UNIVERZITET U BANJA LUCI

MAŠINSKI FAKULTET

MEHATRONIKA

LOGIČKA KOLA

SEMINARSKI RAD IZ OSNOVA MEHATRONIKe

Student: Mentor:

Rada Kovač prof. dr Mihajlo Stojčić

Banja Luka, mart, 2016.

2

3

UVOD

Uređaji koji služe za izvođenje osnovnih logičkih operacija nazivaju se logička

kola. Kao i većina oblasti u mašinstvu i elektrotehnici tako su i logička kola

produkt neke matematičke discipline.

Grana matematike koja proučava operacije konjukcije, disjunkcije i negacije (o

tome nešto kasnije) te pravila rada sa njima poznata je kao Bulova algebra.

Džordž Bul – biografija

Pošto ćemo često koristiti termin Bulova algebra važno

je nešto više reći o njenom tvorcu. Džorž Bul je bio

izvanredan matematičar i filozof sa vrlo interesantnom

biografijom. U ovom seminarskom radu će biti

navedene samo osnovne informacije uz preporuku da

se opširnija biografija kasnije pročita.

Džordž Bul, engleski matematičar i filozof, rođen je 2.

novembara 1815. godine, kao prvijenac roditelja Meri

En Džouns i Džona Bula. Iako rođen kao slabo i

bolešljivo dijete Džordž je izrastao u jakog i snažnog momka.

Već sa dvije godine pošao je u školu za dijecu trgovaca u Linkolnu, a sa sedam

godina je upisao osnovnu školu i počeo da uci jezike. Otac mu je doveo

prodavca knjiga da ga nauči latinski. A kada je savladao latinski počeo je

samostalno da uči i grčki. Sa četrnaest godina je toliko dobro ovladao ovim

jezikom da je preveo pijesmu jednog grčkog pijesnika, koju je kasnije, njegov

ponosani otac i objavio.

10. septembra 1828. godine Džordž je upisao trgovačku akademiju u Linkolnu. I

iako nije bio zadovoljan vrstom edukacije koju je tu mogao steći, svijestan da je to

jedina škola koju su mu roditelji mogli priuštiti, vredno je radio, a samostalno učio

i jezike, njemački i francuski.

Sa šesnaest godina je postao asistent učitelja u školi u Dančesteru i kako je

posao njegovog oca propao sam je izdržavao roditelje, braću i sestru.

1834., sa samo devetnaest godina, otvorio je školu u Linkolnu, a četiri godine

4

kasnije, poslije smrti Roberta Hola, koji je vodio Hol akademiju u Vedingtonu

preuzeo je njegovu funkciju i sa porodicom se preselio tamo.

U to vrijeme je proučavao Laplasove i Lagranževe radove i pravio bilješke. U

tome ga je ohrabrivao Gregori Dankan, urednik matematičkih novina na

Kembridžu. Pod njegovim uticajem Bul je počeo da uči algebru i objavljuje članke

u matematičkim novinama. Započeo je i saradnju sa De Morganom i sljedeće

godine napisao svoj prvi rad “On a general method of analysis applying algebraic

methods to the solution of differential equations”. Rad je objavljen 1844, a za

njega je Bul dobio medalju kraljevskog društva i stekao slavu.

Nažalost, nije dugo živeo, umro je u 49-oj godini života, 8. decembra 1864.

godine od prehlade, koju je dobio kada je prepješačio dvije milje po kiši, da bi

stigao na predavanje i predavao u mokroj odjeći.

Bulova algebra

Digitalna elektronska kola u računarima i drugim digitalnim sistemima su

projektovana, a njihovo ponašanje se analizira korišćenjem matematičke discipline

poznate kao Bulova algebra.

Ovaj naziv je dat u čast engleskog matematičara Džordža Bula (George Bool, koji

je 1854. godine predstavio osnovne principe ove algebre.

Treba spomenuti da je Klod Šenon (Claude Shannon) 1938. godine predložio da

se Bulova algebra koristi za rješavanje problema u električnim kolima sa relejnim

prekidačima.

Rješenja mnogih problema u mehatronici, kao i u drugim naučnim disciplinama,

mogu se prevesti na “da ili ne”, odnosno na “1 ili 0”.

Ova činjenica je, pored ostalog, pospješila razvoj elektronike i digitalne tehnike, a

samim tim i Bulove algebre, posebno Bulove algebre na skupu {0,1}.

Osnove matematičke logike

Prije nego što krenemo sa primjenom Bulove algebre na logička kola i

zadacima potrebno je upoznati se sa suštinom. Kao što je već navedeno,

princip rada logičkih kola je zasnovan na matematici. Preciznije na

5

matematičkoj logici te ćemo zato prvo da se upoznamo sa osnovama

matematičke logike koja će se zatim lako prevesti na Bulovu algebru i povezati

sa primjenom u mehatronici.

Ova matematička oblast je dosta široka te će se u seminarskom radu staviti

naglasam samo na onaj dio ključan za logička kola.

Izvor: http://www.viser.edu.rs/download.php?id=6852

Matematička logika se bavi formalizacijom i analizom vrsta rezonovanja koje

koristimo u ostalim dijelovima matematike.

Od sredine 19. vijeka pa do danas, matematička logika se razvija veoma

intenzivno. Ona je značajna matematička disciplina koja obezbjeđuje teorijske

osnove, prije svega, računarskih nauka.

Omogućila je nastanak i razvoj digitalnih elektronskih računara.

Iskaz je svaka smislena izjava koja može biti samo istinita ili neistinita,

odnosno lažna.

Da li pada kiša? – nije iskaz nego pitanje.

Ko rano rani, dvije sreće grabi. – nema smisla kao izjava, osim u prenesenom

značenju, pa se ne uzima kao iskaz.

Vani pada kiša. – je iskaz koji može da bude istinit ili lažan.

Svaka riba je sisar. – je iskaz koji je lažan.

Dva plus dva je četiri. – je iskaz koji je istinit.

6

Istinitost suda A označimo s τ (A). Pri tome τ (A) = ⊤ znači A je istinit, a τ (A)

= ⊥ znači A je neistinit. Osnovne operacije sa sudovima i njihove tablice

istinitosti su:

negacija ¬A, [ne A; non A]

konjunkcija, A ∧ B, [A i B]

disjunkcija, A ∨ B, [A ili B]

Analogno ovom, po istim pravilima funkcioniše princip logičkih kola, s tim da

umjesto T pišemo 1 dok umesto ⊥ pišemo 0.

7

OSNOVNA LOGIČKA KOLA

Realizacija prekidačkih funkcija vrši se pomoću logičkih kola. Osnovni element za

građenje svih digitalnih logičkih kola je elektronsko prekidačko kolo. Logičke

funkcije se realizuju međusobnim povezivanjem prekidačkih kola.

Elektronsko prekidačko kolo je elektronsko kolo koje proizvodi izlazni signal koji

zavisi od njegovih ulaznih signala.

Kako ustvari funkcioniše logička (prekidačka) algebra? Najbolji odgovor na ovo pitanje će dati sljedeći slikoviti prikaz:

Sve dok je prekidač otvoren (0) lampa ne svijetli (0). Kada prekidač zatvorimo

(1) napajanje iz baterije će omogućiti lampi da svijetli (1).

prekidač otvoren – lampa ne svijetli (OFF)

prekidač zatvoren – lampa svijetli (ON)

Osnovna prekidačka kola koja se koriste u digitalnim logičkim kolima su NE, ILI

i I. Postoje još NI, NILI i EXILI kola.

Prekidačka kola se definišu na 3 načina:

1. Grafičkim simbolima

2. Algebarskim obilježavanjem

3. Tablicom istinitosti

Sve računarske operacije koje se izvode samo na ciframa 0 i 1 i koje daju te

iste vrijednosti nazivaju se logičke operacije.

8

Tabelarni prikaz osnovnih logičkih kola definisanih prema grafičkom

prikazu, algebarskom obilježju i tablici istinitosti.

9

Ostala često korišćena logčka kola definisana prema grafičkom prikazu,

algebarskom obilježju i tablici istinitosti.

10

Pravila logičke algebre

Aksiomi logičke algebre – određeni broj pravila se proglašava elementarnim

činjenicama logičke algebre, koje se prihvataju bez dokaza i na kojima se

zasnivaju sva druga pravila i kompletna logička algebra.

Izbor aksioma nije jednoznačan!

Aksiome i teoreme Bulove algebre.

11

Bazni Bulovi algebarski identiteti

12

1

1

Minimizacija Bulove algebre

Zahtjevi za konstrukciju jedne šeme u početku se obično iznose u verbalnom

obliku a zatim se prevode u algebarski oblik. Bulova funkcija pridružena šemi se

zatim, na neki način, uprošćava tako da kontaktna šema bude što je više moguće

ekonomičnija.

Pod ekonomičnijom šemom podrazumijeva se ona na čiju izradu treba uložiti što

manje sredstava.

Dakle, potrebno je upotrijebiti svo naše znanje, matematičke i druge aparate kako

bi šema sadržala što manje logičkih kola tj. da iskoristimo minimalan broj slova,

minimalan broj konjukcija i minimalan broj disjunkcija u izrazu kojim se daje

funkcija.

Veoma često su prekidačke funkcije definisane tako da, ukoliko se upotrijebe

osnovna pravila i teoreme Booleove algebre, broj njihovih članova može biti

znatno smanjen.

Procedura svođenja prekidačkih funkcija na reduciranu formu naziva se

minimizacija prekidačkih funkcija.

Pokažimo ovo na jednom jednostavnom primjeru:

f = �̅�·�̅�·C·�̅�+(𝐴 + 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )·C·D+�̅�·(𝐵 + 𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )

Primjenom De Morganove teoreme slijedi

→ 𝐵 + 𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅�·𝐶̅ 𝐴 + 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅�·�̅�

f = �̅�·�̅�⋅C⋅�̅�+ �̅�·�̅�⋅C⋅D+ �̅�·�̅�⋅𝐶̅ = �̅�·�̅�⋅C⋅(�̅�+D) + �̅�·�̅�⋅𝐶̅ =�̅�·�̅�⋅C+�̅�·�̅�⋅𝐶̅=

=�̅�·�̅�(𝐶̅+C)= �̅�·�̅�

Odavde vidimo koliko je minimizacija prekidačkih funkcija značajna. Umjesto

gomile prekidačkih kola minimizacijom vidimo da su nam dovoljna 3 kola za

realizaciju funkcije.

13

Karnoove tablice

Radi jednostavnosti minimizacije logičkih funkcija, uvedene su tzv. Karnoove

(Karnaugh) tablice.

Karnoove mape predstavljaju tablični metod minimizacije logičkih funkcija.

Koriste se za funkcije do 6 promjenljivih. Za veće brojeve tablice su nepregledne i

previše složene.

Ako je n broj promjenljivih, mapa se sastoji od 2𝑛 kvadrata.

Kolone i vrste mape se označavaju kombinacijama vrijednosti promjenljivih.

Oznake kolona, odnosno vrsta su poređane tako da čine Grejov kod.

Minimizacija se zasniva na postupku uočavanja grupa od po 2𝑘 jedinica kojima se

konjukcija može dodijeliti kao grupi, umjesto da se to radi kao kod konstrukcije iz

tablice.

Kod formiranja grupa jedinica važe sljedeća pravila:

grupe se sastoje samo od jedinica

broj jedinica u grupi mora biti stepen dvojke: 1,2,4,8…2𝑖…

jedinice moraju biti raspoređene u susjednim poljima u obliku

pravougaonika

grupe se mogu preklapati

smatra se da mapa ima oblik valjka, odnosno mogu se grupisati i jedinice

koje postaju susjedne kada se spoje naspramne ivice mape

14

Poštujući ova pravila može se formirati puno različitih grupisanja, odnosno, ova

pravila ne određuju jednoznačno grupisanje jedinica.

Osnovni princip koji garantuje minimalnost je: vršiti grupisanje tako da se sa što

manje većih grupa obuhvate sve jedinice. Što je grupa veća, to je manji broj

promenljivih u konjunkciji koja joj se pridružuje.

Primjer:

15

16

ZADACI

Zadaci su osmišljeni kako bi se što bolje savladala materija. Polazi se od

najprostijih problema a zatim se prelazi na nešto složenije.

Rješavanje problema sa prekidačkim funkcijama je specifična po tome što

može da se uradi na više načina te onako kako autor riješi zadatak ne znači da

je to jedino i najbolje rješenje.

Obrađivaće se prekidačke funkcije kroz primjere formiranja, uprošćavanja i

realizacije tih funkcija te ćemo se, u zadacima, bazirati samo na rješavanje

problema isključivo uz pomoć osnovnih logičkih kola jer je to tema

seminarskog rada.

Cilj ovog rada nije samo doprinos većoj ocjeni na završnom ispitu već i da

pomogne učenicima srednjih tehničkih škola i studentima na tehničkim

fakultetima koji se prvi put susreću sa ovom materijom.

Napomena: Slikoviti prikazi logičkih funkcija su realizovani preko aplikacije http://logic.ly/demo/

17

Zadatak 1

Zadata je funkcija F(A,B) kombinacionom tabelom. Pojednostaviti i realizovati

logičku funkciju.

Y = �̅��̅� + A�̅� = �̅�(A+�̅�) = �̅�

Nakon uprošćavanja funkcije F(A,B) vidimo da ona ne zavisi od A već samo od B

ulaza.

Sada ćemo da pokažemo značaj uprošćavanja funkcije tako što ćemo prvo da

realizujemo nepojednostavljenu izlaznu funkciju.

Y = �̅��̅� + A�̅�

Zatim slijedi prikaz pojednostavljene logičke funkcije.

A B Y

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

�̅��̅�=1

A�̅�=1

1

18

U ovom jednostavnom zadatku smo pokazali i više nego očiglednu prednost

uprošćavanja (minimizacije) logičkih funkcija. Da bi realizovali izlaz Y = �̅��̅� + A�̅�

morali smo da iskoristimo čak pet logičkih elemenata dok nam je nakon

uprošćavanja bio potreban samo jedan element.

Radi lakšeg razumijevanja prekidačkih funkcija pokazaćemo ove šeme na

slikovitiji način uz pomoć prekidača i sijalice.

Nije važno da li je prekidač A otvoren ili zatvoren, rad sijalice zavisi samo od

prekidača B.

Napomena: Zbog komplikovanosti šema neće biti izvodljivo prikazivanje svakog

zadatka na ovako slikovit način jer to zahtjeva mnogo vremena i bio bi potreban

veći format od A4 na kojem će se štampati seminarski rad. Međutim, ako neko želi

da se „igra“ sa realizacijom logičkih funkcija preko prekidača, sijalice, tajmera i

slično to može da uradi preko sajta http://logic.ly/demo/ na kojem postoje sve ove

opcije ili instalacijom programa koji se može naći na http://logic.ly .

19

00 01 11 10

C 0

1

Zadatak 2

Zadata je funkcija F(A, B, C) kombinacionom tabelom. Pojednostaviti i realizovati

funkciju.

Y = �̅�B𝐶̅+�̅�BC+AB𝐶̅+ABC = �̅�B(C+ 𝐶̅) + AB(C+𝐶̅)= �̅�B+AB=B(�̅�+A)=B

Minimizaciju ove funkcije smo takođe mogli uraditi uz pomoć Karnoovih tabela

na sljedeći način:

Y=B

Zahvaljujući ovom primjeru možemo izvesti zaključak da neke, naizgled,

komplikovane funkcije mogu u stvari da budu vrlo jednostavne i proste te da za

njihovu realizaciju nije potrebno mnogo logičkih kola.

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

1 1

1 1

�̅�B𝐶̅=1

�̅�BC=1

AB𝐶̅=1

ABC=1

1 1 1

AB

20

Zadatak 3

Potrebno je ispisati logiku da svijetli signalizaciona lampica ako su u jednoj zgradi

otvorena:

vrata

lift

prozor

lift i vrata

vrata, prozor i lift

Za sve druge slučajeve signalizaciona lampica ne treba da svijetli.

Kao što već znamo, logička kola ne mogu da prepoznaju šta su vrata, lift ili

prozori. Poznato nam je da rade na principu 0 i 1 te im moramo „prevesti“ ovaj

problem iz stvarnog života na nihov jezik kako bi kola mogla da razumiju i obave

traženi zadatak.

To ćemo uraditi uz pomoć kombinacione tabele.

Neka su vrata – V; lift – L; prozor – P u našoj tabeli. 0 će značiti da je lift, vrata ili

prozor zatvoren a ako je nešto od navedenog otvoreno predstavićemo to logičkom

jedinicom (1).

Tabela bi izgledala ovako:

Y= �̅��̅�P+�̅�𝐿�̅�+V�̅��̅�+VL�̅�+VLP= �̅��̅�P+�̅�(�̅�𝐿 + V�̅�) +VL(P+�̅�)

Y=�̅��̅�P+�̅�(�̅�𝐿 + V�̅�) +VL

V L P Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

1 exOR

21

Minimizacija se može izvršiti, takođe, pomoću Karnoovih tabela. Moguće je

dobiti drugačiju izlaznu funkciju Y što ne znači da je ta izlazna funkcija netačna.

Za realizaciju mi ćemo upotrijebiti dobijenu izlaznu funkciju

Y=�̅��̅�P+�̅�(�̅�𝐿 + V�̅�) +VL

Sada ćemo slikovito prikazati kako će da funkcioniše ova prekidačka funkcija.

22

23

LITERATURA

„Bigrafija Džordža Bula“ – Divna Milošević

„Osnovi računarske tehnike“ – Jovan Đorđević

„Bulova algebra“ – Koriolan Gilezan, Boško Latinović

„Matematika 1“ – Ivan Slapničar

„Elementi matematičke logike“ – Prirodno-matematički fakultet Tuzla

„Projektovanje logičkih sistema“ – Lejla Banjanović Mehmedović

„Uvod u organizaciju računara“ – Mladen Nikolić

„Digitalna elektronika“ – Spasoje Tešić, Dragan Vasiljević