zanke:

1 1 2 2 3 3U IR I R I R I R (3.61)

Če izrazimo toke z napetostjo in upornostmi in jih vstavimo v zakon zanke, dobimo:

1 2 3

U U U U

R R R R

I

R2 U

I1 I2 I3

R3 R1

-

+

U

I

R

+

-

b) a)


64

Nadomestna upornost in upornosti vej so povezane z:

1 2 3

1 1 1 1

R R R R (3.62)

Recipročna vrednost nadomestne ohmske upornosti vzporedno vezanih ohmskih uporov je enaka vsoti recipročnih vrednosti ohmskih upornosti vzporedno vezanih ohmskih uporov.

Vzporedno vezavo ohmskih uporov imenujemo tudi delilnik tokov. Iz zakona zanke pa izhaja tudi pravilo delitve toka v dovodu na toke vzporednih vej:

1 1

1

I GR

I R G (3.63)

oziroma pravilo delitev tokov v vejah:

1 2 1

2 1 2

I R G

I R G (3.64)

kjer smo za vsako delitev tokov nakazali le eno od možnih.

Transformacije v uporovnih vezjih

Ko v vezju ne najdemo nobene zaporedne ali vzporedne vezave, je treba del vezja transformirati. Poznamo dve transformaciji: a) transformacijo trikota v ekvivalentno zvezdo ( Y) in

b) transformacijo zvezde v ekvivalentni trikot (Y ) .

Slika 3.16: Skica za izvedbo ekvivalentnih transformacij

Dve uporovni vezji sta ekvivalentni, če imata med pripadajočimi sponkami enako nadomestno upornost.

Za transformacijo uporovnih vezij trikotne vezave v ekvivalentno zvezdo vezavo veljajo naslednje enačbe:

R12

1 1

2 2 3 3

R1

R31

R23

R2 R3

Tokovno polje

65

12 311

12 23 31

R RR

R R R

23 122

12 23 31

R RR

R R R (3.65)

31 233

12 23 31

R RR

R R R

Za transformacijo zvezde vezave v ekvivalentno trikotno pa velja:

1 212 1 2

3

2 323 2 3

1

3 131 3 1

2

R RR R R

R

R RR R R

R

R RR R R

R

(3.66)

Pri tem si velja zapomniti strukturo transformacijskih enačb: a) ohmska upornost v trikotu je enaka vsoti zvezdnih upornosti iz njegovih

vozlišč, ki jima prištejemo še njun produkt, deljen s tretjo zvezdno upornostjo; b) ohmska upornost v zvezdi je enaka produktu vozlišč oklepajočih trikotnih

upornosti, deljenim z vsoto vseh treh trikotnih upornosti.

3.6 METODE IZRAČUNA LINEARNIH ELEKTRIČNIH VEZIJ

Poznane so neštete metode za izračun električnih vezij, med njimi najpogosteje uporabljamo: a) direktno metodo, b) metodo zančnih tokov, c) metodo vozliščnih potencialov, d) metodo poenostavljanja vezja, e) metodo dvopolov in f) metodo superpozicije. Glede na predvideno število ur po učnem načrtu predmeta Osnove elektrotehnike (za mehatronike) je temu predvidena tudi vsebina predmeta. Tako bomo v nadaljevanju spoznali dve osnovni metodi, in sicer direktno metodo in metodo zančnih tokov.

Pri obravnavi električnih vezij bomo uporabljali naslednje pojme: vozlišče (stičišče) vezja imenujemo vsako točko vezja, v katero so vezani trije ali

več elementov, povezavo dveh sosednjih vozlišč imenujemo veja vezja in zaključeno pot v električnem vezju imenujemo zanka.


66

3.6.1 Direktna metoda

Direktna metoda sloni na direktni uporabi obeh Kirchhoffovih zakonov: zakona vozlišča in zakona vezja. Skupno moramo postaviti toliko enačb, kolikor imamo v vezju neznanih tokov, in sicer: a) toliko vozliščnih enačb, kolikor jih imamo v vezju neodvisnih vozlišč in b) toliko zančnih enačb, kolikor jih imamo v vezju neodvisnih zank.

Če smo v električnem vezju nadomestili vse čiste zaporedne ali vzporedne vezave, je neodvisnih vozlišč eno manj od skupnega števila vozlišč vezja.

Če označimo število neznanih tokov (neodvisnih elementov) vezja z n in število neodvisnih vozlišč z m, potem je število neodvisnih zank enako (n-m). Neodvisne zanke najbolj pregledno izbiramo tako, da eno od zank izberemo, nato pa po vrsti prehajamo na sosednje.

Oglejmo si postopek izbiranja neodvisnih vozlišč in zank na vezju na sliki 3.17.

Slika 3.17: Vezje za izpeljavo direktne metode

Neznanih tokov v vezju je šest. Vezje ima tri vozlišča, od tega sta neodvisni dve, naj bosta to vozlišči A in B. Navadno izpustimo vozlišče, iz katerega izhaja največ vej. Obe vozliščni enačbi sta:

1 5 2 4

3 4 1 6

A

B

I I I I

I I I I (3.67)

V vejah z viri navadno izberemo smer toka v smeri delovanja vira napetosti (vir toka ima smer znano), v drugih vejah pa smeri tokov zgolj predpostavimo. Če smo se v izbiri smeri toka napačno odločili, bomo ta tok dobili z negativnim predznakom.

Neodvisne zanke so štiri, zato moramo postaviti štiri zančne enačbe. Smer obhoda zanke prosto izbiramo, saj nam obrnjena smer obhoda zanke da isto zančno enačbo, le pomnoženo z (-1).

R5

+

+

+

-

-

-

-

R4

R2

R1

R6

R3

b U3

U2

U1

I4

I3 I2

I6 I5

I1

A B

C

c

d

a

Tokovno polje

67

Zančne enačbe za podano vezje in prikazano smer obhodov so:

1 1 1 4 4a U I R I R

2 2 2 5 5b U I R I R (3.68)

3 3 3 6 6c U I R I R

4 4 5 5 6 6d 0 I R I R I R

Dobili smo šest enačb za šest neznanih tokov, ki jih določimo po postopku izločanja. Katere toke najprej izrazimo z drugimi in tako izločimo, je zelo pomembno za uspešno razrešitev sistema enačb. Izrazimo in izločamo tiste spremenljivke, ki v dobljenem sistemu enačb nastopajo najmanjkrat.

3.6.2 Metoda zančnih tokov

V metodi zančnih tokov vsaki izmed zank priredimo zančni tok, ki se zaključuje po zanki. Vejni toki (toki skozi upornosti vej) so potem kombinacija tistih zančnih tokov, ki tečejo skozi vejo.

Metoda zančnih tokov je posebej priporočljiva v električnih vezjih, ki imajo veliko vozlišč in malo zank. Metodo bomo razložili na osnovi električnega vezja po sliki 3.18.

Slika 3.18: Električno vezje, označeno za metodo zančnih tokov

Čeprav ni nujno, smer obhoda zank zelo radi za vse zanke izberemo v istem smislu (urnem ali protiurnem). Razlog za tako izbiro bomo spoznali v nadaljevanju.

Na elementu, skozi katerega teče le en zančni tok, je ta hkrati tudi vejni tok:

1 4 5, ,a b cI I I I I I (3.69)

kjer je predznak vejnega toka enak zančnemu, če imata na elementu isto smer, in nasproten od zančnega, če imata nasprotni smeri.

Na elementu, skozi katerega teče več zančnih tokov, je vejni tok enak vsoti zančnih tokov, pri čemer tiste v smeri vejnega toka vzamemo pozitivno in tiste v nasprotni smeri negativno. Tako za podano vezje velja:

Ic

I2

+

+ U2

U1

-

- R5

R4

R3

R2

R1

I3

I4 I5

I1

Ib

Ia


68

3 2ina b c bI I I I I I (3.70)

Iz pravkar povedanega je razvidno, da so iz znanih zančnih tokov določljivi vsi vejni toki.

Kako pa določimo zančne toke?

Za vsako zanko moramo nastaviti zakon zanke. Pri tem mora biti po zakonu zanke vsota napetosti virov enaka vsoti padcev napetosti. Tiste gonilne napetosti, ki delujejo v izbrani smeri obhoda zanke, štejemo pozitivno, in tiste, ki delujejo v nasprotno smer, pa negativno. Vsota padcev napetosti v zanki je enaka vsoti padca napetosti zaradi zančnega toka na vseh upornostih zanke in padcev napetosti tistih zančnih tokov, ki tečejo skozi enega ali več njenih elementov. Te padce napetosti štejemo pozitivno, če imajo ti toki na elementu enako smer kot zančni, in negativno, če imajo nasprotno smer od zančnega.

Zančne enačbe za podano vezje so:

1 1 3 3

2 3 2 3 4 2

2 2 2 5

( ) ,

( ) ,

( ).

a b

a b c

b c

U I R R I R

U I R I R R R I R

U I R I R R

(3.71)

Iz dobljenega izraza je razvidno, zakaj izbiramo smer obhoda za vse zanke enako. Kajti v tem primeru so padci napetosti zaradi zančnega toka v pripadajoči zančni enačbi pozitivni, padci napetosti zaradi sosednjih zank pa negativni.

Zančne enačbe 3.71 lahko podamo tudi v matričnem zapisu:

1 3 31

2 3 2 3 4 2

2 2 2 5

( ) 0

( )

0 ( )

a

b

c

R R R IU

U R R R R R I

U R R R I

(3.72)

ki ima naslednjo kompaktno matrično obliko:

z z zU R I (3.73)

Tu je zU stolpični vektor zančnih gonilnih napetosti, zR matrika zančnih upornosti in

zI vektor zančnih tokov.

Matrične metode so zelo primerne za računalniško reševanje električnih vezij, saj je za znano matriko zančnih upornosti in znan stolpični vektor zančnih napetosti iskani vektor zančnih tokov:

1

z z zI R U (3.74)

69

4 ČASOVNO NESPREMENLJIVO MAGNETNO POLJE

V splošnem bomo kot magnetno polje obravnavali prostor, v katerem imamo magnetne pojave. Če se magnetno polje s časom ne spreminja, govorimo o časovno nespremenljivem ali stacionarnem magnetnem polju. V prvem delu bomo obravnavali le stacionarna magnetna polja, to so polja, ki jih povzročajo trajni magneti ali časovno konstantni, torej enosmerni toki. Zakonitosti časovno spremenljivih magnetnih polj bomo obravnavali v petem poglavju.

4.1 MAGNETNI POJAVI

Magnetno polje je prostor, v katerem opažamo magnetne pojave. V električnem polju smo prisotnost polja ugotovili, če so na elektrine v prostoru delovale električne sile.

Coulombov zakon F EQ je tu predstavljal edino izhodišče za razlago in izpeljavo

zakonitosti elektrostatičnega in tokovnega polja.

Prisotnost magnetnega polja zaznamo s celo vrsto efektov. Nekatere od njih lahko uporabimo le za kvalitativno opredelitev, druge pa tako za kvalitativno kot kvantitativno opredelitev magnetnega polja. Naštejmo te magnetne pojave in poglejmo, kaj lahko z njihovo pomočjo zaključimo o magnetnem polju:

a) V magnetnem polju se železni opilki namagnetijo in postanejo majhni magnetki, njihova razporeditev podaja kvalitativno ponazoritev magnetnega polja.

b) Prosto vrtljiva magnetna igla se kot trajni magnetek postavi v magnetnem polju v povsem določeno lego in s tem kaže smer magnetnega polja.

c) Če magnetno iglo opremimo z vzmetjo in skalo, dobimo magnetometer. S pomočjo magnetometra lahko za različne točke magnetnega polja primerjamo smeri in intenzivnosti magnetnega polja. Magnetno polje je torej vektorsko polje.


70

d) Na tokovodnik ali gibano elektrino deluje v magnetnem polju sila, ki ima povsem določeno velikost in smer.

e) Materiale, ki jih trajni magnet privlači (železo, kobalt, nikelj in nekatere zlitine), imenujemo magnetni materiali.

f) Če se prevodnik premika v magnetnem polju (krajevna sprememba magnetnega polja), se v vodniku pojavi inducirana napetost.

g) Inducirano napetost dobimo tudi v prevodni zanki, če se magnetno polje skozi zanko s časom spreminja (časovna sprememba magnetnega polja).

Magnete, ki se s časom ne spreminjajo in jih ne povzročajo toki v okolici, imenujemo trajni magneti. Podobno kot električno polje tudi magnetno polje grafično ponazarjamo s silnicami. Silnice so namišljene črte, ki v vsaki točki prostora kažejo smer magnetnega polja, z gostoto silnic pa tudi jakost magnetnega polja. Smer magnetnega polja je dana kot smer, v katero kaže severni pol (N) prosto vrtljive magnetne igle. Magnetno polje je močnejše tam, kjer so silnice gostejše. Na sliki 4.1a in 4.1b sta prikazani magnetni polji trajnega paličastega magneta, na sliki 4.1a je magnetno polje ponazorjeno z železnimi opilki, na sliki 4.1b pa s silnicami.

a) b)

Slika 4.1: Magnetno polje paličastega magneta:

a) ponazorjeno z železnimi opilki, b) ponazorjeno s silnicami

Iz obeh slik je razvidno, da je magnetno polje najmočnejše na obeh koncih paličastega magneta, ki ju imenujemo magnetna pola. Pol, kjer silnice iz magneta izstopajo, imenujemo severni magnetni pol (N); pol, kjer silnice vstopajo, pa južni magnetni pol (S). Znano je tudi, da je zemlja velik trajni magnet. V prostoru okoli zemlje imamo zemeljsko magnetno polje. Prosto vrtljiva magnetna igla se v njem postavi v približno smer sever-jug. Pol magnetne igle, ki kaže proti severu, imenujemo severni pol (N), in pol, ki kaže proti jugu, pa južni pol (S) magnetne igle. Magnetno polje zemlje je izredno šibko, gostota magnetnega pretoka znaša okoli 30 μT.

N S

Časovno nespremenljivo magnetno polje

71

4.2 MAGNETNA POLJSKA JAKOST

Prisotnost magnetnega polja lahko ugotovimo na več načinov:

a) magnetna igla, opremljena z vzmetjo in skalo, b) določitev sile na tokovodnik v magnetnem polju in c) v vodniku (kovinski palici), ki se premika v magnetnem polju, dobimo inducirano

električno polje, kar ima za posledico nastanek inducirane napetosti v vodniku, d) določitev inducirane napetosti v prevodni zanki, če se magnetno polje v zanki s

časom spreminja.

Vsi pojavi temeljijo na gibanju elektrin. V strokovni literaturi, ki obravnava osnovne zakonitosti elektrotehnike, najdemo vse opisane pristope. To ima za posledico le drugačen vrstni red izpeljave osnovnih zakonov, na koncu vselej dobimo kompleten nabor osnovnih zakonitosti magnetnega polja.

4.2.1 Eksperimentalno določanje oblike in jakosti magnetnega polja z magnetometrom

Magnetno polje je, enako kot elektrostatično in tokovno polje, vektorsko polje, torej moramo poznati njegovo jakost in smer. Oboje lahko eksperimentalno določimo z napravo, ki jo imenujemo magnetometer.

Smer določimo z magnetno iglo, ki je prosto obešena (vrtljiva) in se v vsaki točki prostora postavi v lego, ki je definirana kot smer polja. Sliko magnetnega polja bi lahko ponazorili tudi z magnetnimi opilki. Če magnetno iglo opremimo z vzmetjo in skalo, lahko ugotavljamo tudi jakost magnetenja v točki magnetnega polja.

Magnetometer je torej naprava za ugotavljanje smeri in jakosti magnetnega polja. En konec vzmeti je pritrjen na skalo (podlago), drugi pa na magnetno iglo. Kadar je vzmet nenapeta, kaže igla smer magnetnega polja in istočasno v točko skale z oznako 0.

a) b)

Slika 4.2: Določitev smeri in jakosti magnetnega polja z magnetometrom:

a) vzmet je nenapeta, igla kaže smer polja, b) igla stoji pravokotno na smer polja, kot je sorazmeren jakosti

magnetnega polja

S H

r N N

S

I I

α

0

0

r

H


72

Sedaj pa začnimo vrteti podstavek vstran od ugotovljene smeri polja. Ker magnetno polje vleče iglo nazaj, moramo podstavek zavrteti za kot dalj, da bo igla pravokotna na smer polja in sila na vzmet največja. Ta kot je potem premo sorazmeren jakosti magnetenja v dani točki, torej magnetni poljski jakosti H.

Z magnetometrom lahko ugotovimo naslednje:

a) Smer magnetnega polja je za raven tokovodnik povsod pravokotna na polmer r, ki povezuje os tokovodnika z dano točko v prostoru – torej kaže v smeri tangente na krožnico.

b) Smer polja je opredeljena s pravilom desnega svedra. Če kaže konica svedra v smeri toka, kaže vrtenje desnega svedra smer polja.

c) Dodatni kot zasuka podstavka, ko zasukamo magnetno iglo v lego pravokotno na smer polja, je enak na enakih razdaljah r od osi vodnika, zato je tam jakost magnetenja − magnetna poljska jakost H − po iznosu povsod enaka. Magnetno polje ravnega okroglega tokovodnika je krožno simetrično.

d) Za točke na dvojni razdalji pade magnetna poljska jakost na polovično vrednost (kot zasuka je /2). Velikost magnetne poljske jakosti je obratno sorazmerna razdalji r.

e) Magnetna poljska jakost H je premo sorazmerna toku skozi vodnik. Pri dvojni vrednosti toka dobimo dvojni zasuk 2 . Če pa smer toka obrnemo, se obrne smer polja, kar pa pove tudi že točka b.

Če opisan postopek zapišemo matematično, pridemo do naslednjega izraza magnetne poljske jakosti H v zunanjosti ravnega, okroglega tokovodnika:

I

H kr

(4.1)

kjer je k brezdimenzijska konstanta, s katero usklajujemo izbrano enoto za magnetno poljsko jakost H z osnovnima enotama za tok I (A) in dolžino l (m).

Za internacionalni merski sistem pridemo do naslednjega izraza magnetne poljske jakosti H v zunanjosti ravnega, okroglega tokovodnika:

A

2 m

IH

r

(4.2)

Magnetno polje v zunanjosti dolgega, ravnega tokovodnika s krožnim prerezom bomo na sliki 4.3a ponazorili z magnetnimi opilki, na sliki 4.3b s silnicami in na sliki 4.3c z računalniško simulacijo.


73

a) b) c)

Slika 4.3: Ponazoritev magnetnega polja dolgega, ravnega tokovodnika:

a) z železnimi opilki, b) z magnetnimi silnicami, c) z računalniško simulacijo

Posledica magnetenja prostora je magnetno polje. Isto magnetenje (ista magnetna

poljska jakost H ) pa bo imelo v različnih snoveh za posledico različno močno magnetno polje. Zato že zdaj lahko zapišemo:

a) Magnetna poljska jakost H pove le, kako močno in v katero smer magneti električni tok I v dani točki prostora. Iz nje pa ni prav nič razvidno, kako se snov, ki napolnjuje ta prostor, odziva na magnetenje. Magnetna silnica je vselej vase zaključena črta, vzdolž nje se "porabi" celotno magnetenje, v primeru enega tokovodnika pa se porabi celotni tok I.

b) Za opis posledic magnetenja v določeni snovi potrebujemo, poleg magnetne poljske

jakosti H , še snovno magnetno lastnost − permeabilnost . Ta pove, kako je snov

"dojemljiva" za magnetenje.

V magnetnem polju dolgega, ravnega tokovodnika z okroglim prerezom je magnetna

poljska jakost H v zunanjosti vodnika na enakih razdaljah r od osi vodnika po iznosu konstantna (ne pa po smeri). Zato njen iznos tu lahko definiramo kot tisti del magnetenja električnega toka I, ki se porabi za magnetenje po enoti dolžine magnetne silnice. Torej ima magnetna poljska jakost dimenzijo:

A

mH

Če to primerjamo z dimenzijo za električno poljsko jakost:

V

mE

vidimo, da ima električni tok pomen magnetne napetosti in je magnetna poljska jakost magnetna napetost po enoti dolžine magnetne silnice.

Zaradi te analogije so vse enačbe v elektrostatičnih, tokovnih in magnetnih poljih v principu enako zgrajene. Tudi nazivi veličin so podobni: električni poljski jakosti v elektrostatičnem in tokovnem polju ustreza, kot analogna veličina v magnetnem polju, magnetna poljska jakost. Tudi dimenzije analognih veličin imajo enako strukturo, le da

I


74

sta mesti V in A zamenjani. Razlike nastanejo pri ponazoritvi polj s silnicami, pri čemer v elektrostatičnem polju silnice izvirajo na pozitivni elektrini Q in ponirajo na enako veliki negativni elektrini, v magnetnem polju pa so silnice vase zaključene (ali neskončne) črte.

4.2.2 Amperov zakon in magnetna napetost

Krivuljni integral magnetne poljske jakosti med dvema točkama 1 in 2 magnetnega polja

2

12

1

dH l (4.3)

predstavlja tisti del magnetne napetosti, ki se porablja za magnetenje na poljubni poti med točkama 1 in 2. Krivuljni integral magnetne poljske jakosti po zaključeni poti vselej pomeni celotno magnetno napetost, ki magneti na tej zaključeni poti. Njegova vrednost je enaka algebraični vsoti tokov, ki jih zaključena pot oklepa:

i1

dn

il

H l I

(4.4)

Krivuljni integral magnetne poljske jakosti po zaključeni poti je prva osnovna zakonitost magnetnih polj, ki smo jo spoznali. Imenujemo jo Amperov zakon ali zakon o magnetni napetosti.

Za dolg, raven tokovodnik z okroglim prerezom velja, da se smer magnetne poljske

jakosti H in diferenciala poti dl povsod ujemata, zato smemo skalarni produkt nadomestiti z navadnim produktom. Magnetna poljska jakost na konstantnem radiju r je konstantna. Zapišemo lahko:

d dH l Hr

Po enačbi 4.4 dobimo:

2 2

0 0

d d 2Hr Hr H r I

(4.5)

in odtod že znano odvisnost za magnetno poljsko jakost v zunanjosti dolgega, ravnega tokovodnika s krožnim prerezom:

A

2 m

IH

r

Če zaključena pot ne oklepa toka ali je algebraična vsota tokov enaka nič, velja:

d 0l

H l (4.6)

Na sliki 4.4a je prikazana dolga ravna tuljava z okroglim prerezom. Tuljava ima N gosto navitih navojev, po vsakem navoju teče tok I. Tok v tuljavi magneti prostor N-krat


75

močneje kot tok v enem samem ovoju. Za zaključeno pot po silnici, ki bi oklepala vse ovoje, bi dobili:

d Al

H l IN (4.7)

a) b)

Slika 4.4: a) določitev magnetne napetosti za tuljavo z N ovoji, b) razporeditev magnetnega polja

Magnetna napetost tuljave z N ovoji je N-krat večja od magnetne napetosti enega ovoja ali magnetne napetosti v zunanjosti ravnega okroglega tokovodnika, če po vseh teče enak tok. Težava je le v tem, da se v primeru, ko je tuljava kratka in ni gosto navita, ne sklenejo vse magnetne silnice okoli vseh ovojev, temveč lahko oklepajo tudi le del ovojev, kar je lepo razvidno iz slike 4.4b.

4.2.3 Primeri določitve magnetne poljske jakosti z uporabo Amperovega zakona

Določitev magnetne poljske jakosti s pomočjo Amperovega zakona je zelo enostavna povsod tam, kjer je magnetna poljska jakost vzdolž silnice konstantna. Zato si najprej oglejmo določitev magnetne poljske jakosti za te primere.

Magnetna poljska jakost v notranjosti in zunanjosti ravnega okroglega vodnika

Ker je enosmerni tok v notranjosti vodnika enakomerno razporejen po preseku, je tudi magnetno polje v notranjosti krožno simetrično, magnetne silnice so torej krožne črte. Slika 4.5 podaja notranjost okroglega vodnika s polmerom R, električni tok kaže v podani smeri. Zanima nas, kako se spreminja magnetna poljska jakost v odvisnosti od razdalje x od osi vodnika v notranjosti?

Slika 4.5: Skica za določitev magnetne poljske jakosti v notranjosti okroglega,

ravnega vodnika

I

I΄

R

x

N-ovojev I


76

Ker je tok po preseku enakomerno porazdeljen:

2

I IJ

A R

oklepa silnica na razdalji x od osi vodnika električni tok:

2

2

2 2A

I IxI JA x

R R

(4.8)

Iz

2

x 22

IxH x

R

določimo magnetno poljsko jakost xH na razdalji x od osi vodnika:

x 2

A

2 m

IxH

R

(4.9)

Magnetna poljska jakost v notranjosti ravnega okroglega tokovodnika linearno narašča od vrednosti nič v osi vodnika, do največje vrednosti na površini vodnika.

Izraz za magnetno poljsko jakost v zunanjosti ravnega, okroglega tokovodnika že poznamo:

z2

IH

r

Sedaj lahko narišemo diagram odvisnosti magnetne poljske jakosti za raven, okrogel tokovodnik v odvisnosti od razdalje od osi tokovodnika, ki ga prikazuje slika 4.6.

Slika 4.6: Diagram magnetne poljske jakosti za raven, okrogel tokovodnik

Kadarkoli magnetno poljsko jakost v določeni točki prostora povzroča več tokov, moramo vsako od njih podati v vektorskem zapisu in skupno magnetno poljsko jakost potem določiti kot vektorsko vsoto delnih magnetnih poljskih jakosti.

Zato bo v nadaljevanju prikazano, kako določimo vektorski zapis magnetne poljske jakosti v zunanjosti tokovodnika.

Hm

I

r

H

R


77

Vektorski zapis magnetne poljske jakosti podamo z:

H1H H (4.10)

kjer sta H absolutna vrednost magnetne poljske jakosti in H1 enotni vektor v njeni smeri.

Ker izraz za absolutno vrednost magnetne poljske jakosti poznamo, je potrebno določiti le še njen enotni vektor.

Naj je raven, okrogel vodnik postavljen v izhodišče koordinatnega sistema. Ker leži magnetna poljska jakost v ravnini, ki je pravokotna na tokovodnik, tega smatramo položenega v z-os pravokotnega koordinatnega sistema. Torej teče električni tok v pozitivni ali negativni smeri z-osi.

Slika 4.7: Skica za izračun vektorske vrednosti magnetne poljske jakosti

Če električni tok teče v smeri pozitivne smeri osi z, ima smer enotnega vektorja z1 .

Magnetna poljska jakost stoji pravokotno na ravnini enotnih vektorjev z1 in r1 , njena

smer je določena z vektorskim produktom:

H z r1 1 1 (4.11)

oziroma:

H z r1 1 1 (4.12)

če tok teče v smeri negativne osi z. Enotin radij vektor r1 je podan z:

r 2 21

r xi yj

r x y

(4.13)

Za podano skico ima vektorski zapis magnetne poljske jakosti naslednjo obliko:

x y

A( )

mH H i H j

(4.14)

H(x,y)

H

x

y

r

Hx

Hy

I


78

Določitev magnetne poljske jakosti za dva ali več vzporednih tokovodnikov

Če magnetno polje v neki točki prostora povzroča več tokov, moramo delne magnetne poljske jakosti podati v vektorskem zapisu, saj jih moramo seštevati vektorsko. Skupna magnetna poljska jakost, ki jo povzroča n tokov, je:

i1

n

i

H H

(4.15)

Magnetna poljska jakost iH , ki jo povzroča tok Ii v tokovodniku i v točki T na pravokotni

razdalji ri je:

ii i 1HH H (4.16)

kjer sta:

ii

i2

IH

r

in je iH1 enotin vektor v smeri magnetne poljske jakosti iH .

Zanimivo sliko obnašanja dveh vzporednih tokovodnikov dobimo, če opazujemo magnetno poljsko jakost na zveznici obeh vodnikov in tečeta toka v isti ali nasprotni smeri.

Oglejmo si najprej primer, ko po vzporednih tokovodnikih tečeta enaka toka v nasprotni smeri (običajni dvovod). Velikost delnih in skupne magnetne poljske jakosti na zveznici obeh vodnikov je prikazana na sliki 4.8.

V prostoru med obema tokovodnikoma se obe delni magnetni poljski jakosti seštevata, skupno magnetno polje se ojači. Na obeh zunanjih straneh pa se obe delni magnetni poljski jakosti odštevata, skupno magnetno polje slabi.

a) b)

Slika 4.8: Magnetno polje dveh vzporednih vodnikov, če tečeta toka v nasprotni smeri:

a) velikost in smer skupne magnetne poljske jakosti, b) smer sil na oba tokovodnika

Iz slike izhajata dve zelo pomembni ugotovitvi:

r

H

1 2

H2

H2H1

H1

F F


79

a) Ker se magnetne silnice skušajo po dolžini skrajšati, po širini pa razmakniti, bo na dva vzporedna tokovodnika delovala sila, ki bo skušala vodnika razmakniti (glej sliko 4.8b).

b) Magnetni osi vodnikov (mesta, kjer je skupna magnetna poljska jakost enaka nič) se ne ujemata več z geometrijskima osema vodnikov in sta pomaknjeni navzven. Vendar je ta pomik zanemarljiv, če je polmer vodnikov majhen v primerjavi z medsebojno razdaljo tokovodnikov.

Sedaj pa naj oba toka tečeta v isti smeri. Iz slike 4.9 je razvidno:

a) b)

Slika 4.9: Magnetno polje dveh vzporednih vodnikov, če tečeta toka v isto smer:

a) velikost in smer skupne magnetne poljske jakosti, b) smer sil na oba tokovodnika

a) Magnetno polje med vodnikoma slabi, na zunanji strani vodnikov pa se ojačuje. Magnetne silnice se skušajo po dolžini skrajšati, na oba tokovodnika deluje privlačna sila elektromagnetnega izvora. V nekoliko oddaljenih točkah se oba tokovodnika obnašata kot en sam tokovodnik z dvojnim tokom. Magnetne silnice so tam praktično krožne črte.

b) Magnetni osi obeh tokovodnikov sta pomaknjeni navznoter. Če sta polmera vodnikov mala v primerjavi z medsebojno razdaljo vodnikov, ekscentričnost magnetnih osi ne pride do izraza.

Na sliki 4.10 podajamo še računalniško simulacijo razporeditve in smeri magnetnega polja za oba primera − toka tečeta v nasprotni in v isti smeri.

a) b)

Slika 4.10: Računalniška simulacija magnetnega polja dveh vzporednih vodnikov:

a) toka tečeta v nasprotni smeri, b) toka tečeta v isti smeri

r

H

1 2

I2

H2

H1

I1

H F F


80

V veliki večini primerov za določitev magnetne poljske jakosti v neki točki prostora smemo ravne tokovodnike nadomestiti s tokovnimi premicami. Sedaj si želimo ogledati še postopek za določitev magnetne poljske jakosti v primeru, ko tokovodnik ni raven, marveč je sestavljen iz ravnih delov ali tokovnih zank v obliki krogov.

4.2.4 Biot-Savartov zakon

Elektrina dQ, ki se premika s konstantno hitrostjo v , predstavlja gibano elektrino, zato

ustvarja v točki T diferencial magnetne poljske jakosti d ,H ki ima po pravilu desnega

svedra smer iz ravnine lista navzven.

Slika 4.11: Skica za uporabo Biot-Savartovega zakona

Po izvajanju dobimo izraz:

3

dd ( )

4

QH v

(4.17)

Enačba 4.17 omogoča izračun magnetne poljske jakosti, ki jo povzroča točkasta elektrina dQ, ki se premika s hitrostjo v v točki T na razdalji , če oklepata oba vektorja kot .

Izraz :

dQ v

pa lahko s pomočjo odvisnosti:

d

d

Qi

t

in

d

d

lv

t

za konstantno potovalno hitrost elektrine (za enosmerni tok) preoblikujemo v:

d dQ v I l (4.18)

Če to vstavimo v izraze za izračun diferenciala magnetne poljske jakosti, dobimo:

dH

v

dQ

r

T


81

3

2

dd sin

4

I lH

r

(4.19)

2

3

sind (d )

4

IH l r

r

(4.20)

2

dd sin

4

I lH

(4.21)

3

d (d )4

IH l

(4.22)

Če imamo v prostoru poljubno oblikovan vodnik, omogočajo enačbe 4.19 do 4.22, da z integriranjem po celotni dolžini vodnika določimo skupno magnetno poljsko jakost, ki jo povzroča tok v celotnem vodniku.

Če leži raven vodnik v ravnini, so vsi diferenciali v točki T istoležni in se algebraično seštevajo. Za poljubno oblikovan vodnik pa dobimo skupno magnetno poljsko jakost z vektorskim krivuljnim integralom.

Določitev magnetne poljske jakosti za del ravnega tokovodnika

V elektrotehniški praksi so zelo pogosti primeri, ko je tokovodnik sestavljen iz samih ravnih delov. Zato je pomembno, da ugotovimo, kolikšno magnetno poljsko jakost ustvari tok v delu ravnega vodnika. Skica za izračun magnetne poljske jakosti za tok v delu ravnega vodnika je prikazana na sliki 4.12.

Slika 4.12: Skica za izračun magnetne poljske jakosti za del ravnega vodnika

Točka T je na razdalji r od vodnika. Smer toka oklepa s smerjo, pod katero vidimo točko T, v začetni točki A kot 1

in v končni točki B kot 2. V izbrani točki vodnika oklepata

dolžinski element dl in kot . Pri tem spremembi dolžine za dl ustreza sprememba

kota :d

2

d dsin

rl

dobimo za diferencial magnetne poljske jakosti izraz:

sin

d d4

IH

r

(4.23)

in za magnetno poljsko jakost toka v vodniku od točke A do točke B:

H

r

T

dldQ

I

2

B

A

1


82

2 2

1

2

1 1

1 2

Ad sin d (cos ) (cos cos )

4 4 4 m

I I IH H

r r r

(4.24)

Če je vodnik neskončno dolg, potem zaradi

1 2cos 1 in cos 1

dobimo znan izraz za magnetno poljsko jakost neskončno dolgega ravnega tokovodnika:

2

IH

r

Magnetna poljska jakost v osi krožne tokovne zanke

Skica magnetnega polja krožne tokovne zanke je prikazana na sliki 4.13,

a) b)

Slika 4.13: a) skica magnetnega polja krožne tokovne zanke, b) prostorska skica

Krožna zanka je pogosta oblika vodnika v elektrotehniki, pri čemer lahko magnetno poljsko jakost preprosto izračunamo le v osi krožne tokovne zanke:

max 2

1,5

2

1

(1 )

H Hx

R

(4.25)

kjer je:

max

A

2 m

IH

R

(4.26)

maksimalna magnetna poljska jakost v središču tokovne zanke.

N

SI

- +

I

SN

I

R

II

x

dH'

dH'

dH

d


83

Magnetna poljska jakost v osi ravne tuljave s krožnim presekom

Če krožne zanke nanizamo na isti osi, je to že ravna tuljava s krožnim presekom.

Slika 4.14: Skica ravne tuljave

Celotna magnetna poljska jakost na osi tuljave v točki x=z je:

1 2

A(cos cos )

4 m

INH

a (4.27)

Če je tuljava gosto navita in dolga nasproti premeru (a:R>5:1), je magnetno polje znotraj tuljave skoraj homogeno. Tedaj velja:

1 2cos 1 in cos 1

Če vstavimo še:

2a l

dobimo izraz:

IN

Hl

To pa je enačba 4.7, ki smo jo za dolgo, ravno in gosto navito tuljavo dobili z uporabo Amperovega zakona. Magnetna poljska jakost v osi tuljave v zunanjosti tuljave zelo hitro upada, močno magnetno polje imamo praktično le v notranjosti tuljave.

4.3 Sile na gibane elektrine v magnetnem polju

Magnetna poljska jakost pove le to, kako močno magnetimo prostor v dani točki, ne pa tudi kolikšen je rezultat tega magnetenja. Poleg tega smo v elektrostatičnem in tokovnem polju ugotovili, da je stanje v točki prostora vedno opredeljeno z dvema diferencialnima veličinama, ki sta povezani s snovno lastnostjo snovi, ki izpolnjuje

a

z

x dx

x

a

IN

dH

2 x 1

x


84

prostor. Zato bomo pojav sile na gibano elektrino uporabili za definicijo te druge diferencialne veličine magnetnega polja.

4.3.1 Gostota magnetnega pretoka

Za trajne magnete velja, da se istoimenski magnetni poli odbijajo, raznoimenski magnetni poli pa privlačijo. Ker tudi tokovodniki v svoji okolici ustvarjajo magnetno polje, lahko predpostavljamo, da bo tudi na tokovodnik v magnetnem polju trajnega ali elektromagneta delovala sila. To smo načeloma že ugotovili iz skupne slike magnetnega polja dveh vzporednih vodnikov, po katerih tečeta enaka toka v nasprotni smeri (slika 4.8) in isti smeri (slika 4.9).

Sile na tokovodnik zapišemo v obliki:

NF I l B (4.28)

Dobljeni izraz podaja odvisnost med iznosi veličin, nič pa še ne pove o smeri sile. Ker nas tu zanima predvsem dimenzija gostote magnetnega pretoka B in njena povezava s prvo diferencialno veličino magnetnega polja − magnetno poljsko jakostjo H, bomo vektorsko stran izraza zaenkrat pustili ob strani.

Iz izraza 4.28 lahko potem določimo iznos in dimenzijo gostote magnetnega pretoka:

TF

BI l

(4.29)

kjer je 1 T (Tesla) enota za gostoto magnetnega pretoka. Njena dimenzija je:

2

VAsN Vsm1T

Am Am m

Enačbo 4.29 z besedami izrazimo na naslednji način:

Homogeno magnetno polje ima gostoto magnetnega pretoka 1 T, če pravokotno na magnetno polje leži vodnik, po katerem teče tok 1 A in nanj deluje sila 1 N.

Gostota magnetnega pretoka je vektor in je istočasno tisti predstavnik magnetnega polja v dani točki, od katerega so odvisni vsi učinki magnetnega polja. Zato je potrebno ugotoviti, kakšna je medsebojna povezava obeh diferencialnih veličin magnetnega polja,

to je obeh kolinearnih vektorjev H in B ? (Vektorja H in B sta kolinearna le za magnetno izotropne snovi, torej snovi, ki se v vse smeri magnetijo enako!).

Oba kolinearna vektorja sta povezana s snovno lastnostjo snovi v magnetnem polju − magnetno permeabilnostjo :

B

H (4.30)


85

Za magnetno lastnost poljubne snovi zapišemo:

0 r (4.31)

kjer je:

70

Vs4 10

Am (4.32)

magnetna permeabilnost praznega prostora konstantna vrednost inr golo število, ki

pove le to, kolikokrat je permeabilnost neke snovi večja (ali manjša) od permeabilnosti praznega prostora. S stališča velikosti in konstantnosti relativne magnetne permeabilnosti

r delimo vse snovi v dve skupini:

a) Nemagnetne snovi so tiste, ki se magnetno obnašajo praktično tako kot prazen prostor. Zanje smemo v vseh praktičnih primerih vzeti

r 1 , kar pomeni, da je

permeabilnost nemagnetnih snovi konstantna in od magnetenja (magnetne poljske jakosti H) neodvisna vrednost, odvisnost B in H je linearna.

b) Magnetne snovi so tiste, za katere je r 1 in so poleg tega funkcijsko odvisne

od magnetne poljske jakosti, odvisnost B in H je nelinearna funkcija.

Snovni lastnosti snovi praznega prostora 0 in 0

sta medsebojno povezani. Iz izraza:

0 0

1

po vstavitvi vrednosti:

9

0

10 As

36 Vm

in

7

0

Vs4 10

Am

dobimo:

80

0 0

1 m3 10

sc (4.33)

da je ta izraz enak svetlobni hitrosti, s katero se širi elektromagnetno valovanje v praznem prostoru. V snoveh z

r 1 in r 1 se širi elektromagnetno valovanje s

hitrostjo:

00

r r

cv c

(4.34)

torej počasneje.


86

4.3.2 Magnetni pretok

Magnetno poljsko jakost H ponazarjamo z magnetnimi silnicami. Magnetne silnice so namišljene črte, tangenta nanje kaže povsod smer polja, gostota silnic pa, kako močno magnetimo prostor.

Gostoto magnetnega pretoka B ponazarjamo z gostotnicami. Magnetna gostotnica je namišljena cevka, ki povsod zajema enak delni magnetni pretok. Pri grafični predstavitvi gostotnic te nadomestimo z osjo gostotne cevke. Zato v nemagnetnih snoveh med obema grafičnima predstavitvama ni nobene razlike. Do te pride šele takrat, ko magnetno polje prehaja iz ene magnetne snovi v drugo magnetno snov.

Slika 4.15: Skica za določitev diferenciala magnetnega pretoka

Pretok vektorja magnetne gostote B skozi neko ploskev A imenujemo magnetni pretok skozi to ploskev. Njegova velikost je definirana z:

d cos d VsA A

B A B A (4.35)

kjer je:

d d cos dB A B A (4.36)

magnetni pretok skozi diferencialno ploskev dA .

Za homogeno magnetno polje in ravno ploskev, dobimo:

cos VsB A (4.37)

V primeru, da je 00 (ploskev A stoji pravokotno na magnetno polje), je magnetni pretok:

VsB A (4.38)

Magnetne gostotnice so vase zaključene cevke. To pomeni, da če izberemo v magnetnem polju vase zaključeno ploskev, bo magnetni pretok, ki vanjo vstopa, enak magnetnemu pretoku, ki iz zaključene ploskve izstopa. To zapišemo v obliki:

0A

B dA (4.39)

dA

B


87

Dobljeni izraz je magnetni ekvivalent I. Kirchhoffovega zakona tokovnega polja, t. j. zakona zaključene ploskve (oz. vozlišča). Magnetne gostotnice so vedno vase zaključene cevke, magnetno polje nima ne izvora ne ponora, magnetnih nabojev torej ni.

Primer izračuna magnetnega pretoka v zunanjosti ravnega tokovodnika s krožnim presekom

Za dolg, raven tokovodnik s krožnim presekom je gostota magnetnega pretoka na razdalji r > R podana z:

00 T

2

IB H

r

(4.40)

Najprej bomo izračunali magnetni pretok med polmeroma R1 in R2, kot to prikazuje slika 4.16.

Slika 4.16: Skica za izračun magnetnega pretoka v zunanjosti vodnika

Za diferencial ploskve izberemo:

d dA l r

ki stoji pravokotno na gostoti magnetnega pretoka. Potem je diferencial magnetnega pretoka skozi to ploskev:

0zd d d

2

IB A l r

r

Celotni magnetni pretok l metrov dolgega tokovodnika med polmeroma R1 in R2 je:

2 2

1 1

0 0 212 z

1

dd ln Vs

2 2

R R

R R

Il Il Rr

r R

(4.41)

Dobljeni izraz velja za delni magnetni pretok. Če bi želeli izračunati magnetni pretok od površine vodnika R pa do neskončnosti, bi dobili neskončno vrednost, vendar to ni mogoče, saj končna vrednost toka ne more ustvariti neskončnega magnetnega pretoka. Velja namreč, da osamljenega električnega tokovodnika ni, temveč mora biti vodnik

R

R2 R1


88

vedno zaključen. Torej mora biti nekje v okolici povratni vodnik, po katerem se tok zaključuje, kar pa bi imelo za posledico tudi končno vrednost magnetnega pretoka.

4.3.3 Sile na tokovodnik v magnetnem polju

V splošnem primeru naj smer vodnika in smer magnetnega polja med seboj oklepata kot α. Smer toka opredeljuje pozitivno smer vodnika. Zato bomo tudi tu dolžinski

diferencial vodnika dl v smeri toka I obravnavali kot pozitiven.

Slika 4.17: Sila dF na diferencial dolžine tokovodnika v magnetnem polju

Ker je sila dF vektor, dolžina dl in gostota magnetnega pretoka B tudi, moramo enačbo 4.28 zapisati v vektorski obliki kot:

d (d ) NF I l B (4.42)

V tem izrazu je iznos vektorskega produkta dan s ploskvijo paralelograma, ki ga tvorita

vektorja dl in :B

d sinl B

Smer sile določimo po pravilu desnega svedra: Če vektor dl zavrtimo po desnem svedru

po najkrajši poti v smer vektorja magnetne gostote B , smer desnega svedra kaže smer sile, to pa je tudi smer vektorskega produkta.

Če je magnetno polje homogeno in tokovodnik raven, preide enačba 4.42 v:

( ) NF I l B (4.43)

kjer je l običajno razdalja dveh podpornih točk tokovodnika.

Isto kot desni sveder ali pravilo vektorskega produkta pove tudi pravilo leve roke: To je prilagojeno za v elektrotehniški praksi najpogostejši primer, ko sta tokovodnik in smer magnetnega polja med seboj pravokotna.

Pravilo desnega svedra pravi: Če položimo iztegnjeno levo dlan v magnetno polje tako,

da gostota magnetnega pretoka B vstopa v dlan in iztegnjeni prsti kažejo smer toka I,

iztegnjeni palec kaže smer sile F .

B

dl

I

dF

I


89

Tako pravilo vektorskega produkta kot pravilo leve roke sta prikazana na sliki 4.18.

a) b)

Slika 4.18: Opredelitev smeri sile na tokvodnik:

a) po pravilu vektorskega produkta ali desnega svedra, b) po pravilu leve roke

Že v poglavju o skupni magnetni poljski jakosti dveh vzporednih tokovodnikov smo ugotovili: a) sila na tokovodnik deluje vedno v smeri šibkejšega polja, b) magnetne silnice se skušajo pri tem medsebojno razmakniti in c) po dolžini skrajšati.

Vse to je lepo razvidno iz slike 4.19, ki prikazuje skupno magnetno polje, ki ga dobimo, če v homogeno magnetno polje vstavimo tokovodnik.

a) b) c)

Slika 4.19: Skica skupnega magnetnega polja:

a) ločeni polji magneta in tokovodnika, b) skupno magnetno polje, če tok vstopa v ploskev, c) skupno magnetno polje, če tok izstopa iz ploskve

Sila med vzporednima tokovodnikoma dvovoda

Kot smo že omenili pod pojmom dvovod razumemo dva vzporedna vodnika, po katerih tečeta enaka toka I v nasprotnih smereh. Poljubno v prostoru položeni vodniki so v elektrotehniški praksi izredno redki, v pretežni večini se srečujemo le z vzporednimi tokovodniki.

Na sliki 4.20 sta prikazana dva vzporedna vodnika, po katerih tečeta toka I1 in I2 v nakazani (nasprotni) smeri. Medsebojna razdalja vodnikov je a, vodnika sta podprta na

razdalji l. Kolikšni sili 12F in 21F delujeta na vodnika 1 in 2?

F

Bl

IB

F

I

N N N

S S

F F

S

I I I


90

Slika 4.20: Sila med dvema vzporednima tokovodnikoma

Vodnik 1 je v magnetnem polju, ki ga povzroča tok I2 v vodniku 2. Gostota magnetnega pretoka v osi vodnika 1 je:

0 2

122

IB j

a (4.44)

nanj na dolžini l1 deluje sila:

0 1 2 0 1 212 1 1 12( ) ( ) N

2 2

I l l I l lF I l B k j i

a a

(4.45)

Vodnik 2 je v magnetnem polju, ki ga povzroča tok I1 v vodniku 1. Gostota magnetnega pretoka v osi vodnika 2 je:

0 1

212

IB j

a (4.46)

nanj na dolžini l2 deluje sila:

0 1 2 0 1 221 2 2 21( ) ( ) N

2 2

I l l I l lF I l B k j i

a a

(4.47)

Sili 12F in 21F tvorita dvojico sil, ki sta po velikosti enaki in nasprotno usmerjeni. Če

tečeta toka v nasprotno smer, se tokovodnika odbijata, če tečeta toka v isto smer, se tokovodnika privlačita.

Če imamo opravka z enim samim dvovodom, potem običajno ne računamo vektorsko. Ker sta toka v dvovodu enaka in nasprotno usmerjena:

1 2I I I

se tokovodnika odbijata s silo:

2

7 20 2 10 N2

I l lF I

a a

(4.48)

Odtod je tudi izpeljana mednarodna definicija enote električnega toka 1 amper. Po Slovenskem elektrotehniškem slovarju je tok 1 A definiran kot "konstantni tok v vsakem od dveh vzporednih, ravnih, neskončno dolgih vodnikov zanemarljivega krožnega prereza v razdalji 1 meter vsaksebi, ki povzroča med njima silo 1 newton po enoti dolžine 1 meter".

y

x

z

12B

1l

12F

2l

21B

21F

1I

2I

a

j

k i


91

4.4 Magnetna polja v magnetnih snoveh

Grobo razdelitev vseh snovi v nemagnetne in magnetne smo opravili že v poglavju 4.3.1 Tam smo v skupino nemagnetnih snovi uvrstili vse tiste snovi, pri katerih je absolutna permeabilnost enaka permeabilnosti praznega prostora 0

in je konstantna ter od

magnetenja snovi neodvisna veličina. V skupino magnetnih snovi smo uvrstili vse tiste snovi, za katere je absolutna permeabilnost mnogokrat večja od permeabilnosti praznega prostora, poleg tega pa še nelinearno odvisna od magnetenja snovi, tj. od

magnetne poljske jakosti H .

Zato si bomo v nadaljevanju ogledali, kolikšne vrednosti lahko ima relativna permeabilnost in kje so vzroki za različno magnetno obnašanje snovi.

4.4.1 Relativna permeabilnost

Če v magnetno polje postavimo snov, se magnetna poljska jakost H ne spremeni, saj je to veličina, ki je odvisna le od zunanjih faktorjev, ki vplivajo na magnetenje. Spremeni

pa se gostota magnetnega pretoka B , saj je to veličina, ki je dodatno odvisna še od magnetnih lastnosti snovi.

Ta je sedaj sestavljena iz dveh delov:

0B B J (4.49)

Tu je:

0 0B H

gostota magnetnega pretoka, ki jo ustvari magnetna poljska jakost H v praznem

prostoru, in J vektor magnetne polarizacije, to je lastni doprinos snovi k skupni gostoti

magnetnega pretoka B .

Vektor magnetne polarizacije zapišemo v obliki:

0 0J B H (4.50)

kjer je brezdimenzijski faktor, ki se imenuje magnetna susceptibilnost. Ta pove, kolikokratnik gostote magnetnega pretoka v praznem prostoru prispeva snov sama, s predznakom pa, ali se ta doprinos prišteva ali odšteva.

Sedaj lahko izraz za skupno gostoto magnetnega pretoka zapišemo v obliki:

0 0 0 0 r(1 )B H H H H (4.51)

kjer je:

r 1 (4.52)


92

brezdimenzijsko število, ki ga imenujemo relativna permeabilnost. Ta pove, kolikokrat

je skupna gostota magnetnega pretoka B večja od gostote magnetnega pretoka 0B , ki bi

jo enako velika magnetna poljska jakost ustvarila v praznem prostoru.

S stališča vrednosti in predznaka vektorja magnetne polarizacije J delimo vse snovi v

tri skupine:

a) Diamagnetne snovi so tiste, kjer je vektor magnetne polarizacije J v primerjavi z

0B zelo majhen in se od njega odšteva ter tako zmanjšuje skupno gostoto

magnetnega pretoka. Zanje velja, da je r 1 1 .

b) Paramagnetne snovi so tiste, kjer je vektor magnetne polarizacije J v primerjavi

z 0B zelo majhen in se mu prišteva ter tako povečuje skupno gostoto magnetnega

pretoka. Zanje velja, da je r 1 1

c) Magnetne snovi so tiste, kjer je vektor magnetne polarizacije J v primerjavi z 0B

zelo velik in se mu prišteva ter tako močno povečuje skupno gostoto magnetnega pretoka. Zanje velja, da je

r 1

4.4.2 Razlogi različnega magnetnega obnašanja snovi

V razlagi prevodnosti v poglavju o tokovnih poljih smo si ogledali strukturno zgradbo snovi. Tam smo ugotovili, da je prav vsa pozitivna elektrina zbrana v jedru atoma, kjer so protoni nosilci pozitivnega kvanta elektrine. Okoli jedra "krožijo" v elektronskih tirnicah, podlupinah in lupinah elektroni, ki so nosilci negativnega kvanta elektrine. Na vsaki tirnici je mesto za dva elektrona, ki rotirata okoli svoje osi v nasprotnih smereh. To vrtenje elektrona okoli svoje osi imenujemo spin elektrona. Ker tudi protoni v jedru ne mirujejo, imamo torej v jedru atoma opravka s tremi vrstami gibanja elektrin: a) nihanje protonov v atomskem jedru, b) kroženje elektronov na elektronskih krožnicah, c) vrtenje elektronov okoli svoje osi.

Diamagnetizem

Elektron na elektronski tirnici se v magnetnem polju obnaša kot vrtavka. Če na vrtavko deluje sila, ki skuša spremeniti lego osi vrtavke, se ta odzove s precesijskim gibanjem. Tudi elektronska krožnica opravlja v tujem magnetnem polju precesijsko gibanje. Posledica tega precesijskega gibanja je, da magnetno polje, ki ga elektron na "precesijski krožnici" povzroča, nasprotuje magnetnemu polju, ki je vzrok precesije. Pravimo, da posledica nasprotuje vzroku, zaradi katerega je nastala. To trditev imenujemo Lenzov princip.

Magnetno polje diamagnetnega efekta nasprotuje vzbujalnemu polju in ga slabi. Skupno magnetno polje je zaradi negativne vrednosti magnetne susceptibilnosti diamagnetne snovi šibkejše od povzročitelja. Diamagnetni efekt je premosorazmeren magnetni poljski jakosti, ki ga povzroča, zato je relativna permeabilnost diamagnetnih snovi konstantna


93

vrednost. Sam pojav je elastičen in reverzibilen, če izgine vzbujalno magnetno polje, izgine tudi diamagnetni efekt.

Paramagnetizem

Če v magnetno polje postavimo trajen magnetek (magnetna igla), se bo ta poskušal zavrteti v lego tega polja in se bosta zato obe magnetni polji seštevali. V obnašanju trajnega magnetka v magnetnem polju je skrit razlog paramagnetnega obnašanja nemagnetnih snovi (in posredno tudi feromagnetnih).

V snoveh, ki imajo vse elektronske krožnice polno zasedene, do paramagnetnega efekta sploh ne more priti, take snovi so inherentno diamagnetne. Do paramagnetnega efekta torej lahko pride le v snoveh z vsaj eno polzasedeno elektronsko krožnico. Če pa ta obstaja, potem vedno prevladuje paramagnetni efekt nad diamagnetnim.

V običajnih paramagnetnih snoveh imajo spinski magnetki atomov poljubne smeri, zato se njihovi vplivi navzven, če ni tujega magnetnega polja, medsebojno kompenzirajo. Šele, ko začne na spinske magnetke delovati tuje magnetno polje, se ti začno elastično vrteti v smer tega polja in se mu prištevati. Če zunanje polje izgine, se elastično vrnejo nazaj v prvotno lego, magnetenje paramagnetnih snovi ne pušča za sabo nobenih posledic.

Opredelitev snovi na diamagnetne in paramagnetne je mogoča s premislekom, da se v diamagnetnih snoveh magnetno polje oslabi in v paramagnetnih snoveh ojači. Skupna slika magnetnega polja je skicirana za obe snovi na sliki 4.21. Iz obeh je razvidno, da se magnetno polje v paramagnetni snovi ojači in v diamagnetni oslabi.

a) b)

Slika 4.21: Računalniška simulacija vpliva diamagnetne in paramagnetne snovi na skupno polje:

a) magnetno polje v diamagnetni snovi, b) magnetno polje v paramagnetni snovi

Feromagnetizem

Naravne feromagnetne snovi imajo polikristalno strukturo, to pomeni, da so sestavljene iz množice monokristalov. Vsak od monokristalov je razdeljen na parno število Weissovih področij ali magnetnih domen. Vsako Weissovo območje v monokristalu ima enako število atomov, vsi spinski magnetki v tem območju imajo lego magnetne osi tega območja in tako se to obnaša kot elementarni magnetek. V vsakem paru Weissovih


94

območij sta pripadajoča elementarna magnetka obrnjena v nasprotni smeri in se, če snovi ne magnetimo, navzven kompenzirata.

Na sliki 4.22 je prikazana kristalna struktura monokristala železa. Ta ima obliko kocke, v vsakem oglišču kocke je nameščen atom železa, eden pa je nameščen v sečišču prostorskih diagonal kocke.

Slika 4.22: Struktura monokristala železa in lega magnetnih osi

Monokristal železa ima tri magnetne osi, ki se ujemajo z robovi kocke. Vsak monokristal železa ima torej šest Weissovih območij, vsaka od njih vsebuje eno šestino atomov monokristala. Ker sta po dve Weissovi območji vselej usmerjeni v nasprotnih smereh magnetne osi, je nenamagneten monokristal železa navzven magnetno nevtralen.

Na meji dveh Weissovih območij skokovita sprememba lege spinskih magnetkov (za 900 oziroma 1800) ni možna. Zato imamo na meji dveh Weissovih območij cono prehoda, kjer spinski magnetki postopoma in zvezno spremenijo lego iz ene magnetne osi v sosednjo. To cono prehoda imenujemo Blochova pregrada.

4.4.3 Magnetilne krivulje feromagnetnih snovi

Pod izrazom magnetilna krivulja razumemo funkcijsko odvisnost ( ).B f H Za

nemagnetne snovi je to:

0B H H

to pa je premica, ki gre skozi koordinatno izhodišče in ima naklonski kot oz. smerni koeficient enak:

7

0

Vs4 10

Am

Btg

H

Slika 4.23: Magnetilna krivulja za nemagnetne snovi

H

B


95

Magnetilna krivulja za nemagnetne snovi je prikazana na sliki 4.23. Velikost ordinate je na tej sliki seveda pretirana, saj bi se smerni koeficient skoraj nič ne razlikoval od abscisne osi.

Kakšno magnetilno krivuljo bi sedaj dobili za magnetne snovi? Železo brez magnetne predzgodovine izpostavimo tujemu (pravimo tudi vzbujalnemu) polju in predpostavimo, da je lega zunanjega polja taka, da se sicer ne ujema s smerjo nobenega od Weissovih območij. Z naraščanjem magnetne poljske jakosti se v monokristalu železa zapovrstjo odvijajo naslednji trije procesi: a) elastični premik Blochovih pregrad: Weissova območja, ki so najbližja legi

zunanjega polja se krepijo na račun tistih, ki so v protismeri. Premik Blochovih pregrad je obrnljiv ali reverzibilen proces.

b) prevračanje Weissovih območij: če je magnetenje zunanjega magnetnega polja dovolj močno, se Weissova območja, ki so v protismeri zunanjega polja, začnejo prevračati. Prevračanje Weissovih območij predstavlja neobrnljiv ali nereverzibilen proces.

c) elastični zasuk Weisovih območij: ko so se vsa Weissova območja prevrnila v lego, ki je najbližja legi zunanjega polja, imenujemo to točka nasičenja. V tej točki lahko smeri Weissovih območij v monokristalu malo odstopajo od smeri zunanjega magnetnega polja. Pri nadaljnjem naraščanju zunanje magnetne poljske jakosti se poskušajo spinski magnetki Weissovih območij elastično poravnati v smer zunanjega polja. Ta proces je obrnljiv. Ker se feromagnetna snov v tem področju (zasičenja) obnaša kot paramagnetik, se tega dela magnetilne krivulje seveda ne splača uporabljati.

Slika 4.24: Magnetilna krivulja magnetne snovi

Sedaj, ko poznamo vse tri procese v magnetnih snoveh, bomo razložili magnetilno krivuljo B=f(H) za te snovi. Izhajamo iz predpostavke, da imamo magnetno snov brez magnetne preteklosti. V tem primeru se na začetku magnetenja nahajamo v točki 0 v izhodišču koordinatnega sistema po sliki 4.24. Ko sedaj začnemo snov magnetiti, pride najprej do elastičnega premika Blochovih pregrad. Ta del magnetenja je reverzibilen, če magnetna poljska jakost začne upadati, se vračamo v točko 0 po isti krivulji. Ko smo z

B

Bm

Br

Hk1-Hm1

Bm

Hm H

c

0

a

bzasuk W. območij

prevračanje W. območij

premik Blochovih pregrad


96

večanjem magnetne poljske jakosti prispeli v točko a, se začno Weissova območja prevračati v lego tistega, ki je najbližji legi zunanjega polja. Tukaj vektor magnetne

polarizacije J najmočneje narašča, ni pa nujno, da se ujema z gostoto magnetnega

pretoka 0B . Ker imajo Weissova območja določeno vztrajnost, se ob manjšanju

magnetenja ne vračamo več po isti krivulji. V točki b so se prevrnila prav vsa Weissova območja. Točko b zato imenujemo točka nasičenja, vektor magnetne polarizacije doseže

tu največjo možno vrednost nasJ . Če magnetimo še dalje, se magnetna snov pri

elastičnem zasuku Weissovih območij obnaša kot paramagnetik, od tu dalje je magnetilna krivulja vzporedna z magnetilno krivuljo praznega prostora.

Magnetilno krivuljo, ki jo dobimo pri prvem magnetenju (pot 0, a, b) imenujemo prvotna krivulja. Ko smo prvič prispeli v točko b, moramo odtod dalje upoštevati vztrajnost Weissovih območij. Ko pade magnetna poljska jakost na vrednost H = 0, je določeno število Weissovih območij zaradi vztrajnosti še vedno ostalo v novi legi. Pripadajočo gostoto magnetnega pretoka Br imenujemo preostala ali remanentna gostota magnetnega pretoka. Če želimo znižati gostoto magnetnega pretoka na vrednost B = 0, moramo magnetiti v nasprotni smeri z magnetno poljsko jakostjo Hk, ki jo imenujemo koercitivna sila. Z nadaljnjim magnetenjem pridemo pri − Hm zopet v točko nasičenja c, kjer imamo gostoto magnetnega pretoka − Bm.

Krivuljo odvisnosti B = f(H) pri periodičnem magnetenju imenujemo histerezna zanka. Površina histerezne zanke je enaka energiji, ki se v enoti prostornine (1m3) porabi pri enkratni premagnetizaciji snovi. Energijo, ki se porablja za premagnetizacijo magnetnega jedra, imenujemo histerezne izgube.

Magnetne snovi z "ozko" histerezno zanko (prav za prav z majhno površino histerezne zanke) imenujemo magnetno "mehke" snovi. Te se na eni strani lahko magnetijo in imajo majhne histerezne izgube. Uporabljamo jih povsod tam, kjer bomo imeli časovno spremenljiva magnetna polja, kot bo to primer v transformatorjih in električnih strojih. Magnetno "trde" snovi uporabljamo za trajne magnete. Dober material za trajni magnet mora imeti velik produkt (B·H)max (veliko površino histerezne zanke), tega pa lahko dosežemo bodisi na račun velike Br ali Hk.

Za pravilno uporabo feromagnetnih materialov si moramo zapomniti naslednje: a) Weissova območja so mehansko vztrajna, zato obstaja za vsak feromagnetni

material določena končna hitrost prevračanja Weissovih območij. Če je frekvenca magnetenja iznad te mejne frekvence, se feromagnetik obnaša kot paramagnetna snov.

b) Če feromagnetno snov segrejemo nad Curiejevo temperaturo, postanejo termične sile močnejše od elektromagnetnih. Snov, segreto nad Curiejevo temperaturo, smo razmagnetili in s tem uničili njeno magnetno preteklost.

c) Weissova območja so vztrajna tako v osnovni kot vsiljeni ravnotežni legi. Če ji dovedemo dovolj veliko energijo (tudi mehansko), se lahko prevrne nazaj v originalno lego. Če trajni magnet močno udarimo, se mu remanentni magnetizem močno zniža.

d) Tudi tehnološki postopki lahko pozitivno ali negativno vplivajo na magnetne lastnosti feromagnetnih materialov. Vsaka naknadna obdelava (rezanje, zvijanje, pregibanje in segrevanje) vedno poslabša magnetne lastnosti.

97

5 ČASOVNO SPREMENLJIVO MAGNETNO POLJE

Vse naše dosedanje obravnavanje osnovnih zakonitosti elektrotehnike se je nanašalo na časovno stalna električna in magnetna polja. Le v poglavju o energiji električnega polja smo se dotaknili tudi pojava časovno spremenljivega električnega polja, saj je bilo potrebno kondenzator nabiti, da se je v njem nakopičila energija električnega polja.

Delovanje velike večine električnih strojev in naprav pa je vezano na časovno spremenljiva električna in magnetna polja. Tudi stacionarna električna in magnetna polja je potrebno najprej zgraditi, graditev električnih in magnetnih polj pa zajema zakonitosti časovno spremenljivih polj.

5.1 Inducirano električno polje

V uvodu v stacionarna magnetna polja smo omenili, da prisotnost magnetnega polja lahko ugotovimo tudi s pojavom inducirane napetosti. Pri tem smo problem inducirane napetosti le nakazali, nič nismo povedali o tem, s kakšnimi poskusi lahko pojav inducirane napetosti in s tem tudi prisotnost magnetnega polja dokažemo.

5.1.1 Elektromagnetna indukcija

V poglavju o stacionarnem ali časovno nespremenljivem magnetnem polju smo ugotovili, da električni toki oziroma gibane elektrine povzročajo magnetne pojave, torej ustvarjajo magnetno polje. Obratno pa je mogoče tudi s pomočjo magnetov (stalnih ali električnih) povzročiti električne pojave, torej električno polje, kar je že leta 1831 s svojimi poskusi dokazal Michael Faraday.


98

Električno polje, ki ga povzroča magnetizem, imenujemo dinamično oziroma inducirano električno polje, sam pojav njegovega nastanka pa elektromagnetna indukcija. Njen pojav in osnovne značilnosti je mogoče kvalitativno opisati z naslednjima dvema poskusoma.

a) Na dolgo zračno tuljavo imamo priključen galvanometer. V notranjosti tuljave je nameščen mirujoči paličasti magnet, kot to prikazuje slika 5.1.

a) b)

Slika 5.1: Elektromagnetna indukcija zaradi pomika trajnega magneta

Ko paličast magnet v notranjosti tuljave miruje, imamo v notranjosti tuljave časovno nespremenljivo magnetno polje. Na galvanometru odčitamo ničelno vrednost, na sponkah galvanometra je ničelna vrednost napetosti.

Nato paličasti magnet začnemo pomikati navzgor. Magnetno polje v tuljavi se zmanjšuje, galvanometer pokaže odklon, kot ga kaže slika 5.1a. Na sponkah galvanometra smo zaradi gibanja magneta in s tem povezane spremembe (manjšanja) magnetnega polja dobili napetost prikazane polaritete, ki jo imenujemo inducirana napetost. Tako jo imenujemo zato, ker je posledica elektromagnetne indukcije.

Paličasti magnet potiskamo v notranjost tuljave. Magnetno polje v tuljavi se povečuje, galvanometer pokaže odklon, kot ga kaže slika 5.1b. Na sponkah galvanometra smo zaradi gibanja magneta in s tem povezane spremembe (večanja) magnetnega polja dobili inducirano napetost prikazane polaritete, ki je v tem primeru nasprotnega predznaka.

Velikost inducirane napetosti je tem večja, čim močnejši je paličasti magnet in čim hitreje ga premikamo.

Poleg kvantitativnih so zanimivi tudi kvalitativni zaključki pojava. V zaključeni zanki bo inducirana napetost pognala tok, ta pa bo v tuljavi povzročil svoje magnetno polje. Smer tega magnetnega polja je vedno taka, da nasprotuje vzroku, zaradi katerega je nastalo. V prvem primeru nasprotuje zmanjšanju, v drugem primeru pa naraščanju

+

-

N

S

smer gibanja

+

-

N

S

Časovno spremenljivo magnetno polje

99

magnetnega polja. To pravilo imenujemo Lenzovo pravilo, prisotno je v vseh primerih elektromagnetne indukcije.

5.1.2 Inducirana napetost

Če elektrina Q s hitrostjo v prečka magnetno polje B deluje nanjo sila:

( )F Q v B (5.1)

Ta izraz po svoji obliki spominja na izraz za Coulombovo silo:

sF Q E

ki je veljala za silo na elektrino v elektrostatičnem polju s statično električno poljsko jakostjo

sE . Ker gre v našem primeru sedaj za inducirano ali dinamično električno polje,

ima izraz:

iE v B (5.2)

pomen inducirane električne poljske jakosti. Elektrina Q "občuti" gibanje s hitrostjo v

skozi magnetno polje z gostoto magnetnega pretoka B , kot da se nahaja v električnem polju z električno poljsko jakostjo

iE .

Inducirana električna poljska jakost je vektorska veličina, njen iznos je podan z absolutno vrednostjo vektorskega produkta

siniE vB (5.3)

kjer je kot , ki ga oklepata vektorja v in B , smer pa je podana z desnim svedrom, če vektor hitrosti v (po najkrajši poti) zavrtimo v smer vektorja gostote magnetnega

pretoka B (glej sliko 5.2). Vektor inducirane električne poljske jakosti stoji pravokotno

na ravnini vektorjev in v B .

Slika 5.2: Skica za razumevanje razdelbe pri gibanju prevodne palice v

magnetnem polju

Ravno, prevodno (kovinsko) palico postavimo v magnetno polje tako, da je pravokotna na smer polja in jo začnemo premikati s hitrostjo v v smeri, ki je pravokotna na lego

B

v

iE

sE


100

palice in smer magnetnega polja (slika 5.2). V tem primeru se smer inducirane električne

poljske jakosti iE ujema s smerjo palice.

V kovinski palici so gibljivi le prosti elektroni. Ti se zaradi sile nanje (negativna elektrina) pomaknejo v nasprotni smeri od inducirane električne poljske jakosti na konec palice in tam ustvarijo presežek negativne elektrine. Ta konec palice je na negativnem (nižjem) električnem potencialu. Na drugem koncu palice imamo zato presežek pozitivne elektrine in zato je ta na pozitivnem (višjem) potencialu. Pri enakomerni hitrosti palice ustvarita z razdelbo ustvarjeni elektrini v notranjosti palice

tolikšno statično električno poljsko jakost sE , da ta v notranjosti palice kompenzira

inducirano električno poljsko jakost iE . V notranjosti palice sta ti (pri enakomerni

hitrosti palice) v ravnotežju in velja:

i s 0E E (5.4)

V zunanjosti palice pa se obe delni električni poljski jakosti seštevata v rezultantno električno poljsko jakost:

s iE E E (5.5)

Med koncema palice se pojavi inducirana napetost, ki jo imenujemo prečkalna napetost, saj jo dobimo zato, ker palica prečka magnetno polje. Njena velikost je za podani primer enaka:

i i d ( ) sin VU E l v B l vBl (5.6)

Naj smer hitrosti v in gostota magnetnega pretoka B oklepata kot . Smer inducirane električne poljske jakosti je podana z njunim vektorskim produktom oz. pravilom desnega svedra.

Za praktično določanje smeri delovanja prečkalne napetosti uporabljamo pravilo desne roke, ki je prikazano na sliki 5.3 in se glasi:

Slika 5.3: Pravilo desne roke za določanje smeri delovanja prečkalne napetosti

B

iE

v

Bi

E

v


101

Ker želimo dobiti čim večjo vrednost prečkalne napetosti, poskrbimo za to, da so vsi trije vektorji med seboj čim bolj pravokotni.

Enačbo

iE v B (5.7)

imenujemo tudi zakon elektromagnetne indukcije. Kot smo že omenili, čuti inducirano električno polje tudi mirujoči opazovalec v časovno spremenljivem magnetnem polju. Na principu krajevne spremembe magnetnega polja deluje generator, na principu časovne spremembe magnetnega polja pa transformator.

Na splošno torej pride do induciranega električnega polja iz dveh razlogov:

a) zaradi prečkanja konstantnega magnetnega polja (krajevne spremembe), ali b) zaradi časovnega spreminjanja magnetnega polja v krožni zanki (tuljavi).

V prvem primeru gre za krajevno spremembo magnetnega polja, v drugem primeru pa za časovno spremembo magnetnega polja.

5.1.3 Posplošena oblika zakona o inducirani napetosti

Električni tok se lahko sklene le v zaključeni prevodni zanki. Zato tudi prečkalna napetost požene električni tok le ob pogoju, če je del vodnika, ki prečka magnetno polje, sestavni del zaključene prevodne zanke.

Za izpeljavo splošne oblike enačbe za inducirano napetost vzemimo prevodno kovinsko palico v obliki odprte črke U. Ta del tokokroga miruje, nanjo pa je položena prečna palica z grafitnim kontaktom, ki je translacijsko gibljiva v obe smeri. Ravnina tako dobljene prevodne zanke stoji pravokotno na homogeno magnetno polje z gostoto magnetnega

pretoka B .

Slika 5.4: Skica za izpeljavo splošne oblike enačbe za inducirano napetost

dxv

BiE

dAl

Če položimo iztegnjeno desno dlan v magnetno polje tako, da gostota magnetnega pretoka vstopa v dlan, iztegnjeni palec kaže smer gibanja, potem iztegnjeni prsti kažejo smer inducirane električne poljske jakosti, oziroma smer delovanja inducirane napetosti.


102

Ko začnemo premikati gibljivi del zanke (palico z dolžino l ) v nakazano smer (v levo), se v palici inducira prečkalna napetost velikosti:

i ( ) VU v B l

Po pravilu desne roke ugotovimo, da deluje inducirana električna poljska jakost iE od

spodnjega konca palice proti zgornjemu, ki je zato na višjem potencialu. Zaradi inducirane napetosti bo skozi zaključeno zanko stekel električni tok.

Potovalno hitrost pomične palice lahko predstavimo z:

d

d

xv

t

V časovnem intervalu dt se površina sklenjene prevodne zanke poveča za:

d dA l x

Sprememba magnetnega pretoka skozi tako povečano površino zanke je:

d d dB A B l x

in je pozitivna, saj magnetni pretok skozi zanko zaradi gibanja palice narašča. Vrednost inducirane napetosti je sedaj po iznosu enaka:

i

d d d

d d d

x B AU vBl l B

t t t

(5.8)

Predznak inducirane napetosti je pozitiven, če od nje povzročen tok obkroži spremembo magnetnega pretoka po desnem svedru, kjer desni sveder kaže v smeri spremembe magnetnega pretoka. V našem primeru po sliki 5.4 imamo pozitiven prirastek magnetnega pretoka skozi zanko, zato pa negativen predznak inducirane napetosti. Enačbo 5.8 bi torej morali zapisati v obliki:

i

dV

dU

t

(5.9)

Še bolj enostavna pa je določitev smeri delovanja inducirane napetosti po Lenzovem pravilu:

Inducirana napetost požene tok v sklenjeni prevodni zanki v taki smeri, da bo od njega povzročen magnetni pretok nasprotoval vzroku nastanka.

Dobljena enačba 5.9 ima splošno veljavnost in jo imenujemo Faradayev zakon elektromagnetne indukcije. Inducirano napetost realiziramo v sklenjeni prevodni zanki, če se magnetni pretok skozi zanko iz kakršnega koli razloga s časom spreminja.

Do časovne spremembe magnetnega pretoka skozi sklenjeno prevodno zanko lahko pride iz dveh razlogov:

a) Zaradi premikanja dela prevodne zanke se magnetni pretok skozi zanko s časom spreminja. Govorimo o krajevni spremembi magnetnega pretoka:

d dB A (5.10)


103

Posledica je prečkalna napetost, ki ji pravimo tudi generatorska napetost, saj jo dobimo v generatorjih.

b) Prevodna zanka miruje, pač pa se s časom spreminja gostota magnetnega pretoka v zanki. Govorimo o časovni spremembi magnetnega pretoka:

d dA B (5.11)

Ker do te vrste inducirane napetosti prihaja predvsem v transformatorjih, govorimo tudi o transformatorski napetosti.

Do inducirane napetosti lahko prihaja tudi zaradi obeh razlogov hkrati. To je razvidno iz diferenciala magnetnega pretoka:

d d( ) d dBA B A A B (5.12)

5.2 Praktični zgledi določanja inducirane napetosti

V tem poglavju si poglejmo nekaj najbolj tipičnih primerov nastanka induciranih napetosti.

Translacija pravokotne zanke v homogenem magnetnem polju

V homogeno magnetno polje z gostoto magnetnega pretoka B postavimo pravokotno kovinsko zanko, kot to prikazuje slika 5.5. Gostota magnetnega pretoka je pravokotna na ravnino zanke.

Slika 5.5: Translacija zanke v homogenem magnetnem polju

V obeh stranicah zanke se inducirata enaki prečkalni napetosti, ki pa se v smeri obhoda zanke odštevata, med priključnima sponkama zanke ni potencialne razlike. Pri translaciji zanke v homogenem magnetnem polju je rezultantna inducirana napetost v zanki enaka nič. Magnetni pretok skozi zanko:

2B A B l a

ostaja pri translaciji nespremenjen.

v iE

2a

iE

B l


104

Pač pa se magnetni pretok pri translaciji zanke skozi krajevno spremenljivo magnetno polje s časom spreminja. Inducirana napetost je zopet vsota obeh paličnih induciranih napetosti, ki pa je lahko različna od nič.

Translacija pravokotne zanke v krajevno sinusno porazdeljenem magnetnem polju

Imamo časovno konstantno in krajevno sinusno porazdeljeno magnetno polje, kot ga prikazuje slika 5.6. To magnetno polje prečka pravokotna prevodna zanka s hitrostjo v. Iz slike 5.6 je razvidno, da dobimo v palici največjo prečkalno napetost, ko palica prečka maksimalno vrednost gostote magnetnega pretoka:

pmax mU v B l (5.13)

Če je širina pravokotne palice enaka polovici periode gostote magnetnega pretoka, druga palica prečka magnetno polje z nasprotno smerjo gostote magnetnega pretoka in ima prečkalna napetost obrnjeno maksimalno vrednost. V smeri obhoda zanke pa se obe prečkalni napetosti seštevata v temensko vrednost inducirane napetosti:

imax pmax m2 2 VU U vB l (5.14)

Slika 5.6: Translacija pravokotne zanke v konstantnem krajevno sinusno

porazdeljenem magnetnem polju

Temensko vrednost priredimo osi zanke, zato je potek inducirane napetosti podan z:

i imax( ) sin( ) V2

xu x U

a

(5.15)

saj ima temensko vrednost, ko je os zanke v x = a.

Sinusno časovno odvisno magnetno polje v mirujoči pravokotni zanki

Če bi sinusno porazdeljeno magnetno polje krajevno mirovalo in bi se le trenutne vrednosti gostote magnetnega pretoka po vsem preseku zanke časovno spreminjale po sinusnem časovnem zakonu, bi bila časovno spremenljiva temenska vrednost gostote magnetnega pretoka:

2a

x

4a t

Bm

T

B(x)

v

iE

l Uim

ui(t)


105

m max( ) cos( )B t B t (5.16)

in njena povprečna vrednost v zanki:

sr m m

2 2( ) ( ) cosB t B t B t

(5.17)

Tedaj bi se magnetni pretok skozi zanko časovno spreminjal po:

maxsr max

2( ) ( ) cos( ) cos( ) Vs

A Bt A B t t t

(5.18)

Slika 5.7: Po preseku zanke krajevno sinusno porazdeljeno magnetno polje,

trenutne vrednosti se časovno spreminjajo po sinusnem časovnem zakonu

V zanki bi se pri časovni spremembi magnetnega pretoka inducirala napetost:

i max max

d ( ) dcos( )( ) sin( ) V

d d

t tu t t

t t

(5.19)

Zaradi:

imax maxU (5.20)

i imax( ) sin( ) Vu t U t

Povezava med časovno spremenljivim magnetnim pretokom in inducirano napetostjo je prikazana v časovnem diagramu na sliki 5.8.

Slika 5.8: Časovni diagram magnetnega pretoka in inducirane napetosti

Iz primerjave časovnih diagramov za zadnja dva primera določanja induciranih napetosti pridemo do naslednjega zaključka:

t

ωt 2

( )t

T ui(t)

2a

Bmax

Bm(t) l


106

Če se magnetna pretoka skozi zanko spreminjata po enakem časovnem diagramu (bodisi zaradi krajevne ali časovne spremembe), se tudi inducirani napetosti spreminjata po enakem časovnem diagramu. Vendar bo le v primeru, ko bo časovna sprememba magnetnega pretoka sinusna, tudi inducirana napetost sinusna in bo zaostajala za 900.

Rotacija pravokotne zanke v homogenem magnetnem polju

V homogeno magnetno polje z gostoto magnetnega pretoka B postavimo pravokotno prevodno zanko s ploskvijo 2A l a tako, da bo os rotacije zanke (smer konstantne kotne hitrosti ) pravokotna na smer polja. Začetno lego zanke izberimo tako, da bosta

smer gostote magnetnega pretoka B in vektor normale na ploskev zanke A v trenutku t = 0 oklepala kot 0

, kot je to razvidno iz slike 5.9

Slika 5.9: Rotacija pravokotne zanke v homogenem magnetnem polju

Izračuna inducirane napetosti se lahko lotimo iz prečkalne napetosti. V vsaki od palic dobimo inducirano električno poljsko jakost:

i p 0sin sin( )E v B vB vB t (5.21)

kjer je kot, ki ga oklepata normala ploskve zanke in gostota magnetnega pretoka v vsakem trenutku:

0t

Prečkalna napetost palice je:

ip i 0( ) ( ) sin( )U t E t l vBl t (5.22)

V smeri obhoda zanke se obe prečkalni napetosti seštevata v inducirano napetost v zanki

i ip 0 im 0( ) 2 ( ) 2 sin( ) sin( )u t U t vBl t U t (5.23)

kjer je:

l

2a

B

A

B

vp

v

v

vp

A


107

im 2U vBl (5.24)

temenska vrednost inducirane napetosti v zanki.

Do enakega rezultata pridemo tudi iz splošne zakonitosti za inducirano napetost. Magnetni pretok skozi zanko se z rotacijo zanke spreminja po časovni zakonitosti:

m 0( ) 2 cos cos( )t B l a t (5.25)

Inducirana napetost v zanki se spreminja po časovni zakonitosti:

i m 0 im 0

d( ) sin( ) sin( )

du t t U t

t

(5.26)

kjer je:

im m 2 2U Bl a vBl

saj je:

v a

5.3 Magnetni sklep

Imejmo tuljavo z N ovoji, skozi katero se magnetni pretok spreminja s časom (slika 5.10).

Slika 5.10: Časovno spremenljivo magnetno polje v tuljavi

Iz slike je razvidno, da se ne sklene celotni magnetni pretok skozi vse ovoje tuljave. Zaradi tega tudi vse ovojne napetosti ne bodo enake. Velja, da je inducirana napetost v tuljavi enaka vsoti ovojnih induciranih napetosti:

i ij ov1

N

j

U U

(5.27)

N


108

kjer je:

j

ij

d

dU

t

(5.28)

inducirana napetost v j-tem ovoju tuljave.

Magnetni pretok j , ki se sklene skozi j-ti ovoj tuljave, zapišemo v obliki:

j jk (5.29)

Tu je j 1k sklepni faktor ovoja, ki pove, kolikšen del celotnega magnetnega pretoka

tuljave se sklene skozi j-ti ovoj tuljave. Sedaj lahko enačbo 5.27 zapišemo v obliki:

1 2 Ni

... d d

d d

k k kU N kN

N t t

(5.30)

V tem izrazu je:

1 2 N...1

k k kk

N

(5.31)

sklepni faktor tuljave, ki pove, kolikšen del celotnega magnetnega pretoka tuljave se v povprečju sklene skozi vse ovoje tuljave.

Magnetni pretok skozi vse ovoje tuljave sedaj zapišemo v obliki:

VskN

in ga imenujemo magnetni sklep. Na ta način smo tuljavo nadomestili z enim samim ovojem, skozi katerega se magnetni sklep s časom spreminja. Izraz za inducirano napetost v tuljavi dobi tako najbolj splošno obliko:

i

dV

dU

t

(5.32)

5.4 Induktivnosti

Povzročitelj magnetnega polja je električni tok. Posledica električnega toka je v prostoru magnetni pretok, oziroma magnetni sklep. Obe veličini sta integralni veličini, njuno razmerje definira snovno-geometrijsko lastnost prostora:

Vs

AL

i

(5.33)

ki jo imenujemo induktivnost.

Vendar se magnetno polje v dveh stvareh bistveno razlikuje od elektrostatičnega in tokovnega. Magnetno polje povzroča električni tok v neki zaključeni prevodni zanki. Ko


109

pa določamo magnetni sklep, pa se ta lahko sklene skozi isto prevodno zanko ali skozi neko drugo prevodno zanko.

Kadar sta električni tok in magnetni sklep v isti prevodni zanki, govorimo o lastni induktivnosti. Kadar pa je električni tok v eni zanki, magnetni sklep pa v drugi zanki, govorimo o medsebojni induktivnosti.

Induktivnost je snovno-geometrijska lastnost prostora, po katerem se sklepa magnetno polje. Za nemagnetne snovi in nespremenljivo konfiguracijo prostora je induktivnost konstantna veličina, za magnetne snovi pa je zaradi ( )i tudi induktivnost funkcija

toka, ki magneti prostor ( ).L L i

5.4.1 Lastna induktivnost

Kot smo že omenili, govorimo o lastni induktivnosti takrat, kadar je magnetni sklep v isti zanki kot tok i, ki magnetno polje povzroča. Zato je postopek določitve izraza za lastno induktivnost v tem, da magnetni sklep izrazimo s tokom, ki ga povzroča in odtod po definiciji Napaka! Vira sklicevanja ni bilo mogoče najti. določimo izraz za lastno induktivnost L.

V prostoru z nemagnetno snovjo tako magnetni pretok kot magnetni sklep naraščata premosorazmerno s tokom, ki ga povzroča. Zato je pri konstantni konfiguraciji lastna induktivnost konstantna in lahko enačbo 5.33 predstavimo z diagramom na sliki 5.11.

Slika 5.11: Funkcijska odvisnost lastne induktivnosti za nemagnetno snov

Lastna induktivnost je definirana z:

tan konst.Li

(5.34)

Če pa prostor izpolnjuje magnetna snov, prihaja do nasičenja, funkcijska odvisnost magnetnega sklepa in toka, ki ga povzroča, je prikazana na diagramu 5.12. Pri tem induktivnost po enačbi 5.34, ki je podana s tangento na krivuljo magnetnega sklepa, definiramo kot statično induktivnost, ki ima največjo vrednost tam, kjer je tangenta najbolj strma.

i


110

Slika 5.12: Funkcijska odvisnost lastne induktivnosti za magnetno snov

Dinamično induktivnost pa definiramo z diferencialnim količnikom:

d

d ( )

d

iL

i

(5.35)

Njena vrednost je največja tam, kjer se magnetni sklep najmočneje spreminja.

5.4.2 Medsebojne induktivnosti

Poglejmo primer, kjer magnetno polje povzroča tok v eni tuljavi in se del magnetnega pretoka iz prve tuljave sklene skozi ovoje druge tuljave in z njimi tvori magnetni sklep, kot je to razvidno iz slike 5.13.

Slika 5.13: Skica za razlago magnetnega sklepa 12

, ki ga sklopljeni magnetni

pretok 12 iz prve tuljave tvori z ovoji druge tuljave

Tok i1 v prvi tuljavi ustvari magnetni pretok 1 . Kot sklopljeni magnetni pretok 12

označimo tisti del magnetnega pretoka prve tuljave, ki se v povprečju sklene skozi vse ovoje druge tuljave. Razmerje:

1212

1

1k (5.36)

ΨLd

Ψ(i)

L(i)

i

1

N1

I1 N2


111

imenujemo sklopni faktor med prvo in drugo tuljavo. Tedaj je sklopljeni magnetni pretok

12 :

12 12 1k (5.37)

Sklopljeni magnetni pretok 12 tvori z

2N ovoji druge tuljave magnetni sklep:

12 12 2N (5.38)

Razmerje:

1212

1

HLi

(5.39)

med magnetnim sklepom sklopljenega magnetnega pretoka v drugi tuljavi in tokom i1 v prvi tuljavi, ki ga povzroča, definiramo kot medsebojno induktivnost med prvo in drugo tuljavo.

Magnetni pretok prve tuljave 1 lahko razdelimo na dva dela:

1 12 11 (5.40)

Tu je 12 sklopljeni magnetni pretok iz prve tuljave skozi drugo, preostanek 11

se

skozi drugo tuljavo ne sklene, zato glede na njo predstavlja "razsejani " magnetni pretok.

Podobno lahko določimo vpliv tuljave 2 na tuljavo 1. Tok i2 v drugi tuljavi ustvarja magnetni pretok 2

, del tega se kot sklopljeni magnetni pretok 21 sklene v povprečju

skozi N1 ovojev prve tuljave in z njo tvori magnetni sklep 21. Ustrezne odvisnosti

dobimo tako, da zamenjamo oba indeksa:

2121

2

1k (5.41)

21 21 2k (5.42)

21 21 1N (5.43)

Sedaj razmerje:

2121

2

HLi

(5.44)

definiramo kot medsebojno induktivnost med drugo in prvo tuljavo.

Tudi tu lahko magnetni pretok druge tuljave razdelimo na dva dela:

2 21 22 (5.45)

Obe medsebojni induktivnosti sta v primeru nemagnetnega jedra enaki. Zato ju v primeru, da imamo v prostoru le dve tuljavi, označimo tudi z:


112

12 2112 21

1 2

HM L Li i

(5.46)

Ko se sklopljeni magnetni pretok sklepa skozi sosednjo tuljavo, se lastnemu magnetnemu pretoku tuljave lahko prišteva ali odšteva. Če se prišteva, pravimo da sta obe tuljavi sklopljeni istosmiselno, če se odšteva, pa protismiselno.

6 ENERGIJA MAGNETNEGA POLJA

Na tuljavo z nemagnetnim jedrom, ki naj ima ohmsko upornost navitja R in induktivnost L, priključimo vir napetosti z gonilno napetostjo ug. Realno tuljavo z nemagnetnim jedrom lahko predstavimo kot zaporedno vezje ohmske upornosti navitja in induktivnosti. Po Kirchhoffovem zakonu zanke je gonilna napetost zanke enaka vsoti ohmskega in induktivnega padca napetosti:

g R L

d

du u u iR

t

(6.1)

Če obe strani enačbe pomnožimo z di t dobimo:

2

g d d du i t i R t i (6.2)

To je enačba energijskega ravnotežja. Če analiziramo to enačbo, je razvidno, da leva stran predstavlja energijo, ki smo jo v časovnem intervalu dt dovedli tuljavi. Na desni strani prvi člen predstavlja tisti del dovedene energije, ki se je v časovnem intervalu dt na ohmski upornosti R tuljave spremenil v joulsko toploto. Potem drugi člen na desni strani predstavlja tisti del magnetne energije, ki se je v časovnem intervalu dt nakopičil v energiji magnetnega polja tuljave.

Torej je:

d dmW i (6.3)

diferencial prirastka energije magnetnega polja. Ta izraz velja splošno tako za magnetne kot nemagnetne snovi.

Za nemagnetne snovi je odvisnost:

Li

linearna, kot je to razvidno iz slike 6.1 in L konstantna vrednost.

Diferencial magnetnega sklepa je:

d dL i (6.4)


114

Velikost energije, nakopičene v magnetnem polju, je:

2

m d J2

ki

k

o

LiW L i i (6.5)

Slika 6.1: Skica za določitev magnetne energije v nemagnetni snovi

Če upoštevamo:

k kLi

dobimo tri možne oblike za magnetno energijo v nemagnetnih snoveh:

2 2k k k k

m J2 2 2

Li iW

L

(6.6)

V magnetnih snoveh so stvari nekoliko bolj zapletene. Odvisnost ( )i nima oblike

nobene znane matematične funkcije, zato je določitev vrednosti izraza, ki je grafično predstavljen na sliki 6.2:

m

0

dk

W i

(6.7)

mogoča le z numeričnim integriranjem ali planimetriranjem.

Slika 6.2: Magnetna energija v magnetnih snoveh

Energija magnetnega polja Wm je integralna veličina, saj je vselej podana za celotno magnetno polje ali za del celotnega magnetnega polja. Integralni veličini Wm pripada

Ψ

iki

i

Ψk

dΨ

Ψ=f(I)

dWm

Wm

d

ki

i

k

i

mdW

mW

Energija magnetnega polja

115

diferencialna večina wm, ki jo imenujemo prostorska gostota energije magnetnega polja. Podaja magnetno energijo v enoti prostornine, obe veličini sta povezani z:

mm 3

d J

d m

Ww

V

(6.8)

oziroma z:

m mdV

W w V (6.9)

za primer homogenega ali nehomogenega magnetnega kroga v magnetni snovi ter z:

mm 3

J

m

Ww

V

(6.10)

oziroma z:

m mW w V (6.11)

za primer homogenega magnetnega kroga v nemagnetni snovi.

Prostorska gostota energije magnetnega polja

Ker vemo, da splošni zakon velja za vse možne primere, bomo izpeljavo izraza za prostorsko gostoto energije magnetnega polja izpeljali za homogeno magnetno polje v nemagnetni snovi. Za dolgo ravno tuljavo smemo predpostavljati homogeno magnetno polje. Zato tam veljata enačbi:

iNH

l

N NBA

Odtod lahko izračunamo:

Hl

iN

(6.12)

in

d dNA B (6.13)

Če ta dva izraza vstavimo v enačbo 6.7, dobimo:

m d d dV V V

HlW i NA B Al H B

N (6.14)

Ker je:

V Al

potem po enačbi 6.11 izraz:

m d

B

w H B (6.15)


116

predstavlja prostorsko gostoto energije magnetnega polja.

V nemagnetni snovi velja:

0d dB H

zato dobi izraz za prostorsko gostoto energije magnetnega polja v nemagnetni snovi obliko:

2

0m 0

0

d2

H Hw H H

(6.16)

Z uporabo izraza:

0B H

dobimo vse tri možne izraze za določitev prostorske gostote energije magnetnega polja v nemagnetni snovi:

2 2

0m 3

0

J

2 2 2 m

H BH Bw

(6.17)

a) b)

Slika 6.3: Diagram prostorske gostote energije magnetnega polja:

a) magnetna snov, b) nemagnetna snov

Enačba 6.15 je splošna oblika in velja za homogena in nehomogena magnetna polja v magnetnih ali nemagnetnih snoveh.

Na sliki 6.3 imamo predstavljena diagrama prostorske gostote energije magnetnega polja za magnetno in nemagnetno snov. Oba diagrama nista predstavljena v pravilnem razmerju. V magnetni snovi je funkcijska odvisnost B = f(H) še bolj strma, v nemagnetni snovi pa tako položna, da je skoraj ne bi mogli razlikovati od abscise. Že tako pa je iz obeh diagramov razvidno, da je prostorska gostota energije magnetnega polja v nemagnetni snovi ogromna v primerjavi s prostorsko gostoto energije magnetnega polja v magnetni snovi.

To je po svoje tudi razumljivo, saj je nemagnetno snov neprimerno težje magnetiti. V magnetnem krogu z zračno režo je skoraj vsa magnetna energija nakopičena v zračni reži.

B

Hk

H

Bk

dB

B=f(H)

dWm

Wm

Hi

dB

kH

H

kB

H

mdw

mw

B

Bk

7 IZMENIČNE VELIČINE

7.1 Vrste izmeničnih veličin

Trenutne vrednosti električnih veličin (npr. tok in napetost) so časovne funkcije, ki jih označujemo z malimi črkami in z neodvisno spremenljivko t (časom):

( )

( )

u u t

i i t (7.1)

Funkcija ( )y f t predstavlja torej v splošnem neko poljubno časovno odvisno veličino.

V tem delu osnov elektrotehnike so bomo osredotočili na tiste časovno odvisne električne veličine, ki se ponavljajo v enakih časovnih intervalih. To so periodične izmenične veličine. Definirane so z odvisnostjo:

( ) ( )f t f t kT (7.2)

V izrazu (1.2) predstavlja t neodvisno spremenljivko, T pa imenujemo periodo in predstavlja časovni interval, v katerem se začne potek veličine ponavljati, k pa je poljubno pozitivno ali negativno celo število.

Časovno odvisnost periodične izmenične veličine predstavljamo na tri načine:

1. z matematičnim zapisom časovne odvisnosti (analitično),

2. s tabeliranimi vrednostmi v dovolj malih časovnih intervalih (numerično) in

3. s slikovno predstavitvijo časovne odvisnosti (grafično).

Kot primer grafične predstavitve periodične izmenične veličine podajamo na sliki 7.1 graf žagaste periodične izmenične veličine ( )a t . To je veličina, ki v času ene periode T

linearno narašča od 0 do maksimalne vrednosti mA .

Njena matematična (analitična) predstavitev je v prvi periodi podana z naslednjo enačbo:


118

( ) mAa t tT

0 t T (7.3)

Slika 7.1: Graf ali časovni diagram žagaste periodične izmenične veličine

Numerična predstavitev je navadno podana v obliki tabele in je še posebno zanimiva takrat, kadar smo do trenutnih vrednosti periodične izmenične veličine prišli z odtipavanjem in te analitično ni mogoče predstaviti. Pogosto je tudi del računalniške obdelave problema, bodisi v obliki vhodnih podatkov ali rezultatov.

Število period v sekundi imenujemo frekvenca in jo označimo z f:

1fT ali -11sf

T (7.4)

Pri obravnavi periodičnih časovnih funkcij bomo posebno pozornost posvetili sinusnim časovnim funkcijam. Pod izrazom sinusna časovna funkcija razumemo tako kosinusno kot sinusno obliko časovne funkcije. Zakonitosti dela s sinusnimi časovnimi funkcijami so temeljnega pomena. V poglavju o Fourierjevi analizi bomo namreč ugotovili, da je mogoče poljubno periodično časovno funkcijo podati kot vsoto enosmerne komponente in osnovne ter višjih harmonskih sinusnih funkcij.

7.2 Opredelitev elementov v izmeničnih tokokrogih

Vsi osnovni zakoni elektrotehnike veljajo tudi za trenutne vrednosti električnih (in magnetnih) veličin. Celotno vsebino izmeničnih tokokrogov in prehodnih pojavov bo predstavljalo reševanje izmeničnih (sinusnih) tokokrogov, ki bodo najprej sestavljeni iz idealnih, kasneje pa tudi realnih elementov. Zato ne bo odveč, če si medsebojne odvisnosti trenutnih vrednosti napetosti in tokov na idealnih in linearnih elementih ogledamo na tem mestu:

)t(a

T 2T

t

Am

0

Izmenične veličine

119

a) za idealni ohmski upor z upornostjo R:

R Ru i R

R Ri u G

1

GR

b) za idealno tuljavo z induktivnostjo L:

Iz (t)=Li dobimo:

LL

diu L

dt in

0

1(0)

t

L L Li u dt iL

c) za idealni kondenzator s kapacitivnostjo C:

Iz ( ) CQ t Cu dobimo:

( ) C

C

dudQ ti C

dt dt in

0

1(0)

t

C C Cu i dt uC

Ob navedenih izrazih odvisnosti med trenutnimi vrednostmi tokov in napetosti na idealnih elementih, veljata tudi oba Kirchhoffova zakona:

a) Kirchhoffov zakon vozlišča

1

0n

jj

i

V vozlišču je vsota trenutnih vrednosti tokov enaka nič, kjer iz vozlišča odtekajoče toke štejemo pozitivno in v vozlišče pritekajoče toke negativno (ali obratno). Lahko bi tudi rekli, da je vsota v vozlišče pritekajočih tokov enaka vsoti iz vozlišča odtekajočih tokov.

b) Kirchhoffov zakon zanke

1 1

n m

j kj k

e u

V poljubni zaključeni zanki je vsota gonilnih napetosti enaka vsoti padcev napetosti! Gonilne napetosti štejemo pozitivno, če delujejo v izbrani smeri obhoda zanke in padce napetosti štejemo pozitivno, če tečejo toki v izbrani smeri obhoda zanke.

V električnih napravah in vezjih seveda nimamo idealnih, temveč realne elemente. V poglavju o realnih elementih električnih vezij bomo ugotovili, da lahko vsako realno napravo ali element v nekem frekvenčnem območju z dovolj veliko točnostjo

R

L

C

iR

uR

iL

iC

uL

uC


120

predstavimo z neko ustrezno vezavo idealnih elementov. Zato je povsem smiselno, da si najprej ogledamo razmere v vezjih z idealnimi elementi.

Razmere v električnem vezju so povsem določene z naborom diferencialnih enačb, ki jih dobimo z aplikacijo vseh možnih neodvisnih oblik obeh Kirchhoffovih zakonov. Za opis razmer v vezju dobimo toliko odvisnosti, kot je v vezju neodvisnih neznank.

Če so elementi vezja ( ,R L in C ) idealni in linearni, bo električni sistem opisan s

sistemom linearnih diferencialnih enačb (SLDE).

7.3 Harmonske časovne funkcije

Ko v elektrotehniki govorimo o sinusnih ali harmoničnih časovnih funkcijah, pod tem pojmom razumemo tako kosinusno kot sinusno obliko. To je najlepše razvidno iz grafične predstavitve obeh oblik. Vzemimo kazalec mA , ki s konstantno kotno hitrostjo

rotira okoli središča koordinatnega sistema (slika 7.2).

Slika 7.2: Grafična predstavitev sinusne veličine

Naj kazalec mA v trenutku 0t oklepa s pozitivno smerjo abscisne osi kot 0 , ki ga

imenujemo začetni fazni kot sinusne veličine. Kazalec mA rotira s konstantno kotno

hitrostjo v matematično pozitivni (torej proti urni) smeri. Kot , ki ga kazalec v poljubnem trenutku t oklepa s pozitivno smerjo abscise

0t (7.5)

imenujemo fazni kot sinusne veličine. Projekciji rotirajočega kazalca na absciso ali ordinato predstavljata obe možni predstavitvi sinusne časovne funkcije. Tako projekcija krožečega kazalca na absciso:

0( ) cos( )ma t A t (7.6)

Am

t=0

t

Amcos(t+0)

Amsin(t+0)

0


121

predstavlja kosinusno obliko harmonične časovne funkcije. Projekcija krožečega kazalca na ordinato:

0( ) sin( )ma t A t (7.7)

pa predstavlja sinusno obliko harmonične časovne funkcije. Iz obeh predstavitev je razvidno, da je harmonična časovna veličina v celoti opredeljena, če poznamo: a) temensko vrednost mA ,

b) krožno frekvenco in c) začetni fazni kot 0 .

Obe predstavitvi sta popolnoma enakovredni. Za eno od njiju se pač moramo odločiti, odločimo se za kosinusno.

Harmonično časovno funkcijo predstavimo na tri enakovredne načine:

a) Predstavitev z analitičnim zapisom.

Tega že poznamo (enačba 7.6)

0( ) cos( )ma t A t

b) Grafična predstavitev s časovnim diagramom.

Slika 7.3: Časovni diagram sinusne časovne funkcije

Iz časovnega diagrama je tudi razvidno, da je sinusna predstavitev sinusne časovne funkcije le za kot /2 (ali 900) zakasnjen časovni diagram kosinusne predstavitve.

Na absciso nanašamo bodisi čas t ali fazni kot . Času ene periode T ustreza fazni kot 2 , zato iz

2T in 1

fT

dobimo

-122 sf

T (7.8)


122

Časovni diagram je zanimiv tedaj, če nas zanima dogajanje znotraj periode. Poleg tega je v časovnem diagramu mogoče seštevati trenutne vrednosti harmoničnih funkcij različnih frekvenc.

c) Grafična predstavitev s kazalčnim diagramom.

Če imamo v mislih, da frekvenco f harmonične veličine poznamo, je trenutna vrednost harmonične veličine v celoti določena že s temensko vrednostjo mA in začetnim faznim

kotom 0 , torej z lego rotirajočega kazalca v trenutku 0t .

V grafični predstavitvi s kazalčnim diagramom seveda krožna frekvenca eksplicitno ni podana. Kazalčne diagrame lahko uporabljamo le za harmonične veličine z enako krožno frekvenco, saj je le v tem primeru dopustno geometrijsko seštevanje kazalcev veličin z enakim fizikalnim pomenom.

Slika 7.4: Predstavitev harmonične časovne funkcije s kazalčnim diagramom

7.4 Srednje vrednosti izmeničnih veličin

Omenili smo že, da uporabljamo trenutne vrednosti izmeničnih veličin tedaj, ko nas zanima dogajanje znotraj periode. Če nas zanimajo povprečja, ki se nanašajo na večje časovne intervale (veliko število period), moramo uporabljati povprečne ali srednje vrednosti izmeničnih veličin.

V elektrotehniki uporabljamo dve vrsti srednjih vrednosti: aritmetične in kvadratične srednje vrednosti.

a) Aritmetične srednje vrednosti srA uporabljamo za reševanje tistih fizikalnih

problemov, ki so odvisni od prve potence izmenične veličine. Tipični fizikalni pojavi, pri katerih uporabljamo aritmetične srednje vrednosti, so usmerniški in elektrolitski pojavi.

mA

0


123

Slika 7.5: Aritmetična srednja vrednost žagaste izmenične veličine

Če je ( )a t trenutna vrednost izmenične veličine, je aritmetična srednja vrednost srA

določena iz izraza, ki ga dobimo, če primerjamo površino srA T s površino, ki jo oklepa

krivulja trenutne vrednosti izmenične veličine z absciso v času ene periode:

0

( )T

srA T a t dt (7.9)

Od tod določimo izraz za izračun aritmetične srednje vrednosti:

0

1( )

T

srA a t dtT

(7.10)

Če izmenična veličina ne vsebuje enosmerne komponente (je torej čista izmenična veličina), je njena aritmetična srednja vrednost vselej enaka nič.

b) Kvadratično srednjo vrednost A uporabljamo takrat, kadar je fizikalni pojav odvisen od kvadrata izmenične veličine. To so vsi fizikalni pojavi, v katerih iščemo srednje vrednosti moči in energij.

Slika 7.6: Kvadratična srednja vrednost žagaste izmenične veličine

Izmenični tok z efektivno vrednostjo I sprosti na ohmskem uporu z upornostjo R enako moč kot enako velik enosmerni tok.

a(t)

a(t)

Asr

t

T 2T

a2(t)

a2(t)

Am2

t

A2

T


124

Nastavek za izračun efektivne vrednosti izhaja iz enakosti površine 2A T in površine, ki jo oklepa krivulja kvadrata trenutne izmenične vrednosti z absciso:

2 2

0

( )T

A T a t dt (7.11)

Odtod določimo izraz za efektivno vrednost:

2

0

1( )

T

A a t dtT

(7.12)

V zvezi z obema srednjima vrednostima poznamo še:

a) koeficient oblike

osr

Ak

A (7.13)

ta predstavlja razmerje med efektivno in aritmetično srednjo vrednostjo izmenične veličine in

b) koeficient amplitude

ma

Ak

A (7.14)

ta predstavlja razmerje med maksimalno in efektivno vrednostjo izmenične periodične veličine.

Oba koeficienta sta pomembna zato, ker je od namena in fizikalnega principa merilnega instrumenta odvisno, katero od vrednosti periodičnega izmeničnega signala: aritmetično srednjo, efektivno ali maksimalno vrednost z instrumentom merimo.

7.5 Predstavitev harmonskih časovnih funkcij v kompleksni ravnini

Na sliki 7.2 smo si ogledali grafično predstavitev harmonične časovne funkcije. Ugotovili smo, da se trenutne vrednosti kosinusne oblike s časom spreminjajo tako kot projekcije rotirajočega kazalca temenske vrednosti na abscisno os. Sedaj pa si oglejmo, kaj se zgodi, če absciso in ordinato v realnem prostoru zamenjamo z realno in imaginarno osjo kompleksne (Gaussove) ravnine.


125

Slika 7.7: Grafična predstavitev harmonične (sinusne) časovne funkcije v

kompleksni ravnini

Kazalec temenske vrednosti sinusne veličine postavimo v kompleksno ravnino tako, da v trenutku 0t oklepa s pozitivno smerjo realne osi začetni fazni kot o . To vrednost

kompleksnega kazalca temenske vrednosti imenujemo kompleksna amplituda mA :

oj

m mA A e (7.15)

Če to vrednost delimo s 2 , dobimo kompleksno efektivno vrednost sinusne časovne veličine:

ojA A e (7.16)

Očitno se predstavitev kazalca temenske in efektivne vrednosti v kompleksni ravnini razlikuje od pripadajočega realnega kazalca le po tem, da kot kompleksna vrednost vsebuje poleg absolutnega iznosa tudi argument (začetni fazni kot).

Če sedaj kompleksno amplitudo pomnožimo z j te , to pomeni, da se začne kompleksni kazalec mA vrteti v kompleksni ravnini s kotno hitrostjo v matematično pozitivni

(protiurni) smeri. Geometrijsko mesto točk, ki jih pri tem opiše konica kazalca kompleksne temenske vrednosti podaja trenutno kompleksno vrednost ( )a t sinusne

časovne funkcije:

( )( ) oj tj tm ma t A e A e (7.17)

Po Eulerjevi enakosti velja:

( ) cos( ) sin( )oj t

o oe t j t

Če to vstavimo v enačbo 7.17, dobimo:

( ) cos( ) sin( )m o m oa t A t jA t (7.18)

Trenutna kompleksna vrednost ima za realno komponento kosinusno predstavitev harmonične funkcije in za imaginarno komponento sinusno predstavitev. Za kosinusno predstavitev velja:

Am

t=0

t

Amcos(t+0)

Amsin(t+0)

+1

+j


126

0( ) Re ( ) cos( )ma t a t A t (7.19)

in za sinusno predstavitev :

0( ) Im ( ) sin( )ma t a t A t (7.20)

Predstavitev sinusnih veličin v kompleksni ravnini ima dve veliki prednosti: a) V kompleksni efektivni ali temenski vrednosti sta zajeta oba podatka, ki ju

potrebujemo za zapis trenutne vrednosti sinusne časovne veličine. b) Uporaba trenutnih kompleksnih vrednosti omogoča, da iz SLDE, ki opisuje neko

električno vezje z uporabo simbolične metode, po relativno preprosti poti pridemo do stacionarnih vrednosti neznanih sinusnih veličin (tokov in/ali napetosti).

To pa seveda še ne pomeni, da je simbolična metoda univerzalna. Smiselno je z njo ugotoviti le nekatere osnovne zakonitosti, nato pa nadalje le uporabljati pravilo, da vse zakonitosti, ki veljajo za enosmerne tokokroge, veljajo tudi za trenutne vrednosti izmeničnih tokokrogov, in z uporabo kompleksnega računa tudi za efektivne vrednosti.

7.5.1 Uporaba kompleksnega računa pri izračunu stacionarnih električnih vezij

Povezava med trenutnimi vrednostmi električnih veličin je v električnem vezju z idealnimi elementi podana s sistemom linearnih diferencialnih enačb (SLDE). Vendar nas v skoraj vseh primerih ne zanima njegova splošna rešitev, temveč le nabor stacionarnih komponent. To dejstvo omogoča, da sicer zelo zahtevno določevanje splošne rešitve nadomestimo s poenostavljenimi postopki, po katerih pa je mogoče ugotoviti le stacionarno rešitev. Celotni postopek imenujemo "simbolična metoda". Oglejmo si idejo in osnovna izhodišča tega postopka

Če so vse gonilne napetosti (lastne napetosti izvorov) sinusne časovne funkcije z enako krožno frekvenco, bodo tudi vsi toki in padci napetosti v električnem vezju z idealnimi elementi imeli sinusno obliko z isto krožno frekvenco. Da te neznane toke (in eventualno tudi padce napetosti) določimo, zadostuje, da zanje izračunamo: - amplitudo oziroma efektivno vrednost, - začetni fazni kot in - krožno frekvenco (ta pa je enaka krožni frekvenci gonilne napetosti).

Pokazali bomo, da je v tem primeru iskane stacionarne rešitve za neznane toke in napetosti mogoče relativno enostavno določiti z uporabo simbolične metode ali pa vsaj nekaterih njenih najbolj osnovnih zaključkov.

Simbolična metoda je postopek, v katerem SLDE za trenutne vrednosti prevedemo v SLDE za trenutne kompleksne vrednosti. Če v SLDE nato opravimo vse dovoljene računske operacije: seštevanje in odštevanje, integriranje in diferenciranje ter množenje ali deljenje s konstanto, je SLDE za trenutne kompleksne vrednosti prešel v sistem algebrskih enačb za trenutne kompleksne vrednosti. Iz njega potem izračunamo iskane trenutne kompleksne vrednosti neznanih veličin (tokov ali napetosti). Iz dobljene rešitve za neznane trenutne kompleksne vrednosti zanje potem ugotovimo njihove trenutne ali kompleksne efektivne vrednosti.

Postopek realiziramo v zaporedju korakov, ki so prikazani na sliki 7.8.


127

Slika 7.8: Diagram poteka korakov pri uporabi simbolične metode

Na sliki 7.8 so prikazani koraki uporabe simbolične metode: 1. Za podani problem ali vezje zapišemo SLDE za trenutne vrednosti. 2. Vse trenutne vrednosti zamenjamo s pripadajočimi trenutnimi kompleksnimi

vrednostmi. 3. Opravimo vse dovoljene računske operacije in dobimo algebrski sistem enačb za

neznane trenutne kompleksne vrednosti in jih izračunamo. 4. Rezultat za trenutno kompleksno vrednost prevedemo v kompleksno efektivno

vrednost. 5. Rezultat za trenutno kompleksno vrednost prevedemo v trenutno vrednost sinusne

veličine.

7.5.2 Primeri uporabe simbolične metode

Seštevanje sinusnih veličin

V vozlišče na sliki 7.9 pritekata toka 1 1 1cos( )mi I t , 2 2 2cos( )mi I t .

Kolikšna je trenutna vrednost 3i in kompleksna efektivna vrednost 3I odtekajočega

toka?

Slika 7.9: Vozlišče električnega vezja

Rešitev

Enačbi za trenutne vrednosti:

SLDE

za trenutne

vrednosti

SLDE za

tren. kompl.

vrednosti

REŠITEV

tren. kompl.

vrednosti

REŠITEV

trenutne

vrednosti

REŠITEV

kompl.efekt.

vrednosti

1

2

3 4

5 Direktna rešitev

i1

i2

i3


128

3 1 2i i i (7.21)

bomo zapisali ustrezno enačbo za efektivne kompleksne vrednosti:

3 1 2I I I (7.22)

Nato izrazimo 1I in 2I v algebrski obliki:

1

2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

cos sin

cos sin

j

j

I I e I jI

I I e I jI (7.23)

Sedaj je kompleksna efektivna vrednost odtekajočega toka:

3 1 1 2 2 1 1 2 2( cos cos ) ( sin sin )I I I j I I (7.24)

Odtod izračunamo efektivno vrednost in začetni fazni kot:

2 23 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 23

1 1 2 2

( cos cos ) ( sin sin )

sin sinarctan

cos cos

I I I I I

I I

I I

(7.25)

Z uporabo simbolične metode pridemo pri seštevanju (ali odštevanju) sinusnih veličin do naslednjega zaključka: Ista oblika enačbe, ki jo dobimo pri seštevanju (ali odštevanju) trenutnih vrednosti sinusnih veličin, velja tudi za seštevanje (ali odštevanje) njihovih kompleksnih efektivnih vrednosti.

Odvod sinusne veličine

Naj bo trenutna vrednost sinusne veličine ( )b t podana kot odvod sinusne veličine

( ) cos( )ma t A t :

da

bdt

Kolikšni sta trenutna vrednost ( )b t in kompleksna efektivna vrednost B iskane sinusne

veličine?

Rešitev

1) Za trenutne vrednosti velja podana odvisnost:

da

bdt

2) Trenutne vrednosti prevedemo v trenutne kompleksne:

da

bdt

3) Vstavimo trenutno kompleksno vrednost ( )j tma A e in opravimo operacijo

odvajanja:

( ) ( )( )j t j tm m

db A e j A e

dt


129

Če upoštevamo Eulerjevo enakost za kompleksno enoto:

90 2o j

je j e

dobimo:

0( ) ( 90 )j t j t

m mb B e A e (7.26)

Odtod je razvidno:

m mB A in 90o

4) Kompleksna efektivna vrednost sinusne veličine b je:

jB j A Be (7.27)

5) Trenutna vrednost b pa:

2cos( ) 2cos( 90 )ob B t A t (7.28)

Odtod dobimo splošni zaključek: Odvod sinusne veličine ima temensko vrednost -krat večjo od odvedene in jo prehiteva za 900.

Slika 7.10: Prikaz sinusne funkcije a in njenega odvoda b

a) v časovnem diagramu in b) v kazalčnem diagramu

Integral sinusne veličine

Naj bo trenutna vrednost sinusne veličine ( )b t podana kot integral sinusne veličine

0( ) cos( )ma t A t

( ) ( )b t a t dt

Kolikšni sta trenutna vrednost ( )b t in kompleksna efektivna vrednost B iskane sinusne

veličine?

Rešitev

1) Za trenutne vrednosti velja podana odvisnost:

+1

Bm

Am

t

a

a

b

b

A

B

+j


130

( ) ( )b t a t dt

2) Trenutne vrednosti prevedemo v trenutne kompleksne:

( ) ( )b t a t dt

3) Vstavimo trenutno kompleksno vrednost ( )j tma A e in opravimo operacijo

integriranja:

( ) ( ) ( )( ) j t j t j tm

m m

Ab t B e A e dt e

j

Če upoštevamo:

901 oje jj

dobimo:

( 90 )( )oj tmAb t e (7.29)

Odtod je razvidno:

m

m

AB in 90o

4) Kompleksna efektivna vrednost sinusne veličine ( )b t je:

jA

B j Be (7.30)

5) Trenutna vrednost ( )b t pa:

( ) 2cos( ) 2cos( 90 )ob t B t B t (7.31)

Odtod izhaja splošni zaključek: integral sinusne veličine ima temensko vrednost -krat manjšo od integrirane in zaostaja zanjo za 900.

Slika 7.11: Prikaz sinusne funkcije a in njenega integrala b

a) v časovnem diagramu b) v kazalčnem diagramu

+1 Bm

Am

t

a

a

b

b

A

B

+j


131

7.6 Fourierjeva analiza

Francoski matematik FOURIER (Jean Baptiste) je ugotovil, da je mogoče poljubno periodično časovno funkcijo ( )f t razviti v Fourierjevo vrsto in jo predstaviti kot vsoto

enosmernega člena in vsote sinusnih in kosinusnih harmonskih členov:

0

1 1

( ) sin cos2

i ki k

Af t A i t B k t (7.32)

Vrednost enosmernega koeficienta /2oA in koeficientov iA in kB za harmonske

komponente določimo po naslednjih enačbah:

0

0

2( )

T

A a t dtT

(7.33)

0

2( )sin( )

T

iA a t i t dtT

(7.34)

0

2( )cos( )

T

kB a t k t dtT

(7.35)

Kljub temu je izračun koeficientov Fourierjeve vrste še vedno matematično zahtevna operacija. Zato se izogibamo vseh odvečnih računskih operacij. Že sam pogled na graf periodične izmenične veličine nam lahko pove, kateri koeficienti Fourierjeve vrste so nič in ni treba tega računsko dokazovati.

Slika 7.12: Periodične funkcije s posebnimi lastnostmi:

a) z lihim izmeničnim delom, b) s sodim izmeničnim delom, c) z zrcalno sliko polperiod izmeničnega dela

Iz grafa periodične časovne funkcije izhaja: a) Če je periodična funkcija čista izmenična funkcija ( ) ( )izma t a t , nima srednje

vrednosti in je zato koeficient 0 0A .

T/2 T

t

A0/2

a(t)

t

A0/2

T

a(t)

a(t)

A0/2

T/2 T

t


132

b) Če je izmenični del periodične funkcije liha funkcija in velja ( ) ( )izm izma t a t ,

odpadejo vsi koeficienti kosinusnih harmonskih členov in je 0kB .

c) Če je izmenični del periodične funkcije soda funkcija in velja ( ) ( )izm izma t a t ,

odpadejo vsi koeficienti sinusnih harmonskih členov in je 0iA .

d) Če je druga polperioda izmeničnega dela periodične funkcije samo zrcalna slika izmeničnega dela prve polperiode in je ( /2) ( )izm izma t T a t , odpadejo vsi sodi

sinusni in kosinusni harmonski členi in je vsak 2 2 0i kA B za vsak i in k.

Efektivno vrednost Fourierjeve vrste dobimo, če najprej izraz za Fourierjevo vrsto vstavimo v enačbo 7.11:

2 20

0

( ... sin( ) ... cos( ) ...)2

T

i k

AA T A i t B k t dt (7.36)

Po kvadriranju izraza v oklepaju so od nič različni le kvadratični členi:

2 20 0

0

2 2 2

0

( ) ( )2 2

sin ( )2

T

T

i i

A Adt T

TA i t dt A

in

2 2 2

0

cos ( )2

T

k k

TB k t dt B

Z upoštevanjem tega preide enačba 7.36 v obliko:

2 2 2 22 20 1 1( ) ... ... ... ...

2 2 2 2 2i kA A A B B

A T T

Odtod je efektivna vrednost periodične funkcije:

2 2 2 220 1 1( ) ... ... ... ...

2 2 2 2 2i kA A A B B

A (7.37)

Efektivno vrednost periodične veličine, izražene s Fourierjevo vrsto, dobimo tako, da tvorimo vsoto kvadratov efektivnih vrednosti koeficientov Fourierjeve vrste in nato to vsoto korenimo.

Osnovni pomen Fourierjeve analize leži v spoznanju, da je mogoče vsako periodično časovno funkcijo razstaviti v vsoto enosmerne komponente in vrste sinusnih komponent.

8 IZMENIČNI TOKOKROGI Z IDEALNIMI ELEMENTI

8.1 Splošno o tokokrogih z idealnimi elementi

Vse do predstavitve realnih elementov električnih vezij bomo predpostavljali, da so ti idealni. V tem primeru so pri sinusnih gonilnih napetostih tudi vsi toki in padci napetosti prav tako sinusni in smemo za določitev njihovih stacionarnih vrednosti uporabiti kompleksni račun oziroma izsledke simbolične metode.

Vzemimo nek idealni element ali neko vezje iz idealnih elementov, kot to predstavlja slika 8.1.

Slika 8.1: Element ali vezje

Sinusna napetost skozi element ali vezje požene sinusen tok:

( ) cos( )

( ) cos( )

m u

m i

u t U t

i t I t (8.1)

Tu sta u in i začetna fazna kota napetosti in toka. Obe trenutni vrednosti prevedemo

v kompleksni trenutni vrednosti:

Element

ali vezje

u

i


134

( )

( )

u

i

j t

m

j t

m

u U e

i I e (8.2)

oziroma v efektivni kompleksni vrednosti:

u

i

j

j

U Ue

I Ie (8.3)

Če odtod poiščemo razmerje trenutnih kompleksnih in kompleksno efektivnih vrednosti napetosti in toka, v obeh primerih dobimo:

( )u

u i

i

jj j

j

u U Ue Ue Ze Z

i I IIe (8.4)

Razmerje obeh je kompleksna konstanta. Imenujemo jo kompleksna polna upornost ali impedanca Z elementa ali vezja. Njeno absolutno vrednost ali modul imenujemo

polno upornost ali absolutno vrednost impedance Z . Argument kompleksne polne upornosti imenujemo fazni kot elementa ali vezave.

Recipročno vrednost razmerja po enačbi 8.4:

( )u ij ji I I

e Ye Yu U U

(8.5)

imenujemo kompleksna polna prevodnost ali admitanca Y elementa ali vezja. Njeno

absolutno vrednost imenujemo polna prevodnost ali absolutna vrednost admitance Y.

Očitno velja:

1

YZ

(8.6)

Kompleksna polna upornost in kompleksna polna prevodnost elementa ali vezave sta recipročni kompleksni konstanti.

Kompleksna polna upornost Z oziroma kompleksna polna prevodnost Y v celoti

opredeljujeta vezje ali element. Določata tako velikost toka, kot tudi njegov fazni kot

glede na napetost. Pri tem je fazni kot elementa ali vezave definiran kot pozitiven, če

je u i , če torej napetost prehiteva tok, oziroma tok zaostaja za napetostjo.

Obe odvisnosti:

inU I

Z YI U

(8.7)

predstavljata Ohmov zakon za idealna izmenična vezja.

Če za elemente električnega vezja poznamo njihove kompleksne polne upornosti oz. njihove kompleksne polne prevodnosti, jih za sinusne gonilne napetosti in stacionarna stanja razrešujemo po enakih postopkih kot enosmerna vezja. Edina razlika je v tem, da se ves izračun odvija v kompleksni ravnini.

Izmenični tokokrogi z idealnimi elementi

135

8.2 Tokokrog z idealno ohmsko upornostjo R

Naj bo na vezje z idealnim ohmskim uporom po sliki 8.2 priključena sinusna napetost

cos( )m uu U t

Slika 8.2: Vezje z idealnim ohmskim uporom

Stacionarni tok skozi idealni element je tudi sinusen:

cos( )m ii I t

Trenutni vrednosti napetosti in toka sta na ohmskem uporu povezani z odvisnostjo:

u iR (8.8)

Po spoznanjih simbolične metode velja enaka enačba tudi za trenutne kompleksne in kompleksne efektivne vrednosti:

u iR

U IR (8.9)

Odtod dobimo za kompleksno polno upornost ohmskega upora:

u

i

j

R j

U UeZ R

I Ie (8.10)

Kompleksna ohmska upornost je realna veličina, zato je fazni kot idealnega ohmskega upora nič:

0R u i , (8.11)

to pa pomeni, da sta na ohmskem uporu napetost in tok v fazi, trenutni vrednosti napetosti in toka nista medsebojno premaknjeni, njuna kazalca efektivnih kompleksnih vrednosti sta istoležna.

Kompleksno ohmsko upornost predstavimo s kompleksnim kazalcem, ki ima velikost R in leži v realni osi kompleksne ravnine.

Kompleksna ohmska prevodnost RY je recipročna vrednost kompleksne ohmske

prevodnosti:

1 1

R

R

Y GZ R

(8.12)

i

u

R


136

Je realna konstanta, predstavljamo jo s kompleksnim kazalcem, ki leži v realni osi kompleksne ravnine. Na sliki 8.3 bomo za pozitivni začetni fazni kot napetosti u i 0

prikazali najprej časovni diagram napetosti in toka, nato pa na slikah 8.4 še oba kazalčna diagrama polne upornosti in polne prevodnosti ter napetosti in toka.

Slika 8.3: Časovni diagram toka in napetosti na ohmski upornosti

Slika 8.4: Kazalčna diagrama na idealnem ohmskem uporu

a) Kazalčni diagram kompleksne ohmske upornosti in prevodnosti b) Kazalčni diagram napetosti in toka na idealnem ohmskem uporu

Med obema kazalčnima diagramoma je bistvena razlika. Kazalčni diagram upornosti predstavlja kompleksno konstanto in je zato lega kazalca v kompleksni ravnini konstantna. Kazalčni diagram efektivnih vrednosti tokov in napetosti pa predstavlja sinusne veličine. Njegova lega v kompleksni ravnini zavisi od izbrane lege začetnega faznega kota ene od sinusnih veličin. Ko smo ji izbrali začetni fazni kot, so lege vseh začetnih kotov preostalih sinusnih veličin s tem tudi že določene in se zato medsebojna lega kazalcev efektivnih vrednosti sinusnih veličin z izbiro začetnega faznega kota katerekoli sinusne veličine nič ne menja.

ωt

α

u

i

+1 Z R = R

+j

+1

+j U

I

u = i YR=G


137

8.3 Tok in napetost na idealni tuljavi

Naj bo na idealno tuljavo po sliki 8.5 priključena sinusna napetost:

cos( )m uu U t

Zaradi idealnosti tuljave bo tok skozi tuljavo:

cos( )m ii I t

Slika 8.5: Vezje z idealno tuljavo

Trenutni vrednosti napetosti in toka sta na idealni tuljavi povezani z odvisnostjo:

di

u Ldt

(8.13)

Enaka enačba velja tudi za trenutne kompleksne vrednosti:

di

u L j Lidt

(8.14)

oziroma kompleksne efektivne vrednosti:

U j LI (8.15)

kjer smo v obeh enačbah uporabili pravilo 7.27, ki smo ga z uporabo simbolične metode ugotovili za odvod trenutne kompleksne vrednosti.

Kompleksna polna upornost tuljave je:

0 090 90 Ωj j

L L

UZ j L Le Z e

I (8.16)

Polno upornost tuljave:

L LZ X L (8.17)

imenujemo tudi induktivna (jalova) upornost. Fazni kot idealne tuljave je:

090 rad2

L (8.18)

Namesto kompleksne polne upornosti tuljave bi lahko uporabljali tudi njeno recipročno vrednost, kompleksno polno prevodnost tuljave:

i

u

L


138

0901 1

Sj jL L

L

Y e B eZ L

(8.19)

Polno prevodnost tuljave:

1

L LY BL

(8.20)

imenujemo tudi induktivna (jalova) prevodnost .

Kompleksno induktivno upornost nanašamo kot kompleksno konstanto v pozitivni smeri imaginarne osi in kompleksno induktivno prevodnost, kot njeno recipročno vrednost, pa v negativni smeri imaginarne osi.

Če smo začetni fazni kot napetosti izbrali (u ) in kompleksno efektivno vrednost

priključene napetosti zapisali z:

ujU Ue

je kompleksni efektivni tok skozi tuljavo po kompleksnem Ohmovem zakonu:

0

0

( 90 )

90

u

u i

jj j

L

U Ue UI e Ie

Z LLe (8.21)

Od tod je razvidno, da je absolutna vrednost toka I enaka kvocientu napetosti in polne upornosti, začetni fazni kot toka pa za 900 zmanjšan začetni fazni kot napetosti:

0iin 90u u

L

UI

X (8.22)

Torej je trenutna vrednost toka skozi tuljavo:

02cos( ) cos( 90 ) sin( )i m u m ui I t I t I t (8.23)

Časovni diagram napetosti in toka na idealni tuljavi je prikazan na sliki 8.6, kazalčna diagrama kompleksne induktivne upornosti in kompleksne induktivne prevodnosti sta prikazana na sliki 8.7a, kazalčna diagrama napetosti in toka na idealni tuljavi pa na sliki 8.7b.

Slika 8.6: Časovni diagram napetosti in toka za idealno tuljavo

u

i

t


139

a) b) Slika 8.7: Kazalčna diagrama idealne tuljave

a) Kazalčni diagram kompleksne induktivne upornosti in prevodnosti b) Kazalčni diagram napetosti in toka

8.4 Tok in napetost na idealnem kondenzatorju

Idealni kondenzator s kapacitivnostjo C naj bo priključen na sliki 8.8 na sinusno napetost

cos( )m uu U t

Stacionarni tok skozi kondenzator je tudi sinusen:

m ii I t cos( )

Slika 8.8: Vezje z idealnim kondenzatorjem

obe trenutni vrednosti pa sta na kondenzatorju povezani z odvisnostjo:

1

u idtC

(8.24)

Če prevedemo trenutne vrednosti v trenutne kompleksne in opravimo operacijo integriranja, po simbolični metodi dobimo:

1 i

u idtC j C

(8.25)

i

u

C

+1

+j

+1

+j U

I

YL=-j1/L

u

1

ZL=jL


140

Enačba za trenutne kompleksne vrednosti pa velja tudi za kompleksne efektivne vrednosti:

I

Uj C

(8.26)

Kompleksna vrednost polne upornosti kondenzatorja je:

0901 1

cjjC C

UZ e Z e

I j C C (8.27)

Polno upornost kondenzatorja:

1

C CZ XC

(8.28)

imenujemo tudi kapacitivna upornost.

Fazni kot idealnega kondenzatorja je:

090 rad2

c (8.29)

Namesto kompleksne polne upornosti kondenzatorja bi lahko uporabljali tudi njeno recipročno vrednost, kompleksno polno prevodnost :

0901Scj j

C C

C

Y B e CeZ

(8.30)

Polno prevodnost kondenzatorja:

C CY B C (8.31)

imenujemo tudi kapacitivna prevodnost.

Kompleksno kapacitivno upornost nanašamo kot kompleksno konstanto v smeri negativne imaginarne osi in kompleksno kapacitivno prevodnost kot njeno recipročno vrednost v smeri pozitivne imaginarne osi.

Če smo začetni fazni kot napetosti (u ) izbrali in kompleksno efektivno vrednost

napetosti zapisali z:

ujU Ue

je kompleksni efektivni tok skozi kondenzator po kompleksnem Ohmovem zakonu:

0( 90 )u ij jC

C

UI UY U Ce Ie

Z (8.32)

Odtod je razvidno, da je efektivni tok I skozi kondenzator enak kvocientu efektivne napetosti in kapacitivne polne upornosti (oz. produktu efektivne napetosti in kapacitivne polne prevodnosti), začetni fazni kot toka pa je za +900 povečan začetni fazni kot napetosti:


141

0iin 90C u c u

C

UI UY

X (8.33)

Torej je trenutna vrednost toka skozi kondenzator:

02cos( ) cos( 90 )i m ui I t I t (8.34)

Tok skozi kondenzator prehiteva napetost za 900, oziroma napetost zaostaja za tokom za 900.

Časovni diagram napetosti in toka na idealnem kondenzatorju je prikazan na sliki 8.9, kazalčni diagram kompleksne kapacitivne upornosti in kompleksne kapacitivne prevodnosti je prikazan na sliki 8.10a, kazalčni diagram napetosti in toka na idealnem kondenzatorju pa na sliki 8.10b.

Slika 8.9: Časovni diagram napetosti in toka na kondenzatorju

a) b) Slika 8.10: Kazalčna diagrama idealnega kondenzatorja

a) Kazalčni diagram kompleksne kapacitivne upornosti in prevodnosti b) Kazalčni diagram napetosti in toka

u

i

t

ZC

+j

+j U

I

YC

u

+1

+1


142

8.5 Tok in napetosti na zaporedni vezavi R, L in C

Na zaporedno vezavo idealnih elementov R, L in C po sliki 8.11 je priključena sinusna napetost:

cos( )m uu U t oziroma ujU Ue

Slika 8.11: Zaporedna vezava R, L in C

Najenostavnejša pot za izpeljavo zakonitosti zaporedne vezave R, L in C izhaja iz pravila vezave zaporedno vezanih elementov, da je trenutna vrednost gonilne napetosti enaka vsoti trenutnih vrednosti padcev napetosti:

R L Cu u u u (8.35)

Enaka oblika enačbe velja tudi za kompleksne efektivne vrednosti:

R L CU U U U (8.36)

Tok je skozi vse zaporedno vezane elemente isti, napetosti pa moramo ustrezno indeksirati. Če za padce napetosti vstavimo ustrezne izraze 2.9, 2.15 in 2.26,

1

( )

R

L

C

U IR

U I j L

U I jC

dobimo:

1( )U I R j L

C (8.37)

Kompleksna polna upornost zaporedne vezave R, L in C je:

1

( ) ( )L CZ R j L R j X X R jXC

(8.38)

kjer izraz:

1

L CX X X LC

(8.39)

I U

L R C

UR UL UC


143

imenujemo jalova upornost zaporedne vezave R, L in C. Namesto algebrskega zapisa kompleksne polne upornosti bi lahko uporabili tudi eksponentni zapis:

arctan

2 2X

jj RZ Ze R X e (8.40)

Kazalčni diagram kompleksne polne upornosti je prikazan na sliki 8.12a. Ohmsko upornost nanesemo v smer pozitivne realne osi, induktivno jalovo upornost v smeri pozitivne imaginarne osi in kapacitivno jalovo upornost v smeri negativne imaginarne osi. Kompleksni kazalec Z oklepa z realno osjo kot . Ta fazni kot vezave je pozitiven, če

velja XLXC, v tem primeru je vezava pretežno induktivna, za XL XC je fazni kot vezave negativen in je ta pretežno kapacitivna.

Pri risanju kazalčnega diagrama izhajamo iz kazalca toka I , saj je ta v vseh zaporedno

vezanih elementih isti. Ohmski padec napetosti RU je v fazi s tokom, induktivni padec

napetosti prehiteva tok za 900 in kapacitivni padec napetosti zaostaja za tokom za 900. Priključena napetost U je enaka vsoti kompleksnih padcev napetosti.

Fazni kot zaporedne vezave R, L in C leži v območju 0 090 90 . Zgornja meja velja za

čisto induktivno vezavo, spodnja meja za čisto kapacitivno vezavo. Prav poseben primer zaporedne vezave pa imamo tedaj, ko sta oba jalova padca napetosti enaka ( 0XU ),

tedaj je fazni kot vezave nič. Ta obratni primer imenujemo zaporedna ali napetostna resonanca. Zaradi njegove pomembnosti ga bomo obdelali v posebnem poglavju o resonancah.

Slika 8.12: Kazalčni diagrami za zaporedno vezavo R, L in C

a) Kazalčni diagram kompleksne polne upornosti b) Kazalčni diagram kompleksnih efektivnih vrednosti toka in padcev

napetosti

Časovni diagram toka in padcev napetosti za zaporedno vezavo R, L in C je prikazan na sliki 8.13.

+1

+j

R

jXL

Z

-jXC

jX

+1

+j

UC

U

UL

UX

I UR u


144

Slika 8.13: Časovni diagrami toka in padcev napetosti v zaporedni vezavi R, L in C

8.6 Napetost in toki v vzporedni vezavi R, L in C

Na vzporedno vezavo idealnih elementov R, L in C po sliki 8.14 je priključena sinusna napetost:

2cos( ) oziroma uj

uu U t U Ue

Najenostavnejša pot za izpeljavo zakonitosti vzporedne vezave R, L in C izhaja iz pravila vzporedno vezanih elementov, da je trenutna vrednost v vezavo pritekajočega toka enaka vsoti trenutnih vrednosti odtekajočih tokov.

R L Ci i i i (8.41)

Enako oblikovana enačba velja tudi za kompleksne efektivne vrednosti:

R L CI I I I (8.42)

Napetost je na vseh vzporednih vejah ista, toke skozi veje pa moramo ustrezno indeksirati. Toki skozi veje so:

Slika 8.14: Vzporedna vezava R, L in C

U

I

L

C

R

IR

IC IL

i

uL

uC

uR

uL uC

uR=i

t


145

1( ) ( )

R

L L

C C

UI UG

R

I U j U jBL

I U j C U jB

Sedaj je tok v dovodu:

1( )I U G j CL

(8.43)

Kompleksna polna prevodnost vzporedne vezave R, L in C je:

1

( ) ( )L CY G j C G j B B G jBL

(8.44)

kjer izraz:

1

L CB B B CL

(8.45)

imenujemo jalova prevodnost vzporedne vezave R, L in C. Namesto algebrskega zapisa kompleksne polne prevodnosti bi lahko uporabili tudi njen eksponentni zapis:

arctan

2 2B

jj GY Ye G B e (8.46)

Kazalčni diagram kompleksnih prevodnosti je prikazan na sliki 8.15a. Ohmsko prevodnost nanesemo v smer pozitivne realne osi, induktivno prevodnost v smer negativne imaginarne osi in kapacitivno prevodnost v smer pozitivne imaginarne osi.

Kazalec kompleksne polne prevodnosti Y oklepa z realno osjo fazni kot vezave . Ta

fazni kot je pozitiven, če velja BLBC, v tem primeru je vezava pretežno induktivna, za BLBC je fazni kot vezave negativen in je ta pretežno kapacitivna.

Kazalčni diagram napetosti in tokov je prikazan na sliki 8.15b. Izhajamo iz začetnega kota kazalca napetosti, saj je ta za vse vzporedno vezane elemente ista. Tok skozi ohmski upor je v fazi z napetostjo, tok skozi tuljavo zaostaja za napetostjo za 900 in tok skozi kondenzator prehiteva napetost za 900. Tok v dovodu je enak vsoti tokov skozi veje.

a) b)

Slika 8.15: Kazalčni diagrami za vzporedno vezavo R, L in C

a) Kazalčni diagram kompleksne polne prevodnosti b) Kazalčni diagram napetosti in tokov

+1

-j

G

-jB

jBC -jBL

Y

+1

-j

IX

U

u

i

I

IL

IR

IC


146

8.7 MOČI IN ENERGIJE NA IDEALNIH ELEMENTIH

8.7.1 Definicija trenutnih in kompleksnih moči

Najprej si bomo ogledali časovni potek moči in energij na idealnih elementih za sinusne trenutne vrednosti tokov in napetosti, nato pa si bomo za te ogledali tudi srednje vrednosti moči in energij. Pri tem je treba upoštevati dejstvo, da sinusni toki in napetosti ter trenutne vrednosti moči in energij niso nujno čiste sinusne veličine, so pa vedno sinusne veličine, ki eventualno vsebujejo še enosmerni del.

Če sta napetost in tok na nekem električnem vezju podana z:

u

i

u U t

i I t

2cos( ) in

2cos( ) (8.47)

je trenutna moč, ki v vezje priteka ali odteka, podana s produktom trenutnih vrednosti napetosti in toka:

VAs ui (8.48)

Trenutno moč vezja na splošno označimo s s(t), trenutne moči na idealnih elementih R, L in C pa bomo označevali s p(t), qL(t) in qC(t). Pozitivna vrednost trenutne moči pomeni, da energija v vezje priteka, negativna vrednost trenutne moči pomeni, da energija iz vezja odteka. Predznak trenutne moči zavisi od predznakov trenutnih vrednosti napetosti in toka.

Izraza za trenutni vrednosti toka in napetosti vstavimo v izraz za trenutno moč. Iz:

2cos( )cos( )u is ui UI t t

z upoštevanjem trigonometrične enakosti:

2cos cos cos( ) cos( )x y x y x y

dobimo:

cos cos(2 2 ) VAus UI t (8.49)

Tu smo upoštevali:

in

2 2

u i

u

x y

x y t

Vidimo, da ima trenutna moč v električnem vezju v splošnem enosmerno komponento, ki jo označimo z:

cosens P UI (8.50)

tej pa je superponirana čista izmenična komponenta moči:

cos(2 2 )izm us UI t (8.51)


147

ki niha z dvojno krožno frekvenco 2 okoli povprečne vrednosti s temensko vrednostjo:

S UI (8.52)

Enosmerni del trenutne moči predstavlja tisto povprečno moč P, ki se porablja v vezju. Zato jo tudi imenujemo delovna moč vezja.

Izmenični del trenutne moči predstavlja moč, ki se preliva med izvorom in vezjem. Temensko vrednost izmeničnega dela trenutne moči imenujemo navidezna moč.

Časovni diagram trenutne moči s je za neko pretežno induktivno vezje prikazan na sliki 8.16.

Slika 8.16: Časovni diagram trenutne moči, razdeljen na enosmerno in izmenično

komponento

Iz časovnega diagrama trenutne moči je lepo razvidna delitev na enosmerno (povprečno) in izmenično komponento.

Izraz za izmenično komponento je mogoče z uporabo trigonometrične enakosti:

cos( ) cos cos sin sinx y x y x y

razdeliti v dva dela:

cos (2 2 ) cos cos(2 2 ) sin sin(2 2 )izm u u us UI t UI t UI t

kjer je:

2 2 inux t y

Izmenična komponenta trenutne moči, razpade v dva dela: a) v kosinusno komponento s temensko vrednostjo P in b) sinusno komponento s temensko vrednostjo Q,

kjer s Q označimo:

sinQ UI (8.53)

Če dobljeni izraz:

cos(2 2 ) sin(2 2 )izm u us P t Q t

t

UI

P T

2

s

i

u


148

vstavimo v enačbo 8.49 in upoštevamo izraza za P in Q, dobimo:

1 cos(2 2 ) sin(2 2 )u us P t Q t p q (8.54)

V tem izrazu pomenita:

1 cos(2 2 )up P t (8.55)

tisti del trenutne moči, ki v vsakem trenutku priteka na ohmsko komponento vezja in se tam pretvarja v joulsko toploto in bi jo zato smeli imenovati trenutna delovna moč in

sin(2 2 )uq Q t (8.56)

tisti del trenutne moči, ki v eni četrtini periode priteka v energijske posode vezja, jih polni in se v drugi četrtini periode vrača nazaj v izvor. Ker se pri tem energija v vezju ne porablja, imenujemo to moč trenutna jalova moč.

Časovni diagram tako prikazane trenutne moči je podan na sliki 8.17.

Slika 8.17: Delitev trenutne moči na trenutno delovno in trenutno jalovo

komponento

Iz časovnega diagrama po sliki 8.17 in enačbah 8.55 in 8.56 je razvidno: a) da ima trenutna delovna moč povprečno vrednost P in niha okoli te povprečne

vrednosti s temensko vrednostjo P in dvojno krožno frekvenco 2 in b) da ima trenutna jalova moč povprečno vrednost nič in niha okoli te vrednosti s

temensko vrednostjo Q in dvojno krožno frekvenco 2 .

Izraza delovna in jalova moč izhajata le iz tega, ker se enkrat energija v vezju porablja, drugič pa le kopiči v energijskih posodah vezja.

Navidezne moči elementov ali vezja prikazujemo v kazalčnih diagramih moči. Iz kazalčnega diagrama toka in napetosti za zaporedno vezavo na sliki 8.12b je razvidno, da množenje kazalčnega diagrama polne upornosti s kazalcem kompleksnega toka I zavrti tega za kot i in ta preide v kazalčni diagram napetosti. Če bi tega sedaj pomnožili

s konjugirano kompleksno vrednostjo toka, bi dobili izraz za kompleksno navidezno moč:

( ) VAu ij jS UI UIe Se P jQ (8.57)

P

s

p

q

S

2

Q t

T


149

Dobili bi kazalčni diagram kompleksne moči, ki se ujema z lego kazalčnega diagrama kompleksnih polnih upornosti.

Trenutni vrednosti energij v energijskih posodah električnega in magnetnega polja sta:

2

( ) J2C

el

CuW t (8.58)

In

2

( ) J2L

m

LiW t (8.59)

kjer sta Cu in Li trenutni vrednosti napetosti na kondenzatorju oziroma toka skozi

tuljavo.

Kaj razumemo pod povprečno vrednostjo energije, bo razvidno iz časovnega diagrama trenutnih vrednosti energij na kondenzatorju oziroma tuljavi.

8.7.2 Moč in energija na idealnem ohmskem uporu

Pri izračunu trenutne in kompleksne vrednosti moči na idealnem ohmskem uporu upoštevamo, da sta napetost in tok v fazi ter je fazni kot idealnega ohmskega upora 0R .

Splošna enačba 8.54 preide zaradi sin=0 v obliko 8.55

1 cos(2 2 )R R R us U I t p (8.60)

Slika 8.18: Kazalčni diagram kompleksne moči na ohmskem uporu

Trenutna moč je vedno pozitivna, smer pretoka energije je le od izvora proti porabniku, kjer se pretvarja v joulsko toploto ali opravlja delo. Odtod tudi ime "delovna moč".

Kompleksno moč na ohmski upornosti dobimo iz nastavka:

WRR R R RS U I U I P (8.61)

Navidezna moč na ohmskem uporu, torej temenska vrednost izmeničnega dela trenutne moči, je enaka povprečni moči. Kompleksna moč na ohmskem uporu je realna veličina, zato jo nanašamo v pozitivno smer realne osi, kot to prikazuje slika 8.18.

+1

+j

SR=P


150

Trenutna vrednost energije, ki se je do trenutka t pretvorila na porabniku v delo ali joulsko toploto, je dana z:

0

( ) Jt

RW t pdt (8.62)

Dobljeni izraz ima dva dela. Prvi del enakomerno narašča:

JRW Pt (8.63)

Drugi del je prispevek zaradi izmeničnega dela trenutne moči, ki pa je zaradi sinusnega značaja tega dela moči v povprečju enak nič.

8.7.3 Moč in energija na idealni tuljavi

Idealna tuljava ima fazni kot 0/2 90L, tok skozi tuljavo za napetostjo zaostaja za

900, zato splošna enačba za trenutno moč na tuljavi preide iz enačbe 8.54 v obliko enačbe 8.56:

sin(2 2 ) sin(2 2 ) varL L L L u L us q U I t Q t (8.64)

kjer smo upoštevali:

cos 0 in sin 1L L

Trenutna moč na tuljavi je sinusna funkcija z dvojno krožno frekvenco. Povprečna ali delovna moč je enaka nič. Temenska vrednost izmeničnega dela moči na tuljavi je zopet definirana kot jalova moč tuljave L L LQ U I . Izraz jalova pomeni zopet le to, da se energija

v tuljavi ne porablja, temveč se le kopiči v energijski posodi magnetnega polja kot magnetna energija.

Trenutna vrednost moči na tuljavi Lq niha z dvojno krožno frekvenco in s temensko

vrednostjo LQ okoli srednje vrednosti nič.

V eni četrtini periode energija priteka v tuljavo in se tam kopiči v energiji magnetnega polja tuljave, magnetno polje se gradi. V drugi četrtini periode se magnetno polje ruši, energija odteka nazaj v izvor, moč je negativna.

Slika 8.19: Kazalčni diagram jalove induktivne moči

Trenutna vrednosti magnetne energije ( )mW t na tuljavi je določena s trenutno

vrednostjo toka skozi tuljavo:

+1

+j

SL=jQL


151

2 2 2

2( ) 2sin ( ) 1 cos(2 2 )2 2 2L L L

m u u

Li LI LIW t t t (8.65)

kjer smo upoštevali trigonometrično enakost:

22sin 1 cos2x x

Trenutna vrednost magnetne energije niha z dvojno krožno frekvenco okoli enako velike povprečne moči:

2

J2 2mm L

msr

W LIW (8.66)

Če torej v izrazu za trenutno vrednost energije magnetnega polja trenutno vrednost toka nadomestimo z efektivno vrednostjo, dobimo povprečno energijo.

Kompleksno moč LS na tuljavi dobimo z nastavkom:

0 0( 90 ) 90u uj j jLL L L L L L LS U I U e I e U I e jQ (8.67)

Po iznosu je enaka induktivni jalovi moči. V kompleksno ravnino jo nanašamo v smeri pozitivne imaginarne osi.

8.7.4 Moč in energija na idealnem kondenzatorju

Idealni kondenzator ima fazni kot 0/2 90C, tok skozi kondenzator prehiteva

napetost za 900. Zato splošna enačba za trenutno moč preide na kondenzatorju iz enačbe 8.54 v obliko enačbe 8.56:

sin(2 2 ) sin(2 2 ) varC C C C u C us q U I t Q t (8.68)


cos 0 in sin 1C C

2 2 2

2( ) 2cos ( ) 1 cos(2 2 )2 2 2C C C

el u u

Cu CU CUW t t t (8.69)

kjer smo upoštevali trigonometrično enakost:

22cos 1 cos2x x

Slika 8.20: Kazalčni diagram kapacitivne moči

+1

+j

SC=-jQC


152

Trenutna vrednost energije električnega polja niha z dvojno krožno frekvenco okoli enako velike povprečne moči:

2

J2C

elsr

CUW (8.70)

Če torej v izrazu za trenutno vrednost energije električnega polja trenutno vrednost napetosti nadomestimo z njeno efektivno vrednostjo, dobimo povprečno energijo. To še enkrat potrjuje, da efektivne vrednosti izhajajo iz povprečja moči in energij.

Kompleksno moč CS na kondenzatorju dobimo z nastavkom:

0 0( 90 ) 90u uj j j

CC C C C C C CS U I U e I e U I e jQ (8.71)

Po iznosu je enaka kapacitivni jalovi moči. V kompleksno ravnino jo nanašamo v smeri negativne imaginarne osi.

8.7.5 Moči in energiji v zaporedni vezavi RLC

V tem in naslednjih podpoglavjih bomo rezultate, ki smo jih dobili za moči in energije na idealnih elementih, posplošili najprej na zaporedno in vzporedno vezavo in nato na poljubno kombinirano vezavo idealnih elementov. Kompleksna moč poljubne vezave idealnih elementov je vselej enaka vsoti kompleksnih moči na posameznih elementih.

Naj bodo zaporedno vezani idealni elementi R, L in C, kot to prikazuje slika 8.21.

Slika 8.21: Zaporedna vezava idealnih elementov

Enako kot za trenutne moči na elementih:

R L C L Cs s s s p q q (8.72)

velja enako oblikovana enačba tudi za kompleksne moči:

( ) VAjR L C L CS S S S P j Q Q P jQ Se (8.73)


L CQ Q Q (8.74)

2 2S P Q in (8.75)

arctanQ

P (8.76)

Na sliki 8.22 je podan kazalčni diagram moči za zaporedno vezavo idealnih elementov R, L in C (kazalčni diagrami veljajo za pretežno induktivno vezje):

I U

L R C

UR UL UC


153

Slika 8.22: Kazalčni diagrami za zaporedno vezavo R, L in C

V zaporedni vezavi je tok skozi vse elemente enak. Trenutni vrednosti obeh jalovih napetosti sta premaknjeni za 1800 in sta torej v protifazi. Isto velja tudi za kazalca njunih kompleksnih efektivnih vrednosti. Prav tako velja isto tudi za trenutni jalovi moči qL in qC ter za oba kazalca jalovih moči QL in QC.

8.7.6 Moči in energiji v vzporedni vezavi RLC

V bistvu se izpeljava izrazov za izračun moči in energij v vzporedni vezavi idealnih elementov ne razlikuje bistveno od zaporedne vezave, le da je tu napetost na vseh treh vzporedno vezanih elementih ista, razlikujemo pa toke skozi vzporedno vezane elemente, kot to prikazuje slika 8.23.

Slika 8.23: Vzporedna vezava idealnih elementov R, L in C

Zato za trenutne vrednosti tokov in moči velja:

R L C

R L C L C

i i i i

s s s s p q q (8.77)

Enaka oblika enačbe velja tudi za kompleksne moči:

( ) VAjR R R L CS S S S P j Q Q P jQ Se (8.78)


L CQ Q Q (8.79)

2 2S P Q in (8.80)

arctanQ

P (8.81)

I

U

L

C

R

IR

IC IL

+1

+j

Z

R

jXL -jXC

jX +1

+j

S

P

jQL -jQC

jQ

+1

+j

U

UL

UC

UX

I UR


154

Na sliki 8.24 bomo prikazali kazalčne diagrame za pretežno induktivno vzporedno vezavo RLC:

Slika 8.24: Kazalčni diagrami za pretežno induktivno vzporedno vezavo R, L in C

8.7.7 Moči in energije v poljubni vezavi RLC

Poljubno električno vezje lahko rešimo, če poleg znanih vrednosti o elementih vezave poznamo še eno od električnih veličin. V reševanju problemov iz poglavja 2 smo predpostavljali, da sta to tok ali napetost na enem od elementov ali vezju. Kot električna veličina pa bi lahko nastopali tudi moč ali energija na enem od elementov ali celotnem vezju.

Se pa pri tem srečujemo z majhnim problemom. V izrazih za kompleksne moči so izginili začetni fazni koti napetosti ali toka. Zato v vseh problemih, kjer je zadana kompleksna moč, lahko določimo le absolutno vrednost napetosti ali toka, začetni fazni kot ene od veličin pa moramo izbrati.

V razreševanju problemov s podano kompleksno močjo:

S UI

je vedno indirektno prisoten tudi kompleksni Ohmov zakon:

U

U IZY

(8.82)

oziroma:

U

I U YZ

(8.83)

Izraz za kompleksno moč ima pet možnih oblik:

2 22 2I U

S UI I Z U YY Z

(8.84)

za praktični izračun pa vedno izberemo tisto obliko, ki je najbolj primerna. Očitno je, da po zadnjih štirih izrazih lahko določimo le absolutne vrednosti toka ali napetosti.

Kompleksni jalovi moči dveh poljubno lociranih jalovih elementov vselej ležita v imaginarni osi. Kompleksna induktivna moč ima vselej nasprotno smer kot kompleksna kapacitivna moč.

+1

-j

G

-jB

jBC -jBL

Y

+1

+j

P

-jQ

-jQC jQL

S

+1

-j

U

u

i

I

IL

IR

IC

IX

9 RESONANČNI POJAVI V VEZJIH Z IDEALNIMI ELEMENTI

9.1 Uvod v resonanco

Ko sta napetost in tok vezja v fazi, govorimo o resonanci. Tako je potrebni in zadostni pogoj za obstoj resonance, da je fazni kot vezave nič:

0 (9.1)

Ta splošni pogoj lahko zapišemo v obeh oblikah. Če ima neko električno vezje nadomestno kompleksno polno upornost Z , ga zapišemo v obliki:

Im( ) 0Z (9.2)

če pa poznamo njegovo nadomestno kompleksno polno prevodnost Y , zapišemo pogoj

resonance v obliki:

Im( ) 0Y (9.3)

V primeru zaporedne vezave idealnih elementov RLC, govorimo o zaporedni ali napetostni resonanci, v primeru vzporedne vezave idealnih elementov RLC pa o vzporedni ali tokovni resonanci.

Seveda resonančni pojavi niso omejeni le na zaporedno in vzporedno vezavo idealnih elementov. Če neko vezje vsebuje več energijskih posod magnetne in električne energije, je v vezju možnih več resonanc, ki lahko imajo značaj napetostnih ali tokovnih resonanc.


156

9.2 Idealna zaporedna resonančna vezava

Na sliki je prikazana zaporedna vezava idealnih elementov: idealnega ohmskega upora z upornostjo R, idealne tuljave z induktivnostjo L in idealnega kondenzatorja s kapacitivnostjo C.

Slika 9.1: Zaporedna vezava idealnih elementov R, L in C

Izraz za kompleksno polno upornost zaporedne vezave idealnih elementov RLC podaja naslednja enačba:

1

( )Z R j LC

(9.4)

Pogoj resonance lahko zapišemo na oba načina:

1

Im( ) 0Z LC

(9.5)

ali:

1

arctan 0L

CR

(9.6)

Oba izraza sta v bistvu identična, izpolnjena sta za:

1

0LC

(9.7)

To je pogoj idealne zaporedne resonance. Ta pogoj v splošnem lahko izpolnimo s spreminjanjem induktivnosti L, s spreminjanjem kapacitivnosti C ali s spreminjanjem krožne frekvence . Za podano idealno vezje sta L in C snovno geometrijski konstanti, zato običajno iščemo tisto krožno frekvenco 0, pri kateri je pogoj resonance izpolnjen:

0

1

LC (9.8)

imenujemo jo resonančna krožna frekvenca.

Frekvenca, pri kateri je pogoj resonance izpolnjen, je:

I U

L R C

UR UL UC

Resonančni pojavi v vezjih z idealnimi elementi

157

0

0

1

2 2f

LC (9.9)

imenujemo jo resonančna frekvenca.

Na sliki 9.2 so podani vsi kazalčni diagrami za idealno zaporedno resonančno vezavo. Vsem resonančnim veličinam dodamo še indeks 0 in s tem nakažemo, da opisujemo resonančne razmere.

Slika 9.2: Kazalčni diagrami za idealno zaporedno resonančno vezavo

Iz kazalčnih diagramov za zaporedno vezavo idealnih elementov je razvidno naslednje :

a) V resonanci sta obe jalovi upornosti enaki. Njuni vrednosti sta:

0 0 0

1L C o

o

LZ X X L

C C (9.10)

imenujemo ju tudi karakteristična upornost idealne zaporedne resonančne vezave. Ker se kompenzirata, je vezava navzven čisto ohmska.

b) V resonanci sta tudi oba jalova padca napetosti enaka. Čeprav se navzven kompenzirata, obstajata na obeh jalovih elementih v polnem iznosu. Ker sta po vrednosti lahko dosti večja od priključene napetosti, obstaja, zlasti pri kondenzatorju, nevarnost preboja. Zato moramo paziti na to, da resonančni jalovi padec napetosti ostane v dopustnih mejah.

c) V resonanci sta tudi obe jalovi moči enaki. To pomeni, da se v resonanci energija samo preliva iz ene energijske posode v drugo, prelivanja energije med izvorom in vezjem ni, moč vezja je čisto ohmska.

Resonančno vezje ima visoko kvaliteto, če sta jalovi moči, ki se v resonanci prelivata, veliki v primerjavi z močjo, ki se v vezju porablja. Dušenje je definirano kot recipročna vrednost kvalitete. Ker so vsi trije trikotniki v kazalčnih diagramih podobni, velja za kvaliteto in dušenje:

0 0 0X XQ U XQ

P U R (9.11)

in:

+j

+1 R=Z

jXL0 -jXC0

=0

+j

+1 P=S

jQL0 -jQC0

=0

+j

+1 UR=U

UL0

UC0

I0

=0

ui


158

0 0 0

1

X X

P U Rd

Q Q U X (9.12)

Resonančne krivulje za idealno zaporedno resonančno vezje

Z resonančnimi krivuljami želimo prikazati odvisnost vseh veličin resonančnega tokokroga od frekvence f oziroma krožne frekvence priključene napetosti. Najprej si oglejmo frekvenčno odvisnost idealnih elementov.

( )

( )

1( )

L

C

R R

X L

XC

(9.13)

Ohmska upornost idealnega ohmskega upora od krožne frekvence ni odvisna, podana je s premico, ki je vzporedna z -osjo.

Induktivna upornost idealne tuljave narašča premo z naraščanjem krožne frekvence, njena frekvenčna odvisnost je podana s premico skozi kordinatno izhodišče, kjer je smerni koeficient premice k .

Kapacitivna upornost idealnega kondenzatorja pada sorazmerno z obratno vrednostjo krožne frekvence, njena frekvenčna odvisnost je podana z enakoosno hiperbolo.

Slika 9.3: Krivulje frekvenčne odvisnosti za idealno zaporedno resonanco

Čeprav krivulje frekvenčne odvisnosti govorijo same zase, jih vendarle na kratko analizirajmo. Za krožno frekvenco predstavlja vezje prekinjen tokokrog, vsa napetost je na kondenzatorju, ki ima neskončno veliko kapacitivno upornost, fazni kot vezave je -. Zato je tudi tok skozi vezavo nič. V frekvenčnem področju izpod resonančne frekvence je vezje pretežno kapacitivno, fazni kot gre proti nič. Polna upornost vezja pada in doseže najmanjšo vrednost v resonanci, ko je enaka ohmski upornosti vezja. Zato pa je tok v resonanci največji in doseže največjo vrednost:

/2

0

Z

XC

R

kap. ind.

XL

X

-/2

I

I0


159

0

UI

R (9.14)

V resonanci je fazni kot vezave , kar je tudi pogoj resonance. V frekvenčnem področju nad resonančno frekvenco je vezje pretežno induktivno. Ker gresta za tako induktivna kot tudi polna upornost vezja proti neskončni vrednosti, tok upada proti vrednosti nič in vezje postaja vse bolj induktivno. Fazni kot vezja gre proti .

Resonančne krivulje po sliki 9.3 imajo to slabost, da bi za vsak specifičen primer dobili sicer podobne, vendar drugačne resonančne krivulje. Če pa jih podajamo kot relativne vrednosti, npr. za tok, kot:

0

( )r

II

I (9.15)

imajo vse resonančne krivulje z isto kvaliteto enako obliko (tudi enake relativne vrednosti!). Tako imamo na sliki 9.4 podane krivulje relativnih tokovnih frekvenčnih odvisnosti za različne kvalitete Q.

Slika 9.4: Potek relativnih tokovnih krivulj pri različnih kvalitetah idealnega

zaporednega resonančnega vezja

Tako na sliki 9.4 pomeni Q1 nizko kvaliteto in Q3 visoko kvaliteto. Čim višja je kvaliteta resonančnega kroga, tem ožja je tokovna krivulja. Tako imajo energetska vezja nizko kvaliteto in elektronska vezja navadno visoko kvaliteto. Elektronska vezja se obnašajo kot prepustni filtri, ki prepuščajo le frekvence v neposredni okolici resonančne krožne

frekvence. Frekvenčno področje, v katerem je 0 00,707 / 2rI I I , imenujemo

prepustni pas filtra, njegova širina je podana z enačbo:

0

Q (9.16)

Zaporedno resonančno vezje je torej prepustni filter za resonančne frekvence in ima tem ožji prepustni pas, čim višja je njegova kvaliteta. Za filter z ozkim prepustnim pasom pravimo, da je selektiven. Tako vidimo, da je v primeru visoke kvalitete tok, razen v področju , zanemarljiv v skoraj vsem preostalem področju.

1

Ir(Q1)

Ir(Q2)

Ir(Q3)

0,707


160

9.3 Idealna vzporedna resonančna vezava

Na sliki 9.5 je prikazana vzporedna vezava idealnih elementov: idealnega ohmskega upora z upornostjo R, idealne tuljave z induktivnostjo L in idealnega kondenzatorja s kapacitivnostjo C.

Slika 9.5: Vzporedna vezava idealnih elementov

Izraz za kompleksno polno prevodnost vzporedne vezave idealnih elementov podaja naslednja enačba:

1

( )Y G j CL

(9.17)

Pogoj resonance lahko zapišemo na oba načina:

1

Im( ) 0Y CL

(9.18)

in

1

arctan 0C

LG

(9.19)

Uveljavljanje obeh pogojev da za resonančno krožno frekvenco enak rezultat kot pri idealni zaporedni resonanci:

0

1

LC (9.20)

Enako velja tudi za resonančno frekvenco.

Na sliki 9.6 so podani kazalčni diagrami za idealno vzporedno resonančno vezavo, kjer indeks 0 zopet pomeni, da gre za resonančne veličine:

I

U

L

C

R

IR

IC IL


161

Slika 9.6: Kazalčni diagrami za idealno vzporedno resonančno vezavo

Povzemimo na kratko bistvo kazalčnih diagramov:

a) V resonanci sta obe jalovi prevodnosti enaki. Njuni vrednosti sta:

0 0 0 0

0

1L C

CY B B C

L L (9.21)

imenujemo ju tudi karakteristična prevodnost idealne vzporedne resonančne vezave. Njena vrednost je enaka recipročni vrednosti karakteristične upornosti idealne zaporedne resonančne vezave. V resonanci je polna prevodnost zopet čisto ohmska.

b) V resonanci sta oba jalova toka enaka, čeprav se navzven kompenzirata, obstajata na obeh jalovih elementih v polnem iznosu. Ker sta po vrednosti lahko dosti večja od toka v dovodu, lahko pride do pregrevanja katerega od obeh jalovih elementov.

c) V resonanci sta obe jalovi moči zopet enaki in v protifazi. Energija obeh energijskih posod se le preliva iz ene posode v drugo, prelivanja energije med izvorom in vezjem ni, v dovodu imamo le delovno moč.

Tudi pri vzporedni resonanci poznamo pojma kvalitete in dušenja. Kvaliteta vezja je zopet definirana kot razmerje resonančne jalove moči proti delovni moči in zaradi podobnosti trikotnikov s slike 9.6 tudi:

0 0 0X XQ I BQ

P I G (9.22)

Dušenje pa je zopet recipročna vrednost kvalitete:

0 0 0X X

P I Gd

Q I B (9.23)

Resonančne krivulje za idealno vzporedno resonančno vezje

Z resonančnimi krivuljami zopet želimo prikazati odvisnost vseh veličin idealnega vzporednega resonančnega vezja od frekvence f oziroma krožne frekvence ω. Najprej si oglejmo frekvenčne karakteristike prevodnosti za idealne elemente.

+1

-j

Y=G

-jBL0 jBC0

+1

-j

u=i

I0=IR U

IL0

IC0

+1

+j

S=P

jQL0 jQC0


162

1( )

1 1( )

( )

1( )

( )

L

L

C

C

G GR

BL X

B CX

(9.24)

Slika 9.7: Krivulje frekvenčnih odvisnosti za idealno vzporedno resonanco

Ohmska prevodnost idealnega ohmskega upora od frekvence ni odvisna, podana je s premico, ki je vzporedna z ω osjo.

Induktivna prevodnost idealne tuljave ima inverzno frekvenčno odvisnost kot induktivna upornost, podana je z enakoosno hiperbolo (ima enako frekvenčno odvisnost kot kapacitivna upornost idealnega kondenzatorja).

Kapacitivna prevodnost idealnega kondenzatorja narašča premo z naraščanjem frekvence, njena frekvenčna odvisnost je podana s premico skozi koordinatno izhodišče, smerni koeficient premice je k .

Če želimo določiti frekvenčno odvisnost polne prevodnosti, jo za neko krožno frekvenco določimo po:

2 2( ) ( )Y G B (9.25)

kjer je:

( ) ( ) ( )L CB B B

Tok skozi vezje je pri neki krožni frekvenci:

( ) ( )I UY (9.26)

Ker smatramo priključeno napetost kot konstantno, lahko ugotovimo naslednje:

a) Tok skozi vezje ali vejo je le s konstanto pomnožena prevodnost vezja ali veje.

0

BL

Y≡I

BX

BC

G

kap.

ind.


163

b) Tok skozi vezje je najmanjši v resonanci. Resonančno idealno vzporedno vezje je v bistvu zaporni filter za resonančne frekvence.

c) Za obe mejni vrednosti frekvenc ( in ) je vezje v kratkem stiku. Pod resonančno frekvenco je vezje pretežno induktivno in nad resonančno frekvenco pretežno kapacitivno.

Resonančne krivulje po sliki 9.7 imajo to slabost, da bi za vsak specifičen primer (različne vrednosti R, L in C) dobili sicer podobne, vendar druge resonančne krivulje. Če pa jih podajamo za relativne vrednosti, npr. ta tok kot

0

( )r

II

I (9.27)

kjer je:

0I UG (9.28)

tok skozi vezje v resonanci, imajo vse resonančne krivulje vezij z isto kvaliteto enako obliko in enake relativne vrednosti. Tako imamo na sliki 9.8 podane krivulje relativnih vrednosti tokov skozi vezje za različne kvalitete Q.

Slika 9.8: Potek tokovnih krivulj v relativni obliki pri različnih kvalitetah

Tako na sliki 9.8 pomeni Q1 nizko kvaliteto in Q3 visoko kvaliteto. Čim višja je kvaliteta, tem ožja je tokovna krivulja. Ozka krivulja pomeni tudi veliko selektivnost idealnega vzporednega resonančnega vezja kot zapornega filtra ali sita. Zopet velja, da so energetska vezja z nizko kvaliteto in elektronska vezja z običajno zelo visoko kvaliteto, ki zapirajo le frekvence v neposredni okolici resonančne frekvence. Frekvenčno

območje, v katerem je Ir 2 imenujemo zaporni pas filtra, njegova širina je zopet

podana z

0

Q (9.29)

To pomeni, da je znotraj zapornega pasu tok skozi vezje praktično zanemarljiv.

Na koncu omenimo samo še to, da glede prelivanja jalove energije velja za vzporedno resonanco vse, kar smo povedali za zaporedno resonanco.

1.4144

1

Ir=I()/I

0

Ir(Q1)

Ir(Q2)

Ir(Q3)


164

9.4 Kompenzacija jalove energije

9.4.1 Fizikalno in ekonomsko ozadje kompenzacije

Iz vseh dosedanjih ugotovitev izhaja, da dobimo prelivanje jalove energije med izvorom in porabnikom, če tokokrog ni v resonanci oziroma breme ni čisto ohmsko. Le v resonanci ima pretok energije eno samo smer od izvora k porabniku, jalova energija se samo preliva med obema energijskima posodama.

Prelivanje jalove energije med izvorom in porabnikom ima dve neprijetni posledici: a) Velikost navidezne moči, ki jo izvor izmenične energije lahko oddaja, je omejena z

nazivno napetostjo U (omejuje jo izolacija) in nazivnim tokom I (omejuje ga segrevanje), torej z navidezno močjo Sn. Kako je navidezna moč razdeljena na delovno in jalovo, pa diktirajo porabniki. Večjo delovno moč lahko oddaja vir le na račun zmanjšanja jalove moči. S stališča izkoriščenosti vira bi bilo najugodneje, če bi oddajal le delovno moč.

b) Velikost toka v dovodih, in s tem velikost ohmskih izgub v vodih med izvorom in porabnikom, je odvisna le od navidezne moči, torej le od velikosti toka. Če poleg delovne moči prenašamo tudi jalovo moč, je delovna moč obremenjena tudi z izgubami v dovodu, in to relativno tem bolj, čim večji je delež prenesene jalove moči. Obremenjenost delovne moči z izgubami v dovodu bo najmanjša, ko bomo prenašali le delovno moč, ko bo šel cos1. Zato imenujemo cos tudi faktor moči ali faktor delavnosti električnega toka.

V elektroenergetskih sistemih prevladujejo predvsem induktivni porabniki, torej predvsem posode energije magnetnega polja. Ker je za delovanje teh naprav ta neobhodna, je seveda koristno, če jo prelivamo pri porabniku, ne pa preko celotne prenosne verige med izvorom in porabnikom. To naredimo tako, da vzporedno z induktivnimi porabniki vežemo porabnike električne energije, to so bodisi kondenzatorske baterije ali prevzbujeni sinhronski stroji, torej ustvarimo razmere, ki so blizu vzporedni ali tokovni resonanci.

Zmanjšanje prelivanja jalove energije preko dovodov imenujemo kompenzacija jalove energije, kompenzacija jalove moči ali tudi popravljanje faktorja moči. Sama kompenzacija pa lahko zasleduje različne cilje:

a) Razbremeniti želimo elemente med izvorom in porabnikom nepotrebnih izgub zaradi prelivanja jalove energije. To kompenzacijo bi smeli imenovati čista kompenzacija ali kompenzacija pri konstantni delovni moči.

b) Zaradi razbremenitve elementov med izvorom in porabnikom bi brez nevarnosti preobremenitve prenosnih elementov smeli na porabnik priključiti dodatne porabnike. To kompenzacijo bi smeli imenovati kompenzacija pri dodatni obremenitvi. Če želimo po opravljeni kompenzaciji izvor obremeniti s polno navidezno močjo, tudi kompenzacija pri konstantni navidezni moči.


165

9.4.2 Čista kompenzacija

Čisto kompenzacijo imamo v primeru, ko porabniku z navidezno močjo S1 in faktorjem moči cos1 želimo tega popraviti na želeni faktor moči cos2 in s tem zmanjšati delež jalove moči v dovodu. Pripadajoče vezje in kazalčni diagram moči sta prikazana na sliki 9.9.

a) b)

Slika 9.9: Čista kompenzacija

a) Skica vezave za čisto kompenzacijo b) Kazalčni diagram moči za čisto kompenzacijo

Za rešitev naloge moramo podati navidezno moč S1 in faktor moči cos1 pred kompenzacijo in želeni faktor moči cos2 po kompenzaciji.

Najprej izračunamo obe komponenti moči pred kompenzacijo:

1 1 1

2 21 1 1 1 1

cos

sin

P S

Q S S P (9.30)

Ker ne predvidevamo dodatnega bremena, je:

2 1P P (9.31)

Ob znanem ali predpisanem faktorju moči po kompenzaciji lahko določimo navidezno in jalovo moč po kompenzaciji:

22

2

2 22 2 2 2 2 2 2

cos

sin tan

PS

Q S P S P

(9.32)

Potrebna jalova moč kondenzatorske baterije je:

1 2CQ Q Q (9.33)

Iz:

2CQ U C (9.34)

bi lahko tudi izračunali potrebno kapacitivnost kondenzatorske baterije.

S1,cos1

QC

S1

S2

Q1 Q2

QC

P1=P2

1

2


166

9.4.3 Kompenzacija ob dodatni obremenitvi

Kompenzacija ob dodatni obremenitvi predstavlja razširitev čiste kompenzacije. Če kompenziramo del jalove moči, smemo zato dodati breme S s faktorjem cos, mora pa za navidezno moč S2 po kompenzaciji veljati S2S1. Pripadajoče vezje in kazalčni diagram moči sta prikazana na sliki 9.10.

a) b)

Slika 9.10: Kompenzacija ob dodatni obtežbi:

a) skica vezave, b) kazalčni diagram moči

Predpostavimo, da je naloga definirana na naslednji način: transformator z navidezno močjo S1 je polno obremenjen in ima faktor moči cos, nanj bi želeli priključiti dodatno breme S, ki pa ima znan faktor moči cos. Kako veliko breme S lahko priklopimo, da bo transformator polno obremenjen in bo imel po kompenzaciji in priključitvi dodatnega bremena faktor moči cos?

Najprej poglejmo, kaj je podano. Podani so: S1, cos, cos in cos2. Ker želimo, da bo transformator po kompenzaciji polno obremenjen, mora biti:

1 2S S (9.35)

Odtod takoj določimo:

1 1 1

2 21 1 1 1 1

2 2 2

2 22 2 2 2 2

cos

sin

cos

sin

P S

Q S S P

P S

Q S S P

(9.36)

Iz enakosti delovnih moči izhaja:

1 2P P P

Odtod določimo dodatno priključeno delovno moč:

2 1P P P (9.37)

Iz znanega faktorja moči dodatnega bremena cos pa:

S1,cos1

QC

S1=cos

S,cos

S1

S2 Q1

Q2

QC

P1

1 2

Q

P2

P

S


167

2 2

cos

tan

PS

Q P S P

(9.38)

Potrebno jalovo moč kondenzatorske baterije dobimo iz enakosti jalovih moči:

2 1

1 2

C

C

Q Q Q Q

Q Q Q Q (9.39)

Če želimo razrešiti problem kompenzacije z dodatnim bremenom, potrebujemo dva podatka o stanju pred kompenzacijo, en podatek o dodatnem bremenu in en podatek o stanju po kompenzaciji.

LITERATURA

1. G. BOSSE Grundlagen der Elektrotechnik I Bibliographisches Institut Mannheim/Zürich 1969 2. G. BOSSE Grundlagen der Elektrotechnik II Bibliographisches Institut Mannheim/Zürich 1969 3. F. EVDOKIMOV Fundamentals of electricity Mir Publishers (English translation) Moscow 1977 4. A. FÜHRER, K. HEIDEMANN, W. NERRETER Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 1:Stationäre Vorgänge Carl Hanser Verlag München Wien 1989 5. A. FÜHRER, K. HEIDEMANN, W. NERRETER Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2:Zeitabhängige Vorgänge Carl Hanser Verlag München Wien 1989 6. H. FROHNE Einführung in die Elektrotechnik, 1. Grundlagen und Netzwerke Teubner Studienskripten, Stuttgart 1979 7. H. FROHNE Einführung in die Elektrotechnik, 2. Elektrische und magnetische Felder Teubner Studienskripten, Stuttgart 1979

Literatura

169

8. H. FROHNE Einführung in die Elektrotechnik, 3. Wechselstrom Teubner Studienskripten, Stuttgart 1979 9. R. S. ELLIOTT Electromagnetics IEEE Press, New Jersey 1993 10. H. GRAFE, J. LOOSE, H. KÜHN Grundlagen der Elektrotechnik, Band 1:Gleichspannungstechhnik VEB Verlag Technik , Berlin 1965 11. H. GRAFE, J. LOOSE, H. KÜHN Grundlagen der Elektrotechnik, Band 2:Wechselspannungstechhnik VEB Verlag Technik , Berlin 1965 12. N. KERŠIČ Osnove elektrotehnike I Fakulteta za elektrotehniko, Ljubljana 1988 13. N. KERŠIČ Osnove elektrotehnike II Fakulteta za elektrotehniko, Ljubljana 1988 14. A. F. KIPP Fundamentals of electricity and magnetism University of California, Berkeley 1979 15. J. LONČAR Osnovi elektrotehnike, Knjiga prva Tehnička knjiga, Zagreb 1956 16. J. LONČAR Osnovi elektrotehnike, Knjiga druga Tehnička knjiga, Zagreb 1956 17. E. PHILIPPOW Grundlagen der Elektrotechnik Akademische Verlagsgesselschaft, Leipzig 1967 18. B. POPOVIĆ Osnovi elektrotehnike 1 Građevinska knjiga, Beograd 1986 19. B. POPOVIĆ Osnovi elektrotehnike 2 Građevinska knjiga, Beograd 1986

Literatura

170

20. B. POPOVIĆ, A. ĐORĐEVIĆ Osnovi elektrotehnike 3, Zbirka pitanja i zadataka Građevinska knjiga, Beograd 1986 21. A. R. SINIGOJ Osnove elektromagnetike. 3. izd. Ljubljana: Fakulteta za elektrotehniko, 1999 21. VALENČIČ Osnove elektrotehnike II, 2. izd. Ljubljana: Fakulteta za elektrotehniko in računalništvo, 1994 22. T. ZORIČ Zapiski predavanj iz Osnov elektrotehnike I VTŠ Maribor 1971 (ponatis) 23. T. ZORIČ Osnove elektrotehnike II Tehniška fakulteta Maribor, Maribor 1987 (ponatis) 24. T. ZORIČ, D. ĐONLAGIĆ Osnove elektrotehnike 1. zvezek: Električna in tokovna polja

Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Maribor, Maribor 2000 (ponatis)

25. T. ZORIČ, D. ĐONLAGIĆ Osnove elektrotehnike 2. zvezek: Magnetna in inducirana električna polja VTO Elektrotehnika, računalništvo in informatika Maribor, Maribor 1990 26. A. HAMLER, I. TIČAR Elektrotehnika, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor 2000 27. I. TIČAR, T. ZORIČ Osnove elektrotehnike 3. zvezek: Izmenični tokokrogi in prehodni pojavi Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor 2001 28. I. TIČAR, T. ZORIČ Osnove elektrotehnike 1. zvezek: Elektrostatika in tokovna polja, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor 2002 29. T. ZORIČ

Zbirka rešenih nalog iz osnov elektrotehnike: Samozaložba, Maribor 2008

30. P. KITAK, T. ZORIČ Osnove elektrotehnike 2. zvezek: Magnetna in inducirana električna polja, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor 2011

osnove elektrotehnike za mehatronike epublikacija

Documents

gostota magnetnega pretoka

galvanometer pokae odklon

gostoto magnetnega pretoka

pravilom desnega svedra

opravimo operacijo integriranja

gostota magnetnega pretoka

fakulteta za elektrotehniko

rotacija pravokotne zanke